Tài liệu Nghiệm yếu của phương trình kiểu schrodinger kirchhoff chứa toán tử p laplace phân thứ trên rn

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Thin THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020 Người viết luận văn Nithsavad VONGSY Vasia VAYINGTUVUE Xác nhận của Trưởng khoa Toán Xác nhận của người hướng dẫn khoa học i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thìn. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy! Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Toán và các thầy cô trong tổ Bộ môn Giải tích đã tạo điều kiện cho tôi được làm luận văn, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 86 năm 2020 Nithsavad VONGSY ii Mục lục Mở đầu 1 1 Nghiệm yếu của phương trình kiểu Schrödinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu 4 1.1 Giới thiệu bài toán và một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . 4 1.2 Sự tồn tại nghiệm yếu cho phương trình kiểu SchrödingerKirchhoff không thuần nhất chứa toán tử p-Laplace phân thứ trong RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Nghiệm yếu của phương trình kiểu Schrödinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn và đại lượng Hardy 2.1 29 Phương trình không suy biến kiểu Schrödinger-Kirchhoff dừng chứa toán tử p-Laplace phân thứ và đại lượng Hardy . . . . 2.2 29 Phương trình suy biến kiểu Schrödinger-Kirchhoff dừng chứa toán tử p-Laplace phân thứ và số mũ tới hạn . . . . . . . . 41 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 iii Mở đầu 1. Lý do chọn luận văn Trong thời gian gần đây, các nhà toán học dành sự quan tâm nghiên cứu các toán tử không địa phương loại elliptic và ứng dụng trong toán tối ưu, tài chính, cơ học lượng tử, khoa học vật liệu. Toán tử Laplace thứ là một dạng mở rộng của toán tử Laplace, được định nghĩa thông qua tích phân kỳ dị và cũng cung cấp một mô hình đơn giản để mô tả các quá trình Lévy trong lý thuyết xác suất. Một mở rộng của toán tử Laplace thứ là toán từ p-Laplave phân thứ.Với s ∈ (0, 1) và hàm u ∈ Ln (RN ), n > 2s, khi đó toán tử Laplace thứ (−∆)s u được định nghĩa bởi Z u(x) − u(y) s (−∆) u(x) = C(n, s) lim dy), ε→0 |x − y|n+2s RN \B(x,ε) trong đó C(n, s) = Z 1 , ς = (ς1 , ς 0 ), ς 0 ∈ Rn+1 . Ngoài định 1 − cos ς1 dς |ς|n+2s RN nghĩa trên, toán tử Laplace thứ (−∆)s còn được định nghĩa thông qua phép biến đổi Fourier [26], s- mở rộng điều hòa được giới thiệu bởi CaffarelliSilvestre [12]. Các bài toán dạng Kirchhoff mô tả một số hiện tượng vật lý, cụ thể Kirchhoff nghiên cứu bài toán     L  Z ∂ 2u p0 E  ∂u 2  ∂ 2 u ρ 2 − + dx = 0, ∂t h 2L  ∂x  ∂x2 (1.1) 0 một mở rộng phương truyền sóng D’Alambert, mô tả sự thay đổi độ dài của dây trong quá trình dao động, trong đó ρ, p0 , h, E, L là các hằng số. ZL  2  ∂u  p0 E   dx, Phương trình trên chứa đại lượng không địa phương + h 2L  ∂x  0 1    2  ∂u  RL  ∂u 2 phụ thuộc vào trung bình   dx của động năng   trên [0, L]. Hơn ∂x 0 ∂x nữa các bài toán dạng (1.1) được sử dụng trong nhiều mô hình và hệ sinh học, trong đó u được mô tả như một quá trình. Có nhiều bài toán kiểu Kirchhoff đã được nghiên cứu cho các lớp toán tử khác nhau. Có thể kể đến như   − a + b Z |Ou|2 dx ∆u = h(x, u). Ω Thời gian gần đây, nhiều tác giả nghiên cứu [4, 3, 37] một mở rộng của bài toán trên cho phương trình kiểu Schrödinger trong RN : (−∆)s u + V (x)u = f (x, u) trên RN . Một mở rộng của (−∆)s là toán tử p-Laplace phân thứ (−∆)sp được định nghĩa (sai khác một hằng số) bởi Z |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y)) s dy. (−∆)p u(x) = 2 lim ε→0 |x − y|n+ps RN \B(x,ε) Hiện nay bài toán về sự tồn tại nghiệm của phương trình chứa các toán tử không địa phương loại elliptic (trong đó có toán tử Laplace phân thứ và p-Laplace phân thứ) thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới: Pucci (Đại học Degli Studi di Perugia, Italy), Giovanni (Đại học Mediterranea’ di Reggio Calabria, Italy), Repovš (Đại học Ljubljana, Slovenia), Servadei (Đại học Degli Studi di Urbino ‘Carlo Bo’, Italy), Radulescu (Viện Toán “Simion Stoilow”- Viện hàn lâm khoa học Romanian), Zhang (Đại học Heilongjiang, Trung Quốc), Ambrosio (Đại học DegliStudidiUrbino‘Carlo Bo’, Italy), Wei (Đại học British Columbia, Canada), Fazly (Đại học Alberta, Canada), Cabre (Đại học Politècnica de Catalunya, Tây Ban Nha), Tan (Đại học Técnica Federico Santa María, Chile), Barrios (Đại học Autónoma de Madrid, Tây Ban Nha),. . . . Tiếp tục hướng nghiên cứu này, tôi sẽ nghiên cứu bài toán kiểu SchrödingerKirchhoff cho phương trình p-Laplace phân thứ trong RN có dạng:   ZZ p |u(x) − u(y)|  (−∆)sp u = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|p∗s −2 u. M dx dy |x − y|n+ps R2n 2 Khi M không suy biến, tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán chứa số hạng kỳ dị Hardy sau đây trong RN :   ZZ p |u(x) − u(y)| |u|p−2 u s   M dx dy (−∆)p u − γ |x − y|n+ps |x|ps R2n ∗ = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|ps −2 u. 2. Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng nghiên cứu cơ bản, sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc tế liên quan đến toán tử Laplace thứ. Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu các vấn đề trong luận văn. 3. Mục đích của luận văn Mục đích của luận văn là nghiên cứu nghiệm yếu của một số lớp phương trình Schrödinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ. 4. Nội dung của luận văn Luận văn gồm 2 chương: - Chương 1. Nghiệm yếu của phương trình kiểu Schrödinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu. - Chương 2. Nghiệm yếu của phương trình kiểu Schrödinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn và đại lượng Hardy. 3 Chương 1 Nghiệm yếu của phương trình kiểu Schrödinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu bài toán và một số kết quả bổ trợ Trong chương này chúng ta nghiên cứu phương trình p-Laplace phân thứ kiểu Schrödinger-Kirchhoff như sau
M [u]ps,p (−∆)sp u + V (x) |u|p−2 u = f (x, u) + g(x) trong RN , [u]ps,p ZZ := R2N |u(x) − u(y)|p−2 |x − y|N +ps dxdy, (1.1) (1.2) trong đó, 0 < s < 1 < p < ∞ với ps < N, (−∆)sp là toán tử p-Laplace phân thứ có thể được định nghĩa dọc theo hàm ϕ ∈ C0∞ (RN ) là Z |ϕ(x) − ϕ(y)|p−2 (ϕ(x) − ϕ(y)) s (−∆)p ϕ(x) = 2 lim+ dy ε→0 |x − y|N +ps RN \Bε (x) với x ∈ RN , trong đó Bε (x) := {y ∈ RN : |x − y| < ε, xem [20, 23] và các tài liệu tham khảo trong đó để biết thêm chi tiết về toán tử p-Laplace phân thứ. Hàm g = g(x) có thể được xem như một số hạng nhiễu loạn. Khi p = 2 và M ≡ 1 thì phương trình (1.1) trở thành phương trình 4 Laplace phân thứ (−∆)s u + V (x)u = f (x, u) + g(x) trong RN , có thể coi là dạng phân thứ của phương trình Schrödinger dừng cổ điển sau đây −∆u + V (x)u = f (x, u) + g(x) trong RN . Trong những năm gần đây, các phương trình Kirchhoff thuộc kiểu   Z 2 − a + b |∇u| dx ∆u = h(x, u) trong Ω, (1.3) Ω trong đó Ω ⊂ RN là một miền trơn nhẵn, a > 0, b > 0 và u thỏa mãn một số điều kiện biên nhận được sự quan tâm lớn. Bài toán (1.3) liên quan đến sự tương tự dừng của phương trình Kirchhoff   Z 2 utt − a + b |∇u| dx ∆u = h(x, u), (1.4) Ω được đề xuất bởi Kirchhoff trong năm 1883 như là một mở rộng của phương trình truyền sóng D’Alembert nổi tiếng Z L  2 ! 2 2  ∂u  ∂ u p0 E   dx ∂ u = h(x, u). ρ − + ∂t λ 2L 0  ∂x  ∂x2 Mô hình Kirchhoff có tính đến những thay đổi độ dài của dây được tạo ra bởi các dao động ngang. Ở đây, L là độ dài của dây, h là diện tích của tiết diện ngang, E là môđun Young của vật liệu, ρ là khối lượng riêng và p0 là pha ban đầu. Trong [2], đã chỉ ra bài toán (1.4) trong một vài mô hình vật lý, trong đó u mô tả một quá trình phụ thuộc vào mức trung bình của chính nó. Bài toán không địa phương cũng tìm thấy sự ứng dụng của nó trong các hệ thống sinh học. Một ứng dụng khác của bài toán (1.3) có thể được sử dụng để mô tả sự tăng trưởng và di chuyển của một loài cụ thể. Chuyển động được mô hình hóa bằng số hạng tích phân, được giả định là phụ thuộc năng lượng của toàn bộ hệ thống với u là mật độ tập hợp của nó. Ngoài ra, sự chuyển động của một loài cụ thể có thể phải chịu ảnh hưởng của mật độ dân số trong miền, dẫn đến các phương trình của kiểu R ut − ψ( Ω udx)∆u = h(x, u). 5 Mặt khác, gần đây, một sự chú ý lớn đã được tập trung vào nghiên cứu các toán tử phân thứ và toán tử không địa phương của kiểu elliptic. Kiểu toán tử này phát sinh một cách khá tự nhiên trong nhiều ứng dụng khác nhau, chẳng hạn như cơ học liên tục, hiện tượng chuyển pha, động lực tập hợp, mặt cực tiểu và lý thuyết trò chơi, được xem là kết quả điển hình của các quá trình Lévy [3]. Trong bối cảnh cơ học lượng tử phân thứ, phương trình Schrödinger phân thứ phi tuyến đã được Laskin [28] đề xuất như kết quả của việc mở rộng tích phân đường Feynman, từ quá trình Brownian sang Lévy như các đường cơ học lượng tử. Trong những năm qua, đã có rất nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phương trình Schrödinger phân thứ (−∆)s u + V (x)u = f (x, u) trong RN , trong đó phi tuyến f thỏa mãn một số điều kiện tổng quát [16, 21]. Trong [18], Fiscella và Valdinoci đã đề xuất một mô hình biến thiên Kirchhoff trong các miền bị chặn của RN , trong đó có tính đến dạng không địa phương của lực căng phát sinh từ các phép đo không địa phương của độ dài phân thứ của dây. Trong [29] Nyamoradi đã nghiên cứu một số lớp phương trình không địa phương Kirchhoff trong một miền bị chặn Ω và đạt được ba nghiệm bằng cách sử dụng ba định lý điểm tới hạn. Puuci và Saldi [34] đã thiết lập sự tồn tại các nghiệm không tầm thường cho một vấn đề giá trị riêng kiểu Kirchhoff trong RN bao gồm đại lượng phi tuyến tới hạn và Laplace phân thứ. Đầu tiên chúng ta đưa ra các giả thiết về hàm Kirchhoff M. (M1 ) M ∈ C(R+ M (t) > a > 0, trong đó a > 0 là hằng 0 ) thỏa mãn inf t∈R+ 0 số. Rt (M2 ) tồn tại θ ∈ [1, N/(N − sp)) sao cho θM (t) = θ 0 M (τ )dτ > M (t)t với mọi t ∈ R+ 0. Một ví dụ điển hình của M được đưa ra bởi M (t) = a + btm với m > 0, a > 0, b > 0 với mọi t > 0. Khi M thuộc kiểu này, bài toán (1.1) được cho là không suy biến nếu a > 0 và b > 0, trong khi nó được gọi là suy biến nếu a = 0 và b > 0. Lưu ý rằng trong [18, 29, 34], trong quá trình xét sự tồn tại của các nghiệm cho các vấn đề phân thứ kiểu Kirchhoff, những tác 6 giả giả định rằng M là một hàm tăng trên R+ 0 . Tuy nhiên, ở đây, chúng ta giả sử M thỏa mãn (M2 ). Giả thiết dưới (M2 ), chúng ta cũng có thể phân phối các trường hợp trong đó M không đơn điệu như M (t) = (1 + t)k + (1 + t)−1 cho t ∈ R+ 0 , với 0 < k < 1. Ở đây, 0 < k + 1 và (M2 ) được thỏa mãn, với điều kiện k ∈ (0, 1) là nhỏ bé θ = k + 1 < N/(N − sp). Sau đó, trên hàm thế vị V, chúng ta giả thiết (V1 ) V ∈ C(RN ) thỏa mãn inf x∈RN V (x) > V0 > 0, trong đó V0 > 0 là một hằng số. (V2 ) tồn tại h > 0 sao cho lim|y|→∞ meas ({x ∈ Bh (y) : V(x) ≤ c}) = 0 với mọi c > 0, Như đã lưu ý BR (x) ký hiệu là hình cầu mở của RN tâm x và bán kính R > 0, ta viết BR thay cho BR (0). Điều kiện (V2 ), yếu hơn so với tính cưỡng chế như giả thiết: V (x) → ∞ là |x| → ∞, ban đầu dược Bartsch và Wang giới thiệu trong [9] để khắc phục sự thiếu của tính compact của phép nhúng. Trong [9], các điều kiện (V1 ) và (V2 ) đã được sử dụng để nghiên cứu sự tồn tại và tính nhiều nghiệm của các phương trình Schrödinger phi tuyến tính. Ta giả sử f thỏa mãn một số điều kiện sau: (f1 ) f : RN × R → R là hàm Carathéodory và tồn tại q, với θp < q < p∗s , a1 > 0 sao cho |f (x, t)| ≤ a1 (1 + |t|q−1 ) với mỗi x ∈ RN và với mọi t ∈ R, Rt (f2 ) Tồn tại µ > θp sao cho µF (x, t) = µ 0 f (x, τ )dτ ≤ f (x, t)t với mọi x ∈ RN và với mọi t ∈ R, (f3 ) (x, t) = o(|t|p−1 ) là t → 0, đều cho x ∈ RN , (f4 ) inf x∈RN ,|t|=1 F (x, t) > 0. Trước khi đi vào nghiên cứu kết quả chính, chúng ta nhắc lại một số ký hiệu được sử dụng trong phần này. Định nghĩa 1.1.1. Không gian Sobolev phân thứ W s,p (RN ) được xác định bởi  W s,p (RN ) = u ∈ Lp (RN ) : [u]s,p < ∞ , 7 trong đó [u]s,p ký hiệu chuẩn Galiarlo được cho trong (1.2), nghĩa là !1/p ZZ p |u(x) − u(y)| , dxdy [u]s,p = N +ps R2N |x − y| và W s,p (RN ) được trang bị chuẩn  1/p p p kukW s,p (RN ) = kukLp (RN ) + [u]s,p .

Như đã biết, W s,p RN = (W s,p RN , k·kW s,p (RN ) ) là không gian Banach lồi đều. Định nghĩa 1.1.2. Gọi W là bao đóng của C0∞ (RN ), với chuẩn Z  1/p p p p kukW = [u]s,p + [u]p,V , kukp,V = V (x) |u(x)|p dx. (1.5) RN Hiển nhiên W cũng là không gian Banach lồi đều. Định nghĩa 1.1.3. Phần tử u ∈ W được gọi là một nghiệm (yếu) của bài toán (1.1) nếu M ([u]ps,p ) |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y))(ϕ(x) − ϕ(y)) ZZ |x − y|N +ps R2N dxdy Z + Z = V (x) |u(x)|p−2 u(x)ϕ(x)dx RN Z f (x, u)ϕ(x)dx + g(x)ϕ(x)dx RN RN với mọi ϕ ∈ W. Trước hết,tôi phát biểu và chứng minh một số tính chất cơ bản của không gian Sobolev phân thứ sẽ được sử dụng trong luận văn. Cho 0 < s < 1 < p < ∞ là số thực, với sp < N, p∗s số mũ tới hạn Sobolev thứ xác định bởi p∗s = N p/(N − sp). Khi đó, phép nhúng W s,p (RN ) ,→ Lν (RN ) là liên tục với mọi ν ∈ [p, p∗s ] theo Định lý 6.7 trong [14]. Bổ đề 1.1.4. Giả sử (V1 ) được thỏa mãn. Nếu ν ∈ [p, p∗s ] thì phép nhúng W ,→ W s,p (RN ) ,→ Lν (RN ) là liên tục, ta có min{1, V0 } kukpW s,p (RN ) ≤ kukpW với mọi u ∈ W. Đặc biệt, tồn tại hằng số Cν > 0 sao cho kukLν (RN ) ≤ Cν kukW với mọi u ∈ W. 8 (1.6) Nếu ν ∈ [1, p∗s ) thì phép nhúng W ,→,→ Lν (BR ) là compact với mọi R > 0. Chứng minh. Rõ ràng các phép nhúng W ,→ W s,p (RN ) ,→ Lν (RN ) là liên tục và bất đẳng thức min{1, V0 } kukpW s,p (RN ) ≤ kukpW đúng với mọi u ∈ W. Điều này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa của k·kW và (V1 ). Do đó, (1.6) đúng. Cố định R > 0 và lưu ý rằng kukpLp (BR ) + !1/p p |u(x) − u(y)| ZZ |x − y|N +ps BR ×BR dxdy là một chuẩn trên W s,p (BR ) và phép nhúng W ,→ W s,p (BR ) là liên tục. Theo [14, Hệ quả 7.2], phép nhúng W s,p (BR ) ,→,→ Lν (BR ) là compact. Do đó, ta có phép nhúng W ,→,→ Lν (BR ) là compact theo phần đầu tiền của bổ đề. Định lý 1.1.5. Giả sử (V1 ) − (V2 ) được thỏa mãn. Cho ν ∈ [p, p∗s ) và giả sử {vj }j là dãy con bị chặn trong W. Khi đó tồn tại v ∈ W ∩ Lν (RN ) sao cho với mọi j ta đều có vj → v mạnh trong Lν (RN ) khi j → ∞. Chứng minh. Cố định c > 0 và đặt Ac (y) := {x ∈ RN : V (x) ≤ c} ∩ Bh (y), trong đó h > 0 là số độc lập của c được cho bởi (V2 ). Đầu tiên chúng ta xét trường hợp ν = p. Vì {vj }j là một dãy bị chặn trong W với mọi j, tồn tại hằng số dương C và v ∈ W sao cho vj * v yếu trong W và kvj kW + kvkW ≤ C. Hơn nữa, theo Bổ đề 1.1.4 ta có kvj kLp∗s (RN ) ≤ Cp∗s C. Theo định lý nhúng trên miền bị chặn, vj → Zv mạnh trong Lp (BR ) với mỗi |vj (x) − v(x)|p dx, đầu R > 0, xem [14, Hệ quả 7.2]. Để uớc lượng RN \BR ∞ [ tiên chúng ta chọn {yj }j ⊂ RN sao cho RN = Bh (yi ) và mỗi x ∈ RN i=1 được bị phủ nhiều nhất bởi 2 N hình cầu như vậy. Đặt Ch (yi ) := {x ∈ RN : V (x) > c} ∩ Bh (yi ), ta có Z |vj (x) − v(x)|p dx ≤ RN \BR = Z ∞ X |vj (x) − v(x)|p dx |yi |≥R−h Bh (yi ) Z ∞ X |yi |≥R−h 9 Ch (yi ) |vj (x) − v(x)|p dx  |vj (x) − v(x)|p dx . Z + Ac (yi ) Khi đó Z 1 |vj (x) − v(x)| dx ≤ c Ch (yi ) Z p Z V (x) |vj (x) − v(x)|p dx, Bh (yi ) |vj (x) − v(x)|p dx ≤ k|vj − v|p k L Ah (yi ) ≤ kvj − p∗ s p k1k p∗ s ∗ −p p s L (A (Ac (yi )) c (yi )) ∗ ∗ p vkLp∗s (A (y )) (meas(Ac (yi )))(p0 −p)/ps . c i Do đó, từ (p∗s − p)/p∗s = sp/N, Z |vj (x) − v(x)|p dx ≤ X 1 Z V (x) |vj (x) − v(x)|p dx c Bh (yi ) |yi |≥R−h  p sp/N + sup (meas(Ac (yi ))) kvj − vkLp∗s (B (y )) RN \B R h |yi |>R−h i X 1 Z V (x) |vj (x) − v(x)|p dx c Bh (yi ) ≤ |yi |≥R−h + Cpp∗s 2N ≤ c + sp/N sup (meas(Ac (yi ))) kvj − |yi |>R−h Z vkpW s,p (Bh (yi ))  V (x) |vj (x) − v(x)|p dx RN \BR−2h 2N Cpp∗s sup (meas(Ac (yi )))sp/N |yi |>R−h kvj − vkpW s,p (RN \BR−2h ) 2N +p C p ≤ + 2N +p sup (meas(Ac (yi )))sp/N (Cp∗s C)p . c |yi |>R−h Bây giờ, chúng ta chọn c > 0 đủ lớn để 4 · 2N +p C p < ε · c. Với mỗi c cố định, tồn tại Rc > 0 sao cho 2N +p ε sup (meas(Ac (yi )))sp/N (Cp∗s C)p < , 4 |yi |>Rc −h vì sup (meas(Ac (yi )))sp/N → 0 khi R → ∞. |yi |>R−h Với mỗi Rc , Z |vj (x) − v(x)|p dx → 0 khi j → ∞. BRc 10 Do đó, vj → v mạnh trong Lp (RN ). Với p < ν < p∗s , tồn tại σ ∈ (0, 1) sao cho σ 1−σ 1 ∗ = + và kvj − vkνL (RN ) ≤ kvj − vkσLv (RN ) kvj − vk1−σ Lps (RN ) → 0 ∗ ν p ps ∗ khi j → ∞, vì {vj }j bị chặn trong Lps (RN ). Suy ra điều phải chứng minh. Để chứng minh sự tồn tại của các nghiệm đối xứng cầu của phương trình (1.24), chúng ta cần định lý nhúng sau đây của Lions trong [35]. Định lý 1.1.6. [35] Giả sử N ≥ 2. Khi đó, với mỗi p < α < p∗s , phép nhúng Wrs,p (RN ) ,→,→ Lα (RN ), là compact, trong đó Wrs,p (RN ) = {u ∈ W s,p (RN ) : u(x) = u(|x|) với mọi x ∈ RN }. Đặc biệt, tồn tại hằng số Cν > 0 sao cho với bất kỳ p ≤ ν ≤ p∗s kukLν (RN ) ≤ Cν kukW s,p (RN ) với mọi u ∈ W s,p (RN ). (1.7) Sau đây là Định lý Vượt núi được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu của các bài toán trong luận văn này. Định lý 1.1.7. [36] Cho X là một không gian Banach thực và I ∈ C 1 (X, R) thỏa mãn điều kiện Palais-Smale. Giả sử I(0) = 0 và (a) Tồn tại hai số hằng α0 , β0 > 0 sao cho I(u) ≥ α0 với mọi kuk = β0 . (b) Tồn tại u1 ∈ X : ku1 k ≥ β0 sao cho I(u1 ) ≤ 0. Khi đó I nhận ít nhất một giá trị tới hạn c ≥ α0 . Hơn nữa, c có thể đặc trưng bởi c = inf max I(γ(t)), γ∈Γ t∈[0,1] trong đó Γ = {γ ∈ C([0, 1], X) : γ(0) = 0, y(1) = u1 }. 11 1.2 Sự tồn tại nghiệm yếu cho phương trình kiểu SchrödingerKirchhoff không thuần nhất chứa toán tử p-Laplace phân thứ trong RN Với u ∈ W, đặt I(u) = J(u) − H(u), trong đó Z  1 p p J(u) = M ([u]s,p ) + kukp,V , H(u) = F (x, u)dx. p RN Rõ ràng, hàm năng lượng I : W → R liên kết với bài toán (1.1) hoàn toàn xác định trên W. Bổ đề 1.2.1. Giả sử (M1 ) và (V1 ) được thỏa mãn. Khi đó J : W → R thuộc lớp C 1 (W ) và 0 hJ (u), vi = M [u]ps,p
