Tài liệu Nghiệm yếu của bài toán biên dirichlet chứa toán tử laplace phân thứ

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN TẤN NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHỨA TOÁN TỬ LAPLACE PHÂN THỨ Ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THÌN THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ" là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Văn Thìn. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Ngoài ra, trong luận văn tôi còn sử dụng một số kết quả, nhận xét của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Nguyễn Văn Tấn Xác nhận Xác nhận của khoa chuyên môn của người hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Thìn i Lời cảm ơn Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập tốt trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Nguyễn Văn Thìn đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài luận văn tốt nghiệp này. Đồng thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô trong Khoa Toán, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Nguyễn Văn Tấn ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Lời mở đầu 1 1 Không gian Sobolev thứ 3 1.1 Biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm . . . 3 1.2 Không gian Sobolev thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Tính chất phép nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Không gian Sobolev H s (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Toán tử Laplace phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Hằng số C(n, s): Một vài tính chất . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier . . . 17 2 Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ 2.1 20 Nghiệm Mountain pass cho bài toán biên Dirichlet chứa toán Laplace phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 20 Sự tồn tại nhiều nghiệm cho bài toán Laplace phân thứ với độ tăng tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 iii Lời mở đầu Trong thời gian gần đây, các nhà toán học dành sự quan tâm vào nghiên cứu các toán tử không địa phương loại elliptic (bao gồm toán tử Laplacian phân thứ) trong cả nghiên cứu toán học thuần túy và toán ứng dụng trong thế giới thực. Các lớp toán tử này phát sinh khá tự nhiên trong nhiều bối cảnh khác nhau như: Tối ưu hóa, toán tài chính, mặt cực tiểu, định luận bảo toàn, cơ học lượng tử, khoa học vật liệu, sóng nước, phản ứng hóa học của chất lỏng, động lực học dân số, động lực học về chất lỏng địa vật lý. Toán tử Laplacian phân thứ (fractional Laplacian) cũng cung cấp một mô hình đơn giản để mô tả các quá trình Lévy trong lý thuyết xác suất. Toán tử Laplace phân thứ là một dạng mở rộng của toán tử Laplace, được định nghĩa thông qua tích phân kỳ dị như sau: Với s ∈ (0, 1) và u ∈ L2 (R)n , n > 2s hàm khi đó toán tử Laplace phân thứ (−∆)s u được định nghĩa bởi Z u(x) − u(y) s dy, (−∆) u(x) = C(n, s) |x − y|n+2s Rn \B(x,ε) trong đó Z C(n, s) = 1/ 1 − cos ζ1 dζ, ζ = (ζ1 , ζ 0 ), ζ 0 ∈ Rn−1 . n+2s |ζ| Rn Khi u là hàm trơn vô hạn với giá compact, ta có lim(∆)s u = −∆u. Hơn s→1 nữa, ta có s −(−∆) u(x) = C(n, s) lim Z ε→0 Rn \B(x,ε) u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) dy, x ∈ Rn . n+2s |y| Ngoài định nghĩa trên, toán tử Laplace phân thứ (−∆)s còn được định nghĩa thông qua phép biến đổi Fourier [6], s-mở rộng điều hòa được giới thiệu bởi 1 Caffarelli-Silvestre [3]. Như vậy khái niệm toán tử Laplace phân thứ là một khái niệm toán học giàu cách tiếp cận. Do đó, các bài toán nghiên cứu về toán tử Laplace phân thứ đã nhận được sự quan tâm lớn của các nhà toán học trên thế giới trong thời gian gần đây. Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet cho toán tử Laplace phân thứ có dạng    (−∆)s u = f (x, u) trong Ω   u = 0 trong Rn \Ω, trong đó Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Hàm phi tuyến có độ tăng dưới ∗ 2n đại lượng tới hạn Sobolev hoặc chứa số hạng |u|2s −2 u trong đó 2∗s = n − 2s là số mũ tới hạn Sobolev. Trong trường hợp bài toán chứa số mũ tới hạn, ∗ khó khăn gặp phải là phép nhúng X0 → L2s (Ω) liên tục, không compact. 2 Chương 1 Không gian Sobolev thứ 1.1 Biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm Xét không gian Schwartz S các hàm C ∞ (Rn ) tăng chậm có tôpô xác định bởi {pj }j∈N : X pj (ϕ) := sup (1 + |x|)j x∈Rn |Dα ϕ(x)|, |α|≤j trong đó ϕ ∈ S(Rn ). Nghĩa là, S chứa các hàm ϕ thỏa mãn   sup xα Dβ ϕ(x) < +∞, với mọi α, β ∈ Nn0 . x∈Rn Tôpô lồi địa phương tự nhiên trên S có tính chất: dãy {ϕ}i∈N hội tụ đến 0 trong S nếu và chỉ nếu lim xα Dβ ϕj (x) = 0 với mọi α, β ∈ Nn0 . j→+∞ Ta định nghĩa 1 Fϕ(x) := (2π)n/2 Z e−iξ·x ϕ(ξ)dξ, Rn là biến đổi Fourier của hàm ϕ ∈ S và biến đổi Fourier ngược xác định bởi Z 1 −1 F ϕ(x) := eix·ξ· ϕ(ξ)dξ, (1.1) n/2 (2π) Rn 3 cả hai đều là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(Rn ) vào chính nó. Hơn nữa, vì F−1 Fϕ = FF−1 ϕ = ϕ, là một phép đẳng cấu và phép đồng phôi của S(Rn ) lên S(Rn ). Đặt S0 là tôpô đối ngẫu của S. Nếu T ∈ S0 , thì hFT, ϕi := hT, Fϕi , ∀ϕ ∈ S, trong đó h., .i là tích đối ngẫu thông thường giữa S và S0 . Ta có u ∈ L2 (Rn ) nếu và chỉ nếu Fu ∈ L2 (Rn ) (1.2) kukL2 (Rn ) = kFukL2 (Rn ) , ∀u ∈ L2 (Rn ). (1.3) và Công thức (1.3) gọi là công thức Paranchval-Plancherel. 