Tài liệu Một số công thức tính vận tốc rayleigh và stonelay

Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội —————————— Phạm Thị Hà Giang MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH VẬN TỐC SÓNG RAYLEIGH VÀ STONELEY Luận văn thạc sỹ khoa học Người hướng dẫn khoa học:PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Lời mở đầu iii Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. 1 1.1. Vật liệu đàn hồi không nén được chịu kéo hoặc nén dọc một trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh . . . . . 3 1.3. Công thức xấp xỉ toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW12 . . . . . . . 8 1.3.2. Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW21 . . . . . . . 10 Chương 2. Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia của hai bán không gian có liên kết không chặt 2.1. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Các công thức vận tốc sóng Stoneley . . . . . . . . . . . 2.2.1. Trường hợp 1: 1 > B > E > F > 0. . . . . . . . 2.2.2. Trường hợp 2: 1 > B > F > E > 0. . . . . . . . 2.2.3. Trường hợp 3: 1 > E > B > F > 0. . . . . . . . 2.3. Các trường hợp đặc biệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Một số đồ thị minh họa kết quả . . . . . . . . . . . . . . 12 12 15 16 22 23 24 26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Phụ lục 37 LỜI MỞ ĐẦU Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được mà Rayleigh [53] tìm ra hơn 120 năm trước vẫn đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu. Có thể nói rằng những nghiên cứu của Rayleigh về sóng mặt truyền trong bán không gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại. Nó được sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều thiết bị điện tử cực nhỏ,.., như Adams và các cộng sự [1] đã nhấn mạnh. Đã có một số lượng nghiên cứu rất lớn về sóng mặt Rayleigh. Như đã viết trong [66], một trong những phương tiện tìm kiếm về khoa học lớn nhất Google.Scholar cho chúng ta hơn một triệu đường links cho yêu cầu tìm kiếm về "Rayleigh waves" và khoảng 3 triệu cho "Surface waves". Dữ liệu này thật là đáng kinh ngạc! Điều này chỉ ra rằng lĩnh vực nghiên cứu này có vị trí cao trong khoa học, công nghiệp, và được sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học. Đối với sóng Rayleigh, vận tốc của nó là đại lượng cơ bản được các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau quan tâm. Nó được nói đến trong hầu hết các sách chuyên khảo về sóng âm truyền trong các vật thể đàn hồi. Nó liên quan đến hàm Green trong nhiều bài toán động lực học cuả bán không gian đàn hồi, và là một công cụ thuận lợi cho đánh giá không phá hủy các ứng suất trước của kết cấu trước và trong khi chịu tải. Do vậy công thức dạng hiện của vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng về cả phương diện lý thuyết lẫn thực hành. Mặc dù các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tán sắc đã được chứng minh, nhưng qua hơn 100 năm, nghiệm của các phương trình vẫn chưa tìm được do tính chất phức tạp và bản chất siêu việt của nó, như đã nhấn mạnh trong [66]. Trước khi biểu thức chính xác của nghiệm được tìm ra, một số công thức xấp xỉ đã được thiết lập (xem [35, 25, 52, 67, 39, 40, 41, 42]). Năm 1995, Rahman and Barber [56] đã tìm được công thức chính xác đầu tiên cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật rắn đàn hồi đẳng hướng nén được bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba. Tuy nhiên công thức này được biểu diễn bằng hai biểu thức khác nhau tùy thuộc vào dấu biệt thức phương trình bậc ba nên không thuận tiện khi sử dụng. Sử dụng lý thuyết bài toán Riemann, Nkemzi [36] đã dẫn ra công thức cho vận tốc sóng Rayleigh, nó là một hàm liên tục của γ = µ/(λ+2µ), với λ, µ là các hằng số Lame. Công thức đó khá là phức tạp [7], và kết quả cuối cùng trong bài báo của Nkemzi là không chính xác [26]. Malischewsky [26] đã tìm được công thức biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh bằng cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác của nghiệm phương trình bậc ba và MATHEMATICA. Tuy nhiên Malischewsky [26] không chứng minh được công thức này. Đến năm 2004, Vinh and Ogden [43] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức của Malischewsky, và tìm ra được một công thức khác. Đối với vật liệu trực hướng, không nén được, Ogden and Vinh [37] đã đưa ra được công thức dạng hiện dựa trên lý thuyết phương trình bậc ba. Sau đó, Vinh và Ogden [44], Vinh và Ogden [45] đã tìm được các công thức dạng hiện cho vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng, nén được. Ngày nay vật liệu ứng suất trước được sử dụng rất rộng rãi. Đánh giá không phá hủy ứng suất trước của kết cấu, trước và trong quá trình đặt tải là cần thiết và quan trọng, sóng Rayleigh là một công cụ thuận tiện cho công việc này (xem Makhort [27, 28]; Hirao et al.[18]; Husson [19]; Delsanto and Clark [15]; Dyquennoy et al. [8, 9]; Hu et al. [20]) Trong những nghiên cứu trên, để đánh giá ứng suất trước bằng sóng Rayleigh, các tác giả đã thiết lập hoặc sử dụng công thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh (Tanuma [65]; Song và Fu [64] cũng vậy), chúng phụ thuộc tuyến tính vào biến dạng trước (hoặc ứng suất trước) nên rất dễ sử dụng. Tuy nhiên, vì những công thức này được dẫn ra bằng phương pháp nhiễu nên chúng chỉ chấp nhận được khi biến dạng trước đủ nhỏ. Chúng không thể áp dụng khi biến dạng trước trong vật liệu không còn nhỏ. Gần đây, những công thức cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật rắn đàn hồi, đẳng hướng, có biến dạng trước đã được tìm ra bởi Vinh [46], Vinh & Giang [47], Vinh [48]. Những năm gần đây, khoa học chuẩn đoán bệnh bằng hình ảnh phát triển mạnh mẽ. Nó đòi hỏi các nhà khoa học phải mô phỏng chính xác iv các mô mềm sinh học. Năm 2004 Hamilton và các cộng sự [21] đã đưa ra một mật độ năng lượng đàn hồi phản ánh khá chính xác ứng xử các mô mềm sinh học (bằng thực nghiệm), đó là W = µI2 + (A/3)I3 + DI22 (0.1) với I2 = tr(E2 ), I3 = tr(E3 ), E là tensor biến dạng Green µ, A, và D lần lượt là các hằng số đàn hồi bậc hai, ba, bốn. Sau đó, một số nghiên cứu [16, 54, 55] đã được tiến hành nhằm đánh giá hằng số bậc hai, bậc ba µ và A bằng phương pháp âm đàn hồi. Renier và các cộng sự [55] đã đo hằng số bậc bốn D bằng cách sử dụng sóng cắt phi tuyến phẳng biên độ hữu hạn. Nhưng như đã nhấn mạnh bởi Destrade [10], những sóng này khó tạo ra và khó thu lại bằng thực nghiệm. Hơn nữa, mặc dù có thể quan sát chúng trong những vật rắn giống chất lỏng (như gels, phantoms, agar... ), nhưng thật khó để hình dung rằng chúng có thể truyền trong những mô mềm sinh học mà không gây ra một tổn hại nào ở mức độ tế bào vì biên độ lớn của sóng [29]. Destrade và cộng sự [10] đã chỉ ra rằng tất cả các hằng số đàn hồi µ, A, và D có thể được đo bởi phương pháp âm đàn hồi, cụ thể là sử dụng các công thức của vận tốc sóng cắt và sóng Rayleigh truyền trong vật thể đàn hồi mềm không nén được chịu kéo hoặc nén theo một trục với độ dãn dài là e [10]. Mục tiêu đầu tiên của luận văn là đưa ra công thức chính xác và xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật liệu đàn hồi mềm không nén được bị kéo hoặc nén theo một trục. Chúng là những công cụ tốt và thuận tiện để đánh giá các hằng số µ, A, và D. Sóng truyền dọc theo biên phân chia gắn chặt của hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng khác nhau đã được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Stoneley [59] vào năm 1924. Stoneley đã dẫn ra phương trình tán sắc của sóng này, và bằng những ví dụ cụ thể đã chỉ ra rằng sóng Stoneley không phải luôn tồn tại. Những nghiên cứu tiếp theo bởi Sezawa & Kanai [60] và Scholte [61, 62] tập trung vào miền tồn tại của sóng Stoneley. Scholte [62] đã tìm ra được các phương trình biểu diễn biên của miền tồn tại và chúng trùng với các đường cong tương ứng mà Sezawa & Kanai [60] vẽ được bằng tính toán số cho trường hợp vật rắn Poisson (các hằng số Lame λ và µ bằng nhau). Những nghiên cứu của họ chỉ ra rằng các hằng số vật liệu cho phép sóng Stoneley tồn tại là rất hạn chế. Tuy nhiên, v Sezawa & Kanai [60] và Scholte [61, 62] không chứng minh sự duy nhất của sóng Stoneley. Vấn đề này đã được giả quyết bởi Barnett và các cộng sự [3] trong trường hợp các bán không gian đàn hồi dị hướng tổng quát liên kết chặt. Sự lan truyền của sóng Stoneley trong vật liệu bất đẳng hướng cũng được nghiên cứu bởi Stroh [63] và Lim và các cộng sự [24]. Sự lan truyền của sóng Stoneley trong hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng có liên kết không chặt đã được nghiên cứu bởi Murty [30, 31]. Tác giả đã dẫn ra phương trình tán sắc và bằng cách giải trực tiếp phương trình này cho trường hợp vật liệu Poisson đã thu được rất nhiều giá trị của vận tốc sóng. Barnett và các cộng sự [4] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của sóng Stoneley trong các bán không gian liên kết trượt, và đã chỉ được ra rằng đối với các bán không gian đàn hồi đẳng hướng, nếu sóng Stoneley tồn tại, nó là duy nhất. Trong khi đó đối với các bán không gian dị hướng thì có thể tồn tại một loại sóng trượt mới, được gọi là sóng trượt thứ 2. Có một số ít nghiên cứu đã thực hiện đối với sóng Stoneley truyền trong mặt phân cách của hai bán không gian đàn hồi gắn chặt có ứng suất trước. Trong các bài báo [5, 6] Chadwick & Jarvis đã xét sóng Stoneley truyền theo một hướng bất kỳ song song với mặt phân chia của hai bán không gian cùng được làm từ vật liệu neo-hooken không nén được chịu các biến dạng trước thuần nhất khác nhau, và trục chính biến dạng của các bán không gian là trùng nhau. Dasgupta [11] đã nghiên cứu ảnh hưởng của ứng suất ban đầu lên miền tồn tại của Sóng Stoneley trong vật liệu neo-hookean không nén được. Dunwoody [12] đã nghiên cứu bài toán sóng mặt truyền trong các bán không gian có ứng suất trước, nén được. Trong bài báo [13] Dowaikh & Ogden đã nghiên cứu sự lan truyền của sóng Stoneley dọc theo mặt phân cách của hai bán không gian gắn chặt chịu biến dạng trước thuần nhất mà một trong các trục chính biến dạng vuông góc với mặt phân cách, hai trục chính còn lại của hai bán không gian là trùng nhau. Giả thiết là sóng truyền dọc theo một trục chính. Bằng những phân tích chi tiết phương trình tán sắc, các tác giả đã dẫn ra điều kiện đủ cho sự tồn tại của sóng Stoneley trong trường hợp tổng quát, trong các trường hợp riêng đã dẫn ra điều kiện cần và đủ cho sự duy nhất của sóng này. Tuy nhiên, câu hỏi về sự duy nhất cho trường hợp tổng quát vẫn chưa được giải quyết. Vấn đề này đã được giải quyết gần đây bởi Vinh & Giang [51]. vi Chú ý rằng trước đây người ta vẫn nghĩ rằng sóng Stoneley có ứng dụng chủ yếu trong ngành địa vật lý. Tuy nhiên, những nghiên cứu gần đây chỉ ra rằng sóng Stoneley rất hữu dụng cho việc đánh giá không phá hủy (xem [23, 57]) Giống như vận tốc sóng Rayleigh, tốc độ của sóng Stoneley cũng là một đại lượng quan trọng cuốn hút được các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau. Các công thức của nó là công cụ mạnh để giải quyết những bài toán thuận: nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số vật liệu vào vận tốc sóng, và đặc biệt là các bài toán ngược: xác định các tham số vật liệu từ giá trị đo được của vận tốc sóng. Trong khi các công thức vận tốc sóng Rayleigh trong các vật liệu khác nhau đã được tìm gần đây, như đã đề cập ở trên, thì theo hiểu biết của tác giả vẫn chưa có công thức vận tốc sóng Stoneley nào được tìm thấy. Mục tiêu thứ hai của luận văn là thiết lập các công thức vận tốc sóng cho sóng Stoneley truyền theo mặt phân cách hai bán không gian đàn hổi đẳng hướng khác nhau có liên kết không chặt. Luận văn gồm hai chương: Chương 1:Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. Trong chương này, tác giả đã rút ra các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi mềm, không nén được, chịu kéo và nén dọc theo một trục. Một số công thức xấp xỉ đã được thiết lập dựa trên đa thức xấp xỉ bậc hai tốt nhất của lũy thừa bậc ba trên đoạn [0,1]. Các công thức xấp xỉ này có độ chính xác cao, và có dạng đơn giản hơn công thức chính xác nên sẽ thuận tiện hơn khi ứng dụng. Các kết quả trong chương này đã được viết thành một bài báo sẽ được gửi đăng trong thời gian tới. Chương 2:Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia của hai bán không gian có liên kết không chặt. Trong chương này tác giả đã thiết lập các công thức chính xác của vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia của hai bán không gian có liên kết không chặt bằng cách sử dụng phương pháp hàm phức. Từ các công thức thu được dễ dàng thu được các kết quả của Murty [30]. Từ các công thức này, tác giả đã chứng minh được nếu sóng Stoneley tồn tại thì nó là nhất. vii Các kết quả của chương này đã được trình bấy trong bài báo sau: Pham Chi Vinh, Pham Thi Ha Giang, On formulas for the velocity of Stoneley waves propagating along the loosely bonded interface of two elastic half-spaces, Wave Motion, Volume 48, Issue 7, November 2011, Pages 647-657. viii Chương 1 Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. 1.1. Vật liệu đàn hồi không nén được chịu kéo hoặc nén dọc một trục Xét một mẫu thử hình hộp chữ nhật của vật liệu mềm đàn hồi đẳng hướng không nén được với các mặt của nó ở trạng thái tự nhiên (chưa bị kéo, nén) song song với các mặt phẳng tọa độ (X1 , X2 ), (X2 , X3 ), (X3 , X1 ). Giả sử rằng mẫu này chỉ bị kéo (nén) theo chiều song song với trục X1 . Dễ dàng thấy rằng mẫu này chịu biến dạng đẳng trục (equi-biaxial) xk = λk Xk (không tổng theo k), k = 1, 2, 3, (1.1) λ1 = λ, λ2 = λ3 = λ−1/2 , λ > 0, (1.2) với λk là các độ giãn chính và λ = 1 + e (xem [10]) Chú ý rằng các mặt của khối sau khi biến dạng song song với các mặt phẳng (x1 , x2 ), (x2 , x3 ), (x3 , x1 ). Tương ứng với biến dạng trước cho bởi (1.1), ta có các Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. giá trị riêng Ek của tensor Green E liên hệ với các độ giãn chính λk bởi công thức Ek = (λ2k − 1)/2. Vì vậy chúng ta có: 1 I2 = [(λ21 − 1)2 + (λ22 − 1)2 + +(λ23 − 1)2 ], 4 1 I3 = [(λ21 − 1)3 + (λ22 − 1)3 + +(λ23 − 1)3 ]. (1.3) 8 Đối với biến dạng trước thuần nhất với các độ giãn chính λk , k = 1, 2, 3 chúng ta định nghĩa các đại lượng γij , βij (i 6= j) như sau: γij = (λi Wi − λj Wj )λ2i /(λ2i − λ2j ) 6= γji , (1.4) 1 βij = (λ2i Wii + λ2j Wjj ) − λi λj Wij − (λj Wi − λi Wj )λi λj /(λ2i − λ2j ) = βji , 2 (1.5) khi λi 6= λj , và: 1 γij = (λ2i Wii − λi λj Wij + λi Wi ) 6= γji , 2 (1.6) 1 βij = (λ2j Wjj − λi λj Wij + λi Wi ) = βji , 2 (1.7) khi λi = λj . Ở đây Wi =: ∂W/∂λi , Wij =: ∂ 2 W/∂λi ∂λj , (chú ý không lấy tổng khi có sự lặp lại các chỉ số trong công thức (1.4)-(1.7)). Chú ý rằng đối với các sóng âm biên độ nhỏ, các đại lượng γij , βij có vai trò giống như các moduli đàn hồi. Từ (0.1), (1.2)-(1.7) chúng ta có: (1) (2) (3) γ12 = γ12 µ + γ12 A + γ12 D = γ13 (1.8) với: (1) γ12 = (1 + e)(e3 + 3e2 + 2e + 1) (2) γ12 = e(1 + 7e + 13e2 + 13e3 + 6e4 + e5 )/4 e2 (e3 + 3e2 + 2e + 1)[(1 + e)2 (2 + e)2 + 2] (3) γ12 = 2(1 + e) (1) (2) (3) γ21 = γ21 µ + γ21 A + γ21 D = γ31 (1.9) (1.10) với: (k) (k) γ21 = γ12 /(1 + e)3 , k = 1, 2, 3 2 (1.11) Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. (1) (2) (3) γ23 = γ23 µ + γ23 A + γ23 D = γ32 = β23 = β32 (1.12) với: (1) γ23 = (1 − e) e(e − 2) e2 (1 − e)[(1 + e)2 (2 + e)2 + 2] (2) (3) , γ = , γ = (1 + e)2 23 4(1 + e)3 23 2(1 + e)4 (1.13) (1) (2) (3) β12 = β12 µ + β12 A + β12 D = β21 = β13 = β31 (1.14) (k) với β12 (k = 1, 2, 3) được cho bởi (1.30). Từ (1.8)-(1.11), (1.14) (1.30) chúng ta có: γ12 + γ21 − 2β12 = g1 µ + g2 A + g3 D (1.15) 2(β12 − γ21 ) = f1 µ + f2 A + f3 D (1.16) với gk (k = 1, 2, 3) và fk (k = 1, 2, 3) lần lượt được cho bởi (A1)-(A3) và (A4)-(A6). 1.2. Công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh Trong phần này, chúng ta thiết lập công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh ứng với hàm năng lượng (0.1) và sóng lan truyền theo các hướng chính. Để đơn giản ta dùng ký hiệu "RWkm" chỉ sóng Rayleigh lan truyền theo hướng xk và tắt dần theo hướng xm . Xét sóng Rayleigh lan truyền theo hướng x1 (hướng kéo dãn) với vận tốc c, và tắt dần theo hướng x2 . Theo Dowaikh & Ogden [14], hoặc Vinh [46], Vinh & Giang [47], phương trình tán sắc là: ∗ ∗ 2 γ21 (γ12 −ρc2 )+(2β12 +2γ21 −ρc2 )[γ21 (γ12 −ρc2 )]1/2 = (γ21 ) , 0 < ρc2 < γ12 (1.17) ∗ với γ12 , γ21 , và β12 được cho bởi (0.1), (1.2), (1.4)-(1.7), γij = γij − σi (i, j = 1, 2, 3, i 6= j), σi là ứng suất chính Cauchy tại trạng thái biến dạng (xem [14]). Lưu ý rằng phương trình tán sắc (1.17) đúng cho mọi biến dạng trước thuần nhất được cho bởi (1.1), các ứng suất chính Cauchy σi (i = 1, 2, 3)) nói chung là khác không. Từ điều kiện elliptic mạnh (strong-ellipticity) suy ra γ12 > 0, γ21 > 0 ( xem [14]). Gần đây, công thức biểu diễn nghiệm của phương trình tán sắc (1.17) đã tìm được bởi 3 Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. ∗ Phạm Chí Vĩnh [46]. Cụ thể là, theo mệnh đề 4 trong [46], nếu γ21 6= 0, (12) 2 thì vận tốc không thứ nguyên của sóng Rayleigh xr = ρc /γ12 được xác định bởi bởi: hq √ q2 1 i2 3 (12) R+ P + p xr = 1 − (1.18) √ − a2 3 3 R+ P trong đó các căn thức được hiểu là căn thức lấy giá trị chính, và q 2 , R, P , a0 , a1 , a2 là: q 2 = (a22 − 3a1 )/9, r = (2a32 − 9a1 a2 + 27a0 )/27 R = (9a1 a2 − 27a0 − 2a32 )/54 P = (4a0 a32 − a21 a22 − 18a0 a1 a2 + 27a20 + 4a31 )/108 r ∗ ∗ 2 2(β12 + γ21 ) (γ21 ) γ21 , a1 = − 1, a0 = − √ a2 = γ12 γ12 γ12 γ12 γ21 (1.19) (1.20) (12) ∗ = 0, xr được tính bởi công thức sau: Trong trường hợp γ21 h p 2 i p (12) xr = 4 − (γ21 − 8β12 )/γ12 + 4 − γ21 /γ12 /4 (1.21) Chú ý rằng công thức (1.18) đúng với mọi hàm năng lượng W và mọi biến dạng trước thuần nhất. Bây giờ chúng ta sẽ cụ thể hóa (1.18) cho trường hợp đang xét, với hàm năng lượng biến dạng W cho bởi (0.1), và biến dạng trước đẳng trục (1.2). Đối với trường hợp này σ2 = 0, (12) ∗ = γ21 > 0, vì vậy xr xác định bởi (1.18). Từ (1.20) cùng với γ21 (0.1)-(1.3), (1.4)-(1.7) chúng ta có: !1/2 (1) (2) (3) γ21 + γ21 A∗ + γ21 D∗ h1 + h2 A∗ + h3 D∗ a2 = , a = −1, a0 = −a32 1 (1) (2) (3) (1) (2) (3) γ12 + γ12 A∗ + γ12 D∗ γ12 + γ12 A∗ + γ12 D∗ (1.22) (k) (k) với A∗ = A/µ, D∗ = D/µ, γ21 và γ12 (k = 1, 2, 3) được xác định bởi (1.9)và (1.11) (chú ý rằng γ12 = γ13 ), và hk (k = 1, 2, 3) được cho bởi: 4 + 11e + 39e2 + 56e3 + 44e4 + 18e5 + 3e6 (1 + e)2 e(4 + 67e + 220e2 + 425e3 + 505e4 + 378e5 + 174e6 + 45e7 + 5e8 ) = 4(1 + e)3 6 = [e2 (60 + 330e + 1126e2 + 2459e3 + 3689e4 + 3857e5 + 2805e(1.23) + 1390e7 + 447e8 + 84e9 + 7e10 )]/[2(1 + e)4 ] h1 = h2 h3 4 Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. Để dẫn ra các công thức trên chúng ta đã sử dụng biểu thức 2(β12 + γ21 ) = h1 µ + h2 A + h3 D (1.24) Từ (1.9), (1.11), (1.18), (1.19), (1.22),(1.23), rõ ràng là vận tốc sóng (12) Rayleigh xr là hàm của các tham số e, A∗ , D∗ . ∗ Từ các đẳng thức γ13 = γ12 , γ31 = γ21 , β13 = β12 , σ3 = σ2 = 0,γ31 = (13) (12) (km) ∗ γ21 ta có xr =xr , ở đây xr là vận tốc sóng Rayleigh truyền theo hướng xk và tắt dần theo hướng xm . Bây giờ xét RW21. Khi hoán vị các cặp chỉ số 12 và 21 cho nhau trong phương trình (1.17) ta thu được phương trình tán sắc đối với RW21 là : ∗ ∗ 2 γ12 (γ21 −ρc2 )+(2β21 +2γ12 −ρc2 )[γ12 (γ21 −ρc2 )]1/2 = (γ12 ) , 0 < ρc2 < γ21 (1.25) Từ mối liên hệ σ1 − σ2 = λ1 W1 − λ2 W2 (xem [46], phương trình ∗ = γ21 , và (111)) và σ2 = 0, suy ra σ1 = γ12 − γ21 (xem [14]), vì vậy γ12 phương trình (1.25) trở thành: γ12 (γ21 −ρc2 )+(2β21 +2γ21 −ρc2 )[γ12 (γ21 −ρc2 )]1/2 = (γ21 )2 , 0 < ρc2 < γ21 (1.26) (21) ∗ Theo mệnh đề 4 trong [46], vì γ12 = γ21 > 0, nên xr được cho bởi: hq √ q2 1 i2 3 (21) xr = 1 − (1.27) R+ P + p √ − a2 3 3 R+ P trong đó q 2 , R, P được cho bởi (1.19), và ai , i = 0, 1, 2 được xác định như sau: p p a2 = γ12 /γ21 , a1 = 2β12 /γ21 + 1, a0 = − γ21 /γ12 (1.28) Viết lại các đẳng thức trên qua e, A∗ , D∗ chúng ta có: (1) a2 = (k) γ21 (2) (3) γ12 + γ12 A∗ + γ12 D∗ (1) (2) (3) γ21 + γ21 A∗ + γ21 D∗ !1/2 (1) , a1 = (k) γ12 (2) (3) 2(β12 + β12 A∗ + β12 D∗ ) (1) (2) (3) γ21 + γ21 A∗ + γ21 D∗ với và (k = 1, 2, 3) được xác định bởi (1.9), (1.11), và 1, 2, 3) được cho bởi: 5 +1, a0 = − (1.29) (k = (k) β12 1 a2 Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. (1) β12 (2) β12 2 + 7e + 33e2 + 54e3 + 44e4 + 18e5 + 3e6 = 2(1 + e)2 e(2 + 53e + 194e2 + 399e3 + 493e4 + 376e5 + 174e6 + 45e7 + 5e8 ) = 8(1 + e)3 (3) β12 = [e2 (48 + 282e + 1016e2 + 2311e3 + 3561e4 + 3791e5 + 2787e6 + 1388e7 + 447e8 + 84e9 + 7e10 )]/[4(1 + e)4 ] (1.30) Chú ý rằng: (1) (2) (3) β12 = β12 µ + β12 A + β12 D (1.31) (21) Rõ ràng rằng xr là hàm của các tham số không thứ nguyên e, A∗ , D∗ . Các công thức (1.18), (1.19),(1.22), (1.23) và (1.19), (1.27),(1.29), (1.30) cho ta công thức biểu diễn chính xác công thức vận tốc sóng Rayleigh (12) (21) xr và xr . Các công thức này là hàm phi tuyến của các tham số không thứ nguyên e, A∗ , D∗ . Bây giờ chúng ta giả sử ràng độ dãn e đủ nhỏ. Khai triển Taylor (12) xr (e) tới bậc hai tại e = 0 ta có: ρc2 /µ = 0.912621+(0.228155 A∗ +3) e+(5.64159+2.07079 A∗ +3.55421 D∗ ) e2 (1.32) Công thức (1.32) trùng với công thức xấp xỉ mà Destrade và các cộng sự thu được gần đây ( công thức (19) trong [10]). (21) Tương tự, khai triển Taylor xr (e) tới bậc hai tại e = 0 có: ρc2 /µ = 0.9126+(0.386299+0.2282 A∗ ) e+(1.80198+1.41737 A∗ +3.55421 D∗ ) e2 (1.33) Kết quả này khác với kết quả của Destrade trong [10] (công thức (20)), công thức đó là: ρc2 /µ = 0.9126 − (0.2621 − 0.2281 A∗ ) e + (2.379 + 1.255 A∗ + 3.554 D∗ ) e2 (1.34) Lý do của sự khác nhau này là để có được công thức (1.34), Destrade đã sử dụng phương trình tán sắc: p η 3 + η 2 + (2β21 + 2γ12 − γ21 )η/γ12 − 1 = 0, η = (γ21 − ρc2 )/γ12 . (1.35) 6 Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. Phương trình này thu được từ phương trình tán sắc đối với RW12 bằng cách thay thế các chỉ số 12 và 21 cho nhau. Tuy nhiên sự thay thế đơn thuần này không mang lại phương trình chính xác cho RW21. Hình 1.1 Sự phụ thuộc vào e ∈ [−0.1, 0.2] của ρc2 /µ lần lượt được tính bởi công thức chính xác (1.27) (đường nét liền), công thức xấp xỉ (1.33) (đường gạch-gạch), và công thức của Destrade (1.34) (đường gạch-chấm) với µ = 6.6 kPa, A = −37.7 kPa, và D = 27.65 kPa. Hình 1.1 biểu diễn đồ thị của ρc2 /µ tính bằng công thức chính xác (1.27) và các công thức xấp xỉ bậc hai (1.33), và công thức của Destrade (1.34). Đồ thị này chỉ ra rằng công thức (1.33) là xấp xỉ tốt trong đoạn [−0.10.2], và công thức (1.34) thực sự không phải là một xấp xỉ cho (31) (21) ρc2 /µ của RW21. Chú ý rằng, đối với RW31 chúng ta có: xr =xr . 1.3. Công thức xấp xỉ toàn cục Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập công thức xấp xỉ toàn cục cho ρc2 /µ đối với RW12 và RW21. 7 Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. 1.3.1. Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW12 Bình phương phương trình tán sắc (1.17), sau một vài phép biến đổi, ∗ trong đó có sử dụng γ21 =γ21 ta thu được một phương trình bậc ba đối với biến x = ρc2 /γ12 : −x3 + (3δ1 + 4δ2 + 1)x2 − 2[2(δ1 + δ2 ) + 2(δ1 + δ2 )2 + δ12 − δ1 ]x +4(δ1 + δ2 )2 − δ13 + 2δ12 − δ1 = 0, 0 < x < 1 (1.36) với: δ1 = (1) (2) (3) (1) (2) (3) γ21 + γ21 A∗ + γ21 D∗ γ12 + γ12 A∗ + γ12 D∗ (k) , δ2 = (1) (2) (3) (1) (2) (3) β12 + β12 A∗ + β12 D∗ (1.37) γ12 + γ12 A∗ + γ12 D∗ (k) trong đó các hệ số γ21 và γ12 (k = 1, 2, 3) được xác định bởi (1.9), (k) (1.11), và β12 (k = 1, 2, 3) được cho bởi (1.30). Vì 0 < x < 1 nên chúng ta có thể thay thế x3 bởi một đa thức bậc hai xấp xỉ tốt nhất của nó thuộc C[0, 1] (xem [49]): p2 (x) = 1.5x2 − 0.5625x + 0.03125. (1.38) C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b]. Thay x3 trong phương trình (1.36) bằng p2 (x) ta có phương trình bậc hai: M x2 − 2N x + Q = 0 (1.39) với: M = 3δ1 + 4δ2 − 0.5, N = 2(δ1 + δ2 ) + 2(δ1 + δ2 )2 + δ12 − δ1 − 0.28125 Q = 4(δ1 + δ2 )2 − δ13 + 2δ12 − δ1 − 0.03125 (1.40) Không khó để chỉ ra rằng nghiệm của phương trình (1.39) tương ứng với sóng Rayleigh là: p N − N2 − MQ x̃(12) = (1.41) r M Hình 1.2 vẽ trình bầy đồ thị của ρc2 /µ xác định bởi công thức chính xác (1.18), công thức xấp xỉ toàn cục (1.41). Đồ thị của hai công thức này gần như trùng hoàn toàn. Điều đó có nghĩa là công thức xấp xỉ toàn cục (1.41) là một xấp xỉ rất chính xác. 8 Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. Hình 1.2 Đồ thị của ρc2 /µ được tính bởi công thức chính xác (1.18), công thức xấp xỉ toàn cục (1.41) với e ∈ [−0.1, 0.3], µ = 6.6 kPa, A = −37.7 kPa, và D = 27.65 kPa. Hai đồ thị này gần như hoàn toàn trùng nhau. 9 Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. 1.3.2. Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW21 Tương tự như phần trên bằng cách bình phương phương trình tán sắc đối với RW21 ta thu được phương trình bậc ba đối với biến x = ρc2 /γ21 là: −x3 + (4δ̄2 − δ̄1 + 5)x2 − 2[2(1 + δ̄2 ) + 2(1 + δ̄2 )2 + 1 − δ̄1 ]x +4(1 + δ̄2 )2 − (1 − δ̄1 )2 /δ̄1 = 0, 0 < x < 1 (1.42) với: δ̄1 = (1) (2) (3) (1) (2) (3) γ12 + γ12 A∗ + γ12 D∗ γ21 + γ21 A∗ + γ21 D∗ (k) , δ̄2 = (1) (2) (3) (1) (2) (3) β12 + β12 A∗ + β12 D∗ (1.43) γ21 + γ21 A∗ + γ21 D∗ (k) với các hệ số γ21 và γ12 (k = 1, 2, 3) được xác định bởi các công thức (k) (1.9), (1.11), và β12 (k = 1, 2, 3) được cho bởi (1.30). Thay x3 trong phương trình (1.42) bởi p2 (x) ta có phương trình sau: M1 x2 − 2N1 x + Q1 = 0. Nghiệm của phương trình này tương ứng với sóng Rayleigh là : p N12 − M1 Q1 N − 1 x̃(21) = r M1 (1.44) (1.45) với: M1 = 4δ̄2 − δ̄1 + 3.5, N1 = 2δ̄22 + 6δ̄2 − δ̄1 + 4.71875 Q1 = 4(1 + δ̄2 )2 − (1 − δ̄1 )2 /δ̄1 − 0.03125 (1.46) Hình 1.3 biểu diễn đồ thị của ρc2 /µ tính bằng công thức chính xác (1.27), công thức xấp xỉ toàn cục (1.45) trên đoạn [−0.1, 0.3]. Hai đồ thị gần như hoàn toàn trùng nhau, điều này chứng tỏ công thức xấp xỉ toàn cục có độ chính xác cao. 10 Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm không nén được. Hình 1.3 Đồ thị của ρc2 /µ được tính bởi công thức chính xác (1.27), công thức xấp xỉ (1.45) với e ∈ [−0.1, 0.3], µ = 6.6 kPa, A = −37.7 kPa, và D = 27.65 kPa. Hai đồ thị này gần như trùng nhau. 11 Chương 2 Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia của hai bán không gian có liên kết không chặt 2.1. Phương trình tán sắc Xét hai vật thể đàn hồi Ω và Ω∗ lần lượt chiếm hai bán không gian x2 ≥ 0 và x2 ≤ 0. Giả sử hai bán không gian này có liên kết không chặt tại mặt phẳng x2 = 0, nghĩa là các thành phần chuyển dịch pháp và ứng suất pháp tại mặt phẳng này liên tục, còn ứng suất tiếp bị triệt tiêu tại mặt phẳng này (xem [31], [30]). Chú ý, các đại lượng của Ω và Ω∗ có cùng một ký hiệu, nhưng với các đại lượng của Ω∗ chúng ta thêm dấu sao. Xét chuyển động phẳng trong mặt phẳng (x1 , x2 ): ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 = 0, (2.1)