Tài liệu Một số bài toán tổng hợp về hàm số

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC ---------------L– THÀ MINH ANH MËT SÈ B€I TON TÊNG HÑP V— H€M SÉ Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng Ph¡p To¡n Sì C§p M¢ sè: 60.46.01.13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS.NGUY™N MINH KHOA Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 n«m 2014 Möc löc Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 H m sè li¶n töc v  kh£ vi 1.1 1.2 1.3 Giîi h¤n cõa h m sè mët bi¸n sè . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1.1.1 C¡c ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n . . . . . . . . . . . . . 5 Sü li¶n töc cõa h m mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 C¡c ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m li¶n töc tr¶n o¤n . . . . . . 7 C¡c ành lþ v· h m kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 ành lþ Fecmat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 ành lþ Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 ành lþ Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 ành lþ Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Mët sè b i to¡n têng hñp v· h m sè 2.1 2 11 2.3 B i to¡n têng hñp v· h m bªc hai tr¶n bªc nh§t ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . y= dx + e x2 − mx + 1 2.1.1 B i to¡n: Cho h m sè y = . . x−1 x2 − mx + 1 B i to¡n têng hñp y = (∗) . . . . x−1 B i to¡n têng hñp v· h m y = ax3 + bx2 + cx + d . . . . . 30 2.4 Mët sè · thi håc sinh giäi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 K¸t luªn T i li»u tham kh£o . . . . . 11 . . . . . 11 . . . . . 25 41 42 1 MÐ †U H m sè l  mët trong nhúng ph¦n cì b£n v  trång t¥m cõa ch÷ìng tr¼nh to¡n Trung håc phê thæng. Trong · thi ¤i håc, cao ¯ng v  c¡c ký thi Olympic luæn luæn câ c¡c b i tªp v· h m sè. Lþ thuy¸t v· h m sè li¶n töc v  kh£ vi ÷ñc sû döng r§t rëng r¢i trong c¡c b i tªp công nh÷ c¡c s¡ch vi¸t v· h m sè. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n l  tr¼nh b y mët sè ành lþ quan trång cõa h m kh£ vi, li¶n töc tø â ¡p döng gi£i mët sè b i tªp têng hñp v· h m sè. Luªn v«n tr¼nh b y v  gi£i b i to¡n têng hñp v· h m sè bªc hai tr¶n bªc nh§t çng thíi ÷a ra c¡c b i to¡n têng hñp v· h m sè bªc ba. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  c¡c ành lþ cì b£n v· giîi h¤n, sü li¶n töc cõa h m mët bi¸n, c¡c ành lþ v· h m kh£ vi. Ch÷ìng 2 gçm 2 ph¦n. Ph¦n 1 tr¼nh b y b i to¡n têng hñp v· h m sè bªc hai tr¶n bªc nh¥t vîi líi gi£i chi ti¸t. Ph¦n 2 tr¼nh b y c¡c b i to¡n têng hñp h m bªc 3. Qua ¥y, tæi xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi ng÷íi Th¦y, ng÷íi h÷îng d¨n luªn v«n cao håc cõa m¼nh, TS. Nguy¹n Minh Khoa - tr÷íng ¤i håc i»n Lüc. Th¦y ¢ d nh nhi·u thíi gian v  t¥m huy¸t º h÷îng d¨n v  gi£i quy¸t nhúng th­c m­c cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh tæi l m luªn v«n. Tæi công xin b y tä líi c£m ìn ch¥n th nh tîi c¡c Th¦y Cæ trong hëi çng ch§m luªn v«n th¤c s¾, c¡c Th¦y Cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc To¡n K6B, gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p ¢ t¤o nhúng i·u ki»n thuªn lñi nh§t º tæi câ thº ho n thi»n khâa håc công nh÷ luªn v«n cõa m¼nh. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 n«m 2014. Håc vi¶n L¶ Thà Minh Anh 2 Ch÷ìng 1 H m sè li¶n töc v  kh£ vi 1.1 Giîi h¤n cõa h m sè mët bi¸n sè 1.1.1 C¡c ành ngh¾a ành ngh¾a 1.1. Sè A ÷ñc gåi l  giîi h¤n cõa h m sè y = f (x) khi x → x0 n¸u h m sè y = f (x) x¡c ành trong mët l¥n cªn cõa x0 (câ thº khæng x¡c ành t¤i x0 ): ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − A| < ε. V½ dö 1.1. Chùng minh r¬ng x→1 lim (2x + 3) = 5. Chùng minh. Ta câ |(2x + 3) − 5| < ε ⇔ 2|x − 1| < ε ⇔ |x − 1| < 2ε ε ⇒ ∀x : |x − 1| < δ ⇒ |(2x + 3) − 5| < ε. 2 Do â theo ành ngh¾a ta câ lim (2x + 3) = 5. Vªy ∀ε > 0, ∃δ(ε) = x→1 ành ngh¾a 1.2. H m y = f (x) x¡c ành trong mët l¥n cªn cõa x0 (câ thº khæng x¡c ành t¤i x0 ) gåi l  câ giîi h¤n A khi x → x0 n¸u èi vîi måi d¢y xn , xn 6= x0 hëi tö ¸n x0 th¼ d¢y c¡c gi¡ trà cõa h m t÷ìng ùng f (x1 ); f (x2 ); f (x3 )...; f (xn )... hëi tö ¸n A. 1 V½ dö 1.2. Chùng minh r¬ng x→0 lim x.sin = 0. x Chùng minh. Ta nhªn th§y h m f (x) = x.sin x1 khæng x¡c ành t¤i x0 = 0 nh÷ng x¡c ành t¤i l¥n cªn x0 = 0. L§y d¢y xn b§t k¼ trong kho£ng ( 3 −π π ; ) 4 4 sao cho lim xn = 0. Ta câ: n→∞ 1 0 ≤ |f (xn )| = |xn .sin | ≤ |xn |. xn V¼ lim xn = 0 → lim |xn | = 0 ⇒ lim f (xn ) = 0. n→∞ n→∞ n→∞ 1 Vªy theo ành ngh¾a 2 ta câ: lim x.sin = 0. x→0 x 1 . V½ dö 1.3. Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i x→1 lim sin x−1 1 2 Chùng minh. Ta l§y hai d¢y xn = 1 + nπ ;x n = 1 + . (4n + 1)π Ta câ lim xn = 1; lim x n = 1. D¢y c¡c gi¡ trà t÷ìng ùng cõa h m l  n→∞ n→∞ 1 = sinnπ = 0, f (xn ) = sin 1 1+ −1 nπ π 1 = sin( + 2nπ) = 1. f (x n ) = sin 2 2 1+ (4n + 1)π ⇒ lim f (xn ) = 0; lim f (x  n ) = 1. n→∞ n→∞ 1 Vªy theo ành ngh¾a 2, khæng tçn t¤i lim sin . x→1 x−1 Nhªn x²t 1.1. ành ngh¾a 1 v  ành ngh¾a 2 l  t÷ìng ÷ìng. ành ngh¾a 1.3. H m sè y = f (xn) x¡c ành l¥n cªn b¶n ph£i x0. Sè A ÷ñc gåi l  giîi h¤n b¶n ph£i cõa h m sè khi x → x0 . Kþ hi»u A = lim x→(x0 +0) f (x) = f (x0 + 0) n¸u ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0,∀x : 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − A| < ε. ành ngh¾a 1.4. H m y = f (x) x¡c ành t¤i l¥n cªn b¶n tr¡i x0 (câ thº khæng x¡c ành t¤i x0 ). Sè A gåi l  giîi h¤n tr¡i cõa h m f (x) khi x → x0 , kþ hi»u A = lim x→(x0 −0) f (x) = f (x0 − 0) n¸u ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − A| < ε. 4 V½ dö 1.4. T¼m giîi1 h¤n mët ph½a cõa h m sè: f (x) = 2014 + 1 1 + 5x − 1 , x → 1. Gi£i. Ta câ: 1 −1 x → +∞ khi x → 1 − 0. Do â 1 1 1 + 5x − 1 → 0. Vªyf (1 − 0) = 2014 khi x → 1 + 0. Ta câ 1 1 → −∞, do â 5 x − 1 → 0. Vªy f (1 + 0) = 2015. 1−x 1.1.2 C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n T½nh ch§t 1.1. N¸u x→x lim f (x) = A, A l  mët sè húu h¤n khi â h m f (x) l  bà ch°n trong mët l¥n cªn n o â V (x0), tùc l  ∃ mët sè M > 0 sao cho: |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ V (x0), x 6= x0. Chùng minh. i·u ki»n cõa ành lþ £m b£o tçn t¤i mët l¥n cªn V (x0) sao 0 cho: 1 > |f (x) − A| ≥ |f (x)| − |A|. ⇒ |f (x)| < 1 + |A| vªy 1 + |A| âng vai trá cõa M. T½nh ch§t 1 ÷ñc chùng minh. T½nh ch§t 1.2. N¸u x→x lim f (x) = A, A 6= 0 l  sè húu h¤n, khi â câ mët 0 l¥n cªn V (x0) º sao cho |f (x)| > |A| , ∀x ∈ V (x0 ), x 6= x0 . 2 T½nh ch§t 1.3. N¸u x→x lim f1 (x) = A1 , lim f2 (x) = A2 v  câ mët l¥n cªn x→x 0 th¼ A1 ≤ A2. 0 V (x0 ) : f1 (x) ≤ f2 (x), ∀x ∈ V (x0 ), x 6= x0 T½nh ch§t 1.4. N¸u x→x lim f1 (x) = A, lim f2 (x) = A v  f1 (x) ≤ ϕ(x) ≤ x→x th¼ x→x lim ϕ(x) = A. 0 f2 (x), ∀x ∈ V (x0 ), x 6= x0 0 0 T½nh ch§t 1.5. (Ti¶u chu©n Cauchy) C¦n v  õ º ∃ x→x lim f (x) húu h¤n l  h m y = f (x) x¡c ành ð mët l¥n cªn cõa x0 (câ thº trø ra x0) v  ∀ε > 0 ∃ l¥n cªn V (x0 ) sao cho: |f (x0 ) − f (x”)| < ε, ∀x0 , x” ∈ V (x0 ); x0 , x” 6= x0 . 0 5 T½nh ch§t 1.6. Cho x→x lim f (x) x→x0 â: x→x lim [f (x) ± g(x)] = A ± B; lim [f (x).g(x)] = A.B x→x 0 húu h¤n.Khi v  n¸u B 6= 0 th¼ = A, lim g(x) = B; A, B 0 0 f (x) A lim = . x→x0 g(x) B sinx V½ dö 1.5. Chùng minh r¬ng x→0 lim = 1. x Chùng minh. H m f (x) = sinx khæng x¡c ành t¤i iºm x0 = 0 nh÷ng x π x¡c ành t¤i l¥n cªn cõa nâ ch¯ng h¤n V (x0 ) = x : 0 < |x| < . 2 π Tr÷íng hñp 1: 0 < x < , tø h¼nh v³ ta câ: S4AOM < SquatAOM < S4AOT 2 1 1 d < 1 .OA.AT (1.1) ⇔ OA.M H < .OAAM 2 2 2 d < AT ⇔ sinx < x < tanx ⇔ 1 < sinx < 1 . ⇔ M H < AM x cosx −π π Tr÷íng hñp 2: < x < 0, °t x = −t ⇒ 0 < t < . 2 2 sin(−t) sint π V¼ cosx = cos(−t) = cost; sinx = = v  do 0 < t < n¶n x −t t 2 −π (1.1) v¨n óng khi < x < 0. 2 1 sinx Do lim = 1 ⇒ lim = 1. x→0 cosx x→0 x 6 1.2 Sü li¶n töc cõa h m mët bi¸n 1.2.1 C¡c ành ngh¾a ành ngh¾a 1.5. H m f(x) ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i iºm x0 n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n: i) f(x) x¡c ành t¤i x0 v  l¥n cªn. ii) lim = f (x0 ). iºm x0 khi â gåi l  iºm li¶n töc cõa y = f(x). x→x0 ành ngh¾a 1.6. H m f(x) ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¡i (ho°c ph£i) t¤i iºm x0 n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n sau: i) f(x) x¡c ành t¤i x0 v  l¥n cªn tr¡i ho°c ph£i cõa iºm x0 . ii) f (x0 − 0) = f (x0 ) ho°c f (x0 + 0) = f (x0 ). ành ngh¾a 1.7. H m f(x) ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] n¸u nâ li¶n töc t¤i ∀x ∈ (a, b) v  li¶n töc ph£i t¤i x = a, li¶n töc tr¡i t¤i x = b. 1.2.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m li¶n töc tr¶n o¤n T½nh ch§t 1.7. Cho f(x) l  h m sè li¶n töc tr¶n [a,b] v  f (a).f (b) < 0. Khi â ∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0. Chùng minh. Khæng gi£m t½nh têng qu¡t ta gi£ thi¸t f(a) < 0; f(b) > 0. °t α0 = a, β0 = b ⇔ f (α0 ) < 0; f (β0 ) > 0. α0 + β0 °t u0 = , n¸u f (u0 ) = 0 th¼ c = u0 , n¸u f (u0 < 0) th¼ °t 2 α1 = u0 , β1 = β0 cán n¸u f (u0 > 0) th¼ °t α1 = α0 , β1 = u0 . Ta l¤i x²t [α1 , β1 ] v  câ f (α1 ).f (β1 ) < 0. α1 + β1 v  qu¡ tr¼nh ti¸p di¹n vîi thuªt to¡n l°p l¤i.Nh÷ Ti¸p töc °t u1 = 2 αn + βn vªy ta s³ nhªn ÷ñc [αn , β(n)], un = . 