Tài liệu Một số vấn đề về đại số banach và phổ của toán tử tuyến tính

1 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Ban Giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầy giáo phản biện để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia đình và bạn bè trong suốt quá trình làm luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Đỗ Văn Thịnh 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Đỗ Văn Thịnh 3 Mục lục LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 1 LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................ 2 LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 4 Chương 1 Cơ bản về đại số Banach ................................................................................. 6 1.1 Định nghĩa đại số Banach ................................................................................... 6 1.2 Phổ và bán kính phổ ........................................................................................... 9 1.2.1 Phần tử khả nghịch ........................................................................................... 9 1.2.2 Phổ và giải thức ............................................................................................. 14 1.3 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính ........................................................................ 18 1.3.1 Một số định nghĩa và kết quả bổ trợ ............................................................... 18 1.3.2 1.4 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính ................................................................. 22 Phép biến đổi Gelfand ....................................................................................... 24 1.5 Định lí Wiener .................................................................................................... 33 Chương 2 Phổ của toán tử tuyến tính ............................................................................. 37 2.1 Một số kiến thức cơ bản........................................................................................ 37 2.1.1 Định nghĩa và một số tính chất sơ cấp ........................................................... 37 2.1.2 Phân lớp phổ .................................................................................................. 43 2.2 Ứng dụng của lí thuyết phổ toán tử trong phương trình vi phân và lí thuyết nửa nhóm ........................................................................................................................... 