Tài liệu Một số bài toán về điều kiện dãy nguyên tố trên vành noether địa phương

.. Môc lôc 1 Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 TÝnh b·o hßa nguyªn tè 4 1.1 BiÓu diÔn thø cÊp cho m«®un Artin . . . . . . . . . . . . 4 1.2 TÝnh bo hßa nguyªn tè cña m«®un Artin . . . . . . . . . 5 1.3 ChiÒu Noether vµ tÝnh bo hßa nguyªn tè . . . . . . . . . 9 1.4 2 3 TÝnh bo hßa nguyªn tè cña Hmd (M) . . . . . . . . . . TÝnh catenary phæ dông vµ tÝnh kh«ng trén lÉn 11 15 2.1 §Æc tr−ng tÝnh bo hoµ nguyªn tè cña Hmi (M ) . . . . . . 16 2.2 TÝnh catenary phæ dông vµ tÝnh kh«ng trén lÉn . . . . . . 23 Quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay 27 3.1 Mét sè tÝnh chÊt cña gi¶ gi¸ . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 M« t¶ quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay qua gi¶ gi¸ . . . 30 3.3 Quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay vµ ®iÒu kiÖn Serre . . . 35 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 2 Më ®Çu C¸c bµi to¸n vÒ ®iÒu kiÖn dy nguyªn tè ® ®−îc quan t©m tõ nh÷ng n¨m 1930. Bµi to¸n ®Çu tiªn lµ xÐt tÝnh catenary cña c¸c vµnh giao ho¸n. Nh¾c l¹i r»ng mét vµnh gäi lµ catenary nÕu gi÷a hai i®ªan nguyªn tè lång nhau bÊt k× lu«n tån t¹i mét dy nguyªn tè bo hßa vµ mäi dy nguyªn tè bo hßa nh− thÕ ®Òu cã chung ®é dµi. Líp vµnh catenary ®Çu tiªn ®−îc kh¸m ph¸ bëi W. Krull tõ n¨m 1937, «ng chØ ra r»ng mäi ®¹i sè h÷u h¹n sinh trªn mét tr−êng lµ catenary. Nh÷ng c«ng tr×nh tiÕp theo cña W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand vµ M. Raynaud, L. J. Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann ... vÒ tÝnh catenary ® lµm giµu ®Ñp lÝ thuyÕt nµy, nã cho thÊy sù liªn quan chÆt chÏ víi nhiÒu lÜnh vùc kh¸c cña §¹i sè Giao ho¸n nh− vµnh ®Þnh chuÈn, m«®un Cohen-Macaulay tèi ®¹i, vµnh Rees, vµnh ph©n bËc liªn kÕt, c¸c ph−¬ng ph¸p ®ång ®iÒu, c¸c më réng vµnh siªu viÖt... Ph¸t triÓn lÝ thuyÕt vµnh catenary lµ lÝ thuyÕt vµnh catenary phæ dông, vµnh tùa kh«ng trén lÉn vµ vµnh kh«ng trén lÉn. C¸c lÝ thuyÕt nµy ®ãng vai trß ®Æc biÖt quan träng trong §¹i sè giao ho¸n, nhÊt lµ trong lÝ thuyÕt vµnh giao ho¸n. Cho ®Õn nay, viÖc nghiªn cøu tÝnh catenary, tÝnh catenary phæ dông, tÝnh tùa kh«ng trén lÉn, tÝnh kh«ng trén lÉn vµ nh÷ng bµi to¸n liªn quan cho c¸c vµnh vÉn rÊt ®−îc quan t©m bëi nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. §Æc biÖt, gÇn ®©y NguyÔn Tù C−êng, NguyÔn ThÞ Dung vµ Lª Thanh Nhµn [CDN] ® th«ng qua nghiªn cøu m«®un Artin ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i ®Ó ®Æc tr−ng tÝnh catenary cho c¸c vµnh Noether vµ gi¸ kh«ng trén lÉn cña c¸c m«®un h÷u h¹n sinh. Môc ®Ých cña ®Ò tµi nµy lµ ph¸t triÓn c¸c kÕt qu¶ trªn cña NguyÔn Tù C−êng, NguyÔn ThÞ Dung vµ Lª Thanh Nhµn [CDN] cho nh÷ng bµi to¸n 3 vÒ ®iÒu kiÖn dy nguyªn tè kh¸c nh− xÐt tÝnh catenary phæ dông, tÝnh tùa kh«ng trén lÉn, tÝnh kh«ng trén lÉn cña c¸c vµnh Noether ®Þa ph−¬ng, ®ång thêi xÐt mét sè bµi to¸n liªn quan nh− c«ng thøc béi liªn kÕt cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng, tÝnh ®ãng cña c¸c tËp gi¶ gi¸ vµ tÝnh ®ãng cña quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay. C«ng cô nghiªn cøu cña ®Ò tµi lµ dïng nh÷ng tÝnh chÊt ®Æc thï cña tÊt c¶ c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng víi gi¸ cùc ®¹i. §Ò tµi gåm 3 ch−¬ng. Ch−¬ng I nãi vÒ tÝnh chÊt bo hßa nguyªn tè cña m«®un Artin, ®Æc biÖt lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng víi gi¸ cùc ®¹i nh»m phôc vô cho viÖc tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cho 2 ch−¬ng sau. Ch−¬ng 2 ®Æc tr−ng tÝnh bo hßa nguyªn tè cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng, tõ ®ã xÐt tÝnh catenary, catenary phæ dông, tÝnh kh«ng trén lÉn cña c¸c vµnh Noether ®Þa ph−¬ng. Nh− mét øng dông, trong Ch−¬ng 2 cßn tr×nh bµy c«ng thøc béi liªn kÕt cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng. Ch−¬ng 3 nghiªn cøu tÝnh ®ãng cña quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay th«ng qua c¸c tËp gi¶ gi¸, qua c¸c ®iÒu kiÖn Serre vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh. Ch−¬ng 1 TÝnh b·o hßa nguyªn tè Trong suèt ch−¬ng nµy, cho (R, m) lµ mét vµnh Noether ®Þa ph−¬ng víi i®ªan tèi ®¹i duy nhÊt m, cho A lµ R-m«®un Artin vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh. Víi mçi i®ªan I cña R ta kÝ hiÖu V (I) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa I. 1.1 BiÓu diÔn thø cÊp cho m«®un Artin Tr−íc hÕt ta nh¾c l¹i mét sè kÕt qu¶ vÒ lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp cho c¸c m«®un Artin ®−îc giíi thiÖu bëi I. G. Macdonad [Mac]. LÝ thuyÕt nµy ®−îc xem nh− lµ ®èi ngÉu víi lÝ thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬ cho m«®un Noether: Nh¾c l¹i r»ng, mét R-m«®un L ®−îc gäi lµ thø cÊp nÕu phÐp nh©n bëi r trªn L lµ toµn cÊu hoÆc lòy linh víi mäi r ∈ R. Trong tr−êng hîp nµy, tËp c¸c phÇn tö r ∈ R sao cho phÐp nh©n bëi r trªn L lµ lòy linh lËp thµnh mét i®ªan nguyªn tè p cña R vµ ta gäi L lµ p-thø cÊp. Macdonald [Mac] ® chØ ra r»ng mçi m«®un Artin A ®Òu cã mét biÓu diÔn thø cÊp A = A1 + . . . + An trong ®ã Ai lµ pi−thø cÊp víi mäi
i = 1, . . . , n. Trong tr−êng hîp c¸c Ai lµ kh«ng thõa (tøc lµ A = j=i Aj víi mäi i = 1, . . . , n) vµ c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ph©n biÖt th× biÓu diÔn thø cÊp nµy ®−îc gäi lµ tèi thiÓu. Khi ®ã tËp {p1, . . . , pn } kh«ng phô 4 5 thuéc vµo biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña A vµ ®−îc kÝ hiÖu bëi AttR A. TËp AttR A ®−îc gäi lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña A. 1.1.1. Bæ ®Ò. [Mac]. TËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña AttR A chÝnh lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu chøa AnnR A. §Æc biÖt,  Rad(AnnR A) = p. p∈AttR A Ta còng biÕt r»ng mçi R−m«®un Artin A cã cÊu tróc tù nhiªn lµ  R−m«®un, vµ víi cÊu tróc nµy mçi tËp con cña A lµ R−m«®un con  nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R−m«®un con. §iÒu nµy cho thÊy c¸c dµn m«®un  con cña A xÐt nh− R−m«®un vµ R−m«®un lµ nh− nhau. Do ®ã A lµ  R−m«®un Artin. Quan hÖ gi÷a c¸c tËp AttR A vµ AttR A ®−îc cho bëi c«ng thøc sau ®©y. 1.1.2. Bæ ®Ò. (xem [Sh]). AttR A = { p∩R :  p ∈ AttR A}. 1.2 TÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin Tr−íc hÕt ta xÐt mét tÝnh chÊt c¬ së cña c¸c m«®un h÷u h¹n sinh M nh− sau: Gi¶ sö p lµ i®ªan nguyªn tè cña R chøa AnnR M . Khi ®ã p ∈ Supp M vµ do ®ã Mp = 0. Theo Bæ ®Ò Nakayama ta suy ra (M/pM )p = Mp/pMp = 0. V× thÕ p ∈ Supp(M/pM ), tøc lµ p ⊇ AnnR (M/pM ). V× vËy ta lu«n cã AnnR (M/pM) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR M. RÊt tù nhiªn, theo suy nghÜ ®èi ngÉu, N. T. Cuong vµ L. T. Nhan [CN] ® xÐt tÝnh chÊt sau ®èi víi c¸c m«®un Artin A: AnnR (0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. (∗) 6 Tuy nhiªn tÝnh chÊt (*) l¹i kh«ng ®óng cho c¸c m«®un Artin A (xem VÝ dô 1.2.3). V× thÕ ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y. 1.2.1. §Þnh nghÜa. M«®un A ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt b.o hßa nguyªn tè nÕu nã tháa mn tÝnh chÊt (*). 