Tài liệu Một số ứng dụng tích phân của hàm một biến trong hình học và vật lý

  • Số trang: 75 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 58 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HÒA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HÒA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên, Năm 2015 i Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Văn Ngọc, thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình làm luận văn này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại Học Khoa Học, các thầy cô giáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọi điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập tại trường. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, các bạn học viên trong lớp cao học toán K7b đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập cùng nhau. Cuối cùng tác giả xin bày tỏ sự biết ơn vô hạn đối với cha mẹ, các anh chị em và người thân trong gia đình mình đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015 Học viên Nguyễn Thu Hòa ii Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Tích phân xác định 1.1 1.2 1.3 1.4 3 Tích phân xác định và lớp hàm khả tích Riemann . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Các định lý về giá trị trung bình tích phân . . . . . . . . 8 Tích phân xác định và nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên . . . . . . . . 9 1.3.2 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Tính toán và biến đổi các tích phân 1.4.1 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . 11 Công thức Newton- Leibnitz. Tích phân của các hàm chẵn, hàm lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Đổi biến trong tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Đổi biến trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 17 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học 2.1 1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 iii 2.2 2.3 2.4 2.1.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tính thể tích của khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tính chiều dài của một đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tính diện tích của một mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong Vật lý 3.1 40 Sơ đồ tổng quát ứng dụng tích phân giải bài toán Vật lý . . . . 40 3.1.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 Lược đồ ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . 41 Moment và trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 Moment tĩnh và moment quán tính của hệ điểm . . . . . 42 3.2.2 Moment của một cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.3 Moment của một hình thang cong thuần nhất . . . . . . 43 3.2.4 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ứng dụng tích phân trong các bài tập điện . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Cường độ điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2 Điện trở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.3 Từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.4 Điện xoay chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Một số vấn đề khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.1 Công . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.2 Lực-Áp suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3 Phân hủy-Phóng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2 3.3 3.4 1 Mở đầu Trong luận văn này chúng ta sẽ giải thích định nghĩa của tích phân xác định của hàm thực xác định trên một khoảng compăc. Ta có cái nhìn gần hơn về các loại hàm có thể lấy tích phân và ta trình bày phân tích định tính của hàm khả tích, theo cách chính xác hơn so với tính toán thông thường. Tích phân được định nghĩa và nghiên cứu ở đây được biết đến với tên tích phân Riemann. Cauchy (1823) miêu tả một cách nghiệm ngặt tích phân của hàm liên tục như giới hạn của một tổng. Riemann (1854), chỉ đơn thuần là một phần bên ngoài trong luận án nổi tiếng của ông về chuỗi lượng giác, định nghĩa tích phân cho các hàm tổng quát hơn. Trong phần tiếp theo chúng ta miêu tả ngắn gọn lý thuyết tích phân Riemann và mở rộng của nó bởi Bois-Reymond và Darboux. Lý thuyết tổng quát hơn của Lebesgue (1902) không được khảo sát ở đây. Trong định nghĩa của tích phân xác định đã sử dụng tiếp cận tính diện tích của một hình phẳng cũng như tính khối lượng của một vật phẳng khi biết hàm mật độ khối. Vì thế, tích phân xác định từ nội tại đã có những ứng dụng Hình học và Vật lý. Ứng dụng tích phân trong hình học, như tính diện tích của một hình phẳng, tính thể tích của khối tròn xoay, độ dài đường cong phẳng, diện tích của mặt tròn xoay, v.v..đã được đề cập khá nhiều trong các sách giáo khoa, sách chuyên khảo nâng cao, cũng như trong các đề thi vào Đại học nhiều năm. Vật lý học là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, các công thức của Vật lý thường được xây dựng trên các biểu thức Toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. Việc sử dụng Toán học có hiệu quả trong việc giải các bài toán của Vật lý là việc rất khó đối với học sinh phổ thông, kể cả các học sinh khá, giỏi. So với những ứng dụng của tích phân trong Hình học sơ cấp thì tài liệu giới thiệu về ứng dụng của tích phân giải các bài toán của Cơ học và Vật lý sơ cấp chưa có nhiều và khá sơ sài.Vì vậy chúng tôi đã chọn đề tài về ứng dụng 2 của tích phân trong Hình học, Cơ học và Vật lý làm Luận văn Thạc sĩ Khoa học. Theo chúng tôi được biết, đề tài trên đây cũng đã được đề cập trong Luận văn Thạc sĩ Khoa học [5], năm 2011. Tuy nhiên trong tài liệu này chỉ thấy trình bày lý thuyết tóm tắt của tích phân trong Hình học và Cơ học mà chưa thấy có các bài toán áp dụng, đặc biệt là các bài toán khó và các bài toán của vật lý sơ cấp. Luận văn này gồm có; Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann. Kiến thức của chương này có thể tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phép tính vi phân và tích phân. Chương 2 trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hình học. Nội dung của chương này dựa trên nhiều tài liệu, đặc biêt là các tài liệu [1], [4] và các đề tuyển sinh Đại học trong nhiều năm. Chương 3 trình bày ứng dụng phép tính tích phân trong các bài toán của vật lý. Chương này là nội dung chính của luận văn. Mục 3.1 trình bày sơ đồ tổng quát áp dụng tích phân xác định vào các bài toán của cơ học và vật lý. Ngoài việc hiểu các kiến thức cần thiết của Vật lý còn phải biết Toán học hóa bài toán của Vật lý, như đưa vào các biến cần thiết, xét hệ tọa độ thích hợp. Vấn đề quan trọng trong ứng dụng phép tính tích phân là trước hết phải biết vi phân các đại lượng, sau đó dùng các định luật của Vật lý thiết lập các đại lượng vi phân nguyên tố, sau đó mới tích phân các đại lượng vi phân nguyên tố này, v.v.. 3 Chương 1 Tích phân xác định Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann. Kiến thức của chương này có thẻ tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến, đặc biệt là các tài liệu [1], [4]. 1.1 Tích phân xác định và lớp hàm khả tích Riemann 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định • Một phân hoạch của khoảng [a, b] thành các khoảng con là tập hữu hạn các điểm ∆ = {x0 , x1 , . . . , xn }, trong đó a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Một phân hoạch ∆0 của [a, b] được gọi là sự làm mịn của ∆ nếu nó chứa tất cả các điểm của ∆, tức là ∆0 ⊃ ∆. • Giả sử f : [a, b] → R là một hàm tùy ý. Nếu ∆ = {x0 , x1 , . . . , xn }, là một phân hoạch của [a, b], khi đó một cách lựa chọn gắn với ∆ là một lớp hữu hạn ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) sao cho ξi−1 ≤ ξi ≤ ξi+1 với i = 1, . . . , n. Ta gắn với f, ∆ và ξ tổng Riemann S(f ; ∆, ξ) xác định bởi S(f ; ∆, ξ) = n X f (ξi )(xi − xi−1 ). i=1 • Ta nói rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu tồn tại một số thực I với tính chất sau: với bất kỳ ε > 0, tồn tại một phân hoạch ∆ của [a, b] sao cho 4 |S(f ; ∆, ξ) − I| < ε, với mọi cách lựa chọn ξ gắn với ∆. Số I được gọi là tích Z b phân của f trên [a, b] và ký hiệu bằng f (x)dx. Như vậy, theo định nghĩa ta a có Z n X b f (x)dx = a lim max ∆xi →0 ∆xi = xi − xi−1 . f (ξi )∆xi , (1.1) i=1 Chú ý 1.1. Tích phân xác định không phụ thuộc vào sự lựa chọn biến lấy tích phân: Z b Z f (x)dx = a b Z f (y)dy = a b f (t)dt, ... a . 1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann • Nếu tích phân xác định trên [a, b] của hàm f tồn tại, thì ta nói hàm f khả tích trên [a, b]. Chúng ta có các lớp hàm sau khả tích trên đoạn [a, b]: f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b], f(x) liên tục trên [a, b], f(x) liên tục từng khúc chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn trên đoạn [a, b]. Đặc biệt, nếu ta thay đổi giá trị của một hàm khả tích tại hữu hạn điểm, thì hàm số vẫn khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi. Hàm bị chặn có thể không khả tích. Để minh họa, xét hàm Dirichlet sau đây. Ví dụ 1.1. Hàm Dirichlet được xác định bởi công thức  1 nếu x ∈ Q f (x) = 0 nếu x ∈ R\Q. Chúng ta sẽ chứng tỏ hàm f không khả tích trên bất kỳ khoảng [a, b]. Thật vậy, với bất kỳ phân hoạch ∆ = {x0 , x1 , . . . , xn } của [a, b], mỗi khoảng [xi−1 , xi ] chứa cả số hữu tỷ và số vô tỷ. Do đó, tồn tại hai cách chọn ξ và ξ 0 gắn với ∆ sao cho S(f ; ∆, ξ) = b − a và S(f ; ∆, ξ 0 ) = 0. Do đó, f không khả tích trên [a, b]. Ta cũng chỉ ra rằng hàm này gián đoạn toàn phần, tức là gián đoạn tại mọi điểm. 5 • Trong phần tiếp theo chúng tôi miêu tả một phương pháp tiếp cận tính khả tích Riemann khác. Ta định nghĩa tổng Darboux dưới và tổng Darboux trên gắn với f : [a, b] → R và cách chia ∆ = {x0 , x1 , . . . , xn } của [a, b] là S− (f ; ∆) = n X + mi (xi − xi−1 ), S (f ; ∆) = n X i=1 Mi (xi − xi−1 ), i=1 trong đó mi = inf xi−1 ≤x≤xi , Mi = sup . xi−1 ≤x≤xi Khi đó S− (f ; ∆) ≤ S + (f ; ∆), và ngoài ra, S− (f ; ∆) ≤ S(f ; ∆, ξ) ≤ S + (f ; ∆), với cách chọn ξ gắn với cách chia ∆. Hơn nữa, nếu ∆0 là phép làm mịn của ∆, thì S− (f ; ∆) ≤ S− (f ; ∆0 ) ≤ S+ (f ; ∆0 ) ≤ S + (f ; ∆), nếu ∆1 và ∆2 là hai cách chia tùy ý, thì S− (f ; ∆1 ) ≤ S + (f ; ∆2 ). Điều này chỉ ra tập các tổng Darboux dưới của f bị chặn trên bởi mọi tổng Darboux trên và tập các tổng Darboux trên của một hàm nhất định được bị chặn dưới bởi bất kỳ tổng Darboux dưới. Do đó, ta khảo sát cận trên đúng của tổng Darboux dưới và cận dưới đúng của tổng Darboux trên. Ta định nghĩa tích phân Darboux dưới b Z f (x)dx := sup S− (f ; ∆) ∆ a và tích phân Darboux trên Z b f (x)dx := inf S+ (f ; ∆). a ∆ Các tiêu chuẩn tích phân sau là của Darboux Định lý 1.1. Một hàm f : [a, b] → R khả tích khi và chỉ khi với bất kỳ ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho S+ (f ; ∆) − S− (f ; ∆) < ε, với mọi phân hoạch ∆ = {x0 , x1 , . . . , xn } với maxi (xi − xi−1 ) < δ. 6 Điều này kéo theo một hàm f : [a, b] → R khả tích khi và chỉ khi tích phân Darboux trên và tích phân Darboux dưới bằng nhau. Trong trường hợp này ta có b Z b Z f (x)dx := b f (x)dx = a Ví dụ 1.2. Z a f (x)dx. a (i) Hàm f (x) = x khả tích trên [a, b]. Thật vậy, xét phép phân hoạch cách đều ∆n = {xi = a + i(b − a)/n; i = 0, 1, 2, . . . , n}. Khi đó S− (f ; ∆) = n X i=1 và S+ (f ; ∆) = n X b − a b2 − a2 (b − a)2 = − xi−1 n 2 2n xi−1 i=1 b − a b2 − a2 (b − a)2 = + . n 2 2n Do đó, S+ (f ; ∆) − S− (f ; ∆) = (b − a)2 /n → 0 khi n → ∞. (ii) Xét hàm Riemann f : [0, 1] → R xác định bởi   0 nếu x ∈ [0, 1] ∩ (R\Q), f (x) = 1   nếu x = m , m, n ∈ N∗ , (m, n) = 1. n n Trong phần tiếp theo ta lập luận f là hàm khả tích trên [0, 1] và R1 0 f (x)dx = 0. Cố định ε > 0. Tồn tại một số hữu hạn (giả sử p) các số x ∈ [0, 1] sao cho f (x) > ε. Bây giờ ta chọn một phân hoạch ∆ của [0, 1] với maxi (xi − xi−1 ) < ε/p sao cho mọi số thực x với f (x) > ε nằm trong phần trong của khoảng con. Khi đó S− (f ; ∆) = 0 và S + (f ; ∆) ≤ ε + p · max(xi − xi+1 ) < 2ε, i do đó f khả tích trên [0, 1] và R1 0 f (x)dx = 0. 7 1.2 Các tính chất của tích phân xác định 1.2.1 Đẳng thức Trong phần này, ký hiệu [a, b] có thể được hiểu là các khoảng a ≤ x ≤ b, a ≥ x ≥ b. 1. Giả sử f(x), g(x) là những hàm khả tích trên [a, b],còn α, β là các số thực tùy ý. Khi đó αf (x) + βg(x) khả tích trên [a, b], ngoài ra có đẳng thức Z b Z b Z b [αf (x) + βg(x)]dx = α f (x)dx + β g(x)dx. a a a 2. Nếu f (x) khả tích trên đoạn [b, a], thì nó khả tích trên đoạn [b, a],ngoài ra Z b Z a Z a f (x)dx = − f (x)dx, f (x)dx = 0. a b a 3. Giả sử f (x) khả tích trên khoảng rộng nhất trong ba khoảng [a, b], [b, c] và [a, c]. Khi đó f(x) khả tích trong hai khoảng còn lại và có đẳng thức Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a 1.2.2 a c Bất đẳng thức Trong phần này ký hiệu [a, b] là khoảng mà a 0. a 5. Nếu f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], a < b thì Z b Z b f (x)dx ≤ g(x)dx. a a 6. Nếu f (x) khả tích trên [a, b], ab) và giả sử m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Khi đó Z b f (x)dx = µ(b − a), a trong đó m ≤ µ ≤ M. Định lý 1.3. (Định lý trung bình tích phân thứ nhất mở rộng). Giả sử 1) f (x), g(x) là những hàm khả tích trên [a, b], 2) m ≤ f (x) ≤ M, 3) g(x) có dấu không đổi trên đoạn [a, b]. Khi đó có đẳng thức Z b Z b f (x)g(x)dx = µ g(x)dx, a (1.2) a trong đó m ≤ µ ≤ M. Hệ quả 1.1. Nếu f (x) là hàm liên tục thì công thức (1.2) có thể được viết ở dạng Z b Z f (x)g(x)dx = f (c) a b g(x)dx, (1.3) a trong đó a ≤ c ≤ b. Định lý 1.4. (Định lý trung bình tích phân thứ hai) 1) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f (x) ;liên tục, không âm và đơn điệu giảm, còn g(x) khả tích trên [a, b], thì Z b Z ξ f (x)g(x)dx = f (a) g(x)dx, a a ξ ∈ [a, b]. (1.4) 9 Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f (x) ;liên tục, không âm và đơn điệu tăng, 2) còn g(x) khả tích trên [a, b], thì Z b Z b f (x)g(x)dx = f (b) g(x)dx, a ξ ∈ [a, b]. (1.5) ξ Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f (x) ;liên tục và đơn điệu , còn g(x) khả 3) tích trên [a, b], thì Z b Z ξ Z b f (x)g(x)dx = f (a) g(x)dx + f (b) g(x)dx, a a ξ ∈ [a, b]. (1.6) ξ 1.3 Tích phân xác định và nguyên hàm 1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên • Giả sử f (x) là hàm khả vi trên đoạn [a, b]. Xét tích phân xác định với cận trên biến đổi trong đoạn [a, b] : x Z F (x) = f (t)dt, a ≤ x ≤ b. (1.7) a Định lý 1.5. Nếu f (x) là hàm liên tục trong [a, b], thì trong [a, b], F (x) có đạo hàm bằng f (x). Chứng minh. Với x ∈ [a, b], xét số gia đủ nhỏ ∆x = h, x + h ∈ [a, b]. Ta có Z x+h F (x + h) − F (x) = f (t)dt. x Áp dụng Định lý giá trị trung bình thứ nhất, ta được Z x+h F (x + h) − F (x) = f (t)dt = µh, m0 ≤ µ ≤ M 0 , x trong đó µ là giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất m0 và M 0 của f (x) trên đoạn [x, x + h]. Do tính liên tục của f (t) tại t = x, với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0, sao cho f (x) − ε < f (t) < f (x) + ε, |h| < δ. 10 đối với mọi t ∈ [x, x + h]. Khi đó ta có f (x) − ε ≤ m0 ≤ µ ≤ M 0 ≤ f (x) + ε, do đó |µ − f (x)| ≤ ε. Từ đây suy ra F (x + h) − F (x) = lim µ = f (x). h→0 h→0 h F 0 (x) = lim Đó là điều cần phải chứng minh. 1.3.2  Nguyên hàm • Hàm F (x) xác định theo công thức (1.7) là một nguyên hàm của hàm f (x). Hai nguyên hàm bất kỳ của một hàm số sai khác nhau bởi một hằng số. tập R hợp tất cả các nguyên hàm của f (x) được ký hiệu là f (x)dx và được gọi là tích phân bất định của hàm số f (x). Như vây Z f (x)dx = F (x) + C. (1.8) • Bảng tích phân bất định Như thường lệ, ta quy ước hiểu C là hằng số. Z 1. dx = x + C, Z xα+1 α 2. x dx = + C, ( α 6= −1), α + 1 Z dx 3. = ln |x| + C, x Z ax 4. ax dx = + C, 0 < a 6= 1, ln a Z 5. sin xdx = − cos x + C, Z 6. cos xdx = sin x + C, Z dx 7. = tan x + C, 2x cos Z dx 8. = − cot x + C, sin2 x 11 1 1 x − a dx = ln + C, a 6= 0, 2 − a2 x 2a x + a Z Z 9. 10. sinh xdx = cosh x + C, Z 11. cosh xdx = sinh x + C Z 12. Z 13. Z 14. Z 15. Z 16. Z 17. Z 18. Z 19. dx = − coth x + C, sinh2 x dx = tanh x + C, cosh2 x 1 1 x dx = arctan + C, a 6= 0, 2 2 x +a a a 1 x √ dx = arcsin + C, a 6= 0, a a2 − x 2 √ 1 √ dx = ln |x + a2 + x2 | + C, a2 + x2 √ 1 √ dx = ln |x + x2 − a2 | + C, x2 − a2 √ x 1 √ a2 a2 − x2 dx = x a2 − x2 + arcsin + C, a 6= 0, 2 2 a 2 √ √ √ 1 a a2 ± x2 dx = x a2 ± x2 ± ln |x + a2 + x2 | + C. 2 2 1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân 1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz. Tích phân của các hàm chẵn, hàm lẻ Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên đoạn [a, b] thì ta có công thức Newton- Leibnitz: Z b a b f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a). (1.9) a Như vậy việc tính tích phân xác định trở thành đơn giản nếu biết nguyên hàm ( tích phân bất định)của hàm số dưới dấu tích phân ở dạng hiển. Tuy nhiên, việc tìm nguyên hàm của một hàm số trong nhiều trường hợp lại rất phức tạp. Trong một số trường hợp, mặc dù không tìm được nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân, nhưng vẫn có thể tính được tính phân xác định dễ dàng nhờ 12 tính chất nào đó của hàm dưới dấu tích phân, nhất là tính chất chẵn-lẻ của hàm số. Để minh họa, xét một số bài toán sau đây. Mệnh đề 1.1. Cho hàm f (x) Z b f (x) dx = x −b a + 1 Chứng minh. Ta có Z b f (x) dx = x −b a + 1 Z Z b f (x)dx. (1.10) 0 0 f (x) dx + x −b a + 1 Z 0 b f (x) dx. ax + 1 (1.11) Đặt x = −t, thì dx = −dt. Khi đó Z 0 Z 0 Z b t Z b x f (x) f (−t) a f (t) a f (x) dx = (−dt) = dt = dx. x −t t x +1 −b a + 1 b a 0 a +1 0 a +1 Thay vào (1.11) ta có Z b Z b Z b x f (x) f (x) a f (x) dx = dx + dx x x x −b a + 1 0 a +1 −0 a + 1 Z b x Z b (a + 1)f (x) = dx = f (x)dx. ax + 1 0 0  Đặc điểm của công thức (1.10) ở chỗ là nó không phụ thuộc vào ax mà chỉ phụ thuộc vào f (x). Do đó, nếu ta biết được nguyên hàm của f(x) thì có thể tính được tích phân ở bên trái một cách dễ dàng. Xét một số bài toán áp dụng sau đây. Bài toán 1.1. Tính các tích phân sau đây Z 1 dx 1. I1 = . x 2 −1 (1 + e )(1 + x ) Z √3/2 dx √ 2. I2 = √ , x 2 − 3/2 (3 + 1) 1 − x Z π/2 sin2 x 3. I3 = dx. x −π/2 10 + 1 Giải. 13 1 là hàm chẵn , áp dụng công thức (1.10), ta có 1 + x2 Z 1 1 π dx I1 = = arctan x = . 2 4 0 0 1+x 1. Với f (x) = 2. Với f (x) = √ 3. Với f (x) = sin2 x là hàm chẵn, áp dụng công thức (1.10), ta có Z π/2 Z π/2 1 − cos 2x π 2 dx = . I3 = sin xdx = 2 3 0 0 1 là hàm chẵn, áp dụng công thức (1.10), ta có 1 − x2 Z √3/2 √3/2 π dx √ = arcsin x = . I2 = 2 3 0 1−x 0  Mệnh đề 1.2. Chứng minh rằng, nếu hàm số f (x) là lẻ và liên tục trên [−b, b] thì Z b f (x)dx = 0. (1.12) −b Chứng minh. Chứng minh công thức (1.12) được tiến hành tương tự như chứng minh công thức (1.10), nên sẽ không trình bày chi tiết. Xét một số bài toán áp dụng Mệnh đề 1.2. Bài toán 1.2. Tính các tích phân sau đây, √ Z 1 ln(x + 1 + x2 ) √ 1. I1 = dx. 1 + x2 −1 Z 1 2−x dx. 2. I2 = (cos 2x + sin x sin 3x) ln 2+x −1 Giải. 1. √ ln(x + 1 + x2 ) √ Đặt f (x) = . Ta có 1 + x2 p √ ln(−x + 1 + (−x)2 ) ln(−x + 1 + x2 ) p √ f (−x) = = 1 + x2 1 + (−x)2 √ 1 1 ln(x + 1 + x2 ) √ =√ ln √ =− = −f (x). 1 + x2 1 + x2 + x 1 + x2 Vậy, f (x) là hàm lẻ. Áp dụng công thức (1.12), ta có I1 = 0.  14 Xét hàm số g(x) = (cos 2x + sin x sin 3x) ln 2. 2−x . Ta có 2+x g(−x) = (cos 2(−x) + sin(−x) sin 3(−x)) ln = (cos 2x + sin x sin 3x)[− ln 2+x 2−x 2−x ] = −g(x). 2+x Vậy, g(x) là hàm lẻ. Áp dụng công thức (1.12), ta có I2 = 0.  1.4.2 Công thức tích phân từng phần Định lý 1.6. Giả sử u(x), v(x) là những hàm khả vi trên đoạn [a, b]. Khi đó ta có công thức tích phần từng phần sau dây Z b Z b b udv = uv|a − vdu. a (1.13) a Bài toán 1.3. Tìm nguyên hàm Z dx √ , I= (x2 + a2 ) x2 + a2 a > 0. Giải. Ta xét tích phân Z J= √ dx . x2 + a2 Đặt 1 xdx √ ⇒ du = − , x 2 + a2 (x2 + a2 ) x2 + a2   u =√  dv = dx, v = x. ta có Z Z x2 dx x (x2 + a2 − a2 )dx x √ √ √ √ + = + J= x2 + a2 (x2 + a2 ) x2 + a2 x2 + a2 (x2 + a2 ) x2 + a2 Z Z x dx dx 2 √ =√ + √ −a . x2 + a2 x 2 + a2 (x2 + a2 ) x2 + a2 Suy ra Z I= dx 1 x √ = 2 .√ . a (x2 + a2 ) x2 + a2 x2 + a2  15 Bài toán 1.4. Tính các tích phân bất định Z 1. I = eax cos bxdx, ab = 6 0. Z 2. J = eax sin bxdx. Giải. Đăt   u = eax ⇒ du = aeax dx, 1  dv = cos bxdx ⇒ v = sin bx. b Ta có a 1 I = eax sin bx − b b Z 1 a eax sin bxdx = eax sin bx − J. b b Z 1 a eax cos bxdx = − eax cos bx + I. b b Tương tự, ta có 1 a J = − eax cos bx + b b Ta có hệ phương trình  bI + aJ = eax sin bx, −aI + bJ = −eax cos bx. Giải hệ này ta được Z b sin bx + a cos bx + C, 2 + b2 a Z b sin bx − a cos bx J = eax sin bx = eax + C. a2 + b2 I= eax cos bx = eax (1.14) (1.15)  1.4.3 Đổi biến trong tích phân bất định Định lý 1.7. Với cách đặt biến phụ x = ϕ(t), trong dó ϕ(t) là một hàm khả vi, đơn điệu đối với t, thì ta có công thức Z Z f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ0 (t)dt. Bài toán 1.5. Tính I = Z √ x2 + a2 dx(a > 0).
- Xem thêm -