47 Chương 3 Một số ví dụ và ứng dụng ............................................................................. 57 3.1 Một vài ví dụ về đại số Banach ......................................................................... 57 3.2 Một số bài toán ví dụ về phân lớp phổ ................................................................. 58 3.3 Một số bài toán ví dụ về phổ của toán tử ............................................................. 61 3.4 Về vấn đề liên tục của nửa nhóm 𝑼(𝒕) ................................................................ 64 KẾT LUẬN .................................................................................................................... 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 69 4 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Lý thuyết đại số Banach – một lý thuyết toán học có lịch sử phát triển lâu dài của toán học gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như Von Neumann, Gelfand, Naimark… Có thể chia lý thuyết đại số Banach thành hai phần chính: lý thuyết đại số giao hoán và lý thuyết đại số không giao hoán. I. M. Gelfand là người đã phát triển một cách có hệ thống lý thuyết đại số giao hoán. Một trong những ứng dụng tiêu biểu của lý thuyết này là việc đưa ra một chứng minh đơn giản đến bất ngờ của định lý Wiener về các chuỗi lượng giác. Lý thuyết đại số không giao hoán (cụ thể là đại số có phép đối hợp) được xây dựng trong các công trình của I. M. Gelfand và M. A. Naimark. Thời gian gần đây, cùng với các lý thuyết khác của toán học, lý thuyết đại số Banach đã phát triển thành một ngành rộng lớn của giải tích hàm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Vì lý do đó tôi đã chọn đề tài “Một số vấn đề về đại số Banach và phổ của toán tử tuyến tính”. 2. Mục đích nghiên cứu. - Tìm hiểu một số ứng dụng của lý thuyết đại số Banach và lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính trong việc chứng minh các vấn đề liên quan. 5 - Góp phần phục vụ cho công tác giảng dạy, học tập của sinh viên các trường đại học, học viên cao học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết đại số Banach và lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính. - Trình bày một ví dụ về ứng dụng của đại số Banach trong lĩnh vực giải tích hàm truyền thống và ứng dụng lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính trong phương trình vi phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Các vấn đề của lý thuyết đại số Banach, lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính và các vấn đề liên quan. 5. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích phức, phương trình vi phân và đại số. 6 Chương 1 Một số vấn đề cơ bản về đại số Banach 1.1 Định nghĩa đại số Banach Để thuận tiện, ta quy ước rằng: nếu không giải thích gì thêm thì tất cả các không gian tuyến tính được nhắc đến trong luận văn đều là không gian trên trường số phức ℂ. Định nghĩa 1.1.1. Không gian tuyến tính 𝕭 được gọi là đại số nếu trên 𝕭 xác định một phép tính nhân (trong đó tích của hai phần tử 𝑓 và 𝑔, ký hiệu là 𝑓𝑔), thỏa mãn các tiên đề sau: 1. 𝑓𝑔 𝑕 = 𝑓 𝑔𝑕 2. 𝑓 + 𝑔 𝑕 = 𝑓𝑔 + 𝑓𝑕 𝑓 𝑔 + 𝑕 = 𝑓𝑔 + 𝑓𝑕 3. 𝛼 𝑓𝑔 = 𝛼𝑓 𝑔 ∀𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝕭 ∀𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝕭 ∀𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝕭 ∀𝛼 ∈ ℂ; 𝑓, 𝑔 ∈ 𝕭 Một đại số con của 𝕭 là không gian vector con 𝕮 ⊂ 𝕭 sao cho với mọi 𝑐, 𝑐 ′ ∈ 𝕮, tích 𝑐𝑐 ′ ∈ 𝕮. Nếu tồn tại phần tử 𝑒 ∈ 𝕭 sao cho, 𝑒𝑓 = 𝑓𝑒 = 𝑓 với mọi 𝑓 ∈ 𝕭 thì 𝑒 được gọi là đơn vị của đại số 𝕭 và bản thân đại số được gọi là đại số có đơn vị. Nếu phần tử đơn vị tồn tại thì nó là duy nhất. Nếu bản thân phép nhân giao hoán, tức là thỏa mãn: 𝑓𝑔 = 𝑔𝑓 với mọi 𝑓, 𝑔 ∈ 𝕭 thì đại số 𝕭 được gọi là đại số giao hoán. Không gian định chuẩn 𝕭 được gọi là đại số định chuẩn nếu nó là đại số có đơn vị và thỏa mãn thêm hai tiên đề: 7 i) 𝑒 = 1. ii) 𝑓𝑔 = 𝑓 𝑔 ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝕭. Nếu 𝕭 là đại số định chuẩn đầy đủ (tức chuẩn trên không gian tuyến tính là đầy đủ) thì đại số 𝕭 được gọi là đại số Banach. Nhận xét: Từ các định nghĩa trên có thể dễ dàng thấy rằng: i) Đại số con của đại số định chuẩn là đại số định chuẩn. ii) Bao đóng của đại số con là đại số con. iii) Đại số con đóng đại số Banach là đại số Banach. Một số ví dụ về đại số Banach: a) Trường số phức ℂ : Xét trường số phức với phép cộng và phép nhân thông thường cùng với chuẩn: 𝑧 = 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 . Khi đó ℂ là một đại số Banach với phần tử đơn vị là 𝑒 = 1. b) Giả sử 𝑆 là một tập bất kỳ Ký hiệu ℓ∞ (𝑆) là tập hợp tất cả các hàm phức bị chặn trên 𝑆. Trong ℓ∞ 𝑆 , các phép toán cộng và nhân được xác định như sau: 1) 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 2) 𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 3) 𝜆𝑓 𝑥 = 𝜆𝑓(𝑥) 