Tài liệu Một số vấn đề về không gian sobolev.

Lời cảm tạ  Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em đã hoàn thành bốn năm đại học. Nhớ ngày nào, đầu khóa học, ba còn đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè mới với bao bỡ ngỡ lo lắng. Vậy mà cuối cùng em cũng trải qua bốn năm học. Bốn năm học tập với biết bao khó khăn, vất vả, có những lúc vấp ngã em tưởng như mình không thể vượt qua. Nhưng mong muốn được làm luận văn khi tốt nghiệp đã thúc đẩy em phấn đấu nhiều trong học tập. Cuối cùng với kết quả đạt được trong các năm đầu, em được bộ môn phân công làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy Phạm Gia Khánh. Được làm luận văn là một niềm vui, niềm vinh dự lớn đối với em. Nhưng bên cạnh đó cũng có không ít nỗi lo và gặp nhiều khó khăn, nào là khan hiếm tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức thì mới và tương đối khó… Nhưng với kiến thức mà em được thầy cô bộ môn trang bị trong các năm qua cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phạm Gia Khánh cũng như sự động viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè, cuối cùng cuốn luận văn cũng được hoàn thành. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy hướng dẫn, các thầy cô khác trong bộ môn, cùng gia đình và bạn bè. Cần Thơ, tháng 5 năm 2009 Người viết Sinh viên. Phạm Trần Nguyệt Thảo -1- PHẦN MỞ ĐẦU  1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng bằng việc định lượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại lượng toán học. Nhưng ta cũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa các tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến. Tuy nhiên, khi đó xuất hiện những khó khăn toán học thực sự. Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng ta buộc phải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sang tuyến tính hóa trong một lân cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán về bài toán tuyến tính. Vẫn chưa đủ, để giải bài toán này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối với giả thiết của bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định. Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển của bài toán mới vẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta xây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng minh nó là nghiệm cổ điển của bài toán. Nói như vậy để thấy rằng, không gian nghiệm của bài toán được giải đã có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm của bài toán thực tế ban đầu. Vì vậy, việc chọn các không gian hàm cho nghiệm của các bài toán có một vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán. Một không gian phiếm hàm tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Có phần yêu thích toán học ứng dụng và được sự hướng dẫn gợi ý của thầy Phạm Gia Khánh để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa học cũng như bước đầu làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng hiện đại” em đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về không gian Sobolev”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến không gian Sobolev. Đặc biệt quan trọng và cũng là mục tiêu chính đó là xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và giải các bài tập có liên quan đến nó. -2- Qua đó, giúp củng cố các kiến thức đã được học trong suốt 4 năm đại học như: giải tích 1, 2, không gian tôpô, độ đo và tích phân Lebesgue, giải tích hàm… 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Quá trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong quá trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa ra những nhận xét riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ ràng. Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá cũng được kết hợp sử dụng trong giải và sắp xếp các bài tập. Sau khi tổng hợp các bài tập từ các nguồn tư liệu khác nhau, sẽ tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc các bài tập hay phù hợp với nội dung lí thuyết sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí. Cuối cùng, tiến hành phân tích, đánh giá để giải một cách chi tiết, trình bày một cách rõ rang. 4. NỘI DUNG LUẬN VĂN Nội dung của luận văn gồm 2 chương. Chương 1. Gồm 4 §, trong đó §1. Không gian L p , §2. Biến đổi Fourier, §3. Hàm suy rộng, §4. Không gian Sobolev. Ở đây, chỉ tập trung giới thiệu một số định nghĩa, định lí, tính chất và các ví dụ có liên quan mà không quan tâm đến việc chứng minh các định lí, tính chất đó. Chương 2. Giải chi tiết và sắp xếp một cách tương đối hợp lí các bài tập có liên quan đến phần lí thuyết đã giới thiệu ở chương 1. -3- PHẦN NỘI DUNG  CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. Không gian Lp 1.1 Không gian L p Cho , S ,   là một không gian độ đo, trong đó  là một tập con mở của không gian Euclide n chiều Rn, S là  -đại số trên tập đo được Lebesgue và  là độ đo Lebesgue. Cho 1  p   , ta định nghĩa không gian L p như sau Với 1  p   , ta định nghĩa L p  { f : f là hàm đo được và  f x   p d  x    } và f p p    f x  d  x     1 / p  p    f d    1 / p  Với p   , ta định nghĩa L  { f : f là hàm đo được và f  x   k hầu khắp nơi , k  0 } và f Chú ý. Nói   inf { K  0 : f  x   K hầu khắp nơi} f x   k hầu khắp nơi tương đương với nói rằng  x : f  x   K   0 . Nếu f , g là hai hàm đo được thỏa f  x   g  x  hầu khắp nơi thì f và g được xem là giống nhau. Do đó, f p  0 khi và chỉ khi f  x   0 hầu khắp nơi, với 1  p   . Cho 1  p   , chỉ số q thỏa 1 1   1 được gọi là số mũ liên hợp của p. p q Ta thấy, p  1 thì q   . Ngược lại, p   thì q  1 . -4- 1.2 Một số định lí và bất đẳng thức 1.2.1 Bổ đề Cho a, b là hai số thực không âm, p, q là cặp số mũ liên hợp. Khi đó, ab  a p bq  . p q 1.2.2 Bất đẳng thức Hoder. Nếu f  L p và g  Lq thì fg  L1 và fg 1  f p g q p q Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  A, B  R+ sao cho A f  x   B g  x  . 1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski. Nếu f , g  L p thì f g p  f p  g p , với 1  p   . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  A, B  R+, A 2  B 2  0 sao cho Af  Bg . 1.2.4 Định lí. L p là không gian Banach. 1.2.5 Định lí. L p là không gian phản xạ, với 1  p   . 1.3 Tích chập Cho f , g  L1   , tích chập của f và g được định nghĩa là f  g x    f  x  y g  y dy  1.4 Giá của hàm 1.4.1 Định nghĩa. Cho f là một hàm liên tục trên Rn. Giá của f , kí hiệu là supp f , là bao đóng của tập x : f x   0 . Kí hiệu C c (Rn) là kí hiệu tập tất cả các hàm liên tục với giá compact. n n C c (R ) thường được viết là D (R ). 