Tài liệu Nghiên cứu didactic về giải toán bằng cách lập hệ phương trình ở trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh Vân NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh Vân NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên ngành: Lý luận & PPDH môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Ts. Trần Lương Công Khanh Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công Khanh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Annie Bessot, PGS. TS. Claude Comiti, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giải đáp những thắc mắc và truyền đạt cho chúng tôi những kiến thức Didactic quý báu. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới: - Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng thầy cô trong tổ Toán trường THPT Lương Văn Chánh đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Tập thể lớp Didactic K20 đã luôn cùng tôi chia sẻ những niềm vui và khó khăn trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ tôi về mọi mặt. Nguyễn Thị Minh Vân MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU ............................................................................................................1 CHƯƠNG 1. TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” .............................................................................6 1.1. Thế nào là “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” .......................6 1.1.1. “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong [1]......................7 1.1.2. “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong [8]......................9 1.1.3. Chỉ dẫn cho việc lập các phương trình trong [18] và [22] ............12 1.2. Sự giao nhau giữa “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” và “giải toán bằng cách lập phương trình” ..........................................................................15 1.3. Các bài toán được giải bằng cách lập hệ phương trình .....................16 1.3.1. Các bài toán trong [1].....................................................................16 1.3.2. Các bài toán trong [8].....................................................................22 1.4. “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” – một phương pháp giải toán gắn với các “vấn đề thực tiễn”. ......................................................................28 CHƯƠNG 2. “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC .......................................................................32 2.1. Pháp “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong thể chế dạy học 32 2.1.1. Những ghi nhận lý thuyết ..............................................................34 2.1.2. Bài tập ...........................................................................................38 2.2. Nam “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong thể chế dạy học Việt 46 2.2.1. Những ghi nhận lý thuyết ..............................................................47 2.2.2. Bài tập ...........................................................................................56 2.2.3. “Đặc điểm” của các bài toán được giải bằng “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” ...........................................................................................63 2.3. Kết quả phân tích thể chế ..................................................................70 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM........................................................................73 3.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................73 3.2. Hình thức và tổ chức thực nghiệm ....................................................73 3.3. Phân tích thực nghiệm .......................................................................74 3.3.1. Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm .....................................................74 3.3.2. Phân tích a priori ...........................................................................75 3.3.3. Phân tích a posteriori .....................................................................84 3. 4 Kết luận từ thực nghiệm.........................................................................88 KẾT LUẬN ......................................................................................................90 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................92 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GTHPT : Giải toán bằng cách lập hệ phương trình GTPT : Giải toán bằng cách lập phương trình GV : Giáo viên HPT : Hệ phương trình HS : Học sinh PT : Phương trình SBT : Sách bài tập SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên Tr. : Trang THSC : Trung học cơ sở DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1- Các cách giải bài toán “Vừa gà, vừa thỏ”………………………...........10 Bảng 1.2- Những vấn đề then chốt cần nắm vững khi lập PT………………...........13 Bảng 1.3-Phân loại các bài toán được giải bằng cách lập PT, HPT…………………………………………. ……………………………... 16 Bảng 2.1-Lời giải bài toán chứa quy trình của GTHPT trong thể chế Pháp...………………………………………. ……………………………... 34 Bảng 2.2-Các điểm đặc trưng của GTHPT trong thể chế Pháp …………............... 45 Bảng 2.3-GTPT trong CT94 và CT20……………………….. …………............... 47 Bảng 2.4-So sánh giữa CT94 và CT20 về GTHPT……………………………. ….54 Bảng 2.5-Số lượng các loại toán được giải bằng GTHPT trong thể chế…….. ……56 Bảng 2.6-Một số bài toán trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 liên quan đến GTHPT…………………………………………………………… ……….. .59 Bảng 2.7-Các vấn đề được đề cập trong các bài toán được giải bằng GTHPT……………………………………………………….…………….. 61 Bảng 3.1-Các lời giải có thể cho câu hỏi 1……………………………….…….. …77 Bảng 3.2-Các lời giải có thể cho câu hỏi 2……………………………….…….. …81 Bảng 3.3-Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 1…………….……......... 83 Bảng 3.4-Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 2…………….……......... 85 Bảng 3.5-Thống kê số lượng các lời giải có đặt điều kiện cho ẩn của câu hỏi 1………………………………………………….…………….…… ……….86 Bảng 3.6-Thống kê số lượng các lời giải có đặt điều kiện cho ẩn của câu hỏi 2………………………………………………….…………….…… ……….86 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Một bài toán cổ mà nhiều thế hệ học sinh Việt Nam đều biết: Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó? Bài toán này đã có mặt trong sách giáo khoa lớp 8 xuất bản năm 1989, 1997 và cả trong sách giáo khoa lớp 8, 9 chương trình hiện hành (chương trình cải cách năm 2000). Ở sách giáo khoa lớp 8 năm 1989 và 1997, nó là một ví dụ trong bài học Giải toán bằng cách lập phương trình (trang 90 và trang 74). Đến sách giáo khoa lớp 8 hiện hành, bài toán này xuất hiện với tư cách là một “bài toán cổ rất quen thuộc ở Việt Nam”, được đưa vào phần mở đầu của Chương III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN với câu hỏi “Nó có liên hệ gì với bài toán: Tìm x, biết 2x + 4(36 – x) = 100?”, rồi sau đó là Ví dụ 2 của bài học Giải toán bằng cách lập phương trình (trang 24). Và đến sách giáo khoa lớp 9 hiện hành, các tác giả đã lấy bài toán này để mở đầu Chương III - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, cụ thể: “trong bài toán trên, ngoài đại lượng chưa biết là số gà, ta thấy còn một đại lượng chưa biết khác là số chó. Nếu kí hiệu x là số gà và y là số chó thì: - Giả thiết có tất cả 36 con vừa gà vừa chó được mô tả bởi hệ thức x + y = 36. - Giả thiết có tất cả 100 chân được mô tả bởi hệ thức 2x + 4y = 100. Các hệ thức trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.” (trang 