ZZ |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y))(v(x) − v(y)) |x − y|N +ps R2N dxdy (1.8) Z + V (x) |u(x)|p−2 u(x)v(x)dx, R2N với mọi u, v ∈ W. Hơn nữa, J là nửa liên tục dưới yếu trong W. Chứng minh. Ta đặt p0 = p/(p − 1) là số mũ Hölder liên hợp của p. Dễ thấy rằng J là hàm khả vi Gâteaux trong W và (1.8) đúng với mọi u, v ∈ W. Bây giờ, giả sử {un }n ⊂ W và u ∈ W thỏa mãn un → u mạnh trong W khi n → ∞. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử un → u hầu khắp nơi trong RN . Khi đó dãy ) ( p−2 |un (x) − un (y)| (un (x) − un (y)) (N +ps)/p0 |x − y| 0 bị chặn trong Lp (R2N ), n và hầu khắp nơi trong R2N Un (x, y) := |un (x) − un (y)|p−2 (un (x) − un (y)) 0 |x − y|(N +ps)/p |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y) −→ Un (x, y) := . 0 |x − y|(N +ps)/p 12 Do đó, theo bổ đề Brezis-Lieb (xem [8]) ta có ZZ 0 lim |Un (x, y) − U(x, y)|p dxdy n→∞ R2N |un (x) − un (y)|p ZZ = lim n→∞ |x − y|N +ps R2N − |u(x) − u(y)|p (1.9) ! |x − y|N +ps dx dy. Vì un → u mạnh trong W nên ! ZZ |un (x) − un (y)|p |u(x) − u(y)|p lim − =0 n→∞ |x − y|N +ps |x − y|N +ps R2N Hơn nữa, do tính liên tục của M nên

lim M [un ]ps,p = M [u]ps,p . n→∞ (1.10) Từ (1.9) suy ra ZZ 0 |Un (x, y) − Un (x, y)|p dxdy = 0. lim n→∞ (1.11) R2N Tương tự Z lim n→∞ RN  p0   p−2 p−2 V (x) |un (x)| un (x) − |u(x)| u(x) dx = 0. (1.12) Kết hợp (1.10)-(1.12) với bất đẳng thức Hölder, ta có kJ 0 (un ) − J 0 (u)kW 0 = sup |hJ 0 (un ) − J 0 (u), ϕi| → 0 ϕ∈W,kϕkW =1 khi n → ∞. Do đó, J ∈ C 1 (W, R). Cuối cùng, chú ý rằng ánh xạ v 7→ [v]ps,p là nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu của W s,p (RN ) và M không giảm, liên
p tục trên R+ , vì thế v → 7 M [u] s,p nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu của 0 W s,p (RN ). Thật vậy, chúng ta xét hàm ψ : W s,p (RN ) → R như sau: ZZ ψ(v) = |v(x) − v(y)|p |x − y|−N −sp dxdy. R2N Dễ thấy ψ ∈ C 1 (W s,p (RN )) và ψ là một hàm lồi trong W s,p (RN ). Theo Hệ quả 3.8 trong [10], ta có ψ(v) ≤ lim inf n→∞ ψ(vn ). Do đó, dễ dàng thấy rằng J là nửa liên tục dưới yếu trong W (xem [39, Bổ đề 3.3]). 