Tài liệu Một số phương pháp giải hệ phương trình

  • Số trang: 22 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 73 |
  • Lượt tải: 0
quangtran

Đã đăng 3721 tài liệu

Mô tả:

www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 2010 Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương tr ình. Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải. I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ. *Loại thứ nhất: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại. 2 2 ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - 4 x + 1 (1) Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í 2 ( 2) ïî xy + x + 1 = x x2 - 1 thay vào (1) ta Giải. Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y + 1 = x được x2 - 1 æ x2 - 1 ö 2 2 2 x2. x + ç ÷ = 3 x - 4 x + 1 Û ( x - 1)( 2 x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) x è x ø éx = 1 Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - 4 x ) = 0 Û êê x = 0 (loại) êë x = -2 5 Từ đó, ta được các nghiệm của hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - ) 2 *Loại thứ hai: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn. ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2 (1) Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình í ( 2) ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 y Giải .Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0 PT (1) Û x 2 - xy - 2 y 2 - ( x + y ) = 0 Û ( x + y ) ( x - 2 y ) - ( x + y ) = 0 ( từ điều kiện ta có x + y > 0 ) Û x - 2 y - 1 = 0 Û x = 2 y + 1 thay vào PT (2) ta được : 3 2 y 2 x + 2 y = 2 y + 2 Û ( y + 1) 3 ( 2 ) 2 y - 2 = 0 ( do y ³ 0 ) Û y = 2 Þ x = 5 *Loại thứ ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại là tham số. ìï y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) (1) Ví dụ 3. Giải hệ phương trình í 2 2 ( 2) ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8 y + 16 = 0 Giải .Biến đổi PT (2) về dạng y 2 - ( 4 x + 8 ) y - 5 x 2 + 16 x + 16 = 0 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có D ' = 9 x 2 từ đó ta được nghiệm é y = 5 x + 4 ( 3) ê êë y = 4 - x ( 4 ) 4 é x = Þ y=0 2 Thay (3) vào (1) ta được: ( 5 x + 4 ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê 5 ê ëx = 0 Þ y = 4 éx = 4 Þ y = 0 2 Thay (4) vào (1) ta được: ( 4 - x ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê ëx = 0 Þ y = 4 æ 4 ö Vậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷ è 5 ø II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. 2 (1) ïì x + 1 + y ( y + x ) = 4 y Ví dụ 4. Giải hệ phương trình í 2 ïî( x + 1) ( y + x - 2 ) = y ( 2 ) Giải . ì x2 + 1 ï y + y+x=4 ï Dễ thấy y = 1 không thỏa mãn PT(1) nên HPT Û í 2 ïæ x + 1 ö ( y + x - 2 ) = 1 ïçè y ÷ø î 2 ìa + b = 2 x +1 giải hệ ta được a = b = 1 từ đó ta có hệ ,b = y + x - 2 Þ í Đặt a = ab 1 = y î 2 ìx +1 = y í îx + y = 3 Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng. 3 ì 2 2 ï4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7 ( ) ï Ví dụ 5. Giải hệ phương trình í ï2 x + 1 = 3 ïî x+ y Giải . Điều kiện : x + y ¹ 0 3 2 2 ì ï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y 2 = 7 ( ) ï HPT Û í ïx + y + 1 + x - y = 3 x+ y îï Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 ìï3a 2 + b 2 = 13 (1) ( a ³ 2 ) ; b = x - y ta được hệ í ( 2) ïîa + b = 3 Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do a ³ 2 ) từ đó ta có hệ 1 ì =2 ìx + y = 1 ìx = 1 ïx + y + x+ y Ûí Ûí í îx - y = 1 î y = 0 ïx - y = 1 î III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f ( x) = 0 (1)và f ( x) = f ( y ) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x, y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ có dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu. ìï x 3 - 5 x = y 3 - 5 y (1) Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình í 8 4 ( 2) ïî x + y = 1 Giải . Từ PT (2) ta có x8 £ 1; y 4 £ 1 Û x £ 1; y £ 1 1 Đặt a = x + y + x+ y Xét hàm số f ( t ) = t 3 - 5t ; t Î [ -1;1] có f ' ( t ) = 3t 2 - 5 < 0; "t Î [ -1;1] do đó f (t ) nghịch biến trên khoảng ( - 1;1) hay PT (1) Û x = y thay vào PT (2) ta được PT: x8 + x 4 - 1 = 0 -1 + 5 -1 + 5 Þ y = x = ±4 2 2 *Loại thứ hai:Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2) ìï x + x 2 - 2 x + 2 = 3 y -1 + 1 Ví dụ 7. Giải hệ phương trình í 2 x -1 ïî y + y - 2 y + 2 = 3 + 1 Giải . ìa + a 2 + 1 = 3b (1) ï Đặt a = x - 1; b = y - 1 ta được hệ í ïîb + b 2 + 1 = 3a ( 2) Đặt a = x 4 ³ 0 và giải phương trình ta được a = Trừ vế với vế 2 PT ta được : a + a 2 + 1 + 3a = b + b 2 + 1 + 3b Xét hàm số f ( t ) = t + t 2 + 1 + 3t ; f ' ( t ) = t2 +1 + t t +1 2 (3) + 3t ln 3 Vì t 2 + 1 > t 2 ³ -t Þ t 2 + 1 + t > 0 Þ f / ( t ) > 0, "t do đó hàm số f (t ) đồng biến trên R Nên PT (3) Û a = b thay vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4) ( ) Theo nhận xét trên thì a + a 2 + 1 > 0 nên PT (4) Û ln a + a 2 + 1 - a ln 3 = 0 ( lấy ln hai vế ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ) ( Xét hàm số g ( a ) = ln a + a 2 + 1 - a ln 3; g' ( a ) = Luyện thi Đại Học 2011 1 - ln 3 < 1 - ln 3 < 0, "a Î R a2 + 1 hay hàm g (a ) nghịch biến trên  và do PT (4) có nghiệm a = 0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a = 0 Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x = y = 1 . IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản. 2 xy ì = x2 + y ïx + 3 2 x - 2x + 9 ï Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình í 2 xy ïy + = y2 + x 2 3 ïî y - 2y + 9 Giải. 2 xy 2 xy = x 2 + y 2 (1) + Cộng vế với vế hai PT ta được 2 3 2 3 x - 2x + 9 y - 2y + 9 Ta có : 3 Tương tự x2 - 2x + 9 = 2 xy x2 - 2x + 9 Nên VT(1) £ VP(1) 3 3 ( x - 1) 2 +8 ³ 2Þ 2 xy 3 x2 - 2x + 9 £ 2 xy 3 x2 - 2x + 9 £ 2 xy = xy 2 £ xy mà theo bất đẳng thức Côsi x 2 + y 2 ³ 2 xy éx = y = 1 Dấu bằng xảy ra khi ê thử lại ta được nghiệm của hệ là: (0;0) , (1;1) = = 0 x y ë ìï y = - x 3 + 3 x + 4 Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình í 3 îï x = 2 y - 6 y - 2 2 ì y - 2 = - ( x3 - 3x - 2 ) ï ïì y - 2 = - ( x + 1) ( x - 2 ) (1) Giải. HPT Û í Ûí 2 3 ïî x - 2 = 2 ( y - 3 y - 2 ) ïî x - 2 = 2 ( y + 1) ( y - 2 ) ( 2 ) Nếu x > 2 từ (1) suy ra y - 2 < 0 diều này mâu thuẫn với PT(2) có ( x - 2 ) và ( y - 2 ) cùng dấu. Tương tự với x < 2 ta cũng suy ra điều vô lí. Vậy nghiệm của hệ là x = y = 2 . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ. Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau BÀI TẬP TỰ LUYỆN ìï x 3 ( 2 + 3 y ) = 8 ì xy - 3 x - 2 y = 16 1) í 2 2) í 2 3 î x + y - 2 x - 4 y = 33 îï x ( y - 2 ) = 6 ìï x 2 + 3 y = 9 3) í 4 2 ïî y + 4 ( 2 x - 3) y - 48 y - 48 x + 155 = 0 ìï x + x + 2 + x + 4 = 5) í 2 2 îï x + y + x + y = 44 y ì x ïe = 2007 y2 -1 ï 7) í x ïe y = 2007 x2 - 1 îï Giáo viên: LÊ BÁ BẢO y -1 + y - 3 + y - 5 ì2 ( x 3 + 2 x - y - 1) = x 2 ( y + 1) ï 4) í 3 2 ïî y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0 ìï x 3 + y 2 = 2 6) í 2 2 îï x + xy + y - y = 0 ìï x 2 y 2 - 2 x + y 2 = 0 8) í 3 2 ïî2 x + 3 x + 6 y - 12 x + 13 = 0 Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 400- 2010 5 ì 2 3 2 ïï x + y + x y + xy + xy = - 4 Bài toán 1: (A- 2008) Giải hệ phương trình: í ï x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = - 5 ïî 4 5 ì 2 3 2 y x y xy xy x + + + = + ïï 4 Lời giải: Hệ đã cho tương đương với í ï( x 2 + y ) 2 + xy = - 5 ïî 4 ( Û ( x + y )( x ) ( Suy ra x 2 + y + xy x 2 + y = x 2 + y 2 2 ) 2 + y - 1 - xy ) = 0 ìx2 + y = 0 ï a) x 2 + y = 0 Þ í 5 (I) xy = ï 4 î æ 5 25 ö Hệ (I) có nghiệm ( x; y ) = ç 3 ; - 3 ÷ 16 ø è 4 1 ì 2 x +y=ï ï 2 b) x 2 + y - 1 - xy = 0 Þ í (II) 3 ï xy = ïî 2 3ö æ Hệ (II) có nghiệm ( x; y ) = ç 1; - ÷ 2ø è æ 5 25 ö æ 3ö Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( x; y ) là ç 3 ; - 3 ÷ ; ç 1; - ÷ . 