Tài liệu Một số vấn đề về hàm đơn điệu toán tử và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÀNH THỊ THÙY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÀNH THỊ THÙY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. HỒ MINH TOÀN THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hồ Minh Toàn. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn TS. Hồ Minh Toàn i Lời cảm ơn Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, T.S Hồ Minh Toàn. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô, và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu 1 1 Hàm đơn điệu ma trận 3 1.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Khai triển phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Hàm đơn điệu ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Một số ứng dụng của hàm đơn điệu ma trận 16 2.1 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Bất đẳng thức Power-Størmer . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Bất đẳng thức Power-Stømer . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 iii Lời mở đầu Ngày nay, tầm quan trọng của lý thuyết ma trận được biết đến trong nhiều lĩnh vực về kỹ thuật, xác suất thống kê, thông tin lượng tử, giải tích số, sinh học và khoa học xã hội. Đặc biệt, giải tích ma trận trở thành một chủ đề độc lập trong toán học bởi một số lượng lớn các ứng dụng của nó. Chủ đề về giải tích ma trận được thảo luận trên đại số các ma trận, hoặc tương đương, đại số của các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert hữu hạn chiều. Đại số các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert n chiều đẳng cấu với đại số các ma trận vuông cấp n. Một trong các công cụ chính trong giải tích ma trận là định lý phổ trong trường hợp hữu hạn chiều. Gần đây, nhiều lĩnh vực của giải tích ma trận được nghiên cứu kỹ lưỡng như lý thuyết về các hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận, lý thuyết về trung bình ma trận, lý thuyết phân hóa trong thông tin lượng tử,... Lý thuyết về các hàm như vậy được nghiên cứu mạnh và trở thành một chủ đề quan trọng trong lý thuyết ma trận vì những ứng dụng rộng lớn của chúng trong lý thuyết ma trận cũng như trong lý thuyết lượng tử. Hàm đơn điệu toán tử lần đầu tiên được C. Löwner nghiên cứu trong bài báo [1] của ông năm 1934. Năm 1936, Kraus đã chứng minh tính đơn điệu toán tử có mối quan hệ chặt chẽ với tính lồi toán tử. Năm 2008, một số ứng dụng của lớp hàm này trong lý thuyết lượng tử được nhà toán học Dénes Petz trình bày trong tài liệu chuyên khảo [2]. Tài liệu chuyên khảo [3] của nhà toán học F. Hiai và [4] của nhà toán học R. Bhatia là những cẩm nang khá 1 đầy đủ và chi tiết về hàm đơn điệu toán tử. Bản luận văn đã trình bày lại một số kết quả chọn lọc về hàm đơn điệu toán tử và ứng dụng của nó được trích dẫn từ những tài liệu trên. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương sau Chương 1. Hàm đơn điệu toán tử Trong Chương này tôi trình bày: Thứ nhất, hệ thống hóa kiến thức cơ bản về ma trận và toán tử tuyến tính. Thứ hai, trình bày định nghĩa hàm toán tử (hàm ma trận) và một số tính chất của hàm toán tử. Thứ ba, trình bày định nghĩa hàm đơn điệu toán tử cùng một số định lý liên quan, đồng thời đưa ra một số ví dụ nhằm minh họa cho lớp hàm này. Chương 2. Một số ứng dụng của hàm đơn điệu toán tử Đây là phần chính của luận văn. Tôi trình bày ứng dụng của hàm đơn điệu toán tử trong Bất đẳng thức Hansen-Pedersen, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa hàm đơn điệu toán tử và hàm lồi toán tử. Trình bày ứng dụng của lớp hàm này trong Bất đẳng thức Power-Stømer, tôi nhắc lại kiến thức về Vết và trình bày chứng minh cụ thể cho Bất đẳng thức này. Đồng thời trình bày ví dụ cụ thể nhằm minh họa cho ứng dụng của lớp hàm này. Do khả năng và thời gian còn khá hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Ngoài ra, một số kết quả đã được trích dẫn được thừa nhận mà bỏ qua chứng minh. Tôi rất mong nhận được sự góp ý quý báu từ quý thầy cô để bản luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy 2 Chương 1 Hàm đơn điệu ma trận Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các kết quả về hàm ma trận và hàm đơn điệu ma trận. 1.1 Một số kiến thức cơ bản 1.1.1 Ma trận Trong phần này, ta trích lược một số kiến thức và ký hiệu về ma trận (toán tử) liên quan đến nội dung chính của luận văn. • Ký hiệu Mmn là vành các ma trận cấp m × n trên trường phức C. Ta thường ký hiệu các chữ cái in là các ma trận. Ví dụ X là ma trận thì phần tử hàng thứ i cột j của X sẽ được viết là xij . Các ma trận sau là các ma trận vuông cấp n. • Ký hiệu X := Diag(x1 , x2 , . . . , xn ) là ma trận đường chéo (hay ma trận chéo), tức là các phần tử xij đều bằng 0 nếu i 6= j và xii = xi với mọi i. Ma trận chéo mà các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu là I. • Ma trận X ∗ := (X)T = (xji ) là ma trận liên hợp của X. X được gọi là tự liên hợp (hay Hermite) nếu X ∗ = X . Ký hiệu Msa n là tập tất cả các ma trận tự liên hợp cấp n. 3 • Một ma trận E được gọi là Unita nếu E −1 = E ∗ . Trong trường hợp này thì EE ∗ = E ∗ E = I và các cột của E là một hệ trực chuẩn. • Ma trận A được gọi là ma trận chuẩn tắc nếu AA∗ = A∗ A. Ma trận Hermite và ma trận Unita là hai trường hợp đặc biệt của ma trận chuẩn tắc. 1.1.2 Toán tử tuyến tính Trong luận văn này H được ký hiệu là không gian Hilbert n chiều H với tích vô hướng h., .i, và L(H) là tập các ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) từ H vào chính nó. Ta biết, vì H là không gian hữu hạn chiều nên mọi ánh xạ tuyến tính đều liên