2 N¸u f (un ) = 0 th¼ c = un v  c ch¿ l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0. N¸u f (un ) < 0 th¼ ta °t αn+1 = un , βn+1 = βn ; cán n¸u f (un > 0) th¼ °t αn+1 = αn , βn+1 = un . 7 Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y ra væ h¤n ta nhªn ÷ñc 2 d¢y sè αn , βn còng hëi tö v  câ chung giîi h¤n l  c. Tø ¥y ta nhªn ÷ñc f(c) = 0 v  câ i·u ph£i chùng minh. T½nh ch§t 1.8. (Weierstrass 1) N¸u h m sè f(x) li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] th¼ nâ s³ bà ch°n tr¶n o¤n §y. T½nh ch§t 1.9. ( Weierstrass 2) N¸u h m sè f (x) li¶n töc tr¶n o¤n [a,b] th¼ nâ ¤t gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t tr¶n o¤n §y. T½nh ch§t 1.10. N¸u h m sè f(x) li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] v  µ ∈ [m, M ] m = min f (x), M = maxf (x) th¼ ∃ξ ∈ (a, b) : f (ξ) = µ. 1.3 C¡c ành lþ v· h m kh£ vi 1.3.1 ành lþ Fecmat ành lþ 1.1. Gi£ sû h m y = f (x) x¡c ành trong kho£ng (a, b). N¸u f (x) ¤t cüc trà t¤i mët iºm c ∈ (a, b) v  n¸u t¤i c tçn t¤i ¤o h m húu h¤n f 0 (c) th¼ f 0 (c) = 0. 1.3.2 ành lþ Rolle ành lþ 1.2. Cho h m sè y = f (x) x¡c ành li¶n töc tr¶n o¤n [a; b] v  kh£ vi trong kho£ng (a;b) gi£ sû f (a) = f (b) khi â tçn t¤i c ∈ (a; b) sao cho f 0(c) = 0. Chùng minh. Theo t½nh ch§t cõa h m li¶n töc ⇒ ∃M = max f (x), m = minf (x). Khi â câ hai kh£ n«ng x£y ra: ho°c c£ 2 gi¡ trà M, m ¤t t¤i 2 mót a,b tùc l : f (a) = f (b) = m = M ⇒ f (x) = C(const), ∀x ∈ (a; b). ⇒ f 0 (n) = 0, ∀x ∈ (a; b) ⇒ f 0 (x) = 0, ∀x ∈ (a; b) ho°c câ mët gi¡ trà ¤t t¤i c ∈ (a; b) v  theo ành lþ Fecmat ta câ f 0 (c) = 0. V½ dö 1.6. Cho f (x) = (x − 1)(x − 2)...(x − 2014). Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh f 0(x) = 0 câ óng 2013 nghi»m. 8 Chùng minh. Ta câ f1 = f2 = ... = f2014. p döng ành lþ Rolle cho c¡c o¤n [1; 2]; [2; 3]; ...; [2013; 2014] ⇒ ∃c1 ∈ [1; 2]; c2 ∈ [2; 3]; ...; c2013 ∈ [2013; 2014] sao cho f 0 (c1 ) = 0, f 0 (c2 ) = 0, ..., f 0 (c2013 ) = 0. Ta l¤i câ do f(x) l  a thùc bªc 2014 ⇒ f 0 (x) l  a thùc bªc 2013. ⇒ f 0 (x) = 0 câ óng 2013 nghi»m C1 ; C2 ; C3 ; ...; C2013 . V½ dö 1.7. Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh f (x) = x2 − xsinx − cosx = 0.     −Π Gi£i. V¼ f 2 > 0, f (0) < 0, f Π2 > 0 do â theo t½nh ch§t cõa h m li¶n töc f(x) = 0 câ ½t nh§t 2 nghi»m. N¸u f(x) = 0 câ væ sè nghi»m lîn hìn ho°c b¬ng 3 th¼ theo ành lþ Rolle f , (x) = 0 câ ½t nh§t 2 nghi»m nh÷ng v¼ f , (x) = 2x − sinx − xcosx + sinx = x(2 − cosx) = 0 ch¿ câ 1 nghi»m x = 0. Do â f(x) = 0 ch¿ câ óng hai nghi»m. 1.3.3 ành lþ Lagrange ành lþ 1.3. Cho h m sè y = f (x) x¡c ành, li¶n töc tr¶n [a, b] v  kh£ vi trong (a, b), khi â tçn t¤i ½t nh§t mët iºm c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) . f 0 (c) = b−a − f (a) Chùng minh. X²t h m bê trñ h(x) = f (x) − f (a) − (x − a) f (b)b − a ∀x ∈ [a, b]. Th§y r¬ng h m h(x) thäa m¢n ành lþ Rolle n¶n ∃c ∈ (a, b): h0 (c) = 0. f (b) − f (a) f (b) − f (a) ⇒ h0 (c) = f 0 (c) − = 0 → V¼ h0 (x) = f 0 (x) − b−a b−a f (b) − f (a) f 0 (c) = , c ∈ (a, b). b−a V½ dö 1.8. Cho 0 < b < a, chùng minh: a −a b < ln ab < a −b b . Chùng minh. X²t h m sè f (x) = lnx tr¶n[a, b]: f(x) li¶n töc