16 ø è 2ø è 4 ì xy + x + 1 = 7 y Bài toán 2: (B- 2009) Giải hệ phương trình: í 2 2 2 î x y + xy + 1 = 13y Lời giải: Dễ thấy y ¹ 0 nên hệ đã cho tương đương với 1 x ì x 1 ì x+ + =7 x + + = 7 ï ïï y y y y ï Û í í 2 ï x 2 + x + 1 = 13 ïæ x + 1 ö - x = 13 ïî ïçè y y2 y ÷ø y î Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 2 æ 1ö æ 1ö Suy ra ç x + ÷ + ç x + ÷ - 20 = 0 . yø è yø è 1 ì 1 ï x + = -5 y a) x + = -5 Þ í (Hệ vô nghiệm) y ï x = 12 y î 1 ì 1 ïx + = 4 æ 1ö y b) x + = 4 Þ í . Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( x; y ) = ç 1; ÷ và y è 3ø ï x = 3y î ( x; y ) = ( 3;1) . Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh nêu trên, chúng ta thấy rằng đôi khi chỉ cần biến đổi cơ bản, dựa vào các hằng đẳng thức là có thể được kết quả. Ta xét tiếp các ví dụ đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp hơn. ìæ 12 ö ïç 1 ÷ x =2 ïè y + 3 x ø Bài toán 3: Giải hệ phương trình: í ïæ 1 + 12 ö y = 6 ïèç y + 3 x ø÷ î Lời giải: Điều kiện x > 0, y > 0, y + 3 x ¹ 0 . Hệ đã cho tương đương với 3 12 2 ì 1 ì =1 + 1 = ï ï y + 3x y x ï ï x Ûí í ï1 - 12 = 6 ï 1 - 3 = -12 ïî y + 3 x ïî x y y y + 3x 2 1 9 -12 æyö æyö Suy ra - = Þ y 2 + 6 xy - 27 x 2 = 0 Þ ç ÷ + 6 ç ÷ - 27 = 0. x y y + 3x èxø èxø 2 2 y y y Tìm được = 3 và = -9 (loại). Với = 3 ta được x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3 . x x x ìïlog y xy = log x y (1) Bài toán 4: Giải hệ phương trình: í y x (2) ïî2 + 2 = 3 Lời giải: Điều kiện x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ 1 . Từ (1) có t 2 + t - 2 = 0 với t = log y x . ( ) ( ) æ3ö a) Với log y x = 1 , ta được x = y = log2 ç ÷ . è2ø 1 2 1 b) Với log y x = -2 , ta được x = 2 . Thế vào (2) được 2 y + 2 y = 3 y Trường hợp này PT (3) vô nghiệm. Thật vậy: + Nếu y > 1 thì 2 > 2; 2 y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 1 y2 >1Þ 2 + 2 y 1 y2 (3) > 3. Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 Luyện thi Đại Học 2011 1 2 2 1 + Nếu 0 < y < 1 thì 2 > 1 suy ra: 2 y > 1; 2 y > 2 Þ 2 y + 2 y > 3 . y æ æ 3 öö æ3ö Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ . è2ø è 2 øø è ì36 x 2 y - 60 x 2 + 25y = 0 ï 2 2 Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình: í36 y z - 60 y + 25z = 0 ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = 0 î ì 60 x 2 ïy = 36 x 2 + 25 ï ï 60 y 2 Lời giải: Hệ đã cho tương đương với í z = 36 y 2 + 25 ï ï 60 z2 x = ï 36 z2 + 25 î Hiển nhiên hệ này có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) . Dưới đây ta xét x , y, z ¹ 0 . Từ hệ trên ta thấy x , y, z > 0 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 60 x 2 60 x 2 60 x 2 £ = = x. y= 36 x 2 + 25 2 36 x 2 .25 60 x Tương tự ta thu được y £ x £ z £ y . Suy ra x = y = z . Từ đó suy ra hệ có một nghiệm nữa 5 x=y=z= . 6 ìï x - 1 - y = 8 - x 3 Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í 4 ïî( x - 1) = y Lời giải: Đk x ³ 1, y ³ 0. Thế y từ PT(2) vào PT(1) ta được x - 1 - ( x - 1) = 8 - x 3 (3) 2 Từ (3) có x - 1 = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 (4) Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 ( x ³ 1) . Ta có f / ( x ) = -3 x 2 + 2 x - 2 < 0 ( "x ³ 1) . Suy ra hàm số f ( x ) luôn luôn nghịch biến khi x ³ 1 . Mặt khác, hàm số g( x ) = x - 1 luôn nghịch biến khi x ³ 1 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của PT(4). Vậy hệ có một nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2;1) . Nhận xét: Đối với bài toán trên, dung công cụ đạo hàm để giải quyết là rất hay, tuy nhiên, ta cũng có thể tránh được đạo hàm bằng cách biến đổi khéo léo như sau: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 2 PT(3) Û x - 1 - 1 - é( x - 1) - 1ù + x 3 - 8 = 0 ë û x -2 Û - x ( x - 2) + ( x - 2) ( x2 + 2x + 4) = 0 x -1 +1 1 æ ö + x 2 + 2 x + 4 > 0, "x ³ 1÷ Û x = 2 ç Do x -1 +1 è ø Dưới đây, xin nêu một bài toán trong Đề thi tuyển sinh Đại học gần nhất mà nếu không dùng đến công cụ đạo hàm thì khó có thể giải quyết được. ìï( 4 x 2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 (1) Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình: í 2 2 (2) îï4 x + y + 2 3 - 4 x = 7 3 5 Lời giải: Đk x £ ; y £ . 