Tài liệu Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thông tin lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐINH THỊ HẢI MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐO YẾU, GIÁ TRỊ YẾU TRONG THÔNG TIN LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐINH THỊ HẢI MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐO YẾU, GIÁ TRỊ YẾU TRONG THÔNG TIN LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS TRẦN THÁI HOA HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Thái Hoa, người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp để tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, trong Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Học viên Đinh Thị Hải LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Đinh Thị Hải, học viên cao học khóa 2011 - 2013, chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thông tin lƣợng tử”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Học viên Đinh Thị Hải Nguyễn Minh Vương MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 NỘI DUNG....................................................................................................... 3 CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHÉP ĐO YẾU, GIÁ TRỊ YẾU ............ 3 1.1. Giới thiệu .................................................................................................... 3 1.2. Các khái niệm cơ bản ................................................................................ 4 1.2.1. Phép đo yếu ............................................................................................ 4 1.2.2. Giá trị yếu ................................................................................................ 8 1.2.3. Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu .................................................. 11 1.2.4. Sự chọn lọc trước và sau ....................................................................... 15 CHƢƠNG 2: NHỮNG NÉT KHÁI QUÁT VỀ VẬT LÝ LƢỢNG TỬ, THÔNG TIN LƢỢNG TỬ ........................................................................... 17 2.1. Vật lí lượng tử ........................................................................................ 17 2.1.1. Những nét khái quát về vật lý lượng tử ................................................ 17 2.1.2. Giá trị thành phần spin của hạt có spin 1 ........................................... 19 2 2.1.3. Ý nghĩa của vật lý lượng tử ................................................................... 22 2.2. Thông tin lượng tử .................................................................................. 23 2.2.1. Giới thiệu ............................................................................................ 23 2.2.2. Bit lượng tử ........................................................................................... 26 2.2.3. Rối lượng tử .......................................................................................... 32 2.2.4. Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp ....................... 34 CHƢƠNG 3: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐO YẾU, GIÁ TRỊ YẾU TRONG THÔNG TIN LƢỢNG TỬ .................................................. 39 3.1. Phép đo yếu trong lý thuyết lượng tử đo lường ....................................... 39 3.2. Xác suất yếu có điều kiện và biến đổi đơn nhất....................................... 43 3.3. Sự tối đa hóa chồng chập của các trạng thái đầu và trạng thái cuối ........ 