Tài liệu MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ VÀNH AUSLENDER-GORENSTEIN KHÔNG GIAO HOÁN

^ -25 ^^,.3. /• GlAU ( DUC & D A O T A O KO miÒNGDAI HOCTÓNG HOP HANOI HoDinhDuàn C.-I|..rt!i. » ! . M » l . r . „ >. KQl I ^^'. •' S'.rvl:"''*^-* •••.. V . - ' . ' T\^'J% ik- J- M^'ilMP ^-*—«^ MOT SO NGHIÈN CÙU VE VÀNH AISLANDER-GORENSTEIN KHÒNG GIAO HOAN Chuvèn nsdnh: Dai sS'và Ly thuyet so' Ma $0: I J L 0 3 Luàn àn Pho tien si khoa hoc Toàn - Ly Nguòi huóng d2n khoa hoc: Gs. Ts Nguyen fiinh Ngoc Hanoi-1991 M U C LUIC CHJdNG O : Phan chuan b l 0.0 Cac ki hiéu. 0,1^ Nhac lai mot so két qua e uà 1y thuyet vành va dai so dóng diéu. 0.2 N h a e lai mot so k é t c^ u a e u a d ai s o g i a a h t:) a n . CHlJdNG 1 : vành Auslander - Gorenstein, va mò dun holonom. mò dun thuàn tuy 1.0 1 . 1 Day phò Roos - Bjork - Isc^lebeck 1.1-0 1-1,1 Xay ddng day phd. 1.1.1.0 1-1.1-1 1-1.1.2 1.1-2 Ménh de (sd hpi tu cua day pho 1 . 1 -i- 2 ) . 1.1-3 B~-lpc cua mot mò dun. 1.1-3-0 , 1.1-4 He qua ( euà Nenh de 1.1.2) 1.1.5 Dinh nghia ( vành Ausi andt^r - Gorenstei n ) 1.1-6 Nhan xéti 1 - 2 vành Ausiander ~ Gorenstei n; 1.2.0 Dièu kién Auslander. 1 1-2-0-0 1.2. 1 Nhan ;-;ét1-2.2 Dinh nghla ( vành Ausiander - Gorenstei n )1-2.3 Cac VI du1-2.3-0 ; 1-2-3.1 1-2.3.2 1 o T -r 1.2.4 Qui dóc1-2-5 Dinh nphia (so tS(M)) 1.2.6 Ménh de ( j (M) + (S(ti) - j..\ ) . 1-2-7 He 1 uan (cua Menti de 1 . 2.6 ) . 1-2-8 He qua ( cua tlé luan 1.2.7 )1.2.9 Nhan xét. 1-2.10 Bò de ( mot bàt dàng thdc cua qrade ) . 1.2-10.0 1.2-10.1 ^ ^ 1.2-11 Ménh de (mot day khóp ngancua B-1oc). 1 - 3 Mó dun thuan tuy (pure modules)J. - 3 - 0 1.3.1 Dinh nghla (mó dun thuan t u y ) . 1.3-2 Vi du> 1-3-3 Nhan xét. 1.3-4 Ménh de (tinh thuan tuy cixa E;;t (M,R)). 1.3.5 He qua (cua Ménh de 1-3-4). 1.3,0 Dinh li (cac diéu kién tddng dddng cua tinh • ' ' » i ' .. • ! ! • ! thuan tuy)• I 1.3.7 He qua ( e uà D i n h 1 i 1 . 3. 6 ) . : ;• 1-3-8 Mot mó tà khàc cua B-lpci 1.3-8.0 Menh de ( B;^ =: F^ , k ~ 0, ^M ^ • 1 , 3 - 8 . 1 D i n h li (E^-lpc c u a m ó d u n cari ) j 1.4 Mò dun holonom ( holonomic modules). ; 1-4.0 I ì ' 1,4.1 Dinh nghia (mò dun holonom)| Ì,"4-2 Càc vi du1.4.2-0 '. 1.4.2-1 1.4-3 Nhan xét. ! 1.4.4 Nhan xét. : 1.4.5 Ménh de (ve hàm td M > Ff r: Ext^(M,R)). 1-4.6 He qua (cua Ménh de 1.4-5)1-4.7 Ménh de (day khdp cac mò dun holonpm)1.4.8 Ménh de (tinh holonom va tinh cyclic). 1.4-8-0 Ménh de (mot ket qua Sta-f-ford)1 . 4. V Ménh de ( t inh hol onom va t i rth thuan tuy ) . 1.4-9,0 Ménh de ( mot két qua eùa Bjork ) . 1.5 vành Ausiander - Gorenstei n gi ao hoàn 1.5.0 Nhac lai ve cac vành Gorenstei ri qioa hoàn1-5.0.0 1,5-0,1 1-5,0,2 ; 1-5.0,3 1.5.1 Dinh li < diéu kién can va du de mot vành gi ao hoàn 1à Ausiander - Gorenstei n ) . 1-5-2 He qua ( cua Dinh li 1.5.1). 1.5.3 Nhan liet. 1.5.4 Dinh 1i ( cac di éu ki én tddng dddng cua t inh thuan tuy). 1.5.5 Menh de ( ve cac ideal nguyén tó 1ién két )1-5-6 Dinh nghla ( ideal dàng chiéu ) . 1-5.7 He qua ( cua Menh de 1.5.5). ' CHlJdNG 2 : Vành Auslander—Gorenstein co loc, ideal dac trdng va mò dun thuan tuy. ; i 2-0 ^ 2. 1 Nhac 1 ai ve vành 1pc va mó dun 1pc 2.1.0 Lpc cua vành va mó dun. 2.1.1 Tò pò sinh bdi mot lpc. 2-1-2 vành phan bac lién két vdi mot lpc. 2.1.3 Dinh nghTa* ( lpc tot ) . 2-1-4 Dinh nghTa (1 oc Art i n~Fi;ees , 1 oc Arti n'-F\e£?s yéu) 2. 1.5 Nhan ;;ét. 2- 1-6 Menh _^dé ( tinh chat cua lpc Artin - Rees ) 2.2 Mot day phò cua mó dun 1 oc. 2-2-1 Ménh de ( sd ton tai cua mot day phò ) . 2.2.2 Nhan xét 2.2.3 He qua ( cua Nhan ;:ét 2.2.2 ) . 2-3 vành lpc va tinh Auslander - Gorenstein2.3-0 2-3-1 Menh de ( mot bat dang thuc cua grade ) . 2.3.2 Nhac lai Dinh li F(oos-Bjork (ve sd bào toàn tinh Ausiander-Gorenstei n cua vành 1 oc)- ' : ! i ' 2.3.3 Nhan ;-;ét (ve tinh Ausi ander-Gorenstei n cua cac vành toàn ttì vi phan quen biét ) . 2-4 Ideal dac trdng cua mò dun thuan tuy. 2.4.0 2-4-1 Dinh ngl~tTa (ideal dac triìng eùa mòl: fdó dun ) 2.4.2 KÌ hieu ( tap hdp V(M) ). 2.4.3 Nhac 1 ai Dinh 1 i Kashi wara- Gabbe?r-B jor k ve dang chi éu cua i deal dac trdng, 2-4-4 Nhan xét] 2.4.5 Dinh nghìa (di éu ki eri Ass~cdc ti éu) . 2.4.6 Menh de (diéu kién can cua tinh thuan tuy) 2-4-6-0 2.4.7 Nhan xétj 2.4.7.0 Cau hai 2.4.8 Ménh de (dièu kién du cua tinh ttUan t u y ) . 2-5 Tap hdp V(M) . ,) 2-5,0 2.5-1 Menh de (mot tinh chat cua cac tap V(M))2-5-2 He qua ( cua Menh de 2.5.1 )f 2.5-3 Nhan xéti 2-5.3.0 t 2.5-4 Dinh nghia ( tap V(M) ) . 2.5.5 Dinh li (tinh chat cua càc tap Ass(grpM))2^5-5-0 2.5-6 Nhan :-:ét, 2.5.6.0 Cau bòi . CHlJdNG 3: Ma dun hol onom trén Gorenstein co loc- vanh Ausi ander — 3. 0 3.1 VàI'1 h 3.1.0 3-1-1 3-1.2 3.1.3 lpc va tinh ho 1 onam. Sd tòn tai eùa càc mó duri holonom. Qui ddcMenh dè(diéu kién can ?-: du cua tinh holonom) So bòi theo ideal nguyén tò va cycle. 3-1-3-0 Dinh rìqhi'a (so bòi cua niòt mò dun)3-1,3.1 Ménh de ( so bòi va day khdp ngan )„ 3,1-3-2 Dinh nghla ( cycle cua mot mó dun ). 3-1.3-3 Ménh de ( cycle va day khdp ngan ) . 3-1.4 Ménh de ( day hdp thành va cycle ) . 3-1.5 Nhan xét . i ! 3.1.6 Nhan i<ét > Ff. 3- 1.7 Mò dun hol onom va hàm td M 3-1.7-0 Ménh de ( V(M) - V(M) )3.2 Mó dun thuòc 1óp Berntei n„ 3-2-0 3-2.1 Ngoac Poisson va ideal doi hdp. 3.2-1.0 3.2.1-1 Dinh nghTa (ideal doi h d p ) . 