tục. Cố định một cơ sở chuẩn E := {e1 , e2 , · · · , en } của H. Khi đó, ta có một tương ứng Θ : L(H) →Mn X 7→(xij )ni,j=1 , trong đó (xij )ni,j=1 là ma trận của toán tử X đối với cơ sở E. Tương ứng Θ này là đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn Θ(XY ) = Θ(X)Θ(Y ), Θ(X ∗ ) = (Θ(X))∗ , ∀X, Y ∈ L(H), trong đó toán tử X ∗ là toán tử liên hợp của X xác định bởi hx, Xyi = hX ∗ x, yi , ∀x, y ∈ H. Nhờ đẳng cấu này, ta có thể đồng nhất L(H) với Mn . Thay vì nghiên cứu trên L(H) ta nghiên cứu trên Mn . Vì vậy hàm toán tử ta cũng có thể gọi là hàm ma trận trong suốt luận văn này. Như trong ánh xạ tuyến tính ta có một số khái niệm và kết quả sau: 4 Định nghĩa 1.1.1. (i) Ma trận X ∈ Mn được gọi là nửa xác định dương nếu hu, Xui ≥ 0, ∀u ∈ H. Ký hiệu X ≥ 0. (ii) Ma trận X ∈ Mn được gọi là xác định dương nếu hu, Xui > 0, ∀u ∈ H và u 6= 0. Ký hiệu X > 0. Cho X, Y ∈ Msa n ta viết X ≥ Y nghĩa là X − Y ≥ 0. Tính chất cơ bản sau được trích trong [3], Mệnh đề 1.3.2. Mệnh đề 1.1.2. Cho X, Y ∈ Msa n . Khi đó X ≥ Y ⇒ C ∗ XC ≥ C ∗ Y C, ∀C ∈ Mn . Chứng minh. Lấy bất kỳ véc tơ u, ta có hu, C ∗ Y Cui = hCu, Y Cui ≥ hCu, XCui = hu, C ∗ XCui . Do đó C ∗ Y C ≥ C ∗ XC . Giả sử W là không gian con (đóng) của H. Khi đó H = W ⊕ W⊥ Ta gọi ánh xạ tuyến tính T (x) = x1 , trong đó x được biểu diễn duy nhất x = x1 + x2 với x1 ∈ W, x2 ∈ W ⊥ , là toán tử chiếu trực giao lên W. Sau này ta nói toán tử chiếu (hay phép chiếu) nghĩa là toán tử chiếu trực giao. Đặc trưng đại số sau đây được trích trong [3], Mệnh đề 1.3.4. Mệnh đề 1.1.3. Giả sử T ∈ L(H). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (i) T là toán tử chiếu; (ii) T ∗ = T = T 2 . 5 1.1.3 Khai triển phổ Định nghĩa 1.1.4. Cho X ∈ Mn . Ta nói λ ∈ C là một giá trị riêng của X nếu phương trình Xu = λu có nghiệm u ∈ Cn không tầm thường. Khi đó, u được gọi là một vectơ riêng của X ứng với giá trị riêng λ. Ker(X − λI) là không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ. Tập các giá trị riêng của X được gọi là phổ của X , ký hiệu là σ(X), nghĩa là σ(X) = {λ1 , ..., λn }. Ký hiệu r(X) là bán kính phổ của X được xác định: r(X) = max{|λ| : λ ∈ σ(X)}. Ký hiệu w(X) là bán kính số của X xác định như sau: w(X) = max{| hu, Xui | : u ∈ H, kuk = 1}. Phương pháp giải tìm giá trị riêng, vectơ riêng Bước 1: Giải phương trình đặc trưng det(X − λI) = 0. Nghiệm của phương trình đặc trưng là các giá trị riêng cần tìm. Bước 2: Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ: Ứng với mỗi giá trị riêng λi vừa tìm được, ta giải hệ thuần nhất (X − λi I)u = 0. Nghiệm không tầm thường của hệ này là các vectơ riêng cần tìm. Sau đây chúng ta trích dẫn một số kiến thức chuẩn bị trong tài liệu chuyên khảo [3]. Mệnh đề 1.1.5. [3, Mệnh đề 1.5.7] Cho X, Y ∈ Mn . Khi đó, (i) Tập phổ của XY và của Y X là như nhau và do đó chúng có cùng bán kính hội tụ. (ii) r(X) ≤ w(X) ≤ 2w(X); (iii) Nếu X là ma trận chuẩn tắc thì bán kính phổ, bán kính số và chuẩn của X đều bằng nhau. 6 Định lý 1.1.6. Với mỗi ma trận chuẩn tắc X ∈ Mn thì tồn tại các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn ∈ C của X và ma trận Unita U ∈ Mn sao cho X = U Diag(λ1 , ..., λn )U ∗ . Chứng minh. Xem chứng minh của Định lý 1.4.6 trong [3]. Mệnh đề 1.1.7. Giả sử E là ma trận Unita và T là toán tử chiếu. Khi đó ET E ∗ và E ∗ T E là các toán tử chiếu. Chứng minh. Do T là toán tử chiếu nên từ Mệnh đề 1.1.3 suy ra T ∗ = T = T 2 . Đặt P := ET E ∗ . Ta có P ∗ = (ET E ∗ )∗ = (E ∗ )∗ T ∗ E ∗ = ET E ∗ = P, P 2 = (ET E ∗ )(ET E ∗ ) = ET 2 E ∗ = ET E ∗ = P. Vậy P là toán tử chiếu. Lập lập tương tự với E ∗ T E. Hệ quả 1.1.8. Giả sử X ∈ Mn là ma trận chuẩn tắc có tập phổ là {λ1 , λ2 , ..., λm }, trong đó họ {λi } là đôi một khác nhau. Khi đó X có khai triển phổ là X= m X λj Pj , (1.1) j=1 trong đó Pj là toán tử chiếu lên hạch Ker(X − λj I). Chứng minh. Theo Định lý 1.1.6, ta có X = U Diag(λ1 , ..., λn )U ∗ , trong đó U = [u1 u2 ...un ] là Unita. Suy ra  ∗   u1  n . X . X = [u1 λ1 ...un λn ]  λi ui u∗i .  . =   i=1 u∗n 7 Gọi α1 , α2 , ..., αn (αi 6= αj , i 6= j ) là họ n nghiệm đầy đủ của đa thức đặc trưng của X, tức là αi và αj không nhất thiết phải khác nhau khi i, j khác nhau. Đặt Pj := X ui u∗i , i:λi =αj với mọi j = 1, 2, . . . , m. Với cách định nghĩa trên thì Pj là toán tử chiếu lên Ker(X − αj I) với mọi j và m X Pj = j=1 Do đó, ta có X = m P n X ui u∗i = I, Pi Pj = 0, ∀i 6= j. i=1 λj Pj , điều cần phải chứng minh. j=1  Ví dụ 1.1.9. Xét X =  2 2   . Ta có σ(X) = {0, 1} và 1 = (1, −1), 2 = 2 2 (1, 1) là hai vectơ riêng tương ứng. Chuẩn hóa {1 , 2 } ta được {u1 = √ √ √ √ (1/ 2, −1/ 2), u2 = (1/ 2, 1/ 2)}. Do đó ta có ma trận Unita  √ √  1/ 2 1/ 2 U = √ √  −1/ 2 1/ 2 và √  1/ 2 −1/ 2 U∗ =  √ √ . 1/ 2 1/ 2  √ Suy ra X =U Diag(0, 4)U ∗     1/2 −1/2 1/2 1/2  + 4 . =0  −1/2 1/2 1/2 1/2 Vậy X = 0P1 + 4P2 , trong đó P1 , P2 là các toán tử chiếu lên không gian h1 i , h2 i. 8 Ma trận khối Một ma trận vuông X có thể biểu diễn dạng như sau:   X11 X12 , X= X21 X22 trong đó X11 ∈ Mn , X12 ∈ Mnm , X21 ∈ Mmn , X22 ∈ Mm . Trong trường hợp X12 và X21 đều là ma trận không thì X còn được viết Diag(X11 , X22 ). Khi đó ta có tiêu chuẩn để một ma trận nửa xác định dương như sau Mệnh đề 1.1.10. [7] Cho X, Y ∈ Msa n ; X, Y > 0. Ta có   X C   ≥ 0 ⇔ X ≥ CY −1 C ∗ . C∗ Y   X I  ≥ 0, ∀X ∈ Msa Hệ quả 1.1.11. [7]  n và X > 0. −1 I X   X + Y −1 X −1 + Y −1 ≤ . Mệnh đề 1.1.12. [7] Cho X, Y > 0. Ta có 2 2 Chứng minh. Theo Hệ quả 1.1.11 ta có,     X I Y I   ≥ 0, và   ≥ 0, −1 −1 I X I Y Ta biết tổng đóng kín đối với tập các ma trận nửa xác định dương nên áp dụng Mệnh đề 1.1.10 cho