1.4.2 Ví dụ  Cho f : R  R được xác định 2 e 1/ x , x  0 f x    0 ,x  0 Khi đó, f  C  . -5-  Cho f : Rn  R được xác định 2 e(  a2 /( a 2  x )) , x  a 2 f x    , với x  x12  ...  x n2 ,x a 0 Khi đó, f  x   D (Rn) và supp  f   B (0, a )   x : x  a.  Cho   0 và định nghĩa    x     n  x /   , với   L1 (Rn),  1  1 và   x   0 khi đó   Rn 1  1 . Thật vậy,   x dx   n   n  x /  dx   n   y dy  1 , với y  x /  . R R  Cho   0 và định nghĩa    x   C  n  x /   , với C 1     x dx và R n  : Rn  R được cho bởi hàm 2 e ( 1/(1 x )) , x  1  x    , x 1 0 Khi đó,   x   D (Rn) và supp    B(0,  ) §2. Biến đổi Fourier 2.1 Kí hiệu n  x   x1 , x2 ,..., xn   (Rn), x.   x j j , với x,   (Rn). j 1  dm x   1 n dx1 dx2 ...dxn đo được Lebesgue trên R . n/2 2    y f  x   f  x  y  , với y thay đổi trên Rn, f   x   y f 1  f 1; f 1 f g 1  f 1  Đa  f 1. n f , g  L1 (R ),  Cho 1 f x /  ,   0 , n tích chập f  g x    n f  x  y g  y dy , R g 1. chỉ số    1 ,  2 ,..., n , a j  N, n   aj . j 1    11  2 2 ... n n với  j   , và D    11  2 2 ... n n . x j -6- Cho   Rn ,  Cho f  L1 (Rn), biến đổi Fourier của f được định nghĩa là fˆ     n f  x e  ix dm x  . R Với mỗi   Rn, x  e  ix là một hàm đặc trưng trong Rn. 2.2 Tính chất cơ bản n f  L1 (R ), fˆ    f 1.  n n f  L1 (R ), fˆ  C 0 ( R ).  n f , g  L1 (R ),  f  g ^    fˆ  gˆ   .   f ^    e  iy y   fˆ   , e i 0 x f x  ^      0 fˆ   và fˆ    fˆ   .  Nếu f  L1 (Rn) và  j f  L1 ( Rn) thì  j f ^    i j fˆ   . Nếu f  L1 (Rn) và D  f  L1 (Rn),    k , thì D  f ^    i  fˆ  .  Nếu f  L1 (Rn) và x j f  x   L1 (Rn) thì fˆ khả vi đến  j và  j fˆ     ix j f  x ^   Nếu f  L1 (Rn), x  f  L1 (Rn) và D  fˆ tồn tại, thì    D  fˆ     ix  f  x  ^   2.3 Ví dụ  (Gauss)   x   e 2  x /2 ; ˆ   e      (Poisson)   x   C n / 1  x 2 2  /2  n  ; x    x 2j   j i   n 1 / 2   , với C n  1/ 2 . làm cho  1  1 thì ˆ   e   . n  (Fejer) K  x   C n  j 1 sin 2 x j / 2 x / 2 2 j   n ; Kˆ    1 1   j .  (de la Vallie Pousin) (cho n  1 ) V  x   2 K 2  x   K   x  . Khi đó, 1 ,      V̂    2  ,     2 .   0 , 2    -7- 2.4 Định lí đảo của biến đổi Fourier Nếu f  L1 (Rn) và fˆ  L1 (Rn) thì f  x    fˆ  e ix dm  hầu khắp nơi. R n 2.5 Định lí Plancherel n f  L1  L2 (R ) Nếu n fˆ  L2 (R ), thì fˆ  f 2 2 và ánh xạ n n F : L1  L2 (R )  L2 (R ) được cho bởi Ff  fˆ được thác triển thành một đẳng cự L2 (Rn)  L2 (Rn). 2.6 Không gian Schwartz S Không gian Schwartz S là không gian của các hàm tiêu chuẩn mà bất biến đối với các phép toán biến đổi, phép nhân cân bằng, mở rộng, nhân bởi hàm đặc trưng, tích ánh xạ, phép tính tích phân và phép biến đổi Fourier. Không gian Schwartz S được mô tả  n  S  {   C  (R ): sup x  D    x   ,  ,  } xR n Ở đây  ,  là đa chỉ số. Một vài chú ý  Chú ý D  S nên S trù mật trong L p (Rn), 1  p   . Một hàm 2   x   e  x ,   0 thuộc S nhưng không thuộc D.  Cho một đa thức P và   S , P x  x   S và P D   S .    S khi và chỉ khi với mọi số nguyên k  0 và với mọi đa chỉ số  ta  có 1 x  D  x giới nội. 2 k     ˆ là song ánh từ S vào S . Khi đó, ta có các kết quả   i. D  ˆ    ix    x  ^   . ii. D   ^   i  ˆ  . -8- 2.7 Hàm suy rộng điều hòa 2.7.1 Định nghĩa. Không gian tôpô đối ngẫu S ' của không gian Schwartz S được gọi là không gian của những hàm suy rộng điều hòa. 2.7.2 Ví dụ  Cho f  L p (Rn), 1  p   , định nghĩa T f : S  C được xác định bởi T f    f ,    n f  x   x dx R Khi đó, T f    f p  p' do đó T f là liên tục.  