3.2-1.2 Vi du . , 3-2-2 Nhan xét 3-2,3 Nhac lai dinh li Gabber ( ve tinh doi hdp eùa da tap dac trdng ), 3 - 2. '1' Cac ideal r^ g u y e n t o p h a n b a e v à d o i h ó p 3.2,5 Ménh de (mot bat dang thdc cua g r a d e ) . 3.2-6 Dinh nghla ( 1dp B e r n s t e i n ) - i«M 3.2.7 Dini"^ l i 3^2.7.0 (IKÌÓ d u n tio 1 onoin va dp B e r r i s t e i n ) 3 . 2 . 7 . 1 Nhan ; : e t . 3 . 2 . 7 . 2 Nhan x é t . 3-3 3 . 2 . 8 tlé q u a ( e uà D i n h 1 i 3 . 2 . 7 ) 3 . 2 . 9 Nhan x é t . 3 - 2 - 1 0 L i e ri h e v ó i ^: e t q u a e: u a E. s s e n . F'hép vi mò dia phudng boa, 1 dp Bernstein va t i n h dang c h i é u . |. 3 , 3 - 0 F'hép v i mò d i a p h d d n g l i ò a . 3-3.0.0 • 3 - 3 . 0 , 1 N f 1 a e l a i (^ i n h l i e ù a E sii s e n ( v à i \ 11 v i m ò d i a |::) h i.i d n g t:: u a m ò t v a n h 1 g e ) . 3 - 3 - 0 - 2 N h a c l a i d i n h 1 i e ù a E s s e r i v mò d u n v i mò d i a p t t d d n g ) . 3 - 3 , 0 . 3 Qu i \\óc . ' 3 . 3 , 0 . 4 D i n h l i ( m o t d à r i g c à u e d ^;id ) . 3 - 3 - 1 Da t a p d a c t r LÌ n g e ù a mò d u n v i in ó dia p h d d r"i g , 3-3-1-0 3-3-1.1 Ménh de ( d a t a p d a e:; t r u n g e:: ù a m d d u n vi mò dia phddng). , | 3-3-2 Nhan ;<ét. 3-3.3 Qui ddc. 3.3-4 Dinh 1i(dia phddng hóa va 1dp Bernstein) 3-3-5 Nhan xét, 3-3,6 Ménh de (dia phddng hóa va t inh dàng chi éu). 3.4 Vi mò dia phddng hóa, tinh Ausiander-Gorenstein va t inh thuan tuy3-4-0 3-4.1 Dinh li (mot tinh chat eùa vành dia phddng) 3-4.1,0 Nhan xét. e.4.2 He qua ( cua d inh 1i 3- 4. 1 )„ 3-4-3 Li èn he gi uà u va 3.4-3-0 3 . 4 - 3 - 1 Ménh d e ( m o t d i é u kièkT d ù d e p ^.> 3 - 4- 4 D i n h 1 i ( Sd b à o t o à r i t i n h h o l o n o m ) 3 , 4 - 5 D i n hi l i ( S u hàa t o à n t i n h t h u a n t u y ) 3 . 4 . 5 . 0 Bo d e . T - v à r i h , t i n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n .. k i d i e h i n r i q u i 3 . 5 - 1 Dinh nghi'a ( T - vành ) . 3 . 5 - 2 vi du3 . o- 3 Dinh 1 i ( s d bào toàn t irth Ausi a n d e r v à r 11" i ) . G o r" e n s t e i f » c u a e a e "I " 3.5.4 He qua ( eùa dinh li 3.5-3 ). 3.5.5 Dia phddng hóa T - vành. j:, 5,6 Dinh nghìa ( i deal dac trdng ) 3,5-7' Dinh nghTa(ki di chinh qui theo rìchìa dai so) 3-5-8 Dinh nghìa (diéu kién cuc tiéu dai vdi Ass) 3-5-9 Dia phddng hóa the^j mot ideal nguyén tò3-5-10 Dia phddng hóa va tinh Ausiander-Gorenstein 3-5.11 Dinh li (dia p ti i.ì d n g ti ò a va k 1 di e h \ n ti qui ) 3-5.12 Dinh 1i(Mò dun thuan tuy va kx di chinh qui) TAI LIEU THAM KHAO- Mci o A L J - bàt dàu td càc còng tr m h Ly thuyet Vànfi toàn td vi phan Malgr^ange CMAL 613 va Matauura [MA 61 "J, da mó ra mot hddng nghién cdu mdi cho ly thuyet phddng t r m h dao liam i- iéng, dac b i e t là càc phddng t r" ì n h v ci i ti e so ha r i g so. Y. t L( d n g ;• mot he phddng tr inh tuyér^ t inh nhd mot mòdun 1 à quen thuòc chàng han trong h inh hpe dai so, tuy nhi én vi èc vi éc dai so hóa càc he vi phan thành nhdng mòdun trén càc vành nào dò eh 1 mdi ;•; uàt h i en trong nhdng nàm t>(.)- 61 . Theo hddng do, indi he ptiddng tr ì nh dao ham r i éng ddde h i éu 1 à mot ; ( bó ) mÒdun trén mot (bó) vành toàn td vi phan thichi hdp„ Nhdng dóng góp dau tién cua D- Qui 11en , H-Kon atsu, I. NBernstein va M. Kashi wara trong nhidnq nàm 60 va dàu 70 da dat mot ed sd vdng chàc cho 1y thuyet va khàng dinh hi éu qua cua vi éc àp dung nhi éu phddng phàp khàc nhau cua dai so vào e a e b ài t oan p h ddng t r ì n h dao h àm r i én g . Noi mot cach ngan gpn, 1y thuyet D-módun righi én ' cdu cac bó vành toàn td vi phan trén mot da tap (giài tich, dai so) va càc bó mòdun trén chung (ve mat dia nhddng , ta e: ò thè coi ehung là càc vành va mòdun thòng thddng). Càc vành toàn td ed bàn nhat là : dai so Weyl A„ (K) , càc bó va E^ trén mot da tap X. Trong nhi éu trddng hdp , cà e 11 nh chat dia phddnq cua bó lìói 1 én hau hét nhdng tinh chat cua bo do, cho nèn ta 1udn luon co the nghién cdu cac stalk cua càc bó vành va mòdun nói trén. Theo cach dò nhi éu ly thuyet khàc nhau dung nhdng còng cu cua 1y thuyet van h , d ai so dòng diéu, dai so giao hoàn ... co the dddc xa y ddn g de nghién cdu càc Viing toàn td nói trén ve mat dai s ò. I / Chung ta bay mò ta qua cac vanh toàri td vi phan vda nèu. Chufìg 1 à nguòn xuàt phat cua càc bài toàn vd a là dng dung cua càcz righi én cdu ly thuyet- Cho k là trddng co dac so 0 (thddng là C ) , khi dò An(K) là vành càc toàn td vi phan vdi he so trén vành da thdc kCx^ ^ . . . ,x^ 3. Cho Xà 1 mot da tap ph de . Dy 1 a bó vành toàn td vi phan trén X si nh bdi bó D^ càc hàm chinh h inh va dai so Li e càc trddng vectd trén X. F- 1 à bó vành càe mam toan td vi mó-dia phddnq trén phan thd dòi ti ép ;;uc T**X. Ngoài ra^ trong nhi éu trddn g hdp, càc dai so bao U ^g) ( g -dai so Li e hdu han ehièu ) eCinq x u a t h i e n trong càc vành toàn td vi phan nào dò ixem LMAC - RGB 8 7 , eh. 8 ) . Ti^ chd y ràng càc vành này deu Noether va co loc. I - N. Bernstein là ngddi dau ti én nghi én cdu mot àch co hé^thòng dai so Weyl A ( O Trong nhdng nàm o9-72, b àng nhdng còng cu tddng doi sd cap, òng da thiet 1ap dddc nh dng tinh