ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
LÊ PHƢƠNG THẢO
MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
LÊ PHƢƠNG THẢO
MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI
THÁI NGUYÊN - 2019
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
L¶ Ph÷ìng Th£o
MËT SÈ BI TON SÈ HÅC
TRONG HNH HÅC PHNG
LUN VN THC S TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - 2019
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
L¶ Ph÷ìng Th£o
MËT SÈ BI TON SÈ HÅC
TRONG HNH HÅC PHNG
Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p
M¢ sè: 8460113
LUN VN THC S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:
PGS.TS NGUYN VIT HI
Th¡i Nguy¶n - 2019
i
Líi c£m ìn
º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc
sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ng
vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng
bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng
i·u th¦y ¢ d nh cho tæi.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y
cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11 (2018 - 2020) Tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤i
håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công
nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc.
Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng
ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt
qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n.
Xin tr¥n trång c£m ìn!
H£i Pháng, th¡ng ... n«m 20...
Ng÷íi vi¸t Luªn v«n
L¶ Ph÷ìng Th£o
ii
Danh möc h¼nh
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Tam gi¡c Pythagore: BC 2 = AB 2 + AC 2 . . . . . . .
Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a . . . . . . .
Tam gi¡c Heron theo sü t«ng d¦n cõa c¤nh lîn nh§t .
Tam gi¡c Pythagore cì b£n v c¡c b¡n k½nh r, ra , rb , rc
T½nh ch§t c¡c cevian . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 4
. 8
. 12
. 13
. 19
2.1 Hai nghi»m l tam gi¡c vuæng vîi m = 1 . . . . . . . . . . 27
2.2 Hai nghi»m l tam gi¡c tò vîi m = 2 . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Tam gi¡c c¤nh tü nhi¶n ngo¤i ti¸p ÷íng trán . . . . . . . . 31
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Tù gi¡c húu t . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tù gi¡c húu t cõa Brahmagupta . . . . . . .
ë d i 2 ÷íng ch²o, chu vi, di»n t½ch tù gi¡c .
Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron
Hai ÷íng ch²o AB, BC ∈ P . . . . . . . . . .
(IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
44
45
47
52
54
iii
Danh möc b£ng
1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n . . . . . . . . . 11
1.2 Hå tam gi¡c Heron phö thuëc λ, vîi 10 gi¡ trà λ . . . . . . 23
2.1 Ba c¤nh l c§p sè cëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 B i to¡n P 2 = nS vîi n = 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 B i to¡n P 2 = nS vîi n = 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
iv
Möc löc
Giîi thi»u luªn v«n
1 Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron
1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron
1.1.1 C¡c bë ba Pythagore . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron . . . . . . . . . . . . . .
1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vîi r, ra , rb , rc ∈ N . .
1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ . . . . . . . . .
2 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi h» thùc giúa S v P
2.1 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = m.P, m ∈ N . .
2.1.1 Thuªt to¡n Goehl v thuªt to¡n Markov
2.1.2 Hai tr÷íng hñp tham sè nguy¶n . . . .
2.2 Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi P 2 = nS, n ∈ N . .
2.2.1 Tr÷íng hñp n l sè nguy¶n tè . . . . . .
2.2.2 Tr÷íng hñp n l hñp sè . . . . . . . . .
2.2.3 Tr÷íng hñp ri¶ng: Tam gi¡c Pythagore .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
4
. 4
. 4
. 7
. 10
. 18
.
.
.
.
.
.
.
24
24
25
32
35
36
38
39
3 Mët sè v§n · li¶n quan
41
T i li»u tham kh£o
58
3.1 Tù gi¡c câ c¤nh v ÷íng ch²o húu t . . . . . . . . . . . . 41
3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta . . . . . . . . 45
3.3 Giîi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic . . . . . . . . . . . 50
1
Giîi thi»u luªn v«n
1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n
Nhi·u b i to¡n, kh¡i ni»m trong h¼nh håc li¶n quan ¸n sè håc. °c bi»t
câ nhúng b i to¡n ho n to n thuëc l¾nh vüc sè håc nh÷ bë ba Pythagore,
tam gi¡c Heron,... º gi£i quy¸t nhúng b i to¡n n y th÷íng ph£i gi£i
ph÷ìng tr¼nh Diophantine, ph÷ìng tr¼nh Pythagore, ph÷ìng tr¼nh Pell,...v
nhi·u ki¸n thùc s¥u v· sè nguy¶n tè nâi ri¶ng v sè håc nâi chung. · t i
n y tr¼nh b y nhi·u v§n · cõa sè håc ¡p döng v o h¼nh håc, mang l¤i
nhúng k¸t qu£ s¥u sc v· b i to¡n h¼nh håc gi£i b¬ng ki¸n thùc sè håc.
