Tài liệu Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI THẾ NAM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng Hà Nội-2009 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hùng đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Hùng. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 6 8 1.1. Lý thuyết không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Các tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Ví dụ 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . 11 1.1.5. Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.6. Không gian mêtric đầy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.7. Tập compact và không gian compact . . . . . . . . . . 17 1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach . . . . . . . . . . 17 1.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3. Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . 20 1.3. Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4. Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.1. Tổ hợp lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2. Định nghĩa hàm lồi và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . 24 1.5. Định nghĩa nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 26 2.1. Điểm bất động của ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2. Ánh xạ co đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3. Mở rộng nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . 28 5 2.1.4. Ánh xạ co yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.5. Định lý điểm bất động Caristi . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.6. Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1. Về cấu trúc hình học của không gian Banach . . . . . . 33 2.2.2. Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn 36 2.2.3. Ánh xạ không giãn đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Điểm bất động của ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1. Nguyên lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . 40 2.3.2. Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 45 3.1. Ứng dụng của lý thuyết điểm bất động cho bài toán phổ thông 45 3.2. Ứng dụng của định lý điểm bất động cho một số bài toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của ngành giải tích. Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến Nguyên lý điểm bất động của Brouwer (1912) và Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm bất động. Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn như: Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, Browder, Kyfan,. . . Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại điểm bất động, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất động, các phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng. Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bất động được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Việc nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết điểm bất động, đồng thời sử dụng các kết quả đó để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là kiến thức cơ sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Chẳng hạn, Lomonosov (1973) đã sử dụng nguyên lý Schauder để chứng minh sự tồn tại không gian con bất biến không tầm thường của một toán tử tuyến tính liên tục trong một không gian Banach nếu nó giao hoán với một toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian đó. Hơn nữa, tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động có thể giúp chúng ta chỉ ra ngoài sự tồn tại, nó còn cho ta tính duy nhất phương pháp tìm điểm bất động và đánh giá được độ chính xác tại mỗi bước lặp. Bởi vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 7 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của lý thuyết điểm bất động, sau đó nêu ra các ứng dụng của nó trong một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ nội dung của lý thuyết điểm bất động và ứng dụng cho một số bài toán sơ cấp, một số bài toán cao cấp. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các kết quả về lý thuyết điểm bất động, một số ứng dụng của nó cho một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp. Cụ thể, luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ. Chương 2: Lý thuyết điểm bất động. Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động. 5. Phương pháp nghiên cứu * Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo. * Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài. Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Lý thuyết không gian mêtric 1.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian mêtric một tập hợp X 6= ∅ cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất); 2) (x, y ∈ X) d (x, y) = d (y, x) (tiên đề đối xứng); 3) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (tiên đề tam giác). Ánh xạ d gọi là mêtric trên X, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề mêtric. Không gian mêtric được ký hiệu là M = (X, d) . Định nghĩa 1.2. Cho không gian mêtric M = (X, d) . Một tập con bất kỳ X0 6= ∅ của tập X cùng với mêtric d trên X lập thành một không gian mêtric. Không gian mêtric M0 = (X0 , d) gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric đã cho. 1.1.2. Các tính chất đơn giản Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh các tính chất đơn giản sau đây: n−1 P d (xj , xj+1); 1) (∀xj ∈ X, j = 1, 2, ..., n, n ∈ N∗ ) d (x1, xn) ≤ j=1 2) (∀x, y, u, v ∈ X) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u) + d (y, v) (Bất đẳng thức tứ giác); 3) (∀x, y, u ∈ X) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u)(Bất đẳng thức tam giác); 9 1.1.3. Ví dụ Ví dụ 1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt: (1.1) d (x, y) = |x − y| . Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực R dễ dàng kiểm tra hệ thức (1.1) xác định một mêtric trên R. Không gian tương ứng được ký hiệu là R1 . Ta sẽ gọi (1.1) là mêtric tự nhiên trên R. Ví dụ 1.2. Với hai vectơ bất kỳ x = (x1, x2, ...xk ) ; y = (y1, y2 , ...yk ) thuộc không gian vectơ thực k chiều Rk (k là số nguyên dương nào đó) ta đặt: v u k uX (xj − yj )2. (1.2) d (x, y) = t j=1 Dễ dàng thấy hệ thức (1.2) thoả mãn các tiên đề 1 và 2 về mêtric. Để kiểm tra hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề 3 về mêtric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski, với 2k số thực aj bj (j = 1, 2, ..., k) ta có: v  v  u k k k  uX u X uX  t  aj bj  ≤ a2j t b2j . (1.3)    j=1 j=1 j=1 Thật vậy: " k # k k X k k X k k X k X X X X X 2 2 2 0≤ (ai bj − aj bi ) = ai bj − 2 ai bi aj bj + a2j b2i . i=1 j=1 i=1 j=1 =2 k X j=1 a2j ! k X i=1 j=1 b2j j=1 ! −2 k X aj bj j=1 i=1 j=1 !2 Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.3) với 3 vectơ bất kỳ: x = (x1, x2, ...xk ) , y = (y1 , y2, ...yk ) , z = (z1 , z2 , ...zk ) thuộc Rk ta có: 2 d (x, y) = k X j=1 2 (xj − yj ) = k X j=1 [(xj − zj ) − (zj − yj )]2 10 = k X j=1 2 (xj − zj ) + 2 k X j=1 k X (xj − zj ) (zj − yj ) + j=1 (zj − yj )2 v v u k u k uX uX 2 2 (xj − zj ) t (zj − yj )2 + d2 (z, y) ≤ d (x, z) + 2t j=1 j=1 = d2 (x, z) + 2d (x, z) d (z, y) + d2 (z, y) = [d (x, z) + d (z, y)]2 ⇒ d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) . Do đó hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề 3 về mêtric. Vì vậy hệ thức (1.2) xác định một mêtric trên không gian Rk . Không gian mêtric tương ứng vẫn ký hiệu là Rk và thường gọi là không gian Euclid, còn mêtric (1.2) gọi là mêtric Euclid. Ví dụ 1.3. Ta kí hiệu l2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc số phức x = (xn )∞ n=1 , sao cho chuỗi số dương ∞ P n=1 |xn |2 hội tụ. Với hai dãy số bất kỳ: ∞ x = (xn)∞ n=1 , y = (yn )n=1 , thuộc l2 ta đặt: v u∞ uX d (x, y) = t (xn − yn )2 . (1.4) n=1 Hệ thức (1.4) xác định một ánh xạ từ tích Descartes l2 × l2 vào tập số thực R. Thật vậy ∀n = 1, 2, .... ta có,   |xn − yn |2 = x2n − 2xnyn + yn2  ≤ |xn|2 + 2 |xn | |yn | + |yn |2   2 2 ≤ 2 |xn | + |yn | . Do đó ∀p > 0 đều có: p X n=1 2 |xn − yn | ≤ 2 p X n=1 2 |xn | + 2 p X n=1 2 |yn | ≤ 2 ∞ X n=1 2 |xn| + 2 ∞ X n=1 |yn |2 11 suy ra p X n=1 2 |xn − yn | ≤ 2 ∞ X n=1 2 |xn| + 2 ∞ X n=1 |yn |2 . Nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.4) hội tụ. Dễ dàng thấy hệ thức (1.4) thoả mãn các tiên đề 1 và 2 về mêtric với ba dãy bất kỳ: ∞ ∞ x = (xn )∞ n=1 , y = (yn )n=1 , z = (zn )n=1 , thuộc l2 và với số p nguyên dương tuỳ ý ta có: " ≤ " p X n=1 p X n=1 #1 " p #1 2 2 X 2 2 2 ≤ |xn − yn | |xn − zn | + |zn − yn | n=1 #1 " p #1 " ∞ #1 " ∞ #1 X 2 X 2 2 X 2 |zn − yn |2 ≤ |xn − zn |2 + |zn − yn |2 . |xn − zn |2 + n=1 n=1 n=1 Cho p → ∞ta được: d (x, y) = " p X n=1 #1 " ∞ #1 #1 " ∞ X X 2 2 2 ≤ + |xn − zn |2 |zn − yn |2 |xn − yn |2 n=1 n=1 = d (x, z) + d (z, y) . Do đó hệ thức (1.4) thoả mãn tiên đề 3 của mêtric. Vì vậy hệ thức (1.4) xác định một mêtric trên l2 . Không gian mêtric tương ứng vẫn ký hiệu là l2. Không gian l2 đôi khi còn gọi là không gian Euclid vô hạn chiều. 1.1.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric Định nghĩa 1.3. Cho không gian mêtric M = (X, d) , dãy điểm (xn ) ∈ X, điểm x0 ∈ X. Dãy điểm (xn) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian M khi n → ∞, nếu (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀n ≥ n0) d (xn, x0) < ε. Ký hiệu: lim xn = x0 hay n→∞ xn → x0 (n → ∞) . Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (xn ) trong không gian M. 12 Ví dụ 1.4. Sự hội tụ của một dãy điểm (xn ) trong không gian R1 là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học. Ví dụ 1.5. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Euclid Rk tương đương với sự hội tụ theo toạ độ. Thật vậy, giả sử dãy điểm x (n) =  (n) (n) (n) x1 , x2 , ...., xk k  (n = 1, 2, ...) hội tụ tới điểm x = (x1, x2, ..., xk ) trong R . Theo định nghĩa: (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀n ≥ n0) v u k  2   uX (n) (n) t xj − x j < ε. d x ,x = j=1 Suy ra     (n) xj − xj  < ε ∀n ≥ n0 ∀j = 1, 2, ..., k (1.5)   (n) Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ với ∀j = 1, 2, ..., k dãy số thực xj hội tụ tới số thực xj khi n → ∞ sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ.   (n) (n) (n) (n) Ngược lại, giả sử dãy điểm x = x1 , x2 , ..., xk (n = 1, 2, ...) hội tụ theo toạ độ tới điểm x = (x1, x2, ..., xk ) theo định nghĩa (∀ε > 0) (với mỗi j = 1, 2, ..., k ),   ε   (n) (∃nj ∈ N ) (∀n ≥ nj ) xj − xj  < √ k ∗ Đặt n0 = max {n1, n2, ..., nk } , thì (∀n ≥ n0 ) ta có:   ε   (n) (j = 1, 2, ...k) x j − x j  < √ k  2 ε2 (n) ⇒ xj − xj < (j = 1, 2, ...k) k k  2 X (n) ⇒ xj t − xj < ε2 ∀n ≥ n0 j=1 v u k  2 uX (n) t xj − xj < ε ∀n ≥ n0 . ⇒ j=1 Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo mêtric Euclid của không gian Rk . 13 1.1.5. Ánh xạ liên tục Cho hai không gian mêtric M1 = (X, d1) , M2 = (Y, d2) ánh xạ f từ không gian M1 đến không gian M2 . Định nghĩa 1.4. Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu: (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X : d1 (x, x0) < δ) d2 (f (x) , f (x0)) < ε. Hay nói cách khác : Ánh xạ f gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với lân cận cho trước tuỳ ý Uy0 = S (y0, ε) ⊂ Y của điểm y0 = f (x0 ) trong M2 ắt tìm được lân cận Vx0 = S (x0, δ) ⊂ X của điểm x0 trong M1 sao cho f (Vx0 ) ⊂ Uy0 . Định nghĩa 1.4 tương đương với định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.5. Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi dãy điểm (xn ) ⊂ X hội tụ tới điểm x0 trong M1 , dãy điểm (f (xn )) hội tụ tới f (x0) trong M2 . Chứng minh sự tương đương của Định nghĩa 1.4 và Định nghĩa 1.5 như sau: Hiển nhiên, nếu ánh xạ f liên tục tại x0 theo Định nghĩa 1.4 thì ánh xạ f liên tục tại x0 theo Định nghĩa 1.5. Giả sử ánh xạ f liên tục tại điểm x0 theo Định nghĩa 1.5 nhưng ánh xạ f không liên tục tại x0 theo Định nghĩa 1.4 nghĩa là:   1 d2 (f (xn ) , f (xo )) ≥ ε0 (∃ε0 > 0) (∀n ∈ N∗ ) ∃xn ∈ X : d1 (xn , x0) < n Ta nhận được dãy điểm (xn) ⊂ X hội tụ tới điểm x0 trong M1 , nhưng dãy điểm (f (xn)) không hội tụ tới f (x0) trong M2 , điều này mâu thuẫn với giả thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ, nếu ánh xạ f liên tục tại x0 ∈ X theo Định nghĩa 1.5 thì ánh xạ f liên tục tại x0 theo Định nghĩa 1.4. Định nghĩa 1.6. Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A ⊂ X nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục. 14 Định nghĩa 1.7. Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên tập A ⊂ X nếu (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x, x, ∈ A : d1 (x, x,) < δ) : d2 (f (x) , f (x, ) < ε) . Dễ dàng thấy, nếu ánh xạ f liên tục đều trên tập A ⊂ X thì ánh xạ f liên tục trên tập A. 1.1.6. Không gian mêtric đầy 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.8. Cho không gian mêtric M = (X, d) . Dãy điểm (xn) ⊂ X gọi là dãy cơ bản trong M nếu : (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0) , d (xn , xm) < ε hay lim d (xn , xm) = 0. n,m→∞ Dễ thấy mọi dãy điểm (xn) ⊂ X hội tụ trong M đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.9. Không gian mêtric M = (X, d) gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ. 2. Các ví dụ Ví dụ 1.6. Không gian mêtric R1 là không gian đầy, điều đó suy ra từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học. Ví dụ 1.7. Không gian Rk là không gian đầy.   (n) (n) (n) (n) Thật vậy, giả sử x = x1 , x2 , ..., xk (n = 1, 2, ...) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian Euclid Rk . Theo định nghĩa dãy cơ bản:   ∗ (n) (m) (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N ) (∀m, n ≥ n0 ) , d x , x <ε hay v u k  2 uX (n) (m) t xj − xj <ε j=1    (n) (m)  xj − xj  < ε ∀m, n ≥ n0 ; ∀j = 1, 2, ..., k (1.6)   (n) Các bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ, với mỗi j = 1, 2, ..., k dãy xj là dãy (n) số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn lim xj = xj n→∞ (j = 1, 2, ..., k) . 15
Đặt x = (x1, x2, ..., xk ) ta nhận được dãy x(n) ⊂ Rk đã cho hội tụ theo toạ độ tới x. Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid Rk tương đương với
sự hội tụ theo toạ độ, nếu dãy cơ bản x(n) đã cho hội tụ tới x trong không gian Rk . Vậy không gian Euclid Rk là không gian đầy. Ví dụ 1.8. Không gian C[a,b] là không gian đầy. Thật vậy, giả sử (xn (t)) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian C[a,b] . Theo định nghĩa dãy cơ bản (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0)   (n) (m) = max |xn (t) − xm (t)| < ε d x ,x a≤t≤b ⇒ |xn (t) − xm (t)| < ε ∀m, n ≥ n0 ; ∀t ∈ [a, b] . (1.7) Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ, với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc đoạn [a, b] dãy {xn (t)} là dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn: lim xn (t) = x (t) , t ∈ [a, b] . n→∞ Ta nhận được hàm số x (t) xác định trên [a, b] . Vì các bất đẳng thức (1.7) không phụ thuộc t, nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi n → ∞ ta được: |xn (t) − x (t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b] (1.8) Các bất đẳng thức (1.8) chứng tỏ dãy hàm số {xn (t)} ⊂ C[a,b] hội tụ đều tới hàm số x (t) trên đoạn [a, b] , nên x (t) ∈ C[a,b] . Nhưng sự hội tụ trong không gian C[a,b] tương tự với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a, b] nên dãy cơ bản {xn (t)} đã cho hội tụ tới x (t) trong không gian C[a,b]. Vậy C[a,b] là không gian đầy. Ví dụ 1.9. Không gian l2 là không gian đầy.   (n) (n) (n) (n) Thật vậy, giả sử x = x1 , x2 , ..., xk (n = 1, 2, ...) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian l2, theo định nghĩa dãy cơ bản: v ∞  2   u uX  (n) (m)  ∗ (n) (m) t (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N ) (∀m, n ≥ n0) , d x , x = x k − x k  < ε k=1 16 suy ra v u p  2 uX  (n) (m)  t xk − xk  < ε k=1    (n) (m)  x k − x k  < ε (∀n, m ≥ n0 ; ∀p = 1, 2, ...) (1.9) (1.10)   (n) là Các bất đẳng thức (1.10) chứng tỏ, với mỗi k cố định tuỳ ý dãy xk (∀n, m ≥ n0 (n) ∀k = 1, 2, ...) dãy cơ bản nên phải tồn tại giới hạn lim xk = xk n→∞ (k = 1, 2, ...) . Đặt x = (x1, x2, ..., xk , ...) = (xk ) . Vì các bất đẳng thức (1.9) không phụ thuộc p nên có thể cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi m → ∞ ta được: v u p  2 uX  (n)  t x k − x k  ≤ ε k=1 ∀n ≥ n0 ; p = 1, 2, ... (1.11) tiếp tục cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức (1.11) khi p → ∞ ta được: v u∞  2 uX  (n)  t (1.12) xk − xk  ≤ ε, ∀n ≥ n0. k=1 Mặt khác:    2    (n)  2   (n)  (n)  (n) |xk | = xk − xk + xk  ≤ xk − xk  + xk  2 2      (n)  (n) 2 ≤ 2 x k  + 2 x k − x k  , ∀k, n = 1, 2, ... (1.13) Từ các bất đẳng thức (1.12) và(1.13) suy ra: p X k=1 p  p  2  X X   (n1 )  (n1 ) 2 |xk | ≤ 2 x k − x k  x k  + 2 2 k=1 k=1 ∞  ∞  ∞   2  X X  (n1 ) 2   (n1 ) 2 X  (n1 ) ≤2 xk  +2ε2 x k − x k  < 2 xk  +2 k=1 ⇒ k=1 ∞ X k=1 k=1 ∞   X  (n1 ) 2 |xk | < 2 xk  + 2ε2 2 (n1 > n0 , ∀p = 1, 2, ...) (n1 > n0). k=1 Do đó dãy x = (xk ) ∈ l2 . Các bất đẳng thức (1.12) chứng tỏ dãy cơ bản x(n)
đã cho hội tụ tới x ∈ l2 trong không gian l2 . Vì vậy không gian l2 là không gian đầy. 17 1.1.7. Tập compact và không gian compact 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.10. Cho không gian mêtric M = (X, d) tập K ⊂ X gọi là tập compact trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn các phần tử đều chứa dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X). Định nghĩa 1.11. Cho không gian mêtric M = (X, d) . Không gian M gọi là không gian compact nếu tập X là tập compact trong M. 2. Ví dụ Ví dụ 1.10. Trong không gian mêtric R1 (tập số thực R với mêtric tự nhiên) đoạn bất kỳ là tập compact, khoảng bất kỳ là tập compact tương đối. Các khẳng định trên suy ra từ bổ đề Bolzano – Weierstrass. Nhờ đó dễ dàng chứng minh trong không gian Eucled Rn một tập bất kỳ đóng và bị chặn là tập compact tương đối. Ví dụ 1.11. Không gian mêtric C[a,b] không là không gian compact vì dãy hàm số xn (t) = n trên đoạn [a, b] (n = 1, 2, ...) không chứa dãy con nào hội tụ. 1.2. 1.2.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach Các định nghĩa Định nghĩa 1.12. Ta gọi là không gian định chuẩn(hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R ký hiệu là k . k và đọc là chuẩn, thoả mãn các điều kiện sau đây: 1. (∀x ∈ X) kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ); 2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α| k x k ; 3. (∀x, y ∈ X) k x + y k ≤ k xk + kyk . 18 Số kxk gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định lý 1.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vectơ bất kỳ x, y ∈ X ta đặt: (1.14) d (x, y) = kx − yk Khi đó d là một mêtric trên X. Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ tiên đề tuyến tính. Nhờ định lý 1.1 mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian mêtric với mêtric xác định bởi (1.14). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian mêtric đều đúng trong không gian định chuẩn. Dưới đây ta chỉ nêu một vài trường hợp. Định nghĩa 1.13. Dãy điểm {xn } của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim kxn − xk = 0 kí hiệu lim xn = x hay n→∞ n→∞ xn → x (n → ∞) . Dựa vào định nghĩa dễ dàng chứng minh một số tính chất đơn giản sau đây : 1) Nếu dãy {xn} hội tụ tới x thì dãy chuẩn (kxnk) hội tụ tới kxk . Hay nói cách khác, chuẩn k.k là một hàm giá trị thực liên tục theo biến x. 2) Nếu dãy điểm {xn } hội tụ trong không gian định chuẩn X, thì dãy chuẩn tương ứng bị chặn (kxn k) . 3) Nếu dãy điểm {xn} hội tụ tới x, dãy điểm {yn } hội tụ tới y trong không gian định chuẩn X, dãy số {αn } hội tụ tới α, thì: xn + yn → x + y (n → ∞) , αn xn → αx (n → ∞) . Định nghĩa 1.14. Dãy điểm {xn} trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu: lim kxn − xm k = 0. m,n→∞ 19 Định nghĩa 1.15. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Nhờ nguyên lý làm đầy không gian mêtric và mêtric (1.14) mọi không gian định chuẩn là không gian mêtric đều có thể làm đầy thành không gian Banach. 1.2.2. Ví dụ Ví dụ 1.12. Đối với số thực bất kỳ x ∈ R ta đặt: (1.15) kxk = |x| Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.15) cho chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R1 là không gian Banach. Ví dụ 1.13. Cho không gian vectơ k chiều E k , trong đó: E k = {x = (x1, x2, ...xk ) : xj ∈ R đối với bất kỳ x = (x1 , x2, ..., xk ) ∈ E k ta đặt: v u k uX |xj |2 kxk = t hay xj ∈ C} (1.16) j=1 Từ công thức kxk = d (x, θ) và hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.16) cho một chuẩn trên E k . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu E k . Dễ dàng thấy E k là không gian Banach. Ví dụ 1.14. Cho không gian vectơ l2. Đối với vectơ bất kỳ x = (xn ) ∈ l2 ta đặt: v u∞ uX kxk = t |xj |2 (1.17) n=1 Từ công thức kxk = d (x, θ) và hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.17) cho chuẩn trên l2 . Không gian chuẩn tương ứng ký hiệu là l2 . Dễ dàng thấy l2 là không gian Banach. 20 Ví dụ 1.15. Cho không gian vectơ C[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x (t) ∈ C[a,b] ta đặt: kxk = max |x (t)| a≤t≤b (1.18) Nhờ công thức kxk = d (x, θ) và hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.18) cho chuẩn trên C[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là C[a,b] . Dễ thấy C[a,b] là không gian Banach. Ví dụ 1.16. Cho không gian vectơ L[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x (t) ∈ L[a,b] ta đặt: kxk = Zb |x (t)|dt (1.19) a Từ công thức kxk = d (x, θ) và hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.19) cho một chuẩn trên L[a,b]. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là L[a,b] . Dễ dàng thấy L[a,b] là không gian Banach. 1.2.3. Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.16. Cho hai không gian tuyến tính X và Y. Trên trường P (P là trường số thực R hoặc số phức C). Ánh xạ A từ không gian X và không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thoả mãn các điều kiện: 1. (∀x, x, ∈ X) A (x + x, ) = Ax + Ax, ; 2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) Aαx = αAx. Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện 1 thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện 2 thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.17. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho: kAxk ≤ c kxk ∀x ∈ X. (1.20) Định nghĩa 1.18. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định