BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
——————– * ———————
ĐÀO TRỌNG QUYẾT
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU
VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES
HAI CHIỀU
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2013
BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
——————– * ———————
ĐÀO TRỌNG QUYẾT
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU
VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES
HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Cung Thế Anh
HÀ NỘI - 2013
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi
đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và
chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác.
NCS. Đào Trọng Quyết
2
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Toán - Khoa Công nghệ Thông
tin - Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình,
chu đáo của TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết
ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu tuy
khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa.
Tác giả vô cùng biết ơn GS. TSKH Phạm Thế Long, PGS.TS. Đào Thanh
Tĩnh, PGS.TS. Nguyễn Xuân Viên, PGS.TS. Tô Văn Ban, TS. Trần Đình Kế,
TS. Trần Quang Vinh, TS. Nguyễn Công Minh đã cổ vũ động viên và truyền
cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học,
Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc
biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Học
viện Kỹ thuật Quân sự và Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, những người đã
dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác
giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả thành kính dâng
tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành, những người từng ngày
đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả.
3
Mục lục
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.
LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . .
7
2.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.
ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . .
12
4.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.
KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6.
CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . .
15
1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . .
17
1.2. TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . .
18
1.2.1. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.2. Tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . .
25
1.3.1. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . .
25
1.3.2. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . .
26
1.3.3. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . .
27
Chương 2. NGHIỆM YẾU CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU . . 29
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . .
30
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . .
40
2.5. MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG TRƯỜNG HỢP Ô-TÔ-NÔM . .
48
2.5.1. Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn
cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.5.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng .
48
Chương 3. NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 50
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH . . . . .
51
3.3. DÁNG DIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MẠNH . . . . . . .
58
3.3.1. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng .
63
3.4. XẤP XỈ NGHIỆM MẠNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.4.1. Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn .
67
3.4.2. Xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh . . . . . .
74
Chương 4. HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . 79
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . .
81
4.3. SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
DỪNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.
KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.
KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 102
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG
LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN
Hg , Vg
các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes
(xin xem chi tiết ở tr. 15-16)
Vg′
không gian đối ngẫu của không gian Vg
(·, ·)g , | · |
tích vô hướng và chuẩn trong không gian Hg
((·, ·))g , ∥ · ∥
tích vô hướng và chuẩn trong không gian Vg
∥ · ∥∗
chuẩn trong không gian Vg′
⟨·, ·⟩
đối ngẫu giữa Vg và Vg′
| · |p
chuẩn trong không gian Lp (Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞
Id
ánh xạ đồng nhất
A, B, C
các toán tử dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes (xin
xem chi tiết ở tr. 16)
D(A)
miền xác định của toán tử A
⇀
hội tụ yếu
Y
X
bao đóng của Y trong X
B(X)
họ các tập con bị chặn của X
dF (K)
γ0
số chiều fractal của tập compact K
|∇g|∞
γ0 = 1 −
(xem trang 30)
1/2
m0 λ1
ut
hàm trễ ut (.) xác định bởi ut (s) = u(t + s)
dist(A, B)
nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B
7
MỞ ĐẦU
1.
LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi
mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ...,
dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu
nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công
nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản
quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,
nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây
dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:
∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t),
∂t
∇ · u
= 0.
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất
cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực.
Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có rất
nhiều bài báo và sách chuyên khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy
nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn
khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục
và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức
lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lý. Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoa
học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng
và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày
càng trở nên thời sự và cấp thiết. Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên
8
khảo [58, 59] và các bài báo tổng quan gần đây [10, 61], những vấn đề cơ bản
đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất
lỏng là:
• Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm: Nghiệm ở đây
có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính qui ở đây có thể là
tính chính qui theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính
chính qui theo biến không gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui
Hölder, mô tả tập điểm kì dị).
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi
thời gian t ra vô cùng. Trong trường hợp ngoại lực f “lớn”, chúng ta
nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact,
bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu
tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời
gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng,
tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của
hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. Việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán
xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều
chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn.
• Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một
vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần
cả những mô tả định tính và định lượng của nghiệm, nói riêng là việc
tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (vì nói chung ta không thể tìm
được nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó tồn tại). Việc xấp
xỉ nghiệm chính xác của phương trình trong khoảng thời gian hữu hạn
hoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm là những vấn đề hết sức quan
trọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế. Về mặt toán học, chúng ta
phải xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhận được
9
là ổn định và hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình. Về vấn đề
này đối với hệ Navier-Stokes, xin xem các cuốn chuyên khảo [26, 58, 59]
và những bài báo gần đây [20, 28, 30, 31, 32].
• Bài toán điều khiển được và bài toán điều khiển tối ưu. Tìm điều khiển
thích hợp (trên miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo
của hệ từ vị trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều
khiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một
phiếm hàm cho trước. Về hướng nghiên cứu thời sự và khó này, xin xem
các cuốn chuyên khảo [19, 23].
Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, trong những năm gần đây nhiều
lớp phương trình và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu
hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm
quan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học
đặt ra khi nghiên cứu. Những phương trình này bao gồm một số mở rộng
hoặc biến dạng của hệ Navier-Stokes: α-mô hình [29], hệ Navier-Stokes-Voigt
[7, 8, 25, 36, 37], hệ Brinkman-Forchheimer [7, 38], hệ mô tả chuyển động của
chất lỏng không Newton [21], hệ chất lưu loại hai [49, 50], ...; các hệ phương
trình cặp trong cơ học chất lỏng: hệ Bénard [6, 12], hệ từ thủy động học
[57, 60], ...; và các mô hình tiệm cận trong cơ học chất lỏng [1, 3, 4, 11, 44].
Một trong những lớp hệ phương trình trong cơ học chất lỏng được nghiên
cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes,
được đưa ra lần đầu tiên bởi J. Roh năm 2001. Hệ phương trình g-Navier-Stokes
có dạng:
∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t),
∂t
∇ · (gu)
= 0.
(1)
ở đó g = g(x) là một hàm số dương cho trước. Như được đề cập trong [54], có
hai lí do chính dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, đặc
biệt là trong trường hợp hai chiều:
10
1. Hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều xuất hiện một cách tự nhiên
khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều trong miền mỏng
Ωg = Ω × (0, g), ở đó Ω là miền hai chiều, và các tính chất tốt của hệ
phương trình g-Navier-Stokes hai chiều sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu
hệ phương trình Navier-Stokes trong miền mỏng ba chiều (xem [54, 55]).
2. Về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổng quát của hệ
phương trình Navier-Stokes cổ điển, cụ thể khi g = const, ta thu lại được
hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển. Vì vậy nếu có một kết quả đối
với lớp phương trình này, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kết
quả tương ứng đối với hệ phương trình Navier-Stokes. Ngược lại, việc
chuyển những kết quả đã biết đối với hệ phương trình Navier-Stokes cho
hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt ra những vấn đề toán học lí thú.
Do đó trong những năm gần đây, hệ phương trình g-Navier-Stokes đã được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [9, 22, 33, 34, 35, 39, 41, 40,
42, 54, 55, 56, 62, 63, 64]). Các kết quả đã đạt được là sự tồn tại và dáng điệu
tiệm cận của nghiệm yếu thông qua sự tồn tại tập hút, chủ yếu là trong trường
hợp miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên tuần hoàn,
hoặc là bài toán Cauchy trong cả không gian. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn
đề mở cần được nghiên cứu liên quan đến lớp hệ g-Navier-Stokes, chẳng hạn:
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi ngoại lực f
phụ thuộc thời gian t (trường hợp không ô-tô-nôm) và miền xét phương
trình không nhất thiết bị chặn (nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré).
Khó khăn cơ bản xuất hiện ở đây là các phép nhúng cần thiết chỉ liên
tục chứ không compact.
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh của hệ
g-Navier-Stokes. Phần lớn các kết quả đã biết là đối với nghiệm yếu.
