Tài liệu Một số phương pháp lặp và điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN ĐỨC TƢỞNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2013 1 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào Cai nơi tôi công tác và Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầy giáo phản biện để luận văn hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia đình và bạn bè trong suốt quá trình làm luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Đức Tưởng 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết quả đạt được của luận văn là trung thực, chưa từng được công bố trong các công trình nghiên cứu nào khác.Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Đức Tưởng 3 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................. .1 LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................... .2 LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................ .4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ......................................................................... .6 1.1.Không gian metric, không gian metric đầy đủ .......................................... .6 1.2.Tô pô trong không gian metric .................................................................. .7 1.3.Ánh xạ liên tục .......................................................................................... .8 1.4.Tập hợp compact và bị chặn ..................................................................... .9 1.5. Không gian véc tơ (không gian tuyến tính)…………………………..…10 1.6. Không gian định chuẩn, không gian Banach……………………………11 1.7. Sai số và số gần đúng ............................................................................... 12 Chương 2 Định lý điểm bất động và phương pháp lặp đơn ............................ 14 2.1. Định lý điểm bất động .............................................................................. 14 2.2. Phương pháp lặp đơn ............................................................................... 21 2.3. Một số phương pháp lặp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính ........ 36 Chương 3 Phương pháp Newton- Kantorovich và phương pháp dây cung .... 44 3.1. Phương pháp Newton –Kantorovich ........................................................ 44 3.2. Một số kiểu biến dạng của phương pháp Newton-Kantorovich………...55 3.3. Phương pháp dây cung để giải phương trình toán tử ............................... 58 3.4. Một số biến dạng của phương pháp nhiều bước để giải phương trình toán tử ................................................................................ 67 3.5. Nguyên lý cực trị cho phương pháp Newton – Kantorovich…………....83 3.6. Một số biến dạng của phương pháp Newton – Kantorovich……………91 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 93 4 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu là các phương pháp lặp, là cơ sở để tìm lời giải số cho nhiều bài toán trong toán học và trong khoa học, kỹ thuật. Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình, phương pháp lặp sử dụng dự đoán ban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thể hội tụ tới nghiệm của bài toán. Cách làm này là cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp là cố gắng giải quyết vấn đề bằng dãy hữu hạn các phép tính. Khi không có sai số thì phương pháp trực tiếp sẽ đưa ra nghiệm chính xác nhưng với phương pháp lặp ta vẫn chỉ có nghiệm gần đúng. Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp sẽ rất tốn kém (và trong một số trường hợp là không thể) ngay cả với khả năng tính toán tốt nhất có sẵn. Hiện nay, việc nghiên cứu các phương pháp lặp một cách tổng quát nhờ áp dụng các kết quả và phương pháp giải tích hàm không những chỉ cho cái nhìn một cách bản chất nhiều phương pháp của giải tích số mà còn cho phép đề ra nhiều thuật toán mới có hiệu quả trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, như đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích phi tuyến…. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp này, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp và điểm bất động”. 2. Mục đích nghiên cứu. - Tìm hiểu một số phương pháp lặp trong việc giải các bài toán tìm nghiệm của một số phương trình trong toán học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết điểm bất động. - Trình bày các phương pháp lặp trong việc giải một số phương trình. 5 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. Các vấn đề của lý thuyết điểm bất động, các phương pháp lặp đơn, Newton-Kantorovich, dây cung và một số vấn đề mở rộng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu. Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích số, phương trình vi phân, phương trình tích phân và đại số. 6. Những đóng góp mới của đề tài. - Đề tài luận văn được trình bày một cách có hệ thống một số phương pháp lặp hay được sử dụng khi giải phương trình toán tử mà sự hội tụ của nó đều liên quan đến ánh xạ co. - Các phương pháp lặp được trình bày có thể được nghiên cứu tiếp để mở rộng cho các không gian trừu tượng hơn. 6 Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ. Định nghĩa 1.1.1. Cho X   , ta gọi là một metric trong X một ánh xạ d từ tích Descartes XX vào tập số thực R thỏa mãn 3 tiên đề sau: i)(x, y X ) d ( x, y)  0, d ( x, y)  0  x  y ii)(x, y X ) d ( x, y)  d ( y, x) iii)(x, y, z X ) d ( x, y)  d ( x, z)  d ( z, y) Không gian metric là cặp (X,d) trong đó: ● X   được gọi là tập nền ● d là metric trong X ● d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y X ● Các phần tử của X gọi là các điểm Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric(X,d). Dãy hội tụ : Dãy xn  X gọi là hội tụ đến a  X nếu (  0) (n0  N * ) :(n  n0 ) thì d ( xn , a)   , kí hiệu: lim xn  a hay xn  a (n  ) n Điểm a còn được gọi là giới hạn của dãy ( xn ) trong không gian metric (X,d) 7 Dãy cơ bản :dãy xn  X gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy )  (  0) (n0  N * ) :(m, n  n0 ) thì d ( xn , xm )    (  0) (n0  N * ) (n  n0 ) (p  N * ) thì d ( xn p , xn )   hay xn là dãy cơ bản  lim d ( xm , xn )  0 m,n hoặc lim d(x n  p , x n ) = 0  p = 1,2,… n  Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ được gọi là không gian metric đủ. 1.2. Tô pô trong không gian metric Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian (X,d), r > 0, a  X Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x  X: d(x,a) < r } là hình cầu mở tâm a, bán kính r. Hình cầu đóng:Ta gọi B’(a, r) = { x  X: d(x,a)  r } là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian (X,d), A  X Tập mở: A được gọi là tập mở nếu x  A thì x là điểm trong của A. Điểm trong : xA được gọi là điểm trong của A nếu   0 : B( x,  )  A. Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu X\A = Ac là tập mở. Quy ước , X vừa là tập đóng vừa là tập mở. 8 Định lý 1.2.1. Trong không gian metric, hình cầu đóng là tập đóng, hình cầu mở là tập mở. Định lý 1.2.2. Cho không gian metric (X,d), F  X F là tập đóng   xn   F và xn  x thì x  F. Định lý 1.2.3. Cho (X,d) là không gian metric thì: a) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là tập mở: G mở    G  là tập mở.  b) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở: Gi là tập mở  i = 1, n  n G i là tập mở. i 1 c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng: Fi đóng  i = 1, n  n Fi là tập đóng. i 1 d) Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập đóng: F đóng  = 1, n  F là tập đóng.  1.3. Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ f: X  Y từ không gian metric ( X , d X ) vào không gian metric (Y , dY ) được gọi là liên tục tại x0 nếu ( > 0), ( > 0) ( x  X): d X ( x, x0 )   thì dY ( f ( x ), f ( x0 ))   . Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A  X thì ta nói f liên tục trên A  X. 9 Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ f: X  Y từ không gian metric ( X , d X ) vào không gian metric (Y , dY ) được gọi là liên tục đều trên A  X nếu ( > 0), (> 0) ( x, x’  X): d X ( x, x ')   thì dY ( f ( x ), f ( x '))   . Hiển nhiên ánh xạ f liên tục đều thì liên tục. 1.4. Tập hợp compact và bị chặn Định nghĩa 1.4.1. Không gian compact Không gian metric (X,d) là không gian compact nếu với mỗi dãy điểm {xn}X,  x nk  x n  : x nk  x  X (k  ) Tập compact: Tập A  X là tập compact nếu không gian con A là không   gian compact nghĩa là  {xn}  A,  x nk  x n  : x nk  x  A (k  ) . Định lý 1.4.1. (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact) Ánh xạ liên tục f: X  Y từ không gian metric ( X , d X ) vào không gian metric (Y , dY ) . K là tập compact trong X thế thì: 1. f liên tục đều trên K 2. f(K) là tập compact trong Y Định nghĩa 1.4.2. Tập hợp bị chặn: Cho A là tập hợp tùy ý trong không gian metric (X,d). Số (A)  sup d(x, y) được gọi là đường kính của tập A, nó có thể là số hữu x,yA hạn hoặc vô hạn. Nếu (A) < thì A được gọi là tập hợp bị chặn Từ đó suy ra A bị chặn  B(a,R): A  B(a,R). 10 1.5. Không gian vectơ (không gian tuyến tính) Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K = R  C ) trên có hai phép toán “+” và “.” thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1) x, y X : x  y  y  x 2) x, y, z X : ( x  y)  z  x  ( y  z) 3) x  X ,  X : x    x 4) x  X , x ' X : x  ( x ')   hay : x  x '   5) x  X ,  ,   K :  ( ( x))  ( ) x 6) x, y  X ,   K :  ( x  y)   x   y 7) x  X ,  ,   K :(   ) x   x   x 8) 1.x  x.1 x  X với 1 là phần tử đơn vị của phép nhân trên trường K. Khi đó X được gọi là không gian vectơ trên trường K Ví dụ. C[a ,b ] = {x(t) liên tục trên [a,b] } được trang bị hai phép toán a) x, y C[ a ,b ] : x  y  x(t )  y(t ) b) x  C[ a ,b ] ,   R : x   x (t ) Khi đó nó là không gian vectơ 11 1.6. Không gian định chuẩn - không gian Banach Định nghĩa 1.6.1. Không gian định chuẩn: Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ . : X  R , thỏa mãn các tính chất sau: a) x  X : x  0 ; x  0  x  0. b) x  X ,   K :  x   x . c) x, y  X : x  y  x  y . Khi đó ánh xạ . được gọi là một chuẩn xác định trên không gian vectơ X. Không gian X cùng với một chuẩn xác định trên nó là một không gian định chuẩn. Kí hiệu là:  X , .  , x là chuẩn của x X. Định nghĩa 1.6.2. Sự hội tụ: Dãy điểm {xn} hội tụ đến a trong không gian định chuẩn X nếu lim xn  a  0    0, n0 : n  n0 thì xn  a   . n Kí hiệu : lim xn  a hay xn  a (n  ). n Định nghĩa 1.6.3. Dãy cơ bản: Dãy điểm xn trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) (> 0) (n0 N *): (m, n  n0) thì xn  xm   .  (> 0) (n0 N *): (n  n0) ( p = 1,2… thì xn p  xn   . 12 Định nghĩa 1.6.4. Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Định lý 1.6.1. Cho không gian định chuẩn X, với mọi x,y X thì: a) x  y  x  y . b) Đặt d ( x, y )  x  y thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi (hay metric tương thích) với chuẩn. Nhận xét:  Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy.  Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy đủ. Định nghĩa 1.6.5. Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K, MX. Khi đó toán tử A: M  Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy {xn} M, n = 1, 2… sao cho xn  x thì Axn  Ax . 1.7. Sai số và số gần đúng 1.7.1. Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng. Ta nói a là số gần đúng của a  , nếu a không sai khác a  nhiều. Đại lượng  : a  a gọi là sai số thật sự của a . Do không biết a  nên ta cũng không biết  . Tuy nhiên, ta có thể tìm được a  0 , gọi là sai số tuyệt đối của a , thỏa mãn điều kiện: a  a  a hay a  a  a  a  a . 13 Đương nhiên, a thỏa mãn điều kiện trên càng nhỏ càng tốt. Sai số tương đối của a là  a : a a . Ví dụ. Đo diện tích hai hình vuông ABCD và A ' B ' C ' D ' ta được a  10cm2 và b  1cm2 với a  b  0.02 . Khi đó ta có  a  0.02  0.2% 10 0.02  2% hay  b  10 a . Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác 1 hơn hẳn phép đo b mặc dù a  b . Như vậy độ chính xác của một phép đo còn  b  phản ánh qua sai số tương đối. 1.7.2. Chữ số chắc Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác "0" và cả "0" , nếu nó kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại. Ví dụ. a  0.0030140 . Ba chữ số "0" đầu không có nghĩa. Mọi chữ số có nghĩa  i của a     p10 p  ...   ps10 ps  gọi là chữ số chắc, nếu a    10i . trong đó  là tham số cho trước. Tham số  được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc. Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a trước khi thu gọn là  i . Để i 1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có a  a    10i 1 . Suy ra   10i  0.5  10i 1    10i 1 5 hay   . Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu   0.5    1 . 9 Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi tính toán sai số chỉ tác động đến các chữ số không chắc mà thôi. 14 Chƣơng 2 Định lý điểm bất động và phƣơng pháp lặp đơn 2.1. Định lý điểm bất động Định nghĩa Cho ( X ,  ) là không gian metric. Ánh xạ A : X  X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số  thỏa mãn 0    1 sao cho với bất kỳ hai điểm x, y  X ta có  ( Ax, Ay)   ( x, y) (2.1) Hiển nhiên ánh xạ co là liên tục đều. Điểm x*  X được gọi là điểm bất động của A nếu ta có Ax*  x *. Nói cách khác, điểm bất động của ánh xạ A chính là nghiệm của phương trình Ax  x . Định lý 2.1. (Banach). Nếu A là ánh xạ co, đi từ không gian metric đủ ( X ,  ) vào chính nó thì A có duy nhất một điểm bất động và điểm đó có thể nhận được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ ban đầu tùy ý x0  X . Chứng minh. Lấy x0  X tùy ý. Dãy {xn } được xác định bởi công thức xn  Axn1  ...  An x0 là dãy Cauchy. Thật vậy, với m  n và theo (2.1), ta có  ( xn , xm )   ( An x0 , Am x0 )   ( An1x0 , Am1x0 )   2  ( An2 x0 , Am2 x0 )  ...   n  ( x0 , Amn x0 )   n  ( x0 , xmn )   n   ( x0 , x1 )   ( x1, x2 )  ...   ( xmn1, xmn )    n  ( x0 , x1 ) 1     2  ...   mn1  n   ( x0 , x1 ) 1 15 Từ đó  ( xn , xm )  0 khi m, n  0 . Vì X đủ nên {xn } có giới hạn là x*  X . Vì A liên tục nên Ax*  A(lim xn )  lim Axn  lim xn1  x * . n n n Tính duy nhất được suy ra từ điều kiện (2.1). Giả sử x*, y* X sao cho Ax*  x * và Ay*  y * . Khi đó theo (2.1)  ( Ax*, Ay*)   ( x*, y*)   ( x*, y*) nên  ( x*, y*)  0 (do   1 ) hay là x*  y * . Chú ý 2.1. Ánh xạ A thỏa mãn điều kiện  ( Ax, Ay)   ( x, y) (2.2) với mọi cặp x  y , x, y  X có thể không có điểm bất động trong X . Chẳng hạn Ax  x  1 x ánh xạ nửa đường thẳng 1,  vào chính nó và thỏa mãn (2.2) nhưng không có điểm bất động trên nửa đường thẳng đó. Thông thường người ta xét các ánh xạ co xác định trên toàn không gian X hoặc trong hình cầu S  X . Trong trường hợp ánh xạ co được xét trong hình cầu S , định lý 2.1 thường được phát triển dưới dạng sau đây. Định lý 2.2. Giả sử A là ánh xạ co trong hình cầu đóng S   x :  x, y0   r của không gian metric đủ X , tức là   Ax, Ay     x, y  với mọi x, y  S . Ngoài ra giả thiết 16   Ay0 , y0   1    r (2.3) Khi đó trong S tồn tại duy nhất một điểm bất động của A . Để chứng minh định lý 2.2 ta chỉ cần kiểm tra AS  S . Vì với x  S ta có   Ax, y0     Ax, Ay0     Ay0 , y0     x, y0   1    r  r suy ra AS  S . Hình cầu đóng S là không gian con đủ trong X nên có thể áp dụng định lý 2.1. Dưới đây ta đưa ra một cách chứng minh định lý 2.1 đôi khi có lợi cho việc xây dựng phương pháp gần đúng. Giả sử   x  là một phiếm hàm bị chặn dưới. Khi đó tồn tại d  inf   x  . xD   Dãy  xn   n  1,2,... , xn  D    được gọi là dãy cực tiểu của phiếm hàm  nếu ta có lim   xn   d . n Xét phiếm hàm liên tục, không âm   x    ( x, Ax) . Gọi  xn  là dãy cực tiểu nào đó của   x  , khi đó lim   xn   inf   x   d . n Ta có xD   d    Axn     Axn , A2 xn     xn , Axn      xn  hay là d   d , suy ra d  0 . Mặt khác   xn , xm     xn , Axn     Axn , Axm     xm , Axm     xn     xm     xn , xm    xn     xm   0 khi n, m   . 1 Vì X đủ nên tồn tại x*  lim   xn   0 hay x*  Ax * .   