47 3.4. Minh họa không gian pha cho biến liên tục ............................................. 48 3.5. Luận lý hợp lý giữa ba trạng thái lượng tử .............................................. 52 3.6. Nhận xét ................................................................................................... 54 KẾT LUẬN .................................................................................................... 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 57 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay tại Việt Nam, các hướng nghiên cứu về vật lý lý thuyết đang gặp nhiều khó khăn về nhân lực và vật lực. Mặt khác trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học. Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản. Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển. Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng phép đo yếu, giá trị yếu vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học, và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc. Đề tài nghiên cứu của tôi về “Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thông tin lƣợng tử” (weakmeasurement, weak values in quantum information) là một vấn đề rất mới hứa hẹn nhiều đóng góp cho lĩnh vực vật lý lượng tử và vạch ra những lý thuyết mới làm nền tảng cho vật lý thực nghiệm. Đề tài nghiên cứu này mang tính chất lượng tử sâu sắc và ứng dụng phép đo yếu trong các bài toán thực tiễn về việc đo đạc. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc nghiên cứu các phép đo yếu, các giá trị yếu và một số ứng dụng của chúng trong thông tin lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về phép đo yếu, các giá trị yếu và một số ứng dụng của chúng trong thông tin lượng tử. 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Thông tin lượng tử & các vấn đề đo đạc trong thông tin lượng tử. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý toán. 3 NỘI DUNG CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHÉP ĐO YẾU, GIÁ TRỊ YẾU 1.1. Giới thiệu Trong cơ học lượng tử, cái thường được xem là không thể là việc biết mọi thứ về một hệ cùng một lúc. Chẳng hạn, nếu đo vị trí của một hạt thật chính xác, thì động lượng của hạt sẽ đột ngột trở nên rất kém rõ ràng. Các nhà vật lí gọi những cặp biến như vị trí và động lượng là “liên hợp” chúng vốn dĩ liên hệ với nhau, nên phép đo tiến hành trên một hạt về cơ bản làm hỏng mất thông tin về hạt kia. Nhìn bên ngoài, hiện tượng này được hậu thuẫn trong nguyên lí bất định nổi tiếng của Heisenberg làm hạn chế thông tin mà các nhà vật lí có thể thu được từ việc nghiên cứu các hệ lượng tử. Nhưng trong 20 năm qua, những kĩ thuật mới đã và đang được phát triển để xử lí tốt hơn về độ bất định và giới hạn chính xác mà nó biểu hiện. Gọi là những phép đo yếu, chúng bao gồm việc thực hiện những cái “nhìn lén” tinh vi vào hệ lượng tử, nên thông tin có thể thu được từng chút một, mà không làm ảnh hưởng gì lớn lên hệ lượng tử. Lí thuyết “đo yếu” được đề xuất lần đầu tiên hồi năm 1998 và được phát triển bởi nhà vật lí Yakir Aharonov cùng nhóm của ông tại trường Đại học Tel Aviv, Israel, đã thu hút ít nhiều hứng thú trong những năm gần đây. Lí thuyết trên phát biểu rằng người ta có thể đo “yếu” một hệ và từ đó thu được một số thông tin về một tính chất mà không gây nhiễu đáng kể đối với tính chất bổ sung và do đó không gây nhiễu đối với sự phát triển tương lai của toàn bộ hệ. Mặc dù thông tin thu được đối với mỗi phép đo là tối thiểu, nhưng nếu lấy trung bình nhiều phép đo sẽ mang lại một ước tính chính xác của số đo của tính chất đó mà không gây nhiễu đối với kết cục của nó. 4 1.2. Các khái niệm cơ bản 1.2.1. Phép đo yếu Vào năm 2011, các nhà vật lí tại Trung tâm Nghiên cứu quốc gia (NRC) ở Ottawa, Canada, khẳng định họ đã có thể sử dụng phép đo yếu để tái hiện trực tiếp hàm sóng của một hệ lượng tử, cái mô tả một hệ lượng tử diễn tiến như thế nào theo thời gian. Trước phép đo yếu, các hàm sóng chỉ được đo gián tiếp trong một kĩ thuật gọi là xạ lượng tử. Kĩ thuật này bao gồm việc thực hiện nhiều phép đo bình thường khác nhau lên các hệ lượng tử tương đương các photon đơn lẻ ló ra từ cùng một nguồn. Thông tin này sau đó được xử lí để tạo ra một bản đồ của trạng thái lượng tử đó. Cũng trong 2011 một đội gồm các nhà nghiên cứu quốc tế vừa lập được bản đồ quỹ đạo hoàn chỉnh của những photon đơn lẻ trong thí nghiệm hai khe Young nổi tiếng. Kết quả trên là bước tiến quan trọng đầu tiên hướng đến việc đo các thông số bổ sung nhau của một hệ lượng tử - cái hiện nay được xem là không thể, theo hệ quả của nguyên lí bất định Heisenberg. Trong thí nghiệm hai khe, một chùm ánh sáng chiếu lên một màn ảnh qua hai khe hẹp, mang lại một hệ vân giao thoa trên màn ảnh. Nghịch lí là người ta không thể cho biết các photon đơn lẻ đã đi qua khe nào, vì việc đo thông số này sẽ làm nhiễu hệ vân giao thoa trên màn ảnh ngay. “Trong đa số các ngành khoa học, người ta có thể nhìn vào một hệ hiện đang làm gì và từ đó xác định quá khứ hoặc tương lai của nó. Nhưng trong cơ học lượng tử, việc xem xét quá khứ rốt cuộc là cái không thể nào hiểu nổi”, phát biểu của nhà vật lí Aephraim Steinberg thuộc Trung tâm Thông tin Lượng tử và Điều khiển Lượng tử tại trường Đại học Toronto, Canada, người đã lãnh đạo nghiên cứu mới này. Sau đó họ đã sử dụng một kĩ thuật gọi là “đo yếu”, Steinberg và đội của ông cho biết họ đã làm chủ được việc đo chính xác cả vị trí lẫn xung lượng 5 của những photon đơn lẻ trong thí nghiệm giao thoa hai khe. Công trình này có cảm hứng từ một trong những người đồng nghiệp của Steinberg, Howard Wiseman ở trường Đại học Griffith, Australia, người hồi năm 2007 đã đề xuất rằng người ta có thể sử dụng những phép đo yếu để xác định xung lượng và vị trí trong thí nghiệm hai khe. Steinberg đã lập tức bị mê hoặc và bắt đầu khảo sát xem đề xuất này có giá trị thực nghiệm như thế nào. Trong thí nghiệm của họ, các nhà nghiên cứu gửi một tập hợp photon đơn lẻ qua một giao thoa kế hai khe và tiến hành một phép đo yếu để đo không chính xác xung lượng của từng photon. Thao tác này được thực hiện qua việc sử dụng một miếng thạch anh calcite đóng vai trò như một kính phân cực. Tùy thuộc vào hướng truyền, từng photon bị phân cực khác nhau và hướng truyền được đo là một hàm của vị trí. Sau đó, các nhà nghiên cứu tiến hành một phép đo cực kì chính xác vị trí cuối cùng của nơi mỗi photon chạm tới “màn ảnh”, trong trường hợp của họ thì đó là một camera. Bằng cách kết hợp những vị trí đo được không chính xác ở nhiều điểm và xung lượng được đo chính xác tại đích của mỗi photon, họ có thể xây dựng chính xác toàn bộ hệ dòng chảy cho các photon. Phép đo xung lượng yếu như thế này không gây nhiễu đáng kể đối với hệ, và người ta vẫn quan sát thấy sự giao thoa. Cả hai phép đo phải được lặp lại trên một tập hợp lớn hạt để thu đủ thông tin cho toàn hệ, nhưng chúng ta không làm nhiễu kết cục sau cùng, Steinberg giải thích. “Những quỹ đạo chúng tôi đo được, như Wiseman từng dự đoán, phù hợp với cách hiểu tương đối tính nhưng trái với thông lệ của cơ học lượng tử của những nhà tư tưởng lỗi lạc như David Bohm và Louis de Broglie”. Các photon đơn lẻ họ sử dụng trong thí nghiệm trên được phát ra bởi một chấm lượng tử InGaAs làm lạnh bằng helium lỏng được bơm quang học bởi một laser được phát triển đặc biệt tại Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ quốc gia 6 ở Colorado, Mĩ. Khi đó, chấm lượng tử phát những photon đơn lẻ ở bước sóng 943 nm. Để tìm hiểu sâu sắc hơn về phép đo yếu và những ứng dụng của nó tiếp theo ta đi tìm hiểu về sự đối xứng theo nghịch đảo của thời gian trong lí thuyết lượng tử, giả sử ta mô tả hệ lượng tử ở khoảng thời gian giữa hai phép đo là đối xứng theo nghịch đảo thời gian. Trước hết, chúng ta hãy thỏa luận về tính đối xứng thời gian của phương pháp chuẩn. Trong lí thuyết lượng tử của các định luật động lực đối xứng thời gian được coi như là một bản sao cổ điển, cụ thể là trong các phương trình chuyển động Hamilton. Sự bất đối xứng được xét thông qua lý thuyết của các phép đo. Sự “chập lại” của một hàm sóng là một phần của quá trình đo (ít nhất trong cách tiếp cận chuẩn) nhưng không phải là đối xứng thời gian vì hàm sóng tồn tại trước khi phép đo “chập lại”. Nói chung, ta sẽ có một hàm sóng mới phù hợp với kết quả của phép đo. Trong cách tiếp cận chuẩn, nó không rõ ràng làm thế nào để chúng ta khôi phục lại đối xứng nghịch đảo thời gian vì không có trạng thái phát triển ngược lại trong thời gian. Ví dụ sau sẽ làm rõ sự khác biệt giữa hai hướng thời gian. Giả sử ta có tập hợp hạt có spin trạng thái x=1. 1 , mà ta tìm thấy ở thời điểm t, trong 2 Ta có thể dự đoán rằng xác suất tìm thấy y=1 1 . Tuy nhiên, ta không thể giả định rằng xác suất tìm thấy 2 thời điểm t cũng là y=1 y=1 ngay trước 1 . Nó có thể xảy ra với tất cả các hạt trong tập hợp được 2 chuẩn bị trong trạng thái thấy với ngay sau đó là y=-1, trong trường hợp không có hạt sẽ được tìm hoặc nó có thể là tất cả các hạt đã được chuẩn bị với sau đó tất cả chúng đều mang lại rằng xác suất tìm thấy x=1 y=1. y=1và Ta vẫn có thể xác định bởi giả định trước thời điểm t là 1, tuy nhiên dựa trên kết quả các phép đo các quan sát khác chúng ta đưa vào lý giải trạng thái của hệ trước 7 thời điểm t. Chúng ta giả định rằng một trạng thái tồn tại, và nếu chúng ta không hiểu nó là gì, thì chúng ta không thể tìm thấy xác suất cho các kết quả của hầu hết các phép đo. Với phép đo sau thời điểm t, vấn đề này không phát sinh vì chúng ta không giả định có trạng thái (thậm chí không biết) sự tiếp diễn sau đó. Vì vậy, sự khác biệt giữa trước và sau không phải là một đặc tính trở kháng của sóng trong lý thuyết lượng tử, nhưng nó là đặc trưng về mũi tên thời gian trong phương pháp của chúng ta. Hiện tại chúng ta xem quá khứ như tồn tại và tương lai như không tồn tại (chưa). Tuy nhiên, nếu nhiệm vụ của chúng ta là mô tả hệ lượng tử giữa 2 phép đo liên tiếp, thì chúng ta biết các điều kiện biên trong tương lai cũng như trong quá khứ (giả định rằng cả hai phép đo được hoàn thành). Do đó đối với khoảng thời gian không gian, chúng ta có một sự đối xứng hoàn toàn dưới sự nghịch đảo thời gian. Sự mô tả hệ lượng tử từ kết quả của phép đo đầu là hàm sóng thông thường phát triển từ quá khứ tới tương lai, từ phép đo đầu tới phép đo cuối, vì tính đối xứng dưới nghịch đảo thời gian. Sự tác động của phép đo cuối tương tự như hàm sóng phát triển ngược trở lại trong thời gian từ phép đo cuối đến phép đo đầu. Đây là đề nghị của chúng ta: mô tả một hệ lượng tử giữa hai phép đo bởi hai hàm sóng phát triển theo hướng ngược lại thời gian. Chúng ta xét hệ lượng tử giữa các phép đo của hai biến A và B. tại thời điểm t1 một quan sát A được đo và giá trị riêng a không suy biến đã được tìm thấy, tại thời điểm t2 B được đo và b không suy biến đã được tìm thấy. Tại thời điểm t trung gian hệ được mô tả bởi hai hàm sóng sau: một bra sóng phát triển hướng tới tương lai) và một ket 2 1 (hàm (hàm sóng phát triển hướng tới quá khứ). t 1 exp i Hd t1 A a (1.2.1) 8 t2 2 B b exp i Hd (1.2.2) t Hai hàm sóng này 2 và 1 rất hữu ích cho việc tính toán xác suất các phép đo tại thời điểm t. Chúng được sử dụng trong mục đích này bởi Ahanorov, Bergman, Lebonitz vào năm 1964. Tiếp theo chúng ta cho thấy làm thế nào mô tả hai hàm sóng dẫn đến một ý tưởng về phép đo yếu mà mang lại 1 loại mới của giá trị: các giá trị yếu. 1.2.2. Giá trị yếu Trong cơ học lượng tử, Phép đo lượng tử yếu là một trường hợp đặc biệt của mô hình chuẩn von Neumann cho phép đo lượng tử, trong đó hệ lượng tử cần đo tương tác hoặc liên kết yếu với máy đo. Một hệ quả quan trọng của quá trình này là "giá trị yếu" thể hiện trên máy đo. Trái ngược với các phép đo chuẩn của cơ học lượng tử, giá trị yếu có thể nằm ngoài vùng trị riêng khả dĩ của biến lượng tử mô tả cho phép đo và thậm chí nó có thể là một số phức. Đặc điểm này của giá trị yếu hoàn toàn không đối nghịch với các khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử và là một ví dụ của nguyên lý bất định Heisenberg. Khái niệm phép đo lượng tử yếu và giá trị yếu được đề xuất lần đầu bởi Y. Aharonov, D. Z. Albert và L. Vaidman trong bài nghiên cứu với tiêu đề hấp dẫn "Làm thế nào để phép đo thành phần spin của một hạt spin 1 đạt 2 giá trị 100". Các thí nghiệm cho phép đo lượng tử yếu được hiện thực hóa lần đầu vào năm 1990 và năm 1992. Mới đây, phép đo yếu đã được sử dụng để nghiên cứu nghịch lý Hardy. Giá trị yếu của một biến lượng tử, nó là một đặc tính vật lý của một hệ lượng tử giữa hai phép đo, tức là, đặc tính của một hệ lượng tử thuộc một tập hợp là cả sự chọn trước và chọn sau. Đặc tính này có thể biểu thị chính nó 9 thông qua phép đo mà đáp ứng một số yêu cầu của “sự yếu”. Thực tế, ảnh hưởng của một tương tác bất kỳ đủ yếu sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị yếu. giá trị yếu của một biến có thể khác nhau đáng kể từ giá trị riêng của một toán tử liên quan. Vì vậy đặc tính này của phép đo yếu có thể dùng như một chương trình mở rộng mới. Sau đây chúng ta tìm hiểu để có cái nhìn sơ khai về giá trị yếu. Xét một hệ hạt được chuẩn bị ở trạng thái i và ta muốn đo biến lượng tử  trên hệ hạt này. Một phép đo chỉ diễn ra khi có sự tuơng tác giữa hệ cần đo và máy đo. Theo mô hình Von Neumann cho phép đo lượng tử, sự tương tác này được biểu diễn bởi hàm Hamiltonian tương tác: ˆˆ ˆ g(t)AP H (1.2.3) Trong đó & P&là toán tử động lượng của kim chỉ trên máy đo. Toán tử liên hiệp µ : là hàm phụ thuộc thời gian, biểu trưng với nó là toán tử tọa độ của kim chỉ Q cho sự tuơng tác giữa hệ cần đo và máy đo. Thông thường, phép đo chỉ diễn ra trong một khoảng thời gian rất ngắn. Do đó, ta có thể giả định g(t) g (t t 0 ) , trong đó g là một hằng số. Bởi vì phép đo cũng là một hệ lượng tử, do đó nó phải có trạng thái lượng tử, giả sử thái của toàn hệ là của toàn hệ sẽ là e . Ban đầu, trạng . Khi máy đo tương tác với hệ cần đo, trạng thái i ˆˆ igAP i . Sau