chat ed bàn nhat cua vành này nhd sd ton tai cua càc phddng trình hàm cho thàc trién chinh hình cua hàm , d ành già so.chiéu ^ cua da tap dac trdng cua càc he vi p han (bàt dàng thi'ìc Bernstein)^, sd ton tai cua mot 1 óp càc mò dun hòlònóm ^.. . Chi sau^nhdng còng trình eùa Bernstein mot phài Niiat n d i trong nhdnqj nàm dau cua thap ky 70 , trddng bat lén vdi càc còng trình cua H. Komatsu , M. Sato , M . Kashiwara5 va T. Kawai. Trong so do dàu tién phài ke dén ém so cua cac he luan an cua Kasniuara ve càc nghién cdu dai vi phan CKASH 71] va bài bào cua Sato - Kashi wara - Kawai ve 1y thuyet siéu hàm va toàn tu già vi phan CSA-KASH-KAW 73 3 Di^ém ^dàng chu y là, khàc vdi càc phddng phàp tddng dòi co dién cua Bernstein, càc tàc già nói trén da hình thdc hóa khà thành còng càc khài niem QÌ^^i tich sang càc ^ khài niem dai so, nhd dò àp dung dddc nhdng két qua sau sac eùa dai so hi én dai nhd 1y thuyet giài ky d i cua H. Hi ronaka. Vdi còng trình vdà ké , càc tàc già da dda ra , mot quan diém mdi 'vi mò dia phddng" ve càc he vi phan, qua dò dat dddc nhdng két qua quan trpng nhd tinh ^dòil hdp eùa, da tap dac trdng hoac càc dinh ly càu truc tóng ì quàt ...| { xem tSCHA 8511 ) . Td dò cho dén nay, ly thuyet vành toàn td vi phan co mot vai tró quan trpng trong nhiéu n'gành toàn hpe khàc nhd hình hoc dai so , 1y thuyet ky dii » dai so Lii va cà ly thuyet tich phan Feynman. 1 Dén cuoi nhdng nàm 70, da co thém nhiéu tac già tham già nghién cdu ly thuyet D-mòdun , trong ^sò dò co the ké là T. Oshima (Nhat), J, E. Bjork (Thuy Dién), va dac biét trddng phài Phàp vdi P. Schapi^ra, F. F'ham, Z. Mebkhout, 0. Gabber ... Tat nhién khòng the khòng nhac dén nhdng két qua cua càc ngành toàn hpe khàc co ành hdong 1dn dén ly thuyet D-mòdun trong dò co càc còng trình eùa V. P. Maslov, Hormander, „.. trong phddng trình dao hàm riéng, eùa A. Grothendj. eck, J, P. Serre, R. Hartshorne, J, T, Sta-f-f ord ... trong dai so , cua L. Schwartz, M. Sato ... trong ly thuyet hàm suy róng, va eùa nhiéu tàc già khàc. Xuat phat td giài tich va sd dung phddng phàp cua dai so , bau hét càc bai toan cua 1y thuyet vành toàn td vi phan dèu nàm gida ranh gioì eùa hai llnh vuc này . Tuy nhién, do ràng sd sàng sua va tinh khài quàt cua minh, co thè nói y ngòn ngd va còng cu dai so da bau nhd Kuyén suòt càc toàn Cauchy trong tddng eùa 1y thuyet. Chàng han, bài cach nhìn eùa ly thuyet phddng trình dao hàm riéng dddi D~-mòdun , là gidi han ngddc (inverse limit) eùa mot ho co mòdun nào dó^. Qua do , Dinh li Cauchy ~ Kowalepskaia dién dddc dién dat bang sd tddng dddng eùa hai pham trù (Dinh li Cauchy ~ Kowalepskaia - Kashiwara, xem CBCHA 8511) Mot thi du khàc , ta co thè Ket dai so Weyl r^„ (k ) theo mot quan diém thuàn tuy ly thuyet vành nhd mot k-dai so sinh bdi 2n phan td K, , . . - ,K„ ,y, , - . . , y^ vdi quan he LK-, ,Kj 1 » 0 , Ly. ,y. ] == 0 , Cx; ,^,^3 - 1, va ^nhd thè mot he vi phan vdi he so da thdc (trén k) dddc hi éu 1 a mot k-khòng gi an vectd cùng vdi mot tàc dòng eùa càc phan td K-^ ^y^^ ,v-v. vi nhdng 1i do trén, mot hddng td nhi én eùa 1y thuyet D-mòdun là khài quàt càc tinh chat eùa càc vành toàrì th cu thè thành mot 1 óp vành trdu tddng de nqhién CLÌU bang dai so . Nh i éu tàc già da quan tam dén hddng này nhd J. E. Bjcjrk, 0. Gabber, A. van den Essen, . . , Mot nghién cdu nhd (dai so) cho mot thè bao gòm vièc^xay ddng mot ly thuyet lóp vành mang rihdng dac trdng eùa càc vành toàn td , nhdng mot linh vuc àp dung dòng thdi dù tòng c|uàt de co dilóc là bay tìm nhdng rpng rai , Theo hdóng do, viéc dau tién dac di ém chung eùa càc vành toàn td quen bi et . Nhd da thày, càc vành Art(k), càc stalk eùa càc bó D^ , Ex déu Noether (hai phia) va co lpc- Ngoài ra , ^ chung Lièu co chiéu dòng dièu hdu han ^. Theo mot ^quan diém nào dò, càc tinh chat vda nèu co thè xem là dù de xày ddng mot mò hình eùa mot Idp càc vành toàn td nhd J. E. Bjork dà làm trong tBJO BSÌ va CBJO 87]| J. E- Bjork , khi nghién cdu Idp vành Noether nhd trén, dà chù y dén mot bat bién quan trpng trong pham trù mòdun tddng dng - Bàt bi én dò gàn cho mòi mòdun M mot so nguyén khòng àm j sao. cho càc mòdun Eiìt ^ (M,F\) déu tri et tiéu vdi k j va EMt^(M,R) 5^ 0 - Day là mot thay thè tòt trong trddng hdp h:hóng giao hoàn eùa khài niem grade ,(hay dòi chiéu) cua mot mòdun trong Dai so gi ao hoàn - Dai 1 ddrig này, theo mot nghTa nào dò, co thè dùng de dành già kich thddc eùa mot mòdun ve mat dòng dièu , va dà dddc xét dèn trong CFOS - GFTII -- REI 75] . Trong bài bào này , càc tàc già dà • de ngh j. mot dinh ngh3^a cho càc vành Gorenstei n "khòng giao hoàn' , trong dò co aiòt diéu kién qpi là Diéu ki èn Ausiander . Tuy nhién , J- E. Bjork 1à ngdoi dàu ti én ;ìét dèn Idp vành này mot càch co he thòng va ;;ày ddng mot ly thuyet ve càc vành * Gorenstein khòng giao hoàn '- Tat nhi èn 1y thuyet eùa Bjork hddng tdi càc àp dung trong càc vành toàn til vi phan, nèn ngoài tinh Gorenstein, mot khào sàt tddng dòi ky ve càc ' vành Noether co lpc ' cùng da dddc thdc hièn, Bac biét , ly thuyet eùa Bjork dda trén sd tòn tai va fiòi tu cua nhiéu day phò dòi dòng diéu trddc dò dà dddc khào sàt trong CRD 733 va [ISCH 693Ly thuyet