Tài liệu Nghiệm tuần hoàn và ổn định tiệm cận của một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội

LỜI CẢM ƠN Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Đình Kế đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Bình Sơn huyện Sông Lô tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn. Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Bá Huy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế, luận văn tốt nghiệp “Nghiệm tuần hoàn và ổn định tiệm cận của một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Bá Huy Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHỆM DAO ĐỘNG 4 1.1 Nghiệm tuần hoàn của bài toán tuyến tính . . . . . . . . 9 1.2 Bài toán nửa tuyến tính có trễ bội . . . . . . . . . . . . 13 2 ỨNG DỤNG CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 21 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 ii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xét phương trình vi phân với trễ bội u0 (t) = Au(t) + F (t, u(t), u(t − τ1 ), ..., u(t − τn )), t ∈ R, (1) trong đó A là toán tử tuyến tính (không bị chặn) trong không gian Hilbert H, F là hàm phi tuyến. Phương trình (1) là mô hình tổng quát của nhiều lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ, được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học trong những năm gần đây. Một số vấn đề nghiên cứu được đặt ra đối với (1) bao gồm: 1. Trong trường hợp F là tuần hoàn theo t (biến thứ nhất), khi nào (1) có nghiệm tuần hoàn? Đây là một vấn đề nghiên cứu định tính liên quan đến lý thuyết nghiệm dao động. 2. Với điều kiện nào nghiệm của (1) ổn định tiệm cận? Vấn đề này nằm trong một hướng nghiên cứu lớn của lý thuyết phương trình vi tích phân: lý thuyết ổn định. Với mong muốn tìm hiểu sâu về dáng điệu nghiệm của một số lớp phương trình vi phân hàm, chúng tôi chọn đề tài: Nghiệm tuần hoàn và ổn định tiệm cận của một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội làm đối tượng nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [7] của Li. Cụ thể là tìm hiểu tính giải được, tính chất nghiệm (tính dao động, ổn định tiệm cận) của một lớp phương trình vi phân tổng quát với trễ bội trong không gian Hilbert. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Tìm hiểu lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân; 2. Tìm hiểu lý thuyết nghiệm dao động của phương trình vi phân; 3. Chứng minh một số kết quả về tính dao động, tính ổn định tiệm cận nghiệm đối với một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội; 4. Ứng dụng cho một số lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính có trễ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu là một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội; • Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, tính dao động của nghiệm, tính ổn định tiệm cận của nghiệm. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng một số phương pháp của giải tích hàm: lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống những nghiên cứu định tính về tính dao động và tính ổn định nghiệm đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính có trễ bội. Chương 1 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHỆM DAO ĐỘNG Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng với trễ là mô hình toán học của nhiều bài toán vật lý, do đó nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học và nhiều tính chất về nghiệm của nó đã được nghiên cứu. (xem [[4], [17]]) và các tài liệu tham khảo trong đó. Các bài toán liên quan đến nghiệm tuần hoàn của phương trình đạo hàm riêng có trễ, là một chủ đề quan trọng được nghiên cứu trong những năm gần đây. Đặc biệt, sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa với trễ đã thu hút sự quan tâm của một số tác giả (xem, [[3], [18], [10]-[12], [19]]), trong tài liệu tham khảo [3], Burton và Zhang đã nghiên cứu phương trình tiến hóa với trễ vô hạn. Với giả thiết là nghiệm của phương trình tiến hóa bị chặn đều, họ đã thu được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Granas. Trong tài liệu [18], Xiang và Ahmed đã chứng minh kết quả tồn tại nghiệm tuần hoàn đối với phương trình tiến hóa trong không gian Banach với giả thiết bài toán giá trị ban đầu tương ứng có đánh giá tiên nghiệm. Trong tài liệu [10]-[12], tác giả Liu đã suy ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn từ các nghiệm bị chặn hay các nghiệm bị chặn chung cuộc đối với phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 4 hay vô hạn trong không gian Banach. Trong các cách làm trên, giả thiết trung tâm chính là tính bị chặn toàn cục của nghiệm. Gần đây, Zhu, Liu và Li trong tài liệu [19] đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn theo  thời gian đối với phương trình tiến hóa Parabolic một chiều có trễ.  ut = uxx + au + f (u (x, t − τ1 ) , ..., u (x, t − τn )) + g (x, t) , trong (0, 1) × R,  u (0, t) = u (1, t) = 0, trong R, Trong đó, a ∈ R, f : Rn → R là Lipschitz địa phương liên tục, g : [0, 1] × R → R là hàm Holder liên tục và g (x, t) có chu kỳ ω theo t và τ1 , τ2 , ..., τn là các hằng số dương. Mô hình của phương trình này chứa một số quá trình của sinh vật học (xem, [[19], [13]]). Các giả thiết được đặt ra như sau (A1) n 6 3; (A2) |f (η1 , ..., ηn ) + g (x, t)| 6 n P βi |ηi | + K với (η1 , ..., ηn ) ∈ Rn , trong i=1 đó β1 , ..., βn và K là hằng số dương. n P βi2 < π 2 + 1; (A3) (|a| + 2)2 + i=1 Với các giả thiết trên các tác giả thu được sự tồn tại nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1). Hơn nữa, thêm vào điều kiện n P (A4) |f (η1 , ..., ηn ) − f (ξ1 , ..., ξn )| 6 βi |ηi − ξi |, các tác giả đã chứng i=1 tỏ rằng nghiệm tuần hoàn theo thời gian của phương trình (1) là duy nhất và ổn định tiệm cận. Trong luận văn này, một phương pháp khác được sử dụng để cải tiến và mở rộng các kết quả đề cập ở trên. Cụ thể ta bỏ đi điều kiện (A1) và cải tiến điều kiện (A3). Ta dùng điều kiện ngắn gọn hơn n P ∗ (A3) a + βi < π 2 , thay cho điều kiện (A3). Thực tế, nếu điều kiện i=1 (A3) đúng thì 2 2 (|a| + 2) < π + 1, n P i=1 5 βi2 < π 2 + 1 − (|a| + 2)2 . Từ bất đẳng thức thứ nhất ta thấy |a| < √ π 2 + 1 − 2 < 2, do đó a < π2. Nếu điều kiện (A1) đúng thì từ bất đẳng thức thứ hai ta có: !1/2 !1/2 n n n X X X √ βi 6 n1/2 βi2 βi2 6 3 i=1 i=1 i=1 √ p √ q < 3 π 2 + 1 − (|a| + 2)2 = 3 π 2 − 3 − 4 |a| − a2  p p √ p √  2 2 2 2 < 3 π −a<π −a ∵ π −a> π −2> 3 . Do đó điều kiện (A3)∗ đúng và yếu hơn điều kiện (A3) rất nhiều. Với điều kiện (A3)∗ yếu hơn, ta thu được các kết quả sau: Định lý A. Cho f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương liên tục, g : [0, 1] × R → R là hàm Holder liên tục và g (x, t) có chu kỳ ω theo t. Nếu các điều kiện (A2) và (A3)∗ đúng thì phương trình (1) nhận u ∈ C 2,1 ([0, 1] × R) là nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian. Định lý B. Cho f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương liên tục, g : [0, 1] × R → R là hàm Holder liên tục và g (x, t) có chu kỳ ω theo t. Nếu các điều kiện (A3)∗ và (A4) đúng thì phương trình (1) có duy nhất nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian, u ∈ C 2,1 ([0, 1] × R). Định lý A và định lý B không sử dụng điều kiện (A1) và cải tiến nhiều các kết quả chính trong [19]. Ta xét bài toán trên không gian Hilbert tổng quát. Cho H là không gian Hilbert, A là toán tử xác định dương tự liên hợp với miền xác định H1 = D(A) ⊂ H. Xét H1 với tích vô hướng h·, ·i := (A·, A·). Nếu A có giải thức compact theo định lý phân giải phổ của toán tử tự liên hợp, phổ σ(A) bao gồm các giá trị riêng thực và có thể xếp theo dãy λ1 < λ2 < · · · < λn < · · ·, λn → ∞ (n → ∞) . 6 (1.1) Theo tính chất của toán tử xác định dương A, giá trị riêng thứ nhất λ1 > 0. Cho F : R × H n+1 → H là ánh xạ liên tục và với mỗi v = (v0 , v1 , ..., vn ) ∈ H n+1 , F (t, v) có chu kỳ ω theo t. Tổng quát hơn, ta xét sự tồn tại và ổn định tiệm cận của nghiệm tuần hoàn theo thời gian đối với phương trình u0 (t) + Au(t) = F (t, u (t) , u (t − τ1 ) , ..., u (t − τn )) , t∈R (1.2) Với phương trình tiến hóa có trễ tổng quát, ta thu được các kết quả sau Định lí 1.0.1. Cho A là toán tử tự liên hợp xác định dương trong không gian Hilbert có giải thức compact. Cho F : R × H n+1 → H liên tục và F (t, v) có chu kỳ ω theo t. Nếu tồn tại các hằng số dương β0 , β1 , ..., βn và K sao cho các điều kiện sau nghiệm đúng n P (F 1) kF (t, v0 , v1 , ..., vn )k 6 βi kvi k+K, t ∈ R, (v0 , v1 , ..., vn ) ∈ H n+1 ; (F 2) n P i=0 βi < λ1 , i=0 thì phương trình (1.2) có ít nhất một nghiệm mạnh tuần hoàn có chu kỳ 1,2 ω thuộc vào L2loc (R, H1 ) ∩ Wloc (R, H) . Định lí 1.0.2. Cho A là toán tử tự liên hợp xác định dương trong không gian Hilbert có giải thức compact. Cho F : R × H n+1 → H là hoàn toàn liên tục và F (t, v) có chu kỳ ω theo t. Nếu tồn tại các hằng số dương β0 , β1 , ..., βn sao cho điều kiện (F 2) và các điều kiện sau đây n P (F 3) kF (t, v0 , v1 , ..., vn ) − F (t, w0 , w1 , ..., wn )k 6 βi kvi − wi k, i=0 đúng thì phương trình (1.2) có duy nhất nghiệm mạnh tuần hoàn có chu 1,2 kỳ ω thuộc vào L2loc (R, H1 ) ∩ Wloc (R, H) . Ngoài ra, làm mạnh điều kiện (F2) trong định lý 1.0.2 ta thu được kết quả tính ổn định tiệm cận của nghiệm tuần hoàn. 7 Định lí 1.0.3. Với các giả thiết như trong định lý 1.0.2, nếu điều kiện n P (F 2)∗ β0 + eλ1 τi βi < λ1 , i=1 đúng thì nghiệm mạnh duy nhất, tuần hoàn có chu kỳ ω, của phương trình (1.2) ổn định tiệm cận toàn cục. Ta áp dụng kết quả tổng quát của định lý 1.0.1 và định lý 1.0.2 vào phương trình Parabolic trễ (1). Đặt H = L2 (0, 1) với ∀v0 , v1 , ..., vn ∈ L2 (0, 1) , cho F (t, v0 , v1 , ..., vn ) = g (·, t) + f (v1 (·) , ..., vn (·)) . (1.3) Hiển nhiên với các điều kiện của định lý A hoặc định lý B, F : R×H n+1 → H liên tục, phương trình Parabolic trễ (1) được viết lại theo dạng phương trình tiến hóa tổng quát có trễ (1.2) trong H = L2 (0, 1). Trong đó D (A) = H 2 (0, 1) ∩ H01 (0, 1) , Au = −∆u − au (1.4) Khi a < π 2 , toán tử A xác định bởi (1.4) là toán tử tự liên hợp dương có tập giải được Compact nằm trong L2 (0, 1), và nó là giá trị riêng thứ nhất λ1 = π 2 − a. Khi điều kiện (A2) và (A3)∗ của định lý A được thỏa mãn, ánh xạ F : R × H n+1 → H xác định bởi (1.3) thỏa mãn điều kiện (F 1) và (F 2) với β0 = 0. Do đó, theo định lý 1.0.1 ta thu được sự tồn tại của nghiệm mạnh, nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω, u ∈ L2loc (R, H1 ) ∩ W1,2 loc (R, H) của phương trình (1). Theo phương pháp chính quy hóa thông thường của lý thuyết nửa nhóm giải tích của các toán tử tuyến tính (xem [[1], bổ đề 4.2]), ta có thể chứng minh nghiệm mạnh tuần hoàn chu kỳ ω, u ∈ C 2,1 ([0, 1] × R) là một lớp nghiệm của phương trình (1). Như vậy, kết luận của định lý A đúng. Tương tự, khi điều kiện (A3)∗ và (A4) của định lý B được thỏa mãn, ánh xạ F tương ứng thỏa mãn điều kiện (F 2) và (F 3). Do đó theo định lý 1.0.2 ta thu được kết luận của định lý B. 8 Kết quả tổng quát của định lý 1.0.1 - 1.0.3 cũng có thể được áp dụng trong trường hợp tổng quát, phương trình đạo hàm riêng Parabolic với trễ N chiều. Điều này sẽ được thảo luận trong chương 2. Chứng minh định lý 1.0.1 - 1.0.3 dựa trên thuyết nửa nhóm giải tích và bất đẳng thức tích phân dạng Bellman có trễ được đưa ra trong mục 1.2. 1.1 Nghiệm tuần hoàn của bài toán tuyến tính Trong mục này ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở trong nửa nhóm giải tích của toán tử tuyến tính và phương trình tuyến tính hóa tổng quát, trong đó ta chứng minh các kết quả chính. Ta giả thiết A : D (A) ⊂ H → H là toán tử tự liên hợp xác định dương trong không gian Hilbert H và phép nhúng D (A) ,→ H compact. Khi đó phổ σ (A) chỉ chứa các giá trị riêng thực dương được cho bởi (1.1). Như đã biết trong [[15],[6]] A sinh ra một nửa nhóm giải tích S(t)t>0 trong H, nó ổn định mũ và thỏa mãn kS(t)k 6 e−λ1 t , ∀t > 0 (1.5) Theo tính compact của phép nhúng D (A) ,→ H, S(t)t>0 cũng là một nửa nhóm Compact. Ta nhớ lại một số khái niệm và kết luận về lũy thừa bậc phân số của A trong [6]. Với α > 0, A−α được xác định bởi R∞ α−1 1 −α A = Γ(α) t S(t)dt. 0 A−α ∈ L(H) là đơn ánh và Aα có thể được xác định bởi Aα = (A−α )−1 với miền D(Aα ) = A−α (H). Với α = 0, đặt Aα = I. Ta trang bị tích vô hướng (·, ·)α = (Aα ·, Aα ·) cho D(Aα ). Do Aα là toán tử tuyến tính đóng, từ đó suy ra (D(Aα ), (·, ·)α ) là không gian Hilbert. Ta ký hiệu không gian 9 Hilbert (D(Aα ), (·, ·)α ) bởi Hα . Đặc biệt, H0 = H và H1 = D(A). Với 0 6 α < β, Hβ nhúng trù mật vào trong Hα và phép nhúng Hβ ,→ Hα compact, (xem [[6], định lý 1.4.8]). Ký hiệu J là khoảng vô hạn [0, ∞) và h : J → H. Xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình tiến hóa tuyến tính (LIVP)   u0 (t) + Au(t) = h(t), t ∈ J,  u(0) = u(x0 ). (1.6) Như đã biết trong [[15], chương 4, định lý 2.9], khi x0 ∈ D(A) và h ∈ C 1 (J, H) phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) có lớp nghiệm u ∈ C 1 (J, H) ∩ C(J, H1 ) biểu diễn bởi Zt S(t − s)h(s)ds. u(t) = S(t)x0 + (1.7) 0 Nói chung, với x0 và h ∈ L1loc (J, H), hàm u được cho bởi (1.7) thuộc vào C(J, H) và được gọi là nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6). Nếu nghiệm tích phân u của phương trình (1.6) thuộc 1 vào W1,1 loc (J, H) ∩ Lloc (J, H1 ) và thỏa mãn phương trình với hầu khắp t ∈ J, thì ta gọi nó là nghiệm mạnh. Ký hiệu không gian Banach {u ∈ C(R, H) | u(t + ω) = u(t), t ∈ R} được trang bị bởi chuẩn max, kukC = M axx∈I ku(t)k, I = [0, ω] là Cω (R, H). Cho h ∈ Cω (R, H), ta xét sự tồn tại nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình tiến hóa tuyến tính u0 (t) + Au(t) = h(t), t ∈ R. (1.8) Bổ đề 1.1.1. Với giả thiết của A : D (A) ⊂ H → H là một toán tử tự liên hợp xác định dương trong không gian Hilbert H và phép nhúng D (A) ,→ H compact, với mỗi h ∈ Cω (R, H), phương trình tiến hóa tuyến tính (1.8) có duy nhất nghiệm tích phân tuần hoàn có chu kỳ ω, 10 u := P h ∈ Cω (R, H) và u ∈ W1,2 (I, H) ∩ L2 (I, H1 ) là nghiệm mạnh. Hơn nữa, p : Cω (R, H) → Cω (R, H) là toán tử tuyến tính compact và chuẩn của nó thỏa mãn kpk 6 1 λ1 . Chứng minh. Nghiệm tích phân tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1.8) hạn chế trên J là nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) với giá trị ban đầu x0 := u(0) = u(ω). Từ kS(ω)k 6 e−λ1 ω < 1, ta thấy I − S(ω) có toán tử ngược bị chặn (I − S(ω))−1 . Do đó tồn tại duy nhất giá trị ban đầu   ω Z x0 = (I − S(ω))−1  (S(ω) − s) h(s)ds := B(h) (1.9) 0 Sao cho nghiệm tích phân u(t) của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) được cho bởi (1.7) thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn u(0) = u(ω) = x0 . Với t ∈ J, theo (1.6) và tính chất nửa nhóm của S(t) ta có Zt+ω u(t + ω) = S(t + ω)u(0) + S(t + ω − s)h(s)ds 0 ω Z = S(t + ω)u(0) + Zt+ω S(t + ω − s)h(s)ds + S(t + ω − s)h(s)ds ω 0   Zω Zt S(ω − s)h(s)ds + = S(t) S(ω)u(0) + 0 S(t − s)h(s − ω)ds 0 Zt S(t − s)h(s)ds = S(t)u(ω) + 0 Zt S(t − s)h(s)ds = u(t). = S(t)u(0) + 0 Do đó, mở rộng chu kỳ ω của u trên R là nghiệm tích phân duy 11 nhất tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1.8). Theo (1.7) và (1.9), nghiệm tích phân tuần hoàn chu kỳ ω này được biểu diễn trong I bởi Zt S(t − s)h(s)ds := P h(t), u(t) = S(t)B(h) + t ∈ I. (1.10) 0
Cho 0 6 α < 21 , γ ∈ 0; 21 − α . Ta có thể chứng minh được toán tử nghiệm P được cho bởi (1.10) là một toán tử tuyến tính liên tục từ Cω (R, H) đến Cωγ (R, Hα ) , (xem, [[1] bổ đề 1.2.1 và bổ đề 2.2]). Theo định lý Arzela – Ascoli, phép nhúng Cωγ (R, Hα ) ,→ Cω (R, H) compact. Điều này suy ra p : Cω (R, H) → Cω (R, H) là toán tử tuyến tính compact. Mặt khác, theo tính chất chính quy của nghiệm phương trình tiến hóa tuyến tính với toán tử xác định dương trong không gian Hilbert (xem, [[16], chương II, định lý 3.3]), khi x0 ∈ H1/2 , nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) trên I có tính chính quy, cụ thể u ∈ L2 (I, H1 ) ∩ W1,2 (I, H) ∩ C(I, H1/2 ) (1.11) và nó là nghiệm mạnh. Ta lưu ý rằng u = P h là nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) với x0 = B(h). Theo biểu diễn (1.7) của nghiệm tích Rt phân u(t) = S(t)x0 + v(t), trong đó v(t) = S(t − s)h(s)ds. Từ đó hàm 0 v(t) là một nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) với giá trị ban đầu rỗng u(0) = θ, vì vậy v có dạng chính quy (1.11). Theo tính chất của nửa nhóm giải tích S(t), S(ω)x0 ∈ D(A) ⊂ H1/2 . Do đó, x0 = u(ω) = S(ω)x0 + v(ω) ∈ H1/2 . Sử dụng lại dạng chính quy (1.11) ta thu được u ∈ L2 (I, H1 ) ∩ W1,2 (I, H) và nó là nghiệm mạnh tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1.8). 12 Cho h ∈ Cω (R, H), đặt u = P h. Với t ∈ I, theo (1.7) và (1.5) ta có: Zt kP h(t)k 6 kS(t)k kB(h)k + kS(t − s)k kh(s)k ds 0 6 e−λ1 t kB(h)k + Zt (1.12) e−λ1 (t−s) ds · khkC 0 6 e−λ1 t kB(h)k + 1 − e−λ1 t khkC λ1 Từ đó ∞ ∞ P P −1 n 6 e−nλ1 ω = S (ω) (I − S(ω)) = n=0 n=0 1 , 1−e−λ1 ω Theo (1.9) ta có ω Z kB(h)k 6 (I − S(ω))−1 . S(ω − s)h(s)ds 0 6 1 1 − e−λ1 ω Zω kS(ω − s)k kh(s)k ds 0 1 6 1 − e−λ1 ω Zω e−λ1 (ω−s) ds.khkC = 1 khkC . λ1 0 Kết hợp điều kiện trên với (1.12) ta thu được kP h(t)k 6 e−λ1 t kB(h)k + Như vậy, kP h(t)kC 6 1.2 1 λ1 khkC , 1−e−λ1 t λ1 khkC 6 1 λ1 khkC , nghĩa là kP k 6 1 λ1 . t∈I  Bài toán nửa tuyến tính có trễ bội Trong mục này, ta trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị ban đầu của phương trình tiến hóa có trễ phi tuyến (1.2). Cho F : J × H n+1 → H liên tục, r = max {τ1 , τ2 , ..., τn }. 13 Với u ∈ C ([−r, ∞) , H) và t ∈ [0, ∞), ta định nghĩa u(t) ∈ C ([−r, 0] , H) bởi u(t) (s) = u(t + s), s ∈ [−r, 0]. Cho ϕ ∈ C ([−r, ∞) , H). Xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình tiến hóa có trễ   u0 (t) + Au(t) = F (t, u (t) , u (t − τ1 ) , ..., u (t − τn )) ,  u(0) = ϕ. t∈J (1.13) Nghiệm tích phân u của phương trình (1.13) là u ∈ C ([−r, ∞) , H) và thỏa mãn Zt u(t) = S(t)u(0)+ S(t − s)F (s, u(s), u(s − τ1 ), ..., u(s − τn )) ds, t > 0, 0 (1.14) và điều kiện ban đầu u(t) = ϕ(t), −r 6 t 6 0. Định lí 1.2.1. Cho F : J × H n+1 → H liên tục và ϕ ∈ C ([−r, 0] , H). Nếu F thỏa mãn điều kiện (F 1) thì bài toán giá trị biên ban đầu có trễ (1.13) có nghiệm mạnh u ∈ C ([−r, ∞) , H) ∩ L2loc ((0, ∞), H1 ) ∩ W1,2 loc ((0, ∞), H). Chứng minh. Cho δ = min {τ1 , ...τn }. Cho G0 : [0, δ]×H → H xác định bởi G0 (x, t) = F (t, x, ϕ(t − τ1 ), ..., ϕ(t − τn )) , t ∈ [0, δ] , x ∈ H. (1.15) Theo tính liên tục của hàm F và ϕ, G0 : [0, δ] × H → H liên tục. Xét bài toán giá trị ban đầu   v 0 (t) + Av(t) = G0 (t, v(t)),  v(0) = ϕ(0). t ∈ [0, δ] , (1.16) Theo điều kiện (F 1), G0 thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính kG0 (t, x)k 6 β0 kxk + K1 , t ∈ [0, δ] , x ∈ H,, trong đó K1 = 14 n P i=1 βi kϕkC + K. Từ S(t) (t > 0) là nửa nhóm compact, theo định lý tồn tại đã biết (xem, [[15], chương 6, định lý 2.2]). Phương trình (1.16) có nghiệm tích phân v1 ∈ C ([0, δ] , H). Ta dễ dàng chỉ ra   v1 (t), t ∈ [0, δ] , u1 (t) =  ϕ(t), t ∈ [−r, 0] là một nghiệm tích phân của phương trình trễ (1.13) trên [−r, δ]. Tương tự như cách làm ở trên, ta xác định ánh xạ G1 : [δ, 2δ] × H → H bởi G1 (x, t) = F (t, x, u1 (t − τ1 ), ..., u1 (t − τn )) , t ∈ [δ, 2δ] , x ∈ H, Khi đó bài toán giá trị ban đầu   v 0 (t) + Av(t) = G1 (t, v(t)),  v(δ) = u1 (δ). t ∈ [δ, 2δ] , (1.17) có nghiệm tích phân v2 ∈ C ([δ, 2δ] , H) và do vậy   v2 (t), t ∈ [δ, 2δ] , u2 (t) =  u1 (t), t ∈ [−r, δ] là nghiệm tích phân của phương trình trễ (1.13) trên [−r, 2δ] Tiếp tục cách làm như thế trên [2δ, 3δ], [3δ, 4δ], ... Cuối cùng, ta thu được nghiệm tích phân u ∈ C ([−r, ∞) , H) của phương trình có trễ (1.13). Đặt h(t) = F (t, u(t), u(t − τ1 ), ..., u(t − τn )) , t ∈ J, thì u(t) là nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6). Khi t > 0, theo biểu diễn (1.7), u(t) = S(t)x0 + v(t), trong đó Rt v(t) = S(t − s)h(s)ds. Từ v(t) có dạng chính quy (1.11) và S(t)u(0) ∈ o D(A) ⊂ H1/2 , ta thu được u(t) = S(t)x0 + v(t) ∈ H1/2 . 15 Gọi ε và T là các hằng số dương với ε < T . Từ đó u(t) cũng là nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính   v 0 (t) + Av(t) = h(t), t ∈ [ε, T ] ,  v(ε) = u(ε). (1.18) và giá trị ban đầu v(ε) ∈ H1/2 , ta thấy u có dạng chính quy (1.11) trên [ε, T ] và nó là nghiệm mạnh của phương trình (1.18). Với ε và T bất 1,2 ((0, ∞), H) và nó là nghiệm mạnh của kì, u ∈ L2loc ((0, ∞), H1 ) ∩ Wloc  phương trình có trễ (1.13). Định lí 1.2.2. Cho F : J × H n+1 → H liên tục và ϕ ∈ C ([−r, 0] , H). Nếu F thỏa mãn điều kiện (F 3) thì bài toán giá trị ban đầu có trễ (1.13) có duy nhất nghiệm mạnh toàn cục. Chứng minh. Từ (F 3) ⇒ (F 1), theo định lý 1.2.1 bài toán giá trị ban đầu có trễ (1.13) có nghiệm mạnh toàn cục. Cho u1 , u2 ∈ C ([−r, ∞) , H) là hai nghiệm mạnh toàn cục của phương trình (1.13). Tương tự như cách chứng minh định lý 1.2.1, ta sử dụng phương pháp lý luận theo từng điểm để chứng minh u1 (t) ≡ u2 (t) trong J. Ta lưu ý rằng u1 và u2 xác định bởi (1.15) thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Do đó theo định lý về tính duy nhất nghiệm (xem, [[15], chương 6, định lý 1.2]), u1 (t) ≡ u2 (t) trong [0, δ]. Do đó u1 và u2 đều là nghiệm của phương trình (1.17), từ đó suy ra u1 (t) ≡ u2 (t) trong [0, δ]. Tiếp tục quá trình đó trên [2δ, 3δ], [3δ, 4δ],... ta chứng minh được u1 (t) ≡ u2 (t) trong [0, δ]. Vậy phương trình (1.13) có nghiệm mạnh toàn  cục duy nhất. Chứng minh định lý 1.0.1. 16 Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ Cω (R, H) → Cω (R, H) bởi F (u) (t) = F (t, u(t), u(t − τ1 ), ..., u(t − τn )) , u ∈ Cω (R, H), t ∈ R. (1.19) Theo tính liên tục của F và giả thiết (F 1), F : Cω (R, H) → Cω (R, H) liên tục và ánh xạ mỗi tập bị chặn trong Cω (R, H) vào tập bị chặn. Từ đó toán tử nghiệm tuần hoàn P : Cω (R, H) → Cω (R, H) của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.8) là toán tử tuyến tính Compact, suy ra toán tử đa hợp Q := P ◦ F : Cω (R, H) → Cω (R, H) là liên tục hoàn toàn. Theo định nghĩa của P , nghiệm tích phân tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1.2) tương đương với điểm bất động của toán tử đa hợp Q. Với mỗi u ∈ Cω (R, H), theo (1.19) và điều kiện (F 1) ta có kF (u) (t)k = kF (t, u(t), u(t − τ1 ), ...u(t − τn ))k n n X X 6 βi ku(t − τi )k + K 6 βi kukC + K, i=1 Vậy kF (u)kC 6 t ∈ R. i=1 n P i=1 βi kukC + K. Chọn hằng số dương R > k n P λ 1 − βi i=1 và đặt D = {u ∈ Cω (R, H) |kukC 6 R} là quả cầu đóng trong Cω (R, H) với tâm θ bán kính R. Với mỗi u ∈ D theo bổ đề 1.1.1 và điều kiện (F 2) ta có kQ(u)kC = kP (F (u))kC 6 kP k kF (u)kC 6 6 1 λ1 R n X 1 λ1 n X ! β1 kukC + K i=0 ! βi + K < R. i=1 Vậy Q(D) ⊂ D. Theo định lý điểm bất động Schauder, Q có điểm bất động u e ∈ D. Từ đó u e là nghiệm tích phân tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1.8), theo bổ đề 1.1.1, ũ ∈ L2loc (R, H1 ) ∩ W1,2 loc (R, H) và nó là nghiệm mạnh tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1.2). 17