Tài liệu Một số bất đẳng thức về hàm lồi và ứng dụng

.. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ HÇNG HOA MËT SÈ B‡T NG THÙC V— H€M LÇI V€ ÙNG DÖNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N, 10/2018 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ HÇNG HOA MËT SÈ B‡T NG THÙC V— H€M LÇI V€ ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p M¢ sè: 8460113 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC GIO VI–N H×ÎNG DˆN PGS.TS. NGUY™N THÀ THU THÕY THI NGUY–N, 10/2018 iii Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. H m lçi v  b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 4 1.1 1.2 H m lçi mët bi¸n v  b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . 4 1.1.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi . . . 4 1.1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi kh£ vi 7 Ùng döng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . 14 1.2.1 Ùng döng trong ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh . . . 14 1.2.2 Ùng döng chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng . . . . . . . . . . . . . . 17 Ch÷ìng 2. H m lçi suy rëng v  ùng döng 2.1 2.2 2.3 21 H m J -lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 H m lçi tr¶n Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 H m J -lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 H m s-lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 ành ngh¾a. V½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 T½nh ch§t cõa h m s-lçi . . . . . . . . . . . . . . . . 28 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m s-lçi . . . . . . 33 2.3.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Mët sè b§t ¯ng thùc mîi ÷ñc thi¸t lªp tø b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.3 Mët sè ùng döng cho gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t . . . 40 iv K¸t luªn 41 T i li»u tham kh£o 42 1 B£ng kþ hi»u R tªp sè thüc Lp [a, b] khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n o¤n [a, b] Co ph¦n trong cõa tªp C A trung b¼nh cëng G trung b¼nh nh¥n H trung b¼nh i·u háa L trung b¼nh lægarit Lp trung b¼nh p-lægarit 2 Mð ¦u H m lçi v  tªp lçi ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tø l¥u bði Holder, Jensen, Minkowski. °c bi»t vîi nhúng cæng tr¼nh cõa Fenchel, Moreau, Rockafellar v o c¡c thªp ni¶n 1960 v  1970 ¢ ÷a gi£i t½ch lçi trð th nh mët trong nhúng l¾nh vüc ph¡t triºn nh§t cõa to¡n håc. B¶n c¤nh â, mët sè h m khæng lçi theo ngh¾a ¦y õ nh÷ng công chia s´ mët v i t½nh ch§t n o â cõa h m lçi. Chóng ÷ñc gåi l  c¡c h m lçi suy rëng (generalized convex function). . . Möc ti¶u cõa · t i luªn v«n l  tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n v· tªp lçi, h m lçi mët bi¸n, h m lçi nhi·u bi¸n, h m J -lçi, h m s-lçi, b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi, h m lçi kh£ vi, h m s-lçi v  ùng döng trong chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc trong to¡n phê thæng, ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh. Luªn v«n công tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc suy rëng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m kh£ vi n-l¦n, h m J -lçi, h m s-lçi, h m s-lãm trong c¡c cæng tr¼nh [7], [8] cæng bè n«m 2012 v  2017. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y v  chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi mët bi¸n, h m lçi kh£ vi bªc nh§t, bªc hai, bªc n v  ùng döng ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh v  chùng minh mët sè b i tªp b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y kh¡i ni»m v· h m J -lçi v  mët sè t½nh ch§t cõa lîp h m J -lçi, kh¡i ni»m h m s-lçi, t½nh ch§t cõa h m s-lçi, v½ dö v· h m s-lçi. Tr¼nh b y c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m s-lçi, tr¼nh b y 3 chi ti¸t c¡c chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc n y, còng mët sè ùng döng cho gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ håc tªp, nghi¶n cùu. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y, cæ trong Khoa To¡n - Tin, trong Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi PGS.TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy - Ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n n y. Xin c£m ìn nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh ¢ h¸t sùc thæng c£m, chia s´ v  t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi º tæi câ thº håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh nhúng cæng vi»c cõa m¼nh. Tæi công xin gûi nhúng líi c£m ìn °c bi»t nh§t tîi t§t c£ nhúng ng÷íi b¤n th¥n y¶u, nhúng ng÷íi ¢ y¶u m¸n, chia s´ vîi tæi nhúng khâ kh«n trong khi tæi thüc hi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018 T¡c gi£ luªn v«n Nguy¹n Thà Hçng Hoa 4 Ch÷ìng 1 H m lçi v  b§t ¯ng thùc HermiteHadamard Ch÷ìng n y giîi thi»u kh¡i ni»m v· h m lçi; tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc d¤ng HermiteHadamard cho h m lçi, h m lçi kh£ vi v  ùng döng ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t v  chùng minh mët sè b i tªp b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4], [7], [8] v  [10]. 