4). Như vậy bài toán trên không những được “phiên dịch” thành một phương trình bậc nhất một ẩn mà còn thành một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Điều này còn được trình bày cụ thể trong Giáo trình đào tạo giáo viên THCS, hệ Cao đẳng sư phạm của Nhà xuất bản giáo dục năm 1998 (trang 111) qua đoạn sau: - Hay trong cuốn Sáng tạo Toán học, tập I (Mathematical discovery) của G. Polia (bản dịch của Phan Tất Đắc, Nguyễn Sĩ Tuyển, NXB Hà Nội -1975), bài toán này có phiên bản khác là “một chủ trại nọ, nuôi gà và thỏ, cả thảy 50 con, gồm 140 chân. Hỏi chủ trại có bao nhiêu gà và thỏ?”. Tác giả đã trình bày nhiều cách giải của bài toán như nhẩm, dùng sự nhanh trí (ý chói lọi - chia đôi số chân), tuy nhiên nhấn mạnh đến một phương pháp “áp dụng được cả trong trường hợp các số lớn lẫn số nhỏ, áp dụng được trong một tập hợp vô hạn các bài toán, nó chẳng cần phải có những ý chói lọi hiếm hoi mà chỉ đòi hỏi phải nắm vững những điều cơ bản của ngôn ngữ đại số”, sau đó “phiên dịch” bài toán sang ngôn ngữ của các kí hiệu toán học đó là hệ phương trình , với x là số gà, y là số thỏ. Sau đó sách hướng dẫn bạn đọc đến phương pháp lập một “hệ thống phương trình rồi đưa đến một phương trình” để giải một số bài toán (trang 49 - 59). Như vậy, bài toán cổ trên gắn bó chặt chẽ với một phương pháp giải toán dành cho học sinh bậc Trung học cơ sở (THCS), đó là “giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”. Vì nội dung “giải toán bằng cách lập phương trình” đã được một học viên cao học khác nghiên cứu nên chúng tôi chọn nghiên cứu nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”. Với những điều quan sát được ở trên, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát như sau: Q’0: Vì sao bài toán cổ “vừa gà vừa chó” lại được chọn để giới thiệu các bài học mới về “giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”? Q’1: Có sự giao nhau nào giữa “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” và “giải toán bằng cách lập phương trình”? Bản chất của các phương pháp giải toán này là gì? Những ràng buộc nào của các bài toán dẫn đến việc lập hệ phương trình thay vì phương trình? Q’2: Nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa qua các thời kì? Có được thể chế ưu tiên phát triển không? Nó hướng đến mục tiêu dạy học nào? Tồn tại những quan niệm, những quy tắc ứng xử nào của giáo viên và học sinh khi dạy và học nội dung này? Q’3: Nội dung này có tồn tại ở thể chế dạy học các nước khác hay không? Có gì giống và khác nhau với thể chế dạy học Việt Nam? 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, qua đó có cái nhìn toàn cảnh về nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” theo quan điểm Didactic Toán. Vì vậy chúng tôi lựa chọn các công cụ lí thuyết sau đây: - Thuyết nhân học: với thuyết nhân học, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các thể chế, các tài liệu từ đó cho phép tìm ra sự tồn tại cũng như quá trình phát triển của nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”… - Lí thuyết tình huống: với khái niệm Hợp đồng didactic, chúng tôi muốn tìm ra những quy tắc ngầm ẩn trong việc dạy – học nội dung này. 3. Câu hỏi nghiên cứu Từ công cụ lí thuyết đã chọn, chúng tôi viết lại các câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Thế nào là “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”? Có sự giao nhau nào với “giải toán bằng cách lập phương trình”? Những bài toán có ràng buộc như thế nào thì được giải bằng cách lập hệ phương trình? Mục tiêu dạy học nào gắn với “giải toán bằng cách lập hệ phương trình? Q2:“Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” được trình bày như thế nào trong thể chế dạy học? Nó có được thể chế ưu tiên không? Có tồn tại ở thể chế dạy học các nước khác không? Có sự giống nhau