Tài liệu Một vài ứng dụng của thống kê bose - einstein biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ HÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh - người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Vật lí, đặc biệt là các thayfam cô trong tổ Vật lí lí thuyết, phòng sau Đại học – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu. Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp,… đã luôn động viên, giúp đỡ tôi để luận văn được hoàn thành. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Trần Thị Hà LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan và chịu trách nhiệm trước Hội đồng khoa học: Luận văn này là kết quả nghiên cứu trung thực của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không sao chép kết quả của bất kỳ công trình khoa học nào dưới bất kỳ hình thức nào. Mọi trích dẫn làm căn cứ khoa học đều đã được ghi chú đầy đủ, trung thực. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Trần Thị Hà MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................... MỤC LỤC ...................................................................................................... MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1 Chương 1: XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ ............. 5 1.1. Phương pháp Các Ô Boltzman............................................................. 5 1.1.1. Phương pháp Các Ô Boltzman...................................................... 5 1.1.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp Các ô Boltzmann ..................................................................................... 6 1.2. Phương pháp Gibbs .............................................................................. 8 1.2.1. Phương pháp Gibbs ....................................................................... 8 1.2.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp Gibbs........................................................................................................ 10 1.3. Phương pháp lí thuyết trường lượng tử................................................ 11 1.3.1. Hệ các dao động tử boson ............................................................. 11 1.3.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose-Einstein bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử ......................................................................... 14 1.4. Kết luận chương 1 ................................................................................ 15 Chương 2: ÁP DỤNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN VÀO HỆ LƯỢNG TỬ .................................................................................. 16 2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính....................... 16 2.2. Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của vật rắn................................... 20 2.3. Áp dụng phân bố thống kê Bose-Einstein nghiên cứu bức xạ cân bằng ......................................................................................................... 24 2.4. Áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein nghiên cứu hiÖn t-îng ng-ng tô Bose - Einstein......................................................................... 25 2.5. Kết luận chương 2 ............................................................................ 31 Chương 3: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSEEINSTEIN BIẾN DẠNG................................................................................ 32 3.1. Cơ sở toán học của hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng ......................................................................................................... 32 3.2. Dao động tử [q]- boson và thống kê Bose-Einstein biến dạng - q ............. 33 3.3. Dao động tử {q}- Boson .................................................................. 35 3.4. Xác định phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q.... 36 3.5. Chứng minh dao động tử biến dạng q mô tả dao động tử phi điều hòa tuyến tính .......................................................................................... 37 3.6. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của hệ dao động tử phi điều hòa tuyến tính .................................................................................. 38 3.7. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng –q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein ........................................................ 40 3.8. Kết luận chương 3 ............................................................................ 44 KẾT LUẬN .................................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu hệ nhiều hạt. Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà người ta thường tách vật lí thống kê làm hai phần: Vật lí thống kê cổ điển và vật lí thống kê lượng tử. Vật lí thống kê lượng tử tổng quát và chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển vì các kết quả của vật lí thống kê lượng tử đã bao gồm các kết quả của vật lí thống kê cổ điển như là trường hợp riêng. Nhiệm vụ của vật lí thống kê lượng tử là nghiên cứu các tính chất của hệ nhiều hạt vi mô tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử. Vật chất tồn tại dưới hai dạng là chất và trường: các chất bao gồm một số rất lớn các nguyên tử, phân tử. Lượng tử của các trường là các hạt cơ bản, chẳng hạn lượng tử của trường điện từ là các photon,…Từ đó có thể thấy đối tượng nghiên cứu của vật lí thống kê là rất rộng. Nhiệt động lực học cũng nghiên cứu các quy luật chuyển động nhiệt trong hệ nhiều hạt, nhiệt động lực học khảo sát các hiện tượng theo quan điểm về sự biến đổi năng lượng trong các hiện tượng đó. Cơ sở của nhiệt động học là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là các nguyên lí của nhiệt động lực học. Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời của nhân loại và đó được thực nghiệm xác nhận. Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động của các hạt vi mô tạo nên hệ. Vật lí thống kê xuất phát từ các tính chất và cấu trúc vi mô của các hạt tạo nên hệ để rút ra những tính chất của hệ nhiều hạt bằng phương pháp xác suất thống kê. Tại sao lại phải dùng phương pháp xác suất thống kê mà không thể dùng phương pháp giải các phương trình Lagrange hoặc các phương trình chính tắc Hamilton trong bài toán cổ điển, phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt lượng tử. Câu trả 2 lời là bởi vì trong các hệ nhiều hạt tồn tại một quy luật khách quan là hệ quả của tính chất số đông đó là quy luật tính thống kê, chứ không phải vì hệ nhiều hạt có số bậc tự do rất lớn. Ở đây có quy luật lượng đổi - chất đổi: Khi số bậc tự do tăng lên quá lớn - lượng đổi, thì tính chất của các quy luật cũng thay đổi - chất đổi. Mặc dù tính cách của một hạt riêng lẻ tuân theo định luật động lực học của cơ học, nhưng trong hệ nhiều hạt có biểu hiện của quy luật tính thống kê. Rõ ràng là tính cách thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt riêng lẻ hay một số ít hạt và chỉ trong các hệ nhiều hạt mới có biểu hiện của quy luật tính thống kê. Nhưng tính cách của từng hạt riêng lẻ tạo nên hệ nhiều hạt vẫn quyết định tính cách của toàn bộ hệ. Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta đã dùng các phương pháp cơ bản sau: Phương pháp các ô Boltzmann, phương pháp Gibbs, phương pháp lí thuyết trường lượng tử. Về mặt lịch sử phương pháp các ô Boltzmann ra đời sớm nhất nhưng phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm và được coi là phương pháp cơ bản của vật lí thống kê. Ngày nay lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để giải thích bản chất của các hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó. Lí thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí. Đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử. Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ được bản chất vật lí của các quá trình vật lí trong hệ nhiều hạt. Việc áp dụng các thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ lượng tử đã giải quyết được rất nhiều vấn đề mà các thống kê cổ điển không thể giải thích đầy đủ được như nhiệt dung của vật rắn, các tính chất của khí 3 electron, nhiệt dung của khí electron trong kim loại và hiện tượng ngưng tụ Bose-Eintein, ... Các tính toán lí thuyết được xây dựng đối với mô hình lý tưởng, do đó vẫn có những sai khác giữa kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được. Khi đó người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lượng tử mà cấu trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lí, là một phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử . Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac như thống kê para Bose, para – Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng...., với tư cách là các thống kê mở rộng. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Víi mong muèn hiÓu biÕt ®Çy ®ñ h¬n vÒ thÕ giíi c¸c h¹t vi m«, vµ hÖ c¸c h¹t ®ång nhÊt boson, em ®· chän ®Ò tµi “ Một vài ứng dụng của thống kê Bose –Einstein biến dạng”. Mục đích của đề tài là xây dựng các thống kê lượng tử biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử và áp dụng các thống kê đó vào nghiên cứu một số hiện tượng vật lí. Nội dung chính của đề tài gồm ba chương: Chương 1 trình bày một cách hệ thống các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử, trong chương 2 chúng tôi đã áp dụng phân bố thống kê Bose-Einstein nghiên cứu một số hiện tượng vật lí. Việc áp dụng phương pháp lí thuyết trường lượng tử để xây dựng phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng và áp dụng phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng để nghiên cứu một số hiện tượng vật lí 4 nhằm mở rộng phạm vi phù hợp của kết quả lý thuyết và thức nghiệm được trình bày trong chương 3. 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng thống kê Bose-Einstein bằng các phương pháp Cac ô Boltzmann, phương pháp Gibbs và phương pháp lí thuyết trường lượng tử. - Áp dụng thống kê Bose –Einstein vào các hệ lượng tử . - Xây dựng và áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q vào các hệ lượng tử . 3. Đối tượng nghiên cứu - Hệ các hạt đồng nhất Boson. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lí lí thuyết. - Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác. - Phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử . 5 Chương 1 XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 1.1. Phương pháp Các Ô Boltzman 1.1.1. Phương pháp Các Ô Boltzman Nội dung của phương pháp các ô Boltzmann là: chia không gian pha thành các “ô” tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét các sự phân bố khác nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra được số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương thích với những điều kiện bên ngoài nhất định tức là tìm được xác suất nhiệt động của hệ. Sau đó dựa vào nguyên lý Boltzmann tìm được entrôpi của hệ và dựa vào điều kiện cực đại của entrôpi khi cân bằng nhiệt động, ta tìm được phân bố thống kê của hệ [1]. Theo nguyên lí Boltzmann thì entrôpi của trạng thái vĩ mô của hệ tỉ lệ với logarít nêpe của xác suất nhiệt động W, cũng chính là logarít nêpe của số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ S = k ln W, ( 1.1 ) với k là hằng số Boltzmann. Entropi định nghĩa như vậy không những chứng tỏ entrôpi có bản chất đặc biệt thống kê, không thể có một dụng cụ đo trực tiếp entrôpi, mà còn phù hợp với định lý Nerst ( nguyên lí thứ ba của nhiệt động lực học) cho rằng: đường đẳng nhiệt T = 0 trùng với đường đoạn nhiệt S = 0. Thật vậy, khi nhiệt độ hạ thấp dần xuống, hệ sẽ chiếm các mức năng lượng ngày càng thấp. Khi T=0, hệ chỉ nằm trong trạng thái lượng tử có năng lượng thấp nhất do đó W=1 và S = k ln W = k ln1 = 0 Theo quan niệm lượng tử, một trạng thái vi mô của hệ trong không gian pha tương ứng với không phải một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu nào đó của không gian pha. Đối với một hệ gồm N hạt thể tích cực tiểu 6 như vậy của không gian pha là bằng G min = h 3N . Do đó đối với một hệ lượng tử gồm N hạt, một thể tích bất kỳ Γ của không gian pha sẽ chứa G trạng thái lượng tử. h 3N Mặt khác, ta biết rằng trong vật lí thống kê lượng tử do tính đồng nhất như nhau của các hạt đồng nhất, các phép hoán vị bất kỳ của chúng không đi đến trạng thái vi mô nào mới. Vì vậy số cái trạng thái lượng tử sẽ giảm đi N! lần và trong thể tích Γ của không gian pha sẽ chỉ có chứa G trạng thái. h N! 3N Hơn nữa các trạng thái lượng tử có thể khác biệt nhau ở sự định hướng của spin của các hạt (có 2s+1 định hướng khác nhau) thế mà spin lại không tham gia gì vào trong không gian pha, cho nên số các trạng thái lượng tử sẽ tăng lên (2s+1) lần. Như vậy một thể tích Γ của không gian pha sẽ chứa tất cả là (2s + 1)Γ trạng thái lượng tử. h 3N .N! 1.1.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp Các ô Boltzmann Đối với hệ các hạt đồng nhất boson có spin nguyên, các hạt được xem như là không thể phân biệt được và có các trị số năng lượng rời rạc. Để xây dựng thống kê lượng tử Bose - Einstein đối với hệ các hạt boson đồng nhất bằng phương pháp các ô, với quan niệm các ô như là các trạng thái lượng tử của hạt. Xét hệ các hạt Boson mà trạng thái được diễn tả bằng hàm sóng đối xứng và không tuân theo nguyên lý Pauli. Bằng cách tách ra một miền không gian pha có zi ô pha ta hãy tìm số các chuyển vị của ni hạt theo các ô đó, phù hợp với các tính chất của hạt Boson. Bài toán quy về tìm sự phân bố n i yếu tố không phân biệt trong các ô, đồng thời trong mỗi ô số hạt là không hạn chế, 7 tức là ta tìm số các phương pháp mà nhờ đó n i hạt không phân biệt có thể xếp đặt trong zi ô có đánh số, chú ý rằng số hạt trong mỗi ô là tuỳ ý. Các phép tính tổ hợp, đi đến kết quả số các phương pháp đó là bằng Wi = ( n i + zi - 1)!, n i !( zi - 1) (1.2) trong đó Wi là số các trạng thái có thể có đối với các n i và zi đã cho trước. Do đó xác suất nhiệt động của hệ, tức là toàn bộ các trạng thái vi mô có thể có của hệ sẽ là W = P Wi = P i i ( n i + zi - 1)!. n i !( zi - 1)! (1.3) Như vậy khi có cân bằng nhiệt động, số các hạt trong zi ô có năng lượng ei sẽ là ni = zi . exp {-a - bei } - 1 (1.4) Từ đó hàm phân bố theo năng lượng hay số hạt trung bình ứng với một ô sẽ là f ( ei ) = ni 1 = , zi exp {-a - bei } - 1 (1.5) Đó chính là hàm phân bố theo năng lượng hay phân bố thống kê Bose– Einstein. Ta hãy tìm các hằng số a và b trong phân bố đó, theo nguyên lý Boltzmann, ta có: S e -a-bei e -a-b ei = ln W = å n i ( -a - bei ) + Zi ln -a = -aN - b E + å zi ln -a-b ei , e -1 k e - bei - 1 i i 8 Áp dụng hệ thức: 1 æ dS ö ç ÷ = = -kb, è ¶E øT T nên b=- 1 . kT (1.6) Từ điều kiện chuẩn hoá N = å ni = å i i zi , exp {-a - bei } - 1 ta được: a= m . kT (1.7) Và phân bố thống kê Bose- Einstein có dạng f (e) = 1 . ìe - m ü exp í ý-1 î kT þ 1.2. Phương pháp Gibbs 1.2.1. Phương pháp Gibbs Cơ sở của phương pháp Gibbs là thay việc khảo sát sự biến đổi vi mô của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho, gọi là tập hợp thống kê. Tập hợp thống kê là một hợp các hệ tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau, ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời phải bảo đảm rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác. Như vậy, tập hợp thống kê cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ [1]. 9 Phương pháp Gibbs thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê. Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ. Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ đẳng nhiệt cho chúng ta xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng E k là ì Y - Ek ü WK = exp í ý, î q þ (1.8) Trong đó y và q có ý nghĩa của năng lượng tự do và nhiệt độ thống kê. Khi có sự suy biến, nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với nhiều hàm sóng khác nhau hay là nhiều trạng thái vật lí khác nhau thì ì y - Ek ü WK = g k (E k )exp í ý. î q þ (1.9) Nói chung số hạt trong hệ là thay đổi nên chúng ta phải xuất phát từ phân bố chính tắc lớn lượng tử W ( n 0 , n1....) = 1 exp {W + mN - E k } g(E k ), N! Với W là thế nhiệt động lớn, m là thế hoá học. Ký hiệu G = ( n o , n1.....) = g(E k ) . N! (1.10) 10 Vậy ¥ ì ü W + n m e ( ) å l l ïï ïï l =0 W ( n o , n1....) = exp í ý.G ( n o ,n1...) , q ï ï ïî ïþ (1.11) Công thức (1.11) cho ta biết xác xuất để cho hệ có n 0 hạt nằm trên mức eo , n1 hạt nằm trên mức e1 ,..... như vậy đó là công thức về xác suất các số chứa đầy và ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên một mức năng lượng: n k = åå ...n k W ( n o , n1....). no (1.12) n1 Điều kiện chuẩn hoá là ìW ü åå...W ( n ,n ....) = exp íî q ýþ Z = 1, o no 1 n1 (1.13) Trong đó Z là tổng trạng thái của hệ: ì å n l ( ml - e l ) ü ï ï Z = åå ....exp í l-0 ý G ( n o ,n1...), q n o n1 ï ï î þ (1.14) Nghĩa là W = -q ln Z. (1.15) Dựa vào các hệ thức (1.14) , (1.15), ta được nk = - ¶W ¶m k . m k =m (1. 16) 1.2.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp Gibbs Đại lượng G k ( n o , n1 ,.....) = g(E k ) xuất hiện là vì ta kể đến khả năng N! xuất hiện các trạng thái vật lí mới khi hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ các hạt đồng nhất boson và fermion tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối 11 xứng và phản đối xứng thì các phép hoán vị đều không đi đến một trạng thái vật lí mới nào, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu hoặc đổi dấu, nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với hệ các hạt đồng nhất boson và fermion ta có g(E k ) = N!, Suy ra G k ( n 0 ,n1....) = 1. (1.17) Đối với hệ hạt boson không bị cấm bởi nguyên lí Pauli, số hạt trên cùng một mức năng lượng có thể có trị số bất kỳ, nên tổng trạng thái của hệ là ¥ 1 , l=0 ìm l - el ü 1 - exp í ý î q þ Z=P (1.18) Từ đó, ta có: ¥ m -e ù é W = -q ln Z = qå ln ê1 - exp l l ú . q û ë l= 0 (1.19) Theo (1.16) ta thu được trung bình của các số chứa đầy hay phân bố thống kê Bose – Einstein: n = f (e) = 1 . ìe - m ü exp í - 1ý î kT þ (1.20) 1.3. Phương pháp lí thuyết trường lượng tử 1.3.1. Hệ các dao động tử boson Trong biểu diễn số hạt, các dao động tử boson được đặc trưng bởi các + toán tử sinh, hủy dao động tử a$ ,a$ tuân theo các hệ thức giao hoán [2], [3]: $ $ + - a$ + a$ = 1. aa (1.21) 12 µ biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy boson a$ + ,a$ và Toán tử số hạt N tuân theo các hệ thức giao hoán: µ = a$ + a, $ N µ + 1 = aa $ $+, N µ $ ù = -a, $ é N,a µ $ + ù = a$ + . é N,a ë û ëê ûú (1.22) Đại số (1.21) được thực hiện trong không gian Fock có các véctơ cơ sở là véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N̂ , thỏa mãn phương trình ) N n =n n , (1.23) Trong đó: n là trạng thái có n dao động tử thoả mãn điều kiện trực chuẩn: n m = dn,m , (1.24) Và được xác định bằng cách tác động liên tiếp toán tử sinh dao động tử lên trạng thái chân không n = n 1 aˆ + ) 0 . ( n! (1.25) + Tác dụng của các toán tử sinh hạt a$ , hủy hạt a$ lên các véctơ cơ sở của không gian Fock là + a$ | n = n + 1 | n + 1 ; a$ | n = n | n - 1 . (1.26) + µ Từ (1.26) chúng ta tìm được dạng ma trận của các toán tử a$ ,a$ và N như sau: Để biểu diễn các toán tử boson bằng ma trận, chúng ta xét phần tử + a +m,n = m a$ n = m n + 1 n + 1 = n + 1 m n + 1 = n + 1 . dm,n +1 , (1.27) Với m, n nhận các giá trị: 0, 1, 2,…Từ (1.27) chúng ta tìm được biểu + diễn ma trận của toán tử a$ có dạng: 13 æ0 ç ç 1 ç $a + = ç 0 ç0 ç ç ... ç è0 0 ö ÷ 0 0 ... 0 0 ÷ 2 0 ... 0 0 ÷÷ . 0 3 ... 0 0 ÷ ÷ ... ... ... ... ... ÷ ÷ 0 0 ... n - 1 0 ø 0 0 ... 0 (1.28) Làm tương tự với toán tử hủy hạt a$ , chúng ta có phần tử a m,n a m,n = m a n = n m n - 1 = n. dm,n -1 , (1.29) Với m, n nhận các giá trị 0, 1, 2, …Biểu diễn ma trận của toán tử a$ có dạng: æ0 ç ç0 ç $a = ç 0 ç ... ç ç0 ç è0 1 0 0 ... 0 0 ö ÷ 2 0 ... 0 0 ÷ ÷ 0 3 ... 0 0 ÷ . ÷ ... ... ... ... ... ÷ 0 0 ... 0 n - 1 ÷ ÷ 0 0 ... 0 0 ø 0 0 ... 0 0 (1.30) Thực hiện các phép nhân ma trận chúng ta thu được các hệ thức (1.21) và (1.22). Thật vậy, ta có phần tử ma trận N mn được xác định như sau: µ n = m n n = n m n = nd . N mn = m N m,n µ là một ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính Ma trận N bằng 0, 1, 2, … n - 1 , còn các phần tử khác đều bằng 0. Chúng ta sẽ kiểm tra lại, ta có: 14 µ = a$ + a$ N 0 0 æ0 ç 0 ç 1 0 ç0 2 0 =ç ç0 0 3 ç ç ... ... ... ç 0 è0 0 æ0 ç ç0 = ç0 ç ç ... ç è0 0 öæ 0 ÷ç 0 0 ÷ç 0 0 0 ÷ç ÷ç 0 0 0 ÷ç ... ÷ç ... ... ÷ç 0 ÷ç n - 1 0 øè 0 ... 0 ... ... ... ... ... ö ÷ 1 0 ... 0 0 ÷ 0 2 ... 0 0 ÷ . ÷ ... ... ... ... ... ÷ ÷ 0 0 ... 0 n - 1 ø 0 0 ... 0 1 0 0 2 ö ÷ ... 0 0 ÷ ÷ ... 0 0 ÷ ... ... ... ÷ ÷ ... 0 n - 1 ÷ ÷ ... 0 0 ø 0 ... 0 0 0 3 ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1.31) 1.3.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose-Einstein bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử Bây giờ, chúng ta tìm phân bố thống kê của hệ dao động tử Boson đồng nhất đơn mode bằng cách xuất phát từ biểu thức trung bình thống kê theo tập hợp chính tắc lớn của một đại lượng vật lý F được biểu hiện bởi toán tử F̂ là: µ -m N µ b( H 1 ) Fˆ ö , F$ = Tr æç e ÷ Z è ø Trong đó b = (1.32) 1 µ là Hamiltonian. Thông thường , m là thế hoá học, H kT 1 µ = eN µ với e = hw là lượng khi chọn gốc năng lượng ở giá trị E o = hw thì H 2 tử năng lượng, Z là tổng trạng thái đặc trưng cho tính chất nhiệt động của hệ µ -m N µ -b( H ) ö. Z = Tr æç e ÷ è ø (1.33) 15 ˆ = aˆ + aˆ vào các công thức (1.32), (1.33), chúng ta thu được Thay Fˆ º N số hạt trung bình có cùng mức năng lượng e là ˆ = aˆ + aˆ = n= N 1 . ìe - m ü exp í ý-1 î kT þ (1.34) Chú ý: Khi kể đến sự suy biến của các mức năng lượng e , chúng ta nhân thêm vào (1.34) bậc suy biến g ( e ) , ta có biểu thức đầy đủ của phân bố thống kê Bose - Einstein là f (e) = g (e) . ìe - m ü exp í ý-1 î kT þ (1.35) 1.4. Kết luận chương 1 Trong chương này chúng tôi đã trình bày một cách có hệ thống ba phương pháp xây dựng phân bố thống kê Bose-Einstein. Về phương diện lịch sử phương pháp các ô của Boltzmann ra đời sớm nhất, tuy nhiên phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm hơn và được coi là phương pháp cơ bản của vật lí thống kê hiện đại. Bên cạnh đó, chúng tôi đã trình bày phương pháp thứ ba đó là phương pháp lí thuyết trường lượng tử để xây dựng phân bố thống kê BoseEinstein. Đây là cơ sở để chúng tôi nghiên cứu các vấn đề ở chương tiếp theo.