Nếu   M (Rn) (Không gian của các độ đo giới nội thông thường, đối ngẫu của C0 (Rn)), xét T     n  x d  x  R Khi đó T  S ' .  Cho f là một hàm đo được trên Rn sao cho với mọi số nguyên không  âm k ta có 1  x  2 k n f  L p (R ), với 1  p   . Khi đó, T f     n f  x   x dx R xác định một hàm trong S ' , do T f     R n 1  x   2 k f x  1  x đo thông  2 k   x  dx nên hàm đã cho là hàm điều hòa.  Nếu 1  x  2 k  là một độ thường trên Rn sao cho   M (Rn), theo cách xác định ở trên T  S ' . Độ đo đã cho được gọi là độ đo điều hòa. 2.7.3 Định lí. Một hàm tuyến tính L trên S là một hàm điều hòa nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số C  0 và số nguyên l, m sao cho L   C    ,   S .  ,  l ,   m -9- 2.7.4 Toán tử trong S . Cho T  S’.  Phép tịnh tiến. Nếu h  Rn, định nghĩa  h T    T   h ,   S thì  hT  S ' .  Phép nhân với một phần tử của S. Cho   S , định nghĩa T    T   . Khi đó, T  S ' . Nếu P là một đa thức trên Rn, PT được định nghĩa giống như trên cũng là một hàm điều hòa. ~ ~ ~  Phép phản xạ. T    T   . Khi đó, T  S .  Phép tính vi phân. Cho một đa chỉ số  , định nghĩa    D  T     1 T D   ,   S (Công thức trên cho ta một phép tính tích phân). Do đó, D  T  S ' .  Tích chập. Cho   S định nghĩa   T    T     . Khi đó,  T  S' .  Lúc đó, ta xét hàm F  x   T  x  . Khi đó F  C  (Rn) và  F x xdx   T    xdx  T     x dx  T    . Rn Rn x Rn x Điều này chỉ ra rằng, tích chập với một phần tử của S là một quá trình trơn. Với mọi hàm điều hòa T, thì   T  C  .   Biến đổi Fourier. Định nghĩa Tˆ    T ˆ ,   S . Khi đó, Tˆ  S ' . Kết hợp phép biến đổi Fourier và phép vi tích phân, ta có i. D Tˆ   i   x T   ii. D T   i     Tˆ  2.7.5 Ví dụ. Cho T   thỏa T         0 . Khi đó   x       x    j      ' (0)  ˆ  1, ˆ    ˆ0      x  =   x    j     j  ,   S , vi phân là một trường hợp đặc biệt của tích chập. - 10 - §3. Hàm suy rộng 3.1 Không gian các hàm chuẩn D  3.1.1 Định nghĩa. Một hàm tiêu chuẩn   x     x1 , x 2 ,..., x n  trên   Rn là một hàm khả vi vô hạn trên  và triệt tiêu ở bên ngoài miền giới hạn, miền giới hạn có thể phụ thuộc vào hàm tiêu chuẩn. Không gian tất cả các hàm tiêu chuẩn trên  được kí hiệu là D  . 3.1.2 Ví dụ.  Cho  : R  R được xác định bởi 2 e1/ x 1, x  1  x    , x 1 0 Dễ dàng kiểm tra  là một hàm vô hạn khả vi, trừ trường hợp x  1 . Vì  là hàm chẵn, ta chỉ cần kiểm tra tính khả vi tại x  1 . Ta có, lim e x 1 1 2 0 x 1 Suy ra  liên tục tại x  1 Hơn nữa, 1 lim x 2 1m e x 1 1 2 x 1 0 Do đó, tất cả đạo hàm của  bằng 0 tại x  1  Một hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu  trên Rn được cho bởi e1/  x  x    0 2 1 , x  1 , x 1 Trong đó, x là khoảng cách từ tâm đến x. 3.1.4 Một số tính chất  Nếu 1 , 2  D   thì c11  c 2 2  D  với mọi số thực c1 và c 2 .  Nếu  thuộc D  và a khả vi vô hạn trên  thì a. cũng thuộc D  . - 11 -  Nếu  thuộc D  thì mọi đạo hàm riêng của  cũng thuộc D  .  Cho hàm  như trong ví dụ hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu, khi đó  x  x0  n   cũng là một hàm tiêu chuẩn trên R triệt tiêu ngoài hình cầu tâm x0 bán    kính  .  