Tài liệu Một phương pháp lặp xoay vòng giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2019 ii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, cùng các thầy, cô giáo trong khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viện, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . 10 1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . 16 1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2 Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 21 2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Phương pháp lặp giải Bài toán (2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1. Điểm bất động chung của các ánh xạ không giãn . . . . . 35 2.3.2. Điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn . . 37 2.3.3. Không điểm chung của các toán tử đơn điệu . . . . . . . . 41 2.4. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận Tài liệu tham khảo 49 50 iv Một số ký hiệu và viết tắt H không gian Hilbert X không gian Banach h., .i tích vô hướng trên H k.k chuẩn trên H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập các số thực không âm G(A) đồ thị của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 F ix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T 1 Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán ... Bài toán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966 trong tài liệu [6]. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu khá chi tiết trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” của D. Kinderlehrer và G. Stampacchia xuất bản năm 1980 [8]. Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Có nhiều phương pháp giải đã được đề xuất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động, phương pháp đường dốc nhất ... Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm một phần tử x∗ ∈ C, sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1) trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó và ta ký hiệu bài toán này là VI(C, F ). Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng. Ta xem mỗi tập C là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric PC từ H lên C, do đó bài toán trên có thể xem như bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Ngoài ra, nó cũng đã được nghiên cứu và mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn đếm được hay không đếm được 2 ánh xạ không giãn. Năm 2001, Yamada [17] đã giới thiệu phương pháp đường dốc nhất lai ghép giải bài toán (0.1), trong đó F : H −→ H là một toán tử Lipschitz, đơn điệu mạnh và C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn T1 , T2 , ..., TN , tức là, C = ∩N i=1 F ix(Ti ) (Định lý 2.2). Hơn nữa, trong trường hợp các ánh xạ không giãn chỉ được biết ở dạng gần đúng (có nhiễu), hay nói cách khác mỗi ánh xạ không giãn được thay bởi một dãy ánh xạ nhiễu, thì ánh xạ không giãn ban đầu sẽ được thay bằng dãy ánh xạ gần không giãn. Do đó chủ đề bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các dãy ánh xạ gần không giãn đã và đang thu hút nhiều người làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả về bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert H. Luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 nhắc lại một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, cùng với một số bài toán liên quan. Chương 2 trình bày lại kết quả của các tác giả T.M. Tuyen [16] cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert thực H. Ngoài ra, Chương 2 của luận văn cũng đề cập đến một số ứng dụng của Định lý (Định lý 2.4) chính cho các bài toán liên quan, cùng với đó là hai ví dụ số minh họa thêm cho tính đúng đắn của phương pháp. 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này bao gồm năm mục chính. Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert thực. Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả về bài toán tìm điển bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.3 và 1.4 đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert. Mục 1.5 giới thiệu một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng trong Chương 2 của luận văn. Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [8]. 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu là h., .i và chuẩn được kí hiệu là k.k. Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với mọi x, y, z ∈ H. Chứng minh. Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 . 4 Vậy ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . (1.1) Chứng minh. Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . Ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.3. Trong không gian Hilbert thực H, ta luôn có kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, x + yi với mọi x, y ∈ H. Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2hx, yi + 2kyk2 = kxk2 + 2hy, x + yi. Mệnh đề được chứng minh. Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu về phần tử x ∈ H, nếu lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì xn * x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian  P∞ 2 2 l2 = {xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞ và {en } ⊂ l , được cho bởi en = (0, ..., 0, 1 , 0, ..., 0, ...), vị trí thứ n 5 với mọi n ≥ 1. Khi đó, en * 0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞. n=1 Suy ra limn→∞ hen , yi = 0, tức là en * 0. Tuy nhiên, {en } không hội tụ về 0, vì ken k = 1 với mọi n ≥ 1. Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial, tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn * x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. n→∞ n→∞ (1.2) Chứng minh. Vì xn * x, nên {xn } bị chặn. Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi. Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 . n→∞ Do đó, ta nhận được lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. n→∞ n→∞ Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.5. Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và kxn k → kxk, thì xn → x, khi n → ∞. 6 Chứng minh. Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞. Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử x∗ ∈ C sao cho kx∗ k ≤ kxk với mọi x ∈ C. Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf kxk. Khi đó, tồn tại {xn } ⊂ C sao cho x∈C kxn k −→ d, n −→ ∞. Từ đẳng thức hình bình hành, ta có kxn − xm k2 = 2(kxn k2 + kxm k2 ) − 4k xn + xm 2 k 2 ≤ (kxn k2 + kxm k2 ) − 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞. Do đó {xn } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại x∗ = lim xn ∈ C (do {xn } ⊂ C và C là tập đóng). Do chuẩn là hàm số liên tục nên n→∞ ∗ kx k = d. Tiếp theo ta chỉ ra tính duy nhất. Giả sử tồn tại y ∗ ∈ C sao cho ky ∗ k = d. Ta có 2 2 2 kx∗ − y ∗ k = 2(kx∗ k + ky ∗ k ) − 4k x∗ + y ∗ 2 k 2 ≤ 2(d2 + d2 ) − 4d2 = 0. Suy ra x∗ = y ∗ . Vậy tồn tại duy nhất một phần tử x∗ ∈ C sao cho kx∗ k = inf x∈C kxk. Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.7. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C. 7 Chứng minh. Vì C là tập lồi, đóng và khác rỗng nên x − C cũng là tập lồi, đóng và khác rỗng. Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn tại duy nhất một phần tử PC ∈ C sao cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C. Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC x ∈ C xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C. Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0. Khi đó PC x = x + y − hx, ui kuk 2 u. Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:   x nếu kx − ak ≤ R, PC x = R  a + (x − a) nếu kx − ak > R. kx − ak Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là một phép chiếu mêtric. Mệnh đề 1.8. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cho PC : H −→ C là một ánh xạ. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C; b) hy − PC x, x − PC xi ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C; Chứng minh. Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là kx − PC xk = inf u∈C kx − uk. Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt yα = αy + (1 − α)PC x. Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó kx − PC xk ≤ kyα − xk. Điều này tương đương với 2 kx − PC xk ≤ kα(y − PC x) − (x − PC x)k 2 8 2 2 = α2 ky − PC xk + kx − PC xk − 2αhy − PC x, x − PC xi. Từ đó, ta nhận được 2 2hy − PC x, x − PC xi ≤ αky − PC xk . Cho α −→ 0+ , ta được hy − PC x, x − PC xi ≤ 0. Ngược lại, giả sử b) đúng. Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có kx − PC xk2 = kx − y + y − PC xk2 = kx − yk2 + 2hx − y, y − PC xi + ky − PC xk2 = kx − yk2 + 2hx − PC x, y − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 . Do đó, kx − PC xk = inf u∈C kx − uk, hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây: Hệ quả 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, ta có các khẳng định sau: a) với mọi x, y ∈ H, ta có kPC x − PC yk2 ≤ hx − y, PC x − PC yi; b) với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có kx − yk2 ≥ kx − PC xk2 + ky − PC xk2 . Chứng minh. a) Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.8, ta có hx − PC x, PC y − PC xi ≤ 0, hy − PC y, PC x − PC yi ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh. b) Với mọi x ∈ H và y ∈ C, từ Mệnh đề 1.8, ta có hx − PC x, y − PC xi ≤ 0. 9 Từ đó, ta có kx − yk2 = k(x − PC x) − (y − PC x)k2 = kx − PC xk2 + ky − PC xk2 − 2hx − PC x, y − PC xi ≥ kx − PC xk2 + ky − PC xk2 . Hệ quả được chứng minh. Mệnh đề 1.9. Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 . y∈C Vì x ∈ / C, nên v = x − PC x 6= 0. Từ Mệnh đề 1.8, ta có hv, y − PC xi ≤ 0, với mọi y ∈ C. Suy ra hv, y − x + x − PC xi ≤ 0, với mọi y ∈ C. Điều này tương đương với hv, yi ≤ hv, xi − kvk2 , với mọi y ∈ C. Do đó suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 . y∈C Bây giờ ta chỉ ra C là tập đóng yếu. Giả sử ngược lại rằng C không là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x ∈ / C. Vì C là tập lồi và đóng, nên theo chứng minh trên, ta có hv, zi < hv, xi − ε, với ε = kvk2 /2 và mọi z ∈ C. Đặc biệt hv, xn i < hv, xi − ε, 10 với mọi n. Cho n → ∞, ta nhận được hv, xi ≤ hv, xi − ε, điều này là vô lý. Do đó, C là tập đóng yếu. Chú ý 1.1. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng. Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.10. Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu. 1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếu với mọi x, y ∈ C, ta có kT x − T yk ≤ kx − yk. Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F ix(T ), tức là F ix(T ) = {x ∈ C : T x = x}. Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động F ix(T ). Mệnh đề 1.11. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó, F ix(T ) là một tập lồi và đóng trong H. Chứng minh. Giả sử F ix(T ) 6= ∅. Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong F ix(T ) thỏa mãn xn → x, khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ F ix(T ), nên kT xn − xn k = 0, với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x − xk = 0, tức là x ∈ F ix(T ). Do đó, F ix(T ) là tập đóng. 11 Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F ix(T ). Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức là T x = x và T y = y. Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y. Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tính không giãn của T ta có kT z − zk2 = kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2 = λkT z − xk2 + (1 − λ)k(T z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = λkT z − T xk2 + (1 − λ)k(T z − T y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 ≤ λkz − xk2 + (1 − λ)k(z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = kλ(z − x) + (1 − λ)(z − y)k2 = 0. Suy ra T z = z và do đó z ∈ F ix(T ). Vậy F ix(T ) là một tập lồi. Mệnh đề 1.12 (Nguyên lý nửa đóng). Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, nếu T có điểm bất động thì T là nửa đóng, tức là với mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn * x ∈ C và xn − T xn → y, thì x − T x = y. Đặc biệt, nếu y = 0 thì x ∈ F ix(T ). Chứng minh. Giả sử x − T x 6= y. Vì xn * x, nên xn − y * x − y. Do x − y 6= T x, nên từ Mệnh đề 1.4, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − y − T xk n→∞ n→∞ ≤ lim inf (kxn − T xn − yk + kT xn − T xk) n→∞ ≤ lim inf kxn − xk. n→∞ Suy ra mâu thuẫn. Do đó, x − T x = y. Đặc biệt, nếu y = 0 thì x = T x hay x ∈ F ix(T ). Bài toán. Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅. Tìm phần tử x∗ ∈ F ix(T ). Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt ... 12 Chú ý 1.2. Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C và xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T . Tuy nhiên điều này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn. Phương pháp lặp Mann Năm 1953, W. R. Mann [9] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau:   x ∈ C là một phần tử bất kì, 0 (1.3)  xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn , n ≥ 0, ở đây {αn } là một dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, 0 < αn < 1, n ≥ 1, P∞ n=0 αn = ∞. Dãy lặp (1.3) được gọi là dãy lặp Mann. Mann W. R. đã chứng minh rằng, P∞ nếu dãy {αn } được chọn thỏa mãn n=1 αn (1 − αn ) = ∞, thì dãy {xn } xác định bởi (1.3) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T . Chú ý rằng nếu H là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.3) chỉ cho sự hội tụ yếu. Phương pháp lặp Halpern Năm 1967, B. Halpern [5] đã đề xuất phương pháp lặp   x ∈ C là một phần tử bất kì, 0  xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n ≥ 0 (1.4) ở đây u ∈ C và {αn } ⊂ (0, 1). Dãy lặp (1.4) được gọi là dãy lặp Halpern. Ông đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.4) về điểm bất động của ánh xạ không giãn T với điều kiện αn = n−α , α ∈ (0, 1). Phương pháp lặp xấp xỉ mềm Năm 2000, Moudafi [10] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minh được các kết quả sau: (1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi: x0 ∈ C, xn = εn 1 T xn + f (xn ), ∀n ≥ 0, 1 + εn 1 + εn hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân: x ∈ F ix(T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ), (1.5) 13 trong đó {εn } là một dãy số dương hội tụ về 0. (2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi: 1 εn T zn + f (zn ), ∀n ≥ 0. (1.6) 1 + εn 1 + εn    1  P∞ 1  Nếu limn→∞ εn = 0, −  = 0, thì {zn } hội tụ n=1 εn = ∞ và limn→∞  εn+1 εn mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân: zn+1 = x ∈ F ix(T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ), ở đây, f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1). Tức là kf (x) − f (y)k ≤ ckx − yk ∀x, y ∈ C. Chú ý 1.3. Khi f (x) = u với mọi x ∈ C, thì phương pháp xấp xỉ mềm của Moudafi trở về phương pháp lặp của Halpern. 1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trên không gian hữu hạn chiều Rn và một số bài toán liên quan. Cho C là một tập con lồi và đóng của Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.7) Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.7) được gọi là tập nghiệm của bài toán và ký hiệu là V I(F, C). Sự tồn tại nghiệm của Bài toán (1.7) được cho bởi định lý dưới đây: Định lý 1.1. Cho C là một tập lồi và compact trong Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạ liên tục. Khi đó, Bài toán (1.7) có ít nhất một nghiệm. 14 Chứng minh. Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C. Khi đó, PC (I − γF ) là một ánh xạ liên tục từ C vào chính nó, với I là ánh xạ đồng nhất trên Rn và γ > 0. Theo nguyên lý điểm bất động Brouwer, tồn tại x∗ ∈ C sao cho PC (x∗ − γF (x∗ )) = x∗ . Theo Mệnh đề 1.8, hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7). Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.7) có mối quan hệ mật thiết với một số bài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toán điểm bất động. a) Hệ phương trình Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phương trình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằng giữa cung và cầu. Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệ phương trình thông qua mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.13. Phần tử x∗ ∈ Rn là nghiệm của bài toán V I(F, Rn ) khi và chỉ khi F x∗ = 0. Chứng minh. Nếu F x∗ = 0, thì hiển nhiên x∗ là một nghiệm của bài toán V I(F, Rn ). Ngược lại, giả sử x∗ là một nghiệm của bài toán V I(F, Rn ), tức là hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, với mọi x ∈ Rn . Chọn x = x∗ − F x∗ , ta được −kF x∗ k2 = 0, suy ra F x∗ = 0. b) Bài toán tối ưu Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếm hàm lồi trên C. Xét bài toán sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ ) = min{f (x)|x ∈ C}. (1.8) Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.8) và bất đẳng thức biến phân cổ điển. 15 Mệnh đề 1.14. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếm hàm lồi, khả vi trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.8) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7), với F x = 5f (x). Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.8). Đặt ϕ(t) = f (x∗ +t(x−x∗ )) với t ∈ [0, 1]. Khi đó, ϕ đạt cực tiểu tại t = 0, do đó 0 ≤ ϕ0 (0) = h5f (x∗ ), x−x∗ i, hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7), với F x = 5f (x). Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7), với F x = 5f (x). Vì f là hàm lồi, nên f (x) ≥ f (x∗ ) + h5f (x∗ ), x − x∗ i, với mọi x ∈ C. Từ đó suy ra f (x) ≥ f (x∗ ) với mọi x ∈ C, hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.8). c) Bài toán bù Cho F : Rn −→ Rn là một ánh xạ. Bài toán bù phi tuyến trên Rn+ là một hệ bao gồm các phương trình và bất phương trình có dạng sau: Tìm x∗ ≥ 0 sao cho: F x∗ ≥ 0 và hF x∗ , x∗ i = 0. (1.9) Khi F là một ánh xạ affine, tức là F x = M x + b, với M là ma trận cỡ n × n và b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.9) được gọi là bài toán bù tuyến tính. Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được cho bởi mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.15. Bài toán V I(F, Rn+ ) và Bài toán (1.9) có cùng tập nghiệm. Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của V I(F, Rn+ ), tức là hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, (1.10) với mọi x ∈ Rn+ . Trong (1.10), thay x bởi x∗ + ei , với i = 1, 2, ..., n và {e1 , e2 , ..., en } là cơ sở chính tắc của Rn , ta được Fi x∗ ≥ 0 với Fi (x∗ ) là tọa độ thứ i của F x∗ . Do đó, F x∗ ≥ 0. Trong (1.10), lần lượt thay x bởi 2x∗ và 0, ta nhận được hF x∗ , x∗ i ≥ 0, hF x∗ , −x∗ i ≥ 0. (1.11)