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi ngoại lực f
11
phụ thuộc trễ (hữu hạn hoặc vô hạn). Tình huống này xuất hiện, chẳng
hạn, khi ta muốn điều khiển hệ (theo một nghĩa xác định nào đó) bằng
cách sử dụng một ngoại lực không chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại
mà còn phụ thuộc vào quá khứ của nghiệm. Khó khăn cơ bản cần xử lí ở
đây là số hạng chứa trễ. Lúc này phương trình đang xét là một phương
trình đạo hàm riêng có trễ, nên hệ động lực tương ứng rất phức tạp bởi
vì nó vô hạn chiều theo cả biến không gian (do toán tử đạo hàm riêng
gây ra) và biến thời gian (do số hạng chứa trễ gây ra).
• Xấp xỉ trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu tiệm cận
nghiệm của hệ phương trình g-Navier-Stokes. Đây là những vấn đề quan
trọng và có nhiều ý nghĩa trong các áp dụng thực tế. Tuy nhiên, theo
hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả nào về vấn đề này đối với lớp
hệ phương trình g-Navier-Stokes.
Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn những vấn đề trên làm đề
tài nghiên cứu của luận án "Một số nghiên cứu về hệ phương trình
g-Navier-Stokes hai chiều".
2.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Luận án này tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về hệ phương trình
g-Navier-Stokes hai chiều:
• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm (nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc
nghiệm mạnh).
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng thông qua sự
tồn tại tập hút và tính ổn định của nghiệm dừng.
• Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng
điệu của nghiệm mạnh khi thời gian ra vô cùng.
12
3.
ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các
nội dung sau về hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều:
• Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm
cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes hai chiều.
• Nội dung 2. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận
và xấp xỉ nghiệm mạnh của hệ g-Navier-Stokes hai chiều.
• Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm
cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes hai chiều khi ngoại lực phụ
thuộc trễ vô hạn.
4.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương
pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ
Galerkin, các bổ đề compact, các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến. Ngoài
ra, khi ngoại lực phụ thuộc trễ thì việc chuyển qua giới hạn số hạng
chứa trễ cũng là một trở ngại lớn cần phải vượt qua. Để khắc phục
điều này, chúng tôi sử dụng các kĩ thuật của lí thuyết phương trình đạo
hàm riêng có trễ, một lí thuyết đang phát triển rất sôi động hiện nay,
đặc biệt cho các phương trình trong cơ học chất lỏng (xem, chẳng hạn,
[14, 15, 46, 47, 48, 65]).
• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng các
công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều
(xem [17, 18, 53, 60]), một lí thuyết rộng lớn mới được phát triển hơn
hai thập kỉ gần đây, và các phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm
của phương trình vi phân. Cụ thể khi ngoại lực f "lớn" và phụ thuộc
13
thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi.
Trong trường hợp ngoại lực f "lớn" và không phụ thuộc thời gian, chúng
tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục. Còn khi
ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự
tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán
dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của hệ g-Navier-Stokes dần đến
nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng.
• Để xấp xỉ nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của
Giải tích số và Tính toán khoa học. Cụ thể chúng tôi nghiên cứu các lược
đồ phù hợp rời rạc hóa không gian và thời gian để xây dựng dãy nghiệm
xấp xỉ của bài toán và chứng minh lược đồ này ổn định, điều này dẫn
đến dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm đúng của bài toán.
5.
KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán (1).
Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi;
sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu. Đây là nội
dung của Chương 2.
• Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm mạnh đối với bài toán (1).
Chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục và sự tồn tại, tính ổn định
của nghiệm dừng mạnh. Chứng minh được các kết quả về xấp xỉ nghiệm
mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu nghiệm mạnh.
Đây là nội dung của Chương 3.
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) trong
trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn; sự tồn tại duy nhất và tính
ổn định của nghiệm dừng yếu. Đây là nội dung của Chương 4.