hay khác nhau nào so với thể chế Việt Nam? Q3: Tồn tại những quy tắc nào của hợp đồng didactic trong việc dạy và học nội dung này? 4. Phương pháp nghiên cứu Đầu tiên, chúng tôi sẽ tìm hiểu “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” qua các tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán để nắm được nội dung cũng như những vấn đề liên quan. Tiếp đó, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế với nội dung “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”. Chúng tôi sẽ tiến hành trên 2 bộ sách giáo khoa lớp 9 ở Việt Nam: chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 1994 và chương trình cải cách năm 2000 và sách Mathématiques 3è trong bộ Triangle, bộ sách của Pháp dành cho học sinh chương trình song ngữ Pháp - Việt ở Việt Nam. Chúng tôi sẽ tiến hành một so sánh, tìm kiếm sự giống nhau, khác nhau cũng như sự ưu tiên của thể chế dành cho phương pháp giải toán này ở thể chế dạy học Pháp và Việt Nam. Cuối cùng, chúng tôi sẽ tìm hiểu xem học sinh ứng xử như thế nào thông qua hợp đồng dạy học nội dung này bằng một thực nghiệm. Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi được sơ đồ hóa như sau: Nghiên cứu Nghiên cứu quan hệ thể chế khoa học luận (Pháp và Việt Nam) GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM (Hợp đồng didactic) 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 5 phần: Phần mở đầu: gồm những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn. Chương 1: trình bày những nội dung và những vấn đề liên quan của phương pháp “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”. Chương 2: gồm những phân tích thể chế đối với thể chế dạy học Pháp và Việt Nam và những kết luận được rút ra thông qua so sánh 2 thể chế. Chương 3: trình bày thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết được rút ra ở cuối Chương 2. Phần kết luận: tóm lại một số kết quả đạt được từ Chương 1, 2, 3 và những đề xuất, gợi mở cho luận văn. CHƯƠNG 1. TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP “GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH” Mục đích của chương: Chương 1 sẽ trả lời cho câu hỏi Q1: Thế nào là “giải toán bằng cách lập hệ phương trình” (GTHPT)? Có sự giao nhau nào với “giải toán bằng cách lập phương trình” (GTPT)? Những bài toán có ràng buộc như thế nào thì được giải bằng cách lập hệ phương trình? Mục tiêu dạy học nào gắn với GTHPT? Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng tìm hiểu những vấn đề liên quan đến phương pháp GTHPT để có cái nhìn toàn cảnh về nó ở cấp độ phương pháp dạy học. 1.1. Thế nào là “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” là một phương pháp giải toán dành cho học sinh cuối THCS, được bố trí vào học kì 2 của lớp 9. Vì thế nó hầu như vắng mặt trong các giáo trình Toán ở bậc đại học cũng như cao đẳng. Chúng tôi ghi nhận sự có mặt của nó trong các tài liệu sau: [1]: Giáo trình đào tạo giáo viên THCS_hệ Cao đẳng sư phạm. Tài liệu này là một lựa chọn tốt nhất cho chúng tôi theo như tên gọi của nó. [8]: Sáng tạo Toán học, tập 1. Chúng tôi chọn tài liệu này vì tính phổ biến của nó, nhất là [8] dành hẳn 1 chương để nói về GTHPT. Nó cũng là tài liệu tham khảo cho các giáo trình phương pháp khác, chẳng hạn sách [12]. [18]: Chuyện hay Toán học. Tài liệu này tập hợp các vấn đề thú vị của toán học và vấn đề nghiên cứu của chúng tôi có mặt trong đó. [12]: Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông (các tình huống dạy học điển hình). 