Tài liệu Một số nghiệm soliton của các phương trình yang-mills và ứng dụng (tt)

  • Số trang: 24 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 104 |
  • Lượt tải: 0
thuvientrithuc1102

Đã đăng 15893 tài liệu

Mô tả:

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Đó là sự tồn tại các nghiệm soliton - chúng là những nghiệm riêng của các phương trình trường trong lý thuyết phi tuyến. Chúng có cấu trúc ổn định giống như các đối tượng hạt với khối lượng và năng lượng hữu hạn. Chúng là đối tượng nghiên cứu của một lĩnh vực toán học, rộng hơn là lý thuyết các phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, được phát triển mạnh trong vài thập niên gần đây và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học như trong vật lý chất rắn, vật lý hạt và vũ trụ học. Một số soliton đã được biết đến là monopole (đơn cực từ), tường domain (domain wall), dây vũ trụ,… Các trung tâm nghiên cứu mạnh về các vấn đề này có thể kể đến các Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý lý thuyết và thực nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v... Ở trong nước, có các nhóm nghiên cứu về lý thuyết trường và các hạt cơ bản theo hướng nghiên cứu các mô hình hiện tượng luận để mô tả vật lý các hạt; cùng với hướng nghiên cứu của luận án này, có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ “Nghiên cứu nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng dụng vật lý của chúng”. Trong đề tài này chúng sử dụng một số phương pháp nghiên cứu khác và xét bài toán trong các cấu hình trường với mức độ phức tạp khác nhau. Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của phương tình Yang-Mills và phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực còn nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Vì vậy mà chúng tôi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng”. 2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu a) Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết thuyết Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau. Vận dụng để tìm thêm một số nghiệm số và giải tích mới, nghiên cứu về đặc trưng topo của các nghiệm soliton. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng dụng để xây dựng cách tiếp cận YangMills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn. b) Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu về các lớp nghiệm của các phương trình Yang-Mills, YangMills-Higgs và nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường Yang-Mills trong gần đúng cổ điển. c) Phạm vi nghiên cứu 1 Nghiên cứu các đối tượng trên trong phạm vi của nhóm đối xứng đối xứng không-thời gian (nhóm Lorentz). và nhóm 3 Phương pháp nghiên cứu Luận án đã sử dụng tích hợp một số phương pháp nghiên cứu hiện đại trong vật lý học: phương pháp giải tích, lý thuyết nhóm, phương pháp tham số hóa vector, phương pháp ansatz và phương pháp tính số,… Đó là các phương pháp thường được sử dụng trong nghiên cứu vật lý lý thuyết nói chung và lý thuyết trường nói riêng. 4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Luận án nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của một số hệ trường Yang-Mills xem như là hệ động lực phi tuyến: các soliton topo của hệ Yang-Mills, Yang-MillsHiggs, Yang-Mills với các nguồn màu ngoài, tương tác của hạt với các đối tượng này. Các kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản của tự nhiên. Đồng thời vận dụng những hiểu biết về soliton trong nghiên cứu về khoa học cơ bản và khoa học ứng dụng. 5 Bố cục của luận án Luận án gồm 4 chương, phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình và phần phụ lục. Nội dung 4 chương cơ bản như sau:  Chương 1. Soliton topo trong các hệ trường gauge Abel và phi Abel: Chương này trình bày tổng quan về lý thuyết Yang-Mills và một số dạng nghiệm của các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs đối với nhóm chuẩn .  Chương 2. Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng trục: Bằng cách sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp tính số, chương này đề cập đến việc tìm một số nghiệm mới của các phương trình trường chuẩn với nguồn ngoài đối xứng trục.  Chương 3. Phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn: Chương này đề cập đến chuyển động của hạt màu qua việc khảo sát các phương trình Wong và phương trình Wong mở rộng nhờ nhóm đối xứng Lorentz , đồng thời đưa ra một số đặc trưng của trường chuẩn liên kết với trường vô hướng không khối lượng có dạng tương tự trường Schwarzschild trong lý thuyết hấp dẫn.  Chương 4. Thế hiệu dụng và quỹ đạo hạt trong trường chuẩn: Chương này đề cập đến chuyển động của hạt trong một số cấu hình trường Yang-Mills đối xứng cầu và chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills. Chương 1 1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL 1.1 Hệ phương trình Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm sóng phẳng phi Abel và nghiệm Wu-Yang Các nghiệm soliton của các phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge được biết đến đó là: nghiệm sóng phẳng phi Abel; nghiệm monopole phi Abel; và còn một số các lớp nghiệm phức thu được từ các lớp ansatz khác nhau. 2 1.1.1 Nghiệm sóng phẳng phi Abel Nghiệm sóng phi Abel trong không thời gian Minkowski được tìm ra bằng cách dùng các ansatz sau cho các thế Yang-Mills (1.2) Thay thế ansatz (1.2) vào phương trình Yang-Mills (1.3) (1.4) ta được cặp đôi phương trình phi tuyến sau đây (1.5) (1.6) ở đây, và . Nếu đặt (1.7) thì các phương trình (1.5) và (1.6) trở thành (1.8) Giả sử hàm chỉ phụ thuộc vào biến , khi đó phương trình (1.8) có dạng (1.9) ở đây dấu ( ) có nghĩa lấy đạo hàm , và . Nghiệm của phương trình (1.9) có thể được biểu diễn dưới dạng các số hạng của những hàm Jacobi elliptic, (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) Tensor năng xung lượng của trường Yang-Mills đối với Ansatz (1.2) có dạng { ( ) } (1.14) Mật độ xung lượng được viết như sau ( ) 3 (1.16) Mật độ năng lượng có dạng (1.17) { Giá trị giá trị của điện trường và từ trường mà ta tìm được từ nghiệm } là { } (1.18) { } (1.19) Trở lại với ansatz (1.2), và là những hàm của các biến và mà gradient của chúng trực giao với và . Do đó, cả và phải là lightlike và trực giao với nhau, ta có thể đặt , và , là những hàm của với việc thêm vào các biến và . Khi đó, các phương trình Yang-Mills được tuyến tính hóa thành (1.25) Chọn và , thì tìm được nghiệm của có dạng (1.26) trong đó và là những hàm tùy ý của . Từ nghiệm (1.26) ta suy ra được được thế gauge như sau (đó chính là nghiệm sóng phẳng của Coleman): ( )( ) (1.27) Các nghiệm sóng phẳng phi Abel này di chuyển theo các hướng khác nhau và vì vậy mà ở đây không thể tồn tại nguyên lý chồng chất các trạng thái ở đây được. Đó là điều khác biệt đối với các sóng phẳng Abel của điện động lực học. 1.1.2 Nghiệm Wu-Yang Nghiệm monopole Wu-Yang là nguyên mẫu của lý thuyết dây phi Abel – nghiệm monopole tự do của lý thuyết thuần . Wu và Yang là những người đầu tiên tìm ra nghiệm này với trường hợp bằng cách đưa vào ansatz (gọi là ansatz WuYang) sau [ ] (1.28) Thế các ansatz này vào phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge, ta đươc ( ) (1.29) Các nghiệm thu được là ( Với đây chính là nghiệm monopole. Còn với nghiệm dyon với điện tích trong lý thuyết 4 ) [ ̂] (1.45) thì có thể coi như là thuần gauge. 