8 Với mỗi hàm 𝑓 ∈ ℓ∞ 𝑆 , chuẩn của nó xác định theo công thức: 𝑓 ∞ = sup𝑥∈𝑆 𝑓(𝑥) . Khi đó không gian ℓ∞ 𝑆 cùng với các phép toán và chuẩn được định nghĩa như trên sẽ thỏa mãn các đề trong định nghĩa đại số Banach. Vậy ℓ∞ 𝑆 là đại số Banach với phần tử đơn vị là: 𝑓 = 1. c) Đại số 𝐶𝑇 : Cho không gian tôpô Hausdorff compact 𝑇. Kí hiệu không gian tuyến tính các hàm phức liên tục trên 𝑇 là 𝐶𝑇 , trong đó các phép toán cộng và nhân các phần tử là các phép cộng và nhân hai hàm số trong định nghĩa như ở phần ví dụ b). Chuẩn của hàm 𝑥(𝑡) ∈ 𝐶𝑇 xác định bởi công thức: 𝑥 = max 𝑥(𝑡) . 𝑡∈𝑇 Khi đó 𝐶𝑇 là đại số Banach với phần tử đơn vị 𝑒 𝑡 = 1. Trong các ví dụ đã nêu ở trên, các đại số Banach được nhắc đến đều là giao hoán. Các ví dụ về đại số Banach không giao hoán có thể được xem thêm ở mục 3.1. Định nghĩa 1.1.2. Nếu 𝐵𝝀 𝜆𝜖𝔅 𝝀∈𝕭 là một họ các đại số con của đại số 𝕭 thì 𝐵𝝀 cũng là đại số con. Do đó, nếu 𝑆 là một tập con bất kỳ của 𝕭 thì luôn luôn tồn tại đại số con nhỏ nhất 𝐵 của 𝕭 chứa 𝑆 (đó chính là giao của tất cả các đại số con chứa 𝑆 của đại số 𝕭). Đại số này được gọi là đại số con của 𝕭 sinh bởi 𝑆. Nếu 𝑆 là tập chỉ có 1 phần tử 𝑓 thì 𝐵 bao gồm các phần tử có dạng 𝑓 𝑛 . (𝑛 = 1,2,3, … ) 9 Nếu 𝕭 là đại số định chuẩn thì đại số đóng 𝐶 sinh bởi tập 𝑆 được định nghĩa là đại số con đóng nhỏ nhất của 𝕭 mà chứa 𝑆. Như vậy : 𝐶 = 𝐵, trong đó 𝐵 là đại số con sinh bởi 𝑆. Định nghĩa 1.1.3. Một idean trái (tương ứng: idean phải) của đại số 𝕭 là không gian vector con 𝐼 của 𝕭 thỏa mãn tính chất: nếu 𝑎 ∈ 𝕭 và 𝑏 ∈ 𝕭 thì 𝑎𝑏 ∈ 𝐼 (tương ứng: 𝑏𝑎 ∈ 𝐼 ). 𝐼 được gọi là idean của 𝕭 nếu nó vừa là idean trái, vừa là idean phải của 𝕭. Hiển nhiên rằng 0 và 𝕭 là idean trong 𝕭. Chúng được gọi là những idean tầm thường. Idean được gọi là cực đại trong nếu nó không bị chứa trong bất kỳ một idean không tầm thường nào khác. 1.2 Phổ và bán kính phổ Phổ của phần tử trong đại số Banach là ứng dụng đầu tiên và dễ thấy nhất của lý thuyết đại số Banach trong giải tích truyền thống. Nó hoàn toàn phù hợp với kiến thức đã có trước đó về phổ của toán tử tuyến tính. Nhiều tính chất của toán tử tuyến tính được chứng minh dễ dàng hơn nhờ việc sử dụng các khái niệm và tính chất trong lý thuyết đại số Banach. Mục 1.2 sẽ trình bày về phổ và bán kính phổ của phần tử trong đại số Banach, còn ứng dụng của các khái niệm và tính chất này trong trường hợp phổ của toán tử tuyến tính sẽ được trình bày trong chương 2 của khóa luận. 1.2.1 Phần tử khả nghịch Định nghĩa 1.2.1. 𝐶𝑕𝑜 𝕭 𝑙à đạ𝑖 𝑠ố 𝐵𝑎𝑛𝑎𝑐𝑕. 10  Phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 gọi là phần tử khả nghịch nếu tồn tại phần tử 𝑓 −1 ∈ 𝕭 sao cho: 𝑓𝑓 −1 = 𝑓 −1 𝑓 = 𝑒 trong đó e là phần tử đơn vị của 𝕭. Ký hiệu tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch trong 𝕭 là G.  Phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 gọi là khả nghịch trái nếu tồn tại phần tử 𝑓 −1 ∈ 𝕭 sao cho: 𝑓 −1 𝑓 = 𝑒 trong đó e là phần tử đơn vị của 𝕭. Tập tất cả các phần tử khả nghịch trái trong 𝕭 được kí hiệu là 𝐺𝑙 .  Phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 gọi là khả nghich phải nếu tồn tại phần tử 𝑓 −1 ∈ 𝕭 sao cho: 𝑓𝑓 −1 = 𝑒 trong đó e là phần tử đơn vị của 𝕭. Tập tất cả các phần tử khả nghịch phải trong 𝕭 kí hiệu là 𝐺𝑟 . Mệnh đề 1.2.1. Nếu f là một phần tử thuộc đại số Banach 𝕭 v 𝑒 − 𝑓 < 1, thì f khả nghịch và 𝑓 −1 ≤ 1 1− 𝑒−𝑓 Chứng minh. Đặt 𝜂 = 𝑒 − 𝑓 . Theo giả thiết 𝑒 − 𝑓 < 1, nên 𝜂 < 1. Khi đó với mọi 𝑁, 𝑀 ∈ ℕ, 𝑀 ≤ 𝑁, 𝑡𝑎 𝑐ó: 11 𝑁 𝑀 𝑒−𝑓 𝑛 − 𝑛=0 𝑛 𝑁 𝑒−𝑓 𝑛 = 𝑛 =0 𝑛 𝑒−𝑓 ≤ 𝑛=𝑀+1 𝑒−𝑓 𝑛 =𝑀+1 𝑁 𝑛 =𝑀+1 𝑁 𝑛=0 chuỗi +∞ 𝑛=0 𝑛 𝑒−𝑓 Kí hiệu 𝑔 = Khi đó 𝑣ì lim 𝑁→0 +∞ 𝑛=0 𝑒−𝑓 𝑛 +∞ 𝑁=0 𝜂𝑀+1 𝜂 ≤ . 1−𝜂 𝑛 = Vì 𝜂 < 1 nên dãy tổng riêng 𝑛 là dãy Cauchy. Từ đó suy ra 𝑕ộ𝑖 𝑡ụ. 𝑒 − 𝑓 𝑛. 𝑒−𝑓 𝑁+1 = 0 𝑛ê𝑛 ∞ 𝑁 𝑓𝑔 = 𝑒 − 𝑒 − 𝑓 𝑒−𝑓 𝑛 = lim 𝑒− 𝑒−𝑓 𝑁→0 𝑛 =0 𝑒−𝑓 𝑛 𝑛=0 = lim 𝑒 − 𝑒 − 𝑓 𝑁+1 = 𝑒. 𝑁→0 Tương tự như vậy ta cũng có : gf = e. +∞ Vậy 𝑓 là phần tử khả nghịch và 𝑓 −1 = 𝑔 = 𝑒 − 𝑓 𝑛. 𝑛=0 Hơn nữa +∞ 𝑓 −1 = 𝑁 𝑒−𝑓 𝑛=0 𝑛 = lim 𝑁→∞ 𝑁 𝑒−𝑓 𝑛=0 𝑛 ≤ lim 𝑁→∞ 𝑒−𝑓 𝑛 =0 = Mệnh đề 1.2.1 được chứng minh xong. 𝑛  1 1− 𝑒−𝑓 12 Mệnh đề 1.2.2. Các tập 𝐺, 𝐺𝑙 , 𝐺𝑟 là mở trong đại số Banach 𝕭. Chứng minh  Giả sử f là phần tử khả nghịch của 𝕭, tức 𝑓 ∈ 𝐺. 𝐾𝑕𝑖 đó, 𝑛ế𝑢 𝑓 − 𝑔 < 1 𝑡𝑕ì 𝑒 − 𝑓 −1 𝑔 ≤ 𝑓 −1 −1 𝑓 𝑓−𝑔 <1 Vậy 𝑓 −1 𝑔 là phần tử khả nghịch theo mệnh đề 1.2.1. Từ đó suy ra 𝑔 = 𝑓 𝑓 −1 𝑔 cũng khả nghịch (vì nó là tích của hai phần tử khả nghịch), hay 𝑔 ∈ 𝐺. 1 Như vậy, nếu 𝑓 ∈ 𝐺 thì hình cầu mở bán kính 𝑓 −1 ,tâm f cũng nằm trong G. Từ đó suy ra G là tập mở trong 𝕭.  Nếu 𝑓 ∈ 𝐺𝑙 thì theo định nghĩa tồn tại phần tử 𝑕 ∈ 𝕭 sao cho hf = e. Khi đó, với mọi 𝑔 ∈ 𝕭 sao cho 𝑓 − 𝑔 < 𝑒 − 𝑕𝑔 = 𝑕𝑓 − 𝑕𝑔 ≤ 𝑕 1 𝑕 ta có: 𝑓−𝑔 <1 Đặt k = hg. Khi đó, k là khả nghịch (theo mệnh đề 1.2.1). Mặt khác, vì 𝑘 −1 𝑕 𝑔 = 𝑒 nên g là phần tử khả nghịch trái, tức là 𝑔 ∈ 𝐺𝑙 . Vậy, nếu 𝑓 ∈ 𝐺𝑙 thì 𝐺𝑙 chứa hình cầu mở bán kính 1 𝑕 , tâm f . Trong đó, h là phần tử sao cho hf = e. Suy ra 𝐺𝑙 là tập mở.  