Tài liệu Nghiệm yếu của hệ phương trình p laplace phân thứ trên miền bị chặn với số mũ tới hạn

„I HÅC THI NGUY–N .. TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M Nguy¹n Thà B¼nh NGHI›M Y˜U CÕA H› PH×ÌNG TRœNH P-LAPLACE PH…N THÙ TR–N MI—N BÀ CHN VÎI SÈ MÔ TÎI H„N. LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2020 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M Nguy¹n Thà B¼nh NGHI›M Y˜U CÕA H› PH×ÌNG TRœNH P-LAPLACE PH…N THÙ TR–N MI—N BÀ CHN VÎI SÈ MÔ TÎI H„N. Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i T½ch M¢ sè: 8460102 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Nguy¹n V«n Th¼n Th¡i Nguy¶n - N«m 2020 i Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l  trung thüc v  khæng tròng lªp vîi · t i kh¡c. Nguçn t i li»u sû döng cho vi»c ho n th nh luªn v«n l  nguçn t i li»u mð. C¡c thæng tin, t i li»u trong luªn v«n n y ¢ ÷ñc ghi rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2020 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà B¼nh X¡c nhªn cõa khoa chuy¶n mæn x¡c nhªn cõa ng÷íi h÷îng d¨n TS. Nguy¹n V«n Th¼n ii Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Nguy¹n V«n Th¼n. Th¦y ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gi£i ¡p nhúng th­c m­c, gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y. Mët l¦n núa tæi xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c nh§t ¸n th¦y! çng thíi, tæi xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban Chõ Nhi»m khoa To¡n v  c¡c th¦y cæ trong tê Bë mæn Gi£i t½ch ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ÷ñc l m luªn v«n, ¢ quan t¥m v  æn èc tæi trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Luªn v«n l  s£n ph©m cõa · t i Nghi»m y¸u cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng chùa to¡n tû p-Laplace thù v  to¡n tû Bessel vîi m¢ sè B2020-TNA-06. Tæi xin c£m ìn sü hé trñ v· kinh ph½ tø · t i gâp ph¦n ho n thi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2020 Nguy¹n Thà B¼nh iii Möc löc Líi cam oan Líi c£m ìn Mð ¦u 1 Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-Laplace ph¥n thù vîi ¤i l÷ñng phi tuy¸n êi d§u 1.1 Giîi thi»u v· b i to¡n v  mët sè k¸t qu£ phö trñ . . . . . . . . 1.2 H» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-Laplace ph¥n thù vîi ¤i l÷ñng phi tuy¸n êi d§u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 i ii 1 3 3 20 Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-Laplace ph¥n thù chùa sè mô tîi h¤n v  ¤i l÷ñng lçi 22 2.1 Giîi thi»u v· b i to¡n v  mët sè k¸t qu£ phö trñ . . . . . . . . . 