4 2 2 PT(1) Û ( 4 x + 1) 2 x = ( 5 - 2 y + 1) 5 - 2 y ( ) ïì2 x = u Þ ( u2 + 1) u = ( v 2 + 1) v . Đặt í îï 5 - 2 y = v Hàm f (t ) = ( t 2 + 1) t có f / (t ) = 3t 2 + 1 > 0 nên f (t ) luôn đồng biến trên  , suy ra: ìx ³ 0 ï u = v Û 2 x = 5 - 2y Û í 5 - 4x2 ïy = 2 î 2 æ5 2 2ö Thế y vào PT (2) ta được: 4 x + ç - 2 x ÷ + 2 3 - 4 x = 0 (3) è2 ø 3 Nhận thấy x = 0 và x = không phải là nghiệm của PT (3). Xét hàm số: 4 2 æ5 ö æ 3ö g( x ) = 4 x 2 + ç - 2 x 2 ÷ + 2 3 - 4 x trên ç 0; ÷ . è2 ø è 4ø 4 4 æ 3ö æ5 ö Ta có g / ( x ) = 8 x - 8 x ç - 2 x 2 ÷ = 4 x ( 4 x 2 - 3) < 0 trên ç 0; ÷ . 3 - 4x 3 - 4x è 4ø è2 ø æ1ö æ 3ö Suy ra g( x ) nghịch biến trên ç 0; ÷ . Nhận thấy g ç ÷ = 0 , nên PT(3) có nghiệm duy è 4ø è2ø 1 1 æ1 ö nhất x = . Với x = thì y = 2 . Vậy hệ đã cho có một nghiệm ( x; y ) = ç ;2 ÷ . 2 2 è2 ø ìï x 5 + xy 4 = y10 + y 6 (1) Bài toán 8: Giải hệ phương trình: í 2 ïî 4 x + 5 + y + 8 = 6 (2) Lời giải: Hiển nhiên y ¹ 0 . Chia hai vế của PT(1) cho y 5 ¹ 0 ta được 5 æxö æxö 5 ç y ÷ +ç y ÷ = y + y. è ø è ø Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Hàm số f (t ) = t 5 + t có f / (t ) = 5t 4 + 1 > 0, "t nên hàm số f (t ) luôn đồng biến nên x = y Û x = y 2 . Thế x = y 2 vào PT(2) ta được 4 x + 5 + x + 8 = 6 . Tìm được x = 1 . y Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = (1; -1) . BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giải các hệ phương trình sau: 4 3 2 2 4 3 2 2 ïì x - x y + x y = 1 ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 9 1) í 3 2) í 2 2 ïî x + 2 xy = 6 x + 6 ïî x y - x + xy = -1 x ì 2 + 6 y = - x - 2y ìï 11x - y - y - x = 1 ï y 3) í 4) í ïî7 y - x + 6 y - 26 x = 3 ï x + x - 2 y = x + 3y - 2 î ìï x 2 + y = y 2 + x 5) í x + y x -1 ïî2 - 2 = x - y ìï x 2 - 12 xy + 20 y 2 = 0 6) í îïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - y ì 1- x2 3 ïï2 x + xy + = 2 y 2 7) í 2 ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + 1 = 0 ) ïî( ìï2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 6 8) í 2 ïî(x + 2 ) y + 1 = (x + 1) 2 ì x 3 - 3 x 2 = y 3 - 3y - 2 ï 9) í æ x -2ö 3 æ y -1 ö ïlog y ç y - 1 ÷ + log x ç x - 2 ÷ = (x - 3) è ø è ø î Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ -------------------Dạng1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ìa1 X + b1Y = c1 (*) í îa2 X + b2Y = c2 Phương pháp: Thông thường có 3 phương pháp để giải hệ phương trình dạng (*). Cách 1: Phương pháp thế. Cách 2: Phương pháp cộng đại số. Cách 3: Phương pháp dùng định thức. a b1 c b1 a c = a1b2 - a2 b1 , DX = 1 = c1b2 - c2 b1 , DY = 1 1 = a1c2 - a2 c1 Kí hiệu: D = 1 a2 b2 c2 b2 a2 c2 Dạng tổng quát: DX ì ïï X = D TH1: D ¹ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất í ïY = DY ïî D TH2: D = 0 : Vµ DX = DY = 0 : Hệ có vô số nghiệm dạng {( X 0 ; Y0 ) a1 X 0 + b1Y0 = c1} TH3: D = 0 : HoÆc DX , hoÆc DY ¹ 0. HÖ v« nghiÖm. Bài tập : Giải các hệ phương trình sau: 2 ì6 5 ì 6 ì 6x - 3 2y =5 ïx + y = 3 ï x - 2y + x + 2y = 3 ï ï ï ï y -1 x +1 1) í 2) í 3) í ï 9 - 10 = 1 ï 3 + 4 = -1 ï 4x - 2 - 4y = 2 ïî x y ïî y - 1 x + 1 îï x - 2 y x + 2 y x ì 3x - 6 ì2x - 3 y + 7 ï y +1 - y - 2 = 1 ï x -2 + y+3 =5 ìï2 x 2 + 2 x - y - 1 = 3 ï ï 4) í 5) í 6) í 2 ï x - 2 + 3x = 7 ï x + 1 + 3y + 1 = 5 îï x + x + 2 y - 1 = 4 ïî y + 1 y - 2 îï x - 2 y + 3 ì æ1 1ö ï3 ( x + y ) + 2 ç - ÷ = 6 ï èx yø 7) í ï3 ( x - y ) + 2 æ 1 + 1 ö = 4 çx y÷ ï è ø î 1 ì4 + ï x y -1 = 3 ï 8) í ï2 - 2 = 4 ïî x y - 1 ì8 1 ï + = 17 10) í x y ï î7 x - 3y = xy ïì x + 3 y = 1 11) í 2 ïî2 x - 7 y = 15 ìï x - 1 + y = 0 13) í ïî2 x - y = 1 ìï x - 1 + y - 2 = 1 14) í îï x - 1 + y = 3 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 2 ì 3( x + y ) ï x - y = -7 ï 9) í ï5x - y = 5 ïî y - x 3 5 ì 2 ï2(4 - x ) + y = 2 ï 12) í ï4 - x 2 + 2 = 4 ïî y ïì x + 2 y = 2 15) í îï 2 x - 3 y = 1 Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất ìax 2 + by 2 + cxy + dx + fy + e = 0 Dạng tổng quát: í î Ax + By + C = 0 Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương trình bậc hai. Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: ì2 x - y - 7 = 0 ì4 x + 9 y = 6 1) í 2 2) í 2 2 îy - x + 2 x + 2y + 4 = 0 î3 x + 6 xy - x + 3 y = 0 2 ìï( x + 2 y + 1) ( x + 2 y + 2 ) = 0 ïì2 x + x + y + 1 = 0 3) í 2 4) í 2 ïî x + 12 x + 2 y + 10 = 0 ïî xy + y + 3 y + 1 = 0 ìï( 2 x + 3 y - 2 )( x - 5 y - 3 ) = 0 ì2 x 2 - xy + 3 y 2 = 7 y + 12 y - 1 5) í 6) í ïî x - 3 y = 1 îx - y + 1 = 0 ì x 2 + 11 = 5 y 2 7) í î2 x + 3 y = 12 ì7 x 2 + 9 y 2 - 12 xy + 5 x + 3 y + 5 = 0 9) í î2 x - 3 y = 1 ì x 2 + 2 xy + y 2 - x - y = 6 11) í îx - 2y = 3 ì 3x + y x - y =2 ï 2y 13) í x - 1 ïx - y = 4 î ì9 x 2 + 4 y 2 + 6 xy + 42 x - 40 y + 135 = 0 8) í î3 x - 2 y + 9 = 0 ìx2 + y2 + 6 x + 2y = 0 10) í îx + y + 8 = 0 ì x 2 + xy + x = 10 12) í î x - 2 y = -5 1 1 ì1 ï 3x 2 y = 3 ï 14) í ï 1 - 1 =1 ïî 9 x 2 4 y 2 4 1 1 ì 1 + ïx +1 y = 3 ï 15) í 1 1 1 ï - 2 = 2 y 4 îï ( x + 1) ìï( x + y ) 4 + 4 ( x + y ) 2 - 117 = 0 16) í ïî x - y = 25 ìx - y = 1 17) í 3 3 îx - y = 7 2 2 ïì 18 x + 18 x + 18 y - 17 12 x - 12 xy - 1 = 0 18) í îï3 x + 4 y = 0 ( ) ( )( ) ìï( x - y ) x 2 - y 2 = 45 19) í îï x + y = 5 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 3: Luyện thi Đại học 2011 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 ïì f ( X ; Y ) = 0 (*) í X Y g 0 ; = ( ) ïî Trong đó hoán vị giữa X , Y thì biểu thức f ( X ; Y ) , g ( X ; Y ) không thay đổi. Phương pháp: ìS = X + Y + Đặt í . Thay vào hệ (*), tìm ra S, P . î P = X .Y Dạng tổng quát: + Lúc đó, X , Y là nghiệm của phương trình t 2 - St + P = 0 (1) Các nhận xét: * Do tính đối xứng của X , Y nên nếu phương trình (1) có các nghiệm t1 , t2 thì hệ (*) có nghiệm ( t1 ; t2 ) , ( t2 ; t1 ) . * Cũng do tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là X = Y (thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ) * Do X , Y là nghiệm của phương trình t 2 - St + P = 0 nên điều kiện cần và đủ để hệ (*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị của X , Y . Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: ìï x 2 + xy + y 2 = 7 ì x 2 + xy + y 2 = 4 ì x + xy - y = 5 2) í 2 3) í 4 1) í 2 2 2 4 ïî x + x y + y = 21 î x + xy + y = 2 î x + y + xy = 13 ìï x + y = 5 4) í 4 2 2 4 ïî x - x y + y = 13 2 2 ì ïx + y + z = 6 ïï 5) í xy + yz + zx = 12 ï2 2 2 ï + + =3 ïî x y z 1 1 ì ïx + y + x + y = 5 ï 6) í ïx2 + y2 + 1 + 1 = 9 ïî x2 y2 1 1 ì ìx + y + z = 4 ì x2 y2 2 2 ïx + y + x + y = 4 = 18 ì x - xy + y = 7 ï 2 ï + ï 8) í 9) í y 9)* í x + y 2 + z 2 = 3 7)* í x îx + y = 5 ï x + y = 12 ïx2 + y2 + 1 + 1 = 4 ï xyz = 2 2 2 î î ïî x y ìx + y + z = 1 ìx + y + z = 6 ì x 3 + y3 = 7 ï ï 10) í 11) í xy + yz + xz = -4 12)* í xy + yz - xz = 7 î xy( x + y ) = -2 ï 3 ï x 2 + y 2 + z 2 = 14 3 3 îx + y + z = 1 î 4 4 ì x + xy + y = 5 ì x 2 + x + y 2 + y = 18 ïì x + y = 17 13) í 2 14) í 2 15) í 2 2 x y + xy = 6 ïî x + y + xy = 3 î î x ( x + 1).y( y + 1) = 72 x ì 7 ì x+y+ =9 x + y + xy = 3 3 ï ïï ì x + y = 19 y ï 2 17) í 18) í 16) í î( x + y )(8 + xy ) = 2 ï x 2 y + xy 2 = 5 ï ( x + y ) x = 20 ïî ïî y 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH x ì x y + =3 ï ì x 2 - xy + y 2 = 19 y ï 19) í 20) í 21) y x ( x ) xy + y = x + 7 î ï =2 ïî y Luyện thi Đại học 2011 ì x + y + xy = 11 í 2 2 î x + y + 3( x + y ) = 28 ì x + y =1 ï 22) í 2 1 2 ïx + y = î 2 ì æ1 1ö ï( x + y ) ç + ÷ = 5 ì x ( x + 2)(2 x + y ) = 9 ï èx yø 23) í 2 24) í îx + 4x + y = 6 ï x 2 + y 2 æ 1 + 1 ö = 49 ç x2 y2 ÷ ï è ø î ì x + y + xy = 11 ï 25) í 6 6 ï x + y + xy = 11 î 5 5 ïì x + y = 1 26) í 9 9 4 4 ïî x + y = x + y ìï x y + y x = 30 28) í îï x x + y y = 35 ìï x + y = 4 29) í ïî x + y - xy = 4 ( ïì x + 1 + y + 1 = 3 31) í ïî x y + 1 + y y + 1 + y + 1 + x + 1 = 6 Dạng 3: ) ( ) ì3 xy - x 2 + y 2 = 5 ï 27) í 2 2 4 4 îï7 x y - x + y = 155 ( ) ì x y 7 + = +1 ï x xy 30) í y ï î x xy + y xy = 78 ì1 1 1 ïx + y + z = 3 ï ï1 1 1 32) í + + = 3 ï xy yz zx ï 1 =1 ï î xyz HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 Hệ phương trình được gọi là hệ đối xứng loại 2 khi thay X bởi Y hoặc thay Y bởi X thì hệ phương trình không thay đổi. ìï f ( X ; Y ) = 0 (*) Dạng tổng quát: í f Y X ; = 0 ( ) ïî Phương pháp: Nếu f ( X ; Y ) là đa thức thì thông thường hệ (*) được giải như sau: ìï f ( X ; Y ) - f ( Y ; X ) = 0 ïì( X - Y ) .g ( X ; Y ) = 0 Ûí Biến đổi (*) Û í ïî f ( X ; Y ) = 0 îï f ( X ; Y ) = 0 Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 4y ì 3 ì 3 x - 3y = x + 4x = y + 3 ï ï x ï ïì x = 3 x + 8 y ï 2 1) í 3 2) í 3) í 4) 4 x 3 3 ïî y = 3 y + 8 x ïy + 4y = x + ïy - 3x = ïî ïî y 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 2 2 ïì x - 2 y = 5 y + 4 í 2 2 ïî y - 2 x = 5 x + 4 Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 1 3 ì ì y +2 2 x + = 3 y = 3 ï ï y x x2 ï ï ïì x = 2 x + y 4) í 3 5) í 6) í 2 x + 2 ïî y = 2 y + x ï2 y + 1 = 3 ï3 x = 2 ïî ïî x y y 1 ì 2 = + 2 x y ïï y 7) í ï2 y 2 = x + 1 ïî x 2 ïì x = x + y 11) í 2 ïî y = y + x ìï x 2 = x + 2 y + 4 8) í 2 îï y = y + 2 x + 4 2 2 ïì2 x - 3 x = y - 2 7) í 2 2 ïî2 y - 3 y = x - 2 ìï2 x = y 2 - 4 y + 5 9) í 2 ïî2 y = x - 4 x + 5 2 ïì xy + x = 1 - y 12) í 2 ïî yx + y = 1 - x Dạng 4: Luyện thi Đại học 2011 2 2 ïì x - 2 y = 2 x + y 13) í 2 2 îï y - 2 x = 2 y + x ìï x 2 = 3 x + 2 y 10) í 2 ïî y = 3 y + 2 x 3 ïì y = x 14) í 3 ïî x = y HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo x, y . Dạng tổng quát: 2 2 ïìa1 x + b1 xy + c1 y = d1 í 2 2 ïîa2 x + b2 xy + c2 y = d2 (*) Phương pháp: + Giải hệ khi x = 0 . + Khi x ¹ 0 , đặt y = tx thế vào hệ (*), khử x được phương trình theo t . + Giải t , rồi tìm x, y . ì x 2 a1 + b1t + c1t 2 = d1 (1) ìa1 x 2 + b1 ( tx ) + c1 ( tx ) 2 = d1 (1) ï ï Û . LËp tû Biến đổi: í í 2 2 2 2 (2) îïa2 x + b2 ( tx ) + c2 ( tx ) = d2 îï x a2 + b2 t + c2 t = d2 (2) Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: ìï x 3 - y 3 = 7 ìï x 2 - 3 xy + y 2 = -1 ìï3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11 1) í 2 2) í 2 3) í 2 2 ïî3 x - xy + 3 y = 13 ïî x + 2 xy + 3 y = 17 ïî xy ( x - y ) = 2 ì x 2 + xy - y 2 = 5 ìï x 2 - 2 xy - 3 y 2 = 0 ìï x 3 - xy 2 + y 3 = 1 ï 4) í y 2 x 5) í 3 6) í 5 2 2 3 = 2 x + = x y y 2 ï ïî x x + y y = -2 î ï 2 xy îx y ìï3 x 2 + 5 xy - 5 y 2 = 37 ìï x 2 - 4 xy + 2 y 2 = 1 ìï x 3 + 3 x 2 y + xy 2 + y 3 = 6 7) í 2 8) í 2 9) í 3 2 2 2 2 ïî5 x - 9 xy - 3 y = 15 ïî2 x - xy + y = 4 îï3 y + x y - 2 xy = 2 ( ( ) ) 2 2 ïì x - 3 xy + y = -1 10) í 2 2 ïî2 x + xy + 2 y = 8 2 2 ïì2 x + 3 xy - y = -2 11) í 2 2 ïî x - xy + 2 y = 4 3 3 ïì x + y = 1 13) í 2 2 3 îï x y + 2 xy + y = 2 2 2 ïì3 x - 5 xy - 4 y = -3 14) í 2 2 ïî9 y + 11xy - 8 x = 13 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 3 3 ïì y - x = 7 12) í 2 2 ïî2 x y + 3 xy = 16 ì( x - y ) x 2 + y 2 = 13 ï 15) í 2 2 îï( x + y ) x - y = 25 ( ( ) ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002- 2010 Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ---------------------------- 1) (B- 2002) Giải hệ phương trình: ìï 3 x - y = x - y í ïî x + y = x + y + 2 2) (D- 2002) Giải hệ phương trình: ì2 3 x = 5 y 2 - 4 y ï x í 4 + 2 x +1 =y ï x î 2 +2 3) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình: ìï x - 4 y + 3 = 0 í ïî log 4 x - log 2 y = 0 4) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình: ìlog x x 3 + 2 x 2 - 3 x - 5 y = 3 ï í 3 2 ïîlog y y + 2 y - 3 y - 5 x = 3 5) (A- 2003) Giải hệ phương trình : 1 1 ì ïx - = y x y í ï2 y = x 3 + 1 î 6) (Dự bị- 2003) Giải hệ phương trình: ïìlog y xy = log x y í x y ïî2 + 2 = 3 7) (B- 2003) Giải hệ phương trình: ì y2 + 2 3 y = ï x2 ï í 2 ï3 x = x + 2 ïî y2 8) (A- 2004) Giải hệ phương trình: 1 ì ïlog 1 ( y - x ) - log 4 y = 1 í 4 ï x 2 + y 2 = 25 î 9) (D- 2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm: ìï x + y = 1 í ïî x x + y y = 1 - 3m ( ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ) ) 10) (D- 2005) Giải hệ phương trình : ìï x - 1 + 2 - y = 1 í 3 2 ïî3log9 9 