1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon Julia – Zee 1.2.1 Nghiệm monopole 'tHooft-Polyakov ’t Hooft và Polyakov đã tìm ra (một cách độc lập) nghiệm monopole của lý thuyết gauge với tam tuyến Higgs. Đây là nghiệm không kỳ dị và có năng lượng hữu hạn. Nó biểu diễn những trạng thái định xứ, mở rộng và bền về topo. Monopole chính là nghiệm của phương trình chuyển động cho trường hợp và . Những nghiệm thu được từ việc sử dụng các ansatz Wu-Yang [ ] (1.46) ’t Hooft đã nghiên cứu vấn đề này như là một cách tiếp cận trường điện từ trong phạm vi lý thuyết gauge với một tam tuyến Higgs và đòi hỏi nó phải bất biến dưới phép biến đổi gauge . ’t Hooft đưa ta một tensor bất biến gauge có dạng (1.47) phải thỏa mãn là một tensor trường điện từ. Tensor này được viết dưới dạng khác tường minh hơn ̂ ̂ ̂ (1.48) các ký hiệu được dùng ở đây là ̂ Ở đây ̂ (1.49) là thành phần không khối lượng của thế gauge và do đó ̂ ̂ ̂ Đây là trường điện từ tĩnh của một điểm monopole với từ tích , ta dễ thấy thỏa mãn (1.50) . Chính vì lẽ này mà nghiệm ’t Hooft-Polyakov được goi là nghiệm monopole. Từ tích cực tiểu theo điều kiện lượng tử Dirac là ( là đơn vị cơ bản của điện tích). Như vậy monopole tích ’t Hooft-Polyakov có giá trị gấp đôi giá trị cực tiểu này. 1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee Julia và Zee, vào năm 1975 đã chỉ ra cách đưa vào monopole ’tHooft-Polyakov một điện tích. Như vậy, nó trở thành một monopole vừa có từ tích vừa có điện tích, tức một lưỡng tích được gọi là một dyon bằng cách cho : [ ] (1.59) Khi đó phương trình chuyển động trở thành 5 ( ) ( ) (1.60) ( ) Đối với trường hợp và , giống như trường hợp của monopole thì nghiệm của phương trình (1.60) (đã được tìm bằng phương pháp số) với điều kiện biên ở vô cùng, [ √ ] (1.61) √ trong đó ( √ ) , là khối lượng của dyon. Ta thấy khối lượng của dyon rõ ràng là hữu hạn bởi vì chỉ có sự phân bố tích phân năng lượng thay đổi từ thành và khi . Điện tích của dyon khi đó là Julia-Zee đã chỉ ra rằng khối lượng của dyon tăng chậm theo hàm của là khối lượng của boson (với khi trong lý thuyết). 1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolnyi-Prasad-Sommerfield (BPS) 1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn Về mặt vật lý, soliton là lĩnh vực nghiên cứu mới của vật lý toán. Trong các mô hình trường, soliton là nghiệm năng lượng hữu hạn của phương trình trường phi tuyến mà mật độ năng lượng trường tập trung trong vùng xác định của không gian. Hầu hết các nghiệm soliton về cơ bản có cấu trúc topo. Trong không gian một chiều đều là những trường đơn độc và vô hướng. Để tìm điều kiện tới hạn của nghiệm soliton, ta xét Lagragian với là hàm vô hướng thực. Thế Lagrangian này vào phương trình Euler-Lagrange ta được phương trình phi tuyến (1.65) Cho khi ta tính được thế năng ∫ ( ) và động năng ∫ ̇ (1.66) Sự bảo toàn năng lượng cho ta ∫ Có thể thấy giới hạn ∫ dưới năng lượng của hệ trường phụ thuộc vào điều kiện biên. Với sự thăng giáng ( √ √ ) Khai triển bất đẳng thức này và lấy tích phân trên toàn bộ không gian, với những trường dừng 6 |∫ √ Bởi vì |∫ √ | , nên ta có thể đưa ra một siêu thế | (1.70) ( ) , tích phân ở vế phải của (1.70) cho ta giới hạn của nghiệm là | | (1.71) vì vậy nó được gọi là giới hạn Bogomolny cho nghiệm soliton có cấu trúc topo. 1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Parasad-Sommerfield (BPS) Đây là nghiệm của lý thuyết thuần gauge . Từ ansatz (1.28), dẫn đến phương trình chuyển động (1.29), Prasad, Sommerfield, và Bogomolny đã tìm ra nghiệm của phương trình đó có dạng (1.72) với là hằng số tùy ý. Khi địa phương bởi vì nghiệm (1.72) tương ứng với sự phá vỡ đối xứng ̂ (1.73) Như vậy là khối lượng của hai thành phần trường Yang-Mills mà thu được thông qua sự phá vỡ đối xứng gauge cục bộ. Những thành phần này đã được chỉ ra trong (1.63). Khi ta thấy và nghiệm (1.72) trở thành nghiệm vacuum ; còn với nghiệm (1.72) không thay đổi tại ( và ). 