2.2 H» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-Laplace ph¥n thù chùa sè mô tîi h¤n v  ¤i l÷ñng lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¸t luªn T i li»u tham kh£o 22 51 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 Mð ¦u 1. Lþ do chån luªn v«n Hi»n nay, c¡c nh  to¡n håc ¢ d nh sü quan t¥m v o nghi¶n cùu c¡c to¡n tû khæng àa ph÷ìng lo¤i elliptic (bao gçm lo¤i to¡n tû laplace ph¥n thù (−∆)s ) trong c£ nghi¶n cùu to¡n håc thu¦n tóy v  to¡n håc ùng döng. Nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh p-laplace kh¡ quan trång trong nhi·u ng nh khoa håc nh÷ c¡c ng nh i»n tø tr÷íng, thi¶n v«n håc, cì ch§t läng,... Trong bèi c£nh àa ph÷ìng c¡c nh  to¡n håc ¢ nghi¶n cùu h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-laplace m  h m phi tuy¸n câ ë t«ng tîi h¤n thæng qua a t¤p Nahari. Mët mð rëng cõa (−∆)s l  to¡n tû p-Laplace ph¥n thù (−∆)sp u (x) Z = 2 lim →0 Rn \B (0) (−∆)sp , ÷ñc ành ngh¾a bði: |u (x) − u (y)|p−2 (u (x) − u (y)) dy, x ∈ Rn . n+ps |x − y| to¡n tû n y v  mð rëng cõa nâ ÷ñc nghi¶n cùu bði mët sè t¡c gi£ tr¶n th¸ giîi trong thíi gian g¦n ¥y. C¡c b i to¡n d¤ng Kirchhoff mæ t£ mët sè hi»n t÷ñng vªt lþ. Kirchhoff [13] ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh:  ZL  2  ∂u  ∂ u  p0 E ∂ 2u    ρ 2 − + dx =0 ∂t h 2L  ∂x  ∂x2 2  0 mët mð rëng cõa ph÷ìng truy·n sâng D' Alambert, mæ t£ sü thay êi ë d i cõa ρ, p0 , h, E, L l  c¡c h¬ng sè. Ph÷ìng RL  ∂u 2 p0 E   dx, phö thuëc v o ph÷ìng h + 2L ∂x d¥y trong qu¡ tr¼nh rung ëng, trong â tr¼nh tr¶n chùa ¤i l÷ñng khæng àa 0   RL  ∂u 2   dx cõa ëng n«ng  ∂u 2 trung b¼nh 0 (1.1) ∂x ∂x tr¶n [0, L]. Hìn núa c¡c b i to¡n d¤ng ÷ñc sû döng trong nhi·u mæ h¼nh vªt lþ v  h» sinh håc, trong â u ÷ñc mæ t£ nh÷ mët qu¡ tr¼nh. Câ nhi·u b i to¡n kiºu Kirchhoff ¢ ÷ñc nghi¶n cùu cho c¡c lîp to¡n tû kh¡c nhau. Thíi gian g¦n ¥y, b i to¡n Kirchhoff ¢ ÷ñc 2 nghi¶n cùu cho to¡n tû Laplace ph¥n thù, p-Laplace ph¥n thù trong [2], [3], [8], tr¶n mi·n bà ch°n vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet hay Neumann. V· h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-Laplace công nghi¶n cùu ÷ñc bði nhi·u t¡c gi£ b¬ng nhi·u c¡ch kh¡c nhau nh÷ ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n, a t¤p Nehari [1], [11], [13], [14]. Vîi mong muèn ti¸p töc h÷îng nghi¶n cùu tr¶n, chóng tæi chån · t i Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh p-Laplace ph¥n thù tr¶n mi·n bà ch°n vîi sè mô tîi h¤n l m luªn v«n cao håc. 2. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Luªn v«n sû döng ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu cì b£n. 3. Möc ½ch cõa luªn v«n Möc ½ch cõa luªn v«n l  nghi¶n cùu nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-laplace ph¥n thù tr¶n mi·n bà ch°n vîi sè mô tîi h¤n khi ¤i l÷ñng phi tuy¸n êi d§u. Ngo i ra, chóng tæi công t¼m hiºu v· nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-laplace ph¥n thù vîi sè mô tîi h¤n v  ¤i l÷ñng lçi. 4. Nëi dung cõa luªn v«n Luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: - Ch÷ìng 1. Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-Laplace ph¥n thù vîi ¤i l÷ñng phi tuy¸n èi d§u . - Ch÷ìng 2. Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-Laplace ph¥n thù chùa sè mô tîi h¤n v  ¤i l÷ñng lçi. 3 Ch÷ìng 1 Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh chùa to¡n tû p-Laplace ph¥n thù vîi ¤i l÷ñng phi tuy¸n êi d§u 1.1 Giîi thi»u v· b i to¡n v  mët sè k¸t qu£ phö trñ Trong ph¦n n y chóng tæi nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  nghi»m bëi cho h» ph÷ìng tr¼nh sau:  !  p R  |u(x)−u(y)|  (−∆)sp u (x) M  n+ps dxdy  |x−y|  2n     2α   |u|α−2 u|v|β = λf (x) |u|q−2 u + α+β   ! p R (Pλ,µ ) |v(x)−v(y)| s M (−∆)  n+ps dxdy p v (x)  |x−y|  2n     2β   = µg (x) |v|q−2 v + α+β |u|α |v|β−2 v     u = v = 0 trong Rn \Ω trong â (−∆)sp (−∆)sp u (x) f, g Ω , trong Ω l  c¡c to¡n tû p-Laplace ph¥n thù ÷ñc ành ngh¾a bði: Z = 2 lim →0 Rn \B (0) |u (x) − u (y)|p−2 (u (x) − u (y)) dy, x ∈ Rn , n+ps |x − y| M (t) = a + bt, a, b > o, p ≥ 2, 1 < q < p, 2p < r ≤ p∗s , ps < n < 2ps s ∈ (0, 1) , λ, µ l  c¡c sè thüc, Ω ∈ Rn l  mi·n giîi h¤n vîi giîi h¤n trìn v  trong â vîi trong thäa m¢n c¡c gi£ ành sau: 4 α+β (f1 ) f, g ∈ Lγ (Ω) vîi γ = α+β−q ; (f2 ) f + (x) = max {f (x) , 0} 6= 0 trong Ω v  g + (x) = max {g (x) , 0} = 6 0 Ω (f v  g câ thº êi d§u tr¶n Ω). trong Trong ch÷ìng n y chóng tæi chùng minh sü tçn t¤i cõa nghi»m bëi khæng ¥m èi vîi h» ph÷ìng tr¼nh kiºu Kirchhoff lo¤i elliptic vîi to¡n tû p-ph¥n thù v  ¤i l÷ñng phi tuy¸n êi d§u b¬ng c¡ch nghi¶n cùu c¡c thuëc t½nh cõa a t¤p Nehari èi vîi tham sè λ X = {u|u : Rn → R l  Trong â v  µ. 1 < p < ∞, Cho o ÷ñc, u|Ω Q = R2n \ (CΩ × CΩ) ta x²t khæng gian ∈ Lp (Ω) , u (x) − u (y) |x − y| CΩ = Rn \Ω. v  ! n p +s ∈ Lp (Q)} Khi â, X l  khæng gian ành chu©n, vîi chu©n x¡c ành bði:  p1   ||u||X = ||u||Lp (Ω) + |u(x) − u(y)|p  dxdy  . n+ps |x − y| Z (1.1) Q l  mët khæng gian Banach ph£n x¤. Ta kþ hi»u X0 = {h ∈ X : h = 0 trong Rn \ Ω} . Khæng gian X0 l  mët khæng gian Banach vîi chu©n ÷ñc x¡c ành bði ||u||X0   p1 Z p  |u(x) − u(y)|  = dxdy  . n+ps |x − y| (1.2) Q L÷u þ r¬ng trong ph÷ìng tr¼nh (1.1) v  (1.2), c¡c t½ch ph¥n câ thº ÷ñc mð rëng ¸n (Pλ,µ ) R2n , tø u=0 trong Rn \Ω. chóng ta x²t khæng gian t½ch B¥y gií º t¼m ra c¡c nghi»m cõa b i to¡n E := X0 × X0 k(u, v)k = kukpX0 + kvkpX0 H m n«ng l÷ñng cõa b i to¡n (Pλ,µ ) vîi chu©n x¡c ành bði