1.1.1. “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong [1] Trong [1], GTHPT được trình bày trong Chương 6 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ. Nó là “phương pháp chung nhằm giải các bài toán loại tìm tòi, diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường và nội dung của bài toán đề cập đến những vấn đề xung quanh đời sống sinh hoạt, lao động và học tập mà ta gọi các bài toán đó là bài toán thực tế. ” (tr. 111). Trước khi đi vào trình bày cụ thể phương pháp, [1] đã đưa vào bài toán cổ “Vừa gà, vừa chó” như là cách để dẫn dắt vấn đề. Phương pháp chung để giải các bài toán thực tế được [1] trình bày là: - Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có). - Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho. - Lập phương trình (các phương trình). - Giải phương trình (hệ phương trình). - Chọn nghiệm thích hợp, trả lời. (tr. 112 – 113) Các bước này được gọi là “trình tự các bước trong lời giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”. (tr. 112, mục c). Với trình tự này ta thấy không có sự phân biệt giữa GTHPT và GTPT về quy trình thực hiện, chỉ khác nhau ở số phương trình được lập. Vậy đâu là lí do để dẫn đến việc lập hệ phương trình HPT thay vì phương trình PT? Chúng tôi sẽ phân tích vấn đề này ở phần sau. Từ đây, GTHPT được xác định gồm các bước: - Chọn các ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có). - Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho. - Lập các phương trình. - Giải hệ phương trình. - Chọn nghiệm thích hợp, trả lời. Để thực hiện quy trình 5 bước trên, sách [1] đã đưa ra những hướng dẫn cần cho sinh viên bằng mục 2, tr.111 “nghệ thuật lập phương trình”. Nghệ thuật này gồm có việc “đặt ẩn số” và “lập phương trình” được trình bày ở tr.112. • Đặt ẩn số: “Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm. Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái gì (các cái gì) thì ta đặt cái đó (các cái đó) là ẩn (các ẩn)…Cũng có khi ta gặp những bài toán và với cách đặt ẩn như thế mà PT lập nên quá phức tạp và khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn … hoặc chọn thêm ẩn … Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn.” • Lập phương trình: “Sau khi đặt ẩn ta tiến hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số. Để lập được PT (các PT) ứng với bài toán cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng điều kiện của bài toán (quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa biết và cái đã cho). Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, “phiên dịch” mỗi phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng hai cách khác nhau thành một đẳng thức. Như vậy ta sẽ có PT. Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu PT. Cũng có trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến giải PT nghiệm nguyên”. Việc lập PT, sau đó là HPT là bước chính trong GTHPT, và “muốn làm được điều đó trước tiên ta phải nắm vững “ngôn ngữ đại số”, thứ ngôn ngữ không dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu toán học, sau đó ta phải biết ““phiên dịch”” từ ngôn ngữ thông thường sang “ngôn ngữ đại số”.” (tr. 111). Trong “nghệ thuật lập phương trình” trên, chúng tôi ghi chú cụm ““phiên dịch” mỗi phần theo ngôn ngữ đại số”. Không có một chỉ dẫn nào cho từ ““phiên dịch”” trong giáo trình này, tuy nhiên theo nghiên cứu của chúng tôi ở phần sau, có thể hiểu cụm từ này là “viết lại các phần theo ngôn ngữ đại số” hay “viết các biểu thức đại số”. Như thế để lập được PT, cần phải biết viết các biểu thức đại số biểu diễn cho cùng 1 lượng. 1.1.2. “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” trong [8] Một chỉ dẫn cho phép chúng tôi chọn tham khảo [8] là đoạn “khi cậu học sinh trung học giải “bài toán bằng lời” (word problem) nhờ “hệ thống phương trình” 1 thì cậu ta đang đi theo lược đồ Đề-các” (dòng 21, tr. 49). Trong Chương 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỀ-CÁC, “Đề-các muốn nêu ra một phương pháp toàn năng để giải toán. Đây là lược đồ mà Đề-các mong đợi áp dụng được vào mọi dạng bài toán”: “Bước 1: một bài toán bất kì được đưa về một bài toán toán học. Bước 2: một bài toán toán học được đưa về một bài toán đại số. Bước 3: bất kì bài toán đại số nào được đưa về giải một phương trình duy nhất. ” (tr.48) Cũng theo [8], “mặc dầu lược đồ Đề-các không được áp dụng trong mọi trường hợp, thì cũng không loại trừ một điều là nó lại thích hợp trong một số rất lớn các trường hợp, bao gồm cả nhiều trường hợp quan trọng nhất. Ngay cả khi cậu học sinh trung học giải “bài toán bằng lời” nhờ “hệ thống phương trình” thì cậu ta đang đi theo lược đồ Đề-các và sẵn sàng vận dụng nghiêm túc quan niệm toàn năng làm nền tảng cho lược đồ đó”. (tr. 49). Như vậy, GTHPT là trường hợp áp dụng được của lược đồ Đề-các. Để làm rõ hơn cho phương pháp toàn năng của Đề-các, [8] trình bày bài toán nhỏ “Vừa gà, vừa thỏ” 2(tr.49): Một chủ trại nọ, nuôi gà và thỏ, cả thảy 50 con, gồm 140 chân. Hỏi chủ trại có bao nhiêu gà và thỏ? [8] nêu ra 4 cách giải bài toán này (trích từ trang 50 – 53), thể hiện qua bảng sau. 1 2 Trong bản gốc là setting up equations: lập phương trình Tên do chúng tôi đặt. Bảng 1.1 - Các cách giải bài toán “Vừa gà, vừa thỏ”. Nhẩm (xấp xỉ liên tiếp) Thử các đáp án có thể: Số gà lần lượt là: 50 – 0 – 25 – 30 - … tương ứng số thỏ là 0 – 50 – 25 – 20 - … và tính số chân, so với dữ kiện được kết quả là 30 gà, 20 thỏ. “bắt mỗi con gà đứng trên 1 chân và mỗi con thỏ đứng trên 2 Ý chói lọi chân sau”, tức chỉ còn 70 chân. 70 chính là số gia súc mà gà được tính 1 lần và thỏ được tính 2 lần, do đó số thỏ bằng 70 – 50 = 20, số gà là 30. Gọi x là số gà và y là số thỏ thì x, y là nghiệm HPT Bằng đại số  x  y  50  2 x  4 y  140 Thay số gà là h, số chân là f. Gọi x là số gà, y là số chân thì Khái quát hóa  f , đưa đến kết quả y =  h . Đây 2 x  4 y  f 2 x  y  h x, y là nghiệm hệ   chính là kết quả của cách giải “ý chói lọi” trên. Hai cách giải “bằng đại số” và “khái quát hóa” thực ra là như nhau, chỉ khác ở chỗ thay 2 số 50 và 140 bằng hai chữ “h và f”. Từ kết quả của bài toán nhỏ này, [8] nhấn mạnh ưu thế của cách giải đại số so với cách giải trước. Với việc dùng 1 bài toán có thể giải bằng phương pháp số học để giới thiệu về phương pháp đại số ta có thể xem GTHPT đánh dấu 1 bước chuyển trong giải toán, từ số học sang đại số. Và cũng từ ví dụ cho thấy được tính cạnh tranh của cách giải đại số, xem như là cách giới thiệu tốt nhất một phương pháp giải toán. “phương pháp đó áp dụng được cả trong trường hợp số lớn lẫn số nhỏ, áp dụng được trong một tập hợp vô hạn các bài toán, nó chẳng cần phải có những ý chói lọi hiếm hoi mà chỉ đòi hỏi phải nắm vững những điều cơ bản của ngôn ngữ đại số.” (tr. 52). Ở trên ta thấy xuất hiện từ ““phiên dịch”” như ở [1]. Đối với [8], việc “phiên dịch” đôi lúc thật dễ dàng trong các bài toán nhỏ trên nhưng đôi lúc là một công việc khó khăn, trích từ các trang 56 – 59: “Bước 1: Khi đã hiểu rõ bài toán rồi thì trước hết bạn hãy đưa nó về việc tìm những lượng chưa biết nào đó… Ta phải phân biệt thật rõ: - đối tượng phải tìm thuộc loại nào (ẩn hay các ẩn là gì). - cái gì đã cho hoặc đã biết (các dữ kiện là gì). - các ẩn và các dữ kiện liên quan với nhau như thế nào, bằng những quan hệ nào (điều kiện là gì). Bước 2: Giả thiết rằng bài toán đã giải xong, hãy nghiên cứu nó một cách tự nhiên nhất và theo một trình tự thích ứng, hãy cố hình dung thật cụ thể mọi quan hệ, mà theo đó điều kiện cần phải có giữa các ẩn và các dữ kiện. Bước 3: Hãy tách ra một phần điều kiện cho phép biểu diễn cùng một lượng bằng hai phương pháp khác nhau để được một PT ràng buộc các ẩn số. Rút cuộc lại có bao nhiêu ẩn số, bạn phải chia điều kiện ấy thành bấy nhiêu phần để bằng cách ấy đi đến bấy nhiêu PT. Bước 4: hãy đưa hệ thống PT về một PT duy nhất”. Dừng ở bước 3, [8] có đoạn “mục đích đặt ra khá là rõ ràng: ta cần có được một hệ thống gồm n phương trình với n ẩn số…sau khi tính các ẩn số đó, ta phải được lời