Chứng minh tương tự như đối với trường hợp 𝐺𝑙 ta cũng suy ra được rằng 𝐺𝑟 là tập mở.  13 Hệ quả 1.2.1. Cho 𝕭 là một đại số Banach, f là một phần tử trong 𝕭. Khi đó, ánh xạ: 𝜑∶𝐺→𝕭 𝑓 ⟼ 𝜑 𝑓 = 𝑓 −1 là ánh xạ liên tục. Chứng minh Ta cần chứng minh ánh xạ 𝜑 là liên tục. Thật vậy, giả sử 𝑓 là một phần tử của G. Khi đó, nếu 𝑔 là một phần tử của 𝕭 sao cho: 𝑓−𝑔 ≤ 1 1 −1 𝑡𝑕ì 𝑒 − 𝑓 𝑔 < . 2 𝑓 −1 2 Theo mệnh đề 1.2.1, 𝑓 −1 𝑔 là phần tử khả nghịch và 𝑓 −1 𝑔 Vậy 𝑓 −1 𝑔 −1 −1 ≤ 1 . 1 − 𝑒 − 𝑓 −1 𝑔 ≤ 2. Từ đó: 𝑔−1 ≤ 𝑔−1 𝑓 𝑓 −1 = 𝑓 −1 𝑔 −1 𝑓 −1 ≤ 2 𝑓 −1 . Từ bất đẳng thức mới nhận được ta có: 𝑓 −1 − 𝑔−1 = 𝑓 −1 𝑓 − 𝑔 𝑔−1 ≤ 2 𝑓 −1 Vậy 𝜑 là ánh xạ liên tục. 2 𝑓−𝑔 .  14 1.2.2 Phổ và giải thức Định nghĩa 1.2.2. Cho 𝕭 là đại số Banach và f là một phần tử của 𝕭. Khi đó ta có định nghĩa như sau:  Phổ của f là tập: 𝜍𝕭 𝑓 = 𝜆 ∈ ℂ ∶ 𝑓 − 𝜆𝑒 𝑙à 𝑘𝑕ô𝑛𝑔 𝑘𝑕ả 𝑛𝑔𝑕ị𝑐𝑕 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝕭 .  Tập giải của f là tập: 𝜌𝕭 𝑓 = ℂ\𝜍𝕭 𝑓 . Nếu 𝜆 ∉ 𝜍 𝑓 thì ta gọi 𝜆 là giá trị chính quy. Hàm 𝑅𝜆 : ℂ\𝜍 𝑓 → 𝕭 𝑅𝜆 𝑓 = 𝑓 𝜆 = 𝜆𝑒 − 𝑓 −1 xác định trên tập các giá trị chính quy của phần tử f được gọi là giải thức của phần tử đó.  Bán kính phổ của f là số 𝑟𝕭 𝑓 được xác định theo công thức sau: 𝑟𝕭 𝑓 = sup 𝜆 : 𝜆 ∈ 𝜍𝕭 𝑓 Để đơn giản, từ nay về sau ta sẽ kí hiệu 𝜍 𝑓 , 𝜌 𝑓 , 𝑟 𝑓 lần lượt là phổ, tập giải và bán kính phổ của phần tử f thuộc 𝕭. Dưới đây là một số ví dụ đơn giản về phổ, tập giải, giải thức và bán kính phổ: a) Nếu 𝑋 = ℂ thì mọi phần tử khác không của X đều khả nghịch. b) Nếu 𝑋 = 𝐶𝑇 thì hàm 𝑓(𝑡) khả nghịch khi và chỉ khi nó khác không hầu khắp nơi. Khi đó, phổ 𝜍 𝑓 của hàm 𝑓 𝑡 trùng với tập giá trị của 𝑓 𝑡 . Giải thức 𝑅𝜆 của 𝑓 là hàm: 15 𝑅𝜆 = 1 𝜆−𝑓 𝑡 và bán kính phổ: 𝑟 𝑓 = 𝑓 = max 𝑓 𝑡 . Các tính chất của phổ: Mệnh đề 1.2.2. Nếu 𝕭 là đại số Banach và 𝑓 ∈ 𝕭 thì 𝜍 𝑓 là tập compact và 𝑟 𝑓 ≤ 𝑓 . Chứng minh. Xét hàm 𝜑∶ ℂ→𝕭 𝜆 ⟼ 𝜑 𝜆 = 𝑓 − 𝜆𝑒. Dễ dàng thấy rằng 𝜑 là hàm liên tục và do đó, 𝜌 𝑓 = 𝜑 −1 𝐺 là tập mở (do G là tập mở). Suy ra, tập 𝜍 𝑓 = ℂ\𝜌 𝑓 là tập đóng. (1) Giả sử 𝜆 là số phức sao cho 𝜆 > 𝑓 . 𝐾𝑕𝑖 đó: 𝑒 − 𝑒 − 𝑓 𝜆 = 𝑓 𝑓 = <1 𝜆 𝜆 𝑓 nên theo mệnh đề 1.2.1, 𝑒 − là khả nghịch. 𝜆 Như vậy 𝑓 − 𝜆𝑒 cũng khả nghịch và 𝜆 ∈ 𝜌 𝑓 . Vậy nếu 𝜆 ∈ 𝜌 𝑓 thì 𝜆 ≤ 𝑓 . Suy ra tập 𝜍 𝑓 là bị chặn. Từ (1) và (2) ta suy ra :𝜍 𝑓 là tập compact. (2) 16 Hơn nữa, nếu 𝜆 ∈ 𝜍 𝑓 thì 𝜆 ≤ 𝑓 . Từ đây suy ra 𝑟 𝑓 ≤ 𝑓 . Mệnh đề đã được chứng minh xong.  