13 Bổ đề 1.2.2. Giả sử (V1 ) − (V2 ), (f1 ) và (f3 ) được thỏa mãn. Khi đó, hàm H thuộc lớp C 1 (W ) và với mỗi u ∈ W cố định ta có Z 0 hH (u), vi = f (x, u(x))v(x)dx với mọi v ∈ W, RN và H 0 (u) ∈ W 0 . Hơn nữa, nếu vn * v yếu trong W thì hH 0 (u), vn i hội tụ đếnhH 0 (u), vi khi n → ∞ và hàm H liên tục yếu trong W. Chứng minh. Hàm H là khả vi Gâteaux trong W. Khi đó, ta chỉ cần chứng minh H liên tục yếu trong W và lớp C 1 (W ). Trước hết, cố định (un )n ⊂ W và u ∈ W sao cho un * u trong W khi n → ∞. Khi đó, theo Định lý 1.1.5, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử un → u mạnh trong La (RN ) với p ≤ a < p∗s và hầu khắp nơi trong RN . Từ (f1 ) và (f3 ) suy ra tồn tại hai hằng số dương C1 , C2 sao cho |f (x, t)| ≤ C1 |t|p−1 + C2 |t|q−1 với hầu hết x ∈ RN và mọi t ∈ R. (1.13) Xét không gian Banach Lp (RN ) ∩ Lq (RN ) và Lp (RN ) + Lq (RN ), xác định bởi n o kukp∧q = max kukp , kukq , n o p N q N kukp∨q = inf ku1 kp + ku2 kq : u1 ∈ L (R ), u2 ∈ L (R ), u = u1 + u2 , tương ứng. Khi đó, theo (1.13) và Định lý A.4 trong [38] khi n → ∞ 0 0 f (x, un ) → f (x, u) trong Lp (RN ) + Lq (RN ), vì un → u trong Lp (RN ) ∩ Lq (RN ). Tiếp theo, giả sử v ∈ W và kvkW ≤ 1. Khi đó v ∈ Lp (RN ) ∩ Lq (RN ) và tồn tại hằng số dương L sao cho kvkp∧q ≤ L. Do đó, theo bất đẳng thức Hölder ta có 0 0 |hH (un ), vi − hH (u), vi| ≤ Z |f (x, un ) − f (x, u)| · |v| dx RN ≤ kf (x, un ) − f (x, u)kp0 ∨q0 kvkp∧q ≤ L kf (x, un ) − f (x, u)kp0 ∨q0 . Vì vậy khi n → ∞ thì kH 0 (un ) − H 0 (u)kW 0 ≤ L kf (x, un ) − f (x, u)kp0 ∨q0 → 0 14 nên H thuộc lớp C 1 (W ). Để chứng minh H liên tục yếu trong W ta cần lưu ý rằng |F (x, t)| ≤ c1 |t|p + c2 |t|q với hầu hết x ∈ RN và với mọi t ∈ R theo (1.13), trong đó c1 = C1 /p và c2 = C2 /q. Suy ra un → u trong Lp (RN ) ∩ Lq (RN ) và hầu khắp nơi trong RN . Khi đó tồn tại h ∈ L1 (RN ) sao cho với hầu hết x ∈ RN ta đều có |F (x, un )| ≤ h và F (x, un (x)) → F (x, u(x)) hầu khắp nơi trong RN . Do đó, theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có Z Z lim F (x, un )dx = F (x, u)dx. n→∞ RN RN Ngoài ra, theo bất đẳng thức Hölder ta có Z Z lim g(x)un dx = n→∞ RN g(x)dx. RN Vậy, H liên tục yếu trong W. Kết hợp Bổ đề 1.2.1 với Bổ đề 1.2.2 ta suy ra I ∈ C 1 (W ) và I là nửa liên tục yếu trong W. Để chứng minh Định lý 1.2.7, ta cần ra một số kết quả sau. Bổ đề 1.2.3. Giả sử (M1 ), (V1 ), (f1 ) và (f3 ) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hằng số ρ0 , α0 , δ0 > 0 sao cho I(u) ≥ α0 với mọi u ∈ W, với kukW = ρ0 0 và với mọi g ∈ Lp (RN ), kgkLp0 (RN ) ≤ δ0 . Chứng minh. Điều kiện (f3 ) suy ra với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho |f (x, t)| ≤ pε |t|p−1 với mọi x ∈ RN và |t| ≤ δ. Theo (f1 ), với hầu hết x ∈ RN và |t| ≥ δ, ta có  a1  q−1 |f (x, t)| ≤ a1 + p−1 |t| . δ 15