14
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào
việc hoàn thiện việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes. Nói riêng
các kết quả này, trong trường hợp đặc biệt khi g = 1, áp dụng được đối với
hệ Navier-Stokes hai chiều. Như chúng ta đã biết, các hệ phương trình trong
cơ học chất lỏng có nguồn gốc từ các bài toán thực tế khi nghiên cứu chuyển
động của chất lưu, do đó các kết quả đạt được trong luận án cũng góp phần
tăng khả năng ứng dụng trong thực tiễn.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo trên các
tạp chí khoa học chuyên ngành, 01 bài đang gửi đăng và đã được báo cáo tại:
• Xêmina của Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự;
• Xêmina của Bộ môn Toán học tính toán, Khoa Toán - Cơ - Tin, Trường
Đại học học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội;
• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội;
• Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;
• Hội nghị nghiên cứu các nhà khoa học trẻ, Học viện Kỹ thuật Quân sự,
2011.
6.
CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh
mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một số
kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết
quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes
hai chiều; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận
và xấp xỉ nghiệm mạnh; Chương 4 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng
điệu tiệm cận nghiệm của hệ g-Navier-Stokes hai chiều với trễ vô hạn.
15
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để
nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes và thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí số
hạng phi tuyến trong phương trình. Chúng tôi cũng trình bày các kết quả tổng
quát về lí thuyết tập hút (tập hút toàn cục, tập hút lùi) và một số kết quả bổ
trợ được dùng trong các chương sau.
1.1.
CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN
QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN
1.1.1.
Các không gian hàm
Để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, chúng ta dùng các không gian
hàm sau:
Kí hiệu L2 (Ω, g) = (L2 (Ω))2 và H01 (Ω, g) = (H01 (Ω))2 với tích vô hướng lần
lượt là
∫
u.vgdx, u, v ∈ L2 (Ω, g),
(u, v)g =
Ω
và
∫ ∑
2
((u, v))g =
∇uj · ∇vj gdx, u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H01 (Ω, g),
Ω j=1
và chuẩn tương ứng |u|2 = (u, u)g , ||u||2 = ((u, u))g . Từ giả thiết của hàm
g được xét trong luận án (xin xem chi tiết ở §1 các Chương 2, 3, 4), dễ thấy
chuẩn | · | và || · || tương đương với chuẩn thông thường trong (L2 (Ω))2 và trong
(H01 (Ω))2 .
16
Đặt
V = {u ∈ (C0∞ (Ω))2 : ∇ · (gu) = 0}.
Ký hiệu Hg là bao đóng của V trong L2 (Ω, g), và Vg là bao đóng của V trong
H01 (Ω, g). Dễ thấy Vg ⊂ Hg ≡ Hg′ ⊂ Vg′ , trong đó các phép nhúng trù mật và
liên tục. Ta dùng ký hiệu || · ||∗ cho chuẩn trong Vg′ , và ⟨., .⟩ chỉ đối ngẫu giữa
Vg và Vg′ . Các không gian trên đều là không gian Hilbert.
1.1.2.
Các toán tử
Ta định nghĩa các toán tử liên quan đến hệ g-Navier-Stokes như sau.
Đặt A : Vg → Vg′ là toán tử xác định bởi ⟨Au, v⟩ = ((u, v))g . Kí hiệu
D(A) = {u ∈ Vg : Au ∈ Hg }, thì D(A) = H 2 (Ω, g) ∩ Vg và Au = −Pg ∆u, ∀u ∈
D(A), trong đó Pg là toán tử chiếu trực giao từ L2 (Ω, g) xuống Hg .
Đặt B : Vg × Vg → Vg′ là toán tử xác định bởi ⟨B(u, v), w⟩ = b(u, v, w),
trong đó
b(u, v, w) =
2 ∫
∑
j,k=1
uj
Ω
∂vk
wk gdx.
∂xj
Dễ thấy nếu u, v, w ∈ Vg , thì
b(u, v, w) = −b(u, w, v).
Do đó
b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ Vg .
Đặt C : Vg → Hg là toán tử xác định bởi
(Cu, v)g = ((
Do
∇g
∇g
· ∇)u, v)g = b(
, u, v), ∀v ∈ Vg .
g
g
1
∇g
− (∇ · g∇)u = −∆u − (
· ∇)u,
g
g
ta có
(−∆u, v)g = ((u, v))g +((
∇g
∇g
·∇)u, v)g = (Au, v)g +((
·∇)u, v)g , ∀u, v ∈ Vg .
g
g
17
Kí hiệu V(O) tương tự như V nhưng đối với tập mở O nằm trong Ω, và cũng
như vậy, Vg (O) là bao đóng của V(O) trong H01 (O, g), Hg (O) là bao đóng của
V(O) trong L2 (O, g), và D(A(O)) = H 2 (O, g) ∩ Vg (O).
1.1.3.
Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến
Sử dụng bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (với n = 2) sau
đây:
|u|L4 ≤ c|u|1/2 |∇u|1/2 , ∀u ∈ H01 (Ω),
và bất đẳng thức nội suy, như trong [58, 59], ta có
Bổ đề 1.1. Nếu n = 2, thì
c1 |u|1/2 ∥u∥1/2 ∥v∥|w|1/2 ∥w∥1/2 , ∀u, v, w ∈ Vg ,
c |u|1/2 ∥u∥1/2 ∥v∥1/2 |Av|1/2 |w|, ∀u ∈ V , v ∈ D(A), w ∈ H ,
2
g
g
|b(u, v, w)| ≤
1/2
1/2
c3 |u| |Au| ∥v∥|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ Vg , w ∈ Hg ,
c4 |u|∥v∥|w|1/2 |Aw|1/2 , ∀u ∈ Hg , v ∈ Vg , w ∈ D(A),
trong đó ci , i = 1, . . . , 4, là các hằng số xác định.
Bổ đề 1.2. ([9]) Cho u ∈ L2 (τ, T ; Vg ). Khi đó hàm Bu xác định bởi
⟨Bu(t), v⟩ = b(u(t), u(t), v), ∀u ∈ Vg , h.k. t ∈ [τ, T ],
thuộc L2 (τ, T ; Vg′ ).
Bổ đề 1.3. Cho u ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ L∞ (0, T ; Vg ). Khi đó hàm Bu xác định
bởi
⟨Bu(t), v⟩ = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Hg , h.k. t ∈ [0, T ],
thuộc L4 (0, T ; Hg ), bởi vậy cũng thuộc L2 (0, T ; Hg ).
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.1, với hầu khắp t ∈ [0, T ], ta có
|Bu(t)| ≤ c3 |u(t)|1/2 |Au(t)|1/2 ∥u(t)∥ ≤ c′3 ∥u(t)∥3/2 |Au(t)|1/2 .
18
Do đó
∫
T
|Bu(t)| dt ≤
4
0
c′3
∫
T
∥u(t)∥6 |Au(t)|2 dt
0
≤
∫
c∥u∥6L∞ (0,T ;Vg )
T
|Au(t)|2 dt < +∞.
0
Bổ đề 1.4. ([9]) Cho u ∈ L2 (τ, T ; Vg ). Khi đó hàm Cu xác định bởi
(Cu(t), v)g = ((
∇g
∇g
· ∇)u, v)g = b(
, u, v), ∀v ∈ Vg ,
g
g
thuộc L2 (τ, T ; Hg ), và do đó cũng thuộc L2 (τ, T ; Vg′ ). Hơn nữa
|Cu(t)| ≤
và
∥Cu(t)∥∗ ≤
1.2.
|∇g|∞
∥u(t)∥, với h.k. t ∈ (τ, T ).
m0
|∇g|∞
1/2
m0 λ1
∥u(t)∥, với h.k. t ∈ (τ, T ).
TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút toàn cục và tập
hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án.
Trong suốt mục này, giả sử X là một không gian Banach và nửa khoảng
cách Hausdorff distX (·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như
sau
distX (A, B) := sup inf ||a − b||, với A, B ⊂ X.
a∈A b∈B
1.2.1.
Tập hút toàn cục
Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1. Một nửa nhóm liên tục trên X là một họ các ánh xạ S(t) :
X → X, t ≥ 0, thỏa mãn
1) S(0) = Id, Id là ánh xạ đồng nhất;
- Xem thêm -