Cho   x1 , x 2 ,..., x m   D (Rm) và   xm 1 ,..., x n   D (Rn-m). Nếu  . x1 , x 2 ,..., xn    x1 , x 2 ,..., x m  . x m1 ,..., xn  thì  .  D (Rn). 3.2 Định nghĩa về dãy rỗng Chúng ta nói một dãy m   D  là một dãy rỗng trong D  nếu  m  0 , trong D  tồn tại một tập con compact cố định K   sao cho supp  m   K với tất cả m,  m và tất cả đạo hàm của nó đều hội tụ đều đến 0 trên K. 3.3 Định nghĩa về hàm suy rộng Một hàm tuyến tính T trên D  được gọi là một hàm suy rộng trên  nếu T m  0 với mọi dãy rỗng m  trong  . Không gian các hàm suy rộng được kí hiệu là D'   . 3.4 Định lí. Cho f là một hàm khả tích địa phương trên một tập con mở   Rn. Định nghĩa T f     f  x   x dx  Khi đó, T f thuộc D'   . Nhận xét. Cho f  L p   , p  1 . Khi đó, T f  D'   . Ví dụ  Hàm suy rộng Dirac. Cho x  Rn, định nghĩa  x      x ,   D (Rn) Dễ dàng chứng minh rằng  x  D' (Rn). Trường hợp    0 được gọi là hàm suy rộng Dirac. - 12 -  Cho T được định nghĩa bởi Tn     n 0  ,   D (R), n=1,2,... Khi đó, Tn  D' (R). Trường hợp n  1 , T1 được gọi là hàm suy rộng lưỡng cực. Nhận xét.  không được sinh ra bởi bất cứ hàm khả tích địa phương nào. Thật vậy, nếu tồn tại một hàm khả tích địa phương f sao cho   T f , khi đó      n f  x   x dx   B  0  R f x   x dx  B  0  f  x  dx với   D  sao cho supp    B 0 , 0    1 ,   1 trên B / 2 0 . Do đó,     0 khi   0 . Mặt khác,     1 , với mọi  . Vì vậy,     0 khi   0 là mâu thuẫn. 3.5 Tính chất của hàm suy rộng Nhắc lại. Cho   1 ,  2 ,..., n  , trong đó  i , i  1,2,..., n , là các số nguyên dương, khi đó  được gọi là một đa chỉ số. Kí hiệu một số phép toán liên quan đến đa chỉ số  n     i i 1 n   ! i 1 i !  n x   i 1 xi i , x  R n Cho hai đa chỉ số    1 ,  2 ,..., n ,   1 ,  2 ,...,  n  . Khi đó,    khi và chỉ khi  i   i , với mọi i  1, 2,  , n .  là một đa chỉ số, ta định nghĩa phép toán vi phân D  là  D   . 1 x1 ...x n n Tính chất 1. Cho T  D'   , với  là tập mở con của Rn, và đa chỉ số  . Khi đó,    D  T     1 T D   ,   D  . - 13 - Tính chất 2. Cho T  D'   ,   Rn là tập mở và   C    . Khi đó, T    T  ,   D  . Tính chất 3. Cho T  D'   ,   R là một tập con mở,   D  , và một đa chỉ số  , ta có công thức Leibniz D  T   ! D  D      !   !  T.  Ví dụ. Cho H : R  R là hàm Heaviside được cho bởi  1, x  0 H x     0, x  0 Ta có  T ' H    TH  '     ' x dx   0      0 Khi đó, T ' H   . Nhận xét. Từ ví dụ trên, rõ ràng T ' f  T f ' . 3.6 Tích chập của hàm suy rộng Cho hàm u bất kì trên Rn và x  Rn, kí hiệu   x u  y   u( y  x) và u y   u  y  . Suy ra   x u     x  u  và  x y     x y . Với T  D' (Rn),   D (Rn), và x  Rn, định nghĩa  xT    T   x  Dễ thấy  x T  D' (Rn). 3.6.1 Định nghĩa. Cho T  D' (Rn), và   D (Rn), T   : Rn  Rn được cho bởi  T   x   T  x   , với mọi   - 14 - n x R . 3.6.2 Định nghĩa. Cho T , S  D' (Rn) Ta định nghĩa hàm suy rộng T  S trên D (Rn) là  T  S     T   S    0 ,   D (Rn).    Định nghĩa 3.6.2 tương đương với điều kiện T  S     T  S    , với mọi   D (Rn). §4. Không gian Sobolev 4.1 Không gian Sobolev Cho  là một tập mở con của Rn có biên là  . Ta bắt đầu với định nghĩa. 