cua J, E. Bjork ve càc vành Gorenstein khòng giao hoàn (trong 1uan àn gpi 1à càc vành Ausiander-Gorenstei n) ngan gpn nhd sau, Cho va varih Noether co lpc co thè nói vdi chiéu nói Jia hdu han vành R Noethier trai va phài inj-dim R ~ K < =-« (già thiét này yéu hdn ql.dim R < »<> ) . Vdi mdi R -mddun M , tòn tai^ mot day phò ma sd bang E^ là E;i t^ (ELKt^(M, R) ,R) - Day pho này mang nhiéu thòng tin ve mòdun M ,dàc biét nò chdng minh sd tòn tai eùa bat bien khòng am j(M) :- min ^ k grade nói d trén : dò 1à so nguyén ( E;;t^ (M,FO v^ 0 } . R dddc gpi là mot vành Gorenstein neu : mòdun con N vdi mpi R -mòdun M, mpi so nguyén k ^ 0 , mpi eùa Ext^(M,R) , ta déu eó j(M) ^ k - ( Diéu kién này do F( là vành Gorenstein, day Auslander dda ra dau tién )- Khi pho này bòi tu,va nhiéu két luan bò ich dddc rùt ra td dóChàntj han, mpi mòdun M déu co mot lpc M^^ e, , , e M^ :::: M, trong do mòi thddng M; /M^^^ déu thuòc mot 1 dp mòdun dac bi et, qpi 1 à càc mòdun thuàn tù>^ (pure modul es) - Cac mòdun này dddc dac trdng bdi tinh chat :tat cà càc mòdun con dèu co cùng ( : : : : h*. ) mot grade. Bac biét, Idp càc mòdun eó grade CLIC dai dddc gpi là càc mòdun hòlònòm - Khi trén vành R dddc trang bi mot lpc FR , chung ta quan tam dén ành hddng cua tinh Gorenstein eùa vành phan bac 1ién két grR dén t inh Gorenstei n eùa bàn thàn vành R , Khi 1pc FR 1à Arti rv Rees, J - E, Roos va J - E Bjork dà eh LÌ n g min h r~ a n g né u g r H 1 à vành giao Gorenstein thì R cCing co tinh chat dò . Do mpi hoàn chinh quy déu Gorenstein ta suy ra rang càc vành A < k ) , , dèu là vành Gorenstein- Diéu này cho!thày ly càc stalk thuyet dang de cap dén da dàp óng dddc mot dai bòi dat ra tùi dàu là nò phài bao gom càc vành toàn tu vi phan quen biét-Nhd vay mpi tinh chat vành va mòdun dà thiét 1ap déu àp dung dddc vào càc trddng hdp cu thè eùa A ( k ) , D va E cua mot dai so Li e hdu han chi é u ) . (va cà càc dai so bao Ti èp dèn , vdi già thiet grR gi ao hoàn ta Ket càc i deal dac tr dng va da tap dac trdng eùa mot nió d u n , dac co bi et khi mó dun dò 1à thuàn tuy hoac bòiònòm. Chàng h a n , thè chdnq minh ràng mpi mòdun thuàn tuy déu co da tap dac chdng trdng dàng chiéu (kèt qua rìày dau tién dddc Kashiwara dò dddc mi nh cho trddng hdp vành vi mò - dia phddng , sau dai sd bao) . Ngoài ra, « Babber ctidng mi nh cho trddng h d ^ càc khào sàt ve vành lpc cùng dàn dén viee nghién cdu càc thanh khài vành Rees tddng dng va Bjork dà khài quàt chung niem T-vành ( ;:em CBJO 8 7 , Part i n , TEK 8 B ] ) . Vdi ky chdng minh mdi eó thuat riày, chang h a n , Eijork dà cho mot phan t ò n g quàt h d n cua D i n ^i 1 y Gabber' ve ti ri h d ó i , h d p e:: ù a ' da tap dac trdng . Nhdng két qua vùa nèu co mot so dng dung vao cac v^nh toan Xet dai sd Neyl A ^(C) vài già sd tu 'vi phan nhd sau Khi dò vanh dia philc3rtg | CI;•; , F'' J P, £ CLx3 -: ceM • » • " ? '- „ ] diéu A„(C) là niòt vành l!à mot A n (C)-mòdun . Sd dunq là Auslander - Gorenstein ta co the chdng minti ràng C [ K , P 3 niòt mòdun bòi óndm (day 1 à mot d inh 1 i cua 1. I-J. Be^nstei n ) ddng càc b-tiàm (con gpi là da tliùc Td d ò , co thè xày Bernstein - Sato) dòi vdi mpi da thdc P € CLK] cho truócBày gi d cho X là mot da tap phdc n cìii èu va gi à sd Fi: cà hai trddng hdp, là mot stalk eùa bó D hoac E - ìrong , nhd dò trén R déu co càc lpc de cho gì - dim (grR) -- 2n ciu-ing mi nh dddc dàng thdc j (M) -^ d (M) 2n, vdi mpi Rra dddc bat dang thdc Bernstein mòdun MTd day suy M là d(M) ^ n (d(M) ki hieu chiéu Gelfand - K i r r i l o v ) . Nèu chdng mi nh ddde hoac M mot mòdun sao cho d(m) = n + 1 , ta ( khàc 0 ) hoac M/f(M) 1à chda mot mòdun con hòlònòm hòlònòm vdi mpi ddn cau -f : M > M. Nhd ta co thè thay dddc^ ly thuyet eùa Bjork ve càc vành Auslander- - Gorenstei n theo mò t a d tr- éri 1 à mpt hiL.Ìóng nghi én cdu vanh - 1y thuyet co dòng ed td càc van de 1i én quan den dai so Weyl A„(k) , càc vành Dj^ , E^ , U(g) . - Ly thuyet cua Bjork dà ;;àc 1 ap mot pham vi nghi én cdu khà rpng rai dòng thdi cùng manq nhii éu dac trdng eùa càc vành toàn t e , va bddc dàu dà thi et 1ap dupe càc co sd eùa nóTàt nhi én bàn than 1y thuyet cùng eó su 1y thù ri éng cua nò , nhd là mot van dà eùa ly thuyet càc vành két hdp , va càc t::èl: qua trình bay trén day ngoài nhdng àp durig vào càc D-mòdun , ec-n co mot y nghìa nhat dinh ve mat ly thuyet vành - Tuy n h i é n , theo chung tòi con n h i é u van de co 1ién chat che dén càc trình bay trén ma Bjork chdai chda de cap dèn hoac chda khào sàt day^ dù. Chung tòi néu ra sau day , ddói dang cau h ó i , mot so van de khà ed bàn , va chung dà 1à dòng 1 de cho càc nghi én cdu eùa 1uan àn này . ( Trong e: a e p h à t; b i è u s a u , F( k i h i e u mot v a n ti A u s 1 a ri ci e r • - G o r e ri s t e i n ) , l.Khào sàt tinh A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n trong càc Idp vành quen thuòc (càc vành gi ao h o à n , vành ma t r a n , vành n h ó m , PI-vanti .