PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : y =−2x + 2 + m x2 − 4x + 5 có cực đại . ĐS : m < -2
3 1 + xsin2 x − 1, x =/ 0
2. Cho hàm số : f(x) =
. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu
0
, x =0
tại x =0 .
3. Tìm cực trị của hàm số :=
y f(x)
= | x | ( x − 3) . ĐS : x =0 ; x=1
4. Xác đị nh các giá trị của tham số m để các phương trì nh sau có nghiệm thực :
7
9
a) ( 4m − 3) x + 3 + (3m − 4 ) 1 − x + m − 1 =
0 . ĐS : ≤ m ≤
9
7
b)
c)
4
x2 + 1 − x =
m . ĐS : 0 < m ≤ 1
m
(
)
1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x2 − 1 − x2
x2 + y 3 =
2
5. Xác đị nh số nghiệm của hệ phương trình :
ĐS : 2
log3 x log 2 y = 1
x2 + 1
y 2 −x2
e
=
. ĐS : (x,y)=(7;7)
6. Giải hệ phương trình :
y2 + 1
3log (x + 2y=
+ 6) 2log 2 (x + y + 2) + 1
3
2
y −1
x + x − 2x + 2= 3 + 1
7. Giải hệ phương trình :
y + y 2 − 2y + 2= 3x−1 + 1
(
)
1 + 42x−y .5y −2x+1 =
22x−y +1 + 1
8. Giải hệ phương trình :
3
2
0
y + 4x + ln y + 2x + 1 =
9. Giải phương trình : ( x − 3) log3 (x − 5) + log5 (x − 3) =
x +2
10. Giải bất phương trì nh :
(
)
(x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 . ĐS :
11. Giải bất phương trì nh : 3 3 − 2x +
(
5
2x − 1
)
− 2x ≤ 6
12. Giải phương trình : 3x 2 + 9x 2 + 3 + ( 4x + 2)
13. Giải phương trình : x3 − 4x 2 − 5x +=
6
3
(
1
≤ x ≤7
2
)
1 + x + x2 + 1 = 0
7x 2 + 9x − 4
2 xy − y + x + y =
5
. ĐS : m ∈ 1; 5
14. Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm :
5
x
1
y
m
−
+
−
=
1
15. Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực :
x + x − 1 m x +
1.
+ 4 x ( x − 1) =
x −1
x + 1 + y + 1 =
3
16. Tìm m để hệ có nghiệm:
m
x y + 1 + y x + 1 + x + 1 + y + 1 =
(
)
17. Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại x1 ;x2 . CMR:
2
f '''(x) 1 f ''(x)
, ∀x ≠ x1 ,x2
<
f '(x) 2 f '(x)
18. Cho hàm số : f(x) = cos2 2x + 2(sin x + cosx)3 − 3sin2x + m . Tìm m sao cho f 2 (x) ≤ 36, ∀ m
19. Trong các nghiệm(x;y) của BPT : log x2 +y2 ( x + y ) ≥ 1 . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN
20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trì nh : 2009 x
(
)
x 2 +1 - x = 1 . ĐS : x=0
21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Tìm m để hệ phương trình s au có ba nghiệm phân biệt :
m
x + y =
3 3
ĐS : m ≥
2
2
( y + 1 ) x + xy = m ( x + 1 )
x 4 − y 4 =
240
22. Giải hệ PT : 3
3
2
2
x − 2y = 3 x − 4y − 4 ( x − 8y )
x 4 + x3 y + 9y = y 3 x + y 2 x2 + 9x
23. Giải hệ phương trình :
. ĐS : (x,y)=(1;2)
3
3
7
x y − x =
(
)
(
(
)
)
4x 2 + 1 x + ( y − 3) 5 − 2y =
0
24. Giải hệ phương trình :
4x 2 + y 2 + 2 3 − 4x =
7
2 xy − y + x + y =
5
25. Tìm m để hệ phương trình s au có nghiệm :
. ĐS : m ∈ 1; 5
m
5 − x + 1 − y =
1
26. Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực :
x + x − 1 m x +
1.
+ 4 x ( x − 1) =
x −1
3( x + 1 )2 + y − m =
0
27. Tìm m để hệ phương trình :
có ba cặp nghiệm phân biệt .
1
x + xy =
(
)
x + x2 − 2x + 2= 3y −1 + 1
28. Giải hệ PT :
y + y 2 − 2y + 2= 3x−1 + 1
sin x
x −y
e = sin y
29. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình : sin2x − cos2y = sin x + cosy − 1
Π
x,y ∈ 0;
4
3
30. Giải phương trình : 16x3 − 24x 2 + 12x − 3 =
x
2x
y
y
2x
1
2x
−
−
+
1+4
.5
2 −y +1 + 1
=
31. Giải hệ phương trình :
3
2
0
y + 4x + ln y + 2x + 1 =
32. Giải phương trình : 3x = 1 + x + log3 (1 + 2x )
(
)
(
)
33. Giải phương trình : −2x3 + 10x 2 − 17x=
+ 8 2x 2 3 5x − x3
ĐS
x + xy =y + y
34. Giải hệ phương trình :
2
6
4x + 5 + y + 8 =
5
4
10
6
x2 + 2x + 22 − y = y 2 + 2y + 1
35. Giải hệ phương trình :
y 2 + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1
1
x+ y=
2
36. Giải hệ phương trình :
y
x
x + 1 = y + 1
y
x
37. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Giải phương trình : (5x − 6)2 −
Lời giải : ĐK : x >
7
5
1
5x − 7
4x − 6
3
=0 ⇔ x =
2
(x − 1)(5x − 7). x − 1 + 5x − 7
2
1
1
Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : (5x − 6 ) −
x2 −
=
(5x − 6) − 1
x −1
Cách 1 : PT ⇔ 6(4x − 6)(x − 1) +
Và xét hàm
số : f(t) t 2 −
=
1
t −1
,t>
5
7
= x2 −
1
x −1
38. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất cả các gi á trị của tham số m để BPT sau có nghi ệm :
x3 + 3x2 − 1 ≤ m( x − x − 1)3
HD : Nhân liên hợp đưa về dạng :
(
)
3
x + x − 1 (x3 + 3x2 − 1) ≤ m
39. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình :
HD : PT ⇔ (x + 1)3 + =
(x + 1)
(
3x + 1
)
3
x3 + 3x2 + 4x + 2= (3x + 2) 3x + 1
+ 3x + 1 . Xét hàm số : f ( t) = t 3 + t ,t > 0
40. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình :
2 3 2x −=
1 27x3 − 27x 2 + 13x − 2
HD : PT ⇔ (2x − 1) + 2 3 2x − 1= (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 3 2x − 1) =
f(3x − 1)
(4x 2 + 1)x + (y − 3) 5 − 2y =
0
41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình :
2
2
7
4x + y + 2 3 − 4x =
HD : Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x=
(
5 − 2y
)
2
+ 1 5 − 2y ⇒ f(2x)= f( 5 − 2y )
Hàm số : f(t) (t 2 + 1).t ⇒ f '(t) =
=
3t 2 + 1 > 0 ⇒ 2x = 5 − 2y ⇒ 4x 2 =5 − 2y ⇒ y =
2
5 − 4x 2
2
5 − 4x 2
3
( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có
Thế vào (2) ta có : 4x 2 +
7 , với 0 ≤ x ≤
+ 2 3 − 4x =
4
2
1
nghiệm duy nhất : x = .
2
x + y =
4
(a là tham số).
42. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho hệ:
x + 7 + y + 7 ≤ a
Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều ki ện x ≥ 9.
HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của bi ến khi muốn quy về 1 biến để khảo s át :
4 − x =y ≥ 0 ⇒ x ≤ 16 . Đặt t = x , t ∈[3;4] và khảo s át tìm Min . ĐS : a ≥ 4 + 2 2
43. Giải hệ phương trình :
y 4 − 4x + 2xy −2x+4 =
5
x
3
3
y
2 + x = y + 2
44. Xác định m để bất phương trình s au nghi ệm đúng với mọi x :
(e
sinx
)
2
− e + 1 − 2esinx esinx − (e − 1)sinx − 1 ≤ 1
45. ( Đề thi HS G Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT : log 2+ 5 (x 2 − 2x
=
− 11) log
2 2+ 5
(x2 − 2x − 12)
46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + 3 + (3m − 4 ) 1 − x + m − 1 =
0
y 2 −x2 x 2 + 1
= 2
e
47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Giải hệ phương trì nh sau:
y +1
3log (x + 2y=
+ 6) 2log 2 (x + y + 2) + 1
3
48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm :
−x
Cho f(x) = (x2 + 1)e , x > 0 . Tìm a để tồn tại f’(0) .
−x − ax + 1, x ≤ 0
acosx + bsin x, x ≤ 0
Cho F(x) =
. Tìm a,b để tồn tại f’(0) .
ax + b + 1, x < 0
x2
x2
x ln x, x > 0
ln x − , x > 0
và f(x) =
. CMR : F'(x) = f(x)
F(x) = 2
4
0, x = 0
0, , x = 0
Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀a > 0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀x ∈ R : | f(x + a) − f(x) − a |< a2
. Chứng minh f(x) là hàm hằng .
Tính giới hạn : N1 = limπ
x→
4
Tính giới hạn : N3 = lix→m0
3
Tính gi ới hạn : N2 = lim
x 2 + x + 1 − 3 1 + x3
x
esin 2x − esinx
x→0
sin x
Tính giới hạn : N4 = lim
Tính giới hạn : N6 = lim
sin10x
4x − x 4
Tính giới hạn : N8 = lim
x→0 3
x−32
3 sin 3x
sin2x
Tính giới hạn : N7 = lim e − e
x→0
2
e−2x − 3 1 + x2
x→0
ln(1 + x 2 )
3
Tính giới hạn : N5 = lim x + 8 − 2
x→0
Tính giới hạn : N9 = lim
x→0
2
e−2x − 3 1 + x2
x→0
ln(1 + x 2 )
tanx − 1
2sin2 x − 1
3
sin4x
2 .32x − cos4x
3x
1 + sinx − 1 − sinx
Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt x1 ; x 2 ; x3 ...x n . Chứng minh các đẳng thức sau :
P''(x1 ) P''(x 2 )
P''(x n )
0
+
+ ... +
=
P'(x1 ) P'( x2 )
P'(x n )
a)
1
1
1
0
+
+ ... +
=
P'(x1 ) P'(x 2 )
P'(x n )
b)
Tính các tổng sau :
a) Tn (x) = cosx + 2cos2x + ... + ncosnx
b)
c)
d)
Tn=
(x)
CMR :
1
x 1
x
1
x
tan + 2 tan 2 + ... + n tan n
2
2 2
2
2
2
2.1.C2n + 3.2.C3n + ... + n(n − 1)Cnn= n(n − 1).2n−2
Sn (x) = s inx + 4sin2x + 9sin3x + ... + n2sinnx
2x + 1
2x + 3
2x + (2n − 1)
+
+ ... +
2
2
2
2
x (x + 1) (x + 1) (x + 2)
x + (n − 1) (x + n)2
49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số :
e) =
Sn (x)
2
α
a n + bn
a+b
Cho α ∈ R: a + b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
≤
2
2
b) Chứng minh rằng với a > 3,n ≥ 2 ( n ∈ N,n chẵn ) thì phương trình s au vô nghiệm :
a)
(n + 1)x n+2 − 3(n + 2)x n+1 + a n+2 =
0
2
x2
x2
c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị : y =
− 3m
+ 4m
(m + 1)
2
2
1 + x
1 + x
x2
xn
x2
xn
d) Cho n ≥ 3,n∈ N ( n lẻ ) . CMR : ∀x =
/ 0 , ta có : 1 + x + + ... + 1 − x + − ... − < 1
2!
n!
2!
n!
e) Tìm cực trị của hàm số : y = x 2 + x + 1 + x2 − x + 1
f)
g)
Tìm a để hàm
số : y f(x) = −2x + a x 2 + 1 có cực tiểu .
=
Tìm m để hàm số : y =
msin x − cosx − 1
đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng
mcosx
50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm :
a)
9π
0; 4
Cho các số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng nếu phương trình : ax 2 + ( b + c ) x + d + e =
0 có nghiệm thực thuộc
nửa khoảng [1; +∞ ) thì phương trình : ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e =
0 có nghiệm.
b) Cho phương trình : P( x ) = x5 − 5x 4 + 15x3 − x2 + 3x − 7 =
0 . Chứng minh rằng, phương trình có một nghi ệm thực
duy nhất.
PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC
1. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
f(x)
a) lim
=1
x→0 x
b) f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) + 2x 2 + 3xy + 2y 2 , ∀x,y ∈ R
(
) (
)
2. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x − f(y)) =
f x + y 2008 + f f(y) + y 2008 + 1, ∀x,y ∈ R
(
)
3. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x + cos(2009y)) = f ( x ) + 2009cos f ( y ) , ∀x,y ∈ R
4. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
c)
d)
f ( x ) ≥ e2009x
f ( x + y ) ≥ f ( x ) .f ( y ) , ∀x,y ∈ R
5. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f =
( x + y ) f(x).ef ( y )−1 , ∀x,y ∈ R
(
)
6. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f x.f ( x +=
y ) f(y.f ( x )) + x 2
7. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm hàm f : → thỏa mãn :
f 2 (x) + 2yf(x) + f(y) = f ( y + f(x)) , ∀,x,y ∈ R
PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
1. Cho a,b,c ∈ R: a2 + b2 + c2 =
3 . Chứng minh rằng : a2b + b2c + c2a ≤ 3
2. Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng :
a2b2 ( a − b ) + b2c2 ( b − c ) + c2a2 ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )
2
2
2
3. Cho các số thực a,b,c . Chứng minh rằng :
2
2
2
a2 b2 c2 81
a2b
13
+ + + ∑
≥ (a + b + c)
2
b c a 4
(2a + b) 4
4. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : a + b + c + 36abc =
2 . Tìm Max của : P = a7 b8 c9
5. Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR :
6. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của :
a
b
c
3
+
+
≤
a+b
b+c
c+a
2
(a + b + c)
P=
6
ab2c3
7. Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn : x 2 + y 2 + z2 =
1
8.
9.
10.
11.
2x − (y − z)2 2y − (z − x)2 2z − (x − y)2
+
+
yz
zx
xy
bc
ca
ab
a+b+c
Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
+
+
≤
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b
6
1
1
1
1
Cho các số thực dương a,b,c . CMR : 3
+
+
≤
a + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc
1
1
1
Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : 2
1 . CMR : ab + bc + ca ≤ 3
+ 2
+ 2
=
a +2 b +2 c +2
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 =
3 . CMR :
1
1
1
+
+
≥3
2−a 2−b 2−c
CMR :
12. Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR :
x
y
z
3 2
+
+
≤
x+y
y +z
z+x
2
a2 b2 c2
4(a − b)2
+ + ≥a+b+c+
b c a
a+b+c
1
1
1
3
14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 . CMR : 3
+ 3
+ 3
≥
a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2
15. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v à ( x − 1 )( y − 1 )( z − 1 ) =/ 0 . CMR :
13. Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
2
2
2
x y z
x −1 + y −1 + z −1 ≥ 1
(3a − b + c)2
(3b − c + a)2
(3c − a + b)2 9
16. Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ . CMR :
+
+
≥
2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 2
17. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =
1 . CMR :
1
1
1
9
+
+
≤
1 − ab 1 − bc 1 − ca 2
18. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =
9 . CMR : 2(a + b + c) ≤ 10 + abc
a3
b3
c3
1
+
+
≥
2
2
(1 − a) (1 − b) (1 − c)2 4
20. (Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn :
9(a 4 + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 =
0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
19. Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 . CMR :
F=
a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b
Lời giải :
Từ giả thiết :
9(a 4 + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 =0 ⇒ 25(a2 + b2 + c2 ) = 48 + 9(a 4 + b4 + c4 ) ≥ 48 + 3(a2 + b2 + c2 )2
⇒ 3(a2 + b2 + c2 )2 − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a2 + b2 + c2 ≤
Ta lại có :
F=
16
3
a2
b2
c2
a4
b4
c4
(a2 + b2 + c2 )2
+
+
= 2
+ 2
+ 2
≥ 2
2
b + 2c c + 2a a + 2b a (b + 2c) b (c + 2a) c (a + 2b) (a b + b c + c2a) + 2(a2c + b2a + c2b)
Lại có : a2 b + b2c + c2a= a(ab) + b(bc) + c(ca) ≤ (a2 + b2 + c2 )[a2 b2 + b2c2 + c2a2 ] ≤ a2 + b2 + c2
Tương tự : (a2c + b2a + c2b) ≤ a2 + b2 + c2 .
a2 + b2 + c2
3
(a2 + b2 + c2 )2
3
a +b +c
≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1.
3
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN
2
Từ đó ta có : F ≥
2
2
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
a2
(b + 2c)a2
a2 (b + 2c)a2 2a2
.
+
≥2
=
b + 2c
9
b + 2c
9
3
b2
(c + 2a)b2 2b2 c2
(a + 2b)c2 2c2
.
,
+
≥
+
≥
c + 2a
9
3 a + 2b
9
3
Tương tự
a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b
2
1
≥ a2 + b2 + c2 − a2 (b + 2c) + b2 (c + 2a) + c2 (a + 2b) (*) .
3
9
Lại áp dụng AM – GM, ta có
a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3
a2c + b2a + c2b ≤
+
+
=a3 + b3 + c3 (**) .
3
3
3
Từ (*) và (**) suy ra:
2
1
2
1
F ≥ a2 + b2 + c2 − ( a + b + c )(a2 + b2 + c2 )
≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2
3
9
3
9
F=
Suy ra:
(
Đặt =
t
(
)
(
)
) (
(
)
25( a + b + c ) − 48= 9 ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c )
⇒ 3( a + b + c ) − 25( a + b + c ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a + b + c
3 a2 + b2 + c2 , từ giả thiết ta có:
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
2
) 3( a
2
2
2
1
Do đó F ≥ t 2 − t 3 =
f(t) với t ∈3; 4 (* * *) .
9
27
Mà min f(t)
= f(3)
= 1 (* * **) . Từ (***) và (****) suy ra F ≥ 1.
2
≤
16
.
3
t ∈3;4
Vậy minF = 1 xảy ra khi a = b= c = 1 .
21. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng :
1 1 1
36
+ + ≥
2 2
x y z 9 + x y + y 2 z2 + z2 x 2
Lời giải :
BĐT đã cho tương đương với :
(9 + x y
2
2
1 1 1
+ y 2z2 + z2 x2 + + ≥ 36
x y z
)
3
2
xy + yz + zx
Ta =
có : ( xyz ) (xy)(yz)(zx) ≤
3
2
)
+ b2 + c2 .
1 1 1 xy + yz + zx 27 ( xy + yz + zx )
27
Do đó : =
+ +
=
≥
3
xyz
xy + yz + zx
(xy + yz + zx)
x y z
2
2
2
(
)
Lại có : 9 + x 2 y 2 + y 2z2 + z2 x2 =
6 + x 2 y 2 + 1 + (y 2z2 + 1) + (z2 x2 + 1) ≥ 2 3 + (xy + yz + zx)
Nên :
( VT )
2
2
27
9
.
108
≥ 4 3 + (xy + yz + zx) =
+ 6 + (xy + yz + zx) ≥
xy + yz + zx
xy + yz + zx
9
≥ 108 6 + 2
(xy + yz + zx) =
1296 ⇒ VT ≥ 36
xy + yz + zx
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN :
Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương
(xy + yz + zx)(9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2) ≥ 36xyz
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xy + yz + zx ≥ 3 3 x 2 y 2z2 (1)
Và
9+ x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 12 x 4 y 4 z 4 hay 9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 3 xyz (2)
Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra:
(xy + yz + zx)(9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1
22. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : x + y + 1 =
3xy . Tìm giá trị
lớn nhất của :=
M
Lời giải :
M
=
Ta có :
3x
3y
1 1
+
− 2− 2
y(x + 1) x( y + 1) x
y
Ta có : 3xy = x + y + 1 ≥ 2 xy + 1 ⇒ xy ≥ 1 ⇒ xy ≥ 1 (*)
2
3x
3y
1 1
1
1
3xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy 3xy (3xy − 1 ) − (1 − 3xy) + 2xy
=
+
=
=
+
−
−
y 2 (3x − 1) x 2 (3y − 1) x 2 y 2 y 2 (3x − 1) x2 (3y − 1) x2 y 2 9xy − 3(x + y ) + 1
4x2 y 2
23. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c . CMR :
a3
b3
c3 a b c
+
+
≥ + +
b3
c3
a3 b c a
a3
a3
a
+ 3 +1≥3
3
b
b
b
HD :
a3
b3
c3
3 ≤ 3 + 3 + 3
b
c
a
24. ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn : x 2 + y 2 + z2 =
1 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức : P= 6(y + z − x) + 27xyz
y 2 + z2
1 − x2
HD : P ≤ 6 2(y 2 + z2 ) − x + 27x.
= 6 2(1 − x 2 ) − x + 27x
( PMax = 10)
2
2
25. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Cho a, b,c ≥ 0: a2 + b2 + c2 =
1 . Chứng minh rằng :
a3 + 2b3 + 3c3 ≥
6
7
HD : Có thể dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ
26. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xyz = 1 . Chứng minh rằng :
(x 4 + y 4 )3 (y 4 + z4 )3 (z4 + x 4 )3
+ 6 6 + 6
≥ 12
x6 + y 6
y +z
z + x6
2
2
Lời giải : Đặt =
x2 a;y
=
b;z
=
c ⇒ abc = 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành :
(a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3
+ 3 3 + 3 3 ≥ 12
a3 + b3
b +c
c +a
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có :
(
) (
)
(
(a2 + b2 )3 = a6 + a 4 b2 + a 4 b2 + a 4 b2 + b6 + a2 b4 + a2 b4 + a2 b4 ≥ 4 4 a6 b6 a3 + b3
)
27. (Đề thi HS G Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng :
1
1
1
3(a + b + c)
+
+
≥
a + b b + c c + a 2(a2 + b2 + c2 )
HD :
(a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) 1
1
1 3(a + b + c)
BĐT ⇔
+
+
≥
2
2
a + b b + c c + a
(a + b)2
2
28. ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) . Cho x,y,z > 0 : x + y + z =
9 . Chứng minh rằng :
Và chú ý : a2 + b2 ≥
x 3 + y 3 y 3 + z3 z 3 + x 3
≥9
+
+
xy + 9 yz + 9 zx + 9
29. ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) . Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh
272
rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc ≤
27
HD : Bài này thì chọn phần tử lớn nhất mà đạo hàm .
a3 b3 c3
30. (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho a,b,c >0 . CMR :
+ +
≥a+b+c
bc ca ab
a 4 (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)4
HD : VT = ∑
≥
≥
≥a+b+c
abc
3abc
27abc
31. ( Đề thi chọn HS G QG Tỉnh Bình Định năm 2010) . Cho x,y,z >0 thỏa mãn : 2 xy + xz =
1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của : S =
3yz 4zx 5xy
+
+
x
y
z
32. ( Đề thi chọn HS G Thái Nguyên năm 2010 ). Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều ki ện :
Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = xyz
1
2
3
1.
+
+
=
1+ x 2+ y 3+z
33. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho a,b, c > 0 :a2 + b2 + c2 =
3 . Chứng minh bất đẳng thức :
1
+
1
+
1
≤1
4 − ab 4 − bc 4 − ca
34. ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) . Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x 2 y y 2 z z2 x
13xyz
P
=
+ 3 + 3 +
z3
x
y
3(xy 2 + yz2 + zx2 )
Lời giải 1 :
a b c
13
x
y
z
Đặt : =
a; =
b; =
c ⇒ abc =
1 . Lúc đó : P = 2 + 2 + 2 +
y
z
x
+
3
(a
b + c)
b c a
Ta có : (a + b +=
c) abc(a + b +=
c) (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) ≤
1
1 a
a + b2 ≥ 2 b
1
a b c 1 1 1
1 b
Lại có : + 2 ≥ 2 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + = ab + bc + ca
c
a b c
b c a
b c
1 c
1
+ 2 ≥2
c
c a
13
Do đó : P ≥ (ab + bc + ca) +
( Với ab + bc + ca ≥ 1 )
(ab + bc + ca)2
(ab + bc + ca)2
3
Lời giải 2 :
y
x
z
a2 b2 c2
13abc
13
≥ (a + b + c) +
=
a; =
b; =
c ⇒ abc =
1 . Lúc đó : P = + + +
b c a 3(ab + bc + ca)
x
z
y
(a + b + c)2
Đặt :
x y z
3
+ + +
≥4
y 2 z2 x 2 x + y + z
35. Bài toán tương tự : Cho x,y,z > 0 : xyz ≤ 1 . Chứng minh rằng :
Lời giải : Đặt :
1
1
1
=
a; =
b; =
c ⇒ abc ≥ 1 .
x
y
z
a2 b2 c2
3abc
(a + b + c)2
9
. Với : a + b + c ≥ 3 3 abc = 3
+ + +
≥
+
c
a b ab + bc + ca
a+b+c
(a + b + c)2
36. ( Đề thi chọn đổi tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] và a + b + c =
1 . Tìm giá
BĐT đã cho trở thành :
1
1
1
+
+
a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1
1
1
1
HD : Dùng pp tiếp tuy ến và Bất đẳng thức : 2
, ∀x,y ≥ 0; x + y ≤ 1
+ 2
≥1+
x +1 y +1
(x + y )2 + 1
37. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Lâm Đồng ) . Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rằng :
a2 b2 c2
+ + ≥ a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 + c2 − ca + a2
b c a
Lời giải :
trị lớn nhất và nhỏ nhất của
: P
=
a2
b2
c2
a2 b2 c2
C1 : ( THTT) Ta có : + b + + c + + a ≥ 2(a + b + c) ⇒ + + ≥ a + b + c
b c a
b
c
a
a 2
a2 b2 c2
Do đó =
: 2.VT 2 + + ≥ ∑ + b − a=
+ b
b c a
b
C2 : Ta có :
∑
a2 − ab + b2 ≥ a + b + c(Mincopxki)
a2 − ab + b2
∑ b + b ≥ 2VP
a2 − ab + b2
∑ a − ab + b ≥ a2 − ab + b2
≥
∑
Sv
acx
o
a+b+c
b
38. ( Đề thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh – Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 : abc =
1 . Chứng minh
2
Mà : VT = ∑
2
rằng : ab2 + bc2 + ca2 ≥ a + b + c
HD : BĐT ⇔
a b 2
a
2
a b c
+ + ≥ a + b + c . Chú ý là : + + a c ≥ 3a a c =
b c
b
b c a
Lời giải 2 : Ta có : ab2 + ab2 + bc2 ≥ 3 3 (a2 b2c2 )b3 =
3b
39. ( Chọn ĐT HS G QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ). Cho a,b,c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
3
2
2
2
a 3 b 3 c 33 2
b+c + c+a + a +b ≥ 2
2
2
b+c b+c
a
1 a
b+c
+
≥ 3 3 2
⇒ 2(a + b + c) ≤ 3 3 b + c
a
a
3 2
a
40. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho 3 số dương a,b,c thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất của :
HD : 2 +
P=
bc
a + 3 bc
a
b
c
1 . Lúc đó :
=
x;
=
y;
=
z ⇒ xyz =
b
c
a
z
x
y
1
x
P=+
+
=
− ∑
+ 1 . Lại có :
x + 3z y + 3x z + 3y
3 x + 3z
HD : Đặt
x
x2
(x + y + z)2
=
≥
∑ x + 3z ∑ x2 + 3zx (x + y + z)2 + (xy + yz + zx) ≥
Do đó : P ≤ 1 −
+
ca
b + 3 ca
+
ab
c + 3 ab
.
(x + y + z)2
3
=
2
4
+
+
(x
y
z)
(x + y + z)2 +
3
13 3
= . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z =1 .
34 4
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT :
Đặt
=
x
=
a ,y
Khi đó: P =
Ta có 3P =
c;x,y,z ∈ ( 0; + ∞ ) .
=
b,z
yz
zx
xy
.
+
+
x2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy
3yz
3zx
3xy
+
+
x 2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy
x2
y2
z2
=
3− 2
+ 2
+ 2
3−Q
=
x + 3yz y + 3zx z + 3xy
áp dụng bđt BCS ta được
x
y
z
x2 + 3yz +
y 2 + 3zx +
z2 + 3xy
x2 + 3yz
y 2 + 3zx
z2 + 3xy
2
(x + y + z)
. Mặt khác
⇔Q≥
2
( x + y + z ) + xy + yz + zx
2
(
≤ Q. x2 + y 2 + z2 + 3xy + 3yz + 3zx
)
2
Suy ra Q ≥
3
9
3
, do đó 3P ≤ ⇒ P ≤ .
4
4
4
(x + y + z)
xy + yz + zx ≤
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
41. ( Đề dự bị HSG Tỉnh Nghệ An 2008 ) . Cho ba số dương a,b,c thoả mãn :
3
.
4
a2 + b2 + c2 =
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
a2
b2
c2
.
+
+
b+c c+a a+b
1
1
1
Lời giải 1 : Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒
. Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có :
≥
≥
b+c c+a a+b
a2
b2
c2
1
1
1 1 1
1
1
1
P=
. ≥ a2 + b2 + c2
+
+
+
+
=
+
+
≥
b+c c+a a+b 3
b + c c + a a + b 3 b + c c + a a + b
của biểu thức : P =
(
)
3
3
≥
2(a + b + c) 2 3(a2 + b2 + c2 )
Lời giải 2 : Áp dụng BĐT Swcharz :
a4
b4
c4
(a2 + b2 + c2 )2
P= 2
+ 2
+ 2
.≥
a (b + c) b (c + a) c (a + b) b(a2 + c2 ) + a(b2 + c2 ) + c(a2 + b2 )
≥
Lại
có : a(b2 + c2 )
=
2a b2 + c2 . b2 + c2
≤
2
1 2a2 + 2(b2 + c2 )
3
2
42. ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005 ) . Cho a,b,c >0 . CMR :
3
a3
b3
c3
3
+
+
≥
(a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 8
1
1
1
3
b
c
a
Lời giải : = x;= y; = z ;⇒ xyz
+
+
≥
= 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành :
3
3
3
(1 + x) (1 + y) (1 + z) 8
a
b
c
Áp dụng AM-GM ta có :
1
(1 + x )
Ta cần CM bất đẳng thức :
3
+
1
(1 + x )
3
+
1
1
3
≥ 33
=
6
2
8
8(1 + x)
2(1 + x )
1
1
1
3
+
+
≥
(1 + x)2 (1 + y)2 (1 + z)2 4
Bổ đề :
1
(1 + x )
2
+
1
(1 + y )
2
≥
1
( ∀x,y > 0)
1 + xy
Bổ đề này được CM bằng cách biến đổi tương đương đưa v ề BĐT hiển nhiên : xy(x − y)2 + (1 − xy)2 ≥ 0
Do đó : VT ≥
1
1
z
1
z(z + 1) + 1 z2 + z + 1
+
= +
=
=2
2
2
1 + xy (1 + z) z + 1 (1 + z)
(1 + z)2
z + 2z + 1
Giả sử : z Max{x,y,z} ⇒=
=
1 xyz ≤ z3 ⇒ z ≥ 1 . Xét hàm số : f(z) =
z2 + z + 1
z2 − 1
;=
f '(z)
≥ 0, ∀z ≥ 1
2
z + 2z + 1
(z + 1)4
3
.
Suy ra : f (z ) ≥ f(1) =
4
43. ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho x , y,z ≥ 0 :x + y + z =
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
P=
1−x
1−y
1−z
+
+
1+ x
1+ y
1+z
)
(
1−x
x2
≥ (1 − x) ⇔ 1 − x 1 − 1 − x2 ≥ 0 ⇔ 1 − x
≥ 0 ( luôn đúng )
1+ x
1 + 1 − x2
Thiết lập các BĐT tương tự ta có : P ≥ 2
Lời giải 1 :
4
1−x
1−y
1−x −y
2
, x + y ≤ và MaxP= 1 +
+
≤1+
1+ x
1+ y
1+ x + y
5
3
44. ( Đề thi HS G lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho x,y,z > 0 : x + y + z =
1 . Chứng minh bất đẳng thức :
Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ :
x y z
1+ x 1+ y 1+z
+
+
≤ 2 + +
y +z z+x x+y
y z x
x
x y z
y
z
3
xz
xy
yz
Giải : BĐT ⇔ 2
+
+
+
+
+ 3 ≤ 2 + + ⇔ ≤
2 y(y + z) z(z + x) x(x + y)
y +z z+x x+y
y z x
Ta lại có : VP =
( xz + yz + zx )
xz
xy
yz
(xz)2
(xy)2
(yz)2
+
+
=
+
+
≥
y(y + z) z(z + x) x(x + y) xyz(y + z) xyz(z + x) xyz(x + y) 2xyz(x + y + z)
2
3
(xy + yz + zx)2
⇒ VP ≥
3
2
45. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình – 2010 ) . Cho a , b,c ≥ 0 :a + b + c =
3 . Chứng minh rằng :
Mà : xyz(x + y=
+ z) (xy)(yz) + (xz)(zy) + (zx)(xy) ≤
a b3 + 1 + b c3 + 1 + c a3 + 1 ≤ 5
46. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC . Tìm GTNN của : P =
2a
HD
:
=
2b + 2c − a
6a
(3a)(2b + 2c − a)
≥
6a
(a + b + c)
47. Cho a , b,c ≥ 0 : a + b + c =
của : P
1 . Tìm GTLN, GTNN
=
HD .
Tìm GTNN : Áp dụng BĐT Mincopxki ta có :
P = a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1 =
Tìm GTLN :
Bổ đề : CM bất đẳng thức :
Bình phương 2 vế ta có :
∑
2a
2b
2c
+
+
2b + 2c − a
2a + 2c − b
2b + 2a − c
a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1
2
2
2
1 3
3 3 3
a
a
b
c
+
+
≥
+
+
+
+
2 2
2 2
1 + a + a2 + 1 + b + b2 ≤ 1 + 1 + (a + b) + (a + b)2
2
(1 + a + a2 )(1 + b + b2 ) ≤ ab + 1 + a + b + (a + b)2 ⇔ 1 + a + b + (a + b)2 + (1 − a − b) ≥ 0
48. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Hải Dương năm 2008 ) . Cho a,b,c > 0 :a + b + c =
3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của bi ểu
a2
b2
c2
+
+
a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3
HD : AM-GM ngược dấu .
a2
2ab3
2ab3
2
2
2
4
Ta có :
a
a
=
−
≥
−
= a − b 3 a2 ≥ a − b(a + a + 1) = a − b − ab
3
6
3
9
9
9
a + 2b3
a + 2b3
3 ab
thức : P =
2
4
7 4 (a + b + c)
Do đó : P ≥ (a + b + c) − (a + b + c) − (ab + bc + ca) ≥ −
1
=
9
9
3
3 9
2
49. ( Đề chọn ĐT trường chuyên Bến Tre ) . Cho x,y,z ≥ 0 . Tìm GTLN của : M =
3
1
1
−
x + y + z + 1 (1 + x)(1 + y)(1 + z)
1
27
x + y +z +3
. Lúc đó : M ≥
Giải : Đặt x + y + z =
−
t ≥ 0 , ta có : (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≤
3
t + 1 (t + 3)3
1
27
Xét hàm số : f( t ) =
, t ≥0
−
t + 1 (t + 3)3
3a 4 + 1 3b4 + 1 3c4 + 1 a2 + b2 + c2
+
+
≥
b+c
c+a
a+b
2
50. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng :
HD : Ta có : 3a 4 + 1 = a 4 + a 4 + a 4 + 1 ≥ 4 4 a1 2 = 4a3
Do đó : VT ≥ ∑
4a3
=
b+c
4a 4
∑ ab + ac
≥ ...
Svacxo
51. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng :
1 1 1
9
4
4
4
+ + +
≥
+
+
a b c a+b+c a+b a+c b+c
HD :
52. Cho a,b,c > 0 : a + b + c =
1 . Chứng minh rằng :
a
(
b c
3c + ab
+
) b(
c a
3a + bc
+
) c(
a
b
c
11 1 1
+
+
≤ + +
3a2 + 2b2 + c2 3b2 + 2c2 + a2 3c2 + 2a2 + b2 6 a b c
a
b
c
54. Cho a,b,c > 0 :ab + bc + ca =
3 . CMR :
+ 2
+ 2
≥ abc
2
2a + bc 2b + ca 2c + ab
1 + a3 1 + b3
1 + c3
55. Cho a,b,c > 0 . CMR :
+
+
≥3
1 + a2c 1 + c2b 1 + b2a
1
1
1
3
56. Cho a,b,c > 0 : abc =
27 . CMR :
+
+
≤
1+a
1+b
1+c 2
53. Cho a,b,c > 0 . CMR :
57. Cho a,b,c > 0 . CMR :
58. Cho a,b,c > 0 . CMR :
a b
3b + ac
)
≥
3 3
4
1
1
1
27
+
+
≥
b(a + b) c(c + b) a(a + c) (a + b + c)2
b+c
59. Cho a,b,c ∈(1;2) . CMR :
a
+
c+a
b
+
b a
a+b
c
+
≥ a + b + c +3
a c
+
c b
≥1
4b c − c a 4a b − b c 4c a − a b
3
6
60. Cho a,b,c > 0 : abc =
1 .CMR : 1 +
≥
a + b + c ab + bc + ca
x 2z
y2x
z2 y
1 x y z
61. Cho x,y,z > 0 . CMR :
+
+
≥ + +
3
3
3
2 y z x
xyz + y
xyz + z xyz + x
a2
b2
c2
a+b+c
1 1 1
62. Cho a,b,c > 0 : + + =
+
+
≥
1 . CMR :
a + bc b + ac c + ba
4
a b c
63. Cho x,y,z > 0 . Tìm Min của : =
P
64. Cho a,b,c > 0 :a + b + c =
3 . CMR :
3
x y
z
4(x3 + y 3 ) + 3 4(y 3 + z3 ) + 3 4(z3 + x3 ) + 2 2 + 2 + 2
z
x
y
a + b + c ≥ ab + bc + ca
1
1
1
+
+
≤1
a + b+1 b+c +1 c +a +1
y
z
x
66. Cho x,y,z > 0 . CMR :
+
+
≤1
x + (x + y)(x + z) y + (x + y)(y + z) z + (x + z)(y + z)
65. Cho a,b,c > 0 :abc =
1 . CMR:
67. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ). Cho a,b,c > 0 . CMR :
a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
2
a +b b +c c +a
68. ( Đề thi HS G Tỉnh Thái Bình năm 2009 ) .Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x 2 + y 2 + z2 =
3 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: F=
3x 2 + 7y + 5y + 5z + 7z + 3x 2
69. (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2006 ) . Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa: a + b + c =
3 . Chứng minh:
a2
b2
c2
3
+ 2
+ 2
≥ .
b +1 c +1 a +1 2
2
70. Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng :
2a
2b
2c
+
+
≤3
a+b
b+c
c+a
2
1
1
a
b
c
+
≤
;y =
;z =
⇒ xyz = 1 . Áp dụng Bổ đề :
( xy ≤ 1)
1 + x2 1 + y 2 1 + xy
b
c
a
71. Chứng minh các Bất đẳng thức :
a) log b+c a2 + log c+a b2 + log a+b c2 ≥ 3 ( a,b,c > 2)
HD : Đặt x =
b)
c)
log bc log c a log a
9
+
+
2
( a,b,c > 1)
≥
b
c
c
a
a
b
a
b+c
+
+
+
+
72. Cho x,y , z ≥ 0 : xy + yz + zx =
3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = x2 y 3 + y 2z3 + z2 x3 + (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2
Giải :
73.
PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
x1 = 1
1. Cho dãy số :
. Chứng minh dãy số có giới hạn v à tính giới hạn đó.
7 − log3 x2n + 11
x n+1 =
(
)
−2x
< 0, ∀x ∈ (0;5)
(x2 + 11)ln3
= f (x n ) , do đó bằng quy nạp ta CM được rằng : 0 < x n < 5, ∀n
HD : Xét hàm số : f (x)= 7 − log3 (x 2 + 11),x ∈ (0;5) , ta có :
Do đó : 0 < f(5) < f(x) < f(0) < 5 . Mà x n+1
f '(x) =
: g'(x)
Lại xét hàm số : g( x)= 7 − log3 ( x 2 + 11) − x, x ∈ (0;5) . Ta có
=
Suy ra phương trình f(x)=x có nghiệm duy nhất x = 4 .
−2x
− 1 < 0, ∀x ∈ (0;5)
(x + 11)ln3
2
Theo định lý Lagrage ∃c ∈ (x n ; 4) sao cho : f(x n ) −=
f(4) f '(c) x n − 4 ≤
( Vì f '(c) =
2c
2c
≤
=
2
(c + 11)ln3 2 11c2 ln3
1
11 ln3
1
). Do đó : x n+1 − 4 ≤
11 ln3
11 ln3
1
xn − 4
n−1
x1 − 4 → 0
2. Cho phương trình : x 2n+1= x + 1 với n nguyên dương . Chứng minh phương trình đã cho có duy nhất một nghi ệm
thực với mỗi n nguyên dương c ho trước. Gọi nghiệm đó là x n . Tìm limx n
x > 1
Giải : Từ phương trình : x 2n+1 = x + 1 ⇔ x(x 2n − 1) =1 ⇒ x(x 2n − 1) > 0 ⇒ x(x − 1) > 0 ⇒
x < 0
2n+1
Đặt fn (x ) = x
− x −1 .
+) Nếu x <0 : Hàm y= fn ( x ) liên tục trên R và f(0) = −1; lim f(x) = −∞ , suy ra phương trình không có
x→−∞
nghiệm trên khoảng (0; −∞ ) .
+) Nếu x >1 , ta có : fn '(x)= (2n + 1).x 2n − 1 > 0 . Hơn nữa f(1) = −1; lim f(x) = +∞ , suy ra phương trình
có nghiệm x n ∈ (1; +∞ ) duy nhất .
Xét hiệu :
fn+1 (x n ) −=
fn (x n )
(x
2n+2
n
) (
x→+∞
)
+1
+1
− x n − 1 − x2n
−=
x n − 1 x 2n
(x n − 1) > 0, ∀x n > 1 ⇒ fn+1 (x n ) > fn ( x n )
n
n
Hay : fn+1 (x n ) > fn (x n ) =0 =fn+1 (x n+1 ) ⇒ x n > x n+1 . (Do hàm f(x) tăng ) .
Vậy dãy {x n } là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn . Giả sử : lim x=
a(a ≥ 1)
n
Ta sẽ chứng minh a=1 . Thật vậy, giả sử a > 1 .
u1 = 1
u1 u2
u
3. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho dãy số {un } :
+ + ... + n .
u2n . Đặt : Sn =
u
u
u
un +
2
3
n+1
un+=
1
2010
Tìm : limSn
Lời giải :
1
u2
u − uk
u
u − uk
u
u
1
Ta có : uk +1 − uk =k ⇒ k +1
2010 −
=k ⇒ k +1
= k
⇒ k =
(*)
2010
uk
2010
uk .uk +1
2010.uk +1
uk +1
uk uk +1
1
Từ hệ thức (*) cho k = 1,2…,n ta có
: Sn 2010 1 −
=
u
n+1
u2n
≥ un ⇒ Dãy {u n } tăng .
2010
Giả sử {u n } bị chặn trên . Suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn : limu
=
a(a > 1) . Do đó, từ :
n
Lại có : un+1 = un +
u2n
u2
a2
⇒ a = 0 ( Vô lý )
⇒ limun+1 = lim un + n ⇒ a = a +
2010
2010
2010
1
Suy ra dãy {u n } tăng và không bị chặn trên, nên : limun = +∞ ⇒ lim
= 0 ⇒ limSn = 2010
un+1
un+1 = un +
1 < x1 < 2
4. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho dãy số { x n } :
. Chứng minh dãy số {x n }
x2n
x n+1= 1 + x n − , ∀n ≥ 1
2
có giới hạn và tìm giới hạn đó .
Lời giải :
x2
, x ∈ (1;2) . Ta có : f '(x) = 1 − x < 0, ∀x ∈ (1;2) . Do đó :
2
3
1=
f(2) < f(x) < f(1) =< 2 . Từ đó thay x bởi : x1 ; x 2 ,...,x n ta có : 1 < x1 ,x2 ,..., x n < 2
2
Suy ra dãy {x n } bị chặn .
Xét hàm số : f(x)= 1 + x −
Giả sử dãy số có giới hạn là a, lúc đó a thỏa mãn pt : a = 1 + a −
Ta sẽ CM giới hạn này bằng định lý kẹp :
x2n
Xét hiệu : x n+1 − 2
= 1 + x n − − 1 + 2 −
2
( 2)
2
2
a2
⇒a= 2
2
1
= 2 xn − 2 xn + 2 − 2
(
)
Lại có : 1 < x n < 2 ⇒ 2 − 1 < x n + 2 + 2 < 2 ⇒ x n + 2 + 2 < 2
Do đó : x n+1 − 2 <
(
)
2
x n − 2 (*) . Từ (*) cho n = 1,2,… và nhân lại với nhau ta có :
2
n−1
n−1
2
0 ⇒ limx n =
2
x1 − 2 . Mà lim
x1 − 2 =
2
1
u1 =
3
5. ( Bài toán tương tự ) . Cho dãy số {un } :
. Tìm limun .
2
u
u = n − 1, ∀n ≥ 1
n+1 2
x1 = 1
6. ( Đề thi HS G Tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho dãy số {x n } :
. Chứng minh rằng
2
=
x n + x n + 1 − x 2n − x n + 1
x n+1
dãy số trên có giới hạn v à tìm giới hạn đó .
Lời giải :
2x n
Ta có :=
x n+1
x 2n + x n + 1 − x 2n − x=
n +1
x2n + x n + 1 + x2n − x n + 1
2
x n+1 − 2 <
2
(
)
(
Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng : x n > 0, ∀n =
1,2,...
Lại có :
x2n + x n + 1 + x2n − x n +=
1
2
2
)
2
1 3
1 3
x n + 2 + 2 + −x n + 2 + 2
2
2
1
1 3
3
≥
+
x n + + −x n + +
2
=
Mincopxki
2
2 2
2
Từ đó suy ra : x n+1 < x n
2
≥
Mincopxki
Vậy dãy {x n } giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử
limx n = a ⇒ a = a2 + a + 1 − a2 − a + 1 ⇒ a = 0
x1 = 2
7. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Cho dãy số : {x n } :
x1 + 2x2 + ... + (n − 1)x n−1
, n >1
x n =
n(n2 − 1)
Tính limUn với U=
(n + 1)3 .x n
n
Lời giải : Ta có :
+) x 2 =
1
3
+) Với n ≥ 3 ta có : x1 + 2x 2 + ... + (n − 1)x n−1 =
+ nx n n(n2 − 1)x n =
+ nx n n3 x n
x1 + 2x 2 + ... + (n − 2)x n−2 + (n − 1)x n−1 = (n − 1) (n − 1)2 − 1 x n−1 + (n − 1)x n−1 = (n − 1)3 x n−1
Từ đó suy ra : n3 x n = nx n + (n − 1)3 x n−1 ⇒
Từ (*) cho n = 3,4…ta có :
2
x n (n − 1)3 n − 1 n
=
=
(*)
x n−1
n3 − n n n + 1
n − 1 2 n − 2 2 2 2 n n − 1 3
12
4
.
... .
.
...
xn
=
⇒
=
2
2
4 n (n + 1)
n (n + 1)
n n − 1 3 n + 1 n
xn
x n x n−1 x3
.
...
=
=
x2 x n−1 x n−2 x2
4(n + 1)3
Do =
đó : limUn lim
=
4.
n2 (n + 1)
x0 > 0
. Chứng minh dãy có giới hạn v à
9. ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) . Cho dãy {x n } :
x n (x2n + 3)
x
, ∀n ≥ 0
=
2
n+1
3x n + 1
tìm giới hạn đó .
Lời giải :
Bằng quy nạp ta chứng minh được x n > 0, ∀n > 0
+) TH1 : Nếu x0 = 1 , quy nạp ta được x n = 1, ∀n > 0 . Hiển nhiên limx n = 1
+) TH1 : Nếu x0 > 1 ,
x2 (x − 1)2
x(x2 + 3)
trên khoảng (1; +∞ ) ta có
: f '(x)
=
> 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ f(x) > f(1) = 1
2
(3x2 + 1)2
3x + 1
Do đó : x2 = f ( x1 ) > 1, .... quy nạp ta có : x n > 1, ∀n
Xét hàm số : f(x) =
Lại có : x k +1 < x k ⇔
x k (x2k + 3)
3x + 1
2
k
< xk ⇔
2x k (x 2k − 1)
3x 2k + 1
> 0 đúng với x k > 1
Từ đó ta có : x1 > x 2 > .... > x n > x n+1 > 1 . Dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn .
(
)
a a2 + 3
=
⇒a 1
3a2 + 1
x(x2 + 3)
+) TH3 : Nếu 0 < x0 < 1 , Xét hàm số : f(x) =
trên khoảng (0;1) ta có :
3x 2 + 1
x2 (x − 1)2
=
f '(x)
> 0, ∀x ∈ (0;1) ⇒ =
0 f(0) < f( x) < f(1) = 1
(3x 2 + 1)2
Do đó :=
x2 f(x1 ) ∈ (0;1),... quy nạp ta có : x n ∈ (0;1), ∀n
Giả sử : limx n = a > =
0⇒a
ta có : x k +1 > x k ⇔
x k (x2k + 3)
3x 2k + 1
> xk ⇔
2x k (x 2k − 1)
3x2k + 1
< 0 đúng với 0 < x k < 1
Do đó : 0 < x1 < x 2 < ... < x n < x n+1 < 1 . Dãy số tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử :
(
)
a a2 + 3
=
⇒a 1
3a2 + 1
Kết luận : limx n = 1
limx n = a > =
0⇒a
u0 = α
. Chứng minh dãy
10. ( Bài toán tương tự ) . Cho α > 0; a > 0 là hai số tùy ý. Dãy {un } :
un (u2n + 3a)
=
u
,n 0,1,...
2
n+1 =
3un + a
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
u0 > 1
. Tìm limun
11. ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho dãy số {un } :
un + 1 + 2(u2n + 1)
u
, n 0,1...
=
n+1 =
un − 1
a1 = 1
12. ( Đề thi chọn ĐT HS G QG KonTum năm 2010 ) . Cho dãy số thực {a n } xác định như sau :
.
1
a n + (n ≥ 1)
1
a n+=
a
n
a
Chứng minh rằng : lim n = 2
n→+∞
n
xn
13. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Dương năm 2006 ) . Cho dãy số thực x1 = 2006; x n+1 = 3 +
. Tìm lim x n
x→+∞
x2n − 1
14. ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2008 ) . Cho dãy số {x n } thỏa mãn :
n
x1 = 1
1
. Đặt y n = ∑
. Tìm limy n .
i=1 x i + 2
x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 , ∀n > 0
HD :
(
x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 =x 2n + 3x n + 1
)
2
Sau đó chứng mi nh dãy tăng và không bị chặn trên .
x 2n + 3x n + 1 ⇒
=
x1= a > 1
x
x
xn
. Tìm : lim 1 + 2 + ... +
15. Cho dãy ( x n ):
2
→+
∞
n
x n+1 − 1
2010x n+1 = x n + 2009x n
x 2 − 1 x3 − 1
1
1
1
=
−
x n + 2 x n + 1 x n+1 + 1
x2
2009x
HD : Xét hàm số : f(x) = +
, x > 1 . Ta có : f’(x) > 0 , ∀x > 1 ⇒ f(x) > f(1) =
1 . Bằng quy nạp chứng minh
2010 2010
x2n
x
x n (x n − 1)
=
− n
> 0, x n > 1 ⇒ x n+1 > x n
2010 2010
2010
Giả sử ∃limx n = a ( a > 1 ) ⇒ 2010a = a2 + 2009a ⇒ a= 0;a= 1 ( Không thỏa mãn ). Vậy lim x n = +∞
Lại có :
1
x n+1 − x n
xn
1
2010x n=
x2n + 2009x n ⇒ 2010(x n+1 − x =
x n (x n − 1) ⇒
= 2010
= 2010
−
n)
+1
(x n − 1)(x n+1 − 1)
x
1
x
x n+1 − 1
−
n+1 − 1
n
x1 = 1
x123 x23
x23
2
n
24
16. ( Bài tương tự ) . Cho dãy số : (x n ):
.
Tìm
giới
hạn
lim
+
+
...
+
xn
x n+1
x 2 x3
x n+1 = + x n , n ∈ N *
24
17. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) . Đặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 với n là số nguyên dương . Xét dãy số
: x n+1 − x n
được rằng : x n > 1, ∀n . Xét hiệu
=
(x n ): x n =
f(1).f(3).f(5)...f(2n − 1)
. Tính giới hạn của dãy số : un = n2 .x n
f(2).f(4).f(6)...f (2n )
HD : Chú ý :
f(k − 1) (k − 1)2 + 1
=
f(k)
(k + 1)2 + 1
a1 = 2008
18. Cho dãy số (a n ) xác định bởi : n
. Tính lim n2a n
2
n→+∞
∑ ai n an ,n > 1
=
i=1
HD : Ta có a1 + a2 + ... + a n= n2a n ⇒ ( n − 1 ) a n−1=
2
(n
2
)
− 1 a n ⇒ a n=
n −1
a (1)
n + 1 n−1
Trong (1) cho n=1, 2,3….và nhân nó ạl i để tìm : a n
2006
19. Cho dãy số ( x n ) thỏa : x1 =
1,x n+1 =
1+
(n ≥ 1) . Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn ấy
1 + xn
1
x1 =
2
20. ( Đề thi HS G QG năm 2009 ) . Cho dãy số ( x n ):
. Chứng minh rằng dãy (y n ) với
2
x n−1 + 4x n−1 + x n−1
, ∀n ≥ 2
=
x n
2
n
1
y n = ∑ 2 có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó .
x
i=1 i
Giải :
x2 + 4x + x
2x + 4
1
, ta có=
: f '(x)
+ > 0, ∀x > 0
2
2
4 x + 4x 2
Lại có : x2 =
f(x1 ) > 0,(do x1 > 0).... bằng quy nạp ta chứng minh được x n > 0, ∀n .
Xét hàm số : f(x) =
x2n−1 + 4x n−1 + x n−1
=
− x n−1
2
Xét hiệu
: x n − x n−1
=
x2n−1 + 4x n−1 − x n−1
=
2
x
4x n−1
2
n−1
+ 4x n−1 + x n−1
> 0,(do x n > 0, ∀n )
Suy ra dãy {x n } tăng và x n > 0, ∀n . Giả sử tồn tại giới hạn hữu=
hạn a lim x n (a > 0) . Suy ra :
a + 4a + a
=
a2 + 4a ⇒ a =
0 (Vô lý ) .
⇔a
2
Vậy dãy {x n } tăng và không bị chặn trên nên : limx n = +∞
2
a=
n →+∞
Lại có :
xn =
n →+∞
x2n−1 + 4x n−1 + x n−1
2
⇒ ( 2x n − x n−=
x2n−1 + 4x n−1 ⇒ x n (x n − x n−1 ) =x n−1 ⇒
1)
2
x n (x n − x n−1 )
2
n
x .x n−1
x
1
1
1
= 2 n−1 ⇒=
−
2
x n x n−1 x n
x n .x n−1
1 1 1
1
1 1 + x1 1
− =
− ⇒ lim y=
6.
2 + − + ... +
n
n→+∞
xn
x12
i=1
x n−1 x n
x1 x1 x 2
x0 = 2009
21. Xét dãy số thực (x n ),n ∈ N xác định bởi :
. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn
x n = 3 6x n−1 − 6sin(x n−1 ), ∀n ≥ 1
và tìm giới hạn đó .
x3
HD : Sử dụng bất đẳng thức : x − ≤ sinx ≤ x, ∀x ≥ 0
6
1 6(1 − cosx)
3
Xét hàm số : f(x) =
. Ta có : f '(x)
> 0, ∀x>0
6x − 6sin x ,x > 0 =
3 3 (6x − 6sin x)2
Do đó : y=
n
n
1
∑ x=
2
i
Do đó : f(x) > 0, ∀x > 0 . Mà x=
f(x1 ) > 0(do x1 > 0) ⇒ ...x=
f(x n−1 ) > 0, ∀n
2
n
Xét hiệu
: x n − x n−1
=
3
6x n−1 − 6sin(x
=
n−1 ) − x n−1
3
6x n−1 − x3n−1 − 6sin(x n−1 )
2
6x n−1 − 6sin(x n−1 ) − x n−1 3 6x n−1 − 6sin(x n−1 ) + x 2n−1
<0
x3
≤ sinx ⇒ 6x − x3 − 6sin x < 0, ∀x > 0 )
6
Do đó dãy {x n } giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử : limx n = a (a ≥ 0) , ta có pt :
(Sử dụng Bất đẳng thức : x −
a = 3 6a − 6sina ⇔ a3 = 6a − 6sina . Xét hàm số : g(t) =
t 3 + 6sin t − 6t , ta có :
g'(t) = 3t 2 + 6cost − 6, g''(t) = 6t − 6sin t ≥ 0, ∀t ≥ 0 ⇒ g'(t)=
≥ g(0) 0 ⇒ g(t)≥ g(0) = 0 . Do đó pt có nghiệm duy
nhất a = 0 .
22. Cho dãy (x n ) được xác định bởi: x 1 = 5; x n + 1 = x2n - 2 ∀ n = 1, 2, … . Tìm lim
x1 = 3
x
23. Cho dãy (x n ) :
. Tìm lim n+1
n→+∞ x
2
n
x n+1 = 9x n +11x n + 3; n ≥ 1, n ∈ N.
HD : Chứng minh dãy ( x n ) tăng và không bị chặn :
Dễ thấy x n > 0, ∀n , xét : x n+1 − x n
=
Giả sử ∃ lim x n= a ( a > 0 ) ⇒ a=
n→+∞
9x2n +11x n + 3 − x n =
x n+1
x1 .x 2 ...x n
8x2n + 11x n + 3
9x2n +11x n + 3 + x n
> 0, ∀x n > 0
a = −1
( Không thỏa mãn ) ⇒ lim x n =
9a2 + 11a + 3 ⇒
+∞
n→+∞
a = − 3
8
x n+1
11 3
= lim 9 +
+= 3
n→+∞ x
n→+∞
x n x2n
n
Do đó : lim
n→+∞
24. Cho dãy số (un ) xác đị nh bởi công thức
u1 = 2008
2
2
un+1 = un - 4013un + 2007 ; n ≥ 1, n ∈ N.
a) Chứng minh: un ≥ n + 2007; ∀n ≥ 1, n ∈ N .
b) Dãy số (x n ) được xác định như sau:
1
1
1
xn =
+
+ ... +
; n ≥ 1, n ∈ N.
u1 - 2006 u2 - 2006
un - 2006
Tìm lim x n ?
U1 = 1
Tìm limUn
25. ( Đề thi HS G Tỉnh Trà Vinh-2009)Cho dãy số ( Un ) xác định bởi:
4
3
3
=
n→+∞
Un+1 log3 Un + 1 + , ∀n ≥ 1
3
x0 = 1
xn
26. Cho dãy số (x n ):
2 ( x n ln2 − 1) + 1 . Chứng minh dãy (x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó .
x n+1 =
2xn ln2 − 1
HD : Chứng minh dãy gi ảm và bị chặn dưới .
27. Cho phương trình : x n + x n−1 + .... + x − 1 =
0 . Chứng tỏ rằng với n nguyên dương thì phương trình có nghiệm duy
nhất dương x n và tìm lim x n .
x→+∞
u1 = 1
28. Cho dãy số {un } xác định bởi
. . Tìm limun
n
−n
un = C2n n .4
1
−x+n=
0 (1). Chứng minh rằng: với mỗi n
2008x
∈ N* phương trình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó là x n . Xét dãy (x n ), tìm lim (x n + 1 - x n ).
Đáp án :
29. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho phương trình:
Với n ∈ N*, xét f (x) =
1
− x + n ; x ∈ R.
2008x
ln2008
- 1 < 0 ∀x ∈ R.
2008x
=> f(x) nghịch biến trên R (1).
f/(x) = -
1
=
f(n) 2008n > 0
Ta có:
1
f(n=
+ 1)
−1 < 0
2008n+1
=> f(x) =0 có nghiệm x n ∈ (n; n + 1) (2).
Từ (1) và (2) => đpcm.
1
> 0 => xn > n.
2008xn
1
=> 0 < xn - n <
.
2008n
Ta có: x n - n =
Mặt khác: lim
1
= 0 => lim(x n - n) = 0.
2008n
Khi đó lim (x n - 1 - x n ) = lim{[x n + 1 - (n + 1)] - (x n - n) + 1} = 1
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨ C TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ .
u1 = 2
30. Cho dãy số ( un ) :
. Tìm limun = ?
−9un−1 − 24
=
un 5u + 13 , n ≥ 2
n−1
Giải :
- Xem thêm -
.PDF 
45 
482 
63 
