Tài liệu Một số bài toán về đường tròn

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Lê Bá Cường MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH Hà Huy Khoái. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH, tổ Toán trường THPT Xuân Giang - Sóc Sơn - Hà Nội và các bạn trong lớp Cao học K4C, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu 3 1 Định nghĩa số phức 1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . 1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng . . . 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân . . 1.1.4 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . 1.1.5 Lũy thừa của số i . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Mô đun của số phức . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . 1.2.1 Ý nghĩa hình học của một số phức . . . . . 1.2.2 Ý nghĩa hình học của môđun . . . . . . . . 1.2.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Số phức và hình học 2.1 Một vài khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số . . . . . . . . . . . . 2.4 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Phép quay một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng thuộc một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 8 10 10 12 13 13 14 15 . . . . . . 16 16 16 19 19 20 21 . 23 . 26 . 28 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 3 Hình học giải tích trong số phức 3.1 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm . . . . . 3.3 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Phương trình đường thẳng được xác định bởi điểm đi qua và phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng 3.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng . . . . . 4 Các 4.1 4.2 4.3 34 . 34 . 35 . 36 . 39 . 40 . 41 bài toán về đường tròn trong số phức 42 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . . . 43 Góc giữa hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: Là một giáo viên đã dạy môn toán trong trường THPT 12 năm, tôi thấy trong toán học phổ thông hình học là một trong môn học mà nhiều học sinh thấy khó học, nhất là hình học không gian. Để đại số hóa hình học các nhà toán học đã gắn hệ trục tọa độ vào hình học để có hình học giải tích. Khi học về hình học giải tích tôi thấy học sinh dễ học hơn và tiếp thu tốt hơn. Nay số phức lại được bộ giáo dục và đào tao đưa vào dạy ở chương trình THPT, mỗi bài toán về số phức là các bài toán thường mới và rất khó. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về đường tròn. Mong muốn là có một cách khác nữa để trình bầy về hình học nhờ số phức nên tôi mới chọn đề tài này. Đề tài “ Môt số bài toán về đường tròn” nhằm đáp ứng mong muốn của tôi về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho quá trình giảng dạy của mình ở trường phổ thông. Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, trong đó có các kiến thức của số phức, các kiến thức của hình học và nhiều kiến thức cơ bản khác. 2.Mục đích nghiên cứu: Hệ thống và tổng quát các bài toán về đường tròn giải bằng số phức và các ứng dụng khác nhau trong trường phổ thông. Nắm được một số kĩ thuật tính toán biến đổi hình học liên quan đến số phức. 3. Nhiệm vụ của đề tài: Đưa ra định nghĩa số phức và các phép toán về số phức một cách tổng quát có ví dụ minh họa kèm theo, ngoài ra đề tài cũng mở rộng mảng kiến thức về số phức với các bài toán về đường tròn giải bằng số phức.... Thông qua đề tài trang bị cho giáo viên thêm một số nguồn tư liệu 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 trong quá trình dạy học và ngiên cứu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các bài toán hình học về đường tròn trên tập số phức và xét các ứng dụng liên quan. Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS – TSKH Hà Huy Khoái, các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học và tuổi trẻ,. . . 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học các chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ những bài toán cơ bản nhất. 6. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 4 chương Chương I: Định nghĩa số phức Chương II: Số phức và hình học Chương III: Hình học giải tích trong số phức Chương IV: Các bài toán về đường tròn trong số phức Tuy đã cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài và viết luận văn, song khó tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn của các thầy cô và sự đóng góp ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn của tôi được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Định nghĩa số phức 1.1 1.1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức Định nghĩa số phức Giả thiết ta đã biết định nghĩa và các tính chất cơ sở của tập hợp các số thực R. Ta xét tập hợp R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R }. Hai phần tử (x1 , y1 ) v à (x2 , y2 ) bằng nhau khi và chỉ khi x1 = x2 và y1 = y2 . Các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 như sau: z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 . Và z1 .z2 = (x1 , y1 ) . (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 , với mọi z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 và z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 . Phần tử z1 + z2 gọi là tổng của z1 , z2 và phần tử z1 .z2 ∈ R2 gọi là tích của z1 , z2 . Nhận xét 1.1.1. 1) Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 và z2 = (x2 , 0) ∈ R2 thì z1 z2 = (x1 x2 , 0). 2) Nếu z1 z2 = (x1 x2 , 0) và z2 = (0, y2 ) ∈ R2 thì z1 z2 = (−y1 y2 , 0). Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp R2 cùng với các phép toán cộng và nhân được gọi là tập số phức, kí hiệu là C. Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C được gọi là một số phức. Kí hiệu C∗ để chỉ tập hợp C\ {(0, 0)}. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng (a) Tính giao hoán z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1 , z2 ∈ C. (b) Tính kết hợp (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C. Chứng minh. Thật vậy, nếu z1 = (x1 , y1 ) ∈ C, z2 = (x2 , y2 ) ∈ C, (x3 , y3 ) ∈ C thì z3 = (z1 + z2 ) + z3 = [(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )] + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 , y3 ) = ((x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 ) Và z1 + (z2 + z3 ) = (x1 , y1 ) + [(x2 , y2 ) + (x3 , y3 )] = (x1 , y1 ) + (x2 + x3 , y2 + y3 ) = (x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 )) Những khẳng định trên giống như phép cộng số thực. (c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất một số phức 0=(0,0) để z + 0 = 0 + z = z với mọi z = (x, y) ∈ C. (d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có duy nhất số phức –z = (-x,-y) sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0. Ta dễ dàng kiểm tra các khẳng định (a),(c),(d). Số phức z1 − z2 = z1 + (−z2 ) được gọi là hiệu của hai số phức z1 , z2 . Phép toán z1 , z2 trên đối với hai số z1 , z2 là số z1 − z2 gọi là phép trừ và được định nghĩa như sau: z1 − z2 = (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 ) ∈ C. 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân các số phức thỏa mãn các tính chất sau: (a) Tính giao hoán: z1 z2 = z2 z1 với mọi z1 z2 = z2 z1 . 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 (b) Tính kết hợp: z1 z2 = z2 z1 với mọi z1 z2 = z2 z1 . (c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất số phức 1 = (1, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z với mọi z ∈ C. Sử dụng biến đổi đại số dễ thấy z.1 = (x,y)(1,0) = (x.1 - y.0,x.0 + y.1) = (x,y) = z. Và 1.z = (1,0)(x,y) = (1.x - 0.y,1.y + 0.x) = (x,y) = z. (d) Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có duy nhất số phức z −1 = (x, , y , ) ∈ C sao cho z.z −1 = z −1 z = 1. Ta tìm z −1 = (x, , y , ) với chú ý rằng (x, y) = 6 (0, 0) kéo theo x 6= 0 2 hoặc y 6= 0 và hệ quả là x + y 2 6= 0. Từ hệ thức z.z −1 = 1 ta có (x, y)(x, , y , ) = (1, 0) hay hệ sau thỏa mãn  , xx − yy , = 1 yx, + xy , = 0. y x , và y = − . x2 + y 2 x2 + y 2 Vì thế phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C∗ là: Giải hệ phương trình trên ta có x, = z −1 = x y 1 =( 2 , − ) ∈ C∗ . 2 2 2 z x +y x +y Bằng cách làm tương tự ta cũng có z −1 z = 1. Hai số phức z1 = (x1 , y1 ) và z = (x, y) ∈ C∗ xác định duy nhất một số z1 gọi là thương của chúng, kí hiệu là , được định nghĩa như sau: z z1 x y = z1 .z −1 = (x1 , y1 ).( 2 , − ) z x + y 2 x2 + y 2 x1 x + y1 y −x1 y + y1 x , )∈C =( 2 x + y2 x2 + y 2 Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C∗ được định nghĩa như sau z 0 = 1 ; z 1 = z ; z 2 = z.z và z n = z.z...z | {z } với mọi số nguyên n > 0 n lâ n n −1 −n và z = (z ) với mọi số nguyên n < 0. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ và mọi số nguyên m,n ta có các tính chất sau n n n 1) z m .z n = z m+n 4)  (z1 z 2 ) = z1 z2 z1 n z1 n zm m−n 2) n = z = n 5) z z2 z2 m n mn 3) (z ) = z Khi z = 0 ta định nghĩa 0n = 0 với mọi số nguyên n > 0. e)Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C∗ Trên đây là những tính chất của phép cộng và phép nhân,thấy rằng tập hợp các số phức cùng với các phép toán trên lập thành một trường. 1.1.4 Dạng đại số của số phức Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thực hiện các biến đổi đại số thường không được thuận lợi. Đó là lí do để tìm dạng khác khi viết. Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới. Xét tập hợp R × {0} cùng với phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 . Hàm số f : R → R x {0} , f (x) = (x, 0) là một song ánh và ngoài ra (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0).(y, 0) = (xy, 0). Người đọc sẽ không sai lầm nếu chú ý rằng các phép toán đại số trên R × {0}. Đồng nhất với các phép toán trên R; vì thế chúng ta có thể đồng nhất cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R. Ta sử dụng song ánh trên và kí hiệu (x, 0) = x. Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0). Từ trên ta có mệnh đề Mệnh đề 1.1.3. Mỗi số phức có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z = x + yi, với x,y là các số thực và i2 = −1. 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Hệ thức i2 = −1 được suy ra từ định nghĩa phép nhân i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1. Biểu thức x + yi được gọi là biểu diễn dạng đại số của số phức z = (x, y).  Vì thế ta có thể viết C = x + yi |x ∈ R, y ∈ R , i2 = −1 . Từ giờ ta kí hiệu z = (x, y) bởi z = x + yi. Số thực x = Re(z) được gọi là phần thực của số phức z , y = Im(z) được gọi là phần ảo của z . Số phức có dạng yi , y ∈ R gọi là số ảo. Số phức có dạng yi , y ∈ R∗ gọi là số thuần ảo, số phức i gọi là đơn vị ảo. Từ các hệ thức trên ta dế dàng có các kết quả sau: a) z1 = z2 khi và chỉ khi Re(z1 ) = Re(z2 ) và Im(z1 ) = Im(z2 ). b) z ∈ R khi và chỉ khi Im(z) = 0. c) z ∈ C\R khi và chỉ khi Im(z) 6= 0. Sử dụng dạng đại số, các phép toán về số phức được thực hiện như sau: a. Phép cộng: z1 +z2 = (x1 +y1 i)+(x2 +y2 i) = (x1 +x2 )+(y1 +y2 )i ∈ C. Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần thực, có phần ảo là tổng các phần thực ảo: Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) b. Phép nhân z1 .z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i ∈ C. Ta có Re(z1 z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 ) Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re(z2 ) + Im(z2 ) Re(z1 ) Mối số thực λ ,số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là tích của một số thực với một số phức.Ta có các tính chất sau. 1) λ(z1 + z2 ) = λz1 + λz2 . 2) λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z. 3) (λ1 + λ2 )z = λ1 z + λ2 z. Thực ra, hệ thức 1 và 3 là trường hợp đặc biệt của luật phân phối, hệ thức 2 được suy ra từ luật kết hợp của số phức. 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 c. Phép trừ: z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C với Re(z1 − z2 ) = Re(z1 ) − Re(z2 ) Im(z1 − z2 ) = Im(z1 ) − Im(z2 ) 1.1.5 Lũy thừa của số i Các công thức cho số phức với lũy thừa là số nguyên được bảo toàn đối với dạng đại số. Xét z = x + yi, ta thu được z = i. i0 = 1 ; i1 = i ; i2 = −1 ; i3 = i2 .i = −i i4 = i3 .i = 1; i5 = i4 .i = i ; i6 = i5 .i = −1; i7 = i6 .i = −i Ta có thể tổng quát các công thức trên đối với số mũ nguyên dương n: i4n = 1 ; i4n+1 = i ; i4n+2 = −1 ; i4n+3 = −i Vì thế in ∈ {−1 , 1 , −i , i} với mọi số nguyên n > 0. Nếu n là số nguyên âm ta có:  −n
1 n −1 −n i = i = = (−i)−n . i 1.1.6 Số phức liên hợp Mỗi số phức z = x + yi đều có số phức z = x − yi, số phức đó được gọi là số phức liên hợp hoặc số phức liên hợp của số phức z. Mệnh đề 1.1.4. 1) Hệ thức z = z đúng khi và chỉ khi z ∈ R. 2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z = z . 3) Mỗi số phức z ,số phức z.z là một số thực không âm 4) z1 + z2 = z1 + z2 (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp). 5) z1 .z2 = z1 .z2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp). 6) Mỗi số phức z khác không đẳng thức sau luôn đúng z −1 = z −1 . 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11  z1 7) z2 hợp).  = z1 , z2 z2 6= 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên 8) Công thức Re(z) = z+z z−z và Im(z) = , với mọi số phức z. 2 2i Chứng minh. 1) Nếu z = x + yi, từ hệ thức z = z ta có đẳng thức x + yi = x − yi vì thế 2yi = 0 hay y = 0. Vậy z = x ∈ R. 2) Ta có z = x − yi và z = x − (−y)i = x + yi = z . 3) Chú ý rằng z.z = (x + yi)(x − yi) = x2 + y 2 > 0. 4) z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i = (x1 + x2 ) − (y1 + y2 )i = (x1 − y1 i) + (x2 + y2 i) = z1 + z2 . 5) Ta có thể viết z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i = (x1 x2 − y1 y2 ) − (x1 y2 + x2 y1 )i = (x1 − y1 i)(x2 − y2 i) = z1 .z2 .     1 1 1 6) Vì z. = 1 , ta có z. = 1 do đó z. = 1, suy ra (z −1 ) = ( z)−1 . z z z 7) Ta có       z1 1 z1 1 1 = z1 . = (z1 ) . = (z1 ) = z2 z2 z2 z2 (z2 ) 8)Từ hệ thức z + z = (x + yi) + (x − yi) = 2x; z − z = (x + yi) − (x − yi) = 2yi. z+z z−z Ta có Re(z) = và Im(z) = . 2 2i Tính chất 4) và 5) có thể mở rộng 4’) n X ! zk = k=1 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n X zk k=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 5’) n Y k=1 zk = n Y zk , ∀ zk ∈ C , k = 1, 2, 3.....n k=1 Ghi chú: a) phần tử nghịch đảo của số phức z ∈ C∗ có thể được tính như sau 1 x − yi x y z = = 2 = − i. z z.z x + y2 x2 + y 2 x2 + y 2 b) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức như sau: z1 z1 .z2 (x1 + y1 i) (x2 − y2 i) x1 x2 + y1 y2 −x1 y2 + x2 y1 = = = + i. z2 z2 z2 x22 + y22 x22 + y22 x22 + y22 1.1.7 Mô đun của số phức p Số |z| = x2 + y 2 được gọi là mô đun hay giá trị tuyệt đối của số phức z = x + yi. Mệnh đề 1.1.5. Các tính chất dưới đây được thỏa mãn 1) − |z| 6 Re(z) 6 |z| và − |z| 6 Im(z) 6 |z|. 2) |z| > 0 , ∀ z ∈ C, ngoài ra |z| = 0 khi và chỉ khi z = 0. 3) |z| = |−z| = |z| 4) z.z = |z|2 5)|z1 z2 | = |z1 | . |z2 | (mô đun của một tích bằng tích các mô đun). 6)|z1 | − |z2 | 6 |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |   7)z −1 = |z|−1 , z 6= 0.  z1  |z1 | , z2 6= 0 (mô đun của một tích bằng tích các mô đun). 8)   = z2 |z2 | 9) |z1 | − |z2 | 6 |z1 − z2 | 6 |z1 | + |z2 |. Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra các tính chất từ (1) đến (4) luôn đúng. 5) Ta có |z1 z2 |2 = (z1 z2 ) .(z1 z2 ) = (z1 z1 ) . (z2 z2 ) = |z1 |2 .|z2 |2 , do |z| > 0 ∀z ∈ C nên ta có |z1 z2 | = |z1 | . |z2 |. 6)Ta có |z1 + z2 | 2 = (z1 +z2 ) (z1 + z2 ) = (z1 +z2 )(z1 +z2 ) = |z1 |2 +z1 z2 +z1 z2 +|z2 |2 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Vì z1 z2 = z1 .z2 = z1 .z2 nên z1 z2 + z1 .z2 = 2 Re(z1 z2 ) 6 2 |z1 z2 | = 2 |z1 | |z2 | . Suy ra |z1 + z2 | 2 6 (|z1 | + |z2 |)2 . Vậy |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 | |z1 | = |z1 + z2 + (−z2 )| 6 |z1 + z2 | + |−z2 | = |z1 + z2 | + |z2 | . Vì thế |z1 | − |z2 | 6 |z1 + z2 |       1 1 1 1 7) Từ hệ thức z. = 1 ta có |z|   = 1 do đó   = vì thế z −1  = z z z |z| −1 |z| .      z1   1      |z1 | . 8)Ta có   = z1 .  = z1 .z2−1  = |z1 | . z2−1  = |z1 | |z2 |−1 = z z |z | 2 2 2 9) Ta có thể viết |z1 | = |z1 − z2 + z2 | 6 |z1 − z2 | + |z2 | vì thế |z1 | − |z2 | 6 |z1 − z2 | nên ta có |z1 − z2 | = |z1 + (−z2 )| 6 |z1 | + |z2 | Chú ý:1) Bất đẳng thức |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 | trở thành đẳng thức khi và chỉ khi Re(z1 z2 ) = |z1 | |z2 |. Điều này tương đương với z1 = tz2 , với t là số thực không âm. 2) Tính chất   5) và 6) có thể mở rộng như sau: n n Q  Q 5’)  zk  = |zk |. k=1  k=1 n n P  P 6’)  zk  6 |zk | , ∀ zk ∈ C , k = 1, n. k=1 k=1 Từ 5’) và 7) ta có hệ quả sau 5”) |z n | = |z|n với mọi số nguyên n và số phức z. 1.2 1.2.1 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số Ý nghĩa hình học của một số phức Chúng ta định nghĩa số phức z = (x, y) = x + yi là một cặp số thực sắp thứ tự (x, y) ∈ R × R, vì thế hoàn toàn tự nhiên khi xem mỗi số phức 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 z = x + yi là một điểm M(x,y) trong không gian R × R. Xét P là tập hợp Q các điểm của không gian với hệ trục tọa độ Oxy và song ánh ϕ : C → P với ϕ (z) = M (x, y). Định nghĩa 1.2.1. Điểm M(x,y) được gọi là dạng hình học của số phức z = x + yi. Số phức z = x + yi được gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y). Chúng ta kí hiệu M(z) để chỉ tọa độ phức của điểm M là số phức z. Dạng hình học của số phức liên hợp z của sô phức z = x + yi là điểm M’(x,-y) đối xứng với M(x,y) qua truc tọa độ Ox. Dạng hình học của số đối –z của số phức z = x + yi là điểm M”(-x,-y) đối xứng với M(x,y) qua gốc tọa độ. Song ánh ϕ từ tập R lên trục Ox ta gọi là trục thực, lên trục Oy ta gọi Q là trục ảo. Không gian cùng với các điểm được đồng nhất với số phức gọi là không gian phức. −−→ − Ta cũng có thể đồng nhất các số phức z = x + yi với véc tơ → v = OM , với M(x,y) là dạng hình học của số phức z. Gọi V0 là tập hợp các véc tơ có điểm gốc là gốc tọa độ O. Ta có thể −−→ → − → − → − → − định nghĩa song ánh ϕ0 : C → V0 , ϕ0 (z) = OM = x i + y j , với i , j là các véc tơ đơn vị trên trục tọa độ Ox, Oy. 1.2.2 Ý nghĩa hình học của môđun Xét số phức z = x + yi, biểu diễn hình học trong mặt phẳng là M(x,y). Khoảng cách Ơclit OM cho bởi công thức q OM = (xM − xO )2 + (yM − yO )2 . p − Vì thế OM = x2 + y 2 = |z| = |→ v | mô đun |z| của số phức z = x + yi → − → − − là độ dài của đoạn thẳng OM hoặc là độ lớn của véc tơ → v =x i +y j . Chú ý. a) Mỗi số thực dương r ,tập hợp các số phức có mô đun r tương đương với đường tròn C(O;r) tâm O bán kính r trong mặt phẳng. b) Các số phức z với |z| < r là các điểm nằm bên trong đường tròn C(O;r). Các số phức z với |z| > r là các điểm nằm bên ngoài đường tròn C(O;r). 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 1.2.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số a) Phép cộng và phép trừ Xét hai số phức z1 = x1 + y1 i và z2 = → − → − → − → − − − x2 + y2 i tương đương với hai véc tơ → v1 = x1 i + y2 j và → v2 = x2 i + y2 j . Tổng của hai số phức là z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) i. → − → − − − Tổng hai véc tơ → v1 + → v2 = (x1 + x2 ) i + (y1 + y2 ) j . − − Vì thế z1 + z2 tương đương với → v1 + → v2 . Hoàn toàn tương tự đối với phép trừ. Hiệu của hai số phức là z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i. → − → − − − Hiệu hai véc tơ → v1 − → v2 = (x1 − x2 ) i + (y1 − y2 ) j . − − Vì thế z1 − z2 tương đương với → v1 − → v2 . Chú ý: Khoảng cách giữa M1 (x1 ; y1 ) và M2 (x2 ; y2 ) bằng mô đun của số − → − phức z1 − z2 hoặc độ dài của véc tơ → vq 1 − v2 . − − Vậy M M = |z − z | = |→ v −→ v | = (x − x )2 + (y − y )2 . 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 b) Tích của số thực và số phức → − → − − Xét số phức z = x + yi tương đương với véc tơ → v = x i + y j . Nếu λ là số thực, thì tích số thực λz = λx + λyi tương đương với véc tơ → − → − − λ→ v = λx i + λy j . − − − − Chú ý rằng nếu λ > 0 thì véc tơ λ→ v và → v cùng hướng và |λ→ v | = λ |→ v |, → − → − → − → − nếu λ < 0 thì véc tơ λ v và v ngược hướng và |λ v | = −λ | v |. Tất nhiên → − − λ = 0 thì λ→ v = 0 . 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chương 2 Số phức và hình học 2.1 Một vài khái niệm và tính chất Giả sử các số phức z1 v à z2 có biểu diễn hình học là các điểm M1 v à M2 khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1 v à M2 được cho bởi công thức M1 M2 = |z1 − z2 | . Hàm khoảng cách d : CxC → [0, ∞) được định nghĩa như sau d (z1 , z2 ) = |z1 − z2 | . Và nó thỏa mãn các tính chất a) Dương và không suy biến d (z1 , z2 ) > 0 , ∀z1 , z2 ∈ C,d (z1 , z2 ) = 0 khi và chỉ khi z1 = z2 . b) Đối xứng d (z1 , z2 ) = d (z2 , z1 ) ∀ z1 , z2 ∈ C. c) Bất đẳng thức tam giác d (z1 , z2 ) 6 d (z1 , z3 )+d (z3 , z2 ) , ∀ z1 , z2 , z3 ∈ C. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có số thực dương k sao cho z3 − z1 = k (z2 − z3 ). 2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng Cho A và B là hai điểm phân biệt, trong mặt phẳng phức có tọa độ là a và b. Ta nói điểm M có tọa độ z nằm giữa A và B nếu z 6= a , z 6= b và hệ thức sau thỏa mãn |a − z| + |z − b| = |a − b|. Ta sử dụng kí hiệu A-M-B . Tập hợp (AB) = {M : A − M − B} được gọi 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 là đoạn thẳng mở xác định bởi điểm A và B. Tập hợp [AB] = (AB) ∪ {A, B} được gọi là đoạn thẳng đóng định nghĩa bởi A và B. Định lý 2.2.1. Giả sử A(a) ,B(b) là hai điểm phân biệt. Khi đó các trình bày dưới đây là tương đương 1) M ∈ (AB); 2) có số thực dương k sao cho z − a = b (k − z); 3) Có số thực t ∈ (0, 1) sao cho z = (1 − t) a + tb, với z là tọa độ phức của M Chứng minh. Trước hết ta chứng minh 1) và 2) tương đương. Thật vậy M ∈ (AB) khi và chỉ khi |a − z| + |z − b| = |a − b|. Đó là d (a, z) + d (z, b) = d (a, b), hoặc tương đương với: có số thực dương k để z − a = k (b − z) . k ∈ (0, 1) hoặc k = k+1 t 1 k > 0. Từ đó ta có z −a = k (b − z) khi và chỉ khi z = a+ b 1−t k+1 k+1 hay z = (1 − t) a + tb. Đó là điều phải chứng minh. Ta chứng minh 2) tương đương 3). Xét t = Tập hợp (AB = {M |A − M − B or A - B - M} được gọi là tia mở với điểm cuối A và chứa B. Định lý 2.2.2. Giả sử A(a), B(b) là hai điểm phân biệt. Khi đó các khẳng định dưới đây là tương đương 1)M ∈ (AB) ; 2) Có số thực dương t sao cho z = (1 − t) a + tb, với z là tọa độ phức của M 3) arg (z − a) = arg (z − b); z−a 4) ∈ R+ ; b−a Chứng minh. Ta chứng minh 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) ⇒ 1). 1) ⇒ 2) Từ M ∈ (AB) ta có A-M-B hoặc A-B-M.Có các số t, l ∈ (0, 1) 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 sao cho z = (1 − t) a + tb hoặc b = (1 − l) a + lz . 1 ta có l Trường hợp đầu ta đã làm, trường hợp hai ta đặt t = z = tb − (t − 1) a = (1 − t) a + tb. Đó là điều phải chứng minh. 2 ⇒ 3 từ z = (1 − t) a + tb ta có z − a = t (b − a),t > 0. Vì thế arg (z − a) = arg (z − b). z−a 3) ⇒ 4). Hệ thức arg = arg (z − a) − arg (b − a) + 2kπ với k là b−a z−a z−a = 2kπ , vì arg ∈ [0, 2π) nên k=0 và số nguyên. Suy ra arg b−a b−a z−a z−a arg = 0. Do đó ∈ R+ . Điều phải chứng minh. b−a b−a z−a ∈ R∗ vì z = a + t (b − a) = (1 − t) a + tb , t > 0.. 4) ⇒ 1) Lấy b−a Nếu t ∈ (0, 1) thì M ∈ (AB) ⊂ (AB . Nếu t = 1 thì z = b và M ≡ B ∈ 1 (AB). Cuối cùng nếu t >1 ta đặt l = ∈ (0, 1), ta có b = lz + (1 − l) a. t Từ đấy A-M-B và M ∈ (AB). Định lý 2.2.3. Giả sử A(a) ,B(b) là hai điểm phân biệt. Khi đó các khẳng định dưới đây là tương đương 1) M nằm trên đường thẳng AB; z−a 2) ∈ R; b−a 3) Có số thực t sao  cho z = (1 − t) a + tb;  z−a z−a   = 0; 4)  b−a b−a    z z 1   5)  a a 1  = 0.  b b 1 Chứng minh. Ta có 1) ⇔ 2) ⇔ 3). Nếu một điểm C thỏa mãn C-A-B thì đường thẳng AB chính là (AB ∪ {A} ∪ (AC sau đó áp dụng Định lý 2.2.2 ta có kết quả trên. Bây giờ ta sẽ chứng minh 2) ⇔ 4) ⇔ 5).   z−a z−a z−a z−a Thật vậy, ta có = ∈ R khi và chỉ khi = đẳng b−a b − a b − a b − a    z−a z−a   = 0. Vậy 2) ⇔ 4). thức này tương đương với  b−a b−a  20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn