Tài liệu Năng lượng đa phức có trọng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ THANH HƢƠNG NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ THANH HƢƠNG NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chƣa từng đƣợc công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Trần Thị Thanh Hương ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hƣớng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Phổ thông Dân tộc nội trú THPT Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 7 năm 2015 Tác giả Trần Thị Thanh Hương iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii MỤC LỤC ..........................................................................................................iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 2 3. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ..................................................................................... 2 Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 3 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới............................................................................... 3 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại .................................................................. 5 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối............................................................................... 6 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ................................................................ 10 Chƣơng 2. NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG .................................. 16 2.1. Lớp Cegrell ( ) ................................................................................ 16 2.2. Dung lƣợng của tập mức dƣới ................................................................ 20 2.3. Các lớp năng lƣợng có trọng. ................................................................. 25 2.4. Miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức ....................................... 37 KẾT LUẬN....................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 42 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết đa thế vị phức đƣợc hình thành và phát triển dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác. Tuy nhiên lý thuyết này chỉ thực sự phát triển mạnh mẽ sau khi E. Berfod và B. A.Taylor, xây dựng thành công toán tử Monge-Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dƣới bị chặn địa phƣơng và đƣa ra khái niệm dung lƣợng của một tập Borel trong một tập mở của n . Có thể xem toán tử Monge-Ampere là công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị. Các kết quả đạt đƣợc liên quan đến toán tử Monge - Ampère phức đã đóng một vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị. Năm 1998, U. Cegrell đã giới thiệu và nghiên cứu toán tử MongeAmpere phức (dd c .)n trên các lớp đặc biệt các hàm đa điều hòa dƣới không bị chặn trong , gọi là các lớp năng lƣợng. Năm 2004, Cegrell đã cho một định nghĩa tổng quát của toán tử Monge-Ampere và đạt đƣợc nhiều kết quả đẹp đẽ. Năm 2005, Cegrell đã đƣa ra lớp hàm trùng với một hàm trong lớp ( ) mà trên mỗi compact ( ). Tiếp tục mở rộng lớp năng lƣợng năm 2009, S. Benelkourchi đã đƣa ra lớp năng lƣợng có trọng , nó ( ), ( ) và nghiên cứu toán tử Monge-Ampere trên lớp năng lƣơng đa phức hữu hạn trong trƣờng hợp tổng quát. Đồng thời giải thích các lớp này theo nghĩa tốc độ giảm của dung lƣợng của tập mức dƣới và mô tả đầy đủ miền giá trị của toán tử MongeAmpere (dd c .)n trong các lớp ( ). Theo hƣớng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: "Năng lượng đa phức có trọng". 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu về lớp năng lƣợng có trọng ( ) và nghiên cứu toán tử Monge- Ampere trên lớp năng lƣợng đa phức hữu hạn trong trƣờng hợp tổng quát. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, hàm cực trị tƣơng đối, toán tử Monge-Ampère và một vài tính chất của nó. - Trình bày các kết quả gần đây của Slimane Benelkourchi về một số tính chất của các lớp năng lƣợng U.Cegrell trong và một số kết quả về lớp năng lƣợng có trọng n , dung lƣợng của tập mức dƣới ( ) , miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phƣơng pháp của giải tích phức kết hợp với các phƣơng pháp của giải tích hàm hiện đại, các phƣơng pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chƣơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, hàm cực trị tƣơng đối, toán tử Monge-Ampère và một vài tính chất của nó. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả gần đây của Slimane Benelkourchi về một số tính chất của các lớp năng lƣợng U.Cegrell trong n năng lƣợng có trọng , dung lƣợng của tập mức dƣới và một số kết quả về lớp ( ) , miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc. 3 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi x X : u(x ) là một tập con mở của một hàm nửa liên tục trên và không trùng với b n n và u : , là trên bất kỳ thành phần liên . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a u(a , hàm b) là điều hoà dưới hoặc trùng :a phần của tập hợp u tập hợp là mở trong X. 1.1.2. Định nghĩa. Cho thông nào của , b ( ) . (Ở đây kí hiệu và trên mỗi thành . Trong trường hợp này, ta viết ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ). Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dƣới: 1.1.3. Mệnh đề. Nếu u, v u ( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì v. 1.1.4. Mệnh đề. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu u là một tập con mở liên thông bị chặn của PSH ( ), thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z u(z ) , y y n được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a E đều có một lân cận V của a và một hàm u E V V : u(z ) và sup lim sup u(y ) . 1.1.5. Định nghĩa. Tập hợp E z n . (V ) sao cho 4 1.1.6. Hệ quả. Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không. 1.1.7. Định lý. Cho (i) Họ u, v ( ) là nón lồi, tức là nếu ( ) , thì u (ii) Nếu u v uj ( ) hoặc u lim u j j (iii) Nếu u : , là các số không âm và , thì u ( ) là dãy giảm, thì j . , và nếu u j tập con compact của . Khi đó ( ). là liên thông và (iv) Giả sử u n là một tập con mở trong ( ) hội tụ đều tới u trên các j ( ). ( ) sao cho bao trên của nó u A sup u là bị A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong . 1.1.8. Hệ quả. Cho khác rỗng của . Nếu u mỗi y , thì công thức là một tập con mở thực sự và ( ), và lim v(x ) ( ), v max u, v u x trong trong xác định một hàm đa điều hoà dưới trong 1.1.9. Định lý. Cho n là một tập mở trong u(y ) với \ . n là một tập con mở của . và v (i) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong y . 0 . Nếu : là 5 (ii) Cho u ( ), v ( ), và v 0 trong . Nếu : là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong . (iii) Cho u, v 0 trong : 0, ( ), u 0, là lồi và (0) 1.1.10. Định lý. Cho , và v 0 trong 0 , thì v (u / v) n là một tập con mở của F z là một tập con đóng của . Nếu ( ). và : v(z )  ở đây v ( ). Nếu u ( \ F ) là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi u(z ) (z lim sup u(y ) (z u (z ) \ F) F) y z y F là đa điều hoà dưới trong . n 1.1.11. Định nghĩa. Một miền bị chặn tồn tại hàm đa điều hòa dưới liên tục c z : (z ) c : được gọi là miền siêu lồi nếu ( , 0) sao cho với mọi c 0. 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.2.1. Định nghĩa. Cho là một tập con mở của n và u : là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của v (G) và v , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho u trên G , đều có v u trong G. Một số tính chất tƣơng đƣơng của tính cực đại. 6 n 1.2.2. Mệnh đề. Cho là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của ( ), nếu lim inf(u(z ) v z v(z )) và với mỗi hàm 0, với mọi G , thì u v trong G; (ii) Nếu v cho u ( ) và với mỗi v (iii) Nếu v v trong sao . ( ), G là một tập con mở compact tương đối của v trên G thì u u \ K , thì u trong 0 tồn tại một tập compact K (iv) Nếu v v trong G; ( ), G là một tập con mở compact tương đối của lim inf(u(z ) v(z )) z , và 0, với mỗi G , thì u , và v trong G; (v ) u là hàm cực đại. 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử . Hàm cực trị tương đối đối với E trong uE , (z ) Hàm uE , * n là một tập con mở của sup v(z ) : v được định nghĩa là: ( ), v là đa điều hoà dƣới trong và E là tập con của 0 (z 1, v E ). . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tƣơng đối. 1.3.2. Mệnh đề Nếu E1 E2 1 2 thì uE , 1 1 uE , 2 1 uE , 2 2 7 1.3.3. Mệnh đề là siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của Nếu điểm bất kỳ ta có lim uE , (z ) z Chứng minh. Nếu 0. , thì với số M < 0 là một hàm vét cạn đối với 1 trên E . Nhƣ vậy M đó, M n 1.3.4. Mệnh đề. Nếu ‚ là siêu lồi và K là một tập compact sao uE , và ký hiệu F  là hàm xác định của v u trong trong \ (0,1) tồn tại v . Thật vậy, lấy và K z ( ) là họ các hàm u . Giả sử u trong 1 trên K. Khi đó sao cho cần chứng minh rằng với mỗi u 0 z 1 thì uK , là hàm liên tục. K Chứng minh. Lấy u u 0 nào . Rõ ràng, lim (z ) uE , trong và nhƣ vậy chúng ta thu đƣợc kết quả cần tìm. cho uK* , , thì tại (0,1) . Chỉ C( ) F. Sao cho tồn tại 0 sao cho , trong đó : dist (z , ) . Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dƣới và định lý Dini có thể tìm đƣợc 0 sao cho u và u trên trên K . Đặt v trong max u , trong \ . 1 8 Khi đó v C( ) F và nhƣ vậy u tại mỗi điểm trong max u v , u ‚ . n 1.3.5. Mệnh đề. Cho là tập mở liên thông, và E . Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) uE* , 0; (ii) Tồn tại hàm v Chứng minh. (ii) v uE , với mọi uE* , uE , (a ) ( ) âm sao cho E z : v(z ) (i) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v nhƣ ở trên (ii) , thì 0 , từ đó uE , 0 . Bây giờ giả sử uE* , 0 . Khi đó tồn tại a , có thể chọn một v j 0 . Bởi vậy, với mỗi j vj 0 hầu khắp nơi trong 0, v j sao cho ( ) sao cho 2 j. 1 và v j (a ) E . Nhƣ vậy Đặt v(z ) j 1 Chú ý rằng v(a) v j (z ), 1 , v âm trong z , và v . . E Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dƣới. Vì v nên ta kết luận v ( ). ‚ 9 1.3.6. Mệnh đề. Cho n là tập con mở liên thông của . Giả sử E Ej , j trong đó E j j Chứng minh. Chọn v j điểm a \ j 0 với mỗi j , thì uE* , 1, 2,... . Nếu uE* , với j 0 và v j ( ) sao cho v j v j 1( vj j ( ), v 1.3.7. Mệnh đề. Cho compact của 0 và v j 1 j và K j z0 1 u ( j0 (( ) sao cho u v(z ) và K là một tập con z . 0 là một hàm vét cạn đối với (0,1) sao cho (z 0 ) 1 ‚ . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử . Giả sử 1 trên K. Lấy sao cho tập mở uK , (z ), j Chứng minh. Lấy điểm z 0 n 0. . Khi đó lim uK , (z ) rằng K E là một dãy tăng những tập con mở của j 1 2 j . Khi đó v j (a ) . Suy ra uE* , là tập con siêu lồi của . Giả thiết rằng sao cho . Lấy Ej ) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng số dƣơng thích hợp, ta có thể giả thiết v 0. , . Khi đó tồn tại j 0 )) là tập compact tƣơng đối trong 0 trên j0 và u max u(z ) , (z ) , (z ), sao cho 1 trên K . Khi đó z z \ j0 . Lấy 10 xác định một hàm đa điều hoà dƣới; hơn nữa v v(z 0 ) 1 và v K uK , (z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ uK , uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) j , nên ta có uK , (z 0 ) j0 Do đó ta có uK , (z 0 ) j0 0 . Nhƣ vậy uK , (z 0 ) với mọi j j0 và j nhỏ ‚ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức n Cho u là đa điều hoà dƣới trên miền c dd u n c dd u : ... c dd u n có thể xem nhƣ độ đo Radon trên thì toán tử: 2 n 4 n ! det n với dV là yếu tố thể tích trong C2 . Nếu u u z j zk dV , 1 j ,k n gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên n dd cu . C0 Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dƣới bị chặn địa phƣơng trên un u và thì tồn tại dãy dd cun lim n n un hội tụ yếu tới độ đo Radon dd cun n C n 1 d , tức là: trên C0 . sao cho 11 không phụ thuộc vào việc chọn dãy un Hơn nữa nhƣ trên, ta ký hiệu: (dd cu)n và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. C p,p là p, p -dạng lớp C 1.4.1. Mệnh đề. Nếu và T là q, q -dòng với p dd cT n q dd c n 1 thì T d d cT trên tập mở dc n T . Chứng minh. Ta có: d cT d Nhƣng p dc q 1 T d cT i T i T T i T T d cT Do đó d dd cT dd c dc T dT . n nên d cT d d dc T T dc dd cT T T . dT dd c T. Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có: nếu T là (q, q) dòng n q 1, n trên q tập n mở 1 -dạng lớp C dd cT dd c C 0, n và q 1,n q 1 với hệ số trong D( ) thì T d d cT d cT dc dc T T 0. là 12 Vậy dd cT , Giả sử T dd cT dd c T , dd c T q, q là dòng dƣơng có bậc . (1.1) trên tập mở n và q u ( ) . Khi đó T Lloc các độ đo phức trên J ,K . Vậy từ u ( ) TJK i dzJ 2 Lloc dz K với TJK là nên u là hàm khả tích q đối với các TJK . Do đó uT J ,K i dzJ 2 uTJK dz K là q, q -dòng với hệ số độ đo. Ta đƣa ra định nghĩa sau: dd cu dd c uT . T Từ (1.1) ta có dd cu T đúng cho mọi C 0, n 1.4.2. Mệnh đề. Giả sử tụ yếu tới độ đo Radon dd cu T , dd c uT , uT , dd c uT q 1,n q 1 j dd c , ‚ . là dãy các độ đo Radon trên tập mở . Khi đó G a) Nếu G là tập mở thì b) Nếu K là tập compact thì lim inf G . j j K lim sup j j K . n hội 13 c) Nếu E compact tương đối trong E K G K inf lim inf IntE E 1 trên K . Khi đó 1 và lim j K Từ đó lim sup j j G . ,V=V0 . Giả sử V là một lân K ,V V j G . C0 V , 0 cận mở của K và c) Viết E j j j V :V lim inf j j G là tập 1 trên K . Khi đó 1 và lim Từ đó G . Giả sử K K :K sup 0 thì E . j j C0 G , 0 compact. Lấy b) Ta có lim G Chứng minh. a) Ta có E sao cho lim sup j j j K . K . E . Khi đó int E lim inf j int E j lim inf j j E . Mặt khác E Từ đó Vậy E E lim sup j lim sup j lim j j j E . j E lim sup j j E . E . ‚ 14 n 1.4.3. Mệnh đề. Giả sử sao cho u, v 0 trên dương, đóng trên là miền bị chặn và u, v 0 . Giả sử T là n và lim u z z Đặc biệt, nếu lim v z z 0 , đặt u hòa dƣới trên 1, n 1 -dòng udd cv T . vdd cu T 0 thì Chứng minh. Chú ý rằng dd cu . Với Lloc . Khi đó vdd cu T trên ( ) udd cv T . T và ddcv T là các độ đo Borel dƣơng max u, và u tăng tới 0 khi . Khi đó u 0 và là hàm đa điều giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có udd cv T u dd cv T u lim 0 và u Do lim u z z ' miền u u dd cv T 0 nên u sao cho u 1 j C0 0 u u u dd cv T . u 1 j 0 là tập compact tƣơng đối trong u 0 ' nên dd cu u Lloc ( ) , suy ra . Lấy . Khi đó với j đủ lớn, và do giả thiết T là n đóng trên ( ) lim 1, n 1 dòng dƣơng, T là (n, n) dòng dƣơng, đóng với mọi 15 u u 1/ j vdd c u dd cv T u vdd c u ' \ vdd c u 1/ j ' u 1/ j T ' vdd c u T T 1/ j vdd c u T 1/ j u T 1/ j ' vdd c u T. 1/ j ' 1/ j vdd c u T hội tụ yếu tới vddcu T . Vậy 1/ j vdd cu T ' Từ đó cho dd c u T hội tụ yếu tới dd cu T . Khi đó Nhƣng dd c u T vdd c u lim inf j 1/ j 1/ j T u ' u dd cv T . ' 0 suy ra vdd cu T vdd cu T. ' Cho ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh. ‚