tr¶n o¤n [b, a], f 0 (x) = 1, ∀x ∈ (b, a). Khi â theo ành lþ Lagrange ∃c ∈ (b, a) sao 9 f (a) − f (b) 1 lna − lnb ⇔ = . a−b c a−b 1 1 1 M°t kh¡c v¼ 0 < b < c < a → < < a c b a ln 1 b < 1 ⇒ a − b < ln a < a − b . ⇒ < a a−b b a b b cho f 0 (c) = Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ành lþ Lagrange: Tr¶n ÷íng cong y = f (x) nèi 2 iºm [a, f (a)] , [b, f (b)] câ ½t nh§t 1 iºm m  ti¸p tuy¸n t¤i â song song vîi d¥y cung nèi hai iºm â. 1.3.4 ành lþ Cauchy ành lþ 1.4. Cho c¡c h m sè y = f (x), y = g(x) x¡c ành li¶n töc tr¶n [b, a]. Gi£ sû f(x), g(x) kh£ vi 0trong (a, b) v  g0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b). Khi f (a) f (c) = 0 . â ∃c ∈ (a, b) : f (b)b − −a g (c) Chùng minh. V¼ g(x) thäa m¢n ành lþ Lagrange n¶n ∃c0 ∈ (a, b) sao cho g(b) − g(a) = g 0 (c0 )(b − a). V¼ g 0 (c0 ) 6= 0 n¶n ta câ g(a) 6= g(b). f (b) − f (a) [g(x) − g(a)]. X²t h m bê trñ: h(x) = f (x) − f (a) − g(b) − g(a) h(x) thäa ành lþ Rolle tr¶n [a; b] ⇒ ∃c ∈ (a, b) : h0 (c) = 0. f (b) − f (a) 0 .g (c) = 0 ⇔ f 0 (c) − g(b) − g(a) f 0 (c) f (b) − f (a) ⇒ 0 . = g (c) g(b) − g(a) 10 Ch÷ìng 2 Mët sè b i to¡n têng hñp v· h m sè 2.1 B i to¡n têng hñp v· h m bªc hai tr¶n bªc nh§t 2 y= ax + bx + c dx + e 2.1.1 B i to¡n: Cho h m sè y = x 2 − mx + 1 x−1 . X²t khi m = 1 x2 − x + 1 1 y= =x+ . x−1 x−1 Kh£o s¡t v  v³ ç thà h m sè (**). C¥u 1. Gi£i. Mi·n x¡c ành ∀x 6= 1. Chi·u bi¸n thi¶n : x2 − x + 1 = ∞. x→1  x − 1  x2 − x + 1 1 Ti»m cªn xi¶n: y = x v¼ lim − x = lim =0 x→∞ x − 1 x→1 x−1 x2 − 2x y, = = 0 ⇔ x = 0, x = 2. (x − 1)2 Ti»m c¥n ùng x = 1 v¼ lim 11 (∗∗) B£ng bi¸n thi¶n V³ ç thà: Giao Ox : y = 0 → x2 − x + 1 = 0 væ nghi»m → ç thà (**) khæng c­t Ox. Giao Oy: x = 0 → y = −1 → ç thà (**) giao Oy t¤i ( 0,-1). C¥u 2. Chùng minh giao cõa hai ti»m cªn l  t¥m èi xùng cõa ç thà (**). Gi£i. Giao cõa hai ( ti»m cªn l  I(1, 1), ta tành ti¸n Oxy → IXY theo cæng thùc êi tåa ë x=X +1 y =Y +1 . 1 1 ⇔Y =X+ . X +1−1 X ¥y l  h m l´ n¶n ç thà nhªn gèc tåa ë I l m t¥m èi xùng. i·u n y Thay v o (**) ta câ: Y + 1 = X + 1 + câ ngh¾a l  trong h» tåa ë Oxy ç thà (**) nhªn giao cõa hai ti»m cªn I(1,1) l m t¥m èi xùng. 12 C¥u 3. T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm câ tåa ë nguy¶n. Gi£i. Khi x nguy¶n º y nguy¶n ta ph£i câ x −1 1 nguy¶n. " ⇒ x − 1 = ±1 ⇒ x1 = 1, y1 = −1 x2 = 2, y2 = 3. Vªy ÷íng th¯ng (*) câ M1 (0, −1); M2 (2, 3) l  2 iºm câ tåa ë nguy¶n. C¥u 4. T¼m tr¶n ÷íng trán x2 + y2 = 1 nhúng iºm câ tåa ë nguy¶n cõa ç thà (**). Gi£i. Ta t¼m ÷ñc 2 iºm câ tåa ë nguy¶n M1(0, −1) thäa ph÷ìng tr¼nh x2 + y 2 = 1. Vªy M1 (0, −1) l  iºm ph£i t¼m. C¥u 5. Chùng tä tr¶n ç thà (**) khæng câ iºm n o c¡ch ·u Ox, Oy. Gi£i. Nhúng iºm c¡ch ·u Ox, Oy thuëc mët trong hai ÷íng ph¥n gi¡c y = x; y = -x. + Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao cõa ç thà (**) vîi y = -x : x2 − x + 1 = −x ⇔ 2x2 − 2x + 1 = 0 væ nghi»m ⇒ ç thà (**) khæng c­t x−1 y = -x. + y = x l  ti»m cªn xi¶n ⇒ ç thà (**) khæng c­t y = x. Vªy tr¶n ç thà (**) khæng câ iºm n o c¡ch ·u Ox, Oy. Nhªn x²t: Câ thº gi£i b¬ng c¡ch dòng kho£ng