tổng của 2 ma trận nửa xác định dương xét ở trên, ta có được điều phải chứng minh. 1.2 Hàm ma trận Định nghĩa 1.2.1. Cho h là hàm số giá trị thực xác định trên khoảng J và X ∈ Msa n . Ta biết X có biểu diễn phổ m X X= lj Tj , j=1 9 trong đó {l1 , l2 , ..., lm } = σ(X) và Tj là toán tử chiếu lên Ker(X − lj I). Nếu giả thiết thêm rằng σ(X) ⊂ J, thì h(li ) xác định được và ta có thể định nghĩa: h(X) := m X h(lj )Tj . (1.2) j=1  Ví dụ 1.2.2. Theo Ví dụ 1.1.9, A =  2 2 2 2   có khai triển phổ là A = 0P1 + 4P2 . Xét hàm h(x) = x2 . Ta có h(A) = h(0)P1 +h(4)P2 . Vì P1 P2 = 0, ∀i 6= j và Pin = Pi nên h(A) = (0P1 + 4P2 )2 hay h(A) = A2 . Bổ đề 1.2.3. Cho h là hàm số có miền xác định J , X ∈ Msa n có phổ nằm trong J . Khi đó với mọi ma trận Unita U, thì h(U ∗ XU ) = U ∗ h(X)U. Chứng minh. Giả sử X = m P λj Pj là khai triển phổ của X. Khi đó j=1   m m X X ∗ ∗  U XU = U λj Pj U = λj (U ∗ Pj U ). j=1 (1.3) j=1 Theo Mệnh đề 1.1.7, suy ra (U ∗ Pj U ), 1 ≤ j ≤ m là toán tử chiếu. Khi đó (1.3) là biểu diễn phổ của U ∗ XU . Vì vậy ta có   m m X X ∗ ∗ h(U XU ) =h  λj U Pj U  = h(λj )U ∗ Pj U j=1 j=1   m X =U ∗  h(λj )Pj  U = U ∗ h(X)U. j=1 Bổ đề được chứng minh. 10 Nhận xét 1.2.4. Cho hàm h : K → R. Nếu h ≥ 0(> 0) thì h(X) ≥ 0 (> 0) với mọi X ∈ Msa n . Mệnh đề 1.2.5. Nếu h(x) = n P n P hi xi là một đa thức thực thì h(X) = i=0 hi X i , trong đó X 0 là ma trận đơn vị. i=0 Chứng minh. Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1.    X=    λ1 · · · .. . . . . 0 .. . 0 · · · λn  n  X = λi Eii .   i=0 Suy ra n X h(X) = h(λi )Eii = h0 I + h1 X + · · · + hn X n . i=0 Trường hợp 2. Với X = X T , tồn tại ma trận Unita U : X = U DU ∗ . n P Suy ra h(X) = U hi Di U ∗ . Khi đó n X hi X i = i=0 i=0 n X hi (U DU ∗ )i i=0 =h0 I + h1 (U DU ∗ ) + h2 (U DU ∗ )2 + · · · + hn (U DU ∗ )n =U n X hi Di U ∗ . i=0 Vậy h(A) = n P hi X i . i=0 Hệ quả 1.2.6. Nếu X = U Diag(λ1 , ..., λn )U ∗ thì h(X) = U Diag(h(λ1 ), ..., h(λn ))U ∗ . Bổ đề 1.2.7. Cho X, Y ∈ Msa n với σ(X), σ(Y ) ∈ K, với K ⊂ R. Khi đó     X 0 h(X) 0 = . h 0 Y 0 h(Y ) 11 Chứng minh. Vì X, Y ∈ Msa n nên tồn tại U, V ∈ Mn là các ma trận Unita sao cho X = U D1 U ∗ , Y = V D2 V ∗ , trong đó D1 = Diag(α1 , α2 , · · · , αn ), αi ∈ σ(A), D2 = Diag(β1 , β2 , · · · , βn ), βi ∈ σ(B). Suy ra   X 0 0 Y    =  =  Ta thấy  U 0 0 V   U D1 U 0 U∗ 0 ∗  0 ∗  V D2 V    0 D 0 U 0  1  . ∗ V 0 D2 0 V   là ma trận Unita và D1 0 0 D2   = Diag(α1 , · · · , αn , β1 , · · · , βn ). Theo Hệ quả 1.2.6 ta có       ∗ X 0 U 0 h(D1 ) 0 U 0  =    h 0 Y 0 V∗ 0 h(D2 ) 0 V   h(X) 0 . = 0 f (Y ) Ta có điều phải chứng minh. 12 1.3 Hàm đơn điệu ma trận Định nghĩa 1.3.1. [3] Cho h : I → R là một hàm số, với I là một khoảng trong R. (i) h được gọi là đơn điệu ma trận cấp n hay n-đơn điệu nếu h(X) ≤ h(Y ) với mọi ma trận tự liên hợp