x - log3 y = 3 11) (Dự bị- 2005) Giải hệ phương trình: ìx2 + y2 + x + y = 4 í î x ( x + y + 1) + y( y + 1) = 2 12) (Dự bị- 2005) Giải hệ phương trình: ìï 2 x + y + 1 - x + y = 1 í îï3 x + 2 y = 4 13) (A- 2006) Giải hệ phương trình: ïì x + y - xy = 3 í îï x + 1 + y + 1 = 4 14) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: 2 ïì x + 1 + y( y + x ) = 4 y í 2 ïî x + 1 ( y + x - 2 ) = y 15) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ìï x 3 - 8 x = y 3 + 2 y í 2 2 ïî x - 3 = 3 y + 1 16) (D- 2006) CMR: "a > 0 , hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm: y x ïìe - e = ln ( 1 + x ) - ln ( 1 + y ) í îï y - x = a 17) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ìï x 2 - xy + y 2 = 3( x - y ) í 2 2 2 îï x + xy + y = 7( x - y ) 18) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ìïln ( 1 + x ) - ln ( 1 + y ) = x - y í 2 2 ïî x - 12 xy + 20 y = 0 19) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ì( x - y ) x 2 + y 2 = 13 ï í 2 2 ïî( x + y ) x - y = 25 ( ) ( ( ( ) ) ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 20) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: 29) (D- 2009) Giải hệ phương trình: ì x ( x + y - 1) - 3 = 0 ìï x + x 2 - 2 x + 2 = 3y -1 + 1 ï í í 5 2 2 x -1 ïî y + y - 2 y + 2 = 3 + 1 ï( x + y ) - 2 + 1 = 0 x î 21) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: 30) (ĐH-B-2010) Giải hệ phương trình: 4 3 2 2 ïì x - x y + x y = 1 ìlog 2 (3 y - 1) = x í 3 2 í x ïî x y - x + xy = 1 x 2 î4 + 2 = 3 y 22) (Dự bị- 2007) CMR: Hệ phương trình 31) (ĐH-D-2010) Giải hệ phương trình: sau có 2 nghiệm thoả x > 0, y > 0 . ìï x 2 - 4 x + y + 2 = 0 y ì x í ïe = 2007 - 2 ïî2log 2 ( x - 2) - log 2 y = 0 y -1 ï 32) (ĐH-A-2010) Giải hệ phương trình: í x y ïe = 2007 ìï 4 x 2 + 1 x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 2 ïî x -1 í ïî4 x 2 + y 2 + 2 3 - 4 x = 7 23) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: 2 xy ì x + = x2 + y ï 3 2 x - 2x + 9 ï í 2 xy ïy + = y2 + x 3 2 ïî y - 2y + 9 24) (A- 2008) Giải hệ phương trình: 5 ì 2 3 2 ïï x + y + x y + xy + xy = - 4 í ï x 4 + y 2 + xy(1 + 2 x ) = - 5 ïî 4 25) (B- 2008) Giải hệ phương trình: 3 2 2 4 ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 9 í 2 îï x + 2 xy = 6 x + 6 26) (D- 2008) Giải hệ phương trình: ìï x + y + xy = x 2 - 2 y 2 í îï x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 y 27) ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: ìïlog 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy ) í x + y - xy = 81 îï3 28) (B- 2009) Giải hệ phương trình: ì xy + x + 1 = 7 y í 2 2 2 î x y + xy + 1 = 13 y ( 2 ) 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC ------------------------------------------------1) Giải hệ phương trình: ïì 2 x - y - 2 y - x = 1 í îï3 2 x - y + y - x = 10 Gợi ý: Dạng hpt bậc nhất hai ẩn 2) Giải hệ phương trình: ìï x + y - 1 = 1 í ïî x - y + 2 = 2 y - 2 Gợi ý: Bình phương trên TXĐ. 3) Giải hệ phương trình: ìï x + 1 + y - 7 = 4 í ïî y + 1 + x - 7 = 4 Gợi ý: Bình phương trên TXĐ 4) Giải hệ phương trình: ì2 y x 2 - y 2 = 3 x ï í 2 2 îï x x + y = 10 y Gợi ý: Biến đổi: (1) 2 y x 2 - y 2 3 x = . = . (2) x x 2 + y 2 10 y ( ) ) ( 2 æyö 1- ç ÷ 2y 3 1 x = . è ø2 = . 10 y x æyö 1+ ç ÷ x èxø 5) Giải hệ phương trình: ( ) ì( 2 x + y ) 2 - 5 4 x 2 - y 2 + 6 ( 2 x - y ) 2 = 0 ï í 1 =3 ï2 x + y + 2x - y î Gợi ý: (1) có dạng đẳng cấp bậc hai. 6) Giải hệ phương trình: ì 2 x 2 + 4 xy + 1 = -5 ï ï x + 2y í ï x = -3 îï x + 2 y Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Biến đổi: 2 x ( x + 2 y) + 1 1 (1) Û = -5 Û 2 x + = -5 x + 2y x + 2y 7) Giải hệ phương trình: ì xy - 3 x - 2 y = 16 í 2 2 î x + y - 2 x - 4 y = 33 Gợi ý: Biến đổi: Nh©n (1) víi 2 vµ céng ph­¬ng tr×nh (2) : Û x 2 + y 2 + 2 xy - 8 x - 8 y - 65 = 0 Û ( x + y ) 2 -8 ( x + y ) - 65 = 0 Û ( x + y + 5)( x + y - 13) = 0 8) Giải hệ phương trình: 2 2 ïì x + x + y + 1 + x + y + x + y + 1 + y = 18 í 2 ïî x + x + y + 1 - x + y 2 + x + y + 1 - y = 2 Gợi ý: (1) - (2) Û x + y = 8 9) Giải hệ phương trình: ìï x 2 + y 2 - 3 x + 4 y = 1 í 2 2 ïî3 x - 2 y - 9 x - 8 y = 3 Gợi ý: Biến đổi: ì x 2 - 3x + y2 + 4 y = 1 ï Ûí 2 2 ïî3 x - 3 x - 2 y + 4 y = 3 10) Giải hệ phương trình: ìæ x ö2 æ x ö3 ïïç ÷ + ç ÷ = 12 íè y ø è y ø ï 2 ïî( xy ) + xy = 6 Gợi ý: Mỗi phương trình của hệ đều là phương trình đại số theo ẩn phụ. 11) Giải hệ phương trình: 2 2 ïì y + xy = 6 x í 2 2 2 ïî1 + x y = 5 x Gợi ý: Biến đổi: ( ( ) ( ) ( ) ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 2 ì2 ( x + y ) = 3 3 x 2 y + 3 xy 2 ì æxö 1 ï ïx + = 6 ç ÷ í y y ï è ø ïî 3 x + 3 y = 6 Ûí 2 ï 2 1 æxö Gợi ý: Đặt u = 3 x , v = 3 y ï x + y2 = 5ç y ÷ è ø î 15) Giải hệ phương trình: 2 ì x + 3y ì æxö 1 ï x + = 6 ç ÷ (1) ïx + x2 + y2 = 3 ï y ï èyø í Ûí 2 2 ïy - y - 3x = 0 ïæ æxö æxö 1ö ïî x2 + y2 ïç x + y ÷ = 5 ç y ÷ + 2 ç y ÷ (2) ø è ø è ø îè Thay (1) vào (2). Gợi ý: Biến đổi: 12) Giải hệ phương trình: xy + 3 y 2 (1) Þ xy + = 3 y (3) y x y x + ì +6 =5 x2 + y2 ï x+y íx - y xy - 3 x 2 ï xy = 2 (2) Þ xy - 2 = 0 (4) î x + y2 Gợi ý: Phương trình (1) có dạng bậc hai. 3 æ y -1ö 13) Giải hệ phương trình: (3) + (4) Þ 2 xy + 3 = 3 y Þ y = ç 2 è y ÷ø ìï x + y + x + y = 20 a) í 16) Giải hệ phương trình: 2 2 ïî x + y = 136 ìï x 3 + 2 xy 2 + 12 y = 0 ìï 2 x + y + 1 - x + y = 1 í 2 2 b) í îï x + 8 y = 12 îï3 x + 2 y = 4 Gợi ý: Biến đổi: Thay (2) vµo (1): ïì x y + y x = 6 c) í 2 2 Þ x 3 + 2 xy 2 + x 2 + 8 y 2 y = 0 ïî x y + y x = 20 ) ( ( 2 2 ïì x + y + 2 xy = 8 2 d) í îï x + y = 4 Gợi ý: Biến đổi: (1) Û 2 x 2 + 2 y 2 = 16 - 2 xy Û 2 x2 + 2y2 = ( x+ y ) 2 - 2 xy Û 2 x2 + 2y2 = x + y Û 2 x2 + 2y2 = ( x + y ) Û ( x - y ) = 0 2 ì x y 5 + = ï e) í y x 2 ï 2 2 î x + y + xy = 21 14) Giải hệ phương trình: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 2 ) §©y lµ pt ®¼ng cÊp bËc 3. 17) Giải hệ phương trình: 1 2 ì = 10 2 ï( x + 2 y ) + x - 2y ) ( ï a) í ï x + 2y = 3 ïî x - 2 y ì 1 ï x + 2y + x = 3 ï b) í ï x = -4 ïî x + 2 y ì x 2 + y 2 = 25 - 2 xy c) í î y( x + y ) = 10 ìï x 2 + xy + y 2 = 19 ( x - y ) 2 d) í 2 2 ïî x - xy + y = 7 ( x - y ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Gợi ý d): Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2. ìï 2 - y = 2 - x ìï x + y = 2 2 x 18) Giải hệ phương trình: Ûí Û í TX§ ïî 2 - x = 2 - y îï x + y = 2 2 x ìï x + y + x 2 - y 2 = 12 Þx=y a) í 2 2 ïî y x - y = 12 Cách 2: LÊy (1) - (2) : Gợi ý: Đặt u = x 2 - y 2 , v = x + y Þ x - y = 2-x - 2-y 1æ u2 ö Þ y = çv- ÷ y-x x-y 2è v ø Û = Þx=y x+ y 2-x + 2-y ì 20 y = x+y + x-y ï ï x 21) Giải hệ phương trình: b) í x 16 ï ìï x + 6 - y = 2 3 = x+y - x-y ï 5y í î ïî y + 6 - x = 2 3 Gợi ý: Nhân vế theo vế 2 phương trình. Gợi ý: ìï3 x 2 - x - y 2 + 1 = 0 Cách 1: Biến đổi: c) í 2 2 ïî4 x + 5 x - 2 y - 1 = 0 (1) - (2) Þ x - y = 6 - x - 6 - y Gợi ý: Nhân (1) với -2 , khử y . x-y y-x Û = ì( x - y ) x 2 - y 2 = 3 6-x + 6-y x+ y ï d) í 2 2 æ ö ïî( x + y ) x + y = 15 1 1 + Û ( x - y) ç ÷=0 ç x+ y 6 - x + 6 - y ÷ø Gợi ý: Cách 1: Hpt đẳng cấp bậc 3. è Cách 2: Biến đổi: Ûx=y ì( x + y ) é( x + y ) 2 - 4 xy ù = 3 Cách 2: Bất đẳng thức: ï ë û Ûí ì x + 6 - y 2 = 12 2 é ù ï( x + y ) ( x + y ) - 2 xy = 15 ï ë û î Ûí 2 ï y + 6 - x = 12 19) Giải hệ phương trình: î ì xy - 3 x - 2 y = 16 2 2 í 2 2 Þ x 6 y y 6 x + + + = 24 î x + y - 2 x - 4 y = 33 Gợi ý: Biến đổi: ì x + 6 - y 2 £ 12 + 12 x + 6 - y ( ) ï ì2 xy - 6 x - 4 y = 32 í Ûí 2 2 2 ï y + 6 - x £ 12 + 12 ( y + 6 - x ) x + y 2 x 4 y = 33 î î xy 3 x 2 y = 16 ìï 2 2 Ûí Þ x + 6 - y + y + 6 - x £ 24 2 ïî( x + y ) - 8 ( x + y ) - 65 = 0 ìï x = 6 - y 20) Giải hệ phương trình: DÊu " = " x·y ra khi chØ khi í ïî y = 6 - x ïì x + 2 - y = 2 a) í Û x =y=3 ïî 2 - x + y = 2 22) Giải hệ phương trình: Gợi ý: Cách1: Biến đổi: ìï x 2 + xy - y 2 + 3 y + 4 = 0 a) í 2 2 îï x + 2 xy - 2 y + 11x + 6 y - 2 = 0 ( ( ) ) ( ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ) ) ) ) ) ) Tổ Toán THPT Phong Điền
- Xem thêm -