p1 . ÷ñc x¡c ành bði:
1
1c c kvkp Jλ,µ (u, v) = M kukpX0 + M X0 p p   Z Z Z 1 2 q q − λ f (x)|u| dx + µ g(x)|v| dx − |u|α |v|β dx, q α+β Ω trong â c (t) = M Rt 0 M (s) ds Ω l  nguy¶n h m cõa M. Ω 5 ành ngh¾a 1.1.1. C°p h m (u, v) ∈ E ÷ñc gåi l  nghi»m y¸u cõa (Pλ,µ ) n¸u |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y))(ϕ(x) − ϕ(y)) dxdy |x − y|n+ps R2n Z |v(x) − v(y)|p−2 (v(x) − v(y))(ψ(x) − ψ(y)) p
+ M kvkX0 dxdy |x − y|n+ps R2n Z Z q−2 = λ f (x) |u| uϕ (x) dx+µ g (x) |v|q−2 vψ (x) dx M (||u||pX0 ) Z Ω Ω 2α + α+β Z α−2 |u| 2β u|v| ϕ (x) dx + α+β β Ω vîi måi Z |u|α |v|β−2 vψ (x) dx Ω (ϕ, ψ) ∈ E. Nλ,µ li¶n k¸t vîi b i to¡n (Pλ,µ ) ÷ñc ành ngh¾a n D 0 E o Nλ,µ = (u, v) ∈ E\ {0} : Jλ,µ (u, v) , (u, v) = 0 , a t¤p Nehari bði: h, i l  t½ch èi ng¨u giúa E v  khæng gian èi ng¨u. °t    p−q  p p p 2 <Γ . SΓ = (λ, µ) ∈ R \ {(0, 0)} : (|λ| kf kγ ) p−q + (|µ| kgkγ ) p−q trong â Ti¸p theo chóng ta nghi¶n cùu b£n ch§t cõa a t¤p Nehari t÷ìng ùng vîi b i to¡n (Pλ,µ ). Trong tr÷íng hñp α + β ≥ 2p h m sè Jλ,µ khæng bà ch°n d÷îi Chóng ta s³ ch¿ ra r¬ng nâ bà ch°n tr¶n mët tªp con th½ch hñp tr¶n tiºu Jλ,µ b i to¡n Nλ,µ , (u, v) ∈ Nλ,µ khi v  ch¿ khi Z p
p p
p M kukX0 kukX0 + M kvkX0 kvkX0 − λ f (x) |u|q dx (Pλ,µ ). Theo ành ngh¾a cõa −µ Z g(x)|v|q dx − 2 Ω Z |u|α |v|β dx = 0. Ω B¥y gií ta x¡c ành φ(u,v) : R+ → R, ¢ bi¸t nh÷ ¡nh x¤ thî φ(u,v) (t) = Jλ,µ (tu, tv) Cho v  cüc ¤t ÷ñc tr¶n c¡c tªp con n y, chóng ta nhªn ÷ñc c¡c nghi»m cho Ω . E E. (u, v) ∈ E , ta câ: 6
1
1c p c tp kvkp φ(u,v) (t) = M t kukpX0 + M X0 p p   Z Z tq − λ f (x) |u|q dx + µ g (x) |v|q dx q Ω Ω α+β Z 2t β |u|α |v| dx, − α+β Ω

φ0(u,v) (1) =M kukpX0 kukpX0 + M kvkpX0 kvkpX0 Z Z Z q q − λ f (x) |u| dx − µ g (x) |v| dx − 2 |u|α |v|β dx, Ω 00 φ(u,v) (1) = (p − 1) a Ω kukpX0 + Ω
kvkpX0 + (2p − 1) b  kuk2p X0  − (q − 1) λ Z q f (x) |u| dx + µ Ω − 2 (α − β − 1) (1.3) Z +  kvk2p X0  g (x)|v|q dx (1.4) Ω Z |u|α |v|β dx. Ω Tø (1.3), (u, v) ∈ Nλ,µ khi v  ch¿ khi φ(u,v) (1) = 0. Do â ta chia Nλ,µ th nh ba ph¦n t÷ìng ùng: cüc tiºu àa ph÷ìng, cüc ¤i àa ph÷ìng v  iºm uèn. Ta °t + Nλ,µ − Nλ,µ 0 Nλ,µ n := (u, v) ∈ Nλ,µ n := (u, v) ∈ Nλ,µ n := (u, v) ∈ Nλ,µ o : φ(u,v) (1) > 0 , o 00 : φ(u,v) (1) < 0 , o 00 : φ(u,v) (1) = 0 . 00 0 Bê · 1.1.2. N¸u (u, v) l  cüc tiºu cõa Jλ,µ tr¶n Nλ,µ sao cho (u, v) ∈/ Nλ,µ th¼ (u, v) l  iºm tîi h¤n cõa Jλ,µ. Trong bê · ti¸p theo chóng ta ch¿ ra r¬ng lüa chån cõa (λ, µ). Nλ,µ l  mët a t¤p th½ch hñp cho °t ||(u, v)||p R p . ( Ω |u|α |v|β dx) α+β p−q    α+β−p a(α+β−p) a(p−q) Γ1 := S q (α+β−q) 2(α+β−q)S α+β , chóng ta S = inf (u,v)∈E K½ hi»u câ bê · sau 7 0 Bê · 1.1.3. Cho (λ, µ) ∈ SΓ , khi â Nλ,µ = φ. 1 Chùng minh. Ta chùng minh bê · n y b¬ng c¡ch ph£n chùng. Gi£ sû ng÷ñc l¤i 0 (u, v) ∈ Nλ,µ . Sau ¥y ta x²t hai tr÷íng hñp: 0 Tr÷íng hñp 1. (u, v) ∈ Nλ,µ v  R R λ f (x) |u|q dx + µ g (x) |v|q dx = 0. Tø (1.3) Ω Ω v  (1.4) ta câ (p − 1) a  kuk0X0 kvk0X0   kuk2p X0 + (2p − 1) b Z − 2 (α + β − 1) |u|α |v|β dx + + kvk2p X0  Ω   2p = (p − α − β) a kukpX0 + kvkpX + (2p − α − β) b kuk2p + kvk X0 X0
<0. M¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Tr÷íng hñp 2. (u, v) ∈ Nλ,µ v  λ q Ω f (x)|u| dx + µ R R Ω g(x)|v| q dx 6= 0. Tø (1.3) v  (1.4) ta câ  
2p + kvk (p − q) a kukpX + kvkpX + (2p − q) b kuk2p X0 X0 Z = 2 (α + β − q) |u|α |v|β dx (1.5) Ω v  kukpX0 (α + β − p) a +
kvkpX0 + (α + β − 2p) b Z q f (x) |u| dx + µ Ω X²t h m kuk2p X0   = (α + β − q) λ  Eλ,µ : Nλ,µ → R Z g (x) |v|q dx . + kvk2p X0  . (1.6) Ω x¡c ành bði:  α + β − 2p  α+β−p p p
2p 2p a kukX0 + kvkX0 + b kukX0 + kvkX0 Eλ,µ (u, v) = αZ +β−q α + β − 1 Z f (x) |u|q dx − µ −λ Ω Tø (1.6), ta câ Eλ,µ (u, v) = 0 g (x) |v|q dx. Ω vîi måi 0 (u, v) ∈ Nλ,µ (Ω). Nh÷ vªy, ta ÷ñc: 8  Z α+β−p p p
Eλ,µ (u, v) ≥ a kukX0 + kvkX0 − λ f (x) |u|q dx α+β−q Ω Z − µ g (x) |v|q dx   Ω
α+β−p a kukpX0 + kvkpX0 ≥ α+β−q  p−q  q p−q p p p p
p q p−q p kukX0 + kvkX0 − S (|λ| kf kγ ) + (|µ| kgkγ )  
q
p−q α+β−p ≥ kukpX0 + kvkpX0 p a kukpX0 + kvkpX0 p α+β−q    p−q p p−q p −S q (|λ| kf kγ ) p−q + (|µ| kgkγ ) p . Tø (1.5), ta câ kukpX0 + kvkpX0 ≥  a(p − q) 2(α + β − q)S α+β p  α+β−p . (1.7) p döng (1.7), ta ÷ñc Eλ,µ (u, v) ≥ kukpX0 q +
kvkpX0 p  a(α + β − p) α+β−q  p−q  α+β−p a(p − q) 2(α + β − q)S α+β    p−q p p p −S q (|λ| kf kγ ) p−q + (|µ| kgkγ ) p−q .  i·u n y cho th§y r¬ng (λ, µ) ∈ SΓ1 , Eλ,µ (u, v) > 0 vîi måi (væ lþ). Kþ hi»u: θλ,µ := inf {Jλ,µ (u, v) \ (u, v) ∈ Nλ,µ } , n o ± ± θλ,µ := inf Jλ,µ (u, v) \ (u, v) ∈ Nλ,µ . Khi â, ta câ k¸t qu£ sau: Bê · 1.1.4. Jλ,µ l  c÷ïng ch¸ v  bà ch°n d÷îi tr¶n Nλ,µ. 0 (u, v) ∈ Nλ,µ (Ω) 9 Chùng minh. Cho (u, v) ∈ Nλ,µ sû döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ 
1 1 − a kukpX0 + kvkpX0 Jλ,µ = p α+β     1 1 2p − b kuk2p + + kvk X0 X0 2p α + β     Z Z 1 1 λ f (x) |u|q dx + µ g (x) |v|q dx − − q α+β Ω Ω  
1 1 ≥ − a kukpX0 + kvkpX0 p α+β     1 1 2p 2p − b kukX0 + kvkX0 + 2p α + β p−q    p  p  p−q  p−q  p q 1 1 p p
p + |µ| kgkγ − − |λ| kf kγ kukX0 + kvkX0 . q α+β  Jλ,µ l  c÷ïng ch¸ v  bà ch°n d÷îi tr¶n Nλ,µ v¼ α + β > 2p. Gi£ sû: ( 1 p−q α+β−q )  α+β−q   α+β−p   α+β−p p−q p−q aα+β−q − Γ2 := . α+β−q α+β−q 2p−q S (α+β)(p−q) R R λ f (x) |u|q dx + µ g (x) |v|q dx > 0. ¦u ti¶n ta ành ngh¾a Do â Tr÷íng hñp 1. ψ(u,v) : R+ → R Ω Ω nh÷ sau: p−q ψ(u,v) (t) = at kukpX0 −2t +
kvkpX0 α+β−q Z 2p−q + bt   2p 2p kukX0 + kvkX0 |u|α |v|β dx. Ω Th§y r¬ng (tu, tv) ∈ Nλ,µ khi v  ch¿ khi Z ψ(u,v) (t) = λ q f (x) |u| dx + µ Ω Z g (x) |v|q dx Ω v¼
0 ψ(u,v) (t) = a(p − q)tp−q−1 kukpX0 + kvkpX0   2p 2p 2p−q−1 + b(2p − q)t kukX0 + kvkX0 Z − 2 (α + β − q) tα+β−q−1 |u|α |v|β dx. (1.8) Ω Rã r ng ψ(u,v) (t) → −∞ khi t → ∞. Tø (1.8) câ thº d¹ d ng th§y ÷ñc 0 lim+ ψ(u,v) (t) > 0 t→0 v  0 lim ψ(u,v) (t) < 0. t→∞ V¼ 10 t∗ = t∗ (u, v) > 0 0 ψ(u,v) (t∗ ) = 0. X²t vªy tçn t¤i duy nh§t tr¶n (t∗ ; ∞) v  sao cho ψ(u,v) (t) t«ng tr¶n (0; t∗ ), ψ(u,v) (t∗ )  gi£m    p p
2p p α+β 2p  = t−q at kuk + kvk kuk2p ∗ ∗ X0 X0 + bt∗ X0 + kvkX0 − t∗ Z |u|α |v|β dx , Ω trong â t∗ l  nghi»m cõa a (p − q) tp∗ kukpX0 + Z − (α + β − q) tα+β ∗
kvkpX0 + b (2p − q) t2p ∗  kuk2p X0 + kvk2p X0  (1.9) |u|α |v|β dx = 0. Ω Tø (1.9), ta câ 1  α+β−q  p p  a (p − q) kukX0 + kvkX0  t∗ ≥  R  2 (α + β − q) |u|α |v|β dx
:= T0 . (1.10) Ω Dòng b§t ¯ng thùc (1.10), ta câ thº t¼m ÷ñc h¬ng sè C = C (p, q, α, β) > 0, sao cho ψ(u,v) (t∗ ) ≥ ψ(u,v) (T0 ) ≥ aT0p−q kukpX0 + kvkpX0 − T0α+β−q
Z |u|α |v|β dx Ω ≥ C kukpX0 + kvkpX0 Do â, n¸u t∗ ,
pq  aα+β−q 2p−q S (α+β)(p−q) 1  α+β−p > 0. (λ, µ) ∈ SΓ0 , tçn t¤i duy nh§t t+ = t+ (u, v) < t∗ v  t− = t− (u, v) > sao cho ψ(u,v) t +
Z =
(λf (x) |u|q + µg (x) |v|q ) dx =ψ(u,v) t− . Ω (t+ u, t+ v), (t− u, t− v) ∈ Nλ,µ . + 0 + 0 − + + T÷ìng tü nh÷ tr÷íng hñp ψ(u,v) (t ) > 0 v  ψ(u,v) (t ) < 0, ta câ (t u, t v) ∈ Nλ,µ − − − v  (t u, t v) ∈ Nλ,µ . Ta th§y r¬ng Z Z q 0 q φ(u,v) (t) = t (ψ(u,v) (t) − λ f (x)|u| dx − µ g(x)|v|q dx). Do â, Ω Ω 11 φ0(u,v) (t) < 0 vîi måi t ∈ [0, t+ ) v  φ0(u,v) (t) > 0 vîi måi t ∈ (t+ , t− ). V¼ + − th¸ Jλ,µ (t u, t v) = min0≤t≤t− Jλ,µ (tu, tv). 0 0 + − Tø ψ(u,v) (t ) > 0 v  ψ(u,v) (t ) < 0, ta câ:
Jλ,µ t− u, t− v = maxt≥t∗ Jλ,µ (tu, tv) R R . λ f (x) |u|q dx+µ g (x) |v|q dx < 0. Ta nhªn th§y r¬ng Khi â Tr÷íng hñp 2. Ω Ω ψ(u,v) (t) → −∞ Do â, vîi måi (λ, µ) ∈ R2 tçn t¤i − (t∗ u, t∗ v) ∈ Nλ,µ v  t∗ > 0 khi t → ∞. sao cho: Jλ,µ (t∗ u, t∗ v) = maxt≥0 Jλ,µ (tu, tv) . V¼ vªy, tø chùng minh tr¶n ta câ nhúng bê · sau: Bê · 1.1.5. (i) N¸u λ R f (x) |u|q dx + µ R g (x) |v|q dx > 0, tçn t¤i duy nh§t Ω t∗ = t∗ (u, v) > 0 Ω v  duy nh§t t+ (u, v) < t∗ < t− (u, v) sao cho:

+ − t+ u, t+ v ∈ Nλ,µ , t− u, t− v ∈ Nλ,µ v 

Jλ,µ t+ u, t+ v = min− Jλ,µ (tu, tv) , Jλ,µ t− u, t− v = maxt≥t∗ Jλ,µ (tu, tv) . 0≤t≤t (ii) N¸u λ R Ω R f (x) |u|q dx + µ g (x) |v|q dx < 0, Ω tçn t¤i duy nh§t t∗ > 0 sao cho: v  Jλ,µ (t∗u, t∗v) = maxt≥0Jλ,µ (tu, tv) . Bê · 1.1.6. Tçn t¤i mët h¬ng sè C > 0 thäa m¢n − (t∗ u, t∗ v) ∈ Nλ,µ + θλ,µ ≤− (p − q)(α + β − p) aC < 0. (α + β) Chùng minh. Cho (ue, ve) ∈ E thäa m¢n Z λ q e| dx+µ f (x) |u Ω Khi â theo Bê · 1.1.5, tçn t¤i Z g (x) |ve|q dx > 0. Ω   e e e, tu e >0 tu sao cho   + e e e, tve ∈ Nλ,µ tu . V¼ vªy 12 p     1 1   p e + e e, e Jλ,µ e − a e tu tu tve = tve X0 X0 p q     1 1 e 2p e 2p e + tve − b tu + X X0 2p q  Z  0    1 1 e α e β e tve dx − + tu q α+β Ω v    p  p−q e p e + e a tu tve X0 X0 α+β−q     2p − q e 2p e 2p e + tve b tu . + X0 X0 α+β−q  Z  α  β e  e  e tve dx ≤ tu Ω Do â trong â  p    p (p − q) (α + β − p) e, e e + e tu tve ≤ − Jλ,µ e a e tu tve X0 X0 (α + β) pq   (2p − q) (α + β − 2p) e 2p e 2p e + tve − b tu X0 X0 2 (α + β) pq (p − q) (α + β − p) aC, ≤− (α + β) pq  p  e p (p−q)(α+β−p) + e + e C = tu aC. tve . Ngh¾a l  θλ,µ ≤ − (α+β)pq X0 X0 Bê · 1.1.7. Cho (u, v) ∈ Nλ,µ v  (λ, µ) ∈ SΓ , tçn t¤i  > 0 v  mët h m kh¡c 0 ξ : B (0, ) ⊆ E → R sao cho ξ (0) = 1, h m sè ξ (w1 , w2 ) (u − w1 , v − w2 ) ∈ Nλ,µ v  hξ 0 (0), (w1 , w2 )i = N , D trong â N = p (akukp + a + b) hu, w1 i + p (akvkp + a + b) hv, w2 i Z Z q−2 − qλ f |u| uw1 dx − qµ g|v|q−2 vw2 dx Ω − 2α Z Ω α−2 |u| β u|v| w1 dx−2β Z |u|α |v|β−2 vw2 dx, 13
D = (α + β − p) a kukpX0 + kvkpX0   2p 2p + (α + β − 2p) b kukX0 + kvkX0   Z Z − (α + β − q) λ f |u|q dx + µ g|v|q dx , Ω hu, vi = Z Ω |u (x) − u (y)|p−2 (u (x) − u (y)) (v (x) − v (y)) |x − y|−n−ps dxdy R2n vîi måi (u, v) ∈ E. Chùng minh. Cè ành (w1, w2) ∈ Nλ,µ, ành ngh¾a F(W ,W ) : R × E → R, 1 2 F (w1 ,w2 ) (t, (u, v)) ukpX0 p
vkpX0 2p  uk2p X0 = t a kw1 − + kw2 − + t b kw1 − + kw2 −   Z Z − tq λ f (x)|w1 − u|q dx + µ g (x) |w2 − v|q dx − 2tα+β Ω Z vk2p X0  Ω |w1 − u|α |w2 − v|β dx. Ω Khi â F(w1 ,w2 ) (1, (0, 0)) = 0, hay ∂ F(w1 ,w2 ) (1, (0, 0)) 6= 0 ∂t 0 Nλ,µ = φ. Sû döng ành lþ cõa h m ©n, ta thu ÷ñc k¸t qu£ c¦n chùng minh. M»nh · 1.1.8. °t Γ0 = min {Γ1, Γ2}, v  cho (λ, µ) ∈ SΓ tçn t¤i mët d¢y 0 cüc tiºu {(uk , vk )} ⊂ Nλ,µ thäa m¢n: Jλ,µ (uk , vk ) = θλ,µ + ok (1) v  Jλ,µ (uk , vk ) = ok (1) . Bê · 1.1.9. Måi d¢y Palais-Smale cõa Jλ,µ ·u chùa mët d¢y con hëi tö. â l , n¸u {(uk , vk )} ⊂ E thäa m¢n: Jλ,µ (uk , vk ) = c + ok (1) ; 0 Jλ,µ (uk , vk ) = ok (1) trong E . (1.11) 14 