4.1.1 Định nghĩa. Cho số nguyên m>0 và 1  p   . Không gian Sobolev được định nghĩa   W m, p ()  u  Lp () D u  Lp (),   m W m , p là tập hợp tất cả các hàm thuộc Lp () có đạo hàm suy rộng đến m cũng thuộc L p () . Ta có D() , không gian của tất cả các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong  , thì trù mật trong Lp () , với 1  p   . Nếu   D () thì D    D() , với mọi đa chỉ số  . Như vậy, D()  W m , p ( )  L p () , với 1  p   . W m , p () là một không gian véctơ. Trên W m , p () ta trang bị một chuẩn . m, p, , như sau Với 1  p   , ta định nghĩa . m, p,     D u 0  m 1/ p   p L ( )  p . Với p   , ta định nghĩa u m, ,  max D  u 0   m - 15 - L (  ) . Trường hợp đặc biệt p  2 , ta kí hiệu W m ,2 ()  H m () , cho u  H m () , khi đó u m,  u m , 2,  Với m  0 , ta có W 0, p ()  L p () , chuẩn trên L p của hàm u  L p () được kí hiệu là u Lp ( ) . Không gian H m () có một phép toán nhân trong tự nhiên được định nghĩa ( u , v ) m ,  D  uD  v , với u , v  H    m m  Phép toán nhân trong này sinh ra . m , ( ) . Trong trường hợp   Rn, H m ( Rn) có một sự mô tả khác qua biến đổi Fourier. Cho u  L1 ( Rn), uˆ( )   n e 2x f ( x)dx R là sự biến đổi Fourier của u. Chú ý. L1 ( Rn)  L2 ( Rn) thì trù mật trong L2 ( Rn), những hàm trong n L2 ( R ) có sự biến đổi Fourier thích hợp, định lí Plancherel khẳng định rằng u L2 ( R n )  uˆ L2 ( R n ) . Cho u  H m (Rn), theo định nghĩa ta có D u  L2 ( Rn), với mọi   m , như vậy ( D  u ˆ) được xác định tốt. Hơn nữa, Ta có ( D  u )^  (2i)    uˆ . Do đó,   uˆ  L2 ( Rn), với mọi   m . Ngược lại, nếu u  L2 ( Rn) sao cho   uˆ  L2 ( Rn), với mọi   m , thì D u  L2 ( Rn), với mọi   m . Vì thế u  H m ( Rn). 4.1.2 Bổ đề. Tồn tại hằng số M 1  0 và M 2  0 chỉ phụ thuộc m và n sao cho với mọi   Rn, 2 M 1 (1   ) m     m - 16 - 2 2  M 2 (1   ) m Từ bổ đề, chúng ta có định nghĩa của H m ( Rn). 4.1.3 Định nghĩa  n  H m ( R )  u  L2 ( R n ) 1     2 m/2 uˆ ( )  L2 ( R n )   Kết hợp với chuẩn u 2 2 m n H (R ) 2   n (1   ) m uˆ ( ) . R Từ định nghĩa trên cho phép chúng ta định nghĩa H s ( Rn), với mọi s  0 . 4.1.4 Định nghĩa. Cho s  0 , định nghĩa  n H s ( R )  u  L2 ( R n ) 1     2 s/2 uˆ ( )  L2 ( R n )  .  Kết hợp với chuẩn u 2 2 s n H (R ) 2   n (1   ) s uˆ ( ) . R 4.1.5 Định lí. Với mọi p, 1  p   , W m, p () là một không gian Banach. * Xét không gian tích: Lp   n 1  n1 Với chuẩn u    ui  i1  L p    ...  L p  , ((n  1) lần) 1/ p   Lp (  )  p , với u  (u1 ,..., u n1 )  L p   n 1  Khi đó, ánh xạ u  W m , p ()   u ,  u u ,..., x1 x n  n 1   L p   là một phép    đẳng cự. Ta có một số tính chất  W m , p () là không gian phản xạ, với 1  p   .  W m , p () là không gian tách được, với 1  p   .  H m () là không gian Hilbert tách được, với 1  p   . 4.1.6 Định nghĩa. Cho 1  p   , đặt W0m , p () bằng bao đóng của D() trong W m, p () . W0m , p () là một không gian con đóng của W m, p () . Phần tử của W0m , p () gần giống trong không gian định chuẩn W m , p () bằng những hàm thuộc C    có giá compact trên  . - 17 - n W0m , p () là không gian con thực sự của W m, p () , trừ trường hợp   R . 4.1.7 Định lí. Cho 1  p   , khi đó W 1, p ( Rn) = W01, p ( Rn). 4.1.8 Định lí. Cho 1  p   , với mọi số nguyên m  0 thì n n W m, p ( R ) = W0m, p ( R ). Trường hợp đặc biệt H m (Rn)= H m (Rn). 