c¡ch. C¥u 6. T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm câ kho£ng c¡ch ¸n Ox g§p hai l¦n kho£ng c¡ch ¸n Oy. Gi£i. V¼ M (x, y) ∈ Oxy n¶n ta câ kho£ng c¡ch (M, Ox) = |y|, kho£ng c¡ch (M, Oy)= |x|. Nhúng iºm câ kho£ng c¡ch ¸n Ox g§p hai l¦n kho£ng c¡ch ¸n Oy: |y| = 2|x| ⇒ y = ± 2x x2 − x + 1 = −2x ⇔ 3x2 − 3x + 1 = 0 væ + X²t ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao: x−1 nghi»m ⇒ ç thà (**) khæng c­t ÷íng th¯ng y = -2x. x2 − x + 1 + X²t ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao : = 2x ⇔ x2 − x − 1 = 0 x−1 √ 1± 5 ⇒x= . 2 √ 1± 5 thäa m¢n y¶u Vªy nhúng iºm tr¶n ç thà (**) câ ho nh ë x = 2 c¦u cõa b i to¡n. 13 C¥u 7. Chùng minh tr¶n ç thà (**) câ bèn iºm c¡ch gèc tåa ë O(0, 0) mët kho£ng d = 2014. Gi£i. iºm pcüc ¤i D(2, 3)√⇒ kho£ng c¡ch tø O(0, 0) ¸n iºm cüc ¤i: d1 = OD = 2) = (x2D + yD 13. iºm cüc tiºu T(0, 1)⇒ kho£ng c¡ch tø O(0,0) ¸n iºm cüc tiºu: d2 = OT = 1. Vªy d = 2014 ⇒ d > d1 ; d > d2 ⇒ ÷íng trán t¥m O(0, 0) b¡n k½nh R = 2014 c­t ç thà (**) t¤i 4 iºm tùc l  tr¶n ç thà (**) câ 4 iºm c¡ch ·u O(0, 0) mët kho£ng d = 2014. C¥u 8. T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm câ têng kho£ng c¡ch ¸n hai ti»m cªn l  nhä nh§t. Gi£i. Gi£ sû M (x0, y0) thuëc ç thà (**). Khi â kho£ng c¡ch tø M ¸n ti»m cªn ùng x = 1 l  d1 = |x0 − 1|. Kho£ng c¡ch tø M ¸n ti»m cªn xi¶n x - y = 0 l  1 1 1 1 |1.x0 + (−1)y0 | = √ .|x0 − (x0 + )| = √ . . d2 = p x0 − 1 2 2 |x0 − 1| 12 + (−1)2 1 Vªy d1 + d2 = |x0 − 1| + √ . 1 2. |x0 − 1| p döng b§t s¯ng thùc Cauchy ta câ: 1 1 2 d1 + d2 ≥ 2 |x0 − 1|. √ . =√ . 4 2 |x0 − 1| 2 1 ¯ng thùc x£y ra khi |x0 − 1| = √ 2.|x0 − 1| 1 1 . ⇔ (x0 − 1)2 = √ ⇒ x0 = 1 ± √ 4 2 2 2 Vªy d1 + d2 nhä nh§t b¬ng √ , nhúng iºm M (x0 , y0 ) thuëc ç thà (**) 4 2 1 câ ho nh ë x0 = 1 + √ thäa y¶u c¦u b i to¡n. 4 2 T¼m tr¶nhai nh¡nh ç thà (**) hai iºm M, N sao cho MN min. 1 Gi£ sû M 1 + α, 1 + α + (α > 0) thuëc nh¡nh b¶n ph£i ti»m α   1 cªn ùng , N 1 − β, 1 − β − thuëc nh¡nh b¶n tr¡i ti»m cªn ùng cõa β ç thà (**). C¥u 9. Gi£i. 14 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ: r p 1 1 M N = (xM − xN )2 + (yM − yN )2 = (α + β)2 + (α + β + + )2 α β r r √ 1 2 2 1 ) ≥ 2 αβ. 2 + + 2 2 = (α + β). (1 + (1 + αβ αβ αβ s r r q √ 1 1 + 2 ≥ 2 2 2αβ. + 2 = 2 (2. 2 + 2) = 2 2αβ + αβ αβ 1 ⇔α=β=√ . 4 2 1 Vªy iºm M thuëc ç thà (**) câ ho nh ë xM = 1 + √ , iºm N thuëc 4 2 1 ç thà (**) câ ho nh ë xN = 1 − √ câ MN min. 4 2 C¥u 10. Chùng minh t½ch c¡c kho£ng c¡ch tø mët iºm b§t k¼ tr¶n ç thà (**) ¸n c¡c ti»m cªn l  mët h¬ng sè. Gi£i. Gi£ sû M (x0, y0) l  mët iºm b§t k¼ thuëc ç thà (**). Kho£ng c¡ch tø M ¸n ti»m cªn ùng l  d1 = |x0 − 1|. Kho£ng c¡ch tø M ¸n ti»m cªn xi¶n: x − y = 0 l  1 )| |x0 − (x0 + 1 1 |x0 − y0 | x0 − 1 √ = =√ . . d2 = √ 2 2 2 |x0 − 1| 1 Vªy d1 .d2 = √ ( const). Ta câ i·u ph£i chùng minh. 2 T¼m iºm M tr¶n ç thà (**) sao cho kho£ng c¡ch tø M ¸n giao C¥u 11. cõa hai ÷íng ti»m cªn l  nhä nh§t. Gi£i. Giao cõa hai ÷íng ti»m cªn I(1, 1). Gi£ sû M (x0, y0) thuëc ç thà (**) r 1 (x0 − 1)2 + (x0 − 1 + )2 x − 1 0 v s u u 1 1 t2 (2(x0 − 1)2 . = 2(x0 − 1)2 + + 2 ≥ +2 (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 1 ¯ng thùc x£y ra ⇔ 2(x0 − 1)2 = . (x0 − 1)2 1 1 ⇔ (x0 − 1)4 = ⇒ x0 = 1 ± √ . 