Định lí 1.2.1. Nếu 𝕭 là đại số Banach và 𝑓 ∈ 𝕭 thì tập 𝜍 𝑓 khác rỗng. Chứng minh Để chứng minh định lí 1.2.1 ta cần sử dụng đến định lí Liouville trong lí thuyết hàm biến phức. Định lí Liouville được phát biểu như sau: " Cho f(z) là hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức. ≤ 𝑀 với mọi 𝑧 ∈ ℂ. Khi đó f(z) là hàm Giả sử tồn tại số M > 0 sao cho 𝑓 𝑧 hằng với mọi 𝑧 ∈ ℂ ". Ta tiếp tục chứng minh định lí: Xét hàm 𝐹 ∶ 𝜌 𝑓 → 𝕭 xác định bởi công thức : 𝐹 𝜆 = 𝑓 − 𝜆𝑒 −1 . Ta sẽ chỉ ra F là hàm giải tích trên 𝜌 𝑓 sau đó sử dụng định lí Liouville để chứng minh định lí trên bằng phản chứng. Đầu tiên, theo hệ quả 1.2.1, ánh xạ 𝑓 → 𝑓 −1 liên tục nên F cũng liên tục. Khi đó, nếu 𝜆0 ∈ 𝜌 𝑓 thì: 𝐹 𝜆 − 𝐹 𝜆0 lim 𝜆→𝜆 0 𝜆 − 𝜆0 = lim 𝑓 − 𝜆0 −1 𝜆→𝜆 0 = lim 𝑓 − 𝜆0 𝜆→𝜆 0 −1 𝑓 − 𝜆0 − 𝑓 − 𝜆 𝜆 − 𝜆0 𝑓−𝜆 −1 = 𝑓 − 𝜆0 𝑓−𝜆 −2 . Từ đó suy ra: lim 𝜆→𝜆 0 𝜑 𝐹 𝜆 − 𝜑 𝐹 𝜆0 𝜆 − 𝜆0 = 𝜑 𝑓 − 𝜆0 −2 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝜑 ∈ 𝕭∗ . −1 17 Vậy, nếu 𝜑 ∈ 𝕭∗ (không gian liên hợp của 𝕭) thì hàm 𝜑 𝐹 là hàm giải tích phức trên 𝜌 𝑓 . Hơn nữa, theo mệnh đề 1.2.1 với 𝜆 > 𝑓 ta có: 𝑓 𝑒 − 𝑘𝑕ả 𝑛𝑔𝑕ị𝑐𝑕 𝑣à ∶ 𝜆 𝑓 𝑒− 𝜆 −1 ≤ 1 𝑓 1− 𝜆 . Suy ra: lim 𝐹 𝜆 𝜆→∞ 1 𝑓 = lim −𝑒 𝜆→∞ 𝜆 𝜆 𝑉ậ𝑦, 𝑛ế𝑢 𝜑 ∈ 𝕭∗ 𝑡𝑕ì ∶ lim 𝜑 𝐹 𝜆 𝜆→∞ −1 ≤ lim sup 𝜆 →∞ 1 𝜆 1 𝑓 1− 𝜆 = 0. = 0. Giả sử ngược lại rằng 𝜍 𝑓 = ∅. Khi đó, 𝜌 𝑓 = ℂ\𝜍 𝑓 = ℂ. Hàm 𝜑 𝐹 ∶ 𝜌 𝑓 → ℂ bây giờ sẽ có miền xác định là toàn bộ mặt phẳng phức ℂ. Theo như chứng minh phía trên, hàm 𝜑 𝐹 giải tích trên 𝜌 𝑓 , nên suy ra 𝜑 𝐹 là hàm nguyên. Hơn nữa, lim𝜆→∞ 𝜑 𝐹 𝜆 = 0. Theo định lí Liouville ta suy ra: 𝜑 𝐹 ≡ 0. Cố định 𝜆 ∈ ℂ, khi đó 𝜑 𝐹 𝜆 = 0, với mọi 𝜑 ∈ 𝕭∗ . Do đó, 𝐹 𝜆 = 0 (do hệ quả : Nếu 𝜑 𝐹 ≡ 0, ∀𝜑 ∈ 𝑥 ∗ 𝑡𝑕ì 𝑓 = 0). Điều này mâu thuẫn với định nghĩa hàm F, vì: 𝐹 𝜆 = 𝑓 − 𝜆𝑒 −1 là phần tử khả nghịch trong 𝕭. Vậy 𝜍 𝑓 ≠ ∅. Định lí được chứng minh.  18 1.3 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính Phiếm hàm tuyến tính nhân tính là một phần không thể thiếu của lí thuyết đại số Banach. Nó là nền tảng cho phép biến đổi Gelfand và rất nhiều kết quả khác. Để thuận tiện khi trình bày hai mục “ Phiếm hàm tuyến tính nhân tính” và “Phép biến đổi Gelfand” sẽ được tách riêng. Trong mục “ Phiếm hàm tuyến tính nhân tính” chúng ta cần nêu một số định nghĩa và kết quả của giải tích hàm trong phần tiếp theo của khóa luận. 1.3.1 Một số định nghĩa và kết quả bổ trợ Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một tập bất kì, Y là một không gian tôpô và ℱ là họ các hàm từ X vào Y. Tôpô yếu trên X sinh bởi ℱ là tôpô nhỏ nhất 𝒯 trên X mà trong đó mỗi hàm 𝑓 ∈ ℱ là hàm liên tục. Như vậy, 𝒯 là tôpô sinh bởi tập 𝑓 −1 𝑈 : 𝑓 ∈ 𝒯, 𝑈 𝑙à 𝑡ậ𝑝 𝑚ở 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑌 . Giả sử 𝑥𝛼 𝛼∈𝐴 là một dãy các phần tử nằm trong X. Khi đó, trong tôpô 𝒯 :lim𝛼∈𝐴 𝑥𝛼 = 𝑥 khi và chỉ khi lim𝛼∈𝐴 𝑓 𝑥𝛼 = 𝑓 𝑥 ∀𝑓 ∈ ℱ. Định nghĩa 1.3.2. Kí hiệu 𝒳 ∗ là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên không gian Banach 𝒳. Với mọi 𝜑 ∈ 𝒳 ∗ , đặ𝑡 𝜑 = sup Khi đó 𝒳 ∗ , . 𝜑 𝑓 :𝑓 ≠ 0 . 𝑓 là một không gian Banach, 𝒳 ∗ được gọi là không gian liên hợp của không gian 𝒳. 19 Định nghĩa 1.3.3. Với mỗi 𝑓 ∈ 𝒳, gọi 𝑓 là hàm trên 𝒳 ∗ xác định bởi công thức 𝑓 𝜑 = 𝜑 𝑓 , 𝜑 ∈ 𝒳 ∗. Khi đó tôpô 𝜔∗ trên 𝒳 ∗ được định nghĩa là tôpô yếu trên 𝒳 ∗ sinh bởi họ các hàm 𝑓 ∶ 𝑓 ∈ 𝒳 . Mệnh đề 1.3.1. Không gian 𝒳 ∗ , 𝜔∗ là không gian Hausdorff. Mệnh đề 1.3.2. Trong không gian 𝒳 ∗ , 𝜔∗ , dãy 𝜑𝛼 𝛼∈𝐴 ⊂ 𝒳 ∗ hội tụ tới phần tử 𝜑 ∈ 𝒳 ∗ khi và chỉ khi lim 𝜑𝛼 𝑓 = 𝜑 𝑓 , ∀𝑓 ∈ 𝒳. 𝛼∈𝐴 Định nghĩa 1.3.4. Hình cầu đơn vị của không gian Banach 𝒳 bất kì là tập 𝑓∈𝒳∶ 𝑓 ≤1 và được kí hiệu là 𝒳 1 . Định lí 1.3.1. (Định lí Alaoglu): Hình cầu đơn vị 𝒳 ∗ 1 của không gian 𝒳 ∗ ( không gian liên hợp của không gian Banach 𝒳) là tập compact trong tôpô yếu 𝜔∗ . Định nghĩa 1.3.5. Ánh xạ F: 𝑋 → 𝑌 được gọi là phép đồng cấu đại số từ đại số X vào đại số Y nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (1) 𝐹 𝑓 + 𝑔 = 𝐹𝑓 + 𝐹𝑔, ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝑋. (2) 𝐹 𝛼𝑓 = 𝛼𝐹𝑓, ∀𝛼 ∈ ℂ, ∀𝑓 ∈ 𝑋. (3) 𝐹 𝑓𝑔 = 𝐹𝑓. 𝐹𝑔, ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝑋. 20 Hai đại số X và Y được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại ánh xạ 1-1 thỏa mãn các điều kiện (1)- (3). Ánh xạ 1-1 này được gọi là một đẳng cấu từ đại số X vào đại số Y. Hai không gian định chuẩn X và Y được gọi là đẳng cự nếu tồn tại ánh xạ 1-1 𝐹 ∶ 𝑋 ↔ 𝑌, thỏa mãn các điều kiện (1),(2) và điều kiện sau: 𝐹𝑓 𝑌 = 𝑓 ∀𝑓 ∈ 𝑋. 𝑋 Hai đại số Banach X và Y được gọi là đẳng cấu đẳng cự với nhau nếu chúng đẳng cấu đẳng cự với nhau như hai không gian định chuẩn. Không gian thương Giả sử 𝒳 là không gian Banach và ℳ là không gian con đóng của 𝒳. Kí hiệu 𝒳/ℳ là không gian tuyến tính của các lớp tương đương 𝑓 ∶ 𝑓 ∈ 𝒳 , trong đó 𝑓 = 𝑓 + 𝑔 ∶ 𝑔 ∈ ℳ và chuẩn được xác định theo công thức: 𝑓 Khi đó, nếu 𝑓 = inf 𝑓 + 𝑔 = inf 𝑕 . 𝑔∈ℳ = 0 thì tồn tại dãy 𝑔𝑛 𝑔∈ 𝑓 ∞ 𝑛 =1 trong ℳ thỏa mãn lim 𝑓 + 𝑔𝑛 = 0. 𝑛→∞ Do ℳ là đóng nên 𝑓 ∈ ℳ và 𝑓 = 0 . Ngược lại, nếu 𝑓 = 0 thì 𝑓 ∈ ℳ và 0 ≤ Do vậy, 𝑓 𝑓 ≤ 𝑓 − 𝑓 = 0. = 0 khi và chỉ khi 𝑓 = 0 . Hơn nữa, nếu 𝑓1 và 𝑓2 là các phần tử thuộc 𝒳 và 𝜆 ∈ ℂ thì 𝜆 𝑓1 = 𝜆𝑓1 = inf 𝜆𝑓1 + 𝑔 = 𝜆 inf 𝑓1 + 𝑕 = 𝜆 𝑔∈ℳ 𝑕∈ℳ 𝑓1