đó, sự lựa chọn sau f được áp đặt lên hệ cần đo, dẫn đến trạng thái của kim chỉ trên máy đo (chưa được chuẩn hóa) biến đổi thành: f e ˆˆ igAP i (1.2.4) Trong các phép đo thông thường, hệ số tương tác lớn, nên hàm sóng & & ) với A & & là giá của kim chỉ trên máy đo sau tương tác sẽ có dạng (Q g A 10 trị trông đợi của toán tử  . Nếu ta giới hạn hệ số tương tác g ở mức rất nhỏ, ta có thể bỏ qua các phần tử chứa bậc cao và chỉ giữ lại phần tử phụ thuộc bậc nhất theo g trong khai triển Taylor của trạng thái của kim chỉ trên máy đo: f ˆˆ ˆI igAP i f i ˆ (Iˆ igA P) f i e igA Pˆ (1.2.5) Kết quả này cho thấy khi tiến trình đo kết thúc, hàm sóng của kim chỉ sẽ là (Q gA ) . Ở đây, A được định nghĩa là giá trị yếu của toán tử  với i và f là các trạng thái lựa chọn trước và sau: A f  f i (1.2.6) i Trong các phép đo thông thường, cơ học lượng tử bắt buộc rằng kim chỉ của máy đo bị giới hạn trong vùng trị riêng của toán tử và nó phải là số thực. Quan sát công thức này, ta thấy rằng A nói chung là một số phức và có & &. Điểm đặc trưng này của phép thể nằm ngoài khoảng trị riêng khả dĩ của A đo yếu không hoàn toàn bác bỏ các lập luận của cơ học lượng tử. Thay vào đó, nó có thể được coi là một kết quả của nguyên lý bất định Heisenberg. Nghĩa là, vì ta đã suy giảm hệ số tương tác của phép đo, ta không thể thu được thông tin chính xác về kết quả của phép đo, ở đây là giá trị trông đợi  . Trong trường hợp tổng quát, trạng thái chọn lọc trước có thể là trạng thái hỗn hợp : ˆ và sự chọn lọc sau được thay thế bởi bộ phép đo các toán tử dương : ˆ i (tiếng Anh: Positive-operator valued measure - POVM) thì biểu thức tổng quát cho giá trị yếu được cho bởi: A i ˆˆ tr ˆ i A tr ˆ i ˆ (1.2.7) 11 Hiện nay có 2 cách trình bày để dẫn đến giá trị yếu. Cách lập luận theo hệ số tương tác được trình bày ở đây dựa trên bài báo của R.Jozsa và được coi là cách thuận tiện nhất để giới thiệu giá trị yếu và dễ dàng cho ngành thông tin lượng tử. Một cách dẫn giải khác dựa trên độ bất định ban đầu của kim chỉ được trình bày trong bài báo của L.Vaidman. Cách dẫn giải này phù hợp với trường hợp liên tục (tọa độ, động lượng...) và dễ nêu lên mối liên hệ với nguyên lý bất định Heisenberg nhưng quá trình tính toán lại khá phức tạp. 1.2.3. Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu. Chúng ta xem xét ngắn gọn quá trình đo chuẩn Von Neumann. Hamilton mô tả tương tác với một thiết bị đo là: H=-g(t)qA (1.2.8) Trong đó g(t) là hàm chuẩn hóa với sự hỗ trợ nhỏ gần thời gian đo lường và q là một biến chuẩn (chính tắc) của thiết bị đo với momen liên hợp P. Sau sự tương tác (1.2.8) trên, chúng tôi có thể xác định giá trị của A từ giá trị cuối của p: A pf pin p (1.2.9) Phép đo bất kì chính xác của A làm nhiễu loạn cần thiết trong một cách không thể kiểm soát các giá trị quan sát không thể giao hoán với A. Đây là do thực tế phép đo chính xác của A yêu cầu giá trị của p cố định xác định trong khoảng thời gian của phép đo. Do đó, sự bất định trong q trong suốt tương tác phép đo mô tả trong phương trình (1.2.8) (và do đó độ mạnh của tương tác đó là có thể) lớn tùy ý (điều này giải thích làm thế nào phép đo C trong ví dụ chương 2 thay đổi giá trị của A và B, do đó không mang đến kết quả a+b). Đề nghị của chúng tôi là để sửa đổi các quá trình đo Von Neumann bởi sự yếu tương tác (1.2.8). Điều này có thể được làm bằng cách chuẩn bị một trạng thái đầu của thiết bị đo mà xác suất tìm thấy q lớn là đủ nhỏ. Bây giờ chúng tôi sẽ chứng minh rằng “phép