giải của bài toán” (tr.57). Đến đây, khi n ≥ 2, ta thấy được các bước giải một bài toán bằng cách đưa về 1 HPT và ta có thể xem GTHPT gồm ba bước 1, 2, 3 ở trên. Để lập được PT, [8] nhấn mạnh “ muốn được một phương trình, cần biểu diễn cùng 1 lượng bằng hai phương pháp khác nhau”. Điều này cũng được ghi nhận ở [1]. Qua hai tài liệu trên, mấu chốt của GTHPT là việc lập phương trình. Vậy để làm được điều này cần được trang bị những gì? Ta có thể thấy những hướng dẫn rõ ràng từ 4 bước trên. Đồng thời, chúng tôi ghi nhận thêm những hướng dẫn cho việc “phiên dịch” như sau: 1.1.3. Chỉ dẫn cho việc lập các phương trình trong [18] và [22] Trước hết, chúng tôi đưa ra giải thích cho từ ““phiên dịch”” xuất hiện trong [1] và [8]. Theo [22], “lập phương trình giống như “phiên dịch” (translate) từ một ngôn ngữ này sang một ngôn ngữ khác. Sự so sánh này, được dùng bởi Newton trong Arithmetica Universalis, cho phép làm rõ những khó khăn mà GV và HS gặp phải” 3 (tr. 174, dòng 1 – 4). Như vậy, việc lập PT chính là việc “phiên dịch” và [22] đã “định nghĩa” việc lập PT như sau: “lập PT tức là diễn tả bằng các kí hiệu toán học một điều kiện được cho bằng lời; đó là “phiên dịch” từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ của các công thức toán học”. (tr. 174, dòng 6 – 10) 4 Với “định nghĩa” này thì muốn tạo thuận lợi cho việc lập PT ta phải cho HS có cơ hội thực hành việc “diễn tả bằng các kí hiệu toán học một điều kiện được cho bằng lời”. G. Polya đã so sánh những khó khăn khi lập PT giống như khó khăn khi dịch từ tiếng Anh sang tiếng Pháp mà gặp nhiều thành ngữ. Ngoài việc cố gắng hiểu hết những điều kiện bài toán đặt ra, còn phải biết “tách điều kiện ra thành những phần khác nhau và tự hỏi: liệu có thể viết chúng ra không?” Ở đây ta gặp lại ý của cụm từ ““phiên dịch” mỗi phần theo ngôn ngữ đại số” mà chúng tôi đã ghi chú ở trên. Một lần nữa cho thấy, biết viết các biểu thức đại số là một việc phải được làm trước khi tiến hành lập các phương trình. Từ đây, một vấn đề đặt ra: Trong thể chế dạy học, biểu thức đại số có được giảng dạy và học sinh có được yêu cầu thực hành về chúng trước khi học giải toán bằng cách lập hệ phương trình? Những bài tập về viết biểu thức đại số có đủ để tạo thuận lợi cho việc “phiên dịch” sau này hay không? 3 “Setting up equations is like translation from one language into another. This comparison, used by Newton in his Arithmetica Universalis, may help to clarify the nature of certain difficulties often felt both by students and by teachers” (p.174) 4 “To set up equations means to express in mathematical symbols a condition that is stated in words” (p. 174) Để hướng dẫn cho việc “phiên dịch”, [22] trình bày các ví dụ với các phân tích chi tiết. Một kĩ thuật hỗ trợ được đưa ra, đó là chia trang giấy làm 2 bên. Một bên trình bày những phần điều kiện được cho bằng lời, một bên diễn đạt lại các phần điều kiện đó bằng ngôn ngữ đại số. Chẳng hạn, ví dụ trang 175: Ngoài kĩ thuật chia cột trong [22], chúng tôi còn ghi nhận thêm những hướng dẫn cho việc lập phương trình trong [18]. Trong mục IV-18, trang 371, từ ngôn ngữ đời thường đến ngôn ngữ toán học, những vấn đề liên quan đến việc ““phiên dịch”” được trình bày như sau: “Đến những năm cuối cấp phổ thông cơ sở , chúng ta bắt đầu tiếp xúc với PT. Lập được PT là một việc cũng đau đầu nhức óc lắm, nhiều em thường vò đầu bứt tai khi lập PT. Kì thực, chỉ cần nắm vững những vấn đề then chốt là không còn cảm thấy khó khăn nữa. Đúng như Newton đã nói, vấn đề mấu chốt là làm sao từ ngôn ngữ đời thường dịch sang ngôn ngữ đại số.” Những vấn đề then chốt cần nắm vững ở đây là: Bảng 1. 2 – Những vấn đề then chốt cần nắm vững khi lập phương trình Phương pháp những quan hệ số lượng cơ bản tốc độ * thời gian = quãng đường. đơn giá * số lượng = tổng số tiền.