1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton Một nghiệm của lý thuyết gauge trong không gian Euclide được nhiều nhà vật lý quan tâm, đó là instanton hay còn gọi là giả hạt. Sự tồn tại của instanton có thể liên hệ với hiệu ứng đường ngầm giữa các vacuum khác nhau trong không gian Minkowski. Để có hiệu ứng đường ngầm cần phải có nhiều hơn một vacuum. Từ bản chất topo của instanton nên có vô số các vacuum | ⟩ trong không gian Minkowski khác nhau về topo với chỉ số topo . Một instanton chui hầm từ vacuum | ⟩ đến ⟩, instanton chui hầm đến | ⟩; một phản instanton chui hầm đến | | ⟩, ⟩. Nghiệm vacuum (không gian phản instanton chui hầm đến | Minkowski) của lý thuyết này là thế thuần gauge [ Khi thời gian ảo thế gauge ) có dạng ] (1.74) thì nghiệm instanton của không gian Euclide (với 7 (1.76) Do có sự tương đương giữa không gian Euclide và không gian Minkowski nên nghiệm instanton của không gian Minkowski cũng liên kết vacuum với qua nghiệm chính xác của phương trình chuyển động với thời gian ảo. Tóm lại, nghiệm có các tính chất sau: (i) Không kỳ dị và định xứ (một cách đối xứng) theo mọi hướng trong chứa trục thời gian ảo; (ii) Đây là nghiệm tự ngẫu (nghĩa là mang năng lượng không); (iii) Nó được đặc trưng bởi tích topo (nghĩa là được xác định bởi ánh xạ ). 1.5 Kết luận chương 1 Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu một số nghiệm tiêu biểu của lý thuyết YangMills . Từ đó ta nhận thấy rằng tùy theo các ansatz được chọn mà nghiệm của phương trình sẽ có các tính chất và ý nghĩa vật lý khác nhau. Chương 2 2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC Trong chương này, chúng tôi xây dựng chương trình để tìm một số nghiệm soliton mới của phương trình Yang-Mills mô tả trường Yang-Mills tương tác với nguồn ngoài và sử dụng công cụ mô phỏng các kết quả mới đã tìm được. Các kết quả nghiên cứu của này chúng tôi được công bố trong các bài báo [III, IV, VI]. 2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục Lagrangian trong lý thuyết gauge ngoài là khi trường gauge tương tác với nguồn (2.1) có trong đó là hằng số tương tác của trường gauge, tensor cường độ trường dạng (1.4). Phương trình Yang-Mills có dạng (2.2) 2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm Nguồn ngoài , là nguồn tĩnh (không phụ thuộc thời gian) nên [ ] Nguồn ngoài đối xứng xuyên tâm có dạng nên (2.7) (2.9) Nghiệm Coulomb cho lý thuyết phi Abel trong trường hợp này là (2.10) 8 và năng lượng Coulomb cho trường hợp Abel là (2.11) ∫ | | Sử dụng các ansatz đối xứng xuyên tâm Jackiw-Jacobs-Rebbi (JJR) sau: ̂ ̂ trong đó, ( ) (2.13) ̂ [ ( ) ( ) ] là hệ số tỷ lệ, ta thu được được hệ phương trình sau, (với (2.14) ) (2.15) Phương trình (2.15) có hai kiểu nghiệm sau: (2.17) (2.18) Khi tiệm cận với tại miền có nhỏ thì cả hai kiểu có cùng dạng (2.19) Một điều đáng quan tâm nhất là, đối với kiểu II thì năng lượng có sự rẽ nhánh và tổng năng lượng hữu hạn. 2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục Điện tích nguồn ngoài phân bố trên một trục nào đó trong không gian ̂ Sử dụng các ansatz sau (gọi là ansatz Isidro Filho) ̂ ̂ ̂ ̂ (2.20) (2.23) Thế ansatz (2.23) vào phương trình (2.2) ta được hệ phương trình phi tuyến [ ] [ Sikivie và Weiss đã tìm được nghiệm với ] (2.24) , với ý nghĩa là một lưỡng cực từ √ (2.25) [ ] Ngoài ra, còn có những nghiệm khác với ý nghĩa vật lý là sự che chắn tích (screening solution) và sự rẽ nhánh năng lượng tổng cộng. 2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng Từ một phiếm hàm Lagrange hiệu dụng cho mỗi mô hình của bài toán đang xét, sử dụng phương trình Euler – Lagrange để tìm ra phương trình chuyển động hay từ phiếm hàm ta có thể tìm cực tiểu của phiếm hàm đó. 9 Tiếp theo, từ phiếm hàm mà ta đang cần tính cực tiểu hay từ hệ các phương trình đạo hàm riêng, ta cần phải gián đoạn hóa (sai phân hóa) để có công thức tính giá trị của hàm cần tìm tại từng điểm nút (nút lưới). Sau đó lập chương trình tính toán, ở đây, chúng tôi sử dụng phần mềm Fortran 95 và Mathematica 7.0. 