--)càc khào sàt này se cho ta thém nhiéu thi du ve càc A u s i a n d e r Gorenstei n . vành 2.Nghién cdu cac B- lpc trén cac R-mò d u n . Mot trong nhdng chat ed bàn nhat eùa vành A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n 1à sd t inh 4 ..W4. ^v_j L-utcì iHLJu u d / p n o , g p i 1 a d a y p h ò R u o s - B j o r k ~ I s c h e b e e k V d i ' m ò i m ó (iJ u ri hi, d a y p hi ò n à y c o E ^ --: E ; i t ^ ( E x t ^ ( M, R ) , R )va b o i t u v e c h i n h Nò d u n M- Dac b i e t , La c o m o t 1 oc i M^ e M^ e , . . e H^ :^ M , t r " o ri g dò ^ là c h i é u nói x a e ù a va n h E< ( B -1 g e ) . C a u h à i d d a y là bay k h a o sàt s a u h ó n n i.l a càc B ~ 1 p e 3. T ì (lì e: a e li dac: t r" d n g càc mò d u n dac t:) i e t ( m ò d u n t h u a n t u y , mò dun ho lo nòm . - - ) - Vdi già thiét R dddc loc sao cho vành p hi a n bac lién I-:: è t grR là v à n hi g i a o hi o à ri, t a h a y m ò t a e a e 1 d p m ó d u ri nói trén qua càc dòi t d d ri g " h i n hi i i p e '' h d n ri hi il ideal dac t r~ il n g , da tap dac t r u n g , t a p e: a e ideal n g u y e n t ó 1i én két''I. N 9 hi i è n e il u Idp càc lpc tòt trén (n ò t m ò d u n e \ 11;:) t r" u d e . C h a fi g lì a n càc: ideal dac t r d n g , càc i tJ e a 1 1 i e ri k et - - . d i.l d e dinh n'ghi'a thòng qua eàe ìge tòt trén mot mò dun M, nhdng r • ò t e LI e e hi ù n g k hi ò n g p hi u t h u ò e v à o 1 p e d d d e e hi c) n . X e t e a e ideal I p M ;- A n n grp M e grF<, càc t a p A p M :- A s s grp M e S p e e ( g r" F( ) , nói e hi u n g p h LI thi u o c v a o l p c t ò Iv. F. C' h LI n g t a hi a y khào sàt sd phu thuòc này. mò d u n h o l o n ò m . V e m a t g i à i t i c h , l^hh i Un cdu s à u h d n cac mot h e h o 1 ò nòm 1 à m o t b ó c o h e r e n t v ó i d a t a p d a c t r c ì n g L a g r a n g c d ^ n ( d ò i h d p v a c o c h i é u e de t i é u ) u Cau hc)i d d a y l à b a y 1 i é n h e k h à i n i em n à y v d i k h à i n i em h o 1 ó n ò m d d d c d i nhi mò d u n n g l"ì i a m ò t e à e hi " t h u à n 11 j y d a i s o ' t v o n g p hi a m t r ù eàe t r é n mot vanh A u s i a n d e r - G e r e n s t e i n « 6 - L i é n h e v d i p h é p v i ma d i a p h L Ì d r ì g hcja ( m i c r o - 1 o c a l i i r a t i o r i ) X é t v à n h 1 p c F( v d i 1 p c FR ~ { R^ , n e 2 J . Mot vi du t i éu b i è u v e c à c 1 oc ( k h ò n g r d i r a c ) n à y l à 1 p c t h e o b a c e ù a t o à n t LÌ t r è n e a e e a n hi ( s t a 1 h: ) e ù a eàe b ó Ej^ . M o t 1 y t hi u y è t d a y d ù v e p h é p v i mò d i a p h L Ì d n g b o a ( g i à i t i c h ) d a dLÌdc xày dLÌng b d i KaBh i t-jar" a , K a w a i v a 0 s h i i ma - L y t hi LIy è t d a j. s o t: d d r i g drig ( a l g e b r a i e (di cr' a - - l o c a l i z a t i o n ) d a d L Ì d c t r i n h b a y t r o n g CES Bòa~}. ChLtng t a b a y n g h i é n CLÌU s d t L Ì d n g q u a n g Ì L Ì à t i n h thuan t u y v a t i n h h o l o nòm q u a p h é p d i a phLÌdng h o à d a i s o n à y - L u a n à n " M o t s o n g h i é n CLIU v e vành Auslander Gorenstein khòng g i a o hoàn" nhàm phàt triérì ly thuyet nói t r é n eùa Bjork theo hdcing giài quy e t eàe van de 1 - 6 VLU-< néu. T r é n t i n h t h a n d ò ,'^ c h ù d e n g h i é n c d u c u a 1 u a n à n 1 à càc vành Ausiander-Gorenstein, vành Noether c o 1 p c ^ p h é p v i mó d i a p h d d n g h c j à , v a Lìng d u n g c à c l y t h u y e t này de n g h i é n cdu càc h e h o l o n ò m v a h e t h u a n t u y . DÓrig (:4Ó|:J cua chung t ò i l:.r o n q 1 u a n a fi t) a o g ò di n hi LÌ fi g k e t c:| u a t r i n hi ti à y d LI d i d a y . ( C à e v à n hi A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n dddc g p i t a t l à vành A - G ) - 1. Dinh fighia cua vành A-G khòng g i a o hoàn do J„ E. Bjork d d a r" a ( 1 9 8 7 ) e: ó i t f i h i è u 1 i è ri q u a ri t d i càc v à n hi B o r" e n s t e i n q u e n b i è t t r o n g D a i s ò g i a o hi o à n . V a fi d e t d n hi i è n dat r a 1 à t i n h A--G t r o n g t r d d n g h d p g i a o h o à n va t ifih Gorenstei n t h ò n g t h L Ì d n g 1 i é n h e v d i n h a u nhLÌ t h è r ì à o . C h i ù n g t ò i d a e l i 5. r a t r o n g 1 u à f i à n r à n g m o t v à r i h i g i a o h(::)àn FA' l à A G k h i v a c h i ì khi F: 1 à vành Gorenstein va co chiéu Krull hdu hanDiéu này dac biét hiLÌu ich trong càc khiào sàt tièp theo ve vành A~G co lpc vdi vành phan bac lién két giao hoàn. Cùng td két qua này, suy ra ràng mot R -(iiòdun hdu han sinh M là thuàn tuy khi va chi khi mpi ideal nguyén tò eùa Ass(M) dèu co cùng mot dò eao h - grade (M) - Mot he qua dàriq nói eùa tinh chat trén là vdi H - móduri M bat kì ta co phan tich * I Ass(M) -- U A5s(EKt^(EKt^(M,R) ,R) , i trong dò thành phan t h d k d v e p h i a i chi i g o d i ntiLUig i deal dò cao bàriq k ( 0 •-! k <: K = i n j - d i m R ) ( e a u b o i 1 ) . 2 . Cho mòdun M t r é n vanh dò day phò Roos - Eijork tréf» M mot l o c (B-loc) ^X^ v a g i à t h i e t FA Ischi eh eck bòi e M. 1à v a n h t u Và A-G. càm ed Khi sinh M M^ / M ^ . ^ l a t h u à r i t ù y , L p c n a y lién t r o r i g qo mòi thiddng guari t h u à n t L i y h o a c t i n h h o l o n o m . C h u n g t c j i d à dac trLÌrig dén I t i n h M duida l p c n à y nbcì s a u la mddun con 1 dri n h a t so trp, g iDU càc mòdun con cua M co grade khdng vLÌdt c^ua | H - k . dung dièu này , chung tòi xét dèn t inh chat ki éu A r t i n - F ^ e e s " eù a N e M B-lpc va chdng minh rang vói m n i '^k trnnq da N„ e N, e: - N (\ M, N„ la B-1 oc cua mò d u r i N (càu boi 2) 3- M. K cishi wara (eho trLidnq hdp vanh vi md dia phìLÌcing) v Gabber (cho tru!dng hdp dai so bao eùa dai so Li e) dà e hiLÌfig minh ra ng da tap d ac trdng eùa (noi diòdun 1 à rdòt tap d à n g chiéu - J- E. Bjor ^. nhan xét ràng diéu dò van dùng d ò i voi càc vành A-G. d day, eó trong tay mot hièu biét k h à day dù ve càc vành A-G va vành 1pc, chung tòi dà cho m o t chLUK^ m inh gpn, r 6 cho khàng dinh dò . Luan àn cùng dà d d a r a d i f1 hinghla cua mot mò dun thóa man t i è LI dièu kién edc dòi vdi càc ideal nguyén tó lién két, va chLÌnq minh ràncj d a y cùng là (dot di éu k ieri can eùa tinh thuàn tùy, cho diót 1 cip càc F< - mò dun. Id d ò ,, r k.. èi=. t- hdp Dinh 1 i Kashi wara vvdi di Dinh Gabber ~ Bjork mot d i è u k i è n c a n v a dLi c h o t i n h tuy thuàri dLÌdc thi iét 1ap (cà u b ò i 3 ) 4. Ta biét néu ideal (càn) I(X) cua da tap dai X e k so eó phan tich "nguyén tò I (X) ::: p^ n . . - 0 p^ , vdi là cac ideal figuyén té tron g vành da thcìc A kE!;;^ , . . - ,x^ 3 ,thì h) àf 1 t ti ari X d LId e p hni atich thành càc thành phan bat khà qui tLÌdng LÌng X ™ X^ U- . . U Xj , vdi I (X;_ ) - pi^ (k - trtidng dac so 0 ) . vi ly do dò^ trong nhiéu trLk^ng hdp nQdhi ta dòng fìbàt da tap X v di tap { p, ,, - . , PJJ C Spee (A) . Dei vói trLicìng hdp eàe mò du n trén mot vành toàn td, ta cùng 1àm nhd thè- FU^y gid già thi et trén vànhi Fi; eùa chung ta eó mot lpc sao cho grFc là vành Noether giao hc^àn va M là idòt Fi; - mò d u ri hi LÌ u hi a n sinh- uNé F là mot lpc t ò t t. r" è ri i '1 t a g pi J ( 1^1 ) :-: v'^ Ann gr^ M là ideal dac trdng va V(ii) :~ tap càc ddc nguyén tò eùa J ( M ) . Ideal dac trdng ^ (va do dò tap V(M)) khòng phu thucpc va o viéc chpn lpc tòt F. Tuy nhién ta con co eàe ideal va tap hdp sau, nói chung phu thuòc thdc sd vào 1 pc ApM ApM càc F : ideal 1inh hóa td IpM : - Ann grp M e grR, tap hdp :~ Ass grp M 5pec(grR). Do nhLÌng khào sàt ci trén, tap e Spee(grR) co ly do de dddc dac biét chù y. Thòng qua tap hdp L^^M : = E;ta symbol chinh. CÓ hpe cho t inh holonomTd két qua này , suy ra tinh holonom eùa mot loat càc mòdun dia phddng vi mo a u b o i 5) cua 6- Chung tòi chLÌng minh sd bao toan cua tinh A - G vanh voi già R qua càc phép dia pbtldng hóa vi (nò . Chin h xàc, thiét R co mot lpc Artin-Rees va grR là vành A - G g i a o h o à n , chung tòi chdng minh dddc mpi vành vi mò - d i a p h i L Ì d n g E R déu 1à vành A-G d i éu này va vdi p e Bpec(grR). Bu dun g c a c k é t q u a n o i d 2^ phép dia , chung tòi chting minh r à n q p h L l d n g h ó a t i ò t mó d u n t h u à n t ù y gid nquyen t inh thuàn tuy eùa mò d u r i d ò - N g o à i r a , n è u c h i d i a phLÌdng càc hóa t h e o ideal nguyén tò cua tap V(M) , ta 1 Liòn thu 1 udrì dLÌdc c à c mò d u n t h u ò c 1 d p B e r n s t e i n (ma t he o 5trén , d dLÌdi nhcUig d i è u k i é n n a o d ò , 1 à e à e mó dun h o l onom) NhLÌ v a y chung t ò i dà khào s à t tLÌdng d ò i day dù ành hddng eùa p h é p d i a p h L i d n g h ó a v i mò d ò i v d i c à c t i n h e h à t v à n h va mò dun dàng quan tam _ t i n h A-G, t inh thuan tùyt inh hiol onom (càu bòi 6)- V d i . ^ n h d n g n o i d u n g n é u t r è r i , l u a n à ri fi g cj à i m o t e h d d ri g 0 d e c h u à n b i , gòm e o 3 c h c ì d n g - Cac c à u b o i 1 i<2 d d d e x&t dèn d tòi c h d d n g 1 ; t r o n g chLidng 2 c h u n g et e à e e a u bòi 3 ?/. 4 ; va chLÌdng dành cho càc cau hói 5?<òNói dung eàe chddng eó t h e n o i van tat nhLÌ sau(Trong eàe trình bay s a u , " vành" dLÌdc hi ed 1a vanh kèt h d p , co ddn VI va cae mo dun neu khòng nói khàc di dèu là mò dun trai ) ChLÌdng 1 nghién cdu tòng quan ve eàc vanh Ausiander-Gorenstein va càc mò dun eùa chung, dac b i e t là càc (Tiò dun thuàn tùy va mò dun hòlònòm- Càc dinh n g h i ' a va eàe tinh chat ed bàn phan 1 dn dà co d LBJG 8711, e il uri g tòi chi cài tién mot so va dda ra eàe vi du v e vành Ausiander-Gorenstein. Dac biét, sd tòn tai (va bòi t u trong trddng hdp vành Ausiander - Gorenstein) eùa day p hi ò m a r i g tèn Roos - pjork - Isehebeck là ed sa cho nhiéu e h d f i g (fi i fi hi Bau này, dLÌdc khào sàt tddng doi ky. Ri éng trcjnq 4;- 1 . 5 , c h i ù n g tòi chLÌnq mi nh mot di éu k i èn can va dù de (11 d t V a fi hi gi ao hoàn 1à Ausiander- Gorenstein (Dinh li 1.5.1) Ké t qua nay cho t h à y t è n gpi nguyén t h ù y ' vành Gorenstein ' eùa B j o r k 1 à chLÌa th ich dàng , va chung tòi dà (jpi cac vanh này 1à A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n , t h e o CEK 8811 ) . NhiLÌ 1 à mot hié qua, chung t ò i suy ra mot d i n h 1 y p h a n t i c h c h o tap Ass M t r é n mot vành Auslander - Gc^renstein giao h o à n eó c h i é u K r u l l hLÌu h a n ( D i n h l i 1 . 5 . 7 ) . i ChLÌdng 2 n g h i é n CLÌU c à c v à n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i ri c o 1 pc va càc mò d u n 1 pc t L Ì d n g LÌng. C h u n g t ò i gi di t h i éu khài n i ém l p c A r t i r i - R e e s t r é n mot v à n h R v a k h à o s à t s u l i é n he giLÌa vành R va vành grR- Dinh l y eùa Fi;oos va Bjork (dinh ly 2 - 3 - 2 ) v e si.ì t r u y é n t i n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n tLÌ grR BC\ng R v a d à n g t b c ì c j (M) ~ j ( g r M ) l à cc3 b à n c h o càc k è t qua sau TLÌ mot dinh li eùa K a s h i war" a , Gabber va Bjork , B j o r k , c h u n g t ò i t ì m dcìpc (iiòt d i é u k i é n c à n v a d ù d e mot (nò d u n 1 à t h u à n t ù y t h ò n g q u a i d e a l dac t r c ì n g v a i d e a l 1 i é n k é t t r o n g c à c Menh d e 2 . 4 - 3 , 2 - 4 - 6 , v a 2 - 4 - 8 . Dac b i è t luan àn d à dda ra d i u i h n g h ì a c u a mot mei duri t h ó a mari d i é u k i èn cdc t i é u d ò i vd:. i d e a l n g u y é n t ò lién két ( D i n h ngh'L'a 2 - 4 - 5 ) Trorìg $ 2-5 chùng tòi nghién cdu càc tap con eùa Spee (grFi;) va càc ideal eùa grR dinh nghTa trén mot mò duri M t h e o càc l p c t ò t : ApM ;~ A s s g r p M ', IpM : ™Ann g r p M. V d i s d dLÌa ra d i n h n g h i a c u a tap V(M) (dinh r i g h i a 2 - 5 - 4 / , chiùng t ò i d à d a n h g i à , t r o n g mot e h LÌng mdc n à o d ó , s L Ì p h u t h u ò c e ù a M v à o làp càc l p c t ò t F ( d i n h l y 2 - 5 - 5 ) . T r o n g chLÌdng 3 , cbLing t ò i n g h i é n eu'u s d l i é n q u a n g i c ì a eàe v à n h l p c , mòdun h ò l ò n ò m , mòdun t h i u à f i t ù y , p h é p v i mò dia p hi d d n g hi o a , v a ^: hi a i n i è m (n ò d u ri v d i kì d i c h i n hi c:| u i . -$• 3 - 1 ehiLÌng mi fih (tiòt s o t i n h c h a t eùa mòdun hidl óriòm 1 i én he vdi v à n h 1 p c . Dac b i e t , chLing t ò i cìdc 1 LÌdng mot chiari trén cho càc d a y h(5p t b l - i n h eùa mot mòdun h ò l ònòid t h e o " e y c l e " eùa fio ( Menh d e 3 - 1 - 4 ) . Cac mòdun " thiuóc Idp JJiiernstein " dLÌdc k h à o s a t d :t 3 - 2 v a mot d i é u k i è n d e chio 1 cip này va 1 c)p eàe mòdun h ò l ò n ò m t r ù n g n h a u ( D i n h l i 3 . 2 . 7 ). Tièp t f i e o , k h à i n i e m v i mò - d i a p h d d n g hc^a dLÌdc g i d i t h i è u , nhicì t r ì n h b a y t r p n g CES 8 6 a 3 . Chùng tói chiLÌng (ninh sd bào t o à n c u a nhi i è u t i n h c h a t v à n h v a mòd u n q u a phi èp dia p h LÌdng h ó a n à y ( Càe D i n h l i 3 - 4 - 1 , 3 . 4 - 4 , 3 - 4 . 5 ). Cuòi c ù n g , nièdi T - v à n h nhLÌ dcide d i n h n g h ì a chùng t ò i khào sàt khài t r o n g CBJO 8 7 3 v a c à c 1 d p mò d u n vdi k1 d i eh i n h q u i t h e o n g h l a d a i s o (;iem t E B Bob 3 ) v a c h d n g (ni nh su bào toàn eùa t i n h k ì d i c h i n h q u i q u a mot s o phép dia phLÌdnq hóa càc 3' v à n h n à y Dè cho hgudi dpc t i é n t h a m k h à o mot s o k é t q u a ( r à i ràe) tìì ly t h u y e t v à n h , d a i s o g i a o h o à n , d a i sci d ó n g d i é u , ... v a dcìde d ù n g k h à t h t ì d n g ^ x u y è n t r o n g luan à n , chùng t ò i bat d a u b a fi g m ò t e h LÌ d n g e h u a f i b i ( e: hi LÌ d n g 0 ) n hi a e lai càe ^:; é t c:jùa d ò - Trcjng ehLÌc3rig n à y , e h ù f i g t ò i eL(rig t r ì nhi bay fihdng q u y LÌÓc v e t h u a t ngd va ky h i e u sé dùng t r o n g l u a n àn- hidcL^ng dan nhi i e t t ì nh va L u à n àn ddde h o à n t h à n h CILÌCÌÌ s d n g h i é m k h à c ^ e ù a Gs- N g u y é n D Ì n h N g p c - Càc b à i g i à n g va càc b u o i s e m i n a r e ù a Gs- J - E, B j o r k t a i V i é n D a i h p e Btockholm v a n h d n g t h i à o l u a n v d i E. K. E k s t r o m da eung c a p c h o t à c g i à n h i é u y t d d n g va tei l i è u q u i b a u - Gs. Huynh Mùi va T r u n g t a m CAMICE d à d à n h c h o t à c g i à n h i é u s u d u à i trong thói gian chuàn bl luan àn- Tàc^già chàn thành eain dn cac giao sd, ban hpe va trung tàm da ke trén day, va tat ea nhdng ngddi da giùp tàc già hoàn thành luan àn này- #-" Ghilòng 0: PHÀN CHUAN BL § 0.0 càc thuat ngù va ki hléu dùng trong luan àn. Chimg tol sé dùng càc qui Uóc sau: " Vành " dUdc hléu là vành két hóp, co dòn vi, khàc 0, va dong càu vành chuyén phan tiJ dòn vi thành phan til dòn vi- Moi mó dim dé\i unital , tiic phan tii dòn vi cua vành tàc dong dòng nhàt lén mò dun ddKl hléu " e "(hoac " ^ ") diing de' chi bao hàm thiic thùc 31/ , va A £1 B, chàng han, co nghià là A e B ìioac A == B. Cho truóc vành R, pham trù càc R-modun trai phài) dUdc kl hieu là R~mod (tddng ùng, mod-R). (Utóng ùng, Trong luan àn này chù yéu chùng ta quan tàm dén càc mo dun hùu han slnhì^ chi' can eùa ideal I trong vành { r t R Ir"" € R vói n nào do } va giao hodn R, tue ht-1 , vói I?^R . ki' hieu tap do cao (height) cua ideal I. § 0.1 Nhàc lai mot so k§t qua cua ly thuyet vành két hòp. 0.1.0 Trong tlét này R kl hléu mot vành co dinh. nhac lai khài niem dia pMóng Chùng hóa (trong vanii khòng giao va mot so tinh chat cua ideal Jacobson eùa vanii R. Chi the' tlm ò [MAC-ROB 861, [LAM 763. 10 tòi sé hoàn) tièt co 0.1.1 vành va mo dun dia phifdng hòa. 0.1.1-0 Cho tap dóng nhàn tinh S e R ( x *-: S, y ^S ^ xy ^ S ). Mot vanh cdc thilóng (ben trai) vói mot dóng càu vành 1) t|)(s) ^d cua R theo S là mot vành Q cùng cp : R — > S thóa man nghich trong Q vói mpi s € S ; il) moi phàn tu q e Q déu co dang q = (p(s)~^(p(r), vói s t S va r t R nào dò; ili) V r € R, cp(r) = 0 khi va chi khi a s e S de sr = 0. Vành Q nhd vùa nói, néu tòn tal, là duy nhàt (sai kém mot dàng càu). 