Tài liệu Một số thuật toán tìm phủ trong mô hình dữ liệu dạng khối

1 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn khoa học, của các thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô phòng Sau Đại Học và thư viện trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện học tập, nghiên cứu và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Trịnh Đình Thắng đang công tác tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trực tiếp hướng dẫn, định hướng chuyên môn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu đề tài và giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin được bầy tỏ sự biết ơn sâu sắc đến gia đình đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành tốt mọi công việc trong quá trình thực hiện luận văn. Bên cạnh đó, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn của mình tới bạn bè và đồng nghiệp, luôn quan tâm, chia sẻ, động viên tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Trong quá trình thực hiện công tác nghiên cứu nhưng luận văn không thể tránh khổi những thiếu sót. Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến góp ý của quý thầy cô, quý đồng nghiệp và bạn bè. Vĩnh Phúc, ngày 01 tháng 12 năm 2015 Học viên Nguyễn Thế Vinh 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung được trình bày trong bản luận văn này là kết quả tìm hiểu và nghiên cứu của riêng tôi, đây là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Trịnh Đình Thắng. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực, rõ ràng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Học viên Nguyễn Thế Vinh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN....................................................................................................9 LỜI CAM ĐOAN..............................................................................................2 3 MỤC LỤC.........................................................................................................3 DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT.........................................6 DANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................7 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ...........................................................................8 MỞ ĐẦU...........................................................................................................9 CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH DỮ LIỆU QUAN HỆ VÀ CÁC DẠNG PHỦ .......12 1.1. Mô hình dữ liệu quan hệ.......................................................................................... 12 1.1.1. Thuộc tính và miền thuộc tính........................................................12 1.1.2. Quan hệ, lược đồ quan hệ...............................................................12 1.2. Các phép toán đại số quan hệ................................................................................ 14 1.2.1. Phép hợp..........................................................................................14 1.2.2. Phép giao.........................................................................................15 1.2.3. Phép trừ...........................................................................................15 1.2.4. Tích Đề-các.....................................................................................16 1.2.5. Phép chiếu.......................................................................................17 1.2.6. Phép chọn........................................................................................18 1.2.7. Phép kết nối.....................................................................................19 1.2.8. Phép chia.........................................................................................19 1.3. Phụ thuộc hàm........................................................................................20 1.3.1. Các tính chất của phụ thuộc hàm....................................................21 1.3.2. Hệ tiên đề Amstrong.......................................................................21 1.4. Bao đóng .................................................................................................22 1.4.1. Bao đóng của tập phụ thuộc hàm và tập thuộc tính........................22 1.4.2. Bài toán thành viên.........................................................................26 4 1.5. Các dạng phủ..........................................................................................27 1.5.1. Phủ tương đương.............................................................................27 1.5.2. Phủ không dư..................................................................................27 1.5.3. Phủ thu gọn tự nhiên.......................................................................28 1.5.4. Phủ thu gọn trái...............................................................................30 1.5.5. Phủ thu gọn phải.............................................................................31 1.5.6. Phủ thu gọn.....................................................................................32 1.5.7. Phủ tối thiểu....................................................................................32 1.5.8. Phủ cực tiểu.....................................................................................33 1.6. Kết luận chương 1..................................................................................34 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI.........................................35 2.1. Khối, lược đồ khối và lát cắt.................................................................................. 35 2.1.1. Khối, lược đồ khối..........................................................................35 2.1.2. Lát cắt..............................................................................................37 2.2. Các phép tính trên khối.........................................................................39 2.2.1. Phép chèn........................................................................................39 2.2.2. Phép lọa bỏ......................................................................................40 2.2.3. Phép sửa đổi....................................................................................40 2.3. Đại số quan hệ trên khối.......................................................................................... 40 2.3.1. Phép hợp..........................................................................................41 2.3.2. Phép giao.........................................................................................42 2.3.3. Phép trừ...........................................................................................43 2.3.4. Tích Đề các.....................................................................................43 2.3.5. Tích Đề các theo tập chỉ số.............................................................44 5 2.3.6. Phép chiếu.......................................................................................44 2.3.7. Phép chọn........................................................................................45 2.3.8. Phép kết nối.....................................................................................45 2.3.9. Phép chia.........................................................................................46 2.4. Phụ thuộc hàm........................................................................................47 2.5. Bao đóng của tập thuộc tính chỉ số.......................................................49 2.6. Kết luận chương 2..................................................................................51 CHƯƠNG 3: PHỦ VÀ THUẬT TOÁN TÌM PHỦ TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI........................................................................................52 3.1. Phủ của lược đồ khối..............................................................................52 3.1.1. Phủ không dư thừa .........................................................................52 3.1.2. Phủ tối thiểu ...................................................................................53 3.1.3. Phủ thu gọn ....................................................................................54 3.1.4. Phủ cực tiểu ....................................................................................62 3.2. Mối quan hệ giữa phủ cực tiểu của lược đồ khối và lược đồ lát cắt ..64 3.3. Xây dựng phần mềm Demo tìm phủ cực tiểu trên lược đồ khối..........66 3.3.1. Giới thiệu bài toán ..........................................................................66 3.3.2. Dữ liệu đầu vào...............................................................................66 3.3.3. Một số giao diện chương trình và hướng dẫn sử dụng...................67 3.5. Kết luận chương 3..................................................................................71 KẾT LUẬN.....................................................................................................72 TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................73 DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT Trong luận văn này dùng thống nhất các ký hiệu và chữ cái viết tắt sau: 6 Kí hiệu Ý nghĩa FD Phụ thuộc hàm LS Vế trái LR Vế phải ╞ Suy dẫn theo tiên đề (theo logic) ├ Suy dẫn theo quan hệ ≠ Khác  � Với mọi � Phép hợp \ � Phép trừ � Nằm trong � Thuộc � Không thuộc X+ Bao đóng của tập thuộc tính X  ≢ Tương đương  Rỗng  Tồn tại Phép giao Tập con Không tương đương DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Biểu diễn quan hệ r............................................................................. Bảng 1.2. Biểu diễn ví dụ học sinh...................................................................... Bảng 1.3. Bảng biểu diễn quan hệ r, s, r  s....................................................... 7 Bảng 1.4. Bảng biểu diễn quan hệ r, s, r  s....................................................... Bảng 1.5. Bảng biểu diễn quan hệ r, s, r – s, s – r............................................... Bảng 1.6. Bảng biểu diễn các quan hệ r, s, r× s.................................................. Bảng 1.7. Bảng biểu diễn các quan hệ r, s, r*s.................................................... Bảng 1.8. Bảng biểu diễn các quan hệ r, s, r ÷ s.................................................. Bảng 2.1. Bảng biểu diễn khối điểm học viên DiemHV(R’).............................. Bảng 2.3. Bảng biểu diễn lát cắt r(RHọc kỳ 2).......................................................... Bảng 2.4. Biểu diễn họ gồm 2 quan hệ r1, r2........................................................ 8 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1. Biểu diễn khối điểm sinh viên DiemSV(R)......................................... Hình 2.2. Biểu diễn các khối r(R), s(R), t(R)...................................................... Hình 2.3. Biểu diễn 2 khối r, s............................................................................. Hình 2.4. Biểu diễn các khối r, s, r  s............................................................... Hình 2.5. Biểu diễn các khối r, s, r  s............................................................... Hình 2.6. Biểu diễn các khối r, s, r - s............................................................... Hình 2.7. Biểu diễn các khối r, r’ = P(r)........................................................... Hình 3.1. Danh sách các phụ thuộc hàm............................................................. Hình 3.2. Giao diện chương trình tìm phủ tối thiểu............................................ Hình 3.3. Chức năng nhập dữ liệu....................................................................... Hình 3.4. Danh sách các phụ thuộc hàm đầu vào................................................ Hình 3.5. Danh sách các phụ thuộc hàm vế phải chỉ có 1 thuộc tính.................. Hình 3.6. Danh sách tập phụ thuộc hàm loại bỏ dư thừa ở vế phải..................... Hình 3.7. Danh sách các phụ thuộc hàm tối thiểu cần tìm.................................. Hình 3.8. Kết quả tìm phủ tối thiểu của lát cắt thứ nhất...................................... Hình 3.9. Kết quả tìm phủ tối thiểu của lát cắt thứ hai........................................ Hình 3.10. Kết quả tìm phủ tối thiểu của lát cắt thứ ba....................................... 9 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn lựa đề tài Trong thời đại Công nghệ Thông tin hiện nay đang có những bước tiến mạnh mẽ, việc ứng dụng công nghệ thông tin trở nên rộng rãi và vai trò của công nghệ thông tin ngày càng được khẳng định trong nhiều lĩnh vực khác nhau với những quy mô khác nhau. Cơ sở dữ liệu là một trong những lĩnh vực nghiên cứu đóng vai trò nền tảng trong sự phát triển của công nghệ thông tin. Muốn xây dựng được một hệ thống cơ sở dữ liệu tốt người ta thường sử dụng các mô hình dữ liệu thích hợp. Đã có rất nhiều mô hình được sử dụng trong các hệ thống cơ sở dữ liệu như: mô hình thực thể - liên kết, mô hình mạng, mô hình phân cấp, mô hình hướng đối tượng, mô hình dữ liệu datalog và mô hình quan hệ. Trong đó thì mô hình quan hệ được quan tâm hơn cả vì nó được xây dựng trên cơ sở toán học chặt chẽ - đó là lí thuyết toán học về các quan hệ có áp dụng rộng rãi các công cụ đại số và logic. Tuy nhiên, mô hình này chưa đủ đáp ứng đối với các ứng dụng phức tạp, các cơ sở dữ liệu có cấu trúc phi tuyến. Trong những năm gần đây, nhằm mở rộng mô hình dữ liệu quan hệ đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Theo hướng nghiên cứu này một mô hình mới đã được đề xuất, đó là mô hình dữ liệu dạng khối, mô hình này là mở rộng của mô hình dữ liệu quan hệ, ngày càng có nhiều người quan tâm và đã có những đóng góp nhất định để bổ sung vào lý thuyết các mô hình dữ liệu. Tuy nhiên mô hình này mới xây dựng nên chưa hoàn thiện và hiện đang được quan tâm nghiên cứu. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và những ứng dụng của mô hình dữ liệu dạng khối, đặc biệt là các thuật toán tìm phủ trong mô hình dữ liệu dạng khối. Vì vậy tôi chọn đề tài: “Một số thuật toán tìm phủ trong mô hình dữ liệu dạng khối ” để nghiên cứu. 10 2. Mục đích nghiên cứu - Trình bày một số khái niệm liên quan đến phủ, các thuật toán tìm phủ đối với lược đồ khối trong mô hình dữ liệu dạng khối. - Phát biểu và tính độ phức tạp của các thuật toán tìm phủ. - Đưa ra mệnh đề, phát biểu và chứng minh về mối quan hệ giữa phủ cực tiểu của lược đồ khối và lược đồ lát cắt. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được các mục đích trên, luận văn đặt ra các nhiệm vụ nghiên cứu sau. - Tìm hiểu về mô hình dữ liệu dạng khối. - Trình bày một số khái niệm liên quan đến phủ. - Trình bày các thuật toán tìm phủ, tính độ phức tạp của thuật toán đó. - Xây dựng chương trình Demo tìm phủ tối thiểu trên khối 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phủ và các thuật toán tìm phủ của lược đồ khối trong mô hình dữ liệu dạng khối. - Phạm vi nghiên cứu: các phủ trong mô hình dữ liệu dạng khối. 5. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình triển khai đề tài, tôi thực hiện theo phương pháp: Thu thập tài liệu, phân tích, suy luận, tổng hợp, đánh giá. Từ đó đưa ra mệnh đề mới về mối quan hệ giữa phủ cực tiểu của lược đồ khối và lược đồ lát cắt, xây dựng dựng chương trình Demo tìm phủ tối thiểu trên khối. 6. Những đóng góp của đề tài - Đưa ra các mệnh đề, tính chất, phát biểu và chứng minh các tính chất về mối quan hệ giữa phủ cực tiểu của lược đồ khối và lược đồ lát cắt. - Xây dựng chương trình Demo tìm phủ tối thiểu của lược đồ khối. 11 7. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm: Lời mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và sau cùng là tài liệu tham khảo. Chương 1: Mô hình dữ liệu quan hệ và các dạng phủ Chương 2: Mô hình dữ liệu dạng khối Chương 3: Phủ và thuật toán tìm phủ trong mô hình dữ liệu dạng khối 12 CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH DỮ LIỆU QUAN HỆ VÀ CÁC DẠNG PHỦ Mô hình dữ liệu quan hệ là một trong những mô hình được quan tâm nhiều nhất hiện nay. Nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu và đã thu được các kết quả tốt. Mô hình dữ liệu quan hệ và các dạng phủ sẽ được trình bày trong phần dưới đây. Để hiểu rõ hơn về mô hình dữ liệu quan hệ và các dạng phủ các vấn đề này được trình bày ở chương 1 đã được nói tới trong tài liệu [2,4,5]. 1.1. Mô hình dữ liệu quan hệ 1.1.1. Thuộc tính và miền thuộc tính Định nghĩa 1.1 - Thuộc tính là đặc trưng của đối tượng. - Tập tất cả các giá trị có thể có của thuộc tính A i gọi là miền giá trịcủa thuộc tính đó, ký hiệu: Dom(Ai) hay viết tắt là DAi Ví dụ 1.1. Đối tượng Họcsinh có các thuộc tính như: MaHS, Hoten, NgSinh, Đchi,… Miền giá trị của các thuộc tính của đối tượng Họcsinh: Dom(MaHS) = {char(4)} ={‘HS01’, ‘HS02’, ‘HS03’ ...}; Dom(Hoten) = {char(30)} ={‘Nguyễn Thế A’,‘Đoàn Thị B’, ...} ; Dom(NgSinh) = {date} ={‘13/09/82’, ‘15/12/87’, ...} ; Dom(Đchi) ={char(10)} ={‘MC’, ‘QN’, ‘YB’, …}. 1.1.2. Quan hệ, lược đồ quan hệ Định nghĩa 1.2 Cho U= {A1, A2, …, An} là một tập hữu hạn không rỗng các thuộc tính. Mỗi thuộc tính Ai (i=1,2, …, n) có miền giá trị là Dom( Ai ) viết tắt là DAi. Khi đó r là một tập các bộ {h1, h2, …, hm} được gọi là quan hệ trên U với hj (j=1, 2, …, m) là một hàm: UD Ai hj :U → sao cho hj (Ai) DAi (i=1, 2, ...,n) Ta có thể xem một quan hệ như một bảng, trong đó mỗi hàng (phần tử) Ai �U là một bộ và mỗi cột tương ứng với một thành phần gọi là thuộc tính. Biểu diễn quan hệ r thành bảng như sau: 13 A1 A2 … An h1 h1(A1) h1(A2) … h1(An) h2 h2(A1) h2(A2) … h2(An) … … … … … hm hm(A1) hm(A2) … hm(An) Bảng 1.1: Biểu diễn quan hệ r. Ví dụ 1.2: Học sinh MaHS HOTEN NS DC LOP HS01 A 24/02/93 QN A1 HS02 A 11/05/93 MC A2 HS03 B 15/03/93 YB B1 Trong đó các thuộc tính là MaHS: mã học sinh; HOTEN: họ tên; NS: ngày sinh; DC: đại chỉ; LOP: lớp. Bộ giá trị: (HS01, A, 24/02/93, QN, A1) là một bộ. Nếu có một bộ t = (d 1, d2, d3, ..., dm) �r, r xác định trên U, X �U thì t(X)(hoặc t.X) được gọi là giá trị của tập thuộc tính X trên bộ t. Định nghĩa 1.3 Tập tất cả các thuộc tính trong một quan hệ cùng với mối liên hệ giữa chúng được gọi là lược đồ quan hệ. Lược đồ quan hệ R với tập thuộc tính U={A 1, A2, .., An} được viết là R(U) hoặc R(A1, A2, .., An). 1.2. Các phép toán đại số quan hệ - Phép toán tập hợp: hợp, giao, trừ, tích Đề các - Phép toán quan hệ: chiếu, chọn, kết nối, chia. 14 Định nghĩa 1.4 Hai quan hệ r và s được gọi là khả hợp nếu như hai quan hệ này xác định trên cùng tập thuộc tính và các thuộc tính cùng tên có cùng miền giá trị. 1.2.1. Phép hợp Phép hợp hai quan hệ khả hợp r và s, kí hiệu là r  s, là tập tất cả các bộ thuộc r hoặc thuộc s. Ta có: r  s = {t│ t ∈ r ∨t ∈s} Ví dụ 1 .3 : r A x1 x2 x2 B y1 y1 y2 C z1 z2 z1 rs A x1 x2 x2 x2 B y1 y1 y2 y2 C z1 z2 z1 z2 ; s A x1 x2 B y1 y2 C z1 z2 Bảng 1.3: Bảng biểu diễn quan hệ r, s, r  s. 1.2.2. Phép giao Phép giao của hai quan hệ khả hợp r và s, kí hiệu là r  s, là tập tất cả các bộ thuộc cả hai quan hệ r và s. Ta có: r  s = {t│ t ∈ r ∧ t ∈s} Ví dụ 1.4: r A x1 x2 x2 B y1 y1 y2 C z1 z2 z1 r s A x1 B y1 C z1 ; s A x1 x2 B y1 y2 C z1 z2 15 Bảng 1.4: Bảng biểu diễn quan hệ r, s, r  s. 1.2.3. Phép trừ Phép trừ của hai quan hệ khả hợp r và s, kí hiệu: r \ s là tập tất cả các bộ thuộc r nhưng không thuộc s. Ta có: r \ s = {t│t ∈ r ∧ t ∉ s} Ví dụ 1.5 : r A x1 x2 x2 B y1 y1 y2 C z1 z2 z1 r\s= A x2 x2 B y1 y2 C z2 z1 ; s A x1 x2 B y1 y2 C z1 z2 s\r= A x2 B y2 C z2 Bảng 1.5: Bảng biểu diễn quan hệ r, s, r \ s, s \ r. 1.2.4. Tích Đề-các Cho quan hệ r xác định trên tập thuộc tính {A1, A2, ..., An} và quan hệ s xác định trên tập thuộc tính {B1, B2, .., Bm}. Tích Đề-các của hai quan hệ r và s kí hiệu là r x s, là tập tất cả các (m+n) - bộ có n thành phần đầu tiên là một bộ thuộc r và m thành phần sau là một bộ thuộc s. Ta có: r × s = {t=(a1, a2, .., an, b1, b2, .., bm)│(a1, a2, .., an) ∈r �(b1 b2, .., bm) ∈s} Ví dụ 1.6: r A r× s x 1 A x2 x1 B C G H F y1 B y1 y1 z1 x1 y1 G x1 x2 H y y1 2 z1 F z2 z1 C z1 x2 y12 z1 z1 x2 x1 y2 y2 z2z2 x1 y1 z1 x1 y2 z2 x2 y1 z2 x1 y1 z1 x2 y1 z2 x2 y2 z2 x2 y1 z2 x1 y2 z2 x2 y2 z1 x1 y1 z1 x2 y2 z1 x2 y2 z2 x2 y2 z1 x1 y2 z2 x1 z2 ; s 16 Bảng 1.6: Bảng biểu diễn các quan hệ r, s, r× s. 1.2.5. Phép chiếu Cho r là một quan hệ n ngôi xác định trên tập thuộc tính U={A 1, A2, .., An}, X là tập con của U. Phép chiếu của quan hệ r trên tập thuộc tính X, kí hiệu là �x (r), là tập các bộ của r xác định trên tập thuộc tính X. Ta có: �x (r) = {t.X│ t ∈ r}. Phép chiếu thực chất là phép toán giữ lại một số thuộc tính cần thiết của quan hệ và loại bỏ những thuộc tính không cần thiết. Ví dụ 1.7: r (A x1 y1 z1 x1 y1 �B B 2 7 7 8 2 (r) (B) 2 7 8 C x y z x y D) 6 4 7 5 6 17 �BD (r)(B 2 7 7 8 D) 6 4 7 5 1.2.6. Phép chọn Phép chọn là phép toán lọc lấy ra một tập con các bộ của quan hệ đã cho thoả mãn một điều kiện xác định. Điều kiện đó được gọi là điều kiện chọn hay biểu thức chọn. Biểu thức chọn F được định nghĩa là một tổ hợp logic của các toán hạng, mỗi toán hạng là một phép so sánh đơn giản giữa hai biến là hai thuộc tính hoặc giữa một biến là một thuộc tính và một giá trị hằng. Biểu thức chọn F cho giá trị đúng hoặc sai đối với mỗi bộ đã cho của quan hệ khi kiểm tra riêng bộ đó. - Các phép toán so sánh trong biểu thức F: >, <, =, ≥, ≠, ≤. - Các phép toán logic trong biểu thức F: ¿ (và), ¿ (hoặc), � (phủ định). Cho r là một quan hệ và F là một biểu thức logic trên các thuộc tính của r. Phép chọn trên quan hệ r với biểu thức chọn F, kí hiệu là F(r), là tập tất cả các bộ của r thoả mãn F. Ta có: F(r) = {t│ t∈r Ví dụ 1.8: r (A x1 y1 z1 x1 y1 B�D B 5 7 7 9 5 (r) (A y1 z1 C x y z x y D) 8 6 7 5 8 B C D) 7 7 y z 6 7 �F(t)}. 18 x1 9 x 5 1.2.7. Phép kết nối Cho quan hệ r(U) và s(V). Đặt M=UV. Phép kết nối (tự nhiên) hai quan hệ r(U) và s(V), ký hiệu r*s, cho ta quan hệ giữa các bộ được dán từ các bộ u của quan hệ R với mỗi bộ v của quan hệ S (sao cho các trị trên miền thuộc tính chung M của hai bộ này giống nhau). P(UV)= r*s= {u*v│u∈r, v∈s, u.M=v.M} Nếu M= UV=Ф, r*s sẽ cho ta tích Đề-các, trong đó mỗi bộ của quan hệ r sẽ được ghép với mọi bộ của quan hệ s. Ví dụ 1. 9: r A x1 y z1 r*s A y1 z1 x2 B x y2 x C x2 y2 z2 ; s G x2 y2 H x3 y3 B C G H x x2 x2 x3 y y2 y2 y3 x z2 y2 y3 Bảng 1.7: Bảng biểu diễn các quan hệ r, s, r*s. 1.2.8. Phép chia Cho r là một quan hệ n ngôi xác định trên tập thuộc tính U và s là một quan hệ m ngôi xác định trên tập thuộc tính V, với VU, n>m và s , có nghĩa là lực lượng của s là khác 0 hay s có ít nhất một bộ. Phép chia quan hệ r cho quan hệ s, kí hiệu là r bộ v ¿ s, là tập tất cả các bộ t trên U\V sao cho với mọi s thì khi ghép bộ t với bộ v ta được một bộ thuộc r. Ta có: r ÷ s = {t│ v ∈ s, (t, v) ∈ r} Ví dụ 1.10: ¿ 19 r A x1 y1 z1 x1 y1 z1 B 1 2 3 1 2 3 r÷s C x1 D 2 C x1 x1 x1 x1 y1 z1 D 2 2 2 4 4 5 ; s A x1 y1 z1 B 1 2 3 Bảng 1.8: Bảng biểu diễn các quan hệ r, s, r ÷ s. 1.3. Phụ thuộc hàm Khi xét đến mối quan hệ giữa dữ liệu trong CSDL quan hệ một trong nhưng yếu tố quan trọng nhất được xét đến là sự phụ thuộc giữa các thuộc tính này với thuộc tính khác. Từ đó có thể xây dựng những ràng buộc cũng như loại bỏ đi những dư thừa dữ liệu trong một CSDL. Phụ thuộc hàm là những mối quan hệ giữa các thuộc tính trong CSDL quan hệ. Khái niệm về phụ thuộc hàm có một vai trò rất quan trọng trong việc thiết kế mô hình dữ liệu. Một trạng thái phụ thuộc hàm chỉ ra rằng giá trị của một thuộc tính được quyết định một cách duy nhất bởi giá trị của thuộc tính khác. Sử dụng các phụ thuộc hàm để chuẩn hóa lược đồ quan hệ về dạng chuẩn 3 hoặc chuẩn Boye-Codd. Định nghĩa 1.5 Cho lược đồ quan hệ R xác định trên tập thuộc tính U, và X, Y ⊆U. Nói rằng X xác định hàm Y hay Y phụ thuộc hàm vào X và kí hiệu X → Y nếu với mọi quan hệ r xác định trên R và với hai bộ bất kỳ t 1, t2 ∈R mà t1(X) = t2(X) thì t1(Y) = t2(Y). 20 1.3.1 Các tính chất của phụ thuộc hàm Cho lược đồ quan hệ R xác định trên tập thuộc tính U = {A 1, A2, ..., An}, cho X, Y, Z, WU thì ta có một số tính chất cơ bản của các phụ thuộc hàm như sau: 1. Nếu Y  X thì X → Y. 2. Nếu X → Y thì XW → YW. 3. Nếu X → Y, Y → Z thì X → Z. 4. Nếu X → Y, YZ → W thì XZ → W. 5. Nếu X → Y, Z → W thì XZ →YW. 6. Nếu X → Y thì XZ→Y. 7. Nếu X → Y, X → Z thì X → YZ. 8. Nếu X → YZ thì X → Y. 9. Nếu X → YZ, Z → WV thì X → YZW. 1.3.2. Hệ tiên đề Amstrong Gọi R là quan hệ trên tập thuộc tính U. Khi đó với các tập thuộc tính X, Y, Z U ta có hệ tiên đề Amstrong như sau: 1- Phản xạ: Nếu Y  X thì X → Y 2- Tăng trưởng: Nếu X → Y thì XW → YW 3- Bắc cầu: Nếu X → Y, Y → Z thì X → Z 1.4. Bao đóng 1.4.1. Bao đóng của tập phụ thuộc hàm và tập thuộc tính Định nghĩa 1.6 Cho tập phụ thuộc hàm F, bao đóng của tập phụ thuộc hàm F kí hiệu F + là tập lớn nhất chứa các phụ thuộc hàm được suy diễn từ các phụ thuộc hàm thuộc F. Vậy F+ = {f │F╞ f }. Định nghĩa 1.7 Cho lược đồ quan hệ R xác định trên tập thuộc tính U, cho XU, tập các phụ thuộc hàm F. Bao đóng của tập thuộc tính X đối với F kí hiệu X + là