1.1 1.1.1 H m lçi mët bi¸n v  b§t ¯ng thùc HermiteHadamard B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi ành ngh¾a 1.1.1 H m f : [a, b] ⊂ R → R ÷ñc gåi l  h m lçi n¸u vîi måi x, y ∈ [a, b] v  λ ∈ [0, 1] th¼ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). H m f ÷ñc gåi l  h m lãm n¸u h m (−f ) l  lçi. H» qu£ 1.1.2 ([11, H» qu£ 2.1]) H m f (x) kh£ vi hai l¦n tr¶n kho£ng mð l  h m lçi n¸u v  ch¿ n¸u ¤o h m c§p hai cõa nâ khæng ¥m tr¶n to n kho£ng (a, b). (a, b) ⊆ R R§t nhi·u b§t ¯ng thùc quan trång ÷ñc thi¸t lªp tø lîp c¡c h m lçi. Mët trong nhúng b§t ¯ng thùc nêi ti¸ng nh§t l  b§t ¯ng thùc Hermite 5 Hadamard (cán gåi l  b§t ¯ng thùc Hadamard). B§t ¯ng thùc k²p n y ÷ñc ph¡t biºu trong ành lþ sau. ành lþ 1.1.3 ([3, The HermiteHadamard Integral Inequality]) Cho f mët h m lçi tr¶n [a, b] ⊂ R, a 6= b. Khi â f a + b 2 1 ≤ b−a Z b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) . 2 l  (1.1) B§t ¯ng thùc (1.1) câ thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng:  (b − a)f a+b 2 Zb  ≤ f (x)dx ≤ (b − a) f (a) + f (b) . 2 (1.2) a Chùng minh. V¼ h m f lçi tr¶n o¤n [a, b], n¶n vîi måi λ ∈ [0, 1] ta câ
f λa + (1 − λ)b ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b). L§y t½ch ph¥n hai v¸ theo λ tr¶n o¤n [0, 1], ta nhªn ÷ñc Z1 Z1
f λa + (1 − λ)b dλ ≤ f (a) 0 Z1 0 V¼ Z1 0 0 Z1 (1 − λ)dλ = λdλ = (1 − λ)dλ. λdλ + f (b) 1 2 0 v  b¬ng ph²p êi bi¸n x = λa + (1 − λ)b, suy ra Z1 0
f λa + (1 − λ)b dλ = 1 b−a Zb f (x)dx. a K¸t hñp vîi (1.3) ta nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc thù hai cõa (1.1). Công do t½nh lçi cõa h m f ,  1 f (λa + (1 − λ)b) + f ((1 − λ)a + λb) 2   λa + (1 − λ)b + (1 − λ)a + λb ≥f 2   a+b =f . 2 (1.3) 6 T½ch ph¥n hai v· b§t ¯ng thùc n y theo λ tr¶n o¤n [0, 1] ta nhªn ÷ñc   1   Z1 Z a+b 1 ≤  f (λa + (1 − λ)b)dλ + f ((1 − λ)a + λb)dλ f 2 2 0 0 1 = b−a Zb f (x)dx. a B§t ¯ng thùc thù nh§t cõa (1.1) ÷ñc chùng minh.  N¸u g : [a, b] → R l  h m kh£ vi hai l¦n tr¶n [a, b] ⊆ R v  m ≤ g 00 (t) ≤ M vîi måi x ∈ [a, b], m, M l  h¬ng sè x¡c ành, th¼ H» qu£ 1.1.4 (xem [3]) 1 m (b − a)2 ≤ 24 b−a Zb  g(x)dx − g a+b 2  ≤ M (b − a)2 . 24 (1.4) a m 2 x vîi måi x ∈ [a, b]. Khi â, 2 f 00 (x) = g 00 (x) − m ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) Chùng minh. °t f (x) = g(x) − chùng tä h m f l  lçi tr¶n kho£ng mð (a, b). p döng b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m f ta nhªn ÷ñc    2   a+b m a+b a+b − =f g 2 2 2 2 Zb h 1 m 2i = g(x) − x dx b−a 2 a 1 = b−a Zb g(x)dx − m b3 − a3 2 3(b − a) g(x)dx − m a2 + ab + b2 . 2 3 a 1 = b−a Zb a Do â, m a2 + ab + b2 m − 2 3 2  a+b 2 2 1 ≤ b−a Zb  g(x)dx − g a  a+b . 2 7 Hay m 2  a2 + ab + b2 a2 + 2ab + b2 − 3 4  1 ≤ b−a Zb  g(x)dx − g  a+b . 2 a B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi   Zb 1 a + b m (b − a)2 ≤ g(x)dx − g . 24 b−a 2 a Nh÷ vªy, b§t ¯ng thùc thù nh§t cõa (1.4) ÷ñc chùng minh. º chùng minh b§t ¯ng thùc thù hai cõa (1.4), ta ¡p döng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ vîi b§t ¯ng thùc thù nh§t cho h m M 2 h(x) = x − g(x), x ∈ [a, b]. 2  B§t ¯ng thùc thù nh§t trong b§t ¯ng thùc k²p (1.1) câ thº mð rëng nh÷ sau. Gi£ sû f : R → R l  h m lçi tr¶n o¤n b. Khi â vîi måi x ∈ [a, b] v  måi λ ∈ [f 0 − (t), f 0 + (t)], ành lþ 1.1.5 ([4, ành lþ 18]) [a, b] vîi t ∈ [a, b] a < ta câ  a+b −t f (t) − λ 2  1 ≤ b−a Zb f (x)dx. (1.5) a 1.1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi kh£ vi Kþ hi»u Lp [a, b] l  khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p (1 ≤ p < ∞) tr¶n o¤n [a, b], ngh¾a l  n¸u f (x) ∈ Lp [a, b] th¼ Z b |f (x)|p dx < ∞. a Nhªn x²t 1.1.6 (xem [4]) Gi£ sû f : [a, b] ⊂ R → R l  h m kh£ vi tr¶n [a, b] vîi a < b. N¸u f 0 ∈ L1 [a, b] th¼ f (a) + f (b) 1 − 2 b−a Zb a 1 f (t)dt = b−a Zb  a  a+b t− f 0 (t)dt. 2 (1.6) 8 ành lþ 1.1.7 ([4, ành lþ 24]) h m N¸u f l  h m kh£ vi tr¶n [a, b] ⊂ R v   ϕ(x) := lçi tr¶n [a, b], th¼  a+b f 0 (x) x− 2
f (a) + f (b) b−a 0 1 f (a) − f 0 (b) ≥ − 8 2 b−a Zb f (x)dx ≥ 0. (1.7) a Chùng minh. p döng b§t ¯ng thùc cho h m ϕ (xem [10]):       Z b 1 a+b ϕ(a) + ϕ(b) 1 a+b ϕ + ≥ ϕ(x)dx ≥ ϕ . 2 2 2 b−a a 2 Sû döng ành ngh¾a cõa h m ϕ ta thu ÷ñc: " # Z b b−a 0 0 1 2 (f (b) − f (a)) f (a) + f (b) 1 − f (x)dx ≥ 0. ≥ 2 2 2 b−a a  Gi£ sû f : [a, b] ⊂ R → R l  h m kh£ vi tr¶n [a, b] v  p > 1. N¸u |f 0| l  q-kh£ t½ch tr¶n [a, b], trong â p1 + 1q = 1, th¼ ành lþ 1.1.8 ([4, ành lþ 26])    1q  b   1 Zb Z  1 (b − a) p  f (a) + f (b) 1 ≤   |f 0 (t)|q dt . f (t)dt − 1   2 b−a  2 (p + 1) p  a a (1.8) Chùng minh. Sû döng b§t ¯ng thùc Holder vîi p > 1 v  q > 1 thäa m¢n 1 1 + = 1, ta câ p q    Z b  1  a + b 0   x − f (x)dx b − a  2 a p  p1    1q Z b Z b   1 1 x − a + b  dx × ≤ | f 0 (x) |q dx ,   b−a a 2 b−a a trong â, Z b a  p Z b  a+b a+b 0 x− f (x)dx = 2 x− dx a+b 2 2 2 (b − a)p+1 = . (a + 1)2p 9 Suy ra,  p  p1   1q Z b Z b   1 a + b x −  dx × | f 0 (x) |q dx   2 b−a a a 1     1q Z b (b − a)p p 1 = | f 0 (x) |q dx 2p (p + 1) b−a a   1q 1 Z b 1 (b − a) p = | f 0 (x) |q dx 1 2 (p + 1) p a 1 b−a v  khi â, b§t ¯ng thùc (1.8) ÷ñc suy ra tø (1.6).  Cho f : C ⊂ R → R l  mët h m kh£ vi tr¶n C ◦ , ph¦n trong cõa C , a, b ∈ C , vîi a < b v  f 0 ∈ L1 [a, b]. Khi â, Bê · 1.1.9 ([4, Bê · 3])  f a+b 2  1 − b−a Zb 1 f (x)dx = b−a a trong â, p(x) =     x − a,    x − b, Zb p(x)f 0 (x)dx, (1.9) a   a+b x ∈ a, , 2   a+b x∈ ,b . 2 Gi£ sû f : [a, b] ⊂ R → R l  h m kh£ vi tr¶n [a, b] v  p > 1. N¸u |f 0| l  q-kh£ t½ch tr¶n [a, b], trong â p1 + 1q = 1, th¼ ành lþ 1.1.10 ([4, ành lþ 28])    b  1q    1  Z Zb   1 (b − a) p f a + b − 1 ≤  |f 0 (t)|q dt . f (t)dt 1   2 b−a   2 (p + 1) p a a Chùng minh. p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ:   Z b  1  0   p(x)f (x)dx b − a  a   p1   1q Z b Z b 1 1 ≤ | p(x) |p dx × | f 0 (x) |q dx . b−a a b−a a (1.10) 10 M°t kh¡c, Z b p Z a+b 2 | p(x) | dx = a Z p b | x − b |p dx | x − a | dx + a+b 2 a (b − a)p+1 = p . 2 (p + 1) Do â, b§t ¯ng thùc (1.10) ÷ñc chùng minh. ành lþ 1.1.11 ([4, Bê · 4]) Gi£ sû f ¸n c§p hai tr¶n [a, b]. (i) N¸u |f 00 | kh£ t½ch tr¶n [a, b] th¼ 1 2 Zb (t − a) (b − t) f 00 (t)dt =  : [a, b] ⊂ R → R   l  h m kh£ vi b−a (f (a) + f (b)) − 2 a Zb f (t)dt. a (1.11) (ii) N¸u th¶m gi£ thi¸t m ≤ f 00(x) ≤ M , m, M l  c¡c h¬ng sè, th¼ 2 f (a) + f (b) 1 (b − a) ≤ − m 12 2 b−a Zb (b − a)2 f (t)dt ≤ M . 12 a Chùng minh. (i) Ta câ 1 2 Z a b (x − a)(b − x)f 00 (x)dx   Z b 1 [−2x + (a + b)]f 0 (x)dx = (x − a)(b − x)f 0 (x)|ba − 2 a Z b 1 = [2x − (a + b)]f 0 (x)dx 2 a   Z b b 1  = (2x − (a + b))f (x) − 2 f (x)dx a 2 a Z b b−a (f (a) + f (b)) − f (x)dx. = 2 a (ii) Ta câ: m(x − a)(b − x) ≤ (x − a)(b − x)f 00 (x) ≤ M (x − a)(b − x) (1.12) 11 vîi måi x ∈ [a, b]. Do â, Z Z m b 1 b (x − a)(b − x)dx ≤ (x − a)(b − x)f 00 (x)dx 2 a 2 a Z M b ≤ (x − a)(b − x)dx. 2 a M°t kh¡c, theo (1.11), Z Z b 1 b b − a (x − a)(b − x)f 00 (x)dx = (f (a) + f (b)) − f (x)dx 2 a 2 a v  Z a b (b − a)3 (x − a)(b − x) = . 6 Tø ¥y suy ra (1.12).  Sau ¥y l  mët sè b§t ¯ng thùc cho h m kh£ vi n-l¦n. Bê · 1.1.12 (xem [7, Bê · 2.1]) Gi£ sû h m f : [a, b] → R kh£ vi n-l¦n. N¸u f (n) ∈ L1[a, b] th¼ Z b f (t)dt = a n−1 X (x − a)k+1 f (k) (a) + (−1k )(b − x)k+1 f (k) (b) (k + 1)! n+1 Z 1 n (x − a) + (−1 ) (t − 1)n f (n) (tx + (1 − t)a)dt n! 0 n+1 Z 1 (b − x) (1 − t)n f (n) (tx + (1 − t)b)dt (1.13) + (−1n ) n! 0 k=0 ð ¥y x ∈ [a, b] v  n l  sè tü nhi¶n, n ≥ 1. l  h m v  a < b. N¸u f (n) ∈ L1[a, b] v  |f (n)|, n ≥ 1, lçi ành lþ 1.1.13 (xem [7, ành lþ 2.1]) kh£ vi n-l¦n, a, b ∈ C tr¶n [a, b] th¼ Gi£ sû f : (C ⊂ R) → R n−1 Z b X (x − a)k+1 f (k) (a) + (−1k )(b − x)k+1 f (k) (b)   f (t)dt −   (k − 1)! a k=0 o (x − a)n+1 n ≤ (n + 1)|f (n) (a)| + |f (n) (x)| (n + 2)! o (b − x)n+1 n (n) (n) + |f (x)| + (n + 1)|f (b)| , (1.14) (n + 2)! ð ¥y x ∈ [a, b]. 12 Chùng minh. Tø Bê · 1.1.12 v  sû döng t½nh ch§t cõa trà tuy»t èi ta câ thº vi¸t: n−1 Z b X (x − a)k+1 f (k) (a) + (−1k )(b − x)k+1 f (k) (b)   f (t)dt −   (k − 1)! a k=0 Z   (x − a)n+1 1  n  (n) (1 − t) f (tx + (1 − t)a)dt ≤ n! 0   n+1 Z 1 (b − x)  n  (n) (1 − t) f (tx + (1 − t)b)dt. + n! 0 V¼ |f (n) | l  h m lçi tr¶n [a, b] n¶n n−1 Z b X (x − a)k+1 f (k) (a) + (−1k )(b − x)k+1 f (k) (b)   f (t)dt −   (k − 1)! a k=0 Z h i (x − a)n+1 1 n (n) (n) (1 − t) t|f (x)| + (1 − t)|f (a)| dt ≤ n! 0 Z h i (b − x)n+1 1 n (n) (n) + (1 − t) t|f (x)| + (1 − t)|f (b)| dt n! 0 o (x − a)n+1 n (n) (n) (n + 1)|f (a)| + |f (x)| = (n + 2)! o (b − x)n+1 n (n) (n) + |f (x)| + (n + 1)|f (b)| . (n + 2)!  Chó þ 1.1.14 Trong b§t ¯ng thùc (1.14) n¸u chån n = 1 ta câ b§t ¯ng thùc d÷îi ¥y: Z b    f (t)dt − [(x − a)f (a) + (b − x)f (b)]   a ≤ o (x − a)2 n 00 00 2|f (a)| + |f (x)| 6 o (b − x)2 n 00 00 + |f (x)| + 2|f (b)| . 6 H» qu£ 1.1.15 (xem [7, Bê · 2.1]) Trong b§t ¯ng thùc (1.15) (1.14), n¸u ta 13 chån n = 2, x = a +2 b v  f 0(x) = f 0(a + b − x) th¼ Z b  f (a) + f (b)  1   − f (t)dt  2 b−a a   (b − a)2 00 00 00 a + b )| + 3|f (b)| ≤ 3|f (a)| + 2|f ( 192 2 o (b − a)2 n 00 00 ≤ |f (a)| + |f (b)| . 48 ành lþ 1.1.16 (xem [7, ành lþ 2.2]) Gi£ sû f : C ⊂ R → R l  h m kh£ vi n-l¦n, a, b ∈ C v  a < b, x ∈ [a, b]. N¸u f (n) ∈ L1[a, b] v  |f (n)|q , n ≥ 1, lçi tr¶n [a, b] th¼ n−1 Z b X (x − a)k+1 f (k) (a) + (−1k )(b − x)k+1 f (k) (b)   f (t)dt −   (k − 1)! a k=0 (  1 1 1 p (x − a)n+1 |f n (a)|q + |f n (x)|q q ≤ np + 1 n! 2  n 1 ) n+1 q n q q (b − x) |f (x)| + |f (b)| + , (1.16) n! 2 ð ¥y p1 + 1q = 1. Chùng minh. Sû döng Bê · 1.1.12 v  b§t ¯ng thùc t½ch ph¥n Hoder ta nhªn ÷ñc n−1 Z b X (x − a)k+1 f (k) (a) + (−1k )(b − x)k+1 f (k) (b)   f (t)dt −   (k − 1)! a k=0 Z 1  p1 Z 1  1q (x − a)n+1 ≤ (1 − t)np dt |f (n) (tx + (1 − t)a)|q dt n! 0 0 1 Z    1q Z 1 1 p (b − x)n+1 + (1 − t)np dt |f (n) (tx + (1 − t)b)|q dt . n! 0 0 14 V¼ |f (n) |q l  h m lçi tr¶n [a, b] n¶n n−1 Z b X (x − a)k+1 f (k) (a) + (−1k )(b − x)k+1 f (k) (b)   f (t)dt −   (k − 1)! a k=0   p1 Z 1 h i  1q 1 (x − a)n+1 t|f (n) (x)|q + (1 − t)|f (n) (a)|q dt ≤ n! np + 1 0 1 Z   i  1q 1h p 1 (b − x)n+1 + t|f (n) (x)|q + (1 − t)|f (n) (b)|q dt n! np + 1 0   p1 (  1 (x − a)n+1 |f n (a)|q + |f n (x)|q q 1 = np + 1 n! 2  n 1 ) n+1 q n q q (b − x) |f (x)| + |f (b)| + . n! 2  H» qu£ 1.1.17 (xem [7, Bê · 2.1]) Trong ành lþ 1.1.16, n¸u ta chån a+b n = 2, x = v  f 0 (x) = f 0 (a + b − x) th¼ 2 Z b  f (a) + f (b)  1   − f (t)dt  2 b−a a   p1 (b − a)2 1 ≤ 16 2P + 1   1  q  1q   q  00   00 00   00 a+b    q q  |f (a)|q + f ( a+b  ) ) f ( ) + |f (b)|    2 2     × + .   2 2     1.2 Ùng döng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 1.2.1 Ùng döng trong ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh Tiºu möc n y tr¼nh b y mët v i ùng döng cõa b§t ¯ng thùc Hermite Hadamard º ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh sau ¥y: (a) Trung b¼nh cëng: A = A(a, b) := a+b , 2 a, b ≥ 0. (1.17) 15 (b) Trung b¼nh nh¥n: G = G(a, b) := √ a, b ≥ 0. ab, (c) Trung b¼nh i·u háa: H = H(a, b) := 2 1 1 + a b , a, b > 0. (d) Trung b¼nh lægarit: b−a , a 6= b; ln b − ln a L = L(a, b) :=  a, a = b,   a, b > 0. (1.18) a 6= b; (1.19) (e) Trung b¼nh p-lægarit:   p1  bp+1 − ap+1  , Lp = Lp (a, b) := (p + 1) (b − a)   a, a = b, vîi p ∈ R\ {−1, 0} v  a, b > 0. 1 t Nhªn x²t 1.2.1 (a) Vîi h m lçi f (x) = , t > 0, n¸u a 6= b ta câ 1 b−a Zb f (t)dt = L−1 (a, b). a (b) Vîi h m lçi (lãm) f (x) = xp , p ∈ (−∞, 0) ∪ [1, ∞) \ {−1} (ho°c p ∈ (a, b)), ta câ 1 b−a Zb f (t)dt = Lpp (a, b) a n¸u a 6= b. M»nh · 1.2.2 ([3, M»nh · 1]) [a, b] ⊂ (0, ∞) . Khi â, Lpp − tp ≥A−t ptp−1 Gi£ sû p ∈ (−∞, 0) ∪ [1, ∞) \ {−1} v  vîi måi t ∈ [a, b]. (1.20) 16 Chùng minh. X²t ¡nh x¤ f : [a, b] −→ [a, +∞), f (x) = xp vîi p thäa m¢n p ∈ (−∞, 0) ∪ [1, ∞) \ {−1} , ta thu ÷ñc 1 b−a Z b xp dx ≥ tp + ptp−1  a  a+b −t , 1 vîi måi t ∈ [a, b]. Do â, 1 a−b Z b xp dx = Lpp (a, b) = Lpp . a Suy ra, ta nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh (1.20).  Sû döng b§t ¯ng thùc (1.20), ta câ c¡c b§t ¯ng thùc sau ¥y cho c¡c gi¡ trà trung b¼nh (xem [3]). Lp − L Lp − A A − G L−G , ≥ ≥ ≥ 0, L Lp G L A−H L−H L−a A−a ≥ , ≥ , H L L a b−A b−L ≥ . L b M»nh · 1.2.3 ([4, M»nh · 12] (1.21) (1.22) (1.23) X²t p > 1 v  [a, b] ⊂ [0, +∞). Khi â, 0 ≤ A(ap , bp ) − Lpp (a, b) ≤ p(b − a) 2(p + 1) p [Lp (a, b)] q 1 p (1.24) vîi q := p −p 1 . Chùng minh. Theo ành lþ 1.1.8 ¡p döng cho h m lçi f (x) = xp , ta câ: p p 1 a +b − 2 b−a Z a b xp dx ≤ (b − a) 1 p 1 2(p + 1) p Z p b  1q x(p−1)q dx . a M°t kh¡c, Z b x a (p−1)q bpq−q+1 − apq−q+1 dx = = Lpp (a, b)(b − a) p+1