Tài liệu Một số tài liệu ngắn gọn về lý thuyết phạm trù và hàm tử

  • Số trang: 32 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 113 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62489 tài liệu

Mô tả:

Mët t i l»u ng­n gån v· Lþ thuy¸t Ph¤m trò v  H m tû A short way to Theory of Categories and Functors Author: DongPhD DongPhD Problems Book Series υo`.1 All rights reserved. c 2009 by wWw.VnMath.CoM MÖC LÖC Líi tüa 1 1 Ph¤m trò 2 1.1 1.2 1.3 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò . . . . . . . . . . . C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ °c bi»t . . . . . . . Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel . . . . . . 2 4 14 2 H m tû 17 T i li»u tham kh£o 28 2.1 2.2 2.3 Kh¡i ni»m h m tû . . . . . . . . . . . . . Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n . . . . . . . . . . . H m tû khîp . . . . . . . . . . . . . . . . i 17 19 20 www.vnmath.com Líi tüa Lþ thuy¸t ph¤m trò v  h m tû l  mæn håc mîi vîi ph¦n æng chóng ta. Vi»c t¼m mët quyºn b i tªp v· nâ qu£ l  khâ kh«n. º phöc vö cho nhu c¦u æn tªp cõa m¼nh, tæi bi¶n so¤n tªp t i li»u ng­n gån n y. Gâp nh°t nìi n y v i þ t÷ðng, nìi kia v i luªn cù tæi ¢ l m cæng vi»c cõa mët con b÷îm li»ng v÷ín hoa - v÷ín hoa xù l¤ - m  khæng mong k¸t tinh mët ÷ñc mët thù mªt n o l nh ngåt. May ch«ng, ch¿ câ thº tr¡nh ÷ñc sü cho¡ng ngñp ban ¦u khi ti¸p cªn vîi tay ki¸m kh¡ch væ còng trøu t÷ñng n y. R§t mong ÷ñc sü ch¿ gi¡o cõa c¡c ëc gi£ v· nhúng sai l¦m khæng tr¡nh khäi trong t i li»u n y. N÷îc muæn sæng khæng õ cho tæi rûa tai º nghe nhúng líi cao luªn.† Hu¸, Mòa æng, n«m inh Hñi DongPhD † Of first editon. Thanks for nothing. is the second version. § Ask not me why ‡ This 1 www.vnmath.com 1 Ph¤m trò Chaque v²rit² que je trouvois ²tant une r±gle qui me servoit apr±s   en trouver d'autres [Each problem that I solved became a rule which served afterwards to solve other problems]. (Ren² Descartes, Discours de la M²thode) 1.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò B i tªp 1.1. 1. 1 l  ph¤m trò vîi mët vªt ? v  mët môi t¶n id?; 2. 