Khi â {(uk , vk )} chùa d¢y con hëi tö. Chùng minh. Cho d¢y {(uk , vk )} thäa m¢n (1.11). {(uk , vk )} bà ch°n trong E . V¼ vªy, ta chùng minh (uk , vk ) → (u0 , v0 ) y¸u trong E , uk → u0 , vk → v0 t«ng γ ∗ trong L (Ω) , 1 ≤ γ < ps v  (uk , vk ) → (u0 , v0 ) câ iºm trong Ω. q ∗ V¼ ph²p nhóng X0 ,→ L (Ω) l  Compact vîi måi 1 ≤ q < ps v  b§t ¯ng D¹ d ng chùng minh ÷ñc thùc l |a − b| ≤ 2 cho a, b ∈ Rn , l ≥ 2 vîi l−2 M (s) ≥ a  l−2 |a| l−2 a − |b|  b (a − b) ta ÷ñc: k(uk − u0 , vk − v0 )k E → 0 khi k → ∞. Bê · 1.1.10. Cho d¢y {(uj , vj )} ∈ E thäa m¢n:  Jλ,µ (uj , vj ) → c < v  α + β − 2p p (α + β)  n/ p (aC) ps p−q − CCλµ S (n−ps)/ps 0 Jλ,µ (uj , vj ) → 0 Trong â C l  mët h¬ng sè d÷ìng phö thuëc v o p v  q, khi â câ tçn t¤i mët d¢y con cõa {(uj , vj )} hëi tö m¤nh trong E . Chùng minh. Bði (1.11), {(uj , vj )} bà ch°n trong E , v  do â tçn t¤i d¢y con {(uj , vj )} hëi tö y¸u v· (u, v) trong E , uj → u0 , vj → v0 m¤nh trong Lq 1 ≤ q < qs∗ v  nli¶n töc tøng iºm o tîi (u, v) h¦u nh÷ kh­p nìi trong Ω. Hìn núa: kuj kX0 , kvj kX0 hëi tö ¸n (a0 , b0 ). vîi måi V¼ M li¶n töc, M  kuj kpX0  +M  kvj kpX0  → M (ap0 ) + M (bp0 ) . Ti¸p theo ta chùng minh:  kuj kpX0 , kuj kpX0  → kukpX0 , kukpX0
hay j → +∞ Mët khi ÷ñc chùng minh, ta câ thº ¡p döng Bê · Brezis-Lieb [5], v  thu 15 ÷ñc (uj , vj ) (u, v) m¤nh trong E . Tø τ v  υ trong Rn th£o m¢n: hëi tö v· t¤i 2 ë o d÷ìng |(−∆)sp uj |p dx + |(−∆)sp vj |p dx * τ [8], ta câ thº gi£ sû r¬ng tçn v  |uj |α |vj |β * υ (1.12) theo ngh¾a cõa ë o.Ngo i ra, ta câ tªp hñp J ¸m ÷ñc, h¬ng sè d÷ìng v  {τj }j∈J {υj }j∈J thäa m¢n: υ = |u|α |v|β dx + X υi δxi v   p i∈J  p X   s  s  τ ≥ (−∆)p u dx + (−∆)p v  dx + τi δxi , υi ≤ Sτi p∗s /p (1.13) . i∈J Möc ti¶u cõa chóng ta l  chùng minh J l  réng. Gi£ sû, ng÷ñc l¤i tçn t¤i
i , x ∈ Rn v  φ ∈ C0∞ (Rn , [0, 1]) sao i ∈ J . Vîi méi xi , k½ hi»u φiδ (x) = φ x−x δ  i
n φδ uj , φiδ vj bà ch°n cho φ = 1 trong B (0, 1) v  φ = 0 trong R \B (0, 2). Tø
i i 0 trong E , ta câ Jλ,µ (uj , vj ) φδ uj , φδ vj → 0 khi j → +∞. Do â:  Z p M kuj kX0 uj (x) |uj (x) R2n p−2
− uj (y)| (uj (x) − uj (y)) φiδ (x) − φiδ (y) |x − y|−n−ps dxdy  Z p + M kvj kX0 vj (x) |(vj (x) − vj (y))|p−2 (vj (x) − vj (y)) φiδ (x) R2n −n−ps − φiδ (y)) |x − y| dxdy     Z φi (y) |u (x) − u (y)|p j j p p δ = − M kuj kX0 − M kv k j X0 |x − y|n+ps R2n Z i Z φδ (y) |uj (x) − uj (y)|p dxdy + λ f |uj (x)|q φiδ (x) dx n+ps |x − y| Ω R2n Z + µ g|vj (x)|q φiδ (x) dx ZΩ +2 (1.14) |uj (x)|α |vj (x)|β φiδ (x) dx + oj (1). Ω khi j → ∞. Theo b§t ¯ng thùc Holder {(uj , vj )} bà ch°n trong X0 , ta ÷ñc: