Tài liệu Một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit - thpt chuyên quảng bình

Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản. Dạng 1. a f ( x ) = a g ( x )  a = 1  x ∈ D f ∩ Dg ⇔   a > 0, a ≠ 1     f ( x) = g ( x)  a = 1   f ( x) = b Dạng 2. a f ( x ) = b ⇔  a > 0, a ≠ 1, b > 0    f ( x) = log a b a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) log a b Dạng 3.  a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 2. Phương trình mũ biến ñổi về dạng tích. VD1. Phương trình: 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 ⇔ (4 + 5x )(3x +1 − 5) = 0 (ðHuế - D2001) x −3 x − 2 x −3 x−2 VD2. Phương trình: 2 .3 − 2.2 − 3.3 + 6 = 0 ⇔ (2 x −3 − 3)(3x −2 − 2) = 0 3. Biến ñổi tương ñương. VD. Giải phương trình 4lg10 x − 6lg x = 2.3lg100 x (1) 2 1+ lg x (1) ⇔ 4 −6 lg x 2 + 2lg x = 2.3 ⇔ 4.2 2lg x −6 lg x 2lg x = 18.3 2 ⇔ 4  3 2lg x 2 −   3 lg x − 18 = 0  2 lg x 9   = 4 1 3 ⇔ ⇔ lg x = −2 ⇔ x =  2 lg x 100   = −2  3  4. Các phương trình mũ không mẫu mực. VD1. Giải phương trình 4 x+1 + 2 x + 4 = 2 x+ 2 + 16 HD. 4 x+1 + 2 x+ 4 = 2 x + 2 + 16 ⇔ 4.4 x + 16.2 x = 4.2 x + 16 ⇔ 4.22 x + 12.2 x − 16 = 0 ðặt 2 x = t > 0 VD2. Giải phương trình 4 x −3 x + 2 + 4 x +6 x +5 = 42 x +3 x +7 + 1 HD. ðặt u = 4 x −3 x +2 , v = 4 x +6 x+5 ⇒ uv = 42 x +3 x +7 Pt ñã cho tương ñương u + v = uv + 1 ⇔ (u - 1)(1 - v) =0 2 2 2 2 2 2 x VD3. Giải phương trình 4.3x − 9.2 x = 5.6 2 Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 1 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình x x  3  2 HD. 4.3 − 9.2 = 5.6 ⇔ 4.3 − 9.2 = 5.( 6) ⇔ 4.   − 9   − 5 = 0  2  3 x x 2 x x x x x x  3  2 1 ðặt t =   > 0 ⇒   =  2  3 t VD4. Giải phương trình 4 x + 5x = 9 x HD. i) x = 1 là nghiệm x x 4 5 ii) 4 x + 5x = 9 x ⇔   +   = 1 9 9 x x x x x x x x 4 4 5 5 4 5 x < 1:   >   ,   > ⇒   +   > 1 9 9 9 9 9 9 4 4 5 5 4 5 x > 1:   <   ,   < ⇒   +   < 1 9 9 9 9 9 9 VD5. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm, có nghiệm duy nhất: 1 3 x −1 = 3m − 2  1  3x −1 , 1 HD. Ta có y = 1− x =  3  1 ,  31− x  x nếu x ≥ 1 3  1  , nếu =   3  nếu x ≤ 1  1 .3x , nếu  3 x ≥1 x ≤1 Vẽ ñồ thị và dựavào ñồ thị, ta có kết quả: 2 < m ≤1. 3 ii) Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m - 2 = 1 ⇔ m = 1. i) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 < 3m - 2 ≤ 1 ⇔ * Bài tập luyện tập: 1. Giải phương trình: 2x 2 +4 + 2x 2 2 2 4 2 −1 + 2x 2 6 6 + 1956 x + 1958x + 1979 x + 1981x + 1976 x + 1982 x = 54 +1 =5 2. Giải phương trình: 2x 4 +5 3. Giải phương trình: 4.( 5 − 1)4 x −3 − 3( 5 + 1)4 x −3 = 2 4 x −3 4. Giải phương trình: (2 + 2)log 2 x + x(2 − 2)log2 x = 1 + x 2 5. Giải phương trình: (2 + 3)3 x + 2(2 + 3)2 x − 2(2 − 3) x = 1 6. Giải phương trình: Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 2 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình (26 + 15 3) x + 2(7 + 4 3) x − 2(2 − 3) x = 1 7. Giải phương trình: 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0 8. Giải phương trình: (cos720 ) x + (cos360 ) x = 3.2− x 9. Giải phương trình: x 2 −5 4 x− − 12.2 x −1− x2 −5 +8 = 0 10. Giải phương trình: 4x 2 +x 2 2 + 21− x = 2( x +1) + 1 11. Giải phương trình: 3.25x − 2 + (3x − 10)5x − 2 + 3 − x = 0 x x 7+3 5 7−3 5  12. Cho ph−¬ng tr×nh:   + a  =8 2 2     1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi a = 7. 2. BiÖn luËn theo a sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh. 13. Giải phương trình: 1956 x + 1958 x + 1979 x + 1981x + 2001x = 5 . 14. Giải phương trình: 2 2 4sin x + 2.cos x = 2 + 2 2 15. Giải phương trình: x x = x II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Các biến ñổi logarit (trong R ). • ðịnh nghĩa: loga x = y ⇔ x = a y ; ∀x > 0, (a > 0, a ≠ 1) • Số 0 và số âm không có logarit. • loga1 = 0 , (a > 0, a ≠ 1) • ðịnh nghĩa: • Lôgarit hoá: loga a = 1 , (a > 0, a ≠ 1) x = log a a x , ∀x, (a > 0, a ≠ 1) • x = a loga x ; ∀x > 0, (a > 0, a ≠ 1) loga xy = loga x +loga y , xy ≠ 0 , (a > 0, a ≠ 1) • log a • Mũ hoá: x = log a x − log a y , xy ≠ 0 , (a > 0, a ≠ 1) y α • loga x = α loga x , ∀x ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 3 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình log a 1 = − log a x , ∀x ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) x 1 loga n x = loga x , ∀x ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) n • 1 logaα x = loga x , ∀x ≠ 0,α ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) α log 1 x = − loga x , ∀x ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) a log 1 x = − loga x , ∀x ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) a log a 1 = − log a x , ∀x ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) x logn a x = n loga x , ∀x ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) α α log x loga x , ∀x ≠ 0,β ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) = β • a β loga y = yloga x , ∀x > 0, y > 0, x ≠ 1, y ≠ 1,(a > 0, a ≠ 1) • x • ðổi cơ số: loga x = loga b.logb x , ∀x ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) loga b.logba = 1,(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) loga1 a2.loga2 a3...logan - 1 an .logan a1. = 1,(ai > 0, ai ≠ 1, i = 1, n) • Xuân Bang: loga x logb y = logb x loga y , ∀xy ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) • Chú ý các biến hoá mũ và logarit: VD: ( a) n log m x n a =a m log a x n n =a log a x m m = x , x ≠ 0, (a > 0, a ≠ 1; m, n ∈ N∗ \{1}) 2. Phương trình logarit (trong R ). 