xn , xm   n Tính duy nhất được chứng minh tương tự như trên. Chú ý 2.2. Trong chú ý 2.1 ta đã thấy nếu A chỉ thỏa mãn điều kiện (2.2) thì định lý 2.1 chưa chắc đúng. Tuy vậy nếu miền giá trị của A là tập compact thì định lý vẫn đúng. 17 Định lý 2.3. Giả sử A ánh xạ tập đóng M của không gian metric đủ X vào tập compact M và thỏa mãn điều kiện (2.2). Khi đó ánh xạ A có điểm bất động duy nhất trong M . Chứng minh. Để chứng minh ta lại xét phiếm hàm   x    ( x, Ax) . Vì đó là phiếm hàm liên tục, không âm nên tại một điểm x * nào đó trong tập compact M nó sẽ đạt giá trị cực tiểu. Giá trị cực tiểu đó bằng 0, vì nếu ngược lại ta có   Ax *   ( Ax*, A2 x*)   ( x*, Ax*)  min   x  xM điều đó vô lý. Bởi vậy   x *  0 và do đó x * là điểm bất động của ánh xạ A . Tính duy nhất được chứng minh tương tự như ở định lý 2.2. Chú ý 2.3. Ánh xạ A thỏa mãn điều kiện của định lý 2.3 không nhất thiết là ánh xạ co trên M cũng như trên A  M  . Có thể thấy điều đó qua ví dụ đơn giản sau đây: Ánh xạ x2 Ax  x  2 biến đoạn  0,1 vào chính nó và thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.3; tuy vậy nó không phải là ánh xạ co. Dưới đây ta nêu lên mà không chứng minh một định lý quan trọng về sự tồn tại của điểm bất động, định lý Schauder. Định lý 2.4. Giả sử ánh xạ liên tục A ánh xạ tập đóng, lồi M của không gian Banach X vào chính nó và A  M  là compact. Khi đó ánh xạ A có điểm bất động duy nhất trong M . Trong nhiều trường hợp việc đưa vào một tham biến mới làm đơn giản cách giải bài toán và sau đó nghiệm của phương trình xuất phát được xem như là một giá trị của nghiệm bài toán mới ứng với một giá trị cố định của tham 18 biến. Vì thế việc xét tính liên tục của nghiệm phụ thuộc vào tham biến trong trường hợp này rất quan trọng. Khái niệm về ánh xạ co đều có lợi cho việc xét các vấn đề trên. Giả sử có hai không gian Banach X , X 1 và S là hình cầu x  x0  r trong X và S1 là hình cầu z  z0  r1 trong X 1 . Toán tử A( x; z ) tác dụng trong không gian X và phụ thuộc vào tham biến z  S1 được gọi là ánh xạ co đều nếu với mọi z  S1 ta có A( x; z )  A( y; z )   x  y , x, y  S (2.4) trong đó 0    1 và không phụ thuộc z . Ta có định lý sau đây : Định lý 2.5. Giả sử ánh xạ A  x; z  liên tục theo z với mỗi x cố định và với mỗi z  S1 biến cầu S vào trong nó. Nếu A  x; z  là ánh xạ co đều trong S thì phương trình x  A  x; z  (2.5) có trong hình cầu S nghiệm duy nhất x*  x *( z ) liên tục theo z . Chứng minh. Định lý 2.1 đã khẳng định sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đó. Ta chỉ cần chứng minh tính liên tục theo z . Thực vậy, theo (2.4) ta có x * ( z0 )  x * ( z )  A( x * ( z0 ); z0 )  A( x * ( z ); z )  A( x * ( z0 ); z0 )  A( x * ( z0 ); z )  A( x * ( z0 ); z )  A( x * ( z ); z )  A( x * ( z0 ); z0 )  A( x * ( z0 ); z )   x * ( z0 )  x * ( z ) từ đó x * ( z0 )  x * ( z )  1 A( x * ( z0 ); z0 )  A( x * ( z0 ); z ) . 1 19 Vì A liên tục theo z với mỗi x cố định nên ta suy ra x *( z) liên tục tại điểm z0  S1 . Định lý được chứng minh. Dưới đây ta sẽ chứng minh định lý tổng quát hơn trong không gian metric. Giả sử X là không gian metric với metric  ( x, y) , ánh xạ A được gọi là ánh xạ co suy rộng nếu  ( Ax, Ay )  q  ,    ( x, y ) ,    ( x, y )    0     và q  ,    1 trong đó (2.6) (2.7) Chẳng hạn, nếu A thỏa mãn bất đẳng thức  ( Ax, Ay )   ( x, y )     ( x, y )  (2.8) với  (u) là một hàm liên tục, dương khi u  0 thì A là ánh xạ co suy rộng. Ta có định lý sau đây Định lý 2.6. Giả sử ánh xạ co suy rộng A ánh xạ không gian metric đủ X vào chính nó. Khi đó phương trình x  Ax (2.9) có nghiệm duy nhất x * trong X . Dãy xấp xỉ liên tiếp xn  Axn1 ,  n  1,2,... (2.10) Với xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý sẽ hội tụ về nghiệm đó. Chứng minh. Xét dãy số  n    xn , xn1   n  1,2,... Theo điều kiện (2.6) dãy số đó là dãy không tăng. Gọi  * là giới hạn của dãy. Nếu  *  0 thì với N đủ lớn và mọi m  1,2,... ta có bất đẳng thức (cũng do điều kiện (2.6))  N m   q( *, * 1) ( * 1) . m