0 Ta có thể nói rằng L p   là một tập gồm các lớp hàm. Như vậy, khi nói “u là một hàm liên tục trong L p   ” nghĩa là ta đang nói tới một lớp hàm mà có đại diện là hàm u liên tục. Kết quả sau đặc trưng cho W 1, p   khi   I  R là một khoảng mở. 4.1.9 Định lí. Cho I  R là một khoảng mở, nếu u  W 1, p I  thì u là hàm liên tục tuyệt đối. 4.1.10 Chú ý. Cho I  R là một khoảng mở giới nội, ví dụ I  (0,1) . Khi đó, nếu u  W 1, p I  thì ta có thể viết x u  x   u 0    u ' t dt 0 Như vậy, 1/ p x x p u (0)  u  x    u ' t dt  u  x     u ' t  dt  0 0   x 1/ q  u  x   u ' Lp  I  x 1/ q Lấy tích phân trên 0,1 , ta được 1 1 0 0 u (0)   u  x  dx  u ' Lp  I   x 1/ q  dx  c1 u Lp  I   u' Lp  I   c u 1 1, p , I trong đó c1 không phụ thuộc u. Cũng như vậy ta có   u( x)  u (0)  u ' 0, p ,I  c2 u 1, p ,I  u ' 0, p, I  c3 u 1, p ,I Trong đó, c 2 và c3 độc lập với u. 4.1.11 Chú ý. Không gian lớn hơn chứa không gian của những hàm trơn hơn. - 18 -   Lấy B(0,1)  u  W 1, p I  : u 1, p ,I  1 là hình cầu đơn vị trong W 1, p I  . Khi đó, ánh xạ i : W 1, p I   C ( I ) liên tục. Do đó, B(0,1)=i(B(0,1)) là một tập giới nội đều trong C (I ) . Mặt khác, cho x, y  I , ta có u  x   u  y   u ' Lp  I  x  y 1/ q  u 1, p ,I x  y 1/ q  suy ra B(0,1) liên tục đều trong C I , từ định lí Ascoli-Arzela suy ra B(0,1) là tập compact tương đối trong C I  . Hay nói cách khác, i : W 1, p I   C ( I ) là một toán tử compact. Trên không gian W m, p () , ta định nghĩa nửa chuẩn u m, p ,     D u  a m    p L     1/ p p được xem là đạo hàm cao nhất của không gian định chuẩn L p . 4.1.12 Bổ đề (Bất đẳng thức Poincare). Cho  là một tập mở giới nội trong Rn. Khi đó, tồn tại một số nguyên dương C  C , p  sao cho u Lp     C u 1, p , , u  W01, p () . u  C u 1, p , định nghĩa một chuẩn trên W01, p () tương đương với chuẩn . 1, p , . Từ u 1, p ,  0 theo bất đẳng thức Poincare suy ra u  0 . Do đó, nó là một chuẩn. Ta có, p p u 1, p ,   D u Lp    1 u p p Lp    p và p u 1, p ,  D u   1 p Lp   p  u 1, p , . Từ hai bất đẳng thức trên, ta có p u 1, p ,  u p 1, p ,  p  u 1, p ,  C u 1, p,  (1  C ) u 1, p , p  (1  C )1 / p u 1, p , . - 19 - 4.1.13 Ví dụ. Bất đẳng thức Poincare không đúng với miền không giới nội. Ví dụ, nếu lấy   Rn và   D (Rn), xác định bởi 1, x  1 , 0  1  x    0, x  2 Đặt  k  x     x / k  , thì k Trong khi  k 1, p , R n Lp ( R n )     D  k   1    p n L (R )   1/ p p  0 , khi k   .   ( B(0, k ))   , khi k   . 4.2 Không gian đối ngẫu của không gian Sobolev Ở phần này ta xét không gian sobolev của số nguyên âm cũng như phân số. 4.2.1 Định nghĩa. Cho 1  p   , q là số mũ liên hợp của p. Không gian đối ngẫu của không gian W0m , p () , với m là số nguyên lớn hơn 1, được kí hiệu là W  m , q ( ) . Như vậy, H  m   là không gian đối ngẫu của H m   . 0 4.2.2 Định lí. Cho F  W 1,q   , khi đó, tồn tại f 0 , f1 ,..., f n  Lq   sao cho n F v    f 0 v     f i  i 1  v , v  W01, p   (2.1) xi Và F 1, q ,   max f i 0 i  n Lq    . Khi  là tập giới nội, ta có thể giả sử rằng f 0  0 . Giả sử định lí trên là đúng. Vì D  trù mật trong W01, p   , hàm tuyến tính thì xác định duy nhất nên nó cố định trong D  . Cho   D  , (2.1) được viết lại như sau n F     f 0   f i  i 1  n  f   f 0   i    x xi i 1 i - 20 -