Tài liệu Một số mô hình chuỗi thời gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN MINH DUY MỘT SỐ MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG ON SOME TIME SERIES MODELS AND APPLICATIONS Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021 LUẬN VĂN NÀY ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG Cán bộ chấm Phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI Cán bộ chấm Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN HUY TUẤN Luận văn thạc sĩ này được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 12 năm 2021 (trực tuyến). Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn bao gồm: 1. Chủ tịch: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY 2. Thư ký: TS. ĐẶNG VĂN VINH 3. Phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI 4. Phản biện 2: PGS. TS. NGUYỄN HUY TUẤN 5. Ủy viên: TS. CAO THANH TÌNH Xác nhận của chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có). CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Trường Đại học Bách Khoa Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên: NGUYỄN MINH DUY Ngày, tháng, năm sinh: 06.10.1978 Chuyên ngành: Toán Ứng dụng MSHV: 1870179 Nơi sinh: TP Hồ Chí Minh Mã ngành: 8460112 I. TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG • Kiến thức cơ sở • Ứng dụng II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 06/09/2021 III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 1/12/2021 IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG TP Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 12 năm 2021 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gửi tới thầy, TS. Nguyễn Tiến Dũng, người đã nhiệt tình giảng dạy, định hướng và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập chương trình Cao học Toán ứng dụng, cũng như trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô trong Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, những người đã truyền thụ kiến thức giúp tôi có một nền tảng tri thức khoa học để thực hiện luận văn và hoàn tất khóa học. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những người bạn ở lớp Cao Học Toán Ứng Dụng khóa 2018, đã có rất nhiều hổ trợ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong gia đình tôi, đã luôn đồng hành, động viên, chia sẽ khó khăn và tạo những điều kiện tốt nhất cho tôi trong học tập và làm việc. Sau cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và góp ý quý báu của quý Thầy Cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng như tất cả những ai có quan tâm đến luận văn này, giúp tôi có được cơ hội bổ sung kiến thức để hoàn thiện những hạn chế và thiếu sót khó tránh khỏi trong quá trình thực hiện luận văn. TP Hồ Chí Minh, ngày 1/12/2021 Người thực hiện luận văn Nguyễn Minh Duy i TÓM TẮT LUẬN VĂN Trong khuôn khổ của Luận văn, tác giả đã trình bày về mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH) và một số mô hình mở rộng của nó (G ARCH,G ARCH-M,TG ARCH). Sau đó, các mô hình này được áp dụng vào việc định giá quyền chọn của cổ phiếu IBM. ii ABSTRACT Within the framework of the thesis, the author presented the conditional variance model of autoregressive variation error (ARCH) and some of its extended models (G ARCH, G ARCH-M, TG) ARCH). These models were then applied to the option pricing of IBM stock. iii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên: Nguyễn Minh Duy, MSHV: 1870179, là học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng dụng khóa 2018 - 2020 của trường Đại học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh. Xin cam đoan toàn bộ những gì trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Tiến Dũng khoa Khoa Học Ứng Dụng trường Đại Học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh. Trong toàn bộ luận văn, hầu hết các kết quả nghiên cứu từ các công trình khoa học của các tác giả khác, khi tôi thu thập, chọn lọc để trình bày, trích dẫn hoặc tham khảo, tôi đều có ghi rõ địa chỉ để người đọc tham chiếu. Tôi xin cam đoan về những gì đã nêu trên đây là sự thật và xin chịu toàn bộ trách nhiệm về những gian dối về tác quyền nếu có trong luận văn này. TP Hồ Chí Minh, ngày 1/12/2021 Người thực hiện luận văn Nguyễn Minh Duy iv Mục lục Nhiệm vụ luận văn thạc sĩ i Lời cảm ơn i TÓM TẮT LUẬN VĂN iii Lời cam đoan iv Danh mục ký hiệu viii Danh mục chữ viết tắt ix Lời giới thiệu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất và martingle, . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Khai triển Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Luật mạnh số lớn martingale bình phương khả tích 1.2 Chuỗi thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Quá trình trung bình trượt . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Các tính chất của hàm tự hiệp phương sai . . . . . 1.2.4 Toán tử trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Phương trình sai phân, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . 1.3.4 Phương trình sai phân cấp p . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Mô hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Ước lượng mô hình ARMA 2.1 Ước lượng Yule-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ước lượng bình phương cực tiểu cho mô hình AR(p) 2.3 Ước lượng mô hình ARMA(p, q) . . . . . . . . . . . . 2.4 Ước lượng cấp p và q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Mô hình hóa một quá trình ngẫu nhiên, . . . . . . . 2.6 Ví dụ: Lập một mô hình GDP thực . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 9 9 10 10 11 13 . . . . . . 15 15 18 21 24 26 27 Chương 3. Các mô hình biến động 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Tính chất dự báo của các mô hình AR(1) . . 3.1.2 Mô hình ARCH(1), . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Các mô hình biến động tổng quát, . . . . . . 3.1.4 Mô hình GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kiểm tra hiệp phương sai không đồng nhất . . . . . 3.2.1 Tự tương quan của phần dư bậc hai . . . . . 3.2.2 Phép kiểm định thừa số Lagrange của Engle 3.3 Ước lượng mô hình GARCH(p, q) . . . . . . . . . . . 3.3.1 Ước lượng hợp lý cực đại . . . . . . . . . . . 3.3.2 Phương pháp ước lượng mômen . . . . . . . 3.4 Ví dụ: Chỉ số thị trường Thụy Sĩ (SMI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 32 32 33 38 40 45 45 46 47 47 48 49 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 56 vi DANH MỤC KÝ HIỆU Ký hiệu →d →p corr(X, Y ) γX , γ ρX , ρ ACF αX , α P ACF ∼ Sgn det || · || vec(A) L Φ(L) Θ(L) Ψ(L) ∆ p q ARM A(p, q) ARIM A d Z R C Rn i cov(X, Y ) E V Ý nghĩa Hội tụ theo phân phối Hội tụ theo xác suất Hệ số tương quan giữa các biến X và Y Hàm hiệp phương sai của quá trình {Xt }, Hàm hiệp phương sai Hàm tương quan của quá trình {Xt }, Hàm tương quan Hàm tự tương quan Hàm tự tương quan riêng của quá trình {Xt } Chức năng tự tương quan riêng Có phân phối Hàm dấu Định thức của ma trận Chuẩn ma trận Xếp các cột A thành véctơ Toán tử trễ Lag Đa thức tự hồi quy Đa thức trung bình trượt Biểu diễn nhân quả Toán tử sai phân, ∆ = 1 - L Bậc của đa thức hồi quy Bậc của đa thức trung bình trượt Quá trình tự hồi quy trung bình trượt bậc (p, q) Quá trình tự hồi quy tích hợp trung bình trượt bậc (p, d, q) Bậc tích hợp Tập hợp số nguyên Tập hợp số thực Tập hợp số phức Tập hợp các véctơ thực n chiều đơn vị ảo Hiệp phương sai của X và Y Kỳ vọng Phương sai vii Ký hiệu PT XT +h eT XT +h P P {Xt } N(0, σ 2 ) P N(0, ) IID(0, σ 2 ) IID N(0, σ 2 ) Xt xt f (λ) F (λ) V aR Ý nghĩa Giá trị dự báo theo phương pháp bình phương cực tiểu XT +h theo dữ liệu từ thời điểm 1 tới thời điểm T Giá trị dự báo theo phương pháp bình phương cực tiểu XT +h theo dữ liệu quá khứ tới thời điểm T Xác suất Quá trình ngẫu nhiên Quá trình nhiễu trắng với kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng σ 2 Quá trình nhiễu trắng đa biến với giá trị trung bình bằng 0 và ma P trận hiệp phương sai bằng Các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối với kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng σ 2 Các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng σ 2 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian Giá trị qua sát của biến ngẫu nhiên Hàm mật độ Hàm phân phối Giá trị rủi ro viii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Từ viết tắt ACF AR AIC Tiếng anh Autocorrelation function Autoregressive model autoregressive moving average Models Autoregressive Integrated Moving Average Models AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Akaike information criterion BIC Bayesian information criterion CPI GDP MA Consumer price index Exponential Autoregressive conditional eteroskedasticity Autoregressive conditional heteroskedasticity Gross domestic product moving average MSE Mean Squared Error ARMA ARIMA ARCH EGARCH GARCH MLE PACF PACF RMSE SACF TGARCH IID Tiếng việt Hàm tự tương quan Mô hình tự hồi quy Mô hình tự hồi quy và trung bình di động Mô hình tự hồi quy kết hợp trung bình trượt Mô hình ARCH Tiêu chuẩn thông tin Akaike Tiêu chí thông tin Bayesian Chỉ số giá tiêu dùng Mô hình GARCH dạng mũ Mô hình ARCH tổng quát Tổng sản phẩm quốc nội Quá trình trung bình trượt Sai số dự báo bình phương trung bình Maximum Likelihood EstimaƯớc lượng hợp lí cực đại tion Hàm tự tương quan riêng Partial autocorrelation function phần Hàm tự tương quan riêng Partial autocorrelation function phần Root-mean-square error Lỗi trung bình bình phương Sample autocorrelation function Hàm tự tương quan mẫu Threshold Autoregressive con- Mô hình GARCH đồng tích ditional eteroskedasticity hợp Independent Identically DisĐộc lập cùng phân phối tributed ix Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ LỜI GIỚI THIỆU Chúng ta đang sống trong một thế giới số, tất cả dữ liệu đều được đẩy lên mạng theo nhiều cách thức khác nhau và đường truyền dữ liệu càng ngày ngày càng được cải thiện từ đó giúp thu thập và phân tích dự báo tài sản tài chính như: cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá được thuận lợi hơn rất nhiều, cùng với sự phát triển mạng mẽ và vượt bậc của thị trường chứng khoán Việt Nam tạo nên sự quan tâm của nhiều thành phần trong xã hội như các chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học. Việc phân tích và dự báo kinh tế là công việc hết sức quan trọng trong công tác lập kế hoạch hoạch định chính sách điều hành vĩ mô nền kinh tế cũng như trong lập kế hoạch kinh doanh. Có rất nhiều mô hình toán học mô tả các hoạt động tài chính như các mô hình dự báo (mô hình hồi quy, mô hình chuỗi thời gian), các mô hình động học (phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng), các mô hình dữ liệu lớn... Trong luận văn này, tôi mong muốn tìm hiểu sâu hơn một số mô hình chuỗi thời gian và một số ứng dụng. Đây là một mô hình thường được dùng rất nhiều trong tài chính. Cụ thể, luận văn bao gồm 3 chương: • Chương 1: Bao gồm những khái niệm cơ bản như không gian xác suất và Martingle chuổi thời gian, phương trình sai phân, làm cơ sở cho các chương sau. • Chương 2: Trình bày ước lượng mô hình ARMA và ví dụ về mô hình GDP thực. • Chương 3: Trình bày các mô hình biến động, bao gồm các mô hình ARCH(1), mô hình GARCH(1,1), ước lượng mô hình GARCH(p,q) và ví dụ về chỉ số thị trường Thụy Sĩ(SMI). Nguyễn Minh Duy 1 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Những kiến thức cơ bản được trình bày trong chương này gồm: chuỗi thời gian và toán tử trễ, phương trình sai phân, kỳ vọng có điều kiện và martingle sẽ được sử dụng vào các chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA, GARCH. . . 1.1 Không gian xác suất và martingle, Định nghĩa 1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên (xem [12]) Xt là một họ các biến ngẫu nhiên với t ∈ T và được xác định trên một số không gian xác suất cho trước. Ở đây, T là một tập chỉ mục có thứ tự và thường được dùng để mô tả thời gian. Một số ví dụ của tập T là T = {1, 2, . . . } hay T = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } = N cho trường hợp rời rạc và T = [0, ∞) hay T = (−∞, ∞) cho trường hợp thời gian liên tục. Với mỗi t, đại lượng Xt được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên. 1.1.1 Kỳ vọng có điều kiện Khái niệm 1.1.1. Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất. Cho ζ ⊂ F là một σ−trường và X là một biến ngẫu nhiên khả tích. Kỳ vọng có điều kiện của X theo σ−trường ζ là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(X|ζ), thỏa a. E(X|ζ) là ζ đo được b. R E(X|ζ)dP = A R A XdP với mọi A ∈ ζ . Ta định nghĩa E(X|Y ) là kỳ vọng có điều kiện của X theo σ−trường σ(Y ). Nguyễn Minh Duy 2 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Ta có các tính chất sau của kỳ vọng có điều kiện. Mệnh đề 1.1.1. a) Nếu c là hằng số thì E(c|ζ) = c. b) E(aX + bY |ζ) = aE(X|ζ) + bE(Y |ζ). c) Nếu ζ là σ−trường tầm thường {φ, Ω} thì E(X|ζ) = X . d) E(E(X|ζ)) = EX . e) Nếu X độc lập với ζ tức là σ(X) độc lập với ζ thì E(X|ζ) = EX . f) Nếu Y là ζ−đo được, E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ thì E(XY |ζ) = Y E(X|ζ). g) Nếu ζ1 ⊂ ζ2 thì E(E(X|ζ2 )|ζ1 ) = E(E(X|ζ1 )|ζ2 ) = E(X|ζ1 ). h) Nếu X ≤ Y (h.c.c) thì E(X|ζ) ≤ E(Y |ζ). i) |E(X|ζ)| ≤ E(|X||ζ). j) Bất đẳng thức Jensen: Giả sử φ : R → R lồi và khả tích. Khi đó φ(E(X|ζ)) ≤ E(φ(X)|ζ). k) Hội tụ đơn điệu Beppo - Levy: Nếu Xn ≥ 0, Xn ↑ X và E|X| < ∞ thì E(Xn |ζ) ↑ E(X|ζ). l) Bổ đề Fatou: Nếu Xn ≥ 0 thì E(limn→∞ Xn |ζ) ≤ limn→∞ E(Xn |ζ). m) Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue: Giả sử Y là biến ngẫu nhiên khả tích và |Xn | ≤ Y (h.c.c). Nếu limn→∞ Xn = X thì limn→∞ E(Xn |ζ) = E(X|ζ). 1.1.2 Martingale Các khái niệm và định lý dưới đây được hiểu là martingale với thời gian rời rạc (xem [12]). Định nghĩa 1.1.2. Cho X = (Xt )t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên thoả E|Xt | < ∞ với mọi t. Ta gọi Nguyễn Minh Duy 3 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ a. Xt là supermartingale nếu E(Xt |Fs ) ≤ Xs với mọi 0 ≤ s ≤ t b. Xt là submartingale E(Xt |Fs ) ≥ Xs với mọi 0 ≤ s ≤ t c. Xt là martingale nếu Xt là supermartingale và submartingale; tức là E(Xt |Fs ) = Xs . Thông thường, ta dùng bộ lọc tự nhiên Ft = σ(Xs )s≤t . Theo lý thuyết trò chơi, nếu xem Xt là số vốn ở thời điểm t, Ft = σ(Xs )s≤t là thông tin tích lũy đến thời điểm t thì trò chơi gây thiệt hại nếu nó là supermartingale, trò chơi có lợi nếu nó là submartingale và công bằng nếu nó là martingale. Các kết quả chính của martingale là các bất đẳng thức và các định lý hội tụ, nhất là các định lý của Doob. 1.1.3 Hiệu martingale Cho Ft là một bộ lọc và (Yt ) được gọi là là hiệu martingale nếu E|Yt | < ∞ và E(Yt+1 |Ft ) = 0 Nhận xét 1.1.1. • Nếu Xt là martingale thì Yt là hiệu martingale với Y0 = X0 và Yt = ∆Xt = Xt − Xt−1 . Thật vậy E(Yt+1 |Ft ) = E(Xt+1 − Xt |Ft ) = E(Xt+1 |Ft ) − Xt = 0. • Ngược lại, nếu Yt là hiệu martingale thì ta có thể xây dựng martingale Xt như sau: X0 = Y0 , Xt = Pt k=1 Yk Dễ thấy Xt là Ft -đo được và E|Xt | < ∞. Hơn nữa E(Xt+1 |Ft ) = E(Yt+1 + Xt |Ft ) = E(Yt+1 |Ft ) + Xt = Xt . 1.1.4 Khai triển Doob Định lý 1.1.1. Giả sử Xt là submartingale. Khi đó tồn tại martingale Mt và dãy tăng dự báo được At , nghĩa là 0 = A0 ≤ A1 ≤ · · · ≤ At ≤ . . . , sao cho: Xt = Mt + At (1.1) Khai triển này, còn được gọi là khai triển Doob, là duy nhất. Nguyễn Minh Duy 4 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Trong định lý này, dãy (At ), (Mt ) được xác định bởi A0 = 0, At = t−1 X (1.2) [E(Xj+1 |Fj ) − Xj ], j=0 và M0 = X0 , Mt = X0 + t−1 X (1.3) [Xj+1 − E(Xj+1 |Fj )]. j=0 Bây giờ, ta sẽ đề cập đến martingale bình phương khả tích. Giả sử Mt là martingale bình phương khả tích tức là Mt là một martingale và E|Mt |2 < ∞. Vì Mt là martingale nên bất đẳng thức Jensen với hàm lồi g(x) = x2 suy ra quá trình Mt2 là submartingale. Theo khai triển Doob ta có Mt2 = mt + M̃t (1.4) trong đó, mt là martingale và M̃t là dãy tăng dự báo được. Ta gọi M̃t là đặc trưng bình phương của martingale M và M̃t = t−1 X 2 |Fj ) − Mj2 ] [E(Mj+1 j=0 = t−1 X [(∆Mj )2 |Fj−1 )]∆Mj = Mj − Mj−1 . j=1 Đặc biệt, nếu M0 = 0 thì E(Mk2 ) = E(M̃k ). Nhận xét 1.1.2. Giả sử (Yt ) là các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho E(Yt ) = Pt Pt 0, E(Yt2 ) < ∞. Đặt M0 = 0; Mt = k=1 Yk . Khi đó M̃t = E(Mt2 ) = k=1 E|Yk |2 . 1.1.5 Luật mạnh số lớn martingale bình phương khả tích Định lý 1.1.2. . a. Giả sử Mt là martingale bình phương khả tích và At là dãy tăng dự báo được P E[(∆Mi )2 |Fi−1 ] sao cho A1 ≥ 1, A∞ = ∞. Nếu ∞ < ∞ thì i=1 A2 i Mt = ∞. t→∞ At lim (1.5) b. Giả sử Mt là martingale bình phương khả tích và M̃∞ = ∞(h.c.c). Khi đó, Mt = 0. t→∞ M̃t lim Nguyễn Minh Duy (1.6) 5 Toán ứng dụng 1.2 Luận văn Thạc sĩ Chuỗi thời gian Chuỗi thời gian (xem [20]) là một chuỗi số liệu được thu thập trong một thời kì hoặc một khoảng thời gian lặp lại như nhau trên cùng một đối tượng, một không gian, hoặc một địa điểm. Với số liệu chuỗi thời gian, ta thường sử dụng chỉ số t để chỉ thứ tự của các quan sát. Chuỗi thời gian có thể được thu thập theo đơn vị thời gian là năm, tháng, ngày, hay chi tiết hơn như giờ, phút . . . . 1.2.1 Quá trình dừng Định nghĩa 1.2.1. Gọi {Xt } là một quá trình ngẫu nhiên với V (Xt ) < ∞ với mọi t ∈ Z. Khi đó, hàm tự hiệp phương sai γX (t, s) của {Xt } được định nghĩa bởi hiệp phương sai của Xt và Xs . Ta có: γX (t, s) = cov(Xt , Xs ) = E [(Xt − EXt )(Xs − EXs )] = EXt Xs − EXt EXs . Định nghĩa 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là dừng khi và chỉ khi với mọi số nguyên r, s và t, ta có a. E(Xt ) = µ là hằng số, b. V (Xt ) < ∞, c. γX (t, s) = γX (t + r, s + r). Nhận xét 1.2.1. Các quá trình thoả các tính chất này đôi khi còn được gọi là các quá trình dừng yếu, dừng theo nghĩa rộng, dừng hiệp phương sai hoặc dừng bậc hai. Nhận xét 1.2.2. Nếu t = s thì γX (t, s) = γX (t, t) = V (Xt ). Do đó, nếu {Xt } là quá trình dừng thì γX (t, t) = V (Xt ) là hằng số. Nhận xét 1.2.3. Nếu {Xt } dừng thì, bằng cách đặt r = −s, hàm tự hiệp phương sai thoả: γX (t, s) = γX (t − s, 0); nghĩa là, γX (t, s) chỉ phụ thuộc vào t − s. Do đó, với quá trình dừng, ta có thể xem hàm tự hiệp phương sai là hàm một biến h = t − s. Vì γX (t, s) = γX (s, t) nên γX (h) = γX (−h) với mọi h ∈ Z. Ngoài ra, ta cũng có định nghĩa của hàm tự tương quan như sau: ρX (h) = Nguyễn Minh Duy γX (h) , γX (0) với mọi ∈ Z. 6 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Định nghĩa 1.2.3. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là dừng ngặt nếu phân phối đồng thời của (Xt1 , . . . , Xtn ) và (Xt1 +h , . . . , Xtn +h ) là bằng nhau với mọi h ∈ Z và (t1 , . . . , tn ) ∈ T n , n = 1, 2, . . . . Ta cũng có một định nghĩa khác tương đương của quá trình dừng ngặt như sau. Định nghĩa 1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là dừng ngặt nếu với mọi số nguyên h và n ≥ 1, (X1 , . . . , Xn ) và (X1+h , . . . , Xn+h ) có cùng phân phối. Nhận xét 1.2.4. Nếu {Xt } là dừng ngặt thì Xt có cùng phân phối với mọi t (chọn n = 1). Hơn nữa, Xt+h và Xt có phân phối đồng thời không phụ thuộc vào t; nghĩa là, hiệp phương sai (nếu tồn tại) chỉ phụ thuộc vào h. Do đó, mọi quá trình dừng ngặt thoả V (Xt ) < ∞ cũng là quá trình dừng. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Ta xét ví dụ sau:   Exp(1), Xt ∼  N (1, 1), với t lẻ, với t chẵn. Ở đây, Exp(1) là phân phối mũ với kỳ vọng bằng 1, N (1, 1) là phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 1, phương sai bằng 1, và (Xt )t là các biến ngẫu nhiên độc lập. Ta có • E(Xt ) = 1, • γX (0) = 1 và γX (h) = 0 với h 6= 0. Do đó, {Xt } dừng, nhưng không dừng ngặt vì phân phối của Xt thay đổi tùy theo t là chẵn hay lẻ. Nhận xét 1.2.5. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là quá trình Gauss nếu mọi phân phối hữu hạn chiều (Xt1 , . . . , Xtn ) với (t1 , . . . , tn ) ∈ T n , n = 1, 2, . . . , đều là phân phối chuẩn nhiều chiều. Nhận xét 1.2.6. Dễ thấy quá trình Gauss là dừng ngặt. Hơn nữa, với mọi n, h, t1 , . . . , tn , (Xt1 , . . . , Xtn ) và (Xt1 +h , . . . , Xtn +h ) có cùng kỳ vọng và ma trận hiệp phương sai. 1.2.2 Quá trình trung bình trượt Quá trình trung bình trượt bậc 1, ký hiệu là MA(1), được định nghĩa bởi Xt = Zt + θZt−1 Nguyễn Minh Duy 7 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ với Zt ∼ N (0, σ 2 ). Dễ thấy E(Xt ) = E(Zt ) + θE(Zt−1 ) = 0 và γX (t + h, t) = cov (Xt+h , Xt ) = cov (Zt+h + θZt+h−1 , Zt + θZt−1 ) = E(Zt+h Zt ) + θE(Zt+h Zt−1 ) + θE(Zt+h−1 Zt ) + θ2 E(Zt+h−1 Zi−1 ) Vì E(Zs2 ) = σ 2 và E(Zt Zt+h ) = 0 với mọi h 6= 0 nên 
   1 + θ2 σ 2 h = 0    γX (h) = θσ      0 h = ±1 . 2 khác Do đó, {Xt } là một quá trình dừng với hàm tự tương quan     1 h=0    ρX (h) = θ 1+θ2       0 1.2.3 h = ±1 . khác Các tính chất của hàm tự hiệp phương sai Định lý 1.2.1. Hàm tự hiệp phương sai của quá trình dừng {Xt } được đặc trưng bởi các tính chất sau: a. γX (0) ≥ 0, b. 0 ≤ |γX (h)| ≤ γX (0), c. γX (h) = γX (−h), d. Pn i,j=1 ai γX (ti − tj )aj ≥ 0 với mọi n và với mọi véctơ (a1 , . . . , an )0 và (t1 , . . . , tn ). Định lý 1.2.2. Hàm tự tương quan của một quá trình ngẫu nhiên dừng {Xt } được đặc trưng bởi các tính chất sau: a. ρX (0) = 1, b. 0 ≤ |ρX (h)| ≤ 1, c. ρX (h) = ρX (−h), d. Pn i,j=1 ai ρX (ti − tj )aj ≥ 0 với mọi n và các vectơ (a1 , . . . , an )0 và (t1 , . . . , tn ). Nguyễn Minh Duy 8