0.1.1.1 càc diéu kién Ore. Gol càc diéu kién sau dòi vói tap dong nhàn tinh S là càc dieu kien Ore ben trai: 1) V r ^ R, V s € S, 3r*€ R, s'eS sao cho s'r - r*s (nói càch khàc Sr f\ Rs ^ 0); li) V r e R, sr = 0 (tuóng Uhg rt = 0) vói s (tifong ùng, t) nào dò €S khi va chi khi 3 s'ddòng ùrig, t') è S sao cho rs'=0 (tdóng ùng, l'r = 0 ) . (Chù y l'ang ii) thdc ra là tràl-phài dòi xùng). Cac diéu klen Ore ben phài cùng dUóc dinh nghla tttóng td- 0.1-1.2 DINH LÌ. Vành càc tMóng ben trai cita R theo S toh tai ìihi va chi' M'd S thóa man cdc dieii kién Ore ben trai ^ Kl hièu vành nói ò dinh 11 trén là S"''R- Tal nhièn cùng co dinh 11' tdóng' td cho vành càc thdòng ben phài cua R theo S. kl' hléu RS".^ Néu cà S"''R va RS"'' cùng tòn tal, ta co S~''R ^ RS"] 11 0.1.2 Ideal Jacobson- 0-1.2.0 Kl hieu ideal Jacobson eùa R là Rad(R). Ta co Rad(R) n { càc ideal trai cdc dai } ^ n ^ ^^c ideal phài cUc dai n { càc ideal cdc dai }. , > ^ 0.1.2.1 DINH LI. Rad(R) là ideal lón nhàt cua R sao cho 1~r Mia nghich vói moi r t Rad(R) ^ 0-1.2.2 BÓ DE (Nakayama). Neu 0 -/ M là mot R-modun hùu han sinh vd I ^ Rad(R) là mot ideal cua R , ta co IM / M ^ § 0.2 Nliàc lai mot so két qua cua dal so dòng diéu. 0.2.0 Trong tiet này chùng tòi nhac lai mot so kèt qua lién qjan dén Ext, chiéu dòng diéu, chicu noi xa, va day pho (chù yèù day phò sinh bòi mot song phùc). 0.2.1 Ext và chiéu dòng dléù. 0.2-1.0 vói mpi R-mò dun trai N, Ext^(_,N) ddòc dinh nghià là hàm til ddn xudt thù n cua hàm tu Hom"(__,N) tu R-mod vào 2-mod. Néu M € R~mod và già su 0 < — M < — PQ< P^... là mot giài thùc xa ành eùa M. Khi do Ext^(M,N) là nhóm dòng dieu ó' chiéu thù n eùa phifc 0 — > PQ > P^... ( P :- Hom^(P^,N)) Ta cùng co the xuat phàt tu mot giài thùc nói xa eùa mòdun M và nhan ddòc cùn,? mot nhóm Abel nhu trén. Dac bièt, khi N = R và M là mot R-mòdiuì 12 ti-ài (tdòng ilng, phài), càu trùc song Ext^(M,R) mò dun hièn nhlen trén R làm cho càc nhom tró'thành mot R-modun phài (tdóng ùng, trai). Tu day trò' di, khi nói tòi càc Ext- mò dun, càu trùc mò dun luòn luòn dai cua hieu là cau trùc vùa neu. vói mpi day khòp ngan 0 > M» > M > M" > 0 và mpi mò dun N, ta eó day khóp dai (gpi là day Miòp Ext) : 0—> Ext°(M*',N)—>Ext2(M,N)—>Ext^(M',N)—>Exti(M»\N) --. K 0-2-1-1 cho K n K Chiéu noi xa eùa mò dun N là so'nguyén n lÒn Ext2(M,N) '/ 0 , VÓI mò dun M nào dò (hoac bang co neu nay khòng xay ra), kf hléu chiéu nói xa eùa R sao dieu InJ-dlm N- Dac biet, khi N = R, gpi n là chiéu nói xa eùa va nhàt R và n là . Khi R Noether trai và phài, ta eó n = n dùóc gpi chung là , inj.dim R (xem [ZAK 69]). 0.2-1.2 Chiéu dóng dlèìa toan the trai eùa R du'òc dinh nghià là so' nguyén ( co thè' bang oo ) 1 gì.dim R := sup inj-dlm N , trong dò N chay khàp càc R-mo dun tz-'àl- Chiéu dòng the phài diéu toàn r gì.dim R ddòc dinh nghià tuóng tu. Khi R Noether trai và phal, ta co 1 gì.dim R = r gì.dim R, và so' nguyén này duoc gpi là ehleu dòng diéu toan the eùa vành R, kf hièu gì.dim R. 0.2.2 Day phol 0.2.2.0 ó day chùng tòi dung khài niem day phò^ ( doi dòng dièu) theo [CAR-EIL 57] (vói moi r>2, vi phan d, eùa so bang E 13 eùa day phò co song bac (r,1-r))- 0-2.2.1 Cho song phùc A ^ ' ^ gòm càc mò dun trén mot vành R cho trddc, vói càc vi phàn d^: A^'^^—> A^"*"''''!, d^: A ^ ' ^ — > A^'^i"^] Dat A:= © A^^, vói A":= © ^ n A^'"^ và vi phàn d:= d, + d^- Ta p+q=n ^ 1 gpi (A,d) là nhóm vi phan phàn bac ùng vói song phùc trùc song phan bac eùa A sinh ra hai lpc: Zoe thù iihàt © . © A^'^ và Zoe thù hai rs^p q ' 2 A^'^. Càu F^A : = F^^A := © . © A^''^. II s>^q p Hai loc này trén (A,d) sinh ra hai day phò"! E , r>2 } và , r>2 } tuóng ùng ddòc gol là day phó' thù ìììiat và { E phò^ thù hai dièu eùa song phùc A^:^ Chù y ràng trén mò dun dóng H(A) ciong eó hai lpc tuòng ùng. Gol H (A) là mò dun dòng diéu theo vi phàn d A^'^. Vi phàn d H day eùa song phùc càm sinh trén H (A) mot vi phàn 6 và ta kf hléu H (A) la dóng dièu eùa H^(A) theo ò . Tuóng td, ta co mÒ dun dòììg dièu HjHjj(A). cà hai mò dun noi tren déu song phàn bac. Tà co H^Hjj(A) = jE^ , H^^H^(A) - ^^E, . Chùng ta sé quan tàm dè'n trdóng hóp dac biét sau cua day phò' vuà trlhh bay 0.2.2.2 MENH DE. Già su A^*"^ = 0 vói q<0. Khi dò day phò"i^E^} hòi tu I 14 §0.3 Nliàc lai mot so'ket qua cua dal so giao hoàn. 0.3.0 Trong liét này R ki" hléu mot vành hoàn giao co' dinh. Chùng tol sé nhac lai v'e phàn tióh nguyén so , Ass, khài niem grade và vành Gohen-Uacaulay, Chi tièt eó thè' xem 0 vành Gorenstein. tAT-MA 69], [MAT 86]. De'cho dòn giàn , ta xem vanh R là Noether. 0.3.1 Ass và phàn tich nguyén so. Cho M là mot R-mò dun hùu sinh, Ass(M) là tap càc ideal nguyén tò'/i eùa R sao cho han fi ^ Ann(u) , vói u nào do € R . De" thay vói mot ideal nguyén to' fi , fi t Ass(M) o 3 N £ M vói N ^ R/fu vói mòi fi € Ass(M) , toh tal mò dun con N(fi) ^ M và là /i-nguyén so (tue i/(N(/i):M) = /i) sao cho ^ ^ Ha^AssCM) ^^^^ (phàn ti'ch nguyén so eùa 0 trong M) Néu N £ M, ta co Ass(N) £ ra Ass(M)= 0 Supp(M), « ASS(M) Ì= ASS(N) U Ass(M/N)- Ngoài M = 0 . support cua M, là tap càe fi f Spec(A) sao cho mò dun dia phùóng hóa M 15 ideal nguyén / 0. Ta eó to Supp(M)