Tài liệu Một số tính chất hình học của nhóm LIE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔPÔ Mà SỐ: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG 1 NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU..................................................................................................1 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ....................................................................3 1.1. Đa tạp khả vi..............................................................................................3 1.1. Liên thông tuyến tính...............................................................................12 Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE.........17 2.1. Nhóm Lie..................................................................................................17 2.2. Trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie................................................23 2.3. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie.............................27 KẾT LUẬN....................................................................................................34 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................35 1 LỜI NÓI ĐẦU Nhóm Lie là một đối tượng của toán học hiện đại, nó là sự kết hợp giữa các ngành giải tích, hình học và đại số. Do đó, nhóm Lie có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và các ngành khoa học kỹ thuật. Lý thuyết về nhóm Lie đã được trình bày trong nhiều tài liệu tham khảo (chẳng hạn [4], [6],…) của các nhà toán học trong và ngoài nước. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số các khái niệm và tính chất cơ bản của nhóm Lie. Luận văn được mang tên: Một số tính chất hình học của nhóm Lie. Luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1: Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản về cấu trúc khả vi, trường vectơ tiếp xúc và liên thông tuyến tính trên đa tạp. Chương này được xem như là phần cơ sở cho việc trình bày ở chương 2. Chương 1 được chia thành 2 mục: 1.1. Đa tạp khả vi. 1.2. Liên thông tuyến tính. Chương 2: Một số tính chất hình học của nhóm Lie. Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản về nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie, đạo hàm của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie và nhóm Lie tác động trên đa tạp. Chương 2 được trình bày trong 3 mục: 2.1. Nhóm Lie. 2.2. Trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie. 2.3. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie. Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại khoa Toán, trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với sự hướng dẫn tận tình của thầy. 2 Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa sau đại học Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, đã tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường THPT Tân Kỳ 3, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3 Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về đa tạp khả vi, bao gồm các định nghĩa và ví dụ về đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc, trường vectơ trên đa tạp và một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi. 1.1. Đa tạp khả vi Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một không gian tôpô Hausdoff với cơ sở đếm được. Như ta đã biết (xem [3]), một bản đồ của M ( hoặc hệ tọa độ địa phương của M) đó là một cặp (U ,  ) ; trong đó U là một tập mở trong M và  là một phép đồng phôi từ U � V ; ở đây V là tập mở trong �n . �Hai bản đồ (U1 , 1 ) và (U 2 , 2 ) của M được gọi là phù hợp nếu ánh xạ 211 là một vi phôi ( trong trường hợp U1 �U 2  �, ta quy ước (U1 , 1 ) và (U 2 , 2 ) là phù hợp). � Một họ bản đồ  U  ,     �I được gọi là một alat của M nếu hai bản đồ bất kỳ của họ trên phù hợp và UU   �I M. 1.1.1. Định nghĩa + Một atlat cực đại của M được gọi là một cấu trúc khả vi của M. + M được gọi là đa tạp khả vi n-chiều nếu trên M đã được trang bị một cấu trúc khả vi. 1.1.2. Chú ý + Một atlat cực đại của M là một atlat không bị chứa trong một atlat nào. + Hai atlat của M được gọi là phù hợp nếu mỗi bản đồ của atlat này đều phù hợp với một bản đồ bất kỳ của atlat kia. Rõ ràng hợp của hai atlat phù hợp cũng là một atlat của M. Do đó theo nguyên lý cực đại thì trên M luôn tồn tại cấu trúc khả vi. 4 + Từ tính chất phù hợp của các bản đồ trong một atlat nên trong thực hành khi cần chỉ ra một cấu trúc khả vi của M, ta thường chỉ ra một atlat có số bản đồ ít nhất. + Trên cùng M ta có thể trang bị được những cấu trúc khả vi khác nhau để tạo thành các đa tạp khả vi khác nhau. 1.1.3. Ví dụ 2 3 2 2 2 Ta xét M = S   A( x, y, z ) �� ( x  y  z  1 . Khi đó S 2 là một đa tạp khả vi 2-chiều với cấu trúc khả vi sau đây: � � U1  {A( x, y, z ) �S 2 | z  0} U 2  {A( x, y, z ) �S 2 | z  0 � � V1  {A '( x, y) ��2 | x 2  y 2  1 � V2  {A '( x, y ) ��2 | x 2  y 2  1 � � ;� 1 : U1 � V1 2 : U 2 � V2 � � �A( x, y , z ) a A '( x, y ) �A( x, y, z ) a A '( x, y ) � � � U 3  {A( x, y, z ) �S 2 | y  0} � V3  {A '( x, z ) ��2 | x 2  z 2  1} � ; � 3 : U 3 � V3 � �A( x, y , z ) a A '( x, z ) � � U 4  {A( x, y, z ) �S 2 | y  0} � V4  {A '( x, z ) ��2 | x 2  z 2  1} � � 4 : U 4 � V4 � �A( x, y , z ) a A '( x, z ) � � U 5  {A( x, y , z ) �S 2 | x  0} � V5  {A '( y, z ) ��2 | y 2  z 2  1} � � ; 5 : U 5 � V5 � �A( x, y , z ) a A '( y , z ) � � U 6  {A( x, y, z ) �S 2 | x  0} � V6  {A '( y , z ) ��2 | y 2  z 2  1} � � 6 : U 6 � V6 � �A( x, y, z ) a A '( y, z ) � Thật vậy: +)  U1 , 1  là một bản đồ của S 2 . � Giả sử A( x1 , y1 , 1  x12  y12 ) ; B ( x2 , y2 , 1  x22  y22 ) �U1 và 1 ( A)  1 ( B) khi đó : 1 ( x1 , y1 , 1  � x12 y12 ) 2 ( x2 , y2 , 1 x22 � Với ( x, y ) �V1 1 ( X )  1 ( x, y, 1  x 2  y 2 )  ( x, y ). ta (2) y22 ) có �x1  x2 � �y1  y2 A B. (1) X ( x, y, 1  x 2  y 2 ) �V1 và 5 Từ (1) và (2) ta suy ra 1 là song ánh. �1 là phép chiếu từ U1 lên V1 nên 1 là ánh xạ liên tục. (3) �Ta có 11 : V1 � U1 , ( x, y ) a ( x, y, 1  x 2  y 2 ). là liên tục vì các hàm tọa độ của nó liên tục. (4) Từ (3) và (4) ta thấy rằng 1 là phép đồng phôi từ U1 � V1 , vậy  U1 , 1  là một bản đồ của S 2 . Chứng minh tương tự ta cũng có  U i , Vi  là bản đồ của S 2 , i  2, 6 . +)  U1 , 1  và  U 3 , 3  là phù hợp. �Thật vậy, ở trên ta đã chỉ ra  U1 , 1  và  U 3 , 3  là các bản đồ của S 2 . Ta đặt   W  U1 �U 3  A( x, y , z ) �S 2 | z  0, y  0 ��.     W1  1 (W)  A� ( x, y ) ��2 | x 2  y 2  1, y  0 . W3  3 (W)  A� ( x, y) ��2 | x 2  z 2  1, z  0 . 13  3 o11 : W1 � W3 , ( x, y ) a 13 ( x, y). 13 ( x, y )  (3 o11 )( x, y)  3 (11 ( x, y ))  3 ( x, y, 1  x 2  y 2 )  ( x, 1  x 2  y 2 ) . Ta nhận thấy 13 là một song ánh. � Ta đặt 13  ( f1 , f 2 ) sao cho f1 : W1 � �2 , ( x, y ) a x. f 2 : W3 � �2 , ( x, y ) a 1  x2  y 2 . �Vì f1 , f 2 khả vi nên 13 khả vi. �Ta có 6 131 : W3 � W1 , ( x, z ) a ( x, 1  x 2  z 2 ). Khi đó 131 khả vi. Chứng minh tương tự như trên ta thu được các cặp còn lại:  U i , i  và  U j ,  j  phù hợp i, j �1, 6 . 6 +) Rõ ràng UU i 1 i  S2 . W Bây giờ ta xét các đa tạp khả vi M với cấu trúc khả vi   U ,    �I và đa tạp N với cấu trúc khả vi   U  ,     �J . Ánh xạ liên tục f : M � N ; p a f ( p ) , 1 được gọi là khả vi tại p �M nếu   o f o khả vi tại  ( p) ; với  U chứa p và U  chứa f ( p) . Ánh xạ f được gọi là khả vi trên M nếu f khả vi tại p �M . 1.1.3. Định nghĩa +) Giả sử  : J � M ; t a  (t ) là cung khả vi ( J là khoảng mở trong �và  (t0 )  p ). Ánh xạ v :  ( p)  �; f a v( f ) d f o (t ) | t t0 được gọi là véctơ tiếp xúc với dt  tại p (ở đây �( p ) là tập hợp tất cả các hàm số khả vi tại p). +) Mỗi véc tơ v tiếp xúc với cung  tại điểm p thì ta củng nói v tiếp xúc với M tại p . Ta kí hiệu: Tp ( M )  {v | v tiếp xúc với M tại p }. Nhận xét: +) Trong bản đồ  U ,   của M, p �U thì  ( p)  ( p1 ,..., pn ) ��n . Ta nói ( p1 ,..., pn ) là tọa độ của p đối với (U ,  ) . Như vậy, trong bản đồ  U ,   thì đường cong  (t ) đi qua điểm p được cho bởi  (t )  ( x1 (t ),..., xn (t )) , với ( x1 (t0 ),..., xn (t0 ))  p . 7 � +) Với mỗi i � 1,..., n thì �x | p �Tp ( M ) . i Thật vậy: Ta xét i : t a ( p1 ,..., p  t ,..., pn ), i (t  0)  p , khi đó: i vj ( f )  d d � f i o f |t 0  f ( p1 ,..., pi  t ,..., pn ) |t 0  1. |t 0 ; f ��( M ) . dt dt � xi � Từ đó vi  �x | p . i Ta đưa vào Tp M hai phép toán : (v1  v2 )( f )  v1 ( f )  v2 ( f ) và ( v)( f )   (v( f ));  ��, f ��( p) . 1.1.4. Mệnh đề (xem [3]) Tp ( M ) cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ n-chiều. Chứng minh: +) Ta thấy rằng với hai phép toán trên Tp ( M ) là một n � � � không gian vectơ. Ở đây, ta chứng minh �ei  | p � là cơ sở của Tp ( M ) . xi � � i 1 Thật vậy: � ei �Tp M ; i  1,..., n. (vì ei là vectơ tiếp xúc với đường cong i : t a ( p1 ,..., pi  t ,..., pn ) tại p   (t  0); ở đây t �J  (a, b) �0) . n n n i 0 i 1 i 1 � �i ei  0 � �i ei (x j )  0 � �i Ở đây � | p ( x j )  0 �  j  0; j  1,..., n ; � xi xj : M � R, x (x1,…,xn) a xj . n �� � Vậy � | p � độc lập tuyến tính. xi �� i 1 (1) �Ta xét v �Tp ( M ) , giả sử v tiếp xúc với  (t ) tại p   (t0 ) ta có: v( f )  n d d � f f o (t ) |t t0  f ( x1 (t ),..., xn (t )) |t t0  �xi� (t0 ). |p dt dt � xi i 1 8 n  (�xi� (t0 ). i 1 � | p )( f ); f ��( M ) � xi n � v  �xi� (t0 ). i 1 n � | p  �xi� (t0 ).ei . � xi i 1 (2) n � � � Như vậy �ei  | p � là một hệ sinh của Tp ( M ) . xi � � i 1 n � � � Từ (1) và (2), ta thấy rằng �ei  | p � là cơ sở của Tp ( M ) . xi � � i 1 Do đó, dim Tp ( M ) = n. Chú ý: Trong trường hợp M = �n . Giả sử  0, e1 ,..., en  là mục tiêu tự nhiên n của � và vectơ gốc p là v p  �vi ei . Khi đó: n i 1 n n i 1 i 1 v p ( f )  �vi ei ( f ) �vi n � � | p ( f ); f ��( p ) � v p  �vi |p . � xi � xi i 1 Điều này chứng tỏ rằng mỗi vectơ thông thường có gốc p trong �n là một vectơ tiếp xúc với đa tạp �n tại p và mỗi ei là một phép đạo hàm riêng trên �n . 1.1.5. Định nghĩa Một trường vectơ tiếp xúc trên M là một ánh xạ X :M � UT M, p p�M p a X ( p)  X p ; Trong đó X p �Tp M . Chú ý: +) Với mỗi trường vectơ tiếp xúc X và mỗi f ��( M ) , ta có X(f) là một hàm số từ M � R, được xác định bởi X(f) (p) = Xp(f); p � . n +) Trong hệ tọa độ địa phương ( U ,  ), ta có X ( f )  �X i i 1 � f ; ở đây X i � xi là hàm số xác định trên U . +) X được gọi là khả vi nếu X i khả vi i =1 ,..., n , (U ,  ) . 9 Ta ký hiệu: B( M )  { X | X là trường vectơ tiếp xúc khả vi trên M}. Hai phép toán trên B( M ) được cho bởi: X  Y : p a X p  Yp ; p �M và  X : p a  ( p). X p ;  ��( M ), p �M . 1.1.6. Nhận xét a) B( M ) cùng với hai phép toán nói trên lập thành một môđun trên �(M ) . � Thật vậy : +) Trường vectơ O của B( M ) là ánh xạ o : p a o ; p �M . (X Y) +) ( ( X  Y )) p   ( p) �   ( p)( X p  Y p )   ( p ) X p   ( p )Y p  ( X ) p  (Y ) p  ( X  Y ) p ; p �M . �  ( X  Y )   X  Y . +) Mỗi X� B(M),X : p a X p , đều có phần tử đối  X : p a  X p . Thật vậy: X  ( X )) p  X p  ( X p )  O p ; p �M . � X  ( X )  0. Ta thấy rằng các tiên đề còn lại của môđun cũng được thỏa mãn. b) Mỗi trường vectơ tiếp xúc X của M là một phép đạo hàm trên �(M ) Thật vậy, với X �B ( M ) , ta có : X : � (M ) ( M ), f a ( X ( f )( p) : X p ( f ); p �M ). X ( f ) ; với  )( X ( f  g ))(p)  X p ( f  g )  X p ( f )  X p ( g )  X ( f )( p )  X ( g )( p ); p �M . � X ( f  g )  X ( f )  X ( g ). +) X ( f )(p)  X p ( f )   ( X ( f ))( p); p �M � X   f    X ( f ) ,  ��. ) X ( f .g )( p)  X p ( f .g )  f ( p ). X p ( g )  g ( p). X p ( f )  ( f . X ( g ))( p)  ( g. X ( f ))( p); p �M . � X ( f .g )  f . X ( g )  g. X ( f ). 10 1.1.7. Định nghĩa Giả sử X , Y �B( M ) . Tích Lie của X , Y là một trường vectơ tiếp xúc trên M được kí hiệu  X , Y  và được xác định:  X ,Y  ( f )  X (Y ( f ))  Y ( X ( f ); f ��( M ). 1.1.8. Mệnh đề (xem [3]) a)  X , Y     Y , X  ; (tính phản xứng của tích Lie).  X ,Y  , Z � Y,Z , X �  Z , X  ,Y � b) � � � � � � � � � 0; X , Y , Z �B( M ) ; (hệ thức Jacôbi của tích Lie). Chứng minh: Tính chất a) được suy ra từ định nghĩa tích Lie của hai trường vectơ. Ở đây ta kiểm tra hệ thức Jacôbi của tích Lie. f ��( M ), ta có: ) �  X ,Y  , Z � � �( f )  ( X , Y  ( Z ( f ))  ( Z ( X , Y  ( f ))   X , Y  ( Z ( f ))  Z ( X , Y  ( f ))  X (Y ( Z ( f )))  Y ( X ( Z ( f )))  Z ( X (Y ( f )))  Z (Y ( X ( f ))). (1) ) � Y,Z , X � � �( f )   Y , Z  ( X ( f ))  ( X ( Y , Z  ( f ))  Y ( Z ( X ( f ))  Z (Y ( X ( f ))  X (Y ( Z ( f )))  X ( Z (Y ( f ))). (2) ) �  Z , X  ,Y � � �( f )   Z , X  (Y ( f ))  Y ( Z , X  ( f ))   Z ( X (Y ( f )))  X ( Z (Y ( f )))  Y ( Z ( X ( f )))  Y ( X ( Z ( f ))). (3)  X ,Y  , Z � Y, Z  , X �  Z, X  ,Y � Từ đó, � � � � � � � � � 0; X , Y , Z �B( M ) . W 1.1.9. Định nghĩa Cho ánh xạ khả vi f : M � N ; p a f ( p) . Ánh xạ tiếp xúc tại p �M , được ký hiệu f | p (v) : Tp M � T f ( p ) N và được xác định như sau: với v là vectơ tiếp xúc với cung  (t ) � tại p   (t0 ) thì f | p (v) là vectơ tiếp xúc với cung f o (t ) tại p�  f ( p) . 11 1.1.10. Mệnh đề (xem [3]) f | p (v )  J f | p  v  ở đây J f | p n v  �vi i 1 v1 � � � . � � � . �, với là Jacôbi của f tại p và  v   � �� . � � � vn � � � � | p�. � xi Chứng minh: Giả sử trong hệ tọa độ đia phương (U ,  ) của M,  (t )   x1 (t ),..., xn (t )  và trong hệ tọa độ địa phương (V ,  ) , f o (t )  y1 ( x1 (t ),..., xn (t )),..., yk ( x1 (t ),..., xn (t ))) . Ta có : d d f o (t ) |t t0  y1 ( x1 (t ),..., xn (t )),..., yk ( x1 (t ),..., xn (t ))) |t t0 dt dt n n dyk � � � � � y � y1 �dy1  � ,..., � xi (t0 ) | p ,..., �xi� (t0 ) k | p � � � dt � � xi � xi � �dt i 1 t  t0 �i 1 f  | p (v )  x1� (t0 ) � � y1 � y1 � � � � � ... � � x1 � xn � � . � � � � � J | v . � .............. � . � � f p  � � � � � yk � y . � ... k � � � � x1 � xn � �� � p � xn� (t0 ) � � � 1.1.11. Nhận xét (xem [3]) a) f | p : Tp M � T f ( p ) N là ánh xạ tuyến tính. (N ) . b) v� f ( p ) ( g )  f  | p (v )( g )  v ( gf ), g �� Thật vậy: +) Nhận xét a) được suy ra từ mệnh đề 1.10. +) Ta đặt f | p (v)  v� f ( p ) , khi đó: v� f (g)  d d g o( f o (t ))t t0  ( g o f ) o (t ))t t0  v( g o f ); g ��( N ) . dt dt 12 Ta chú ý rằng trong trường hợp f là vi phôi, X �B( M ) thì f X là trường vectơ tiếp xúc của N. 1.1.12. Định lý (xem [5]) Giả sử f : M � N ; p � f ( p) là vi phôi khi đó, f  X , Y    f X , fY  Chứng minh:  f X , fY  ( g )  f X ( fY ( g )  f Y ( f  X ( g )); g ��( N )  X ( fY ( g ))  Y ( f X ( g ))  X (Y ( gf ))  Y ( gf )   X , Y  ( gf )  f  X , Y  ( g ); p �M , g ��( N ). �  f X , fY   f   X , Y  p �  f X , fY   f   X , Y  . 1.2. Liên thông tuyến tính 1.2.1. Định nghĩa Một liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi M, đó là ánh xạ Ѵ� : B( M ) B ( M ) B( M ) , ( X , Y ) a �X Y sao cho: 1) �X (Y  Z )  �X Y  �X Z ; X , Y , Z �B( M ). 2) �X Y Z  �X Z  �Y Z ; X , Y , Z �B (M ). 3) � X Y  �X Y ; X , Y �B ( M ).  ��( M ) . 4) �X (Y )  X    Y  �X Y ; X , Y �B( M ).  ��( M ) . 1.2.2. Ví dụ 1 n a) Giả sử M = �3 , ta xét �X Y  DX Y  X �Y ; X , Y �B(�3 ), n �� và D là đạo hàm thông thường của các trường vectơ trong �3 . Khi đó � là một liên thông tuyến tính. Thật vậy: 1 1 1 1)�X (Y  Z )  DX (Y  Z )  ( X �(Y  Z ))  DX Y  DX Z  X �Y  X �Z n n n = �X Y  �X Z . 1 n 1 n 1 n 2) �X Y Z  DX Y Z  ( X  Y ) �Z ))  DX Z  DY Z  X �Z  Y �Z  �X Z  �Y Z 13 1 n 1 n ( 3) . 3) � X Y  D X Y  ( X �Y )   ( D X Y  X �Y )  �X Y ;  ��� 1 1 X �(Y )  X [ ] � Y+ DX Y   ( X �Y ) n n 1  X    .Y   ( DX Y  X �Y )  X    Y  �X Y ;  ��� ( 3 ). n 4)�X  Y   DX Y  b) Giả sử S là một mặt trong �3 . Ta đặt �X Y   DX Y  , X , Y �B ( S ) ; T T (Ở đây  DX Y  là thành phần tiếp xúc với S của DX Y ). Khi đó �X Y là liên thông tuyến tính trên S . Thật vậy, ta có : +) �X (Y  Z )  ( DX (Y  Z ))T  ( DX Y  DX Z )T  ( DX Y )T  ( DX Z )T  �X Y  �X Z . +) �X Y Z   DX Y Z    DX Z  DY Z   ( DX Z )T   DY Z  = �X Z  �Y Z . T T T +) � X Y   D X Y     DX Y     DX Y   �X Y . T T T )�X Y   DX Y    X    .Y     DX Y   X    .Y    DX Y  T T T T  X    .Y  �X Y . 1.2.3. Mệnh đề (xem [7]) Cho � là liên thông tuyến tính trên M và ánh xạ song tuyến tính : S : B ( M ) �B ( M ) � B( M ) . Khi đó �  � S cũng là một liên thông tuyến tính trên M . ~ Chứng minh: Ta kiểm tra 4 tiên đề của một liên thông tuyến tính đối với �. Thật vậy, với mọi X , Y , Z �B( M ) , ta có: : �� ) X  Y  Z    � S  X (Y  Z )  �X (Y  Z )  S ( X , Y  Z )  �X Y  �X Z  S ( X , Y )  S ( X , Z ) : :   �X Y  S ( X , Y )    �X Z  S ( X , Z )    � S  X Y   � S  X Z  �X Y  �X Z . : �� ) X Y Z   � S  X Y Z  �X Y Z  S ( X  Y , Z )  �X Z  �Y Z  S ( X , Z )  S (Y , Z ) : :  (�X Z  S ( X , Z ))   �Y Z  S (Y , Z )    � S  X Z   � S  Y Z  �X Z  �Y Z . 14 +) Với  ��( M ) , ta có: : � X Y   � S   X Y  � X Y  S ( X , Y )  �X Y   S ( X , Y )   (�X Y  S ( X , Y )) :   (� S ) X Y   �X Y . : �� ) X (Y )   � S  X (Y )  �X (Y )  S ( X , Y )  X    Y    �X Y  S ( X , Y )  :  X    Y   �X Y . 1.2.4. Mệnh đề (xem [3]) 1 2 Giả sử  , ��( M ) và �� , , là liên thông tuyến tính trên M . Khi đó, 1 2 �  �  � là liên thông tuyến tính trên M nếu và chỉ nếu    1 . Chứng minh: +) Điều kiện cần: Giả sử � là liên thông tuyến tính trên M thì X , Y �B ( M ), f ��( M ) , ta có: 1 2 1 2 �X fY   �X fY   �X fY   X  f  .Y   f �X Y  X  f  .Y   f �X Y 2 � 1 �  (   ) X  f  .Y  f �  �X Y   �X Y �     X  f  .Y  f �X Y . � � Mặt khác �X fY  X  f  .Y  f �X Y . (1) (2) Từ (1) và (2) ta suy ra    1 . +) Điều kiện đủ: Ta cần chứng minh � là liên thông tuyến tính trên M với    1 . Rõ ràng, � thỏa mãn các điều kiện T1, T2, T3. Ở đây, ta kiểm tra T4. Với 1 2 1 2 f ��( M ), �X fY   �X fY  �X fY   X  f  .Y   f �X Y  X  f  Y  f �X Y 2 � 1      X  f  Y  f �  �X Y  �X Y � � X  f  Y  f �X Y . � � Bây giờ ta xét vi phôi f : M � N . Với � là liên thông tuyến tính trên M, ~ ~ ta đặt ( f�) X%Y% f  �X Y  ; ở đây X% f X , Y% fY ;  X , Y �B( N ) . 1.2.5. Định lý (xem [5]) 15 f� là liên thông tuyến tính trên N . Chứng minh:   � )  f� X% Y% Z%  f  �X (Y  Z )   f  �X Y   f  �X Z    f� X%Y%  f� X%Z%. � )  f� %X%Y% f  � X Y   f   .�X Y   % .( f�) X%Z%. Với    o f ,  ��( N ) . ~ ~ � )  f�  X%Y% Z% f   �X Y Z   f  (�X Z  �Y Z )   f� X%Z%  f � Y%Z% .   � )  f� X%. % Y%  f  (�X Y );   %o f , %��( N )  f  X    .Y   .�X Y   X% %  .Y% % f� X%Y%. 1.2.6. Mệnh đề (xem [3]) a) ( �X Y ) phụ thuộc vào Y tại lân cận của điểm p . b) (�X Y ) p Phụ thuộc X p tại từng điểm. Chứng minh: a) Trước hết ta chứng minh nếu Y |U  0, U mở trong M thì �X Y  0 . Thật vậy, với p �U , ta chọn f ��( M ) và tập đóng V trong M, sao cho p �V �U , f |V  0 và f |  M \ U   1 khi đó f .Y  Y . Ta có:  �X Y  ( p)   �X f .Y  ( p )   X  f  .Y  ( p )   f .�X Y  ( p)  X  f  ( p )Y ( p )  f ( p )  �X Y  ( p )  0; p �U . Ta giả sử:     Y |U  Y%|U � Y  Y%|U  0 � �X Y  �X Y%|U  0   �  �X Y  ( p )  �X Y%( p ); p �U . n b) Giả sử X ( p)  0,  U ,   là bản đồ chứa p . Khi đó X  �X i Ei , ở đây i 1  Ei  là cơ sở của Ta có: B (U  ) và X i ( p)  0, i  1, n .