đo yếu” của A biểu diễn trên tập hợp các 12 hệ, mà were preselected (được chọn đầu tiên) trong trạng thái postselected (được chọn sau) trong trạng thái 2 1 và were , sẽ mang lại kết quả mà chúng ta gọi là giá trị yếu của A 2 A A 2 1 (1.2.10) 1 Để kết thúc điều này xét một tập hợp hệ trong đó có cả sự chọn trước và chọn sau. Tất cả các phần tử của tập hợp được mô tả bởi cùng một cặp hàm sóng 1 và 2 . Chúng tôi biểu diễn cùng phép đo trong mỗi một hệ thống với một thiết bị đo riêng biệt. Tương tác Hamilton là : Hi=-g(t)qiAi. (1.2.11) Trong đó chỉ số i đề cập cho hệ thứ i trong tập hợp hoặc thiết bị đo thứ i. Để thuận tiện, chúng tôi đưa trạng thái đầu của từng thiết bị đo tới hệ Gausian: 1 Vq(2 ) 1 exp 4 qi2 4(Vq)2 (1.2.12) Chúng tôi đo pi với mỗi thiết bị đo sau tương tác. Sau đó chúng tôi biểu diễn lần cuối, sự chọn sau với phép đo trong hệ tập hợp của chúng tôi. Sau đó chúng tôi thu thập các kết quả pi chỉ của hệ đó mà trạng thái cuối trở thành là 2 Để đơn giản hóa các điều kiện sau, chúng tôi lưu ý rằng sự thay đổi trật tự thời gian giữa các phép đo pi và phép đo postselected (chọn sau) sẽ không ảnh hưởng đến kết quả của chúng. Thật vậy, sau tương tác phép đo trên, không có tương tác hơn nữa giữa các hệ của tập hợp và thiết bị đo tương ứng, và do đó, bất kì tác dụng trên hệ không ảnh hưởng kết quả của các phép đo được thực hiện trên bất kì hệ khác. 13 Chuỗi các sự kiện này, trong đó chúng tôi đo pi chỉ sau khi postselection (được chọn sau), là đơn giản hơn để phân tích. Nó cũng phù hợp với một phương pháp thực tế để thực hiện các phép đo loại này. Trạng thái đã được chọn sau của mỗi thiết bị đo được đưa ra, đến yếu tố chuẩn hóa, bởi hàm sóng sau: 2 exp i Hdt 2 n 1 2 exp exp(iqA) (iq) n 0 n! 2 1 n q2 = 4(Vq) 2 exp 1 A q2 4(Vq) 2 n 1 q2 4(Vq) 2 exp (iq) n n (A ) exp 0 n! q2 4(Vq) 2 (1.2.13) Trong đó (như ở phương trình (1.2.11) A n 2 An 1 / 2 1 . Các biểu thức cuối có thể được viết lại như hàm sóng đầu của thiết bị đo nhânvới eiqA cộng với giới hạn hiệu chỉnh là không đáng kể với q nhỏ: 2 1 n (iq)n n (A ) exp 0 n! 2 1 q2 4(Vq) 2 exp iq 2 A 2 1 1 exp q2 4(Vq)2 n 2 1 n (iq) (A n ) 2 n! 2 (A )n exp q 4(Vq) 2 (1.2.14) Chúng ta quan tâm đến biểu diễn trạng thái p của thiết bị đo. Bằng cách lấy q như vậy cho tất cả n≥2. 14 2Vq n n 2 (A n ) n 2! (A ) n = 1 (1.2.15) Chúng ta có thể bỏ qua sự đóng góp của các điều chỉnh trong biến đổi Fourier (1.2.14) và do đó hàm sóng cuối của thiết bị đo trong các biểu diễn p là khá gần đúng: exp (Vq) 2 p 2 2 A 2 1 (1.2.16) 1 Phân bố xác suất của p là hệ Gaussian với khoảng rộng p=(2 q)-1 tâm tại p=Re(A ) Giá trị yếu của A, A như định nghĩa ở (1.2.11) có thể có, cũng có thể do một phần tưởng tượng. Phần này ảnh hưởng đến sự phân bố của các biến q cổ điển (chính tắc). Thật vậy, trong các biểu diễn q trạng thái của thiết bị đo sẽ đưa ra là: exp iq Re(A ) exp q 2(Vq) 2 Im(A ) 2 4(Vq) 2 (1.2.17) Do đó, phân bố xác suất của q là hệ Gaussian với khoảng rộng q tâm tại q=-2( q)2 Im (A ). Sự bất định ở p và q sẽ không cho phép chúng ta kết luận Re(A ) hoặc Im(A ) từ một phép đo duy nhất. Tuy nhiên, thực hiện phép đo trên một tập hợp N hệ sẽ làm giảm sự bất định của kết quả bởi một nhân tố 1/ N . Vì vậy, bằng cách lấy N đủ lớn 1 2Vq N = Re(A ),Im(A ) , chúng tôi có thể đo giá trị phức của A với bất kì độ chính xác mong muốn. Yêu cầu (1.2.16) đảm bảo rằng kết quả của phép đo là A được xác định bởi phương trình (1.2.11). Đặc biệt, nếu trạng thái đầu hoặc cuối là trạng