2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo cao 2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục Phương trình Yang-Mills ( ) với nguồn ngoài có dạng (2.29) với tensor cường độ trường được cho bởi (1.4). Ta xét bài toán này với nguồn ngoài tĩnh, kỳ dị dạng hàm delta như sau [ ] (2.30) Sử dụng các ansatz đối xứng trục cho các thế Yang-Mills (2.31) (2.32) Hàm Lagrange được suy ra từ phương trình chuyển động (2.29) ∫ ∫ {[( [ ) ( ( ) ] ) ( [( ) ( ) ] (2.33) ) ]} 2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục Ta sử dụng cách sai phân như sau ( ) Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu ( ) {[ , ta được hệ hai phương trình ] ( [ ) {[ ]} ] [ ]} [ ( ] ) 10 (2.35) ( )[ ] ( )[ ] [ (2.36) ] Để giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.35) và (2.36) với các ẩn hàm là chúng tôi giải bằng phương pháp lặp. 2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] Kết quả mô phỏng cho thấy thế giảm rất nhanh khi ra xa nguồn. Điều này phù hợp với các trường thế vật lý được sinh bởi nguồn nói chung. Một kết quả khá thú vị nữa là sự ảnh hưởng của chỉ số topo lên cấu trúc của trường là rất đáng kể. Cụ thể, tốc độ giảm (độ dốc) của thế giảm khá nhanh khi chỉ số topo tăng. Trong khi thế không phụ thuộc vào dấu của điện tích nguồn, nó có giá trị âm với cả hai điện tích nguồn. Điều này khác hẳn với điện động lực học của Maxwell. Những kết quả này đã được đăng [III, IV]. 2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel [IV] Biểu thức của điện trường phi Abel được cho bởi [ ] [ ] (2.37) Từ phương trình (2.37) ta thấy vector , , còn Hình 2.3 cho thấy mật độ điện trường giảm nhanh khi ra xa nguồn. Khi cho số topo tăng thì mật độ điện trường càng giảm nhanh và hướng của trường tại mỗi điểm bị Hình 2.3. Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel thay đổi tức là cấu trúc về sự phân bố của điện trường phi Abel bị thay đổi. Từ trường phi Abel được cho bởi (2.39) 11 ta thấy vector từ trường phi Abel chỉ còn , các thành phần còn lại triệt tiêu. Hình 2.4 mô phỏng sự phân bố các đường từ trường phi Abel của vector . Các hình theo thứ tự từ trái qua phải, ứng với . Từ hình vẽ ta nhận thấy khi tăng thì mật độ các đường sức cũng giảm và độ xoắn của trường thay đổi, có nghĩa tốc độ biến thiên về hướng của vector từ trường phi Abel tăng lên Hình 2.4. Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector với nguồn ngoài kỳ dị. 2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi Abel Mật độ năng lượng của trường được xác định bởi ][ [ ] (2.40) Kết tính toán và quả mô phỏng cho thấy sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường biên thiên theo không gian và chỉ số topo khá giống nhau, nhưng tốc độ biến thiên của mật độ năng lượng nhanh hơn nhiều so với thế . Năng lượng của trường phi Abel được tính bởi công thức (2.41) ở đây thế năng tĩnh được xác định từ cự trị của Lagrangian đối với các hàm trường và để so sánh với nghiệm Coulomb (nghiêm của phương trình ) kết quả này được biểu diễn trên hình 2.6. Ta nhận thấy rằng sự biến thiên của năng lượng của trường hợp Coulomb biến thên theo nhanh hơn năng lượng của trường phi Abel. Hình 2.6. Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích màu với nguồn ngoài kỳ dị 12 2.4 Nguồn ngoài dạng sợi dây: Nghiệm số và nghiệm giải tích 2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng sợi dây Mật độ dòng tích ngoài của trường có dạng là vector đơn vị định hướng của vector ̂ , trong đó ̂ trong không gian gauge, có dạng ̂ (2.42) Đối với nguồn được mô tả như (2.42) thì nghiệm trường Yang-Mills sẽ bị phân lớp bởi các giá trị của mà đó là những số lần cuộn (winding number) của ánh xạ được xác định bởi hàm vector ̂ . Trong phần này chúng tôi mở rộng bài toán hai nguồn điểm thành nhiều nguồn và xét trường hợp các điểm nguồn nằm tại tất cả các điểm nút của lưới trên trục của hệ tọa độ trụ. Khi đó nguồn có dạng dây liên tục. 2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình a) Nghiệm số [IV, VI] Áp dụng thuật toán tương tự cho trường hợp nguồn hai điểm. Nhưng số hạng nguồn bây giờ có dạng ̂ ∑ ̂ (2.45) Ta có thể chọn ansatz đối xứng trục giống như nguồn hai điểm: ̂ ̂ (2.46) Dưới đây là một vài kết quả về nghiệm số mà chúng tôi đã thu được. Hình 2.7 mô phỏng hàm profile , ứng với của được vẽ thẳng đứng trên mặt phẳng mà ở đó Hình 2.7. Thế phi Abel . Các hình vẽ với giá trị . với nguồn ngoài dạng sợi dây Hình 2.8 mô phỏng hàm profile , ứng với của được vẽ thẳng đứng trên mặt phẳng mà ở đó 13 . Các hình vẽ với giá trị . Hình 2.8. Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây Hình 2.9 mô phỏng hàm mật độ năng lượng , ứng với với giá trị của được vẽ thẳng đứng trên mặt phẳng mà ở đó Hình 2.9. Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường . Các hình vẽ . với nguồn ngoài dạng sợi dây b) Nghiệm giải tích [VI] Trong phần này chúng tôi trình bày nghiệm giải tích dạng vortex của hệ trường Yang-Mills với nguồn ngoài tĩnh đối xứng trục và không phụ thuộc vào (2.49) ̂ ̂ Ansatz cho các thế Yang-Mills có dạng [ ] ̂ ̂ So sánh các ansatz này với ansatz (2.46), ta sẽ tìm được hằng số tương tác , ] tương ứng với hàm đồng thời thấy rằng ,[ ; còn cường độ trường phi Abel . Phương trình YangMills được rút gọn thành hệ phương trình vi phân với các hàm cấu trúc và (2.54) (2.55) Một lớp nghiệm mà chúng tôi đã tìm được có dạng các hàm sau ( ) √ 14 Hình 2.10. Các hàm profile vortex tĩnh và ; Mật độ tích màu và mật độ năng lượng với nguồn ngoài dạng sợi dây c) Sự phân nhánh [VI] Một thông số quan trọng đối với hệ trường Yang-Mills với nguồn ngoài là tổng điện tích phi Abel của nguồn trên mỗi đơn vị dài dọc theo trục ∫ (2.59) Đối với các nghiệm vortex đã tìm được năng lượng tổng cộng trên mỗi đơn vị độ dài dọc theo trục được tính từ phương trình ∫ [ ] ∫ [ ] (2.61) ( ) Cũng giống như tổng điện tích phi Abel , năng lượng tĩnh cũng chứa các thông số . Từ các thông số này ta có thể suy ra được đường biểu diễn sự phụ thuộc của theo . Điều này lý giải sự rẽ nhánh của theo trong hình 2.11. 2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] Các phương trình với nguồn cùng phụ thuộc vào thời gian có dạng 15 (2.65) Nguồn ngoài phụ thuộc thời gian được chọn như sau (2.66) và đưa vào ansatz phụ thuộc thời gian đối với { Các thành phần không gian ( có dạng: [ ] }̂ (2.73) ) của phương trình (2.65) là (2.76) đưa đến phương trình sau đối với (2.77) ̈ trong đó ̇ , . Các thành phần không triệt tiêu của các vector là trong đó ̇ Mỗi cặp và tương tự như những sóng hình trụ của các vector trong điện động lực học. Những kết quả sóng trụ ở đây không liên quan đến màu bởi những khống chế về nguồn ngoài mà ta đã chọn. Nguồn không liên quan đến màu và tổng tích màu bất biến gauge của nguồn không đổi. 2.5 Kết luận chương 2 Từ việc mô phỏng các nghiệm, ta nhận thấy rằng giá trị của thế Yang-Mills và mật độ năng lượng nguồn giảm rất nhanh khi ra xa nguồn, nhưng tốc độ biến thiên này sẽ giảm xuống khi tăng. Với nguồn ngoài có dạng dây liên tục, nghiệm có dạng vortex với các hiệu ứng vật lý như sự rẽ nhánh năng lượng và bảo toàn tích màu. Chương 3 3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG TRƯỜNG CHUẨN Bằng phương pháp suy rộng phương trình mô tả hạt mang điện chuyển động trong trường trường điện từ của điện động lực học cổ điển, năm 1970, Wong đã xây dựng được phương trình mô tả các hạt mang spin đồng vị tương tác với hạt thử Yang-Mills thông qua trường Yang-Mills cổ điển. 3.1 Hạt màu trong trường chuẩn - Phương trình Wong Phương trình Wong là những phương trình chuyển động trong cơ học tương đối tính của một hạt với bậc tự do màu hoặc bậc tự do đối xứng nội tại chuyển động trong trường phi Abel. Đầu tiên Wong xây dựng các phương trình trường lượng tử, sau đó suy ra các phương trình mong muốn bằng cách lấy giới hạn gần đúng cổ điển. 16 ̈ ( ̇ ̇ ) (3.19) ) ̇ ( (3.20) trong đó là vector spin đồng vị cổ điển nó mô tả các bậc tự do nội tại của hạt, là chỉ số spin đồng vị, dấu ̇ ký hiệu đạo hàm theo thời gian riêng. Chú ý rằng phương trình (3.19) kéo theo ̇ ̇ , đồng nhất với ̇ ̇ ; còn phương trình (3.20) suy ra , để là hằng số chuyển động. Phương trình (3.19) tương tự định luật Lorentz đối với trường gauge phi Abel, chứa một liên kết hiệu dụng phụ thuộc thời gian , tiến động theo phương trình (3.20). Khi liên kết hiệu dụng này thay đổi theo thời gian, chuyển động của hạt trong trường gauge phi Abel có thể rất khác so với hạt tích điện chuyển động trong trường điện từ Abel. Sự khác nhau này được gọi là tính không đơn trị Wu-Yang. Nghĩa là, cùng một cường độ trường nhưng được sinh ra bởi hai thế không tương đương sẽ cho chuyển động của hạt rất khác nhau. 3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và Trường gauge Yang-Mills và trường hấp dẫn có thể được biểu diễn qua một trường duy nhất bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ được tham số hóa với một cấu trúc nhóm có tính đối xứng không thời gian. Trong hình thức luận bó thớ, tác dụng của một hạt màu tương đối tính thỏa mãn bất biến Poincare và bất biến gauge, được cho bởi công thức. ∫ ̇ (3.34) trong đó, Lagrangian của hạt là | ̇| ( ) (3.35) với | ̇ | √ ̇ √ ̇ số Lie của nhóm Lorentz , tức là một hàm tùy ý, và biến của nó là ̇ ) | ̇| ( Lagrangian (3.35) trong đại số Lie với biến | ̇| (3.36) sẽ có dạng ̇) ̇ ( ̇ với giá trị trong đại (3.56) Sử các phương trình Euler-Lagrange cho hệ hạt và trường gauge với Lagrangian (3.56) ta tìm được các phương trìnhs au đây ̇ ( ̇ | ̇| ̇ ) (3.79) ̇ ̇ ̇ 17 các phương trình này được coi như phương trình Wong suy rộng, trong đó vế phải của (3.79)-(a), ký hiệu là số hạng liên hợp phức của số hạng đầu tiên và các chỉ số lấy các giá trị . Như vậy với cấu hình trường gauge đã đưa ra thì chuyển động của hạt ở trường ngoài đã hoàn toàn được xác định. 3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn Nhắc lại, trong mô hình tương tác của trường gauge với một tam tuyến vô hướng không khối lượng. Lagrangian của hệ và phương trình trường được cho bởi (3.80) (3.81) (3.82) Selington đã tìm được nghiệm chính xác tựa Schwarzschild (Schwarzschild-like) cho trường hợp này vào năm 1995 bằng cách sử dụng các ansatz sau [ ] (3.83) (3.84) là những hằng số, với và thỏa mãn xác định tính kỳ dị của trường. Chú ý rằng , hằng số tùy ý và nó không có thứ nguyên, còn có thứ nguyên (1/độ dài). Từ (3.83) và (3.84) ta thấy rằng cả trường gauge và trường vô hướng có thể trở nên vô cùng tại bán kính . Trong trường hợp thuần gauge, chẳng hạn khi không có trường vô hướng, suy ra , thì (3.85) Cường độ “điện trường” tương ứng là [ dấu thức trong (3.86) tương ứng với dấu , do đó ] (3.86) trong (3.85). Từ trường được tính từ công (3.87) nó biểu thị tính tự đối ngẫu của nghiệm trường gauge. 18 3.4 Kết luận chương 3 Chương này chúng tôi đã nghiên cứu về cách mô tả chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn và trường gauge Lorentz. Nó đem đến một bức tranh khá tổng quát về vật lý hạt cơ bản đó là chuyển động của hạt cổ điển trong trường YangMills (kể cả hạt mang điện trong trường điện từ cổ điển) được mô tả bởi phương trình Wong, coi tương tác của hạt tích màu với trường gauge thông qua vector isospin mô tả các bậc tự do nội tại của hạt. Không chỉ dừng lại ở đó, chương này còn chỉ cho ta thấy rằng lý thuyết gauge Yang-Mills có thể là ứng viên cho sự thống nhất các tương tác Chương 4 4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN Chương này, chúng tôi nghiên cứu chuyển động của hạt trong cấu hình trường gauge Lorentz và tìm hiểu động lực học về chuyển động của hạt trong trường này. 4.1 Hạt trong trường Wu-Yang Việc biết được chuyển động của hạt trong một số cấu hình trường đơn giản cho ta cơ sở vật lý về nghiệm của những bài toán phức tạp. Điều này đúng cho cả điện động lực học cổ điển và động lực học cổ điển của một hạt màu (hoặc spin đồng vị) trong những trường ngoài phi Abel. Ta đã biết rằng phương trình mô tả chuyển động của một hạt màu trong trường Yang-Mills là phương trình Wong và khi khảo sát những nghiệm tĩnh cổ điển của phương trình chuyển động của một trường với nhóm đối xứng màu , người ta thường sử dụng các ansatz Wu-Yang. Như vậy, bài toán chuyển động của một tích màu trong một trường màu được xác định bởi các thế vector và bằng những hàm trường đã rút gọn thành bài toán chuyển động của hạt dưới tác dụng của lực, nghĩa là rút gọn thành bài toán chuyển động của điện tích đơn vị trong trường điện từ hiệu dụng với giả thuyết là lực thêm vào có dạng . Tóm lại, trong phần này chúng ta đã xem xét chuyển động của một hạt thử màu trong trường ngoài phi Abel được xác định bởi thế vector Wu-Yang và các hàm trường trong trường gauge của nhóm . Từ hệ thức của lực phụ thuộc tường minh vào vector màu, chúng ta đã rút gọn thành bài toán chuyển động của một hạt tích điện trong một trường điện từ hiệu dụng. 4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS 4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft ’t Hooft đã chứng minh rằng hệ trường gauge kết hợp với tam tuyến vô hướng có monopole giống những nghiệm tĩnh cổ điển. Mật độ Lagrangian được cho bởi biểu thức 19 ( (4.34) ) với ansatz tổng quát (ansatz của Wu-Yang, Julia-Zee) ̂[ ] ̂ ̂ (4.36) Phương trình chuyển động cho hạt là phương trình Wong ̈ ̇ ̇ (4.38) ̇ (4.39) Kết quả thu được cho thấy rằng hạt thử Yang-Mills chuyển động theo cách giống như một điện tích trong trường đơn cực ở những khoảng cách lớn; còn tại những khoảng cách bé, chuyển động của chúng là khác nhau. Điều này tương tự với quan niệm của Wu-Yang về một thế gauge mà có thể phù hợp với nhiều trường vật lý khác nhau với điều kiện từ cực (net manegtic-pole) xác định. 4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS Bài toán khảo sát chuyển động của hạt màu trong trường soliton của mẫu phi tuyến , tức là tương tác của hạt vô hướng với trường cũng tương tự như bài toán khảo sát chuyển động của hạt màu tương đối tính trong trường gauge và . Điểm khác là phương trình chuyển động phải được xây dựng từ sự tiến động của vector nội tại. Xét không gian nội tại của hạt là nhóm đối xứng (trong trường hợp đó thì gọi là vector spin đồng vị của hạt – vector Isospin) và thay thế trường vector bằng , ta có: (4.50) Một nhận xét quan trọng khi phân tích (4.50) là những trường vô hướng với Lagrangian bất biến gauge (như những trường Higgs trong Lagrangian Yang-Mills), có thể làm cho biểu thức bất biến bằng cách thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến. Sau đây, ta áp dụng hình thức luận về tứ lực và phương trình chuyển động đã nêu trên vào việc phân tích những đặc tính cơ bản của hệ. Ta chọn một trường vô hướng nhân với đối xứng phi gauge bằng cách lấy một cấu hình trường soliton của mẫu phi tuyến mà Lagrangian mô tả mẫu ba chiều này được cho bởi (4.53) Phương trình chuyển động thu được thỏa mãn nghiệm tĩnh, tức là cấu hình trường tĩnh với năng lượng hằng số và định xứ , trong đó là tích topo của nó. Sự lựa chọn này kéo theo, không gian nội tại là một mặt cầu unita được chia thành hai mặt cầu, đó là bán cầu với và . Từ kết luận này, ta có quyền hy vọng rằng hệ tọa độ cầu sẽ mô tả không gian này tốt hơn tọa độ Cartesian. Tuy nhiên, 20
- Xem thêm -