1.2 Không gian Sobolev thứ Giả sử Ω là tập không trơn, mở trong không gian Euclid Rn và p ∈ [1, +∞). Cho s > 0 bất kỳ chúng ta định nghĩa không gian Sobolev thứ W s,p (Ω) như sau. Nếu s ≥ 1 là số nguyên dương, thì W s,p (Ω) là không gian Sobolev cổ điển với chuẩn kukW s,p (Ω) := X kDα ukLp (Ω) , ∀u ∈ W s,p (Ω), 0≤|α|≤s ở đây và về sau ta hiểu k.kLp (Ω) là chuẩn thông thường trong Lp (Ω), và Dα là α-đạo hàm riêng. Phần này tập trung vào không gian Sobolev thứ với s∈ / N. Nếu s ∈ (0, 1) cố định, không gian Sobolev W s,p (Ω) được định nghĩa: ) ( |u(x) − u(y)| ∈ Lp (Ω × Ω) . W s,p (Ω) := u ∈ Lp (Ω) : n/p+s |x − y| 4 Nó được trang bị chuẩn Z Z p kukW s,p (Ω) := |u(x)| dx + |u(x) − u(y)|p n+sp dxdy Ω×Ω |x − y| Ω 1/p , (1.4) trong đó |u(x) − u(y)|p n+sp dxdy Ω×Ω |x − y| Z [u]W s,p (Ω) := 1/p (1.5) là nửa chuẩn Gagliardo của u. Nếu s > 1 và s ∈ / N, ta có s = m + σ , trong đó m ∈ N và σ ∈ (0, 1). Chúng ta có định nghĩa W s,p (Ω) như sau: W s,p (Ω) := {u ∈ W m,p (Ω) : Dα u ∈ W σ,p (Ω) với bất kì α sao cho |α| = m}. Và được trang bị chuẩn  1/p kukW s,p (Ω) := kukpW m,p (Ω) + X kDα ukpW σ,p (Ω)  , ∀u ∈ W s,p (Ω). |α|=m Do đó, không gian W s,p (Ω) được xác định và là không gian Banach với mọi s > 0 và k.kW s,p (Rn ) C0∞ (Rn ) = W s,p (Rn ); nghĩa là, không gian C0∞ (Rn ) trù mật trong W s,p (Rn ). Nếu Ω ⊂ Rn thì không gian C0∞ (Ω) không trù mật trong W s,p (Ω). Do đó, W0s,p (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) đối với chuẩn k.kW s,p (Ω) ; tức là k.kW s,p (Ω) W0s,p (Ω) := C0∞ (Ω) ; Ta có thể xây dựng W s,p (Ω) khi s < 0. Thật vậy, với s < 0 và p ∈ (0, +∞), ta định nghĩa W s,p (Ω) := (W0−s,q (Ω))0 ; nghĩa là, W s,p (Ω) là không gian đối ngẫu của W0−s,q (Ω), trong đó 1/p + 1/q = 1. 5 1.2.1 Tính chất phép nhúng Một số kết quả cơ bản của phép nhúng được phát biểu như sau: Mệnh đề 1.2.1. Giả sử p ∈ [1, +∞) và tập mở Ω trong Rn . Khi đó, các khẳng định sau là đúng: 0 (a) Nếu 0 < s ≤ s0 < 1, thì phép nhúng W s ,p (Ω) ,→ W s,p (Ω) là liên tục. Do đó, tồn tại hằng số C1 (n, s, p) ≥ 1 sao cho 0 kukW s,p (Ω) ≤ C1 (n, s, p)kukW s0 ,p (Ω) , ∀u ∈ W s ,p (Ω). (b) Nếu 0 < s < 1 và Ω là lớp C 0,1 và biên ∂Ω bị chặn, thì phép nhúng W 1,p (Ω) ,→ W s,p (Ω) là liên tục. Do đó, tồn tại hằng số C2 (n, s, p) ≥ 1 sao cho kukW s,p (Ω) ≤ C2 (n, s, p)kukW 1,p (Ω) , ∀u ∈ W 1,p (Ω). 0 (c) Nếu s0 ≥ s > 1 và Ω là lớp C 0,1 , thì phép nhúng W s ,p (Ω) ,→ W s,p (Ω) là liên tục. Định nghĩa 1.2.2. Với mọi s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞), tập mở Ω ⊂ Rn là miền mở rộng cho W s,p nếu tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s, Ω) sao cho với mọi hàm u ∈ W s,p (Ω), tồn tại Eu ∈ W s,p (Rn ) sao cho Eu (x) = u(x), kEu kW s,p (Rn ) ≤ CkukW s,p (Ω) , ∀x ∈ Ω. Lưu ý mọi tập mở của lớp C 0,1 với biên bị chặn là miền mở rộng cho W s,p (Rn ). Định lý 1.2.3. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp < n. Khi đó, tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s) sao cho Z |u(x) − u(y)|p p kukLp∗s (Rn ) ≤ dxdy, ∀u ∈ W s,p (Rn ), n+ps |x − y| Rn ×Rn 6 pn là số mũ tới hạn phân thứ. Vì vậy, không gian n − sp W s,p (Rn ) được nhúng liên tục trong Lq (Rn ) với mọi q ∈ [p, p∗s ]. Hơn nữa, trong đó p∗s := phép nhúng W s,p (Rn ) ,→ Lqloc (Rn ) là compact với mọi q ∈ [p, p∗s ). Trong miền mở rộng, kết quả sau vẫn đúng. Định lý 1.2.4. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp < n. Giả sử Ω ⊂ Rn là miền mở rộng cho W s,p . Khi đó, tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s, Ω) sao cho kukLq (Ω) := CkukW s,p (Ω) , ∀u ∈ W s,p (Ω), ∀q ∈ [p, p∗s ], nghĩa là, không gian W s,p (Ω) được nhúng liên tục trong Lq (Ω) với mọi q ∈ [p, p∗s ]. Ngoài ra, nếu Ω bị chặn thì không gian W s,p (Ω) được nhúng compact trong Lq (Ω) với mọi q ∈ [1, p∗s ). Định lý 1.2.5. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp = n. Khi đó, tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s) sao cho, với mọi u ∈ W s,p (Rn ), kukLq (Rn ) ≤ CkukW s,p (Rn ) , với mọi q ∈ [p, +∞); nghĩa là, không gian W s,p (Rn ) liên tục được nhúng trong Lq (Rn ) với mọi q ∈ [p, +∞). Đối với miền mở rộng, ta có kết quả sau: Định lý 1.2.6. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp = n. Giả sử Ω ⊂ Rn là miền mở rộng cho W s,p . Khi đó, tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s, Ω) sao cho, với mọi u ∈ W s,p (Ω), kukLq (Ω) ≤ CkukW s,p (Ω) với mọi q ∈ [p, +∞); nghĩa là, không gian W s,p (Ω) liên tục được nhúng trong Lq (Rn ) với mọi q ∈ [p, +∞]. Ngoài ra, nếu Ω bị chặn, thì không gian W s,p (Ω) compact được nhúng trong Lq (Ω) với mọi q ∈ [1, +∞). 7 Ký hiệu C 0,α (Ω) là không gian các hàm liên tục Hölder, với chuẩn |u(x) − u(y)| . |x − y|α x,y∈Ω kukC 0,α (Ω) := kukL∞ (Ω) + sup x6=y Định lý 1.2.7. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp > n. Cho Ω là miền C 0,1 của Rn . Khi đó, tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s, Ω) sao cho, với mọi u ∈ W s,p (Ω), kukC 0,α (Ω) ≤ CkukW s,p (Ω) , với α = (sp − n)/p; nghĩa là, không gian W s,p (Ω) liên tục được nhúng trong C 0,α (Ω). Hệ quả 1.2.8. Cho s(0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp > n. Cho Ω là một C 0,1 miền bị chặn của Rn . Khi đó phép nhúng W s,p (Ω) ,→ C 0,β (Ω) compact với mọi β < α, với α := (sp − n)/p. Chứng minh. Cho {uj }j∈N là dãy bị chặn trong W s,p . Từ Định lý 1.2.7 suy ra {uj }j∈N bị chặn trong C 0,α (Ω). Do đó, tồn tại C > 0 sao cho |uj (x) − uj (y)| ≤ C, ∀j ∈ N. |x − y|α x,y∈Ω kuj kL∞ (Ω) + sup (1.6) x6=y Áp dụng (1.6) và Định lý Ascoli-Arzelà ta có uj → u∞ đều trong Ω (1.7) khi j → +∞, với u∞ ∈ C(Ω). Hơn nữa, từ (1.6) và (1.7) suy ra |u∞ (x) − u∞ (y)| = lim |uj (x) − uj (y)| ≤ C|x − y|α , j→+∞ 8 (1.8) với mọi x, y ∈ Ω. Do đó, hàm u∞ thuộc C 0,α (Ω). Chúng ta phải chứng minh uj → u∞ trong C 0,β (Ω) khi j → +∞, với mọi β < α. Từ (1.7), ta có |(uj − u∞ )(x) − (uj − u∞ )(y)| →0 |x − y|β x,y∈Ω sup (1.9) x6=y khi j → +∞. Vì kuj − u∞ kL∞ (Ω) → 0 khi j → +∞, với mọi ε > 0, tồn tại jε ∈ N sao cho kuj − u∞ kL∞ (Ω) ε  ε β/(α−β) ≤ , ∀j ≥ jε . 2 2C (1.10) Vậy, từ (1.6) và (1.8) ta có |(uj − u∞ )(x) − (uj − u∞ )(y)| ≤ 2C|x − y|α−β |x − y|β , ∀x, y ∈ Ω. (1.11) Nếu 2C|x − y|α−β < ε, nên từ (1.11) cho ta |(uj − u∞ )(x) − (uj − u∞ )(y)| ≤ ε|x − y|β , ∀x, y ∈ Ω. (1.12) Ở đây, β < α. Hơn nữa, khi 2C|x − y|α−β ≥ ε, áp dụng (1.10), với mỗi j ≥ jε , có |(uj − u∞ )(x) − (uj − u∞ )(y)| ≤2kuj − u∞ kL∞ (Ω)  ε β/(α−β) ≤ε 2C ≤ε|x − y|β . Từ (1.12), (1.13), và (1.9) đi đến điều cần chứng minh. 9 (1.13) 1.2.2 Không gian Sobolev H s (Ω) Trong mục này, ta trình bày trường hợp Hilbert p = 2, nghiên cứu mối quan hệ giữa nó với toán tử Laplacian phân thứ. Giả sử Ω là tập con mở trong Rn và H s (Ω) := W s,2 (Ω), với mọi s ∈ (0, 1). Không gian Sobolev thứ là không gian Hilbert. Thật vậy, tích trong trên H s (Ω), xác định bởi Z Z (u(x) − u(y))(v(x) − v(y)) dxdy, hu, viH s (Ω) := u(x)v(x)dx + |x + y|n+2s Ω Ω×Ω với mọi u, v ∈ H s (Ω), trùng với chuẩn đã cho trong (1.4) khi p = 2. Rõ ràng, với mỗi s ∈ (0, 1), ta có H s (Rn ) := W s,2 (Rn ) = {u ∈ L2 (Rn ) : [u]W s,2 (Rn ) < +∞}, (1.14) trong đó [·]W s,2 (Rn ) đã định nghĩa trong (1.5). Không gian H s (Rn ) được định nghĩa theo cách khác thông qua biến đổi Fourier. Thật vậy, ta định nghĩa   Z   s n 2s 2 2 n b H (R ) := u ∈ L (R ) : (1 + |ξ| )|Fu(ξ)| dx < +∞ , với mọi s > 0,   Rn (1.15)   R b s (Rn ) := u ∈ S0 : (1 + |ξ|2s )|Fu(ξ)|2 dx < +∞ , với mọi s < 0. và H Rn b s (Rn ) được định nghĩa trong (1.15) và Tương đương giữa không gian H định nghĩa thông qua chuẩn Gagliardo trong (1.14) và chứng minh với mọi s ∈ (0, 1) trong phần tiếp theo (xem Hệ quả 1.3.6). 1.3 Toán tử Laplace phân thứ Các phương trình không địa phương đã thu hút nhiều sự chú ý trong những thập kỷ gần đây. Toán tử cơ bản liên quan đến vấn đề này gọi là 10 toán tử Laplacian (−∆)s phân thứ với s ∈ (0, 1). Phần này trình bày định nghĩa toán tử này và các tính chất của nó. Cho s ∈ (0, 1) và toán tử (−∆)s : S → L2 (Rn ) xác định bởi Z u(x) − u(y) s dy, x ∈ Rn , (−∆) u(x) := C(n, s) lim+ n+2s ε→0 Rn \B(x,ε) |x − y| (1.16) Trong đó B(x, ε) là hình tròn tâm x ∈ Rn với bán kính ε, và C(n, s) là hằng số dương sau: Z C(n, s) := Rn 1 − cos ζ1 dζ |ζ|n+2s −1 , (1.17) với ζ = (ζ1 , ζ 0 ), ζ 0 ∈ Rn−1 . Toán tử định nghĩa trong (1.16) là toán tử Laplace phân thứ. Thông thường, trong định nghĩa (−∆)s , để viết gọn