Tài liệu Một số dạng toán quỹ tích trong đề thi học sinh giỏi toán phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------. NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------- NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số:60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS.TS. Trịnh Thanh Hải, người thầy với lòng nhiệt huyết đã luôn chỉ bảo tận tình cho em từ những ngày đầu tiên, đồng thời đưa ra những lời khuyên bổ ích giúp em hoàn thiện luận văn này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô, tập thể cán bộ khoa Toán Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban lãnh đạo và các đồng nghiệp trường Đại học Tân Trào cùng các bạn học viên lớp cao học toán K7C, đã không chỉ trang bị cho em những kiến thức bổ ích mà còn luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập tại trường. Cuối cùng em xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân là những người luôn ủng hộ, động viên em vượt qua những khó khăn để em hoàn thành tốt luận văn. Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu …………………………………….……………… .................. 1 Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 2 1.1. Bài toán quỹ tích ......................................................................................................2 1.2. Một số quỹ tích cơ bản ....................................................................... 3 1.3. Các hướng giải bài toán quỹ tích thường gặp trong chương trình phổ thông ........................................................................................................ 5 Chương II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI........................................................................................... 16 2.1. Dạng quỹ tích cơ bản ...................................................................... 16 2.1.1 Các bài toán sử dụng công cụ hình học tổng hợp ....................... 16 2.1.2. Các bài toán sử dụng phép biến hình ......................................... 31 2.1.3. Các bài toán sử dụng công cụ hình học giải tích ....................... 47 2.1.4. Các bài toán sử dụng công cụ đại số……………...................... 56 2.2. Dạng quỹ tích không cơ bản …………….. .................................... 69 Kết luận ……………………………………………………….. ................... 77 Tài liệu tham khảo ……………………………………………. .................. 78 1 PHẦN MỞ ĐẦU Trong chương trình môn toán ở phổ thông, các bài toán quỹ tích đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong việc giúp học sinh hình thành, phát triển năng lực tư duy và giúp học sinh được tiếp cận với các đối tượng toán học, các mối quan hệ toán học trong quá trình vận động biến đổi của chúng từ đó nhận biết được các yếu tố mang tính quy luật. Tuy nhiên đây cũng là một nội dung khó đối với cả người dạy và người học nên trong thực tế việc nghiên cứu sâu về bài toán quỹ tích thường chỉ được đặt ra đối với học sinh giỏi. Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ ngay chính công tác giảng dạy nội dung hình học trong ở trường phổ thông chúng tôi chọn đề tài “Một số dạng toán quỹ tích trong đề thi học sinh giỏi toán phổ thông” với mục đích có được một hệ thống bài tập để giúp học sinh khá giỏi khi đứng trước một bài toán quỹ tích, có thể nhanh chóng xác định đúng công cụ, cách tiếp cận để giải quyết đưa ra được lời giải cho bài toán quỹ tích. Luận văn có các nhiệm vụ cụ thể sau: (1). Nghiên cứu một số lời giải các bài toán quỹ tích để đưa ra một số cách tiếp cận, một số công cụ thường được sử dụng để giải bài toán quỹ tích trong khuôn khổ kiến thức phổ thông. (2). Tham khảo đề thi học sinh giỏi, tài liệu tham khảo chọn lọc ra một hệ thống các bài toán quỹ tích để minh họa một cách trực quan các cách giải bài toán quỹ tích. 2 Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bài toán quỹ tích Khái niệm quỹ tích: Quỹ tích những phần tử có tính chất  là tập hợp tất cả những phần tử có tính  đó. Những phần tử trong quỹ tích có thể là điểm, là đường thẳng, là đường cong... Tập hợp tìm được có thể là vô hạn, hữu hạn (một số điểm rời rạc); thậm trí có thể là một tập hợp rỗng (không có phần tử nào). Các bước giải bài toán quỹ tích: Khi giải một bài toán quỹ tích chúng ta thường phải chứng minh hai phần Thuận và Đảo (hoặc các cặp mệnh để tương đương). Xuất phát từ khái niệm quỹ tích ta có - Gọi A là tập hợp những phần tử M có tính chất  : A  M  ; - Gọi F là hình cần tìm (F có thể rỗng). Thực chất chứng minh một bài toán quỹ tích là chứng minh: A  F. - Phần thuận: Chứng minh A  F : Để chứng minh A  F , ta lấy 1 phần tử M bất kỳ thuộc A, ta chứng minh M  A kéo theo M  F . Chứng minh điều này là đảm bảo tính không thiếu của quỹ tích, bất cứ phần tử nào của A đều là của F. - Phần đảo: Chứng minh F  A : Để chứng minh F  A , ta lấy một phần tử M’ bất kỳ thuộc F, ta phải chứng minh M  F kéo theo M  A . Chứng minh được điều này là đảm bảo tính chất không thừa của quỹ tích, mọi phần tử của F đều là của A. Sau khi chứng minh được hai phần trên, ta kết luận: A  F . 3 Trong lý thuyết tập hợp, người ta đã chứng minh: Thuận  Phản đảo; Đảo  Phản. Vì vậy ngoài cặp mệnh đề Thuận và Đảo, ta còn có các cặp mệnh đề khác tương đương. Sơ đồ các cặp mệnh có thể dùng để chứng minh một bài toán quỹ tích là: Cặp Thuận và Đảo Cặp Đảo và Phản đảo a) Thuận: M  A  M  F ; a) Đảo: M  F  M  A; b) Đảo: M  F  M  A. b) Phản đảo: M  F  M  A. Cặp Phản đảo và Phản Cặp Thuận và Phản: a) Phản đảo: M  F  M  A; a) Thuận: M  A  M  F ; b) Phản: M  A  M  F. b) Phản: M  A  M  F. Cặp “Thuận và Đảo” thường dùng để tìm quỹ tích. Cặp “Đảo và Phản đảo” thường dùng để chứng minh quỹ tích (sau khi đã tìm ra tập F). Thường hay sử dụng cặp (1) và cặp (2). Vậy để giải một bài toán quỹ tích chúng ta tiến hành theo 5 bước cơ bản sau: Dự đoán; Chứng minh Thuận; Chứng minh Đảo; Dựng hình và Biện luận. 1.2. Các dạng quỹ tích 1.2.1. Các quỹ tích cơ bản Một bài toán quỹ tích bao hàm hai yếu tố cơ bản: Yếu tố cố định và yếu tố quỹ tích. STT 1 Yếu tố cố định Mối liên hệ giữa yếu tố quỹ tích với yếu tố cố định OR OM = R Quỹ tích cơ bản trong hình học phẳng Quỹ tích cơ bản trong hình học không gian Đường tròn tâm O Mặt cầu tâm O bán kính R bán kính R 4 A và B 2 Góc  Hai cung chứa góc nhau qua A, B A và B 3 MA k MB   900 MA k MB   00 5 Mặt cầu đường kính AB kính AB A và B (I, ) I là trung MA  MB  k 2 MA = MB ME  Ox 7 xOˆ y MF  Oy ME  MF điểm A,B 2 thẳng d Độ dài h 1 2k 2  AB2 2 Apôlôniút MH  d MH  h Là mặt cầu (I, )  1 2k 2  AB2 2 Đường thẳng Mặt phẳng trung trung trực của AB trực của AB Hai đường phân giác của xOˆ y Hai đưởng thẳng Đường 8 Mặt cầu Apôlôniút đường  6 nhau qua A, B kính IJ 2 (k  0) dựng đối xứng Đường tròn đường Là đường tròn A và B chứa góc  Đường tròn A và B 4  dựng đối xứng AMˆ B   Hai chỏm cầu song song cách đều đường thẳng d một khoảng h Hai mặt phẳng phân giác của xOˆ y Mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d. 5 Là đường thẳng A và B 9 (k  0) d  AB tại H sao MA 2  MB 2  k 2 cho IH  2 k d 2AB trung điểm AB) Mặt phẳng  d tại H sao cho k2 IH  2AB 1.2.2. Các quỹ tích không cơ bản STT Yếu tố cố định Mối liên hệ giữa yếu tố quỹ tích với yếu tố cố định Quỹ tích cơ bản trong hình học phẳng F1, F2 1 F1F2 = 2c MF1+MF2 = 2a (a > c) Quỹ tích cơ bản trong hình học không gian Quỹ tích là mặt Quỹ tích là Elip Elipxoit tròn xoay (c >0) F1, F2 2 F1F2 = 2c |MF1+MF2| = 2a Quỹ tích là Quỹ tích là mặt (a < c) Hypecbol Hyperboloid d(F; (Δ)) = p Quỹ tích là Quỹ tích là mặt Parabol Paraboloid (c >0) F, (Δ) 3 p 1.3. Các hướng giải bài toán quỹ tích thường gặp trong chương trình phổ thông 1.3.1. Sử dụng biểu thức hình học tổng hợp: Trong chương trình phổ thông, học sinh thường giải bài toán quỹ tích theo phương pháp tổng hợp. Sau khi dự đoán sẽ chứng minh thuận, đảo sau đó kết luận. 6 Ví dụ 1.1.([16]) Cho đường tròn đường kính BC cố định lấy điểm M di động trên đường tròn. Trên tia đối của tia BM lấy điểm D sao cho MD = DB. Tìm quỹ tích của điểm D. Lời giải D' D M B O C M' D'' E Hình 1.1 - Phân tích + Chọn vị trí của M trên đường tròn đường kính BC Lấy điểm M bất kỳ trên cung BC nối B với M và trên BM lấy MD = MC ta được điểm D. Trên cung BC lấy điểm M gần đến điểm C và cũng làm như trên ta cũng có điểm D thứ 2. Tương tự lấy điểm M gần điểm B trên cung BC ta cũng được điểm D thứ 3. 7 + Nhìn vào hình ta thấy ba điểm D không thẳng hàng. Nên ta đoán quỹ tích là một đường tròn hay một cung tròn Mặt khác: ̂ = 90 (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn). BMC ̂ = 45 ∆ CMD cân → D (MD = MC) Nên ta thấy quỹ tích của điểm D có khả năng là cung chứa góc 45 trên đường kính BC. Chứng minh: - Phần thuận Nối CM với CD Xét ∆ CMD ̂ = 90° (góc nội tiếp chắn cung tròn đường kính BC) BMC ̂ = 90°, → DMC MD = MC (gt) ̂ = 45° → MDC → ∆ CDM vuông cân tại M Khi M di động trên đường tròn đường kính BC cố định nên ta luôn có ̂ = 90° nên ta có ∆ CDM vuông cân tại M → 𝐵𝐷𝐶 ̂ = 45o không đổi. BMC Vậy khi M chuyển động trên đường tròn đường kính BC và MD = MC thì D cũng chuyển động theo và luôn nhìn BC dưới một góc 45 không đổi. Hay D nằm trên cung chứa góc 45 vẽ trên cung BC. Giới hạn: kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước tại B có cung chứa góc 45 vẽ trên cạnh BC tại D’. Khi M → B thì D → D’ lúc này thì tia BD cũng gần tiếp tuyến BD’. 8 Khi M ≡ B thì không còn cung BM nửa nên không còn tia BD do đó D’ là điểm giới hạn của quỹ tích và D không thuộc quỹ tích. Khi M → C thì D → C. Khi M ≡ C thì không ∃ ∆ CMD nên không có điểm D. Mặt khác ta thấy M di chuyển trên toàn bộ đường tròn nên còn có những điểm D nằm trên cung thứ 2 chứa góc 45 vẽ trên BC. Hai cung này đối xứng nhau qua BC cùng cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn cho trước tại D’ và D”. Vậy khi M chạy trên đường tròn đường kính BC thì D nằm trên toàn bộ đường cong D’CD” trừ D’, D”, C. - Phần đảo: Lấy điểm E thuộc cung D’CD” EB ∩ (O) = M’ Ta chứng minh M’E = M’C ̂ = 45° vì E ∈ cung D’CD’’, CM′B ̂ = 90° Nối C, E ta có: BEC ̂ = 45° nên nó là tam giác vuông cân ∆ CM’E vuông và có CEM′ → M’E = M’C.(đpcm) Kết luận: Quỹ tích điểm D thỏa mãn bài toán là cung D’DC và CED” đối xứng nhau qua CB trừ D’, C, D”. 1.3.2. Sử dụng các phép biến hình trong mặt phẳng và không gian a) Ý tưởng Để giải một bài toán bằng phương pháp biến hình, ta phải qua ba giai đoạn. Giả sử M là điểm cần tìm quỹ tích. - Bước 1: Tìm ra một phép biến hình f biến điểm trung gian M’ thành M; 9 - Bước 2: Tìm quỹ tích M’; - Bước 3: Tìm quỹ tích M, thường được suy từ quỹ tích của M’ qua phép biến hình. Chú ý rằng nếu quỹ tích trung gian M’ mà phức tạp (không phải quỹ tích cơ bản thì cần chứng minh Thuận và Đảo của M’). Quỹ tích M không cần chứng minh Thuận và Đảo. b) Ví dụ 1.2. (Đề thi HSG toàn quốc, bảng A, tháng 3 năm 2002) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua A, không tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC và có tâm O chuyển động trên đường thẳng BC. Đường tròn này cắt lại các đường AB và AC lần lượt ở M và N. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMN. Lời giải Hình 1.2 ̂ ≠ 90o vì nếu A ̂ = 90o thì H = A. Ta thấy A 10 * Lời giải 1: Gọi D là điểm xuyên tâm - đối của điểm A trên đường tròn (O) Thế thì M và N theo thứ tự chính là các hình chiếu (vuông góc) của D trên (AB) và (AC). Do đó trực tâm H của tam giác AMN là điểm đối xứng với D qua trung điểm của MN. Gọi M' và N' trên (AC) và (AB). Dễ thấy rằng tam giác AHM' đồng dạng nghịch với tam giác ADM. Từ đó ta được: (AH, AM = -(AD, AM) (modπ). AH AD = AM AM′ ̂ | và do đó = |cos BAC AH AO ̂ | = 2|cos α|, trong đó = 2|cos BAC ̂ . α = BAC Các đẳng thức trên nói lên rằng (AH) đối xứng với (AO) qua phân giác ̂ của tam giác ABC và AH = 𝑘 (k không đổi), trong đó k=2|cosα|. Ap của góc A AO Vậy H là ảnh của O trong phép vị tự - đối xứng Z(A, Ap, k). Trả lời: Nếu ký hiệu (BC = α) thì {H} là đường thẳng a’, ảnh của a trong phép đồng dạng nghịch (vị tự - đối xứng) Z(A, ∆ = Ap , k = 2|cos A|), bỏ đi hai điểm Hi ̂1 = CAO ̂2 = 90o. là ảnh của Oi (i = 1, 2) trên a = (BC), ở đó BAO Vậy {H} = a’/{H1, H2}; {Hi}= Z(Oi), I = 1, 2. Chú thích: {H} ∪ {H1, H2} = a’ đi qua hai điểm E và F. Trong đó E = PE ⊥ AC, F = QF ⊥ AB và P = DB(A), Q = DC(A). Đường thẳng (PQ) cũng được suy ra từ a = (BC) qua phép vị tự V(A, 2). * Lời giải 2: Gọi P = DB(A), Q = DC(A); E = PF ⊥ AC, F = QF ⊥ AB. Thế thì: O ∈ (BC) ⇔ D ∈ (PQ) (1) Ta có: MH cùng hướng và bằng DN, DN song song với PE, MD cùng hướng và bằng HN, HN song song với QF. 11 ̅̅̅̅̅ 𝐹𝑀 ̅̅̅̅ 𝑄𝐷 ̅̅̅̅̅ 𝐷𝑁 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐻 Suy ra: D ∈ (PQ) ⇔ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝐹𝑃 𝑄𝑃 𝑃𝐸 𝑃𝐸 ⇔ H ∈ (EF) (2) Từ (1) và (2) suy ra: {O} = (BC)/{O1, O2} ⟺ {H} = (EF)/{H1, H2}, Hi = AOj ∩ (EF), ở đó i ≠ j; {i, j} = {1, 2}. 1.3.3. Sử dụng công cụ hình học giải tích a) Ý tưởng Dùng một hệ trục toạ độ thích hợp để tìm mối liên hệ giữa yếu tố quỹ tích M(x, y) với các điểm cố định bằng một phương trình biểu diễn một đường cong cơ bản. b) Ví dụ 1.3 (T9/273/[8]) Cho đường tròn (O; R) và một điểm P nằm trong đường tròn. Hai cạnh Px và Py của góc vuông xPy cắt đường tròn ở A và B, các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau ở điểm M. Tìm quỹ tích của điểm M khi góc vuông xPy quay quanh P. Lời giải Gọi M là giao điểm của OM và AB thế thì N là trung điểm của AB và OM vuông góc với AB ở N. Trong tam giác AOM vuông ở A, ta có hệ thức: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ OM. ON OA2 = R2 (không đổi) (1) Từ (1) suy ra M là ảnh của N trong phép nghịch đảo cực O đối với đường tròn (O; R) đã cho với phương tích nghịch đảo 𝑝 = R2 . Bởi vậy, trước hết ta tìm quỹ tích trung điểm N của AB. 12 B M N I F D E O P J C A Hình 1.3 Trong ∆APM vuông ta có 1 PN = AN = BN = AB. 2 Gọi I là trung điểm của OP, theo công thức đường trung tuyến ta có: 1 ON 2 + PN 2 = 2IN 2 + OP 2 (2) 2 Mặt khác, vì PN = AN và ON ⊥ AN nên ta được: ON2 + PN2 = ON2 + AN2 = OA2 = R2 (3) Từ (2) và (3) suy ra 4IN2 + OP2 = 2R2 1 Từ đó ta được IN = p = √2R2 − 𝑑 2 trong đó d = OP < R. 2 1 Vậy N nằm trên đường tròn tâm I, bán kính 𝑝 = √2R2 − 𝑑 2 . 2 Đảo lại, lấy một điểm N bất kỳ trên đường tròn (I; p), thế thì 1 IN = 𝑝 = √2R2 − 𝑑 2 và do đó 4IN2 = 2R2 – OP2 2 13 1 hay là R2 = 2IN 2 + OP 2 = ON 2 + PN 2 . Từ đó ON < R nghĩa là N 2 nằm bên trong đường tròn (O; R). Bây giờ qua N kẻ dây cung AB của đường tròn đã cho (O; R) vuông góc với ON ở điểm N. Thế thì N là trung điểm của AB và ta được: 1 PA2 + PB 2 = 2PN 2 + AB 2 2 1 1 = 2(R2 − ON 2 ) + AB 2 = 2(OA2 − ON 2 ) + AB 2 2 2 1 1 1 2 2 2 = 2AN 2 + AB 2 = AB 2 + AB 2 = AB 2 . Suy ra: PA ⊥ PB. Vậy, quỹ tích các trung điểm N của dây cung AB là đường tròn tâm I 1 (trung điểm của OP), bán kính 𝑝 = √2R2 − 𝑑 2 . 2 Kết luận: Từ (1) dẫn đến kết luận: Quỹ tích các điểm M là một đường tròn, là ảnh của đường tròn tâm I 1 bán kính xác định bởi 𝑝 = √2R2 − 𝑑 2 (Hình 1.3). 2 1.3.4. Sử dụng công cụ đại số a) Ý tưởng: Giả sử M là một điểm thay đổi phụ thuộc tham số m. Có hai trường hợp sau đây:  Trường hợp 1: Tọa độ điểm M biểu thị được theo tham số m. Khi đó để tìm quỹ tích đại số của một điểm M, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Biểu thị tọa độ x; y  của M theo tham số m  x  h(m) (1) hoặc   y  g ( m) ( 2 )  x  h(m, x)   y  g (m, x) 14 2. Khử m trong hệ trên suy ra (C): y  f (x) . 3. Giới hạn và kết luận quỹ tích: Từ điều kiện tồn tại điểm M, suy ra điều kiện của m và điều kiện của x (nhờ (1)), chẳng hạn x ∈ D.  y  f ( x) x  D Vậy quỹ tích của điểm M là đường (C) :  (1) được gọi là phương trình hoành độ; (2) được gọi là phương trình tung độ. Các trường hợp đặc biệt: x  a * Nếu tọa độ của điểm M có dạng  (a là hằng số)  y  g (m) (1' ) ( 2) Thì (1’) là phương trình quỹ tích, (2) là điều kiện giới hạn.  x  h ( m) * Nếu tọa độ của điểm M có dạng  (a là hằng số) y  a (1) ( 2' ) Thì (2’) là phương trình quỹ tích, (1) là điều kiện giới hạn. * Nếu M thuộc đồ thị (D) : y = g(x) thì y = g(x) chính là phương trình tung độ.  Trường hợp 2: Tọa độ điểm M không biểu thị được theo m Khi đó việc tìm quỹ tích đại số của điểm M được đưa vào điều kiện tồn tại của điểm ấy. b) Ví dụ 1.4 (Quỹ tích trung điểm dây cung)([2]) Cho Hypebol (H) : y  x 2  4x  3 và đường thẳng (d) : y = kx + 1. x2 1. Tìm k để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt A và B. 2. Tìm quỹ tích trung điểm I của dây cung AB. 15 Lời giải 1. Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (d) là x2  4x  3  kx  1  (1  k ) x 2  (3  2k ) x  1  0 x2 (1) Gọi h( x)  (1  k ) x 2  (3  2k ) x  1. Đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt A và b khi phương trình hoành độ có hai nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -2. Điều ấy xảy ra khi và chỉ khi: 1  k  0 k  1 a  0    2 2  x  0  (3  2k )  4(1  k )  0  4(k  1)  1  0  k  1 (2) h(2)  0 4(1  k )  2(3  2k )  1  0  1  0    2. Gọi x1, x2, xI theo thứ tự là hoành độ các điểm A, B, I. Theo đính lý Vi-ét: x1  x2  2k  3 . 1 k ( 3) I là trung điểm AB  x1  x2  2 x1  (3) 2k  3 2x  3  2 x1  k  1 . 1 k 2 x1  2 (4) I  (d )  y1  kx1  1. (5) 2 x12  5 x1  2 Thế vào (4) và (5) có y  . 2 x1  2 (6) Kết quả (4) chứng tỏ k  1 với mọi x1  1 . Bởi vậy, từ (6) kết luận quỹ 2 tích I là đồ thị y  2 x  5 x  2 . 2x  2 16 Chương II MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2.1. Các bài toán quỹ tích cơ bản 2.1.1. Các bài toán sử dụng công cụ hình học tổng hợp Bài toán 2.1.1.1: (Bài 194 (T5/269)/[8]) Cho đường tròn (O; R) với hai đường kính vuông góc AB và CD. Lấy điểm P trên đường tròn đó. Trên tia OP lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ P đến các đường thẳng AB và CD. Tìm quỹ tích các điểm M khi P chuyển động trên đường tròn. Lời giải M A P H N D O B Hình 2.1.1.1 K C