2.1. Dạng cơ bản. a > 0, a ≠ 1 Dạng 1. log a f ( x) = log a g ( x) ⇔  f ( x) = g ( x)  f ( x) > 0 (hay g ( x) > 0)  Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 4 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình VD. Giải phương trình log 4 x + log 1 ( x − 2) = 0 2 1 HD. log 4 x + log 1 ( x − 2) = 0 ⇔ log 2 x − log 2 ( x − 2) = 0 ⇔ log 2 x = log 2 ( x − 2) 2 2  x = x − 2  x − x + 2 = 0  x = −1 ∨ x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x=4  x − 2 > 0  x > 2  x − 2 > 0 a > 0, a ≠ 1 Dạng 2. log a f ( x) = b ⇔  b  f ( x) = a VD. Giải phương trình log 3 x + log 3 ( x + 2) = 2 HD. log 3 x + log 3 ( x + 2) = 2 ⇔ log 3 x + 2 log 3 ( x + 2) = 2 ⇔ log 3 x + log 3 ( x + 2) 2 = 2 ⇔ log 3 x( x + 2) 2 = 2 2 ⇔ x(x + 2) = 9 a, b > 0; a, b ≠ 1; a ≠ b ⇔ f ( x) = 1 log a f ( x) = log b a log a f ( x) Dạng 3. log a f ( x) = log b f ( x) ⇔  VD. Giải phương trình log 2 (sin x) = log3 ( sinx) HD. log 2 (sin x) = log3 ( sinx) ⇔ log 2 (sin x) = log3 2 log 2 ( sinx) ⇔ log 2 ( sinx).(log3 2 − 1) = 0 ⇔ log 2 ( sinx) = 0 ⇔ sin x = 1 Dạng 4. log a f ( x) = log b g ( x) a, b > 0; a, b ≠ 1; a ≠ b ðặt log a f ( x) = log b g ( x) = t ⇔ a f ( x ) = t : Khử x trong hệ, giải  g ( x) =t a phương trình ẩn t. VD1. Giải phương trình log 2 (sin x) = log3 (cos x) HD. log 2 (sin x) = log3 (cos x) = t . Ta có hệ: 2 t sin x = 2t sin x = 4 ⇔ 4t + 9t = 1 : Vô nghiệm ⇔ 2  t t cos x = 3 cos x = 9 VD2. Giải phương trình 2 log3 (cot x) = log 2 (cos x) HD. §Æt 2log 3 cotx = log 2 cosx = t ta cã: cos 2 x = 4t cos 2 x = 4t cos 2 x = 4t cos x = 2t  2   t  2 4t  cos x  2 4 t t ⇔ 2 =3 ⇔ sin x = t ⇔  t + 4t = 1 cot x = 3 3 cos x > 0, cot x > 0  sin x  3  cos x > 0,sin x > 0 cos x > 0,sin x > 0 cos x > 0,sin x > 0    Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 5 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình cos 2 x = 4t 1  π  cos x = ⇔ t = −1 ⇔ 2 ⇔ x = + k 2π 3  sin x > 0 cos x > 0,sin x > 0 2.2. Biến ñổi tương ñương. VD1. Giải phương trình log 5 x + log 3 x = log 5 3log 9 225 HD. log 5 x + log 3 x = log 5 3log 9 225 ⇔ l o g5 x + l o g 3 x = l o g 5 15 ⇔ l o g5 3.l o g3 x + l o g3 x = 1 + l o g 5 3 ⇔ (1 + l o g5 3) l o g3 x = 1 + l o g 5 3 ⇔ log3 x = 1 ⇔ x = 3 VD2. Giải phương trình l o g 2 2 + l o g 2 4 x = 3 x HD.  x > 0, x ≠ 2  x > 0, x ≠ 2   l o g 2 2 + l o g2 4x = 3 ⇔  ⇔ 1 1 x 1 − lo g x + 2 + lo g 2 x = 3 1 − lo g x + lo g 2 x = 1 2 2    x > 0, x ≠ 2  x > 0, x ≠ 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x = 1, x = 4 lo g 2 x = 0 ∨ lo g 2 x = 2 lo g 2 x − 2lo g 2 x = 0 2.3. Biến ñổi về tích. VD1. Giải phương