cho "giá trị chính", đặt Z Z u(x) − u(y) u(x) − u(y) dy := lim dy. P.V. n+2s ε→0+ Rn \B(x,ε) |x − y|n+2s Rn |x − y| Khi đó, ta có thể viết lại như sau Z s (−∆) u(x) := C(n, s)P.V. Rn u(x) − u(y) dy, x ∈ Rn , n+2s |x − y| (1.18) Mệnh đề 1.3.1. Cho s ∈ (0, 1). Khi đó, với mọi u ∈ S, ta có Z 1 u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) (−∆)s u(x) := − C(n, s) dy, x ∈ Rn . n+2s n 2 |y| R (1.19) Chứng minh. Từ (1.18), ta có s (−∆) u(x) := −C(n, s)P.V. Z Rn u(y) − u(x) dy, |x − y|n+2s với mọi x ∈ Rn . Do đó, thay thế z = y − x vào (1.20), ta được Z u(x + z) − u(x) s (−∆) u(x) := −C(n, s)P.V. dz, |z|n+2s Rn 11 (1.20) (1.21) với mọi x ∈ Rn . Mặt khác, bằng cách đặt z ? = −z , ta có Z Z u(x + z) − u(x) u(x − z ? ) − u(x) ? P.V. dz = P.V. dz . |z|n+2s |z ? |n+2s Rn Rn Vì vậy, sau khi trả lại z ? = z , ta có đẳng thức sau: Z Z u(x + z) − u(x) u(x + z) − u(x) dz =P.V. dz 2P.V. |z|n+2s |z|n+2s Rn Rn Z u(x − z) − u(x) +P.V. dz |z|n+2s Rn Z u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) =P.V. dy. |y|n+2s Rn (1.22) Cuối cùng, khai triển Taylor cấp hai ta có u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) kD2 ukL∞ (Rn ) ≤ , |y|n+2s |y|n+2s−2 và vì s ∈ (0, 1), ta có u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) ∈ L1 (Rn ). n+2s |y| Do đó, với mọi u ∈ S, ta có Z Z u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) P.V. dy = dy. |y|n+2s |y|n+2s Rn Rn (1.23) Vậy từ (1.21)-(1.23) ta suy ra (1.19). Điều phải chứng minh. Nhận xét 1.3.2. Cho s ∈ (0, 1/2). Với mọi u ∈ S và x ∈ Rn cố định, ta có Z Z u(x) − u(y) |x − y| dy ≤C dy n+2s n+2s Rn |x − y| B(x,R) |x − y| Z 1 +kukL∞ (Rn ) dy n+2s Rn \B(x,R) |x − y|  R  Z Z+∞ 1 1 ≤C  dρ + dρ < +∞, ρ2s ρ2s+1 0 R 12 trong đó C là hằng số dương phụ thuộc vào số chiều n và L∞ -chuẩn của hàm u. Vì thế, trong trường hợp s ∈ (0, 1/2), tích phân Z u(x) − u(y) dy, n+2s Rn |x − y| không là tích phân kỳ dị gần điểm x, nên nó bỏ P.V. trong (1.18). 1.3.1 Hằng số C(n, s): Một vài tính chất Ở phần này, ta nhắc lại một số tính chất của hằng số C(n, s). Bổ đề 1.3.3. Cho s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hằng số được xác định trong (1.17) và cho A(n, s) và B(s) như sau:    1 A(n, s) := Z 1   dη 0  0 2 n+2s/2 Rn−1 (1 + |η | ) nếu n = 1 nếu n ≥ 2, và B(s) := s(1 − s) 1 − cos t dt. 1+2s R |t| Z Khi đó C(n, s) = s(1 − s) . A(n, s)B(s) (1.24) Chứng minh. Giả sử n ≥ 2 và ζ = (ζ1 , ζ 0 ), với ζ 0 ∈ Rn−1 . Áp dụng đổi biến η 0 = ζ 0 /|ζ1 |, ta có ! Z Z Z 1 − cos(ζ1 ) 1 1 − cos(ζ1 ) 0 dζ = dζ1 n+2s dζ n+2s n+2s 0 2 2 |ζ| |ζ1 | (1 + |ζ | /|ζ1 | ) 2 Rn R Rn−1 ! Z Z 1 − cos(ζ1 ) 1 0 = dζ1 n+2s dη 1+2s 0 2 n−1 |ζ | (1 + |η | ) 2 1 R R = A(n, s)B(s) . s(1 − s) Bổ đề được chứng minh. 13 Nhận xét 1.3.4. Lưu ý từ (1.17) và (1.24) suy ra Z Z 1 − cos(ζ ) 1 − cos t 1 C(n, s)−1 = dζ = A(n, s) dt. 1+2s |ζ|n+2s Rn R |t| Với n ≥ 3, gọi Sn−2 là độ đo Lebesgue của hình cầu đơn vị trong Rn−1 , ta có Z A(n, s) = Rn−1 1 0 n+2s dη < Sn−2 02 (1 + |η ) 2   π 1 + , 4 1 + 2s và Z Rn 1 2 1 − cos t dt < + . |t|1+2s 2(1 − s) s Vì vậy, dễ dàng thấy −1 C(n, s)  < Sn−2 1 π + 4 1 + 2s   2 1 + . 2(1 − s) s Mặt khác, ta có −1 C(n, s)   2 1   +  2(1 − s) s    <   π 1 2 2   + +  2 1 + 2s 2(1 − s) s nếu n = 1 nếu n = 2. Mệnh đề 1.3.5. Giả sử s ∈ (0, 1) và hằng số C(n, s) như (1.17). Thì, với mọi ξ ∈ Rn , ta có Z Rn 1 − cos(ξ · y) dy = C(n, s)−1 |ξ|2s , n+2s |y| Chứng minh. Trước tiên, với η = (η1 , ..., ηn ), ta có 1 − cos ζ1 |ζ1 |2 1 ≤ ≤ , |ζ|n+2s |ζ|n+2s |ζ|n−2+2s gần gốc. Khi đó, Z Rn 1 − cos ζ1 dζ |ζ|n+2s là hữu hạn và dương, theo cách chọn s. 14 (1.25) Bây giờ chúng ta định nghĩa ánh xạ J : Rn → R như sau: Z 1 − cos(ξ · y) J(ξ) := dy, |y|n+2s Rn với mọi ξ ∈ Rn . Ta có J là phép quay bất biến, tức là J(ξ) = J(|ξ|e1 ), ξ ∈ Rn , (1.26) trong đó e1 là vectơ hướng đầu tiên trên không gian Rn . Với n = 1, (1.26) là tầm thường vì J là hàm lẻ. Khi n ≥ 2, chúng ta xét phép quay R mà R(|ξ|e1) = ξ , và ta gọi RT là chuyển vị của nó. Vì thế, bằng cách thế ye = RT y , ta có Z 1 − cos((R(|ξ|e1 )) · y) dy, J(ξ) = |y|n+2s Rn Z 1 − cos((|ξ|e1 ) · (RT · y)) dy = |y|n+2s Rn Z 1 − cos((|ξ|e1 ) · ye) = dye |ye|n+2s Rn =J(|ξ|e1 ), nên (1.26) được chứng minh. Do đó, từ (1.26), thế ζ = |ξ|y , ta được J(ξ) =J(|ξ|e1 ) Z 1 − cos(|ξ|y1 ) = dy |y|n+2s Rn Z 1 1 − cos(ζ1 ) = n dζ |ξ| Rn |ζ/|ζ||n+2s =C(n, s)−1 |ξ|2s , theo (1.17). Tóm lại, (1.25) được chứng minh. 15 Hệ quả 1.3.6. Giả sử s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hằng số như trong (1.17). Thì, với mọi u ∈ H s (Rn ), [u]2H s (Rn ) −1 Z = 2C(n, s) Rn |ξ|2s |Fu(ξ)|2 dξ. (1.27) b Rn ). Hơn nữa, H s (Rn ) = H( Chứng minh. Cố định y ∈ Rn . Áp dụng đổi biến số z = x − y , và công thức Parseval-Plancherel đã cho trong (1.3), ta có   Z Z Z Z |u(x) − u(y)|2 u(z + y) − u(y) dx dy = dz dy n+2s |z|n+2s Rn Rn Rn Rn |x − y| !  Z Z   u(z + y) − u(y) 2  dy dz  =   n/2+s n n |z| R R ! Z u(z + ·) − u(·) 2 2 n dz n/2+s n |z| R L (R ) !  2  Z u(z + ·) − u(·) F F 2 n dz. |z|n/2+s Rn L (R ) (1.28) Khi đó   2 Z Z Z  iξ.z 2 |e − 1| u(z + ·) − u(·) 2 F |Fu(ξ) |dξ dz 2 n dz = n n/2+2s n |z|n+2s |z| R Rn R L (R ) Z 1 − cos(ξ · z) =2 |Fu(ξ)|2 dzdξ, n+2s |z| Rn ×Rn từ (1.25), chúng ta có thể viết  2 Z  Z u(z + ·) − u(·) −1 F dz = 2C(n, s) |ξ|2s |Fu(ξ)|2 dξ. n/2+s |z| Rn Rn L2 (Rn ) (1.29) Vì thế, (1.27) kéo theo (1.28) và (1.29). Cuối cùng, sự tương đương giữa các b s (Rn ) đến (1.2) và (1.27). không gian phân thứ H s (Rn ) và H 16