4 2 2 ⇒IM = s p (x0 − 1)2 + (y0 − 1)2 = 15 1 1 √ Vªy iºm M câ ho nh ë x0 = 1 − √ ho°c x = 1 + thäa m¢n y¶u 0 4 4 2 2 c¦u b i to¡n. C¥u 12. Chùng minh tr¶n ç thà (**) câ væ sè c°p iºm m  ti¸p tuy¸n t¤i hai iºm cõa méi c°p l  song song. → Gi£i. Giao iºm cõa(2 ti»m cªn l  I(1, 1), tành ti¸n theo −OI , h» tröc Oxy ⇒ h» tröc IXY vîi x=X +1 y =Y +1 ⇒Y +1=X +1+ 1 1 ⇒Y =X+ . X +1−1 X (i) H m (i) l  h m l´ ⇒ ç thà (i) nhªn gèc tåa ë I l m t¥m èi xùng. Khi â vîi iºm M(X, Y) b§t k¼ thuëc ÷íng th¯ng (i) ⇒ M , (−X, −Y ) công thuëc ç thà (i). Tr¶n ç thà (i) câ væ sè c°p iºm M, M , . Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng chùng minh ti¸p tuy¸n t¤i M song song vîi ti¸p tuy¸n t¤i M , ⇔ chùng minh h» sè gâc cõa ti¸p tuy¸n t¤i M b¬ng h» sè gâc cõa ti¸p tuy¸n t¤i M , ⇔ chùng minh Y (−X) = Y , (X). 1 1 = Y , (−X). Thªt vªy ta câ: Y , (X) = 1 − 2 = 1 − X (−X)2 Chùng minh ti¸p tuy¸n t¤i måi iºm cõa ç thà (**) luæn câ h» C¥u 13. sè gâc nhä hìn 1. Gi£i. Ti¸p tuy¸n t¤i iºm câ ho nh ë x b§t k¼ cõa ç thà (**) câ h» sè 1 < 1. (x − 1)2 . Chùng minh ti¸p tuy¸n t¤i måi iºm cõa ç thà (**) luæn t¤o vîi gâc: k = y , (x) = 1 − C¥u 14 hai ti»m cªn mët tam gi¡c câ di»n t½ch khæng êi. Gi£i. Ti¸p tuy¸nt¤i iºm  câ ho nh ë  x0 b§t k¼ cõa ç thà (**): 1 1 = 1− (x − x0 ). y − x0 + (x0 − 1)2  x0 − 1  1 x0 ⇔y = 1− .x + . 1 (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 + x0 − 1   1 2x0 − 1 ⇔y = 1− .x + . 2 2 (x − 1) (x − 1) 0 0   1 2 1 .x + . ⇔y = 1− + (x0 − 1)2 x0 − 1 (x0 − 1)2 16 + Giao cõa hai ti»m cªn l  I(1,1).   2 + Ti¸p tuy¸n c­t ti»m cªn ùng x = 1 t¤i E 1, 1 + X0 − 1 2 ⇒ IE = . |x0 − 1| + Ti¸p tuy¸n c­t ti»m cªn xi¶n y = x t¤i F (2x0 − 1, 2x0 − 1) p p ⇒ IF = (2x0 − 2)2 + (2x0 − 2)2 = (8(x0 − 1)2 = 8|x0 − 1|. + Di»n t½ch tam gi¡c IDF: √ √ 1 2 1 2 .8|x0 − 1|. = 4 2 (const). S = .IE.IF. sin 450 = . 2 2 |x0 − 1| 2 T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm m  ti¸p tuy¸n t¤i â song song C¥u 15. vîi ÷íng th¯ng y = -2x + 1. Gi£i. Gi£ sû iºm tr¶n ç thà (**) câ ho nh ë x0 thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n ⇒ y , (x0 ) = −2 ⇔ 1 − 1 ⇒ x0 = 1 ± √ . 3 1 1 2 = −2 ⇔ (x − 1) = 0 (x0 − 1)2 3 1 Vªy nhúng iºm tr¶n ç thà (**) câ ho nh ë x0 = 1 ± √ thäa m¢n y¶u 3 c¦u cõa b i to¡n. C¥u 16. T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm m  ti¸p tuy¸n t¤i â vuæng gâc 1 vîi ÷íng th¯ng y = x + 2014. 2 Gi£ sû iºm tr¶n ç thà (**) câ ho nh ë x0 thäa m¢n y¶u c¦u b i 1 1 to¡n ⇒ y , (x0 ). = −1 ⇒ y , (x0 ) = −2 ⇔ x0 = 1 ± √ . 2 3 1 Vªy nhúng iºm tr¶n ç thà (**) câ ho nh ë x0 = 1 ± √ thäa m¢n y¶u 3 c¦u cõa b i to¡n. Gi£i. C¥u 17. T¼m tr¶n Ox nhúng iºm m  tø â k´ ÷ñc hai ti¸p tuy¸n vuæng gâc vîi nhau ¸n ç thà (**). Gi£i. Gi£ sû I(x0, 0) ∈ Ox thäa y¶u c¦u cõa b i to¡n. Ti¸p tuy¸n (x0 , 0) câ d¤ng y = k(x − x0 ). x2 − x − 1 Khi â ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao l : = kx − kx0 . x−1 ⇔ f (x) = (k − 1)x2 − (k − kx0 + 1)x + kx0 − 1 = 0 ph£i câ nghi»m k²p x 6= 1 ⇒ 4 = 0. ⇔ (k + kx0 − 1)2 − 4(k − 1)(kx0 − 1) = 0. 17 ⇔ (x0 + 1)2 k 2 − 2(x0 + 1)k + 1 − 4x0 k 2 + 4k + 4kx0 − 4 = 0. ⇔ (x0 − 1)2 k 2 + 2(x0 + 1)k − 3 = 0 (i). Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh (i) ph£i câ 2 nghi»m ph¥n bi»t k1 , k2 : √ −3 2 = −1 ⇔ (x − 1) = 3 ⇒ x = 1 ± 3. 0 0 (x0 − 1)2 √ Vªy nhúng iºm tr¶n Ox câ ho nh ë x0 = 1 ± 3 thäa y¶u c¦u cõa b i k1 .k2 = −1 ⇒ to¡n. C¥u 18. T¼m tr¶n Ox nhúng iºm m  tø â k´ ÷ñc ½t nh§t mët ti¸p tuy¸n ¸n ç thà (**). Gi£i. Gi£ sû I(x0, 0) ∈ Ox thäa y¶u c¦u cõa b i to¡n. Ti¸p tuy¸n t¤i (x0 , 0) câ d¤ng y = k(x − x0 ). x2 − x − 1 Khi â ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao l  : = kx − kx0 . x−1 ⇔ f (x) = (k − 1)x2 − (k − kx0 + 1)x + kx0 − 1 = 0 ph£i câ nghi»m k²p x 6= 1 ⇒ 4 = 0. ⇔ (k + kx0 − 1)2 − 4(k − 1)(kx0 − 1) = 0, ⇔ (x0 + 1)2 k 2 − 2(x0 + 1)k + 1 − 4x0 k 2 + 4k + 4kx0 − 4 = 0, ⇔ (x0 − 1)2 k 2 + 2(x0 + 1)k − 3 = 0 (i) . Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh (i) ph£i câ ½t nh§t 1 nghi»m k. 3 TH1: x0 = 1 ⇒ ∃ nghi»m k = . 4 TH2: x0 6= 1 y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng 4, ≥ 0. ⇔ (x0 + 1)2 + 3(x0 − 1)2 ≥ 0 óng ∀x0 6= 1. Vªy måi iºm tr¶n Ox ·u k´ ÷ñc ½t nh§t mët ti¸p tuy¸n ¸n ç thà (**). C¥u 19. Chùng minh ti¸p tuy¸n t¤i måi iºm cõa ç thà (**) khæng i qua giao cõa 2 ti»m cªn. Gi£i. Giao cõa 2 ti»m cªn l  I(1, 1). Ti¸p tuy¸n t¤i iºm câ ho nh ë x0 = 6 1 cõa ç thà(**) câ ph÷ìng tr¼nh  l : 1 1 = 1− [x − x0 ]. y − x0 + x0 − 1 (x0 − 1)2 N¸u ti¸p tuy¸n i qua I(1, 1) ta ph£i câ: 1 x0 − 1 1 1 2 1 − x0 − = 1 − x0 + ⇔ − = ⇔ = 0. x0 − 1 (x0 − 1)2 x0 − 1 x0 − 1 x0 − 1 i·u n y khæng x£y ra ∀x0 6= 1. Vªy khæng câ ti¸p tuy¸n n o cõa ç thà 18 (**) i qua I(1,1). C¥u 20. X²t ÷íng th¯ng (d) câ ph÷ìng tr¼nh: y = kx + k + 1. Vîi gi¡ trà n o cõa k th¼ ÷íng th¯ng (d) c­t ç thà (**) t¤i 2 iºm thuëc 2 nh¡nh. Gi£i. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao cõa ÷íng th¯ng (d) vîi ç thà (**): 2 x −x+1 = kx + k + 1 ⇔ f (x) = (k − 1)x2 + 2x − (k + 2) = 0 (ii). x−1 Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh (ii) câ 2 nghi»m: ( k 6= 1 x1 < 1 < x2 ⇒ i·u ki»n (k − 1)f (1) < 0 ( k 6= 1 ⇔ ⇔ k > 1. (k − 1)(−1) < 0 T¼m i·u ki»n º ÷íng th¯ng(d) (trong c¥u 20) c­t ç thà (**) C¥u 21. t¤i 2 iºm thuëc nh¡nh b¶n ph£i ti»m cªn ùng. Gi£i. Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng  ph÷ìng tr¼nh (ii) ph£i câ 2 nghi»m  k 6= 1    (k − 1)f (−1) > 0 sao cho 1 < x1 < x2 ⇒ i·u ki»n   S  1< 2      k 6= 1 k 6= 1     k<1   (k − 1)(−1) > 0 k < 1 ⇔ ⇔ ⇔ k    −2 <0 1      1< k−1 +1<0 2(k − 1) k+1 ⇔ 0 < k < 1. C¥u 22. T¼m i·u ki»n º ÷íng th¯ng (d) (trong c¥u 20) c­t ç thà (**) t¤i 2 iºm thuëc nh¡nh b¶n tr¡i ti»m cªn ùng. Gi£i. Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng  ph÷ìng tr¼nh (ii) ph£i câ 2 nghi»m  k 6= 1    (k − 1)f (1) > 0 sao cho x1 < x2 < 1 ⇒ i·u ki»n   S   <1 2     k 6= 1    k<1 k<1 (k − 1)(−1) > 0 ⇔ ⇔ ⇔ k < 0. ⇔ 1 k    + 1 > 0 −2 > 0   <1 k+1  k−1 2(k − 1) Vîi gi¡ trà n o cõa k th¼ ÷íng th¯ng (d) ti¸p xóc ç thà (**). C¥u 23. 19