trình x 2 (lg( x − 1) − x lg x − lg x 2 + x + 2 = 0 HD. ðK x > 0 Ptrình ⇔ x 2 (lgx − 1) − x lg x − 2 lg x + x + 2 = 0 ⇔ x 2 (lgx − 1) − x(lg x − 1) − 2(lg x − 1) = 0 ⇔ ( x 2 - x - 2)(lgx − 1) = 0 VD2. Giải phương trình log 3 x +7 (9 + 12 x + 4 x 2 ) + log 2 x +3 (21 + 23x + 6 x 2 ) = 4 HD. Ptrình ⇔ log 3 x +7 (2 x + 3) 2 + log 2 x+3 (2 x + 3)(3x + 7) = 4 2 x + 3 > 0, 2 x + 3 ≠ 1 3x + 7 > 0,3 x + 7 ≠ 1 ðK:  Phương trình ñã cho tương ñương với: 2 log3 x + 7 (2 x + 3) + 1 + log 2 x +3 (3x + 7) = 4 ⇔ 2 log3 x + 7 (2 x + 3) + log 2 x +3 (3x + 7) = 3 1 1   2t 2 − 3t + 1 = 0 2t + = 3 t = 1, t = ⇔ ⇔ ⇔ 2 t t = log3 x + 7 (2 x + 3) t = log 3 x + 7 (2 x + 3) t = log 3 x + 7 (2 x + 3)  log 3 x + 7 (2 x + 3) = 1  2 x + 3 = 3x + 7  x = −4  x = −4  ⇔ ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 1  log 3 x + 7 (2 x + 3) =  4 x + 12 x + 9 = 3x + 7 4 x + 9 x + 2 = 0  2 x + 3 = 3x + 7  2 Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 6 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x = −4 1 ⇔ ⇒x=−  x = −2, x = − 1 4 4  2.4. Giải phương trình trên từng tập con của tập xác ñịnh. ) ( VD. Giải phương trình log x +3 3 − 1 − 2 x + x 2 = ( ) HD. log x +3 3 − 1 − 2 x + x 2 = 1 2 3 − 1 − x = x + 3 1 1 ⇔ log x +3 ( 3 − 1 − x ) = ⇔  2 2  x + 3 > 0, x + 3 ≠ 1 i) - 3 < x ≤ 1, x ≠ - 2: Pt tương ñương: 2 + x ≥ 0  x ≥ −1 ⇔ 3 − (1 − x) = x + 3 ⇔ x + 3 = 2 + x ⇔  ⇔ 2 2 x + 3 = 4 + 4x + x  x + 3x + 1 = 0 −3 + 5 −1 ≤ x ≤ 1 ⇒ x = 2 ii) x ≥ 1: Pt tương ñương: 4 − x ≥ 0 x ≤ 4 3 − (1 − x) = x + 3 ⇔ x + 3 = 4 − x ⇔  ⇔ 2 2  x + 3 = 16 − 8 x + x  x − 9 x + 13 = 0 1 ≤ x ≤ 4 9 − 29  ⇔ 9 ± 29 ⇔ x = 2 x =  2 2.5. Các phương trình logarit không mẫu mực. VD1. Giải phương trình log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2 x − x 2 HD. x > 0. 1  log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2 x − x 2 ⇔ log 3  1 + x +  = −(1 − x) 2 + 1 x  1 1 1  x + ≥ 2 ⇒ 1 + x + ≥ 3 ⇒ log 3 1 + x +  ≥ 1 x x x  2 Mặt khác −(1 − x) + 1 ≤ 1  1  log 3  1 + x +  = 1 x ⇔ x =1 Phương trình tương ñương   −(1 − x)2 + 1 = 1  VD2. Giải phương trình lg( x 2 − x − 6) + x = lg( x + 2) + 4 .  x2 − x − 6 > 0 ( x + 2)( x − 3) > 0 ⇔ ⇔ x −3 > 0 ⇔ x > 3 x + 2 > 0 x + 2 > 0 Phương trình tương ñương với: lg( x − 3) = 4 − x HD. ðK  Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 7 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình * x = 4 là nghiệm * x > 4: lg( x − 3) > 0, 4 − x < 0 * 3 < x < 4: lg( x − 3) < 0, 4 − x > 0 **) Có thể nói, trên (3; + ∞ ): y = lg( x − 3) < 0 ñồng biến, còn y = 4 - x nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 4. VD3. Giải phương trình ( x + 2) l o g 32 ( x + 1) + 4( x + 1)lo g 3 ( x + 1) − 16 = 0 HD. ðK: x > - 1 Do x > - 1 nên x + 2 ≠ 0. ðặt lo g3 ( x + 1) = t , phương trình trở thành: ( x + 2)t 2 + 4( x + 1)t − 16 = 0 2 2 ∆ = 4(x + 1) + 16(x + 2) = (2x + 6) 80 log 3 ( x + 1) = −4  t = −4  x=− −2( x + 1) ± (2 x + 6)    t= ⇒ 81 4 ⇒ 4 ⇒ t = x+2 log 3 ( x + 1) =  x+2  x+2  x = 2 (Xem phương trình không mẫu mực) log6 x VD4. Giải phương trình l o g2 ( x + 3 HD. ðặt l o g 6 x = t ⇔ x = 6t ) = l o g6 x t 3 Phương trình ñã cho tương ñương l o g 2 (6 + 3 ) = t ⇔ 6 + 3 = 2 ⇔ 3 +   = 1 2 t t t t t t t = - 1 là nghiệm(xem phương trình không mẫu mực) VD5.Giải phương trình 2.2( HD. ðK: x ≥ 2 x−2 ) 2 = log 2 (2 x) 2 x −1 = log 2 (2 x) 2 x −1 − log 2 (2 x) = 0 (*) 2.2 = log 2 (2 x) ⇔  ⇔ x ≥ 2 x ≥ 2 ðặt f(x) = 2 x −1 − log 2 (2 x), x ≥ 2 1 ,x ≥ 2 Suy ra f '(x) = 2 x −1 ln 2 − x ln 2 1 f "(x) = 2 x −1 ln 2 2 + 2 > 0, ∀x ≥ 2 . x ln 2 ⇒ Trên (0; + ∞ ) ñồ thị f(x) lõm và f(1) = 0, f(2) = 0 ⇒ (0; + ∞ ) phương trình ( x−2 ) 2 f(x) = 0 có ñúng hai nghiệm. Vậy phương trình (*) có ñúng một nghiệm x = 2 thoả ñk x ≥ 2 . Luyện tập: log10x -6logx = 2.3log100 x 1. Giải phương trình 4 2 2. Giải phương trình ln(sin 2 x) − 1 + sin 3 x = 0 3. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất: log 2 2 + 7 ( x − m + 1) + log 2 2 − 7 ( mx − x 2 ) Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 8 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 4. Tìm tất cả các giá trị m ñể tổng bình phương các nghiệm của phương trình sau lớn hơn 1: 2 log 4 (2 x 2 − x + 2m − 4m 2 ) + log 1 ( x 2 + mx − 2m 2 ) = 0 2 5. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a: 2 log x − log( x − 1) = log a 6. Giải phương trình log 7 x = log 3 ( x + 2) ( 7. Giải phương trình: 2 + 2 ) log 2 x ( + x 2− 2 ) log 2 x = 1 + x2 8. Tìm tất cả các giá trị k ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt, có 3 2 − x−k log 2 ( x 2 − 2 x + 3) + 2− x + 2 x log 1 (2 x − k + 2) = 0 nghiệm phân biệt: 4 2 log x 2 log x 2 log x +1 −3 +3 =0 9. Giải phương trình: 2 x+1 10. Giải phương trình: (x - 1)log53 + log5(3 + 3) = log5(11.3x - 9) 2 13. Giải phương trình: 4log 2 2 x − x log 2 6 = 2.3log 2 4 x log x log x log 27 14. Giải phương trình: 4 9 − 6.2 9 + 2 3 = 0 2 2 15. Giải phương trình: 22log3 ( x −16) + 2log3 ( x −16)+1 = 24 ðại học, cao ñẳng 2002 - 2008: 16. Giải phương trình: 16 log 27 x x − 3log3 x x 2 = 0 3 1 1 log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1)8 = log 2 (4 x) 2 4 x 18. Giải phương trình: log 5 ( 5 − 4 ) = 1 − x 17. Giải phương trình: 2 19. Tìm m ñể phương trình 4 ( log 2 x ) − log 1 x + m = 0 có nghiệm thuộc 2 khoảng (0; 1) x3 1 3 20. Giải phương trình: log 3 − log 3 = + log 2 x x 3 2 21. Cho phương trình: log 2 x + log 2 x + 1 − 2m − 1 = 0 . 1) Giải phương trình khi m = 2 2) Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 1;3 3  3 3 22. Giải phương trình: log4 (x − 1) + 1 log2x +1 4 = 1 + log2 x + 2 2 2 23. Giải phương trình: log3 (x − 1) + log 3 (2x − 1) = 2 24. Giải phương trình: (2 − log3 x ) log9 x 3 − Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 9 4 =1 1 − log3 x Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 25. Giải phương trình: (2 − log3 x ) log9 x 3 − 4 =1 1 − log3 x 26. Giải phương trình: log x 2 + 2 log 2 x 4 = log 27. Giải phương trình: log 2x 8 3 x + 1 − log 1 ( 3 − x ) − log8 ( x − 1) = 0 2 2 28. Giải phương trình: log 3 ( 3 − 1) log 3 ( 3x+1 − 3) = 6 x 1 4 x +1 + 2 = 0 29. Giải phương trình: 2 ( log 2 x + 1) log 4 x + log 2 = 0 30. Giải phương trình: log 22 ( x + 1) + 6 log 2 31. Giải phương trình: log 2 (4 x + 15.2 x + 27) + 2 log 2 1 =0 4.2 x − 3 32. Giải phương trình: log2 (4x +15.2x + 28)log3(x2 −3x +3) = log 1 (4x +15.2x + 28)log 2 (x2 −3x +3) 3 III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Phương pháp giải 1. Biến ñổi về tích. 2. Giải hệ trên từng tập con của tập xác ñịnh. 3. Biến ñổi tương ñương. 4. Sử dụng các phương pháp giải phương trình không mẫu mực. • ðặt ẩn phụ. • ðối lập. • PP hàm số dự ñoán và chứng minh không còn nghiệm. • Khảo sát hàm số. • Dùng dấu hiệu cần và ñủ. • Dùng min max. • PP toạ ñộ và PP hình học x y e − e = ( log 2 y − log 2 x ) ( xy + 1) VD1. Giải hệ phương trình  2 2  x + y = 1 HD. ðK: x > 0, y > 0. Ta có từ ñiều kiện : xy + 1 > 0 Nếu x > y > 0 thì e x > e y , log 2 x > log 2 y ⇒ e x − e y > 0, log 2 y − log 2 x < 0 ⇒ e x − e y > 0, ( log 2 y − log 2 x ) ( xy + 1) < 0 Nếu 0 < x < y thì ⇒ e x − e y < 0, ( log 2 y − log 2 x ) ( xy + 1) > 0 . Suy ra x = y = ± 1 . 2 Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 10 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình log 4 ( x 2 + y 2 ) − log 4 2 x + 1 = log 4 ( x + 3 y ) VD2. Giải hệ phương trình  x 2 log 4 ( xy + 1) − log 4 (4 y + 2 y − 2 x + 4) = log 4 y − 1  HD. ðKiện: x >, y > 0, 4y2 + 2y - 2x + 4 > 0. Hệ phương trình ñã cho tương ñương: log 4 4( x 2 + y 2 ) = log 4 2 x( x + 3 y )  x  2 log 4 4( xy + 1) = log 4 y (4 y + 2 y − 2 x + 4)  4( x 2 + y 2 ) = 2 x( x + 3 y ) 2 2 ( x − y )( x − 2 y ) = 0   x − 3xy + 2 y = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x   2 2 2  xy − x + 2 x − 2 y = 0  xy − x + 2 x − 2 y = 0 4( xy + 1) = y (4 y + 2 y − 2 x + 4)   x − y = 0   x − y = 0  x − y = 0 x = y  x = y = 2  2 − x = 0 x = y ( x − y )( x − 2 y ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = y = 0 ( x − y )(2 − x) = 0  x = 2, y = 1  x − 2 y = 0    x − y = 0  x = 2, y = 1   x − 2 y = 0  2 − x = 0  y  x e = 2007 − 2 y −1 VD3. B2007-TK2. Chứng minh rằng hệ  có ñúng 2 ey = 2007 − x  x2 − 1 nghiệm thỏa mãn ñiều kiện x > 0, y > 0. t HD. ðặt: f(t) = et, g ( t ) = t2 −1 −1 ;g/ (t) = (t − 1) 2 3 2 < 0, ∀ t > 1 Ta có f tăng trên và g giảm trên từng khoảng Xác ñịnh. f (x ) + g(y ) = 2007 f (y ) + g(x ) = 2007 Hệ phương trình (1) ⇔  ⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (∗) Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) < g(x) ( do(∗) ) ⇒ y > x ( do g giảm ) ⇒ vô lý. Tương tự khi y > x cũng dẫn ñến vô lý. Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 11 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình x  x Do ñó, (1) ⇔ (2) e + x 2 − 1 − 2007 = 0 Xét: h(x ) = ex + x = y x x2 − 1 − 2007 (|x| > 1 ) Nếu x < –1 thì h(x) < e–1 – 2007 < 0 ⇒ hệ vô nghiệm Khi x > 1 ⇒ h' (x ) = e x − h '' ( x ) = ex + 1 (x 2 3 ) ( ) = ex − x2 − 1 −1 2 5 − 3 2 x − 1) 2 .2x = ex + ( 2 3x (x 2 − 1) 5 2 − 3 2 >0 h ( x ) = +∞ và lim h(x ) = +∞ , xlim →+∞ x →1+ Vậy h(x) liên tục và có ñồ thị là ñường cong lõm trên (1, +∞) Do ñó ñể chứng minh (2) có 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn tại x0 > 1 mà h(x0) < 0 Chọn x0 = 2 ⇒ h ( 2 ) = e2 + 2 − 2007 < 0 3 Suy ra: h(x) = 0 có ñúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1 VD4. D2006. Chứng minh rằng với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. e x - e y = ln(1 + x) - ln(1 + y)   y-x=a y = x + a HD. Hệ ñã cho ⇔  ðặt f(x) = e x + a x+a - e x + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) = 0 e - e x + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) , x > - 1. lim f ( x) = −∞, lim f ( x) = +∞ , f '(x) > 0, ∀x > −1 . Suy ra hệ có nghiệm duy x →−1+ x →+∞ nhất. VD5. D2006-TK2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ln(1 + x) - ln(1 + y) = x - y (x, y ∈ R )  2 2  x - 12xy + 20y = 0 ln(1+x) - x = ln(1+y) − y HD. Hệ ñã cho tương ñương  x > −1, y > −1  x = 10 y ∨ x = 2 y  Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 12 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình VD6. B2005. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:  x - 1 + 2 - y = 1 (x, y ∈ R )  2 3 3log9 (9x ) - log 3 y = 3  x-1 + 2-y =1  x-1 + 2-y =1   HD. Hệ ñã cho tương ñương 3log3 (3x) - 3log 3 y = 3 ⇔  x = y  x > 0, y > 0  x > 0, y > 0   VD7. TKA2007. Giải hệ phương trình x + x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1  (I)  y + y2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1 HD. ðặt u = x − 1, v = y − 1  u + u2 + 1 = 3v  (I) thành (II)  v + v2 + 1 = 3u Xét hàm f(x) = x + x2 + 1 f ´(x) = 1 + x x2 + 1 = x2 + 1 + x x2 + 1 > x +x x2 + 1 ≥0 Vậy f ñồng biến trên R. Nếu u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ 3v > 3u ⇒ v > u ( vô lý ) Tương tự nếu v > u cũng dẫn ñến vô lý 2 u u 2   Do ñó hệ (II) ⇔  u + u + 1 = 3 ⇔ 1 = 3 ( u + 1 − u) (1)  u = v  u = v ðặt: g(u) = 3u ( u2 + 1 − u)  u  ⇒ g'(u) = 3u ln 3( u2 + 1 − u) + 3u  − 1  2   u +1  g' (u ) = 3u ( u + 1 − u) ln 3 − 2    > 0, ∀u ∈ R  u2 + 1  1 Vậy g(u) ñồng biến trên R. Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) Nên (II) ⇔ u = 0 = v Vậy (I) ⇔ x = y = 1. * Bài tập luyện tập. Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 13 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 3lg x = 4lg y 1. Giải hệ phương trình:  lg 4 (ðHNN HN -A98) lg3 (4 x) = (3 y ) 23 x +1 + 2 y − 2 = 3.2 y +3 x 2. Giải hệ phương trình:  2 (ðHSP2HN-A98)  3x + 1 + xy = x + 1 x 5( y − )  y+4 x 3 x y = (ðHKTQD-A99) 3. Giải hệ phương trình:  −1 3  x = y e x − e y = ( log 2 y − log 2 x ) (2 + xy ) 4. Giải hệ phương trình:  3 3 (ðHNT-D99)  x + y = 16 9 x 2 − y 2 = 3 5. Giải hệ phương trình:  log 3 (3x + y ) − log3 (3x − y ) = 1 log (3x + ky ) = 2 6. Giải và biện luận theo k hệ phương trình:  x log y (3 y + kx) = 2 log x ( xcosα + y sin α ) + log y ( ycosα + xs in α ) = 4 7. Cho hệ phương trình:  log x ( xcosα + y sin α ).log y ( ycosα + xs in α ) = 4 π a) Giải hệ với α = . 4 b) Cho 0 < α < π 4 . Giải và biện luận hệ theo α . log x (ax + by ) + log y (ay + bx) = 4 8. Cho hệ phương trình:  log x (ax + by ).log y (ay + bx) = 4 a) Giải hệ với a = 3, b = 5. b) Giải và biện luận hệ theo a > 0, b > 0. 1 2  2 log 3 x − log 3 y = 0 9. Cho hệ phương trình:   x 3 + y 2 − ay = 0  a) Giải hệ với a = 2. b) Tìm tất cả các giá trị a ñể hệ có nghiệm..  x log8 y + y log8 x = 4 10. Giải hệ phương trình:  log 4 x − log 4 y = 1 x + y + a = 1 11. Giải hệ phương trình:  a2 x+ y − xy =2 2 .4 Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 14 (ðHTCKT-A2000) (ðHMỏ-ðC-A2000) Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 3x   x log 2 3 + log 2 y = y + log 2 2 12. Giải hệ phương trình:   x log 12 + log x = y + log 2 y 3 3 3  3 (ðHTL-A2000) 13. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó PT sau có nghiÖm (x.y) với mọi gi¸ trÞ cña tham sè b: (a − 1) x 5 + y 5 = 1  bx e + (a + 1)by 4 = a 2 (ðHDược-A2001) 14. 1) Giải phương trình: xlog (3 x ) − 36 5 x 7 = 0 6 ( x 4 + y ).3 y − x = 1 2) Gi¶i hÖ phương trình:  4 4 8( x + y ) − 6 x − y = 0 32 x − 2 y + 2.3x − y − 3 = 0 15. Gi¶i hÖ:  x 1− y 3 + 3 = 4 4 1  x y a + a = , a > 0. 16. Cho hệ phương trình  2 2  x + y = b − b + 1.  a) Giải hệ khi b = 1. b) Tìm a ñể hệ có nghiệm với mọi b ∈ [0; 1] Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 15 (ðH Mỏ-ðC-A2001)