0 l  ph¤m trò réng khæng câ vªt v  môi t¶n n o. 3. G r khæng l  ph¤m trò con ¦y cõa ph¤m trò S 4. Ab l  ph¤m trò con ¦y cõa G r. Líi gi£i. 3. Trong ph¤m trò G r ta câ [Z2 , Z2 ] = {0, id}. Tuy nhi¶n trong ph¤m trò S , [Z2 , Z2 ] = {0, id, e} vîi e(0) = 1, e(1) = 1 4. Rã v¼ kh¡i ni»m c§u x¤1 trong Ab v  G r l  nh÷ nhau. B i tªp 1.2. Cho mët hå (Ai )i∈I c¡c vªt trong mët ph¤m trò C , chùng minh r¬ng CS , CP l  ph¤m trò. 1 Mët sè s¡ch gåi l  môi t¶n(arrow) 2 www.vnmath.com 1. Ob(CS ) = {(αi : Ai −→ X)I |X ∈ Ob(C)}, [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS = {δ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C | βi = δαi , ∀i ∈ I} hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C . 2. Ob(CP ) = {(αi : X −→ Ai)I |X ∈ Ob(C)}, [(αi : X −→ Ai )I , (βi : Y −→ Ai )I ]CP = {γ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C | βi = γαi , ∀i ∈ I} hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CP ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C . Líi gi£i. ∗ Ta câ [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS ⊂ [X, Y ]C n¶n nâ l  mët tªp hñp. ∗ 1(αi :Ai −→X)I = 1X ∗ V¼ ph²p hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C n¶n 1(αi :Ai −→X)I = 1X l  duy nh§t v  ph²p hñp th nh câ t½nh k¸t hñp. B i tªp 1.3. Cho A, B l  c¡c vªt trong mët ph¤m trò C , chùng minh r¬ng OvB , U nA l  ph¤m trò. 1. Ob(OvB ) = {(X −→ B)|X ∈ Ob(C)}, β α [X −→ B, Y −→ B]Ov = {γ : X −→ Y B α} 3 ∈ [X, Y ]C |βγ = www.vnmath.com 2. Ob(U nA) = {(A −→ Y )|Y ∈ Ob(C)}, β α [A −→ Y, A −→ X]U n = {δ : X −→ Y A ∈ [X, Y ]C |δβ = α} Líi gi£i. Ch¿ vi»c kiºm tra c¡c ti¶n · nh÷ B i tªp 1.2. 1.2 C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ °c bi»t B i tªp 1.4. Chùng minh r¬ng a. N¸u α, β l  ìn x¤ v  βα x¡c ành th¼ βα công ìn x¤. b. N¸u αβ th¼ α ìn x¤ (nh÷ng β khæng nh§t thi¸t ìn x¤). c. N¸u α l  to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò C th¼ [α] khæng to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò th÷ìng cõa C . Líi gi£i. a. Gi£ sû câ f , g sao cho βαf = βαg . V¼ β l  ìn x¤ n¶n αf = αg , do α l  ìn x¤ n¶n f = g . Vªy βα ìn x¤. b. Gi£ sû câ f , g sao cho αf = αg. Suy ra βαf = βαg do βα l  ìn x¤ n¶n f = g . Vªy α l  ìn x¤. β khæng nh§t thi¸t ìn x¤. Trong ph¤m trò c¡c tªp hñp, x²t c¡c c§u x¤ β α N −→ Z −→ N n 7−→ n z 7−→ |z| 4 www.vnmath.com Rã r ng βα = idN l  ìn x¤. Tuy nhi¶n β khæng l  ìn x¤ v¼ |z1 | = |z2 | khæng suy ra ÷ñc z1 = z2 . c. X²t ph¤m trò và nhâm nh¥n N. Ta x²t mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M or(N): a, b ∈ M or(N), a ∼ b ⇐⇒ a v  b còng chia h¸t cho 2 hay ·u khæng chia h¸t cho 2. Khi â M or(N) ÷ñc chia th nh hai lîp:[0], [1]. Ta câ ph¤m trò th÷ìng N: Ob(N) = {N}, M or(N) = {[0], [1]} Hñp th nh[a], [b]: [a][b] = [ab] =  [1] n¸u a v  b ·u l´ [0] c¡c tr÷íng hñp cán l¤i Ta câ 2 l  to n x¤ (ìn x¤) trong N. Nh÷ng [2] khæng to n x¤ (ìn x¤) trong N. B i tªp 1.5. 1. To n x¤ ch÷a ch­c l  to n ¡nh. 2. ìn x¤ ch÷a ch­c l  ìn ¡nh. Líi gi£i. 1. X²t ph¤m trò M on c¡c nûa nhâm câ ìn và(Monoid) c¡c c§u x¤ l  c¡c çng c§u cõa chóng. çng c§u bao h m j : N −→ Z l  mët to n x¤ nh÷ng khæng to n ¡nh. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng g1 and g2 l  hai c§u x¤ ph¥n bi»t tø Z tîi mët monoid M n o 5 www.vnmath.com â. Lóc â câ n ∈ Z sao cho g1 (n) 6= g2 (n), do â g1 (−n) 6= g2 (−n). Ho°c n ho°c −n ∈ / N, g1 j 6= g2 j . Vªy j l  to n x¤. 2. Trong ph¤m trò Div c¡c nhâm abel chia ÷ñc v  c¡c c§u x¤ l  c¡c çng c§u nhâm giúa chóng. X²t çng c§u th÷ìng q : Q −→ Q/Z. Rã r ng nâ khæng l  ìn ¡nh; tuy nhi¶n, nâ l  mët ìn x¤ trong ph¤m trò n y. Thªt vªy, n¸u qf = qg trong â f , g : G −→ Q, G l  nhâm abel chia ÷ñc n o â. Lóc â qh = 0 vîi h = f − g (¥y l  mët ph¤m trò cëng t½nh2 ). Suy ra h(x) l  mët sè húu t¿ n¸u x ∈ G. N¸u h(x) 6= 0, ch¯ng h¤n,   1 x = h 2008h(x) 2008 th¼ x qh 2008h(x)   6= 0 m¥u thu¨n vîi qh = 0, vªy h(x) = 0 v  q l  ìn x¤. B i tªp 1.6. Chùng minh r¬ng c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: a. A l  vªt khæng. b. O −→ A l  to n x¤. c. A −→ O l  ìn x¤. d. 1A l  c§u x¤ khæng. 2 xem [1] 6 www.vnmath.com Líi gi£i. Ta ch¿ chùng minh a ⇐⇒ b v  a ⇐⇒ d. 1. (a =⇒ b). Gi£ sû A l  vªt khæng. N¸u câ f , g : A −→ X sao cho f.0OA = g.0OA th¼ f = g v¼ [A, X] câ duy nh§t mët ph¦n tû. Vªy O −→ A l  to n x¤. 2. (b =⇒ a). Gi£ sû O −→ A l  to n x¤. c Ta s³ chùng minh O −→ A l  ¯ng x¤. Thªt vªy, A 0AO / 0OA / O A ∗ Ta câ 0OA .0AO = 0AA ∈ [A, A] v  1AA ∈ [A, A]. M°t kh¡c 0AA 0OA = 1AA 0OA = 0OA , do 0OA l  to n x¤ n¶n 0AA = 1AA . ∗ Ta công câ 0AO .0OA = 0OO = 1OO . Vªy a ⇐⇒ b. 3. (a =⇒ d). Rã. 4. (d =⇒ a). Gi£ sû 1A l  c§u x¤ khæng. A l  vªt tªn còng v¼ 0XA ∈ [X, A] v  n¸u f ∈ [X, A] th¼ 1A f = 0XA = 1A 0XA , do â f = 0XA v¼ 1A l  ¯ng x¤. Vªy a ⇐⇒ d. B i tªp 1.7. Cho C l  mët ph¤m trò v  h¼nh vuæng sau giao ho¡n: P p2 p1  D2 /B  β2 7 1 β1 /B www.vnmath.com Ta x²t ph¤m trò P ull: Vîi β1 : B1 −→ B , β2 : B2 −→ B cho s®n cõa C Ob(Pull) = {(p1 : P −→ B1 , p2 : P −→ B2 )|p1 , p2 ∈ M or(C), β1 p1 = β2 p2 } [(p1 , p2 ), (p01 , p02 )]P ull = {γ : P 0 −→ P ∈ M or(C)| p01 = p1 γ, p02 = p2 γ}; hñp th nh l  hñp th nh trong trong C ; 1(p1,p2) = 1C . H¢y t¼m vªt tªn còng trong ph¤m trò P ull. Líi gi£i. ∗ Gi£ sû trong ph¤m trò P ull tçn t¤i n½u cho c°p β1 , β2 l  (P, p1 , p2 ) th¼ (p1 , p2 ) ch½nh l  vªt tªn còng c¦n t¼m. ∗ N¸u ph¤m trò P ull khæng tçn t¤i n½u cho c°p β1 , β2 . Gi£ sû (p1 , p2 ) l  vªt tªn còng cõa ph¤m trò P ull th¼ (P, p1 , p2 ) l  n½u (væ lþ). B i tªp 1.8. Chùng minh r¬ng: a. N¸u α l  ìn x¤ th¼ Kerα = 0, nh÷ng ng÷ñc l¤i th¼ ch÷a ch­c; b. N¸u β l  ìn x¤ th¼ Ker(α) = Ker(βα). c. N¸u u : K −→ A l  h¤t nh¥n cõa α : A −→ B v  p : A −→ K ∗ l  èi h¤t nh¥n cõa u th¼ u l  h¤t nh¥n cõa p. Líi gi£i. a. Ta câ 0 α XA X −→ A −→ B 8 www.vnmath.com ∗ α.0XA = 0. ∗ Gi£ sû câ c§u x¤ u0 : K 0 −→ A thäa m¢n i·u ki»n αu0 = 0. V¼ α l  ìn x¤ n¶n u0 = 0XA . Vîi λ = idX ta câ 0XA .λ = u0 . Vªy Kerα = 0. Ph£n v½ dö: X²t ph¤m trò R − Smod c¡c nûa mæun tr¡i. X²t Λ3 = {0, 1, a}, trong â a kh¡c 0 v  1 vîi ph²p to¡n cång ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: + 0 1 a 0 0 1 a 1 1 1 1 a a 1 a Λ3 l  và nhâm cëng giao ho¡n vîi ph¦n tû ìn và l  1. Ta câ N = {0, 1, 2, . . .} vîi ph²p cëng v  nh¥n thæng th÷íng l  nûa v nh. X²t ¡nh x¤ ϕ : N × Λ3 −→ Λ3 (n, x) 7−→ nx = |x + x{z + . . . x} n l¦n Ta câ ∀m, n ∈ N, ∀x, y ∈ Λ3 n(x + y) = (x + y) + . . . (x + y) | {z n l¦n =x + . . . x} + y + y + . . . y | + x{z | n l¦n {z n l¦n = nx + ny 9 } } www.vnmath.com T÷ìng tü (m + n)x = nx + mx (mn)x = m(nx) 1x = x Vªy Λ3 l  mët N − nûa mæun tr¡i. X²t f : Λ3 −→ Λ3 0 7−→ 0 1 7−→ 1 a 7−→ 1 f (0 + 1) = f (1) = 1 = 0 + 1 = f (0) + f (1) T÷ìng tü f (0 + a) = f (0) + f (a) f (1 + a) = f (1) + f (a) f (m1) = mf (1) f (m0) = mf (0) f (ma) = mf (a) Vªy f l  N−çng c§u nûa mæ un tr¡i. X²t K = {x ∈ Λ3 |f (x) = 0} = {0} l  vªt khæng trong R − Smod. X²t 0K 0 K =λ K ~ K 0 BB BB g 0 BB BB g=0 /Λ 10 f 3 / Λ3 www.vnmath.com vîi g : K −→ Λ3 0 7−→ 0 Ta câ f g = f.0KΛ3 = 0KΛ3 . Vîi måi g 0 : K 0 −→ Λ3 thäa f g 0 = 0K 0 Λ3 . Suy ra g 0 = 0. Khi â tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ λ : K 0 −→ K = {0} x 7−→ 0 sao cho gλ(x) = g(0) = 0 = g 0 (x), ∀x ∈ K 0 . Vªy K = Kerf nh÷ng f khæng ìn ¡nh, do â khæng ìn x¤3 . b. Ta chùng minh n¸u tçn t¤i Ker(α) th¼ Ker(βα) công tçn t¤i v  Ker(α) = Ker(βα) v  ng÷ñc l¤i . (=⇒) kerα β α X −→ A −→ B −→ C Ta câ (βα)kerα = β(αkerα) = β0XB = 0XC λ X ~ K 0 AA AA u0 AA AA kerα /A α / B β / C Gi£ sû câ u0 : K 0 −→ A sao cho βαu0 = 0K 0 C , v¼ β l  ìn x¤ n¶n αu0 = 0XB . M  αkerα = 0XB n¶n tçn t¤i duy nh§t λ : K 0 −→ K sao cho ker(α).λ = u0 . 3 Ph£n chùng: khæng khâ º t¼m ra mët ph£n th½ dö. 11 www.vnmath.com Vªy Ker(α) = Ker(βα). (⇐=)4 c. λ K K 0 AA ~ u AA u0 AA AA /A p @@ @@ @ α @@  B } / K∗ γ ∗ Ta câ pu = 0 v¼ p = cokeru. M°t kh¡c αu = 0 n¶n theo t½nh ch§t cõa cokeru tçn t¤i c§u x¤ duy nh§t γ : K ∗ −→ B sao cho γp = α. ∗ Gi£ sû câ u0 : K 0 −→ A thäa m¢n pu0 = 0. Lóc â γpu0 = 0 = αu0 . Do u = kerα n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ λ : K 0 −→ K sao cho uλ = u0 . Vªy u l  h¤t nh¥n cõa p. B i tªp 1.9. Ta gåi t½ch thî cõa mët hå c§u x¤ (βi : Bi −→ B)i∈I ) cõa ph¤m trò C l  t½ch cõa hå vªt (βi : Bi −→ B)i∈I ) trong ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B . Khi méi c§u x¤ βi l  ìn x¤ th¼ t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I ) cán ÷ñc gåi l  giao cõa hå c¡c vªt Bi , k½ hi»u T Bi. i∈I H¢y chùng tä r¬ng n¸u ph¤m trò C câ vªt tªn còng B th¼ 4 rã 12 www.vnmath.com i) Ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B tròng vîi ph¤m trò ¢ cho. ii) T½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I tròng vîi t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I ). Líi gi£i. i) Chùng minh trong ph¤m trò C câ vªt tªn còng th¼ OvB ≡ C . Ta c¦n chùng minh 1−1 1. Ob(C) ←→ Ob(OvB ) f g 2. [X −→ B, Y −→ B] = [X, Y ]C 1. Ta câ vîi méi vªt cõa Ob(OvB ) t÷ìng ùng 1 − 1 vîi méi vªt cõa Ob(C). 1−1 (X −→ B) ∈ Ob(OvB ) ←→ X ∈ Ob(C) f g 2. Ta câ ∀γ ∈ [X −→ B, Y −→ B]OvB , γ : X −→ Y : gγ = f . β α γ ∈ [X, Y ]C . Suy ra [X −→ B, Y −→ B] ⊂ [X, Y ]C . Ng÷ñc l¤i, vîi måi γ ∈ [X, Y ]C , γ : X −→ Y . Khi â gγ : X −→ B ∈ [X, B]. Ta câ f : X −→ B ∈ [X, B] v  do B l  vªt tªn f g còng n¶n gγ = f . Do â γ ∈ [X −→ B, Y −→ f g B]OvB , tùc l  [X, Y ]C ⊂ [X −→ B, Y −→ B]OvB . f g Vªy [X −→ B, Y −→ B] = [X, Y ]C . pi ii) Gi£ sû (P, P −→ Bi )i∈I l  t½ch cõa hå vªt (Bi )i∈I pi trong ph¤m trò C . Ta s³ chùng minh (P, P −→ Bi )i∈I 13 www.vnmath.com l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I . Thªt vªy, ta câ βi pi : P −→ B, βj pj : P −→ B Do B l  vªt tªn còng n¶n βi pi = βj pj , ∀i, j ∈ I Suy ra βi pi ∈ Ob(OvB ). αi ∀X ∈ Ob(C), (X, X −→ Bi )i∈I ta câ βi αi : X −→ B, βj αj : X −→ B Do B l  vªt tªn còng n¶n βi αi = βj αj , ∀i, j ∈ I . Suy ra βi αi ∈ Ob(OvB ). Do P l  t½ch n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ γ : X −→ P sao cho pi γ = αi , ∀i ∈ I . Vªy P l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I . 1.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel B i tªp 1.10. Trong ph¤m trò khîp 1. Chùng minh méi ìn x¤ l  h¤t nh¥n cõa èi h¤t nh¥n cõa nâ 2. Mët c§u x¤ α l  ìn x¤ khi v  ch¿ khi Kerα = 0. Líi gi£i. Trong ph¤m trò khîp, ta câ måi c§u x¤ α : A −→ B thäa α = uv trong â u = ker(cokerα), v = coker(kerα). 14 www.vnmath.com 1. Gi£ sû α l  ìn x¤. Ta chùng minh α = ker(cokerα). V¼ α ìn x¤ n¶n kerα = 0XA . Ta câ v = coker(kerα) = coker0XA = 1A . Vªy α = u1A = ker(cokerα). 2. kerα = 0 =⇒ α ìn x¤. Thªt vªy, gi£ sû câ f, g : X −→ A sao cho αf = αg hay uvf = uvg . V¼ u l  ìn x¤ n¶n vf = vg hay coker(kerα)f = coker(kerα)g . Suy ra 1A f = 1A g , tùc l  f = g . B i tªp 1.11. Trong ph¤m trò cëng t½nh, chùng minh 1. α to n x¤ ⇐⇒ Cokerα = 0. 2. Coequ(α, β) = Coker(α − β). Líi gi£i. Cho α : A −→ B , cokerα : B −→ Y . 1. Ta chùng minh Cokerα = 0 =⇒ α to n x¤. Gi£ sû câ f, g : B −→ Y ∗ sao cho f α = gα th¼ f α − gα = 0 hay (f − g)α = 0. A α / B BB / Cokerα BB BB f −g BB ∗ ~ Y γ Y Lóc â tçn t¤i duy nh§t γ : B −→ Y ∗ sao cho f − g = γcokerα = 0. Vªy f = g , tùc l  α l  to n x¤. 2. Gi£ sû (C, h) = Coker(α − β) tçn t¤i. 5 Ta chùng minh Coequ(α, β) = Coker(α − β). Ta câ 5 Khi Coequ(α, β) tçn t¤i th¼ ta chùng minh t÷ìng tü 15 www.vnmath.com h(α − β) = hα − hβ = 0 n¶n hα = hβ . N¸u câ u : B −→ Z sao chouα = uβ hay u(α − β) = 0 th¼ theo ành ngh¾a cõa èi h¤t nh¥n câ duy nh§t γ : Y −→ Z sao cho γh = u. A α−β / B @@ @@ @ u @@  / h Z  Vªy Coequ(α, β) = Coker(α − β). 16 γ C www.vnmath.com 2 H m tû If you can't solve a problem, then there is an easier problem you can solve, find it.(George P olya) 2.1 Kh¡i ni»m h m tû B i tªp 2.1. Chùng tä c¡c t÷ìng ùng sau ¥y l  h m tû hi»p bi¸n a. T÷ìng ùng HA : C X −→ 7−→ S [A, X]C α X −→ Y 7−→ H A (X) f [A,α]=H A (α) −→ 7−→ H A (Y ) αf trong â C l  mët ph¤m trò tuý þ v  A l  mët vªt cè ành trong ph¤m trò C . b. T÷ìng ùng A ⊗R − : R − Mod −→ Ab X α X −→ Y 7−→ A ⊗R X 1⊗α 7−→ A ⊗R X −→ A ⊗R X trong â A l  mët R − mæun ph£i, R − mod l  ph¤m trò c¡c R − mæun tr¡i. c. T÷ìng ùng HomR (A, −) : R − Mod −→ Ab X α X −→ Y 17 7 → HomR (A, X) − 7−→ HomR (A, α)
- Xem thêm -