cấp n X ≤ Y và phổ của chúng nằm trong I. Hàm h được gọi là hàm đơn điệu ma trận (hay toán tử) trên I nếu nó là n-đơn điệu với mọi n ∈ N∗ . (ii) Hàm h được gọi là ma trận lõm cấp n hay n-lõm nếu nó thỏa mãn h(tX + (1 − t)Y ) ≥ th(X) + (1 − t)h(Y ), (1.4) với mọi ma trận tự liên hợp X, Y cấp n có phổ nằm trong I và mọi 0 ≤ t ≤ 1. n ∈ N∗ . (iii) Hàm h được gọi là n-lồi nếu bất đẳng thức (1.4) đúng chiều ngược lại. Định lý 1.3.2. [3, Theorem 2.1.1, p. 155] Với mỗi X, Y ∈ L(H)sa , X ≥ Y suy ra X t ≥ Y t , ∀t ∈ [0, 1]. Quy ước X 0 = I . Chứng minh. Xét X ≥ Y > 0. Đặt ∆ = {t ∈ R : X t ≥ Y t }. Ta cần chứng minh ∆ chính là đoạn đóng J = [0, 1] bằng cách chứng minh ∆ đóng và chứa một tập trù mật trong J. Các hàm t 7→ X t và t 7→ Y t là liên tục nên hiệu 2 hàm cũng liên tục. ∆ là nghịch ảnh của tập đóng của hàm hiệu nên cũng là tập đóng. Rõ t+q ∈ ∆ với mọi t, q ∈ ∆. Giả ràng 0, 1 ∈ ∆. Trước hết khẳng định rằng: 2 sử khẳng định này đúng, ta suy ra tập các số 2-adic cũng thuộc ∆ nên ∆ chứa tập con trù mật trong [0, 1]. Vậy để kết thúc chứng minh, ta cần chứng minh khẳng định vừa nêu trên. 13 Với t, q ∈ ∆, ta có X t ≥ Y t , X q ≥ Y q . Theo Mệnh đề 1.1.2, ta suy ra X −t/2 Y t X −t/2 ≤ X −t/2 X t X −t/2 = I. Mặt khác kY t/2 X −t/2 k2 =k(Y t/2 X −t/2 )∗ (Y t/2 X −t/2 )k =kX −t/2 Y t X −t/2 k ≤1. Suy ra kY t/2 X −t/2 k ≤ 1. Chứng minh tương tự ta có kY q/2 X −q/2 k ≤ 1. Khi đó, ta có k(Y t/2 X −t/2 )∗ (Y q/2 X −q/2 )k ≤k(Y t/2 X −t/2 )∗ kk(Y q/2 X −q/2 )k =k(Y t/2 X −t/2 )kk(Y q/2 X −q/2 )k ≤1. Áp dụng Mệnh đề 1.1.5, ta có 1 ≥k(Y t/2 X −t/2 )∗ (Y q/2 Y −q/2 )k =kX −t/2 Y (t+q)/2 X −q/2 k ≥r(X −t/2 Y (t+q)/2 X −q/2 ) =r(X −(t+q)/4 Y (t+q)/2 X −(t+q)/4 ) =kX −(t+q)/4 Y (t+q)/2 X −(t+q)/4 k. Suy ra I ≥ X −(p+q)/4 Y (t+q)/2 X −(t+q)/4 . Do đó Y (t+q)/2 ≤ X (t+q)/2 hay 14 t+q ∈ ∆. 2 Chú ý 1.3.3. Định lý 1.3.2  khôngđúng trong  trường  hợp t > 1. 1 1 1 3 2 0 Thật vậy, xét X =  ,Y =  , khi đó |(X t − Y t )| = 4 0 1 2 1 1  t t 2 + 4 (3t 8−t ) 3t − . 2 Do đó với mọi t > 1, X t − Y t không là nửa xác định dương. Mệnh đề 1.3.4. Cho h : [0, ∞) → [0, ∞) là hàm số. Khi đó h là n-đơn điệu khi và chỉ khi h là n-lõm với mọi số tự nhiên n. Chứng minh. Theo Hệ quả 2.5.4, trang 171 của [3]. Ví dụ 1.3.5. Hàm h(s) = st là hàm đơn điệu ma trận đồng thời là n-lõm trên [0, ∞) với t ∈ [0, 1] và mọi số tự nhiên n. Chứng minh. Giả sử X, Y ∈ Msa n , σ(X), σ(Y ) ⊂ [0, ∞) và X ≥ Y . Áp dụng Định lý 1.3.2, X t ≥ Y t, ∀t ∈ [0, 1]. Vậy h là n đơn điệu trên J = [0, ∞). Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.3.4, ta có h là n-lõm . Ví dụ 1.3.6. h(s) = −s−1 là hàm n-đơn điệu trên (0, ∞) với mọi số tự nhiên n. Chứng minh. Ta sử dụng Mệnh đề 1.1.2 để chứng minh rằng nếu Y ≥ X > 0 thì Y −1 ≤ X −1 . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 15