Möc ½ch cõa · t i l :
- Tr¼nh b y hai b i to¡n: t¼m c¡c tam gi¡c Pythagore, t¼m c¡c tam gi¡c
Heron trong tr÷íng hñp têng qu¡t. N¶u ra c¡c thuªt to¡n t¼m nghi»m cõa
c¡c b i to¡n °t ra. C¡c tr÷íng hñp ri¶ng x¡c ành tam gi¡c Heron: B i
to¡n HG t¼m tam gi¡c Heron vîi r, ra , rb , rc ∈ N, tam gi¡c câ c¡c c¤nh lªp
th nh c§p sè cëng, l÷îi nguy¶n c¡c tam gi¡c Heron,...
- Sû döng c¡c ki¸n thùc cõa sè håc nh÷: lþ thuy¸t chia h¸t, sü ph¥n t½ch
mët sè tü nhi¶n th nh c¡c sè nguy¶n tè, gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine,
c¡c lªp luªn sè håc nâi chung,... º nghi¶n cùu mët sè tr÷íng hñp ri¶ng
quan trång cõa b i to¡n t¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n thäa m¢n mët trong
ba i·u ki»n sau
S = mP ; P 2 = nS hay R/r = N ∈ N.
- N¶u ra c¡c b i to¡n li¶n quan v c¡ch gi£i quy¸t chóng: Tù gi¡c húu
t, tù gi¡c Brahmagupta; Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ð
tr÷íng THCS v THPT gâp ph¦n o t¤o håc sinh gi¡i mæn H¼nh håc.
2
2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t
Düa v o c¡c t i li»u [2], [3], [4], [6] luªn v«n tr¼nh b y mët sè b i
to¡n hay v· tam gi¡c nguy¶n v công l nhúng b i to¡n khâ hay g°p trong
c¡c ký thi håc sinh gi¡i To¡n trong n÷îc v quèc t¸. Nëi dung luªn v«n
chia l m 3 ch֓ng:
Ch÷ìng 1. Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron
B i to¡n t¼m bë ba Pythagore l b i to¡n sè håc quen thuëc, tuy
nhi¶n khæng thº khæng nhc l¤i c¡c k¸t qu£ ¢ câ trong nhi·u cæng tr¼nh.
Vi»c l m n y công coi l bê sung c¡c ki¸n thùc cì b£n ¦u ti¶n cõa b i
to¡n °t ra. B i to¡n t¼m tam gi¡c Heron d¨n tîi nhi·u tr÷íng hñp ri¶ng
thó và v k¸t thóc ð mët k¸t qu£ têng qu¡t: Hå c¡c tam gi¡c Heron phö
thuëc tham sè. Ch÷ìng n y bao gçm:
1.1. B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron
1.2. B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vîi r, ra , rb , rc ∈ N
1.3. Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ.
Ch÷ìng 2. Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi h» thùc giúa S v P
Nëi dung ch÷ìng n y · cªp ¸n hai b i to¡n v· t¼m tam gi¡c c¤nh
nguy¶n thäa m¢n i·u ki»n phö: T¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = mP
v t¼m tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi P 2 = nS . C¡c kÿ thuªt sè håc ÷ñc vªn
döng gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh Diophantine d¤ng °c bi»t d¨n tîi c¡c thuªt
to¡n gi£i b i to¡n b¬ng c¡c ph¦n m·m tin håc. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c
möc sau:
2.1. Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi S = mP, m ∈ N
2.2. Tam gi¡c c¤nh nguy¶n vîi P 2 = nS, n ∈ N.
Ch÷ìng 3. Mët sè v§n · li¶n quan
Ch÷ìng 3 x²t b i to¡n tam gi¡c nguy¶n mð rëng cho tù gi¡c húu t vîi
ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn t÷ìng tü 2 ch÷ìng 1 v 2. Ph²p düng tù gi¡c húu
3
t nëi ti¸p ÷íng trán (tù gi¡c Brahmagupta) ÷ñc gi£i quy¸t trån vµn. Ð
¥y công tr¼nh b y mët v i b i to¡n h¼nh håc câ nëi dung sè håc ¢ g°p
trong c¡c ký thi håc sinh gi¡i, thi Olympic c¡c n÷îc.
Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc chia th nh 3 ph¦n:
3.1. Tù gi¡c câ c¤nh v ÷íng ch²o húu t
3.2. X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta
3.3. Giîi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic.
4
Ch֓ng 1
Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c
Heron
1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c
Heron
1.1.1 C¡c bë ba Pythagore
Trong h¼nh håc câ mët ành lþ quan trång v quen thuëc: ành lþ
Pythagore. Nëi dung cõa ành lþ l "trong mët tam gi¡c vuæng b¼nh
ph÷ìng c¤nh huy·n b¬ng têng b¼nh ph÷ìng hai c¤nh gâc vuæng", h¼nh 1.1
V¼ vªy m ph÷ìng tr¼nh x2 + y 2 = z 2 vîi x, y, z l c¡c sè tü nhi¶n, ÷ñc
gåi l ph÷ìng tr¼nh Pythagore. v nghi»m tü nhi¶n (x, y, z) cõa ph÷ìng
H¼nh 1.1:
Tam gi¡c Pythagore: BC 2 = AB 2 + AC 2
5
tr¼nh n y gåi l bë ba Pythagore.
Trong sè håc, tªp hñp c¡c sè nguy¶n tè câ thº ÷ñc xem l mët bë gen
ho n ch¿nh dòng º x¥y düng to n bë c¡c sè tü nhi¶n. Gièng nh÷ méi
con ng÷íi câ nhúng °c iºm ri¶ng bi»t do chóng ta câ nhúng bë gen kh¡c
nhau, c¡c sè công vªy méi con sè kh¡c nhau sð húu mët bë gen kh¡c nhau.
V¼ 12 = 2.2.3 = 22 .3 ta câ thº nâi sè 12 câ hai gen sè 2 v mët gen sè 3,
trong khi â 90 = 2.3.3.5 = 2.32 .5 câ mët gen sè 2, hai gen sè 3 v mët
gen sè 5.
Mët c¡ch têng qu¡t, khi sè tü nhi¶n n ÷ñc ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n
tè nh÷ sau
n = pα1 1 · pα2 2 . . . pαk k
th¼ ta nâi n câ α1 gen p1 , α2 gen p2 , . . . , αk gen pk .
Ta nhc l¤i mët t½nh ch§t sè håc, câ thº °t t¶n l t½nh "t¡ch ÷ñc":n¸u
a.b = A2 (sè ch½nh ph÷ìng), a, b ∈ N th¼ a v b ph£i câ d¤ng a = u2 ·w, b =
v 2 .w vîi u, v, w ∈ N. Câ thº gi£i th½ch nh÷ sau: n¸u sè l÷ñng gen p trong
a l l´ th¼ sè l÷ñng gen p câ trong b công s³ l l´, v¼ vªy sè l÷ñng gen trong
a, b ph£i l sè ch®n. B¬ng c¡ch tªp hñp c¡c lo¤i gen l´ n y l¤i th nh sè w
th¼ ta s³ câ a = u2 w, b = v 2 w.
Gi£i ph÷ìng tr¼nh Pythagore x2 + y 2 = z 2 .
Ta câ x2 = z 2 − y 2 = (z − y)(z + y). Theo t½nh ch§t t¡ch
th¼ z + y = u2 w, z − y = v 2 w v x = uvw. Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
ch½nh l
x = uvw
u2 − v 2 w
y=
2 2
2
u
+
v w
z=
2
Ta c¦n chùng minh y, z ∈ N.
Thªt vªy, n¸u w = 2m + 1 th¼ z + y = u2 (2m + 1); z − y = v 2 (2m + 1).
Tø 2 ¯ng thùc suy ra 2z = u2 + v 2 (2m+1) v 2y = u2 − v 2 (2m+1).
Nh÷ vªy, u2 + v 2 v u2 − v 2 ·u ch®n, tùc y, z l c¡c sè tü nhi¶n. Cán
n¸u w ch®n th¼ hiºn nhi¶n y, z ∈ N. Tr÷íng hñp w ch®n ta °t w = 2s,
nghi¶m cõa ph÷ìng tr¼nh l x = 2uvs, y = u2 − v 2 s, z = u2 + v 2 s.
B֔c 1.
B֔c 2.
6
Khi u2 + v 2 v u2 − v 2 l c¡c sè ch®n th¼ ta °t u = v + 2k , suy ra
2
x
=
(v
+
2k)vw
=
v
+
2kv
w
y = 2kv + 2k 2 w
z = v 2 + 2kv + 2k 2 w
vi¸t l¤i th nh
x = (x + k)2 − k 2 w, y = 2(v + k)kw, z = (v + k)2 + k 2 w
Trong c£ hai tr÷íng hñp tr¶n ta câ nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh
Pythagore l :
x = c.(2ab)
y = c. a2 − b2 , a, b, c ∈ N, a > b
z = c. a2 + b2
Ph÷ìng tr¼nh Pythagore câ væ sè nghi»m phö thuëc 3 tham sè. Tuy
nhi¶n vîi n ≥ 3, Fermat kh¯ng ành r¬ng ph÷ìng tr¼nh xn + y n = z n
khæng câ nghi»m nguy¶n kh¡c 0.
Vîi c = 1 ta câ bë ba Pythagore x = 2ab, y = a2 − b2 , z = a2 + b2
do Euclide t¼m ra (kho£ng 300 n«m tr÷îc Cæng nguy¶n). Bë ba n y l
v½ dö v· mët bë ba Pythagore cì b£n (c¡c canh t÷ìng ùng cõa chóng l
a = 2mn, b = m2 − n2 , c = m2 + n2 trong â m, n l nguy¶n tè còng
nhau, ch¿ câ mæt sè l´). Ta câ c¡c t½nh ch§t sau cõa bë ba Pythagore cì
b£n (a, b, c) (xem trong [1]):
(i) Hai canh gâc vuæng m2 −n2 v 2mn, c¤nh 2mn gåi l c¤nh gâc vuæng
(c − a)(c − b)
ch®n; c = m2 + n2 l c¤nh huy·n.
l sè ch½nh ph÷ìng.
2
(ii) Trong 3 sè a, b, c câ nhi·u nh§t mët sè ch½nh ph÷ìng. Tçn t¤i væ sè
bë ba Pythagore cì b£n m c¤nh huy·n (ho°c c¤nh gâc vuæng) l ch½nh
ph÷ìng. Têng cõa c¤nh huy·n v c¤nh gâc vuæng ch®n cõa bë ba Pythagore
cì b£n luæn l sèch½nh ph÷ìng.
ab
(iii) Di»n t½ch S =
l sè tü nhi¶n ch®n. Trong hai sè a, b câ óng
2
mët sè l´; v c l sè l´.
(iv) Trong 3 sè a, b, c câ óng mët sè chia h¸t cho 5.
7
(v) Trong 4 sè a, b, a + b, b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 7; trong 4
sè a + c, b + c, c − a, c − b câ óng mët sè chia h¸t cho 8 (cho 9); trong 6
sè a, b, 2a + b, 2a − b, 2b + a, 2b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 11.
1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron
Câ mët sè c¡ch x¡c ành kh¡i ni»m "tam gi¡c Heron". Trong · t i n y
ta chån c¡ch x¡c ành sau:
ành ngh¾a 1.1. Tam gi¡c Heron l tam gi¡c m ë d i ba c¤nh a, b, c
v di»n t½ch S cõa nâ l c¡c sè tü nhi¶n.
Tam gi¡c Heron ÷ñc kþ hi»u bði chú HT. Kþ hi»u HT [x, y, z; S] ÷ñc
hiºu l tam gi¡c Heron c¤nh x, y, z , di»n t½ch S . HT [x, y, z; S] ÷ñc gåi
l cì b£n (hay nguy¶n thõy) n¸u (x, y, z) = 1. Trong khi t¼m c¡c tam gi¡c
Heron câ thº cho k¸t qu£ c¤nh v di»n t½ch l sè húu t, b¬ng c¡ch nh¥n
t§t c£ vîi bëi sè chung nhä nh§t cõa m¨u ta v¨n ÷ñc nghi»m tü nhi¶n.
T§t c¡c tam gi¡c Heron húu t, kþ hi»u l RT , ho n to n x¡c ành ÷ñc
tam gi¡c Heron (nguy¶n) v ng÷ñc l¤i. Vi»c t¼m c¡c cæng thùc cho tam gi¡c
Heron cì b£n b¬ng h¼nh håc thu¦n tóy g°p nhi·u khâ kh«n. Tuy nhi¶n
b¬ng c¡ch sû döng "lþ thuy¸t sè" ta khæng nhúng tr¡nh ÷ñc nhúng khâ
kh«n â m cán t¼m ÷ñc c¡c cæng thùc biºu di¹n ìn gi£n.
Tam gi¡c Heron ÷ñc °t theo t¶n cõa nh to¡n håc Hy L¤p "Heron of
Alexandria" v¼ nâ câ li¶n quan ¸n cæng thùc t½nh di»n t½ch
q
a+b+c
S = s(s − a)(s − b)(s − c), vîi s =
2
Vîi c¡ch x¡c ành nh÷ vªy ta ph¡t biºu v chùng minh mët sè t½nh ch§t
cõa tam gi¡c Heron, câ tham kh£o v h» thèng trong [3].
T½nh ch§t 1.1.1. B§t k¼ mët tam gi¡c n o câ ë d i ba c¤nh t¤o th nh
mët bë ba Pythagore ·u l mët HT [x, y, z; S].
Chùng minh. V¼ bë ba sè Pythagore l c¡c sè tü nhi¶n v di»n t½ch cõa nâ
b¬ng mët nûa t½ch hai c¤nh gâc vuæng, trong â 1 c¤nh gâc vuæng ph£i l
sè ch®n.
8
Mët v½ dö cho mët tam gi¡c Heron khæng ph£i l tam gi¡c vuæng l
tam gi¡c câ a = 5, b = 5, c = 6 vîi di»n t½ch l 12; tam gi¡c n y thu ÷ñc
b¬ng c¡ch gh²p hai tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l 3, 4, 5 dåc theo c¤nh câ
ë d i b¬ng 4. Ph÷ìng ph¡p têng qu¡t cho c¡ch l m n y ÷ñc minh håa
ð h¼nh 1.2: L§y mët tam gi¡c vîi ë d i ba c¤nh l mët bë ba Pythagore
a, b, c (c l sè lîn nh§t); mët tam gi¡c kh¡c câ ë d i ba c¤nh l mët bë
ba sè Pythagore a, d, e (e l sè lîn nh§t), gh²p chóng l¤i dåc theo c¤nh
câ ë d i l a º ÷ñc mët tam gi¡c câ ë d i ba c¤nh l c¡c sè tü nhi¶n
1
c, e, b + d, v câ di»n t½ch l mët sè húu t: S = (b + d) · a (mët nûa
2
c¤nh ¡y nh¥n vîi chi·u cao). Mët c¥u häi thó và °t ra l li»u t§t c£ c¡c
H¼nh 1.2:
Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a
tam gi¡c Heron ·u câ thº ÷ñc t¤o ra b¬ng c¡ch gh²p hai tam gi¡c vuæng
(vîi ë d i c¡c c¤nh l c¡c sè tü nhi¶n (bë ba Pythagore)) nh÷ tr¼nh b y
ð tr¶n khæng? C¥u tr£ líi l khæng. N¸u ta l§y mët tam gi¡c Heron vîi
ë d i ba c¤nh l 0, 5; 0, 5 v 0, 6 th¼ rã r ng nâ khæng thº ÷ñc gh²p tø
hai tam gi¡c vîi ë d i ba c¤nh ·u tü nhi¶n. Ho°c mët v½ dö kh¡c t÷íng
minh hìn, l l§y mët tam gi¡c vîi ë d i c¡c c¤nh 5, 29, 30 vîi di»n t½ch
72, th¼ s³ khæng câ ÷íng cao n o cõa nâ l mët sè tü nhi¶n.
T½nh ch§t 1.1.2. Câ thº chia mët tam gi¡c Heron th nh hai tam gi¡c
vuæng m ë d i c¡c c¤nh cõa chóng t¤o th nh nhúng bë ba Pythagore húu
9
t¿ (3 c¤nh l c¡c sè húu t thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Pythagore).
Chùng minh. X²t h¼nh 1.2 vîi c, e, b + d v di»n t½ch tam gi¡c S l nhúng
sè húu t¿. Chóng ta câ thº chån c¡ch kþ hi»u sao cho ë d i c¤nh b + d
l lîn nh§t, khi â ÷íng vuæng gâc h¤ tø ¿nh èi di»n xuèng c¤nh n y
n¬m b¶n trong c¤nh. º chùng minh c¡c bë ba (a, b, c) v (a, d, e) l c¡c
bë ba Pythagore, ta ph£i chùng minh a, b v d l nhúng sè húu t¿. Thªt
1
2S
vªy, v¼ di»n t½ch tam gi¡c l : S = (b + d)ad. Rót a ta ÷ñc a =
2
b+d
l mët sè húu t¿, v¼ S v b + d ·u l nhúng sè húu t¿. Ph¦n cán l¤i c¦n
chùng minh b v d húu t¿.
p döng ành lþ Pythagore èi vîi hai tam gi¡c vuæng, ta câ a2 +b2 = c2
v a2 + d2 = e2 . Trø v¸ theo v¸ hai ¯ng thùc
b2 − d2 = c2 − e2
⇔(b − d)(b + d) = c2 − e2
c2 − e2
⇔b − d =
b+d
V¸ ph£i l húu t¿, bði v¼ theo gi£ thi¸t c, e v b + d l nhúng sè húu t¿.
Do â, b − d l húu t¿. Ta l¤i câ (b + d) l húu t¿ theo gi£ thi¸t, suy ra
(b + d) + (b − d) l húu t¿. Hay 2b l húu t¿. Suy ra b húu t¿ v d công ph£i
l sè húu t¿.
T½nh ch§t 1.1.3. B i to¡n t¼m c¡c tam gi¡c Heron t÷ìng ÷ìng vîi b i
to¡n gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine, trong â, S, s l di»n t½ch, chu vi tam
gi¡c ABC
S 2 = s(s − a)(s − b)(s − c)
Cæng thùc têng qu¡t c¡c tam gi¡c Heron ¢ ÷ñc cæng bè bði Brahmagupta v Carmichael n«m 1952 (theo Dickson 2005, p. 193), â l
a = n m2 + k 2
(1.1)
b = m n2 + k 2
(1.2)
c = (m + n) m.n − k 2
(1.3)
s = m.n(m + n)
(1.4)
10
S = kmn(m + n) mn − k 2
(1.5)
¥y l mët kiºu trong lîp c¡c tam gi¡c Heron vîi måi m, n, k ∈ N sao cho
m2 · n
(m, n, k) = 1, m.n > k ≥
v m ≤ n ≤ 1.
(2m + n)
2
Theo â ta câ thº li»t k¶ mët sè tam gi¡c Heron sp x¸p theo sü t«ng
cõa c¤nh lîn nh§t trong tam gi¡c:
(3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8),
(6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13),
(9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15),
(10, 13, 13), (10, 10, 16), ...
câ di»n t½ch l¦n l÷ñt 6, 12, 12, 24, 48, 30, 60, 54, ....
V½ dö 1.1.1. Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n x¸p theo di»n
t½ch t«ng d¦n, n¸u còng di»n t½ch th¼ x¸p theo chu vi t«ng d¦n.
N«m 1994, trong Mathmatical Notes, Vol. 55, N0 2, S. Sh. Kozhegel'dinov
(Nga) ¢ cæng bè k¸t qu£ b i to¡n t¼m c¡c tam gi¡c Heron cì b£n vîi 6
kiºu biºu di¹n kh¡c nhau v vi»c t¼m tam gi¡c Heron cì b£n ÷ñc coi l
ho n th nh. Sau ¥y ta x²t mët sè b i to¡n t¼m tam gi¡c Heron k±m theo
mët sè i·u ki»n °c bi»t.
1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vîi r, ra, rb, rc ∈ N
Tam gi¡c Heron HT [a, b, c, S], ngo i t¶n gåi tam gi¡c Heron cì b£n, cán
÷ñc gåi l khæng ph¥n t½ch ÷ñc n¸u 3 ÷íng cao ha , hb , hc ∈
/ N, tr֒ng
hñp tr¡i l¤i tam gi¡c ÷ñc gåi l ph¥n t½ch ÷ñc, tùc l ½t nh§t 1 ÷íng
cao l sè tü nhi¶n. Ti¸p theo ta kþ hi»u t¥m c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v
b ng ti¸p l¦n l÷ñt l I, Ia , Ib , Ic . Ð ¥y ta x²t mët b i to¡n t¼m tam gi¡c
Heron vîi i·u ki»n ch°t hìn v· b¡n k½nh r, ra , rb , rc :
HG T¼m tam gi¡c Heron sao cho r, ra , rb , rc ∈ N, trong â
B i to¡n
:
11
Di»n t½ch TG Chu vi TG ë d i b + d ë d i e ë d i c
6
12
5
4
3
12
16
6
5
5
12
18
8
5
5
24
32
15
13
4
30
30
13
12
5
36
36
17
10
9
36
54
26
25
3
42
42
20
15
7
60
36
13
13
10
60
40
17
15
8
60
50
24
13
13
60
60
29
25
6
66
44
20
13
11
72
64
30
29
5
84
42
15
14
13
84
48
21
17
10
84
56
25
24
7
84
72
35
29
8
90
54
25
17
12
90
108
53
51
4
114
76
37
20
19
120
50
17
17
16
120
64
30
17
17
120
80
39
25
16
126
54
21
20
13
126
84
41
28
15
126
108
52
51
5
132
66
30
25
11
B£ng 1.1: Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n
12
H¼nh 1.3: Tam gi¡c Heron theo sü t«ng d¦n cõa c¤nh lîn nh§t
r, ra , rb , rc l¦n l÷ñt l b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p v c¡c ÷íng trán b ng
ti¸p cõa tam gi¡c.
Gi£i ¦y õ v ÷a ra thuªt to¡n t¼m h¸t c¡c nghi»m cõa b i to¡n HG
l cæng vi»c khæng ìn gi£n. Chóng tæi ch¿ døng l¤i ð vi»c ÷a ra k¸t luªn
t÷íng minh trong mët sè tr÷íng hñp cö thº.
• Tr÷íng hñp nghi»m l tam gi¡c Pythagore.
Gi£ sû ABC l tam gi¡c Pythagore cì b£n vîi a2 + b2 = c2 . Ta th§y
trong hai sè a, b ph£i câ mët sè l´, c công c¦n ph£i l´. Do â, nûa chu
1
1
vi P = (a + b + c) ∈ N v di»n t½ch S = ab ∈ N. C¡c c¤nh tam gi¡c
2
2
Pythagore cì b£n câ thº biºu di¹n ÷ñc d¤ng m2 − n2 v 2mn l hai c¤nh
gâc vuæng, m2 + n2 l c¤nh huy·n vîi m, n ∈ N. Gåi r, ra , rb , rc l b¡n
k½nh c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v b ng ti¸p èi di»n c¡c gâc A, B, C , t÷ìng
ùng. Trong méi bë ba Pythagore cì b£n b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p v 3
b¡n k½nh cõa ba ÷íng trán b ng ti¸p l sè tü nhi¶n, h¼nh 1.4. Ng÷ñc l¤i
n¸u tam gi¡c vuæng ABC câ b§t ký 3 trong 4 sè r, ra , rb , rc l sè tü nhi¶n
th¼ d¹ th§y ba sè a,b,c l sè tü nhi¶n v¼
a = r + ra = rc − rb ∈ N
b = r + rb = rc − ra ∈ N
- Xem thêm -
.PDF 
66 
18 
91 