1.2.2. Chó ý. Gi¶ sö R lµ ®Çy ®ñ theo t«p« m−adic. Khi ®ã ®èi ngÉu Matlis D(A) cña A lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh. Chó ý r»ng AnnR A = AnnR D(A). V× thÕ ¸p dông tÝnh chÊt linh ho¸ tö cho m«®un D(A) ta cã AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A = AnnR D(A). Do vËy mäi m«®un Artin trªn vµnh ®Þa ph−¬ng ®Çy ®ñ ®Òu bo hoµ nguyªn tè. Víi mçi sè nguyªn i, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng thø i víi gi¸ cùc ®¹i Hmi (M ) cña M lu«n lµ R-m«®un Artin (xem [BS]). 1.2.3. VÝ dô. [CN, VÝ dô 4.4]. Tån t¹i mét m«®un Artin trªn vµnh Noether ®Þa ph−¬ng kh«ng bo hoµ nguyªn tè. Chøng minh. Gäi (R, m) lµ miÒn Noether ®Þa ph−¬ng chiÒu 2 ®−îc x©y dùng bíi D. Ferrand vµ M. Raynaud [FR] tho¶ mn tÝnh chÊt tån t¹i mét  víi dim R/   i®ªan nguyªn tè nhóng  q ∈ Ass R q = 1. Khi ®ã Hm1 (R) lµ   Theo m«®un Artin vµ ta cã ®¼ng cÊu c¸c R−m«®un Hm1 (R) ∼ = Hm1 (R).  1   . Theo Bæ ®Ò 1.1.2 ta suy [Sh1, HÖ qu¶ 4.9]) ta suy ra  q ∈ AttR Hm (R)    ra  q ∩ R ∈ AttR Hm1 (R) . Chó ý r»ng Ass R = { p∩R :  p ∈ Ass R} (xem [Mat, §Þnh lÝ 12]). V× thÕ ta cã  q ∩ R ∈ Ass R. Do R lµ miÒn nguyªn nªn Ass R = {0}. Do ®ã 0 =  q ∩ R ∈ AttR (Hm1 (R)). V× thÕ   1  AnnR Hm (R) = p⊆ q ∩ R = 0. 1 (R)) p∈AttR (Hm 7 Chän A = Hm1 (R). Khi ®ã A lµ R−m«®un Artin. LÊy tuú ý mét i®ªan nguyªn tè p cña R sao cho p = 0 vµ p = m. Ta ® chøng minh ë trªn r»ng AnnR A = 0. Do ®ã p ⊃ AnnR A. LÊy 0 = x ∈ p. XÐt dy khíp x 0 −→ R −→ R −→ R/xR −→ 0. Dy nµy c¶m sinh dy khíp dµi c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng x 0 −→ Hm0 (R/xR) −→ Hm1 (R) −→ Hm1 (R). Suy ra Hm0 (R/xR) ∼ = 0 :Hm1 (R) x = 0 :A x. V× Hm0 (R/xR) lµ R−m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n nªn 0 :A x cã ®é dµi h÷u h¹n. Do x ∈ p nªn   0 :A p ⊆ 0 :A x vµ do ®ã 0 :A p cã ®é dµi h÷u h¹n. V× thÕ AnnR 0 :A p lµ i®ªan m−nguyªn s¬, ®iÒu nµy chøng tá Ann(0 :A p) = p. VËy A kh«ng bo hoµ nguyªn tè. }. V× M lµ h÷u h¹n sinh Ta lu«n cã Supp M = { p∩R :  p ∈ Supp M  lµ R-m«®un  nªn Supp M = V (AnnR M ). T−¬ng tù, v× M h÷u h¹n sinh  = V (Ann  M).  Do ®ã ta cã V (AnnR M ) = { nªn Supp M p∩R :  p∈ R )}. H¬n n÷a, nh− ® nh¾c ë tiÕt trªn, mçi R−m«®un Artin A V (Ann  (M R  ®Òu cã cÊu tróc tù nhiªn lµ R−m«®un Artin. V× thÕ, rÊt tù nhiªn chóng ta hái r»ng liÖu ®¼ng thøc V (AnnR A) = { p∩R :  p ∈ V (AnnR A} lµ x¶y ra cho m«®un Artin A. D−íi ®©y chóng ta chØ r»ng ®¼ng thøc nµy x¶y ra khi vµ chØ khi A bo hoµ nguyªn tè. 1.2.4. MÖnh ®Ò. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t−¬ng ®−¬ng: (i) A b.o hoµ nguyªn tè. p∩R:  p ∈ V (AnnR A)}. (ii) V (AnnR A) = { 8 Chøng minh. (i)⇒(ii). Cho  p ∈ V (AnnR A). Khi ®ã tån t¹i mét i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu  q chøa AnnR A sao cho  p ⊇  q. Chó ý r»ng  q ∈ AttR A. Ta cã AttR A = { p∩R :  p ∈ AttR A}. V× thÕ  q ∩ R ∈ AttR A. Suy ra  q ∩ R ∈ V (AnnR A) vµ v× thÕ ta suy ra  p ∩ R ∈ V (AnnR A). Do ®ã V (AnnR A) ⊇ { p∩R :  p ∈ V (AnnR A)}. Ng−îc l¹i, cho p ∈ V (AnnR A). Theo gi¶ thiÕt (i), A bo hoµ nguyªn tè. V× thÕ AnnR (0 :A p) = p. Râ rµng mäi i®ªan nguyªn tè chøa AnnR (0 :A p) ®Òu ph¶i chøa p, do ®ã p lµ i®ªan nguyªn tè bÐ nhÊt chøa AnnR (0 :A p). Theo Bæ ®Ò 1.1.1 ta suy ra p ∈ AttR (0 :A p). L¹i v× AttR (0 :A p) = { p∩R :  p ∈ AttR (0 :A p)} nªn tån t¹i i®ªan nguyªn tè  p ∈ AttR (0 :A p) sao cho  p ∩ R = p. V×  p ∈ AttR (0 :A p) nªn  p ⊇ AnnR (0 :A p). V× thÕ  p ∈ V (AnnR A) vµ  p ∩ R = p, tøc lµ V (Ann A) ⊆ { p∩R :  p ∈ V (AnnR A)}. (ii)⇒(i). Cho p ∈ V (Ann A). Theo gi¶ thiÕt (ii), tån t¹i i®ªan nguyªn tè  p ∈ V (AnnR A) sao cho  p ∩ R = p. V× mäi m«®un Artin A trªn vµnh  ®Òu bo hoµ nguyªn tè nªn ta cã Ann  (0 :A  ®Çy ®ñ R p) =  p. L¹i do R ⊆ pR p nªn ta cã  ⊆ Ann  (0 :A  p ⊆ AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A pR) p) ∩ R =  p ∩ R = p. R Suy ra Ann(0 :A p) = p. 9 1.3 ChiÒu Noether vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè Trong tiÕt nµy chóng ta xÐt mèi quan hÖ gi÷a tÝnh bo hßa nguyªn tè cña m«®un Artin víi chiÒu Noether cña nã, ®ång thêi tr×nh bµy mét sè tÝnh chÊt vÒ hÖ tham sè cho m«®un Artin sÏ ®−îc dïng trong chøng minh c¸c kÕt qu¶ cña Ch−¬ng 2. Nh¾c l¹i r»ng kh¸i niÖm chiÒu Krull cho m«®un Artin ®−îc giíi thiÖu bëi R. N. Roberts [Ro] n¨m 1975, sau ®ã ®−îc D. Kirby [K2] n¨m 1990 ®æi tªn thµnh chiÒu Noether ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn víi kh¸i niÖm chiÒu Krull ® quen biÕt cho c¸c m«®un h÷u h¹n sinh. Trong suèt luËn v¨n nµy, chóng t«i dïng thuËt ng÷ “chiÒu Noether” cña Kirby [K2]. 1.3.1. §Þnh nghÜa. ChiÒu Noether cña A, kÝ hiÖu bëi N-dimR A, ®−îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh− sau: Khi A = 0, ta ®Æt N-dimR A = −1. Cho d ≥ 0 lµ mét sè nguyªn kh«ng ©m. Ta ®Æt N-dimR A = d nÕu N-dimR A < d lµ sai vµ víi mçi dy t¨ng c¸c m«®un con A0 ⊆ A1 ⊆ . . . cña A, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 sao cho N-dimR (An /An+1 ) < d víi mäi n > n0 . Tõ ®Þnh nghÜa cña chiÒu Noether ta thÊy ngay r»ng N-dimR A = 0 nÕu vµ chØ nÕu A = 0 vµ ℓ(A) < ∞. H¬n n÷a, nÕu 0 −→ A′ −→ A −→ A′′ −→ 0 lµ mét dy khíp c¸c R−m«®un Artin th× N-dimR A = max{N-dimR A′, N-dimR A′′ }. R. N. Roberts [Ro] vµ D. Kirby [K,K1] ® chØ ra nhiÒu tÝnh chÊt ®Ñp cña m«®un Artin t−¬ng tù nh− c¸c tÝnh chÊt vÒ chiÒu Krull cho c¸c m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph−¬ng, ®Æc biÖt lµ kÕt qu¶ duíi ®©y cho ta 03 ®iÒu kiÖn t−¬ng ®−¬ng vÒ chiÒu Noether cho c¸c m«®un Artin 10 1.3.2. MÖnh ®Ò. NÕu q lµ i®ªan sao cho ℓ(0 :A q) < ∞ th× cã mét ®a thøc Q(n) víi hÖ sè h÷u tû sao cho ℓR (0 :A qn+1 ) = Q(n) khi n ≫ 0 vµ N-dimR A = deg(ℓR (0 :A qn+1 )) = inf{t ≥ 0 : ∃x1, . . . , xt ∈ m : ℓR (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞}. MÖnh ®Ò 1.3.2 cho phÐp ta ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm hÖ tham sè cho m«®un Artin. 1.3.3. §Þnh nghÜa. Mét hÖ (x1, . . . , xd ) gåm d = N-dim A phÇn tö cña m ®−îc gäi lµ hÖ tham sè cña A nÕu ℓ(0 :A (x1 , . . . , xd )R) < ∞. Mét hÖ (x1 , . . . , xi ) víi i
d, c¸c phÇn tö cña m ®−îc gäi lµ phÇn hÖ tham sè cña A nÕu ta cã thÓ bæ sung thªm c¸c phÇn tö xi+1 , . . . , xd cña m sao cho (x1 , . . . , xd ) lµ hÖ tham sè cña A. Mét phÇn tö x ∈ m ®−îc gäi lµ phÇn tö tham sè cña A nÕu cã thÓ bæ sung thªm N-dimR A − 1 phÇn tö trong m ®Ó ®−îc mét hÖ tham sè cña A. Tõ MÖnh ®Ò 1.3.2 ta suy ra kÕt qu¶ sau ®©y. 1.3.4. HÖ qu¶. NÕu d = N-dimR A > 0 th× N-dimR (0 :A x) ≥ N-dimR A − 1, ∀x ∈ m vµ ®¼ng thøc x¶y ra nÕu vµ chØ nÕu x lµ phÇn tö tham sè cña A. T−¬ng tù, víi i
d ta cã N-dimR (0 :A (x1 , . . . , xi ) ≥ N-dimR A − i, ∀x1 , . . . , xi ∈ m ®¼ng thøc x¶y ra nÕu vµ chØ nÕu x1 , . . . , xi lµ phÇn hÖ tham sè cña A. KÝ hiÖu dimR A = dim(R/ AnnR A). Khi ®ã N-dimR A = 0 nÕu vµ chØ nÕu dimR A = 0, nÕu vµ chØ nÕu A cã ®é dµi kh¸c 0 vµ h÷u h¹n, nÕu vµ chØ nÕu R/ AnnR A lµ vµnh Artin. Tr−êng hîp tæng qu¸t ta chØ cã 11 N-dimR A
dimR A. H¬n n÷a, víi m«®un Artin A = Hm1 (R) nh− trong VÝ dô 1.2.3 ta cã dimR A = 2 > 1 = N-dimR A. MÖnh ®Ò sau ®©y chØ ra r»ng tÝnh chÊt bo hßa nguyªn tè lµ ®ñ ®Ó ®¼ng thøc vÒ chiÒu ë trªn x¶y ra. 1.3.5. MÖnh ®Ò. [CN]. (i) N-dimR A
dim(R/ Ann A). (ii) NÕu A b.o hßa nguyªn tè th× N-dimR A = dimR A.  Nh¾c l¹i r»ng A cã cÊu tróc tù nhiªn nh− lµ R−m«®un Artin vµ c¸c  dµn m«®un con cña A xÐt nh− R−m«®un vµ xÐt nh− R−m«®un lµ nh− nhau. V× thÕ tõ ®Þnh nghÜa chiÒu Noether ta cã N-dimR A = N-dimR A.  V× mäi R−m«®un Artin A ®Òu bo hoµ nguyªn tè nªn theo MÖnh ®Ò  Ann  A). Theo Bæ ®Ò 1.1.1, tËp c¸c 1.3.5 ta cã N-dim  A = dim(R/ R R  chøa Ann  A vµ tËp c¸c i®ªan nguyªn i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña R R tè g¾n kÕt tèi thiÓu trong AttR A lµ nh− nhau. V× thÕ ta cã    Ann  A) = max{dim(R/ p) :  p ∈ AttR A}. dim(R/ R T−¬ng tù ta còng cã dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p ∈ AttR A}. V× thÕ ta cã c¸c quan hÖ sau ®©y: 1.3.6. HÖ qu¶.  Ann  A) N-dimR A = N-dimR A = dim(R/ R   = max{dim(R/ p) :  p ∈ AttR A}
dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p ∈ AttR A} 1.4 TÝnh b·o hßa nguyªn tè cña Hmd (M ) KÝ hiÖu UM (0) lµ m«®un con lín nhÊt cña M cã chiÒu nhá h¬n d = dim M . Chó ý r»ng m«®un con lín nhÊt UM (0) nh− thÕ lu«n tån t¹i vµ duy 12 nhÊt. Nh¾c l¹i r»ng Hmi (M) lµ R−m«®un Artin víi mäi sè nguyªn i vµ depth M = min{i : Hmi (M) = 0}; dim M = max{i : Hmi (M ) = 0}. V× thÕ Hmi (M ) = 0 víi mäi i < 0 vµ mäi i > d. Ng−êi ta gäi Hmd (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp cao nhÊt cña M. Tr−íc hÕt, chóng ta nh¾c l¹i c¸c tÝnh chÊt quan träng sau ®©y vÒ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt vµ chiÒu Noether cña m«®un nµy. 1.4.1. Bæ ®Ò. [BS]. AttR Hmd (M ) = {p ∈ AssR M : dim R/p = d}. §Æc biÖt, dim Hmd (M) = d. 1.4.2. Bæ ®Ò. [CN, HÖ qu¶ 3.6]. N-dim Hmd (M) = dim Hmd (M) = d. Bæ ®Ò sau ®©y x¸c ®Þnh tËp c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®un M/UM (0). 1.4.3. Bæ ®Ò. Ass(M/UM (0)) = {p ∈ Ass M : dim R/p = d}. Chøng minh. Cho p ∈ Ass M víi dim R/p = d. V× dim UM (0) < d nªn / Ass UM (0). L¹i do dim R/q < d víi mäi q ∈ Ass UM (0). V× thÕ p ∈ Ass M ⊆ Ass UM (0) ∪ Ass M/UM (0) nªn ta cã p ∈ Ass M/UM (0). V× thÕ Ass M/UM (0) ⊇ {p ∈ Ass M : dim R/p = d}. Ng−îc l¹i cho p ∈ Ass M/UM (0). Khi ®ã p = AnnR (m), trong ®ã m = m + UM (0) ∈ M/UM (0). V× p = R nªn m ∈ / UM (0). Do ®ã dim Rm = d (v× tÊt c¶ c¸c m«®un con cña M cã chiÒu nhá h¬n d ®Òu chøa trong UM (0)). Suy ra dim(Rm + UM (0)) = d. V× thÕ d = dim(Rm + UM (0)) = max{dim UM (0), dim(Rm)}. Do dim UM (0) < d nªn dim(Rm) = d. V× p = AnnR (m) nªn dim R/p = dim(Rm) = d. 13 Râ rµng p = AnnR m ⊇ AnnR m. Do ®ã d = dim R/p
dim(Rm) = d. Suy ra dim R/p = dim(Rm), vµ v× thÕ p lµ i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña AnnR (Rm). Do ®ã p ∈ Ass(Rm) ⊆ Ass M. Suy ra Ass M/UM (0) ⊆ {p ∈ Ass M : dim R/p = d}. Nh×n vµo Bæ ®Ò 1.4.3 ta thÊy c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M/UM (0) ®Òu cã chiÒu nh− nhau. §iÒu nµy ®−a ta ®Õn kh¸i niÖm sau ®©y. 1.4.4. §Þnh nghÜa. TËp Supp(M/UM (0)) ®−îc gäi lµ gi¸ kh«ng trén lÉn cña m«®un M vµ ®−îc kÝ hiÖu bëi Usupp M. Tõ Bæ ®Ò 1.4.3 ta cã ngay hÖ qu¶ sau ®©y.  1.4.5. HÖ qu¶. Supp(M/UM (0)) = V (p). p∈Ass M,dim R/p=d 1.4.6. Bæ ®Ò. Cho p ∈ Supp M. Khi ®ã p ∈ Usupp M nÕu vµ chØ nÕu p ⊇ AnnR Hmd (M). §Æc biÖt, Usupp M = V (AnnR Hmd (M )). Chøng minh. Ta cã AttR Hmd (M ) = {q ∈ Ass M : dim R/q = d}. H¬n n÷a, tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu chøa AnnR Hmd (M ) chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña tËp AttR Hmd (M ). V× thÕ  d V (AnnR Hm (M)) = V (p) = Usupp M. p∈Ass M, dim R/p=d }. 1.4.7. Bæ ®Ò. Usupp M ⊇ { p∩R:  p ∈ UsuppR M 14 . Khi ®ã   nµo ®ã Chøng minh. Cho  p ∈ Usupp M p⊇ q víi  q ∈ AssR M   } tho¶ mn ®iÒu kiÖn dim R/ q = d. V× AssR M = { p∩R :  p ∈ Ass M nªn ta suy ra  q ∩ R ∈ Ass M . H¬n n÷a, do   d ≥ dim(R/( q ∩ R)) ≥ dim R/ q=d nªn ta cã dim R/( q ∩ R) = d. V×  p∩R ⊇ q ∩ R nªn tõ ®Þnh nghÜa cña gi¸ kh«ng trén lÉn ta suy ra  p ∩ R ∈ Usupp M. Ta nãi Usupp M lµ catenary nÕu víi hai i®ªan nguyªn tè lång nhau trong Usupp M, c¸c dy nguyªn tè bo hßa gi÷a chóng ®Òu cã ®é dµi b»ng nhau. Nãi c¸ch kh¸c, Usupp M lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu vµnh R/ AnnR Hmd (M ) lµ catenary. 1.4.8. §Þnh lý. [CDN] C¸c ph¸t biÓu sau lµ t−¬ng ®−¬ng: (i) Hmd (M) b.o hoµ nguyªn tè.  (ii) Usupp M = { p∩R:  p ∈ UsuppR M}. (iii) Usupp M lµ catenary. Ch−¬ng 2 TÝnh catenary phæ dông vµ tÝnh kh«ng trén lÉn Trong suèt ch−¬ng nµy, lu«n gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh Noether ®Þa ph−¬ng, A lµ R-m«®un Artin vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. Víi mçi i®ªan I cña R, kÝ hiÖu Var(I) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa I. Víi mçi tËp con T cña Spec(R), kÝ hiÖu min(T ) lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña T theo quan hÖ bao hµm. Trong [CDN], N.T. Cuong, N.T. Dung vµ L.T. Nhan ® ®Þnh nghÜa gi¸ kh«ng trén lÉn cña M lµ tËp SuppR (M/UM (0)), trong ®ã UM (0) lµ m«®un con lín nhÊt cña M víi chiÒu nhá h¬n d. Ta lu«n cã    d UsuppR M = Var AnnR (Hm (M )) = Var(p). p∈AssR (M ) dim(R/p)=d Mét kÕt qu¶ quan träng trong [CDN] nãi r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng cÊp cao nhÊt lµ bo hoµ nguyªn tè nÕu vµ chØ nÕu gi¸ kh«ng trén lÉn UsuppR M lµ catenary. Chó ý r»ng ngay c¶ khi vµnh lµ catenary th× c¸c m« ®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng bËc nhá h¬n d vÉn cã thÓ kh«ng bo hoµ nguyªn tè. §iÒu nµy lµ ®éng c¬ dÉn ta nghÜ ®Õn viÖc nghiªn cøu tÝnh bo hoµ nguyªn tè cho c¸c m« ®un ®èi ®ång ®iÒu bËc thÊp. Môc ®Ých cña ch−¬ng nµy tr−íc hÕt lµ cung cÊp mét ®Æc tr−ng ®Ó m« 15 16 ®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng Hmi (M ) lµ bo hoµ nguyªn tè. Tõ ®ã ta nhËn ®−îc tÝnh chÊt ®ãng cho c¸c tËp gi¶ gi¸ ®Þnh nghÜa bëi Brodmann vµ Sharp [BS1] vµ mét c«ng thøc béi liªn kÕt cho c¸c m«®un Hmi (M). KÕt qu¶ nµy më réng kÕt qu¶ chÝnh cña [BS1], ë ®ã Brodmann vµ Sharp ® chøng minh c«ng thøc béi liªn kÕt trong tr−êng hîp gi¶ thiÕt m¹nh h¬n - khi vµnh R lµ catenary phæ dông vµ c¸c thí h×nh thøc cña R lµ Cohen-Macaulay. Môc ®Ých tiÕp theo cña Ch−¬ng lµ nghiªn cøu tÝnh bo hoµ nguyªn tè cho ®ång lo¹t c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng Hmi (M) víi i = 0, 1, . . . , d − 1. KÕt qu¶ thu ®−îc lµ tÝnh catenary phæ dông cña vµnh th−¬ng R/ AnnR M vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña mét sè vµnh ®Þa ph−¬ng R/p víi p ∈ SuppR M . 2.1 §Æc tr−ng tÝnh b·o hoµ nguyªn tè cña Hmi (M) Trong tiÕt nµy, cho M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. Cho i ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. Theo Brodmann vµ Sharp [BS1], tËp i−dim(R/p) {p ∈ Spec(R) : HpRp (Mp ) = 0} ®−îc gäi lµ gi¶ gi¸ thø i cña M vµ kÝ hiÖu lµ PsuppiR M. Gi¶ chiÒu thø i cña M , kÝ hiÖu bëi psdi(M ) ®−îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc psdi (M) = sup{dim R/p : p ∈ PsuppiR M }. Brodmann vµ Sharp [BS1, §Þnh lÝ 2.4] ® chøng minh r»ng nÕu R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th× PsuppiR M lµ mét tËp con ®ãng cña Spec(R) (theo t«p« Zariski) vµ c«ng thøc béi liªn kÕt sau ®©y lµ ®óng: Víi kÝ hiÖu e′ (q, Hmi (M )) lµ sè béi cña Hmi (M ) 17 øng víi i®ªan m-nguyªn s¬ q, ta cã   i−dim(R/p)  e′ (q, Hmi (M)) = ℓRp HpRp (Mp ) e(q, R/p). p∈PsuppiR (M ) dim(R/p)=psdi (M ) Trong tiÕt nµy, víi mçi sè tù nhiªn i, chóng t«i ®Æc tr−ng tÝnh bo hoµ nguyªn tè cho Hmi (M ), tõ ®ã më réng c«ng thøc béi liªn kÕt ë trªn cho tr−êng hîp: mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng Hmi (M ) ®Òu bo hoµ nguyªn tè. 2.1.1. §Þnh lý. Cho sè nguyªn i ≥ 0. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t−¬ng ®−¬ng: (i) Hmi (M ) lµ b.o hoµ nguyªn tè.   (ii) Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR M.  = NÕu c¸c ®iÒu kiÖn (i), (ii) ®Òu tho¶ m.n th× psdi M = psdi M N-dimR (Hmi (M )) vµ tËp hîp {p ∈ PsuppiR M : dim(R/p) = psdi M } , dim(R/   }. chÝnh lµ tËp { p∩R: p ∈ Psuppi M p) = psdi M R Chøng minh. (i)⇒(ii). Gi¶ sö Hmi (M ) bo hoµ nguyªn tè. Cho p ∈ i−dim(R/p) PsuppiR M. Khi ®ã HpRp (Mp ) = 0. V× thÕ tån t¹i mét i®ªan nguyªn  i−dim(R/p)  tè qRp ∈ AttRp HpRp (Mp ) víi mét i®ªan nguyªn tè q ⊆ p. Theo [BS, 11.3.8] ta suy ra q ∈ AttR (Hmi (M)). V× thÕ ta cã p ⊇ q ⊇   AnnR (Hmi (M )). Suy ra PsuppiR M ⊆ Var AnnR (Hmi (M )) .     Cho p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) . Khi ®ã AnnR 0 :Hmi (M ) p = p v×   Hmi (M) bo hoµ nguyªn tè. Suy ra min Var AnnR (0 :Hmi (M ) p) = {p}. Cho q ⊇ AnnR (0 :Hmi (M ) p). Khi ®ã q ⊇ p. V× Hmi (M ) bo hoµ nguyªn tè nªn ta cã AnnR (0 :0:H i (M ) p q) = AnnR (0 :Hmi (M ) q) = q. m 18 V× thÕ 0 :Hmi (M ) p bo hoµ nguyªn tè. Do ®ã   dim(R/p) = dim R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)   = N-dimR 0 :Hmi (M ) p    Ann  (0 :H i (M ) p) = dim R/ R m     = max{dim(R/ p) :  p ∈ AttR 0 :Hmi (M ) p }.     V× thÕ tån t¹i  p ∈ AttR 0 :Hmi (M ) p sao cho dim(R/ p) = dim(R/p).     Chó ý r»ng  p ∈ Var AnnR (Hmi (M)) vµ  p ∩ R ⊇ p. V× dim(R/ p) =  V× H i (M) ∼  xÐt nh− dim(R/p), nªn  p lµ tèi thiÓu cña pR. = Hmi R (M) m  c¸c R-m«®un nªn ta cã thÓ kiÓm tra ®−îc    = Var Ann  (H i (M )) . PsuppiR M m R   p)  , tøc lµ H i−dim(R/ Suy ra  p ∈ PsuppiR M (Mp) = 0. V×  p lµ tèi thiÓu   pR
p  vµ dim(R/   pR p) = dim(R/p) nªn theo §Þnh lÝ chuyÓn c¬ së (xem [BS, 4.3.2]) ta cã i−dim(R/p) HpRp     i−dim(R/ p) i−dim(R/ p)  p ∼ p ) ∼ (Mp) ⊗ R (Mp ⊗ R (Mp) = 0. = HpR = HpR
p
p i−dim(R/p) (Mp ) = 0, tøc lµ p ∈ PsuppiR M. V× thÕ   Var AnnR (Hmi (M )) ⊆ PsuppiR M.   (ii)⇒(i). Gi¶ sö Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR M. Cho p lµ i®ªan Do ®ã HpRp nguyªn tè chøa AnnR (Hmi (M )). Khi ®ã p ∈ PsuppiR M , tøc lµ ta cã i−dim(R/p)  R),  nªn tån t¹i mét HpRp (Mp ) = 0. V× dim(R/p) = dim(R/p  R)©no    i®ªan  p ∈ Ass(R/p cho dim(R/ p) = dim(R/p). Suy ra  p∩R = p  Chó ý r»ng ¸nh x¹ c¶m vµ  p lµ mét i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña pR. p lµ ph¼ng hoµn toµn. V× thÕ theo §Þnh lÝ chuyÓn c¬ së ta sinh Rp −→ R cã   i−dim(R/ p) HpR
p i−dim(R/p) p ) ∼ p = 0. (M (Mp ) ⊗ R = HpRp 19   ) = Var Ann  (H i (M )) . Chó ý r»ng H i (M) xÐt Do ®ã  p ∈ PsuppiR (M m m R  nh− R-m«®un Artin lµ bo hoµ nguyªn tè. V× thÕ Ann  (0 :H i (M )  p) =  p. R m Do ®ã ta cã p ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ⊆ AnnR (0 :Hmi (M )  p) ∩ R =  p ∩ R = p. Suy ra AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p. VËy Hmi (M ) bo hoµ nguyªn tè. Cuèi cïng, gi¶ sö (i) vµ (ii) tho¶ mn. Theo (ii) ta cã psdi M = dim(R/ AnnR Hmi (M )). V× thÕ ta cã    Ann  (H i (M )) = psdi (M ). psdi (M ) = N-dimR (Hmi (M)) = dim R/ m R §Æt N-dimR (Hmi (M)) = s. Cho p ∈ PsuppiR M sao cho dim(R/p) = s.   Khi ®ã p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) theo (ii). B»ng c¸c lËp luËn nh− trong   ) chøng minh (i)⇒(ii), tån t¹i  p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR (M   sao cho  p ∩ R = p vµ dim(R/ p) = dim(R/p) = s.  sao cho dim(R/   Ng−îc l¹i, cho  p ∈ PsuppiR (M) p) = s. Khi ®ã    p ∩ R. Khi ®ã theo gi¶ thiÕt (ii) ta p ∈ Var AnnR (Hmi (M)) . §Æt p =    cã p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR M . H¬n n÷a,    R)  = dim(R/p)
s. s = dim(R/ p)
dim(R/p Suy ra dim(R/p) = s. 2.1.2. HÖ qu¶. NÕu R/ AnnR M lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña nã lµ Cohen-Macaulay th× Hmi (M ) b.o hoµ nguyªn tè víi mäi i
d. Chøng minh. V× R/ AnnR M lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña nã lµ Cohen-Macaulay nªn theo [BS1, Proposition 2.5] ta cã   Var AnnR (Hmi (M)) = Psuppi M víi mäi i
d. Theo §Þnh lÝ 2.1.1, Hmi (M) bo hoµ nguyªn tè víi mäi i
d. 20 Trong [BS1], Brodmann vµ Sharp ® chøng minh r»ng nÕu R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña nã lµ Cohen-Macaulay th× mäi tËp gi¶ gi¸ cña M lµ ®ãng. Còng víi gi¶ thiÕt nµy, hä thiÕt lËp ®−îc c«ng thøc béi liªn kÕt cña Hmi (M ). Dïng §Þnh lÝ 2.1.1 kÕt hîp víi lËp luËn t−¬ng tù nh− trong chøng minh §Þnh lÝ 2.4 cña [BS1], ta cã thÓ më réng kÕt qu¶ nµy nh− sau. 2.1.3. HÖ qu¶. Cho i ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. Cho N-dimR (Hmi (M )) = s. ) : dim(R/   p ∈ Psuppi (M p) = Víi mçi p ∈ PsuppiR M , ®Æt T (p) = { R dim(R/p),  p ∩ R = p}. Gi¶ thiÕt r»ng Hmi (M ) b.o hoµ nguyªn tè. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng (i) PsuppiR M lµ ®ãng. (ii) NÕu p ∈ PsuppiR M víi dim(R/p) = s th× tËp T (p) = ∅, ®é dµi  i−dim(R/p)  ℓRp HpRp (Mp ) kh¸c 0 vµ h÷u h¹n, h¬n n÷a víi mäi  p ∈ T (p) ta  i−dim(R/  i−dim(R/p)    p)   p/pR p ). cã ℓR
p HpR (Mp ) = ℓRp HpRp (Mp) ℓR
p (R
p (iii) Cho q lµ m-nguyªn s¬. Gi¶ sö Hmi (M ) = 0. Khi ®ã sè béi e′ (q, Hmi (M )) cña Hmi (M) øng víi q tho¶ m.n c«ng thøc liªn kÕt sau   i−dim(R/p)  ′ i e (q, Hm (M)) = ℓRp HpRp (Mp ) e(q, R/p). p∈PsuppiR (M ) dim(R/p)=psdi (M ) Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh (i) suy ra tõ §Þnh lÝ 2.1.1. Kh¼ng ®Þnh (ii) suy ra tõ §Þnh lÝ 2.1.1 vµ b»ng c¸c lËp luËn t−¬ng tù nh− chøng minh [BS1, Theorem 2.4,(i)]. ) : dim(R/   (iii) T (p) = { p ∈ PsuppiR (M p) = s} theo §Þnh p∈PsuppiR M dim(R/p)=s p ∈ lÝ 2.1.1. NÕu p ∈ PsuppiR M víi dim(R/p) = s th× T (p) = {  R)  : dim(R/   Ass(R/p p) = s}. V× thÕ theo (ii) vµ [BS1, Theorem 2.4,(iii)]