Tài liệu Mô hình tự hồi quy vectơ và ứng dụng (lv02264)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2           PHAN TIẾN NAM         MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VECTO VÀ ỨNG DỤNG            LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI -2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2       PHAN TIẾN NAM       MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VECTO VÀ ỨNG DỤNG    Chuyên ngành: Toán ứng dụng  Mã số: 60460112        LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC    Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN TRỌNG NGUYÊN     HÀ NỘI -2017   LỜI CẢM ƠN   Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới  sự hướng dẫn của Thầy giáo - Phó Giáo sư - Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên.    Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Phó Giáo sư - Tiến sĩ Trần  Trọng Nguyên. Thầy đã tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của  tác giả, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này.    Tác  giả  xin  chân  thành  cảm  ơn  tới  các  Thầy,  Cô  giáo  Phòng  Sau  đại  học, các Thầy, Cô giáo khoa Toán cũng như các Thầy, Cô giáo giảng dạy lớp  Thạc sĩ  Khóa 19 chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm Hà  Nội 2 đã đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho tác giả  nhiều kiến thức cơ sở và giúp đỡ  tác giả trong suốt quá trình học tập.    Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và Tổ Toán Tin Trường  Trung học  phổ thông Ngô  Quyền  Ba  Vì  đã  giúp đỡ, tạo  điều kiện thuận lợi  cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.    Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng  nghiệp đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả  trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.                                                                                 Hà Nội, tháng 06 năm 2017                                                                                                   Tác giả                                                                                                                                                                                                                                              Phan Tiến Nam  LỜI CAM ĐOAN   Tôi  xin  cam  đoan  dưới  sự  hướng  dẫn  của  Phó  Giáo  sư  Tiến  sĩ  Trần  Trọng  Nguyên,  luận  văn  Thạc  sĩ    chuyên  ngành  Toán  ứng  dụng  với  đề  tài:  "Mô hình tự hồi quy véctơ và  ứng dụng" được hoàn thành bởi chính sự nhận  thức của bản thân tác giả.    Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa  những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.   Hà Nội, tháng 06 năm 2017                                                                                                   Tác giả                                                                                                                                                                                                                                              Phan Tiến Nam                MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC ĐỒ THỊ BẢNG BIỂU DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ........................................................................... 3 1.1 Một số kiến thức xác suất ....................................................................... 3 1.1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên .......... 3 1.1.2 Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên ............................................. 5 1.1.3 Một số quy luật phân phối thông dụng ............................................ 7 1.2 Mô hình hồi quy tuyến tính ..................................................................... 7 1.2.1 Mô hình hồi quy ............................................................................... 7 1.2.2 Hàm hồi quy tổng thể ....................................................................... 9 1.2.3 Hàm hồi quy mẫu ............................................................................. 9 1.2.4 Tính tuyến tính trong mô hình hồi quy .......................................... 10 1.3 Một số khái niệm cơ bản ....................................................................... 10 Chương 2 Mô hình VAR  ................................................................................ 12 . 2.1 Mô hình VAR  ....................................................................................... 12 . 2.1.1 Định nghĩa ...................................................................................... 12 2.1.2 Lời giải của mô hình VAR(p)................. ....................................... 13 2.1.3 Mô hình VAR(1) và VAR(p) ......................................................... 15 2.1.4 Giải quá trình VAR(1) ổn định ...................................................... 17 2.1.5 Lời giải của quá trình ổn định và không ổn định với giá trị ban đầu  ................................................................................................................. 19 2.1.6 Mô hình VAR trễ phân phối dừng tự hồi quy ............................... 21 . 2.1.7 Mô hình VAR trung bình trượt tự hồi quy theo véc tơ .................. 22 2.1.8 Xu thế ngẫu nhiên và tất định ........................................................ 23 2.1.9 Dự báo ............................................................................................ 24 2.2 Ước lượng mô hình VAR ..................................................................... 24 . 2.2.1 Ước lượng mô hình VAR ổn định ................................................. 24 2.2.1.1 Phương pháp bình phương nhỏ nhất ..................................... 25 2.2.1.2 Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại ................................ 27 2.2.2 Ước lượng độ dài của trễ................................................................ 28 2.2.3 Dự báo ............................................................................................ 29 2.2.4 Hàm phản ứng ................................................................................ 29 Chương 3. Ứng dụng mô hình VAR trong phân tích kinh tế vĩ mô Việt Nam  trong khoảng thời gian từ 1986 đến 2015. ...................................................... 34 3.1 Giới thiệu mô hình và mô tả dữ liệu nghiên cứu .................................. 34 3.2 Kết quả nghiên cứu ............................................................................... 36 KẾT LUẬN  .................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO  .............................................................................. 51 . DANH MỤC ĐỒ THỊ BẢNG BIỂU Hình 2.1 Đồ thị của hàm phản ứng ................................................................. 30 Bảng 3.1 Tóm tắt thống kê của các biến được sử dụng trong mô hình .......... 35 Bảng 3.2 Các kết quả của kiểm định nghiệm đơn vị ADF ............................. 36 Bảng 3.3 Xác định độ trễ tối ưu ...................................................................... 37 Bảng 3.4 Kết quả ước lượng mô hình VAR bằng phương pháp Bayes .......... 39 Biểu đồ 3.1 Kiểm định tính ổn định của mô hình ........................................... 42 Bảng 3.5 Tương quan giữa các phần dư ......................................................... 43 Bảng 3.6 Giá trị hàm phản ứng của mô hình .................................................. 43 Bảng 3.7 Bảng phân rã các nhân tố tác động đến GDP trong mô hình. ......... 47                         DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT TT  Từ viết tắt  Nghĩa tiếng ANH  Nghĩa tiếng VIỆT  1  CPI  Consumer Price Index  Chỉ số giá tiêu dùng  2  FDI  Foreign Direct Investment  Đầu tư trực tiếp nước ngoài  3  GDI  Gross Domestic Investment  Đầu tư trong nước  4  GDP  Gross Domestic Product  Tổng sản phẩm quốc nội  6  GNI  Gross National Income  Tổng thu nhập quốc dân  7  GNP  Gross National Product  Tổng sản phẩm quốc dân  8  WB  World Bank  Ngân hàng thế giới  9  IID  Idependent and identical  Phân phối độc lập và đồng  distribution  nhất  Stationary Autoregressive  Mô hình trễ phân phối dừng tự  Distributed Lag Models  hồi quy  10  ARDL  11  VARMA  Vector Autoregressive  moving average  12  AIC  13  SACF  Mô hình trung bình trượt tự  hồi quy theo véctơ  Akaike Information Criterion Tiêu chuẩn thông tin Akaike  Sample autocorrelation  Hàm tự tương quan riêng  Function  14  LS  Least squares Method  Phương pháp bình phương nhỏ  nhất  15  Maximum Likelihood  Phương pháp ước lượng hợp lí  Estimation    ML  cực đại  1  PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Mô hình tự hồi quy theo véctơ (VAR-Vector Autoregresstion) được nhà Kinh  tế học người Mỹ là Chritopher A. Sims đề xuất năm 1980. Về bản chất VAR  là  sự  kết  hợp  của  hai  phương  pháp  tự  hồi  quy  đơn  chiều  (Univariate  Autoregresstion - AR) và hệ phương trình ngẫu nhiên (Simultanous equations  -    Ses).  Mô  hìnhVAR  tổng  hợp  được  những  ưu  điểm  của  hai  phương  pháp  trên, đó là:  rất dễ ước  lượng  được bằng  phương pháp tối thiểu hoá  phần dư  (OLS) và ước lượng nhiều biến trong cùng hệ thống. Đồng thời nó khắc phục  được nhược điểm của Ses là không quan tâm đến tính nội sinh của các biến  kinh tế (Endogeneity) tức là các biến kinh tế vĩ mô thường mang tính nội sinh  khi chúng tác động qua lại lẫn nhau. Thuộc tính này làm cho phương pháp cổ  điển  hồi  quy  bội  dùng  một  phương  trình hồi  quy  bị sai  lệch  khi  ước  lượng.  Đây là lí do chính để tôi lựa chọn đề tài luận văn:  "Mô hình tự hồi quy véctơ và ứng dụng" 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mô hình VAR và một số ứng dụng trong phân tích kinh tế.  3. Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu các khái niệm và kết quả cơ bản về mô hình VAR.   Ứng  dụng  mô  hình  VAR  phân  tích  mối  quan  hệ  giữa  GDP  và  FDI,  GDI,…  4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu  Các khái niệm và kết quả cơ bản về mô hình VAR.   Ứng dụng mô hình VAR với dữ liệu kinh tế vĩ mô Việt Nam trong  khoảng thời gian từ 1986 đến 2015.  5. Phương pháp nghiên cứu 2  Để giải quyết các vấn đề nêu ra, đề tài sử dụng một số phương pháp sau:  Nghiên cứu tổng hợp , Thống kê mô tả, Phân tích  định lượng.  Cách tiếp cận cụ thể là:   Nghiên cứu tài liệu, mô hình VAR, phân tích thực trạng đầu tư trực tiếp  nước ngoài, giáo dục,....., tăng trưởng kinh tế ở Việt Nam hiện nay.   Thu  thập  các  số  liệu  về  đầu  tư  trực  tiếp  nước  ngoài,  giáo  dục....  gần  đây, sử dụng mô hình VAR đánh giá tác động của đầu tư trực tiếp nước  ngoài, giáo dục, .... tới tăng trưởng kinh tế.  6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của đề  tài được chia làm 3 chương:  Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.  Chương 2. Mô hình VAR.  Chương 3. Ứng dụng mô hình VAR trong phân tích kinh tế vĩ mô Việt Nam  trong khoảng thời gian từ 1986 đến 2015.     3  CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày các kiến thức cần thiết cho chương 2 và 3. Bao gồm ba  nội dung cơ bản:      Các kiến thức về xác suất như:   Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của nó. Các đặc trưng của biến ngẫu  nhiên: kì vọng, covarian và phương sai, kì vọng có điều kiện. Một số quy luật  phân phối thông dụng: quy luật phân phối chuẩn, quy luật khi bình phương.   Mô hình hồi quy tuyến tính bao gồm:  Mô hình  hồi  quy, hàm hồi quy  tổng thể, hàm hồi quy mẫu và tính tuyến tính trong mô hình hồi quy.      Một số khái niệm của biến ngẫu nhiên liên quan đến kinh tế như: Chuỗi  thời  gian,  tự  tương  quan,  biến  độc  lập  nội  sinh,  biến  giả,  biến  ngoại  sinh,  chuỗi dừng, chuỗi không dừng, nhiễu trắng, bước ngẫu nhiên, quá trình tự hồi  quy và quá trình trung bình trượt.  1.1 Một số kiến thức xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Giả sử    là một tập không rỗng, phần tử của nó kí hiệu là   . Tập hợp gồm  mọi tập con của    được kí hiệu là  P () .  Lớp  F  P ()  được gọi là    đại số nếu :        F     A  F  A   \ A  F      A1 , A2 ,...  F   Ak  F    k 1 Giả sử  C  P () . Một    đại số  F  P () bé nhất chứa C được gọi là    đại số sinh bởi C viết  F   (C) . Nó cũng là giao của tất cả các    đại số  con của  P () chứa C.  4  Nếu    là không gian tôpô và C là lớp gồm mọi tập mở của     thì   (C ) được  gọi là    đại số các tập Borel của   , kí hiệu là  B () .  Giả sử F là    đại số là các tập con của   . Cặp  (, F )  được gọi là không  gian đo. Hàm tập hợp  P : F  R  thỏa mãn ba điều kiện:   P( A)  0,               A  F     P()  1     Nếu  An  F , n  1,2,...  đôi một không giao, thì:    n 1 n 1 P( An )   P ( An )   được gọi là một độ đo xác suất.  Bộ ba  (, F , P ) được gọi là không gian xác suất.  Giả sử  (, F , P ) là một không gian xác suất. Hàm thực X xác định trên    đo  được với F nghĩa là với mỗi  x  R    : X ( )  x  F   được gọi là biến ngẫu nhiên.  Quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên Giả sử X là biến ngẫu nhiên.   Khi đó hàm:  F ( x)  P  : X ( )  x , x  R   được gọi là hàm phân phối của  biến ngẫu nhiên X. Để đơn giản, tập   : X ( )  x được viết là  [X  x]  hay  ( X  x) .  Nếu biến ngẫu nhiên X có giá trị không quá đếm được thì X được gọi là biến  ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử  X ()   x1 , x2 ,... . Bộ các số  pk  P[X =x k ], k  1, 2,...  được gọi là phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X.  Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X được cho dưới dạng bảng:  X  x1   x2   ...  xk   ...  5  P  p1   ...  p2   pk   ...   Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu tồn tại hàm  f : R  R  khả tích sao cho:  x Fx ( x)   f (t )dt , x  R.   Hàm f  f x được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X.  Giả sử  X 1 , X 2 ,... X n  là các biến ngẫu nhiên xác định trên  (, F , P ) . Bộ có thứ  tự  ( X 1 , X 2 ,... X n ) được gọi là véctơ ngẫu nhiên n - chiều.  Hàm  F : R n  R, x  ( x1 , x2 ,..., xn )  F ( x)  P[X 1  x1 ,..., X n  xn ]  được gọi là  hàm phân phối của véctơ ngẫu nhiên X. Nó cũng được gọi là hàm phân phối  đồng thời của các biến ngẫu nhiên  X 1 , X 2 ,... X n .  Nếu  X 1 , X 2 ,... X n  là các biến ngẫu nhiên rời rạc với  X k ()   xik , i  1 ,   k  1,2,.., n  thì X được gọi là véctơ ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị  ( x , x ,..., x 1 i1 n in 2 i2  ),i k  1, k  1,2,..., n .    Nếu hàm phân phối của X có dạng:  x1 x2 F ( x1 , x2 ,..., xn )  xn   ...    f (t1 , t2 ,..., tn )dt1...dtn    thì ta nói X có phân phối liên tục tuyệt đối và hàm  f ( x1 , x2 ,..., xn )  được gọi là  hàm mật độ của véctơ ngẫu nhiên X.  1.1.2 Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (, F , P )   Ta nói X có kỳ vọng nếu tồn tại:  E ( X )   XdP   X ( )dP( ),  và  EX được gọi là kỳ vọng của X.    6  Nếu  X  là biến ngẫu nhiên rời rạc:  X   xk I Ak với  pk  P ( Ak ),k  1,  các  Ak   k 1 đôi một xung khắc thì:  E ( X )   xk P( Ak )   xk pk .   k 1   k 1 Covarian và phương sai của biến ngẫu nhiên Giả sử (X,Y) là hai biên ngẫu nhiên xác định trên  (, F , P ) .  Nếu  X,Y đều là biến ngẫu nhiên rời rạc,  X ()   xi , i  1 ,Y()   yi , j  1   và  g ( x, y )  là hàm Borel bất kì sao cho:   g ( xi , y j ) pij  ,( pij  P[X  xi ,Y  y j ], i  1, j  1)    i , j 1 thì         Eg ( X , Y )   g ( xi , y j ) pij.    i 1 j 1 Covarian của  X,Y là:   cov( X , Y )  E[(X  EX)(Y  EY )]  E ( XY )  EX.EY .    Đặc biệt:  cov( X , X)  E ( X 2 )-(EX)2  D( X ) là phương sai của X.    Kỳ vọng có điều kiện Giả  sử  (, F , P ) là  không  gian  xác  suất,  X là  biến  ngẫu  nhiên  xác  định  trên  đó,G là    đại số con của F.  Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm hay khả tích thì kỳ vọng của X với điều  kiện G, kí hiệu là E(X/G) là biến ngẫu nhiên thỏa mãn hai điều kiện:   E(X/G) là đo được đối với G.   Với mỗi  A  G  thì   E ( X / G )dP   XdP    A A Nếu X là nửa khả tích thì kỳ vọng của X với điều kiện G được xác định bởi:      E ( X / G )  E ( X  / G )  E ( X  / G ).     Nếu Y  cũng là biến ngẫu nhiên xác định trên  (, F , P )  thì kỳ vọng của X với  điều kiện Y, kí hiệu E ( X / Y )  được xác định bởi:  7  E ( X / Y )  E ( X / F (Y )).   1.1.3 Một số quy luật phân phối thông dụng Quy luật phân phối chuẩn N (a, 2 ) Ta nói  biến ngẫu nhiên X, có phân phối chuẩn  N (a, 2 ) với các tham số a,   2  nếu:  2 2 1 e  ( xa ) /2 .    2       Quy luật Khi bình phương  2 (n) f x ( x)  1 n Ta nói  X có phân phối   2 (n),n  N*  nếu  X  G ( , ).    2 2 1.2 Mô hình hồi quy tuyến tính 1.2.1 Mô hình hồi quy Một bài toán quan trọng trong phân tích kinh tế là bài toán đánh giá tác  động của một biến số lên biến số khác. Chẳng hạn chúng ta muốn đánh giá tác  động  của  lượng  phân  bón  lên  năng  suất  lúa  trên  tổng  thể  các ruộng  lúa.  Từ  suy luận bình thường, có thể cho rằng khi tăng lượng phân bón thì năng suất  lúa sẽ gia tăng, do đó có thể biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc hàm số giữa các  biến này như sau:        NS=f(PB)    trong đó NS và PB lần lượt là năng suất lúa và lượng phân bón trên một  hécta. Trong thực tế, chúng ta không biết hàm f này có dạng như thế nào và  để bắt đầu một cách đơn giản, giả sử rằng nó có dạng tuyến tính:        NS  1   2 PB                                                         (1.2.1)  trong đó  1 ,  2 là các hằng số nào đó.  Hàm (1.2.1) biểu diễn mối quan hệ tất định giữa hai biến NS và PB, tức là nếu  biết giá trị của biến PB thì ta sẽ biết giá trị của biến NS một cách chắc chắn,  8  không có sai số. Tuy nhiên trong  thực tế điều này là không phù hợp, vì năng  suất còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nữa, như lượng nước tưới, độ PH  của đất và các yếu tố ngẫu nhiên như thời tiết hay sâu bệnh,v..v..Do đó để hợp  lý hơn, ta viết (1.2.1) lại:        NS  1   2 PB  u                                                          (1.2.2)  trong đó u thể hiện cho tất cả các yếu tố khác có ảnh hưởng đến năng  suất, ngoài phân bón.  Phương  trình  (1.2.2)  là  một  ví  dụ  về  mô  hình  hồi  quy  tuyến  tính  hai  biến,  trong đó biến NS là biến phụ thuộc và biến PB là biến độc lập.  Tổng quát, giả sử Y và X là hai biến số thể hiện một tổng thể nào đó, mô hình  hồi  quy  tuyến  tính  hai  biến  thể  hiện  mối  quan  hệ  phụ  thuộc  giữa  biến  Y  và  biến X có dạng sau:      Y  1   2 X  u               (1.2.3)  Như vậy mô hình hồi quy tuyến tính hai biến bao gồm các thành phần sau:    -Các biến số: mô hình hồi quy bao gồm hai loại biến số:     +Biến  phụ  thuộc:  là  biến  số  mà  ta  đang  quan  tâm  đến  giá  trị  của  nó,  thường được ký hiệu là Y và nằm ở vế trái của phương trình. Biến phụ thuộc  còn được gọi là biến được giải thích (explained variable) hay biến phản ứng.    +Biến độc lập:là biến số được cho là có tác động đến biến phụ thuộc,  thường được ký hiệu là X và nằm ở vế phải của phương trình. Biến độc lập  còn  được  gọi  là  biến  giải  thích  (explanatory  variable)  hay  biến  điều  khiển  (control variable).    -Sai số ngẫu nhiên:    Sai số ngẫu nhiên thường được ký hiệu là u, là yếu tố đại diện cho các  yếu tố có tác động đến biến Y, ngoài X. Trong mô hình (1.2.3) chúng ta không  có quan sát về nó  vì  thế đôi khi u  còn được  gọi là sai số  ngẫu nhiên không  quan  sát  được.  Do  đó  để  hàm  hồi  quy  có  ý  nghĩa,  cần  đưa  ra  giả  thiết  cho  9  thành phần này. Giả thiết được đưa ra là: tại mỗi giá trị của X thì kỳ vọng của  u bằng 0: E (u | X )  0 .  -Các hệ số hồi quy: bao gồm  1  và   2 , thể hiện mối quan hệ giữa hai    biến X và Y khi các yếu tố bao hàm trong u là không đổi.  1.2.2 Hàm hồi quy tổng thể Với giả thiết  E (u | X )  0 , ta có thể biểu diễn lại mô hình hồi quy (1.2.3) dưới  dạng sau:        E (Y | X )  1   2 X             (1.2.4)  trong đó  E (Y | X ) là kỳ vọng của biến Y khi biết giá trị của biến X, hay  còn gọi là kỳ vọng của Y với điều kiện X.  Phương trình (1.2.4) biễu diễn kỳ vọng của Y với điều kiện X như một hàm  của biến X và do X và Y thể hiện cho tổng thể nên phương trình (1.2.4) còn  được gọi là hàm hồi quy tổng thể (PRF-population regression function). Khi  đó các hệ số hồi quy  1  và   2  còn được gọi là các tham số của tổng thể.    -Các hệ số hồi quy:    + 1  được gọi là hệ số chặn, nó chính bằng giá trị trung bình của biến  phụ thuộc Y khi biến số độc lập X nhận giá trị bằng 0.    +  2  được gọi là hệ số góc, thể hiện quan hệ giữa biến độc lập và giá trị  trung bình của biến phụ thuộc: khi biến độc lập X tăng (giảm) một đơn vị thì  giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y tăng (giảm)   2  đơn vị. Hệ số   2  có thể  nhận giá trị âm, dương hoặc bằng 0.  1.2.3 Hàm hồi quy mẫu Giả sử có mẫu ngẫu nhiên kích thước n bao gồm các quan sát của biến Y và  biến X: ( X i , Yi ) , i  1,2,.., n  . Từ mẫu ngẫu nhiên này chúng ta sẽ xây dựng các    ước lượng cho các hệ số hồi quy tổng thể  1  và   2 , ký hiệu là  1  và   2 tương  ứng. Khi đó gọi biểu diễn:  10           Y  1   2 X                (1.2.5)   Hàm (1.2.5) được gọi là hàm hồi quy mẫu (SRF:sample regression function)  cho hàm hồi quy tổng thể (1.2.4).  Hay có thể viết chi tiết cho từng quan sát như sau:       Yi  1   2 X i                                   (1.2.5)'  Ký hiệu mũ trên đầu thể hiện rằng đây là giá trị ước lượng từ mẫu chứ không  phải là giá trị thực của tổng thể.    1 ,  2  được gọi là các hệ số hồi quy mẫu hay hệ số ước lượng, là ước lượng  của các hệ số tổng thể  1  và   2  tương ứng.   Yi  được tính như trong (1.2.5)' là giá trị ước lượng cho giá trị Y khi X= X i .  1.2.4 Tính tuyến tính trong mô hình hồi quy Tính tuyến tính của hàm hồi quy được hiểu là tuyến tính theo tham số, nghĩa  là theo các hệ số hồi quy và nó có thể tuyến tính hoặc phi tuyến theo biến X hoặc biến Y.  1.3 Một số khái niệm cơ bản     Chuỗi thời gian:  Chuỗi  các quan sát được  thu thập  trên  cùng một  đối  tượng tại các mốc thời gian cách đều nhau (Đôi khi các mốc này không thực  sự  cách  đều  nhau,  chẳng  hạn  như  các  chỉ  số  VNindex  bị  gián  đoạn  bởi  các  ngày cuối tuần cũng như các ngày nghỉ lễ).    Tự tương quan:  chuỗi  X t   được  gọi  là  có  tự  tương  quan  bậc  p  nếu:  corr( X t , X t  p )  0  với  p  0 .    Biến độc lập nội sinh:  là  biến  độc  lập  có  tương  quan  với  sai  số  ngẫu  nhiên trong mô hình.  11    Biến giả: là biến chỉ lấy giá trị 0 hoặc 1 (vì thế còn được gọi là biến nhị  nguyên) để chỉ ra sự tồn tại hay không tồn tại của một hiệu ứng có thể làm  thay đổi đột ngột kết quả đầu ra.    Biến ngoại sinh: là biến mà giá trị của nó không được xác định trong  mô hình kinh tế, nhưng lại đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định  giá trị của biến nội sinh.    Chuỗi dừng: một chuỗi hữu hạn được gọi là chuỗi dừng nếu thỏa mãn  ba điều sau đây:   Kỳ vọng không đổi.   Phương sai không đổi.   Hiệp phương sai không phụ thuộc vào thời điểm tính toán.       Chuỗi không dừng: là chuỗi không thỏa mãn một trong ba điều kiện của  chuỗi dừng.    Nhiễu trắng: chuỗi thời gian có kỳ vọng bằng 0, phương sai không đổi  và hiệp phương sai bằng 0.    Bước ngẫu nhiên:  dãy  Yt , t  1, 2,...   là  quá  trình  ngẫu  nhiên  thì  Yt  Yt 1  ut  được gọi là bước ngẫu nhiên, trong đó  ut là nhiễu trắng.   Quá trình tự hồi quy (Autoregresstive process) AR: quá trình tự hồi quy  bậc  p  có dạng như sau:      Yt  0  1Yt 1  2Yt 2  ...   pYt  p  ut     trong đó:  ut  là nhiễu trắng,  1  i  1, i  1, 2,...,p.     Quá trình trung bình trượt (Moving Averages) MA: quá trình trung  bình trượt bậc q là quá trình có dạng:     Yt  ut  1ut 1  ...   qut q , t  1, 2,..., n    trong đó  ut  là nhiễu trắng,  1  i  1, i  1,2,...,q.     12  CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH VAR   Chương  này  trình  bày  về  mô  hình  tự  hồi  quy  theo  véctơ  (VAR).  Mô  hình  VAR  là  mô  hình  kinh  tế  lượng  dùng  để  xem  xét  động  thái  và  sự  phụ  thuộc  lẫn  nhau  giữa  một  số  biến  theo  thời  gian.  Trong  mô  hình  VAR,  mỗi  biến số được giải thích bằng một phương trình chứa các giá trị trễ của chính  biến số đó và các giá trị trễ của các biến số khác.  2.1 Mô hình VAR 2.1.1 Định nghĩa   Mô hình  VAR là mô hình véc tơ các biến số tự hồi quy. Mỗi biến số  phụ thuộc tuyến tính vào các giá trị trễ của biến số này và giá trị trễ của các  biến số khác.    Mô hình VAR dạng tổng quát (Svetlozar, Mittnik, Fabozzi, Focadi, Teo  Jašić (2007), [7]):      Yt  AYt 1  A2Yt 2  ...  ApYt  p  st  ut                             (2.1.1)  1  Y1t   u1t  Y  u  2t  Trong đó:  Yt   ;   ut   2t  ;     ...   ...      Ymt  umt  Ai  là ma trận vuông cấp  m  m ;  i  1,2,... p ;   st  (s1t ,s 2t ,...,s mt ) ' .  Yt  bao gồm  m biến ngẫu nhiên dừng;  ut véc tơ các nhiễu trắng;  st véc tơ các  yếu tố xác định, có thể bao gồm các hằng số, xu thế tuyến tính hoặc đa thức.    Viết dưới dạng toán tử trễ, ta có:    Yt  ( A1L  A2 L2  ...  Ap Lp )Yt  st  ut                                (2.1.2)  Mô  hình  (2.1.1)  hay  (2.1.2)  được  gọi  là  mô  hình  VAR  cấp p,   ký  hiệu  VAR(p).