Tài liệu Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 4 học tốt dạng toán về tìm số trung bình cộng

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Ở bậc Tiểu học, môn Toán là một trong những môn học chiếm vị trí quan trọng và được dành một thời lượng rất lớn trong chương trình dạy - học. Với vai trò là những người làm công tác giáo dục thì việc thực hiện tốt phương châm giáo dục của Đảng: Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài là hết sức cần thiết. Hiện nay, việc dạy - học lấy học sinh làm trung tâm đã được nhiều giáo viên vận dụng rất sáng tạo, linh hoạt nên đạt hiệu quả cao. Song bên cạnh đó cũng còn không ít tồn tại, vướng mắc; việc dạy - học thụ động, đối phó vẫn xảy ra. Lên lớp 4, tư duy của các em đã phát triển. Một số em học sinh yêu thích môn Toán thích tìm tòi, khám phá những cái mới, cái hấp dẫn dễ nhàm chán với những bài toán dễ và đơn giản mà thường dành sự quan tâm đặc biệt đến những bài toán khó. Như vậy, giáo viên phải không ngừng nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ để có thể đáp ứng kịp thời những tình huống có thể xảy ra trong quá trình đồng hành cùng hoạt động học tập của học sinh. Ngoài ra, cần tạo những sân chơi lành mạnh cho các em, giúp các em phát triển toàn diện, đặc biệt có thể giúp các em phát triển năng lực, sở trường của cá nhân và vận dụng tốt kiến thức đã học trong luyện tập thực hành hay vận dụng vào thực tiễn cuộc sống. Đó cũng chính là vấn đề được cả nhà trường, phụ huynh và xã hội quan tâm. Qua thực thế giảng dạy ở trường tôi thấy việc dạy - học dạng toán về số trung bình cộng ở lớp 4 có vị trí quan trọng. Bởi vì thông qua bài học giúp học sinh hiểu biết, tìm tòi, vận dụng để giải toán. Mặt khác giúp các em có kiến thức sơ giản về giải toán để học ở các lớp trên. Xuất phát từ thực tế trường tôi dạy, tôi thấy việc dạy - học dạng toán về số trung bình cộng còn nhiều hạn chế, chưa giúp cho học sinh phát triển tốt năng lực tư duy, suy luận trong quá trình giải toán. Khi học dạng toán này phần lớn các em nắm được phương pháp chung để giải các bài toán đơn giản. Song việc học dạng toán này ở chương trình Tiểu học mới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh biết vận dụng công thức để tính. Vì thế đối với những bài toán có thêm dữ kiện, phức tạp hơn một chút các em còn gặp nhiều khó khăn khi giải. Bản thân tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy. Đa số các tài liệu chỉ cung cấp các đề bài đan xen trong các dạng bài khác, định hướng cách giải chưa rõ ràng, làm tắt bước, không gọi tên. Chưa thấy tài liệu nào nghiên cứu sâu về vấn đề này nên rất khó khăn cho giáo viên trong việc giúp học sinh học tốt, giúp các em mạnh dạn, tự tin khi tham gia câu lạc bộ Toán học hay tham gia giao lưu giải toán trên Internet. Với mong muốn tìm ra biện pháp góp phần nâng cao chất lượng dạy - học dạng toán về số trung bình cộng ở lớp 4, tôi xin trình bày “Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 4 học tốt dạng toán về số trung bình cộng”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 1 Đưa ra một số biện pháp nhằm giúp học sinh lớp 4 nắm được phương pháp giải các bài toán về tìm số khi biết mối quan hệ giữa số trung bình cộng với số đó. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nội dung chương trình sách giáo khoa Toán 4. - Một số bài toán về số trung bình cộng. - Một số biện pháp giúp học sinh lớp 4 học tốt dạng toán về số trung bình cộng. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Phương pháp nghiên cứu lý luận. - Phương pháp khảo sát, thống kê.      - Phương pháp phân tích, tổng hợp. - Phương pháp giảng giải. - Phương pháp thực nghiệm. - Tổng kết và trao đổi kinh nghiệm. - Phương pháp thực hành luyện tập. - Phương pháp kiểm tra, đánh giá. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. C¬ së lÝ luËn Trong toán học, dạng toán về số trung bình cộng là dạng toán điển hình, sẽ rất đơn giản khi thực hiện những bài toán dễ trong sách giáo khoa song chỉ một thời gian ngắn sau là nhiều em quên ngay cách giải. Mặt khác, với một số bài toán, nhiều em vẫn còn nhầm lẫn giữa dạng này với dạng khác nên thực hiện sai yêu cầu. Do đó, việc hướng dẫn học sinh nắm vững cách giải là rất cần thiết. Việc dạy - học giải toán về "số trung bình cộng" ở lớp 4 nhằm giúp học sinh hiểu đó là lấy tổng nhiều số hạng rồi chia cho số các số hạng song đối với một số học sinh thì các em không chỉ dừng ở mức ghi nhớ công thức để áp dụng vào làm các bài toán đơn giản trong sách giáo khoa mà thích tìm tòi, khám phá những cái hay, cái mới có ở trong sách báo, trong thực tế. Song việc giải dạng này ở chương trình Tiểu học mới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh biết vận dụng công thức để tính. Hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải đúng và hay là rất khó. Trong một lớp học lại có nhiều đối tượng học sinh nên khả năng học của các em cũng khác nhau. Chính vì vậy, khi đang học dạng toán này trong sách giáo khoa, các em làm rất tốt. Song chỉ một thời gian ngắn sau mà làm lại thì kết quả không cao, bởi lẽ các em chưa nắm được bản chất của dạng toán. Còn đối với một số học sinh có năng khiếu, khi tham gia tiết học trên lớp, cùng các bạn hoàn thành một số lượng bài tập như nhau nên không thấy hứng thú trong giờ học vì các em giải quyết các bài tập đó quá dễ dàng. Vậy làm thế nào để giúp học sinh hiểu, vận dụng làm tốt dạng toán trên? Giúp các em có hứng thú khi học dạng toán này? Đó là nỗi băn khoăn, trăn trở của không ít giáo viên. Trước những bất cập đó, bản thân tôi ngoài việc áp dụng công thức tính tôi đã tìm tòi, nghiên cứu đưa toán trung bình cộng về các dạng bài tương đồng nhau để học sinh dễ hiểu và làm được bài khi gặp các bài toán dạng này. Đồng thời còn giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, biết tìm tòi sáng tạo trong học tập và vận 2 dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống. Đó là lí do tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 4 học tốt dạng toán về số trung bình cộng”. 2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Qua thực tế nhiều năm trực tiếp giảng dạy lớp 4 ở trường Tiểu học, tôi thấy: 1. Về phía giáo viên: Được Ban giám hiệu quan tâm chỉ đạo, chính quyền địa phương, cha mẹ học sinh rất ủng hộ, tạo điều kiện tốt nhất cho việc dạy - học của giáo viên và học sinh. Đối với những bài toán dạng tìm số trung bình cộng, ở các tiết dạy trên lớp, giáo viên đã cố gắng khai thác bài dạy để học sinh hiểu bài, giúp học sinh phân tích đề, nhận diện dạng toán, nắm vững cách giải dạng toán để vận dụng giải những bài toán dạng đơn giản song chưa mở rộng kiến thức cho các em để các em nắm bắt và vận dụng vào giải các bài toán có nhiều dữ kiện, các bài toán hay trong câu lạc bộ Toán học, trong các vòng thi Violympic. 2. Về phía học sinh: * Thuận lợi: - Do đặc điểm của học sinh tiểu học nhanh nhớ nhưng cũng chóng quên nên khi tập trung vào học một dạng toán thì các em dễ khắc sâu và rèn được kĩ năng tính toán. - Với phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm hiện nay giúp các em có điều kiện hoạt động và chủ động nắm kiến thức. *. Khó khăn: Trong giờ học các em sôi nổi phát biểu ý kiến, tiếp thu bài nhanh, làm được các bài toán ở dạng cơ bản (bài toán mang tính chất “chìa khóa”) nhưng chưa hiểu bản chất của dạng toán do đó dẫn đến chóng quên. Đối với những bài toán mà đề bài có yếu tố “nhiễu”(Yếu tố gây khó khăn cho học sinh khi xác định yêu cầu của đề bài) là các em gặp vướng mắc ngay. Các em chưa tư duy để tìm ra cách giải mà vẫn còn dựa vào sự hướng dẫn của giáo viên. Để giải đúng bài toán còn đòi hỏi các em phải tư duy, tìm ra cách giải song một số em vẫn còn nhầm lẫn những yếu tố không thuộc bản chất dẫn đến sự nhầm lẫn cách giải giữa dạng này với dạng khác. Bên cạnh đó vẫn còn một số học sinh chưa thực hiện đúng các bước giải toán, thường không đọc kĩ đề nên hiểu sai yêu cầu của đề dẫn đến giải sai hoặc một số em có tố chất nhưng ý thức học tập không cao, cẩu thả khi trình bày nên thường đạt kết quả thấp. Từ thực tế trên cho thấy phần lớn các em học sinh đều có năng lực học toán và nhanh nhẹn trong tính toán. Song cũng còn một số vướng mắc cần khắc phục. 3. Về tài liệu tham khảo: Dạng toán trung bình cộng trong chương trình Toán lớp 4 gồm 3 tiết. Cụ thể: - Tiết 22: Cung cấp quy tắc và công thức tính trung bình cộng của nhiều số (Trang 26 - 27) - Tiết 23: Luyện tập, áp dụng quy tắc vừa học (Trang 28) - Tiết 169: Ôn tập về tìm số trung bình cộng (Trang 175). Với thời lượng ít như vậy nên thực tế nhiều giáo viên chưa đầu tư nhiều vào dạng toán này hoặc nếu có cũng chỉ dừng ở mức vận dụng quy tắc trong sách giáo 3 khoa. Như thế dẫn đến sự khó khăn cho học sinh khi gặp những bài toán có nhiều dữ kiện hơn. Đặc biệt là đối với những học sinh có năng khiếu trong việc vận dụng vào giải các bài toán ở các vòng Violympic Toán, các bài toán hay trong câu lạc bộ Toán học. Bên cạnh đó, hiện nay, tài liệu hướng dẫn học sinh học ở buổi thứ hai không có sách hướng dẫn chi tiết, từng buổi như trong chương trình chính khóa mà giáo viên phải tự tìm tài liệu tham khảo và soạn thảo thành chương trình riêng. Về cơ bản, các sách tham khảo có nhiều ưu điểm, song trong nhiều tài liệu còn một số hạn chế nhất định, chưa đáp ứng hết được sự đam mê, tìm tòi của học sinh và giáo viên. Qua nhiều năm trực tiếp dạy học sinh khối 4, tôi thấy việc giải toán về “Số trung bình cộng” của các em học sinh còn nhiều hạn chế. Nguyên nhân là các em chưa hiểu được bản chất của dạng toán, trong giải toán còn làm một cách máy móc, dập khuôn nên học xong phần này một thời gian là quên ngay cách giải; các em thường lúng túng trong việc phân tích đề, chưa nắm được phương pháp giải,… Những lí do trên không thể hoàn toàn đổ lỗi cho học sinh mà một phần là do cách hướng dẫn của giáo viên. Chính vì thế, tôi đã nghiên cứu và rút kinh nghiệm dần khi dạy đến phần này. Sau khi học sinh đã được học các bài toán về số trung bình cộng của chương trình sách giáo khoa Toán 4, tôi cho các em học sinh lớp tôi dạy làm một bài kiểm tra với nội dung bài tập như sau: Bài 1:Tìm trung bình cộng của các số sau: 998, 999, 1000, 1001, 1002. Bài 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp có tổng là 99. Bài 3: Tìm 6 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là 56. Kết quả khảo sát 30 học sinh lớp 4A cuối năm học 2014 – 2015, khi chưa áp dụng các giải pháp của sáng kiến: Bài Số học sinh làm đúng Số lượng Tỉ lệ 1 30 em 100 % 2 14 em 46,7 % 3 9 em 30 % Số học sinh làm sai Số học sinh không làm bài Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 0 em 0% 0 em 0% 16 em 53,3 % 0 em 0% 21em 70 % 0 em 0% Qua kết quả khảo sát và trực tiếp theo dõi quá trình học tập của các em tôi thấy ở bài 1 hầu như các em đều làm tốt vì chỉ cần áp dụng ngay quy tắc tính. Bài toán số 2 và bài số 3 là hai bài toán mà nhìn qua thì thấy có điểm giống nhau song bài số 3 khó hơn bài số 2 (số số hạng là số chẵn) nên nếu để nguyên bài toán thì học sinh sẽ không giải được theo cách áp dụng công thức tính như sách giáo khoa. Còn bài số 2 thì dễ hơn (vì số số hạng là số lẻ) thì số trung bình cộng là số nằm chính giữa của dãy số cách đều. Đây là 3 bài toán chưa thật sự khó, ở bài 2 và bài 3 các em làm và trình bày theo cách hiểu của riêng mình nên còn trình bày lộn xộn, ở bài 3 các em làm sai nhiều. Vậy khi gặp những bài toán khó hơn, có nhiều dữ kiện hơn thì kết quả sẽ thế nào? Từ những thực trạng và nguyên nhân cơ bản đó đã làm cho nhiều giáo viên lúng túng trong cách dạy, nhiều học sinh lúng túng trong cách học. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 4, tôi đã dự giờ thăm lớp, tiếp thu các chuyên đề mới, tôi 4 mạnh dạn áp dụng một số biện pháp khi dạy dạng toán về “Số trung bình cộng” cho học sinh lớp tôi dạy trong các tiết toán ở buổi 2 nhằm mục đích khắc phục những hạn chế trong quá trình dạy - học như sau: 3. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN. Thứ nhất: Tự học, tự bồi dưỡng kiến thức. Muốn nâng cao kết quả học tập của học sinh thì yếu tố quan trọng nhất và có vai trò quyết định là giáo viên. Ý thức được điều đó, tôi luôn có tinh thần tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, hoàn chỉnh các kĩ năng giải toán của mình để có thể chuyển tải đến học sinh cách giải hợp lí nhất. Tôi thường xuyên tự học tự bồi dưỡng, tham khảo các chuyên đề giải toán, các bộ đề thi của các cấp trên trang Violet.vn, theo sát chương trình “Giải toán trên mạng Violimpic” của học sinh, thực hiện nghiêm túc các chuyên đề giải toán do nhà trường tổ chức. Từ đó tôi đã thống kê, phân loại, sắp xếp các dạng toán theo từng mạch kiến thức cần chuyển tải đến học sinh. Tôi thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp có kinh nghiệm về nội dung và phương pháp giảng dạy, luôn lắng nghe ý kiến chỉ đạo của Ban giám hiệu. Qua đó, tôi hệ thống được nội dung kiến thức cần cung cấp, tiếp thu phương pháp dạy học tốt nhất. Song song với việc làm đó, tôi nghiên cứu nội dung chương trình, xây dựng kế hoạch và nội dung các bài toán về số trung bình cộng cho học sinh lớp 4. Tôi xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng bài cụ thể, soạn giáo án chu đáo trước khi lên lớp. Thứ hai: Họp phụ huynh - Thống nhất biện pháp giáo dục. Lên lớp 4, các em học sinh vẫn phần lớn phụ thuộc vào sự quan tâm, nhắc nhở của cha mẹ và thầy cô. Các em vẫn chưa tự giác học tập. Chính vì vậy, giáo dục ý thức tích cực học tập cho các em là một yếu tố quan trọng giúp các em học tốt hơn. Trong cuộc họp phụ huynh đầu năm, tôi đã giúp phụ huynh nắm được những yêu cầu cần thiết để các em học tập tốt như: mua sắm đầy đủ sách vở, đồ dùng phục vụ cho việc học tập của các em. Một số học sinh thiếu sách giáo khoa, tôi gặp gỡ, trao đổi với phụ huynh, hướng dẫn phụ huynh đăng kí mượn sách tại thư viện của trường, tạo điều kiện cho các em học tập. Thứ ba: Xây dựng một số dạng bài toán về số trung bình cộng và cách giải. Để học sinh dễ hiểu bài, nắm chắc chắn kiến thức và vận dụng tốt kiến thức đã học vào giải toán, tôi đã dành thời gian nghiên cứu nội dung chương trình của môn học, khối lớp mình dạy. Đặc biệt kiến thức kĩ năng cần đạt của bài học cung cấp đến học sinh về mục tiêu, vị trí tiết học để đưa ra hệ thống câu hỏi ngắn gọn nhất, dễ hiểu nhất cho các em. Chốt kiến thức cho học sinh chắc chắn sau mỗi dạng bài, linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giảng dạy. Trước tiên tôi hướng dẫn học sinh hệ thống lại các kiến thức đã học về số trung bình cộng trong sách giáo khoa. Sau đó, tôi phân các bài toán có cách giải tương đồng nhau về các dạng: Dạng 1: Tìm số trung bình cộng của nhiều số.(dạng cơ bản) Đây là dạng toán cơ bản nhất, làm tiền đề để các em học các dạng toán về số trung bình cộng khác. Vì vậy, ngay từ bài học đầu tiên về tìm số trung bình cộng, tôi hướng dẫn các em nắm chắc cách làm qua ví dụ cụ thể ở sách giáo khoa. 5 Ví dụ 1: Rót vào can thứ nhất 6l dầu, rót vào can thứ hai 4l dầu. Hỏi nếu số lít dầu đó được rót đều vào 2 can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu? * Hướng dẫn học sinh phân tích đề: + Bài toán cho biết gì? Bài toán yêu cầu tìm gì? (Giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.) +Can thứ nhất có mấy lít dầu? +Can thứ hai có mấy lít dầu? + Cả hai can có mấy lít dầu? + Bài toán hỏi gì? (Số lít dầu đó được rót đều vào 2 can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu?) + Em hiểu số lít dầu rót đều vào 2 can nghĩa là rót như thế nào? (Rót số lít dầu vào mỗi can bằng nhau). + Giáo viên chỉ vào sơ đồ và lưu ý học sinh: Biểu thị tổng số lít dầu của hai can bằng một đoạn thẳng. Đoạn thẳng thứ nhất biểu thị tổng số lít dầu của hai cạn, đoạn thẳng thứ hai biểu thị tổng số lít dầu đó chia thành 2 phần bằng nhau và mỗi phần chính là trung bình cộng số dầu của mỗi can. 6l 4l ?l ?l Cả hai can có bao nhiêu lít dầu? (Có 6 + 4 = 10 lít dầu) + Nếu rót đều số lít dầu ấy vào 2 can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu? (Mỗi can có 10 : 2 = 5 lít dầu) + Nếu rót đều số dầu này vào 2 can thì mỗi can có 5 lít dầu. Ta nói rằng trung bình mỗi can có 5 lít dầu. Số 5 gọi là số trung bình cộng của hai số 4 và 6. + Để giải bài toán này, bước thứ nhất ta tính gì? (Tính tổng số dầu trong cả hai can) + Để tính số lít dầu rót đều vào mỗi can, chúng ta làm gì?(Thực hiện phép chia tổng số lít dầu cho 2 can.) * Giáo viên nhắc học sinh: Để tìm số dầu trung bình có trong mỗi can ta đã lấy tổng số lít dầu chia cho số can. + Dựa vào cách giải bài toán, nêu cách tìm số trung bình cộng của 4 và 6 (6 + 4) : 2 = 5 Qua ví dụ 1 tôi chốt lại cho học sinh: Để tìm số trung bình cộng của hai số 6 và 4 ta tính tổng của hai số rồi lấy tổng đó chia cho 2, 2 chính là số các số hạng của tổng 4 + 6. * Giáo viên hướng dẫn tương tự với ví dụ 2 trong sách giáo khoa. Từ hai ví dụ, lưu ý học sinh hiểu rõ khái niệm trung bình cộng là lấy tổng của tất cả các số hạng rồi chia cho số các số hạng vừa tính tổng. + Yêu cầu học sinh nêu quy tắc tìm số trung bình cộng của nhiều số: Muốn tìm trung bình cộng của nhiều số ta tính tổng các số đó rồi chia tổng đó cho số các số hạng. 6 Từ quy tắc tìm số trung bình cộng của nhiều số, tôi hướng dẫn các em cách tìm tổng của các số hạng khi biết số trung bình cộng: Muốn tìm tổng các số hạng ta lấy trung bình cộng nhân với số các số hạng. Những kiến thức này các em đã nắm được ở các giờ học trên lớp và cũng đã thực hành vận dụng nhiều. Để học sinh tiếp cận tốt các bài toán về trung bình cộng thì trước hết phải giúp các em nắm vững các quy tắc. Bởi vì các quy tắc này phục vụ rất nhiều trong quá trình làm bài mà nền tảng có vững chắc thì các em mới có thể mở rộng vốn hiểu biết của mình. Để giúp các em nắm được kiến thức, tôi hướng dẫn qua các bước sau: Bước 1: Yêu cầu học sinh làm các bài tập đơn giản, cụ thể. Bước 2: Qua các bài tập đó giúp học sinh rút ra các kết luận cần thiết. Ví dụ 1: Tìm trung bình cộng của các số sau: 5,10, 15, 20, 25 Ở bài tập này học sinh dễ dàng tìm được trung bình cộng của các số trên dựa vào quy tắc: Tổng các số đó là: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75 Trung bình cộng của các số trên là: 75 : 5 = 15 Đáp số: 15 Sau khi học sinh hoàn thành ví dụ 1, tôi yêu cầu các em nêu lại cách làm để củng cố kiến thức về áp dụng quy tắc. Ví dụ 2: Trung bình cộng của hai số là 100, một số là 79. Tìm số kia. * Hướng dẫn tìm hiểu đề: - Muốn tìm được số kia ta cần biết gì?(Cần biết tổng hai số đó và một số hạng.) - Muốn biết tổng của hai số ta làm như thế nào?(Lấy trung bình cộng của hai số nhân với 2) - Khi biết tổng hai số và một số hạng, ta sẽ tìm được số hạng kia. * Như vậy, để giải dạng toán này ta làm qua các bước: Bước 1: Tìm tổng hai số. Bước 2: Lấy tổng đó trừ đi số hạng đã biết để tìm số hạng còn lại. Qua các bài tập trên, các em học sinh đã có những kiến thức cơ bản để làm các bài tập liên quan đến số trung bình cộng. Khi làm các bài tập, các em có thể vận dụng vốn kiến thức này kết hợp với cách giải các dạng toán điển hình có liên quan. Ngoài ra, tôi đưa thêm một số bài toán để các em vận dụng quy tắc đã học để rèn kĩ năng tính toán thành thạo hơn. (Phụ lục 1) Dạng 2: Bài toán về trung bình cộng của dãy số cách đều.(Đây là bài tập các em hay gặp khi giao lưu giữa các Câu lạc bộ Toán học, đề thi Violympic Toán) Ví dụ 1: Tìm trung bình cộng của các số sau: 10, 12, 14, 16, 18, 20. * Hướng dẫn học sinh phân tích đề: - Dãy số trên có đặc điểm gì? (Là dãy số cách đều 2 đơn vị) - Tìm trung bình cộng của các số trên bằng cách nào?(Tính tổng các số hạng rồi lấy tổng đó chia cho số các số hạng) - Đó là cách làm áp dụng quy tắc. Để thuận tiện hơn ta có thể làm như sau: + Đây là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị. Trung bình cộng của dãy số cách đều bằng số cuối cộng số đầu rồi chia cho 2. + Yêu cầu học sinh áp dụng công thức này để làm bài. 7 * Trình bày bài giải: Dãy số trên cách đều nhau 2 đơn vị. Trung bình cộng của các số trên là: (10 + 20): 2 = 15 Đáp số : 15 Hoặc các em lấy (12 + 18): 2 = (14 + 16): 2 = 15 Đối với những bài tìm trung bình cộng của dãy số có số số hạng là số lẻ, tôi hướng dẫn học sinh cách làm qua ví dụ 2. Ví dụ 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp có tổng bằng 81. Cách 1: Tôi hướng dẫn các em dùng sơ đồ đoạn thẳng. * Hướng dẫn phân tích đề bài: - Nêu những điều kiện đã cho của bài toán. - Bài toán có dạng gì? * Định hướng cách giải: Vì hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu ta xem số lẻ thứ nhất cần tìm là một đoạn thẳng thì số lẻ thứ hai là một đoạn thẳng như thế và thêm 2 đơn vị. Cứ tiếp tục biểu diễn như thế ta có sơ đồ sau: Số thứ nhất: 2 Số thứ hai: 81 2 2 Số thứ ba: Dựa vào sơ đồ ta sẽ tìm được các số theo yêu cầu của đề bài. Cách 2: Tìm số chính giữa của dãy số. - Nhận xét số số hạng cần tìm là số chẵn hay số lẻ?(3 số, là số lẻ) - Vì số số hạng phải tìm là số lẻ nên số trung bình cộng của dãy là số nằm chính giữa của dãy số. - Tìm số chính giữa của dãy số. - Dựa vào số chính giữa của dãy số để tìm các số còn lại. * Trình bày bài giải: Cách 1: Vì hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu ta xem số lẻ thứ nhất cần tìm là một đoạn thẳng thì số lẻ thứ hai là một đoạn thẳng như thế và thêm 2 đơn vị. Cứ tiếp tục biểu diễn như thế ta có sơ đồ sau: Số thứ nhất: 2 Số thứ hai: 81 2 2 Số thứ ba: Nhìn vào sơ đồ ta thấy 3 lần số thứ nhất là: 81 - (2 3) = 75 Số thứ nhất là: 75 : 3 = 25 Số thứ hai là: 25 + 2 = 27 Số thứ ba là: 27 + 2 = 29. Vậy 3 số lẻ cần tìm là: 25, 27, 29. Cách 2: Số ở chính giữa của dãy(số thứ hai) là: 81 : 3 = 27 8 Số thứ ba là: 27 + 2 = 29 Số thứ nhất là: 27 - 2 = 25 Vậy 3 số lẻ cần tìm là: 25, 27, 29. Sau khi giải bài toán bằng hai cách trên, tôi hướng dẫn các em nhận xét để thấy: trong hai cách làm trên thì cách thứ hai thuận tiện hơn vì các em chỉ cần tìm được số ở chính giữa sẽ tìm được các số còn lại. Như vậy, bài toán ở ví dụ này khó hơn bài toán ở ví dụ 1 vì phải tìm 3 số lẻ là những số nào khi biết tổng. Tôi hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét khi gặp những bài toán dạng này: Trong dãy số cách đều số các số hạng là một số lẻ thì số trung bình cộng của dãy chính là số nằm chính giữa của dãy số. Ví dụ 3: Tìm số trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 99. * Hướng dẫn học sinh cách giải: Cách 1: Áp dụng theo quy tắc: Tính tổng của dãy; lấy tổng tìm được chia cho số số hạng để tìm số trung bình cộng. Từ 1 đến 99 có 99 số Tổng các số từ 1 đến 99 là: (99 + 1)  99 : 2 = 4950 Trung bình cộng của các số từ 1 đến 99 là: 4950 : 99 = 50 Cách 2: Muốn tìm số trung bình cộng trong dãy số cách đều ta lấy hai số cách đều hai đầu dãy số cộng lại rồi chia cho 2. Áp dụng tính chất này học sinh dễ dàng tìm được trung bình cộng của các số từ 1 đến 99 là: (1 + 99) : 2 = 50 Tương tự như thế, học sinh sẽ dễ dàng vận dụng những bài toán cùng dạng. Ví dụ 4: Tìm 4 số chẵn liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 55. * Hướng dẫn phân tích đề: - Bài toán cho biết gì? (Bốn số chẵn liên tiếp có trung bình cộng bằng 55). - Bài toán yêu cầu tìm gì?(Tìm 4 số chẵn đó) * Định hướng cách giải: - Các số hạng là số chẵn, số số hạng là số chẵn thì số trung bình cộng của dãy bằng số trung bình cộng của hai số cách đều hai đầu dãy số. - Với bài toán này ta tìm tổng của số thứ hai và số thứ ba(cặp số ở giữa) sẽ thuận tiện hơn vì ta biết ngay được hiệu hai số (hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị) sẽ dễ dàng cho việc tính toán. - Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị (hiệu của số thứ ba và số thứ hai là 2) - Tìm số thứ hai và số thứ ba dựa vào tổng và hiệu. - Tìm các số còn lại khi biết số thứ hai và số thứ ba. * Trình bày bài giải: 9 Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Có 4 số chẵn liên tiếp, trung bình cộng của 4 số đó chính là trung bình cộng của hai số ở cách đều hai đầu dãy số. Trung bình cộng của số thứ hai và số thứ ba là 55. Tổng của số thứ hai và số thứ ba là: 55  2 = 110. Số thứ hai là : (110 - 2): 2 = 54 Số thứ ba là: 54 + 2 = 56. Số thứ nhất là: 54 - 2 = 52 Số thứ tư là: 56 + 2 = 58. Vậy 4 số chẵn liên tiếp đó là: 52; 54; 56; 58. Qua bốn ví dụ trên, tôi gọi học sinh nêu lại cách làm từng bài, nêu nhận xét và rút ra kiến thức cần nhớ liên quan đến số trung bình cộng của dãy số cách đều: Kiến thức cần nhớ: Đối với dãy số cách đều thì: - Số trung bình cộng trong một dãy số cách đều chính là số trung bình cộng của hai số cách đều hai đầu dãy số. - Nếu số các số hạng là một số lẻ thì số hạng ở chính giữa của dãy số chính là số trung bình cộng của các số hạng. - Nếu số số hạng là một số chẵn thì số trung bình cộng của dãy số đã cho đúng bằng nửa tổng của số đầu và số cuối của dãy số; hoặc đúng bằng nửa tổng của hai số cách đều hai đầu dãy số đã cho. Tôi đưa thêm một số bài toán để các em vận dụng quy tắc đã học để rèn kĩ năng tính toán. (Phụ lục 2) Dạng 3: Dạng liên quan đến bản chất của số trung bình cộng trong một dãy. (Đây là dạng bài tập mà các em hay gặp trong các buổi giao lưu ở Câu lạc bộ Toán học, đề thi Violympic Toán). Dạng 3.1: Tìm một số bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho. Ví dụ: An, Bình, Loan đi trồng cây. An trồng được 5 cây, Bình trồng được 7 cây. Tìm số cây Loan trồng được, biết rằng số cây Loan trồng được bằng trung bình cộng số cây của ba bạn. * Hướng dẫn phân tích đề bài: - Bài toán cho biết gì? + An trồng được 5 cây, Bình trồng được 7 cây. + Số cây Loan trồng được bằng trung bình cộng số cây của cả 3 bạn. - Bài toán hỏi gì?(Tìm số cây bạn Loan trồng) - Theo cách giải thông thường thì ta tìm trung bình cộng số cây của ba bạn trong đó có cả số cây của Loan trồng. Số cây của Loan trồng chưa biết ta phải đi tìm. Do đó ta không tìm được số cây Loan trồng theo cách giải thông thường. - Đối với dạng bài này tôi hướng dẫn các em giải bằng sơ đồ đoạn thẳng: + Trung bình cộng số cây của 3 bạn bằng tổng số cây của 3 bạn chia cho 3 [(Số cây của An + Số cây của Bình + Số cây của Loan ): 3] + Để biểu diễn trung bình cộng số cây của ba bạn thì đoạn thẳng biểu thị tổng số cây của ba bạn được chia thành mấy phần bằng nhau? (3 phần bằng nhau). Số cây của An + Số cây của Bình Số cây của Loan 10 TBC TBC TBC Số cây của Loan trồng được bằng trung bình cộng số cây của 3 bạn. Vậy đoạn thẳng biểu thị số cây của Loan bằng đoạn thẳng biểu thị số trung bình cộng số cây của ba bạn, đoạn thẳng còn lại là tổng số cây của An và Bình. * Trình bày bài giải: Bài giải Theo bài ra ta có sơ đồ: Số cây của An + Số cây của Bình Số cây của Loan TBC TBC TBC Theo sơ đồ, tổng số cây của An và Bình bằng 2 lần trung bình cộng số cây của cả 3 bạn. Do đó số cây của Loan trồng được bằng trung bình cộng số cây của An và Bình. Trung bình cộng số cây của cả ba bạn là: (5 + 7) : 2 = 6 (cây) Mà số cây Loan trồng được bằng trung bình cộng số cây của cả ba bạn nên Loan trồng được 6 cây. Đáp số: 6 cây Qua ví dụ trên, tôi yêu cầu học sinh nêu lại cách làm, rút ra các bước giải của dạng toán: Bước 1: Tìm trung bình cộng số cây của cả 3 bạn. Bước 2: Tìm số cây của Loan đã trồng. Lưu ý học sinh cách vẽ sơ đồ biểu diễn các phần bằng nhau, giá trị của mỗi phần chính là một lần trung bình cộng. Ghi nhớ: Một số bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho thì số đó bằng trung bình cộng của các số còn lại. Bài tập vận dụng: (Phụ lục 3) Dạng 3.2: Tìm số khi biết số đó hơn số trung bình cộng của tất cả các số đã cho là a đơn vị. Ví dụ 1: An gấp được 18 cái thuyền, Toàn gấp được 21 cái thuyền, Nga gấp được hơn mức trung bình cộng số thuyền của ba bạn là 3 cái. Hỏi Nga gấp được bao nhiêu cái thuyền? * Hướng dẫn phân tích đề: - Bài toán cho biết gì?(An gấp được 18 cái thuyền, Toàn gấp được 21 cái thuyền; Nga gấp được hơn mức trung bình cộng số thuyền của ba bạn là 3 cái.) - Số thuyền Nga gấp được hơn mức trung bình cộng số thuyền của ba bạn là 3 cái nghĩa là thế nào? (Số thuyền của Nga không những bằng trung bình cộng số thuyền của ba bạn mà còn hơn trung bình cộng số thuyền của ba bạn là 3 cái) - Bài toán hỏi gì? (Nga gấp được bao nhiêu cái thuyền) - Muốn biết số thuyền Nga gấp được ta phải biết gì trước? (biết trung bình 11 cộng số thuyền của ba bạn) - Vậy tìm trung bình cộng số thuyền của ba bạn như thế nào? - Với những cách giải đã học ta không tìm được. Vậy chúng ta sẽ dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải. * Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ: - Bài toán liên quan đến trung bình cộng số thuyền của 3 bạn thì đoạn thẳng biểu thị tổng số thuyền của ba bạn được chia thành 3 phần bằng nhau. Giá trị mỗi phần chính là trung bình cộng số thuyền của ba bạn. - Số thuyền Nga gấp được nhiều hơn trung bình cộng số thuyền của ba bạn. Vậy đoạn thẳng biểu thị số thuyền của Nga dài hơn đoạn thẳng biểu thị trung bình cộng số thuyền của ba bạn (biểu thị là 3 cái thuyền). Khi biểu diễn xong số thuyền của Nga thì phần còn lại chính là số thuyền của An và Bình. Vậy điểm mấu chốt của bài toán chính là xác định số thuyền của Nga trên sơ đồ. Số thuyền của An và Toàn Số thuyền của Nga 3 TBC TBC - Yêu cầu học sinh chỉ trên sơ đồ, nêu lại đề toán. * Trình bày bài giải: Theo bài ra ta có sơ đồ: Số thuyền của An và Toàn TBC Số thuyền của Nga 3 TBC TBC TBC Tổng số thuyền của An và Toàn là: 18 + 21 = 39 (cái) Trung bình, mỗi bạn gấp được số cái thuyền là: (39 + 3) : 2 = 21 (cái) Nga gấp được số cái thuyền là: 21 + 3 = 24 (cái) Đáp số: 24 cái thuyền Sau khi giải xong bài này tôi lưu ý học sinh khi vẽ sơ đồ: Vì số thuyền Nga gấp được nhiều hơn trung bình cộng số thuyền của ba bạn là 3 cái nên đoạn thẳng biểu thị số thuyền của Nga dài hơn đoạn thẳng biểu thị trung bình cộng số thuyền của ba bạn. Ví dụ 2: Hà có 6 quyển vở, Liên có số vở gấp đôi số vở của Hà, Hoa có 14 quyển vở. Hằng có số vở hơn mức trung bình cộng số vở của 4 bạn là 4 quyển. Hỏi Hằng có bao nhiêu quyển vở? Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài qua các bước: - Phân tích đề, vẽ sơ đồ. - Tìm tổng số vở của Hà, Liên, Hoa. - Tìm trung bình cộng số vở của bốn bạn. - Tìm số vở của Hằng. 12 - Học sinh tự trình bày bài vào vở.(Đáp số: 16 quyển vở) Sau khi phân tích các ví dụ, tôi yêu cầu học sinh rút ra nhận xét, nêu lại các bước làm. Đặc biệt lưu ý học sinh cách biểu thị phần hơn mức trung bình cộng trên sơ đồ để giải đúng bài toán. Bước 1: Vẽ sơ đồ. Bước 2: Tính tổng các số hạng đã biết. Bước 3: Tính số trung bình cộng. Bước 4: Tính số cần tìm = Trung bình cộng các số + a. Rút ra cách giải tổng quát: Gọi số cần tìm là X, a là số đơn vị hơn mức trung bình cộng của các số, n là số số các số hạng còn lại. Nếu X nhiều hơn mức trung bình cộng của X và n số hạng là a đơn vị thì: X = [(Tổng của n số hạng + a) : n] + a Bài tập vận dụng(Phụ lục 4) Dạng 3.3: Tìm số khi biết số đó kém trung bình cộng của tất cả các số đã cho là a đơn vị. Ví dụ 1: Trong một đợt trồng cây đầu xuân, khối Bốn có 3 lớp tham gia trồng cây, lớp 4A và lớp 4B trồng được tất cả 92 cây. Lớp 4C trồng ít hơn trung bình cộng số cây của cả 3 lớp là 8 cây. Hỏi lớp 4C trồng được bao nhiêu cây? *Hướng dẫn phân tích đề: - Bài toán cho biết gì? (Lớp 4A và lớp 4B trồng được tất cả 92 cây; Lớp 4C trồng ít hơn trung bình cộng số cây của cả 3 lớp là 8 cây). - Lớp 4C trồng ít hơn trung bình cộng số cây của cả 3 lớp là 8 cây nghĩa là thế nào?(Số cây lớp 4C trồng được không những không bằng trung bình cộng số cây của ba bạn mà còn ít hơn trung bình cộng số cây của ba bạn là 8 cây). - Bài toán hỏi gì?(Hỏi lớp 4C trồng được bao nhiêu cây). - Đây là dạng toán Tìm một số kém trung bình cộng của số đó và các số còn lại là a đơn vị.( Tìm số kém trung bình cộng của tất cả các số đã cho là a đơn vị.) - Muốn tìm số cây của lớp 4C ta phải tìm gì trước?(phải biết trung bình cộng số cây của cả ba lớp). - Số cây của lớp 4C chưa tìm được. Vậy tìm trung bình cộng số cây của ba lớp như thế nào? - Với cách giải thông thường chúng ta không tìm được. Vậy ta sẽ dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải. * Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ. + Đoạn thẳng biểu thị tổng số cây của ba lớp chia thành 3 phần bằng nhau. + Số cây lớp 4C trồng ít hơn trung bình cộng số cây của ba lớp. + Vậy đoạn thẳng biểu thị số cây của lớp 4C ngắn hơn đoạn thẳng biểu thị trung bình cộng số cây của 3 lớp (biểu thị là 8 cây). Số cây của lớp 4C 8 TBC TBC TBC +Đoạn còn lại biểu thị tổng số cây của lớp 4A và 4B. 13 + Vậy trong bài toán này việc xác định số cây của lớp 4C trên sơ đồ là điểm mấu chốt của bài toán. * Định hướng cách giải: - Nhìn sơ đồ ta thấy, tổng số cây của lớp 4A và lớp 4B bớt đi 8 cây thì bằng mấy lần trung bình cộng số cây của ba lớp? (bằng hai lần trung bình cộng số cây của ba lớp) - Vậy muốn tìm trung bình cộng số cây của ba lớp ta làm thế nào? (Lấy tổng số cây của lớp 4A và lớp 4B trừ đi 8 được bao nhiêu chia cho 2) - Sau đó tìm số cây của lớp 4C. * Trình bày bài giải: Bài giải Theo bài ra ta có sơ đồ: Số cây của lớp 4C Tổng số cây của lớp 4A và 4B 8 TBC TBC TBC Nhìn vào sơ đồ ta thấy trung bình mỗi lớp trồng được số cây là: (92 – 8) : 2 = 42 (cây) Lớp 4C trồng được số cây là: 42 - 8 = 34 (cây) Đáp số: 34 cây Sau khi giải xong bài này tôi lưu ý học sinh: Khi vẽ đoạn thẳng chỉ số cây của lớp 4C trên sơ đồ ta vẽ ngắn hơn phần biểu thị trung bình cộng số cây của ba lớp. Ví dụ 2: Hà có 12 quả bóng, Hồng có 16 quả bóng, Hiền có 20 quả bóng, Huệ có số bóng kém mức trung bình cộng số bóng của bốn bạn là 3 quả. Hỏi Huệ có mấy quả bóng? Giáo viên hướng dẫn học sinh giải qua các bước: - Vẽ sơ đồ. - Tìm tổng số quả bóng của Hà, Hồng, Hiền. - Tìm trung bình cộng số bóng của bốn bạn. - Tìm số bóng của Huệ. (Đáp số: 12 quả bóng) Qua các ví dụ trên, tôi yêu cầu học sinh nêu lại các bước làm: Bước 1: Vẽ sơ đồ. Bước 2: Tính tổng các số hạng đã biết. Bước 3: Tìm số trung bình cộng = (Tổng các số đã biết - a) : số các số hạng.(a là số đơn vị kém mức trung bình cộng của các số) Bước 4: Tính số cần tìm = Trung bình cộng của các số - a. Rút ra cách giải tổng quát: Gọi số cần tìm là X, a là số đơn vị kém mức trung bình cộng của các số, n là số số các số hạng còn lại. Nếu X nhiều hơn mức trung bình cộng của tất cả các số đã cho là a đơn vị thì: X = [(Tổng của n số hạng - a) : n] - a Bài tập vận dụng(Phụ lục 5) Dạng 3.4: Bài toán có thêm một số hạng để mức trung bình cộng của tất cả các số đã cho tăng thêm n đơn vị. 14 Ví dụ: An, Bình, Chi, Dương cùng nhau gấp ngôi sao. Số ngôi sao của An gấp được là 148, Bình gấp được 216 ngôi sao, Chi gấp được là 467 ngôi sao. Hỏi muốn tăng mức trung bình số ngôi sao của cả bốn bạn gấp được 10 ngôi sao thì Dương phải gấp được bao nhiêu ngôi sao? * Hướng dẫn phân tích đề: - Bài toán cho biết gì? (An, Bình, Chi, Dương cùng nhau gấp ngôi sao. Số ngôi sao của An gấp được là 148, Bình gấp được 216 ngôi sao, Chi gấp được là 467 ngôi sao.) - Bài toán hỏi gì? (Hỏi muốn tăng mức trung bình số ngôi sao của cả bốn bạn gấp được 10 ngôi sao thì Dương phải gấp được bao nhiêu ngôi sao) * Định hướng cách giải: - Để biết muốn tăng mức trung bình số ngôi sao của cả bốn bạn gấp được thêm 10 ngôi sao thì trước hết ta phải biết gì? (Tổng số ngôi sao ba bạn An, Bình, Chi gấp được; trung bình mỗi bạn gấp được bao nhiêu ngôi sao). - Sau đó tính tổng số ngôi sao của bốn bạn gấp được khi đã tăng mức trung bình số ngôi sao gấp được lên 10 ngôi sao. - Tìm số ngôi sao Dương gấp được. * Trình bày bài giải: Tổng số ngôi sao An, Bình và Chi gấp được là: 148 + 216 + 467 = 831 (ngôi sao) Không kể số ngôi sao của Dương thì trung bình mỗi bạn gấp được số ngôi sao là: 831 : 3 = 277 (ngôi sao) Cả bốn bạn gấp được số ngôi sao là: (277 + 10)  4 = 1148 (ngôi sao) Dương gấp được số ngôi sao là: 1148 – 831 = 317 (ngôi sao) Đáp số: 317 ngôi sao. Sau khi tìm hiểu kĩ ví dụ, tôi hướng dẫn học sinh rút ra cách giải như sau: Bước 1: Tính tổng các số đã cho. Bước 2: Tính trung bình cộng của các số đã cho. Bước 3: Tính tổng mới = (Trung bình cộng của các số đã cho + n đơn vị) số lượng các số hạng mới. Bước 4: Tìm số đó = Tổng mới - Tổng các số đã cho. Bài tập vận dụng(Phụ lục 6) Dạng 4: Dạng toán về trung bình cộng có liên quan đến một số dạng toán điển hình khác. Ví dụ 1: Một cửa hàng bán gạo, trong ba ngày, trung bình mỗi ngày bán được 1248 kg gạo. Biết tổng số gạo bán trong hai ngày đầu nhiều hơn số gạo bán trong ngày thứ ba là 846 kg gạo. Hỏi ngày thứ ba bán được bao nhiêu ki lô gam gạo? * Hướng dẫn phân tích đề: - Bài toán cho biết gì? (Trong 3 ngày, trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được 1248 kg gạo. Biết tổng số gạo bán trong hai ngày đầu nhiều hơn số gạo bán trong ngày thứ ba là 846 kg gạo) 15 - Bài toán yêu cầu ta tìm gì? (Tìm xem ngày thứ ba cửa hàng bán được bao nhiêu ki lô gam gạo) - Từ câu “Trong ba ngày, trung bình mỗi ngày bán được 1248 kg gạo” ở đề bài em sẽ tính được gì? (Tổng số gạo bán trong 3 ngày) - Từ câu “Tổng số gạo bán trong hai ngày đầu nhiều hơn số gạo bán trong ngày thứ ba là 846 kg gạo” ở đề bài em xác định được gì? (Hiệu số gạo bán trong hai ngày đầu so với ngày thứ ba). - Tổng số gạo bán trong hai ngày đầu ứng với số lớn hay số bé? (Số lớn) - Số gạo bán trong ngày thứ ba ứng với số lớn hay số bé?(Số bé) - Lúc này, bài toán quay về dạng toán nào đã học (Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó). * Hướng dẫn giải: - Muốn biết ngày thứ ba cửa hàng bán được bao nhiêu gạo trước hết ta cần biết gì? (Biết tổng số gạo bán trong 3 ngày). - Xác định số lớn, số bé trong bài toán. (Số lớn là tổng số gạo bán trong 2 ngày đầu, số bé là số gạo bán trong ngày thứ ba). - Tìm số gạo bán trong ngày thứ ba. * Trình bày bài giải: Tổng số gạo bán trong cả 3 ngày là: 1248  3 = 3744 (kg) Số gạo bán trong ngày thứ ba là: (3744 – 846) : 2 = 1449 (kg) Đáp số: 1449 kg gạo. Như vậy ở bài toán này, thoạt đầu khi mới đọc lướt đề bài ta nghĩ tìm số gạo bán trong ngày thứ ba rất đơn giản. Tuy nhiên phân tích đề ta thấy để giải được bài toán này cần vận dụng thêm cả dạng toán Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó. Ví dụ 2: Tuấn có 36 viên bi, Thiện có số bi bằng số bi bằng 2 3 3 4 số bi của Tuấn, Thái có tổng số bi của cả 2 bạn. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu viên bi? * Hướng dẫn phân tích đề: - Bài toán cho biết gì? (Tuấn có 36 viên bi, Thiện có số bi bằng Tuấn, Thái có số bi bằng 2 3 3 4 số bi của tổng số bi của cả ba bạn). - Bài toán yêu cầu tìm gì? (Trung bình mỗi bạn có bao nhiêu viên bi.) * Hướng dẫn giải: - Muốn biết trung bình mỗi bạn có bao nhiêu viên bi trước hết ta cần biết gì? (Biết số bi của Thiện và số bi của Thái). - Tìm số bi của Thiện dựa vào đâu? (Dựa vào số bi của Tuấn). - Tìm số bi của Thái dựa vào đâu? (Dựa vào số bi của Tuấn và số bi của Thiện). - Bài toán liên quan đến dạng toán nào đã học? (Tìm phân số của một số). * Trình bày bài giải: 16 3 Số bi của Thiện là: 36  4 = 27 (viên) Tổng số bi của Tuấn và Thiện là: 36 + 27 = 63 (viên) 2 Số bi của Thái là: 63  3 = 42 (viên) Trung bình mỗi bạn có số viên bi là: (36 + 27 + 42) : 3 = 35 (viên) Đáp số: 35 viên bi. Sau khi phân tích ví dụ, tôi hướng dẫn học sinh rút ra cách giải như sau: Bước 1: Đọc kĩ đề bài. Bước 2: Phân tích các dữ kiện của đề toán. Tìm mối quan hệ giữa các dữ kiện, xác định dạng toán có liên quan. Bước 3: Giải bài toán dựa vào các dữ kiện đã cho. Vận dụng tốt các kiến thức của dạng toán có liên quan để giải. Bài tập vận dụng(Phụ lục 7) Thứ tư: Hướng dẫn học sinh xây dựng một đề toán mới. Việc cho học sinh tự xây dựng đề toán vừa giúp các em phát triển tư duy độc lập, vừa giúp các em phát triển tính năng động, sáng tạo. Đây là biện pháp gây chú ý và hứng thú học tập, giúp các em hiểu rõ cấu trúc, cách ghi nhớ từng dạng bài, đi sâu tìm hiểu thực tế và phát triển ngôn ngữ thông qua việc tự nêu và giải quyết vấn đề, phát huy tính tích cực, vai trò trung tâm của các em trong quá trình học tập. Có nhiều cách để giúp học sinh tự xây dựng một đề toán song giáo viên cần nêu vấn đề, yêu cầu và định hướng từ thấp đến cao, từ dễ đến khó để giúp học sinh nắm bắt vấn đề một cách hiệu quả nhất. 4.1. Đề toán đưa ra thiếu số liệu. Học sinh tìm số liệu điền vào rồi giải. Ví dụ: Lớp 4A có ..... học sinh, lớp 4B có .... học sinh, số học sinh của lớp 4C bằng trung bình cộng số học sinh của lớp 4A và số học sinh của lớp 4B. Em hãy tính xem lớp 4C có bao nhiêu bạn học sinh. 4.2. Đề toán không đưa ra câu hỏi. Học sinh tự đặt câu hỏi cho bài toán và giải. Ví dụ: Tuổi trung bình của cô giáo chủ nhiệm và 26 học sinh lớp 4B là 10 tuổi. Nếu không kể tuổi cô giáo chủ nhiệm thì tuổi trung bình của 26 học sinh lớp 4B là 26 tuổi. Em hãy đặt câu hỏi cho đề toán rồi giải. 4.3 Đặt đề toán dựa vào tóm tắt: Ví dụ: Nêu bài toán rồi giải bài toán theo tóm tắt sau: Tóm tắt: 4A: 36 cây 4B: 30 cây 4C: bằng trung bình cộng số cây của lớp 4A và 4B. Cả ba lớp: …. cây. 4.4. Đặt một đề toán tương tự với bài mẫu. 17 Trong biện pháp học sinh tự xây dựng đề toán các em thường mắc các khiếm khuyết như: Các số liệu chọn thiếu chính xác, xa thực tế. Chẳng hạn các em có thể đặt đề toán như sau: “Bạn An cao 25 cm, bạn Bình cao 29 cm. Số đo chiều cao của bạn Chi hơn trung bình cộng số đo chiều cao của An và Bình là 4 cm. Hãy tính xem bạn Chi cao bao nhiêu xăng ti mét.” Hay: “Bạn Hà mua một chiếc bút bi hết 2 500 000 đồng, bạn Hồng mua một chiếc bút bi cùng loại hết 3 500 000 đồng. Số tiền chiếc bút máy của bạn Hoa bằng trung bình cộng số tiền mua chiếc bút bi của Hồng và Hà. Tính giá tiền chiếc bút máy của bạn Hoa.” Do đó, giáo viên cần giúp các em sửa chữa những lỗi thường mắc để giúp các em rèn luyện tư duy, tính thực tế. Thứ năm: Nghiên cứu, ra đề ôn luyện để củng cố kiến thức cho học sinh. Để kiểm tra được việc nắm kiến thức của học sinh một cách khách quan, chính xác thì bên cạnh việc chấm chữa bài thường xuyên, tôi còn ra đề sau mỗi phần kiến thức được học. Trong các mạch kiến thức được ôn tập, tôi đều lồng vào các bài toán về trung bình cộng để các em được luyện tập thường xuyên. Đồng thời dành một tiết vào cuối tháng để kiểm tra lại nội dung kiến thức đã học. Đây cũng là một việc làm rất thiết thực nhằm củng cố kiến thức cho học sinh. 4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Với những biện pháp cụ thể đã được thể nghiệm trong quá trình nghiên cứu cũng như việc thực nghiệm công tác giảng dạy, tôi thấy biện pháp đưa ra có tính hiệu quả cao. Cụ thể, khi hướng dẫn học sinh giải dạng toán về “Số trung bình cộng” cho học sinh lớp 4 tôi thấy: - VÒ häc sinh: Häc sinh thân thiện hơn với trường học, thầy cô, bạn bè trong và ngoài nhà trường. Bên cạnh đó, những em lâu nay học ngại học toán cũng đã tự tin hơn, các em đã làm tốt được các bài tập dạng cơ bản, biết nhận diện dạng toán và làm tốt những bài toán thuộc dạng bài đã học. Đặc biệt, khi tham gia các buổi sinh hoạt của câu lạc bộ Toán học trong trường, khi giải toán ở các vòng thi Violympic, những học sinh lớp tôi đã rất tự tin khi gặp các bài toán về số trung bình cộng. Sau khi học xong phần toán về trung bình cộng theo các giải pháp nêu trên, tôi có ra đề để khảo sát lại phần kiến thức các em đã học như sau: Bài 1: Tìm 6 số lẻ liên tiếp có trung bình cộng là 78. Bài 2: Một cửa hàng ngày đầu bán được 15l dầu, số dầu bán ngày thứ hai gấp ba lần số dầu bán ngày thứ nhất. Ngày thứ ba bán được số dầu bằng 2 3 số dầu bán trong ngày thứ hai. Hỏi trung bình mỗi ngày bán được bao nhiêu lít dầu? Bài 3: Bốn bạn cùng nhau gấp thuyền, Thúy gấp được 32 cái thuyền, Hà gấp được 38 cái thuyền, Huệ gấp được số thuyền bằng trung bình cộng số thuyền của Thúy và Hà. Thu gấp được số thuyền ít hơn trung bình cộng số thuyền của cả bốn bạn là 8 cái. Hỏi Thu gấp được bao nhiêu cái thuyền? Và đây là kết quả khảo sát của 31 học sinh lớp 4B cuối năm học 2015 – 2016: 18 Bài Số học sinh làm đúng Số học sinh làm sai Số học sinh không làm bài Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 1 31 em 100 % 0 em 0% 0 em 0% 2 30 em 96,7 % 1 em 3,3 % 0 em 0% 3 28 em 90,3 % 3em 9,7 % 0 em 0% Năm học 2016 – 2017 tôi tiếp tục áp dụng các giải pháp của sáng kiến khi dạy học và thu được kết quả như sau: Bài Số học sinh làm đúng Số học sinh làm sai Số học sinh không làm bài Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 1 28 em 100 % 0 em 0% 0 em 0% 2 27 em 96,4 % 1 em 3,6 % 0 em 0% 3 26 em 92,8 % 3em 7,2 % 0 em 0% Qua theo dõi quá trình học tập của học sinh và kết quả khảo sát, tôi thấy các em đã làm rất tốt dạng toán về số trung bình cộng; các em tự tin trao đổi kết quả bài toán và cách giải khi tham gia sinh hoạt câu lạc bộ Toán học, kết quả bài làm có tiến bộ rõ rệt, số học sinh giải tốt dạng toán này được nâng lên, số lượng học sinh không làm được bài tập giảm hẳn, phản ánh rõ nét qua thực nghiệm và cách giải. Bên cạnh đó, học sinh còn biết nắm bắt phương pháp học để học các dạng toán khác nhau trong chương trình. Mặt khác, khi tham khảo ý kiến của đồng nghiệp lớp trên, tôi được biết học sinh khi lên lớp 5 vẫn nhớ và giải tốt dạng toán đã học. Điều đó chứng tỏ biện pháp này không chỉ có ảnh hưởng rất lớn tới việc học dạng toán này của học sinh mà còn có tác dụng hỗ trợ cho học sinh học tốt hơn ở các dạng toán khác. -Về giáo viên: Từ kết quả học tập của học sinh lớp tôi được phân công giảng dạy năm 2015 - 2016, năm học 2016 - 2017 này tôi tiếp tục vận dụng "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh học tốt dạng toán về số trung bình cộng" để dạy học phần này . Đồng thời tôi đã chia sẻ kinh nghiệm của mình cho các đồng nghiệp trong khối vận dụng để dạy phần toán "trung bình cộng" và đều nhận thấy cách hướng dẫn trên là hay và có hiệu quả. Mçi thµnh viªn ®Òu rót ra cho m×nh mét c¸ch nh×n râ nÐt h¬n, chÝnh x¸c h¬n vÒ c¸ch d¹y cña b¶n th©n. §iÒu nµy hÕt søc thuËn lîi cho việc giảng dạy môn Toán nói riêng và hỗ trợ cho việc dạy các môn học khác, làm nền tảng bồi dưỡng nhân tài cho các cấp học cao hơn. - Về nhà trường: Tạo uy tín cao hơn với lãnh đạo địa phương, với cha mẹ học sinh, với trường bạn trong huyện. Bên cạnh đó còn phát huy được chủ trương xã hội hóa giáo dục, các đoàn thể, cha mẹ học sinh đã hỗ trợ tích cực cùng chăm lo cho con em. PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: I. KẾT LUẬN: Qua quá trình áp dụng những phương pháp cùng với những kinh nghiệm của bản thân tôi nhận thấy để dạy tốt phần toán về số trung bình cộng giáo viên cần làm tốt các vấn đề sau: - Giáo viên cần nắm chắc các dạng bài và hướng dẫn học sinh một cách dễ hiểu nhất. 19 - Nghiên cứu kĩ chương trình sách giáo khoa để xây dựng chương trình dạy học phù hợp. - Đối với những bài toán có cấu trúc giống nhau, trong quá trình giải học sinh dễ nhầm lẫn máy móc giữa bài này với bài khác. Vì vậy phải giúp các em so sánh các bài toán có nội dung giống nhau nhưng câu hỏi khác nhau nên phải có câu lời giải khác nhau, phép tính khác nhau. - Phân dạng bài để giúp các em nắm vững cách giải từng dạng. Sắp xếp hệ thống bài tập theo mức độ khó dần. - Trong các buổi giao lưu toán học ở trường, ở cụm, giáo viên cần lựa chọn những bài toán hay, gắn với các yếu tố thực tiễn trong cuộc sống tạo sự gần gũi cho các em. Cùng một dạng bài nhưng người giáo viên phải biết biến tấu, chuyển dạng dưới nhiều hình thức hỏi khác nhau, nhằm phát huy tốt năng lực tư duy của học sinh và gây được hứng thú học tập cho các em. - Giáo viên phải là người nắm rõ và phân loại chính xác từng đối tượng học sinh của lớp mình để có định hướng đúng đắn giúp học sinh giải quyết yêu cầu của bài học, chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động, sáng tạo và có hứng thú trong học tập. Đối với học sinh: - Thực hiện tốt các pháp tính cộng, trừ, nhân, chia đối với số tự nhiên, phân số. - Đọc kĩ đề, xác định đúng dạng toán đã học. - Trong giờ học phải tập trung nghe thầy cô giảng bài để nắm được cách giải dạng toán đồng thời chăm chỉ luyện tập thực hành để nắm chắc cách làm bài. II. KIẾN NGHỊ: 1.Đối với nhà trường: -Thường xuyên tổ chức những buổi tọa đàm, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy giữa các giáo viên. - Tổ chức cho giáo viên tham gia học hỏi kinh ngiệm ở trường bạn. 2. Đối với giáo viên: - Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp để tìm ra phương pháp phù hợp nhằm thực hiện tốt mục tiêu của tiết dạy trên lớp; động viên, khuyến khích học sinh có năng khiếu tham gia Câu lạc bộ Toán học, tìm tòi các bài toán hay trong thực tế. Trong các tạp chí toán Tuổi thơ hay tham gia các sân chơi toán học trên mạng Internet. - Luôn quan tâm đến học sinh, tạo sự hứng thú cho các em, giúp các em tự tin học tập. - Tăng cường luyện tập, củng cố các bài tập đã học cho học sinh. Cần sắp xếp thời gian để các em được luyện tập dạng toán này được nhiều hơn. - Tăng cường tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến những vướng mắc của học sinh để tìm ra cách tháo gỡ những vướng mắc ấy. - Cần sáng tạo ra các dạng toán phù hợp với từng đối tượng học sinh ở mức độ tiếp thu khác nhau. - Động viên, khuyến khích các em tham gia các câu lạc bộ toán học trong trường, tham gia các kì giao lưu toán học giữa các câu lạc bộ, tìm tòi các bài toán hay ở tạp chí toán tuổi thơ, tham gia sân chơi toán học trên mạng,... 20