Tài liệu Mô hình phân tích ổn định thành giếng khoan phục vụ tối ưu hóa quỹ đạo giếng và dự báo khả năng xuất hiện cát trong khai thác dầu khí

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM THỊ BA LIÊN MÔ HÌNH PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH THÀNH GIẾNG KHOAN PHỤC VỤ TỐI ƢU HÓA QUỸ ĐẠO GIẾNG VÀ DỰ BÁO KHẢ NĂNG XUẤT HIỆN CÁT TRONG KHAI THÁC DẦU KHÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM THỊ BA LIÊN MÔ HÌNH PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH THÀNH GIẾNG KHOAN PHỤC VỤ TỐI ƢU HÓA QUỸ ĐẠO GIẾNG VÀ DỰ BÁO KHẢ NĂNG XUẤT HIỆN CÁT TRONG KHAI THÁC DẦU KHÍ Ngành : Cơ học kỹ thuật Chuyên ngành : Cơ học kỹ thuật Mã số : 60.52.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THẾ ĐỨC HÀ NỘI - 2011 1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 3 Chƣơng 1: MÔ HÌNH PHÂN BỐ ỨNG SUẤT QUANH LỖ GIẾNG KHOAN 5 1.1. Ứng suất tại một điểm .............................................................................. 5 1.2. Phân tích ứng suất trong không gian hai chiều ........................................ 8 1.3. Phân tích ứng suất trong không gian ba chiều ....................................... 11 1.4 Ứng suất trong hệ tọa độ trụ .................................................................. 16 1.5. Ứng suất quanh lỗ khoan nghiêng ......................................................... 18 1.6. Ứng suất tại thành lỗ khoan trong trƣờng ứng suất bất đẳng hƣớng ..... 21 1.7. Sự thay đổi của ứng suất ........................................................................ 23 Chƣơng 2: TIÊU CHUẨN PHÁ HỦY ĐẤT ĐÁ................................................ 26 2.1. Tiêu chuẩn Coulomb ............................................................................. 26 2.2. Tiêu chuẩn Mohr .................................................................................... 29 2.3. Tiêu chuẩn Mohr- Coulomb................................................................... 29 2.4. Tiêu chuẩn Hoek-Brown ........................................................................ 30 2.5. Tiêu chuẩn Drucker-Prager .................................................................... 30 2.6. Tiêu chuẩn Mogi .................................................................................... 30 2.7. Tiêu chuẩn Mogi-Coulomb .................................................................... 31 2.8. Tiêu chuẩn Mogi-Coulomb mở rộng ..................................................... 34 2.9. Tiêu chuẩn Lade sửa đổi ........................................................................ 36 Chƣơng 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN NGHIÊN CỨU ....................... 37 3.1. Ảnh hƣởng của sự thay đổi tiêu chuẩn phá hủy trong dự báo mất ổn định thành giếng và tối ƣu hóa quỹ đạo giếng ...................................................... 37 3.2. Kiểm định một số tiêu chuẩn phá hủy truyền thống trên cơ sở dữ liệu khoan ............................................................................................................. 46 3.3. Tính toán phục vụ thiết kế giếng khai thác cho một mỏ tại Việt Nam .. 57 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ............................................................................. 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 65 Phụ lục: LƢỢC ĐỒ VÀ CHƢƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN ............................... 67 2 A.1. Lƣợc đồ tính toán với tiêu chuẩn Mohr-Coulomb ................................ 67 A.2. Lƣợc đồ tính toán với tiêu chuẩn Mogi-Coulomb ................................ 68 A.3. Lƣợc đồ tính toán với tiêu chuẩn Lade sửa đổi..................................... 69 A.4. Chƣơng trình tính toán .......................................................................... 70 DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................... 79 DANH MỤC HÌNH VẼ ................................................................................ 80 3 MỞ ĐẦU Ổn định địa cơ học đã trở thành vấn đề đƣợc xem xét thƣờng xuyên trong phát triển mỏ từ khâu thăm dò đến khâu khai thác dầu khí. Mất ổn định địa cơ học thƣờng gặp khi khoan tại vùng nƣớc sâu, khoan các mỏ có áp suất cao nhiệt độ cao và khi khoan các giếng ngang, độ nghiêng lớn hay nhiều nhánh ([1]-[3]). Một vấn đề khác đòi hỏi phân tích ổn định địa cơ học liên quan đến sự xuất hiện cát khi khai thác ([4]-[6]). Khai thác chất lƣu vỉa chứa với lƣu lƣợng lớn (áp suất chảy đáy giếng thấp) gây ra sự sụp đổ thành hệ và cát có thể chảy lẫn trong chất lƣu khai thác. Nghiên cứu ổn định địa cơ học cũng có ý nghĩa trong việc dự báo khả năng sụt lún bề mặt, gãy nứt ống chống, ống khai thác – một vấn đề có thể gây nên những hậu quả kinh tế vô cùng lớn. Trong một số trƣờng hợp, mất ổn định địa cơ học có thể đƣợc cố tình tạo ra, ví dụ biện pháp gây nứt vỡ vỉa bằng thủy lực tạo đƣờng dẫn cho dầu thô vào giếng khoan - khi đó, nghiên cứu mất ổn định địa cơ học cũng là một công việc cần thiết để có thể đƣa ra những thiết kế quy trình công nghệ gây nứt vỡ vỉa tối ƣu. Trong số những vấn đề liên quan đến ổn định địa cơ học trong khai thác dầu khí thì mất ổn định thành lỗ giếng khoan là hiện tƣợng xảy ra thƣờng xuyên nhất và đƣợc quan tâm nhiều nhất. Nghiên cứu ổn định thành lỗ khoan đóng vai trò cốt lõi, quyết định thành công của nhiều nhiệm vụ quan trọng trong thăm dò và khai thác dầu khí nhƣ:  Dự báo khả năng mất ổn định giếng khoan nhằm đƣa ra giải pháp giảm thiểu hiện tƣợng sụp đổ thành lỗ khoan, kẹt cần khoan, mất dung dịch khoan cũng nhƣ tối ƣu quỹ đạo khoan.  Dự báo khả năng khai thác lẫn cát trong quá trình khai thác và đƣa ra giải pháp phòng tránh. Ngày nay, trên toàn thế giới, đầu tƣ vào các nghiên cứu liên quan đến phân tích ổn định thành lỗ khoan trong công nghiệp dầu khí đang tăng trƣởng mạnh mẽ. Lý do chính thúc đẩy quá trình này là nhiều công ty khai thác dầu khí đang phải chuyển hoạt động khai thác tới các vùng nƣớc sâu (đòi hỏi các giếng khoan dài và công nghệ khoan với tốc độ cao) hay hƣớng tới sử dụng các dạng giếng khoan ngang, độ nghiêng lớn hoặc nhiều nhánh. Trên thực tế, trong hai thập kỷ gần đây, địa cơ học dầu khí đã trở thành lĩnh vực thƣơng mại tăng trƣởng nhanh nhất về đầu tƣ kỹ thuật trong khu vực dịch vụ KHCN dầu khí. Mặc dù đƣợc quan tâm nghiên cứu rộng rãi thế giới, trình độ và điều kiện nghiên cứu vấn đề này ở Việt Nam hiện nay còn nhiều hạn chế. Tình trạng này gây khó 4 khăn cho chúng ta trong việc tiếp cận, làm chủ các công nghệ khoan-khai thác tiên tiến cũng nhƣ dự báo những rủi ro liên quan đến mất ổn định. Với lý do này, đề tài đề xuất mục tiêu nhằm bƣớc đầu nghiên cứu và áp dụng các phƣơng pháp phân tích ổn định trong một số nhiệm vụ quan trọng của thiết kế khai thác dầu khí: tối ƣu quỹ đạo giếng và dự báo khả năng khai thác dầu khí có cát. Các kết quả chính đạt được của luận văn là:  Tổng quan phƣơng pháp và xây dựng chƣơng trình tính toán dựa trên các mô hình giải tích phân tích ổn định thành lỗ khoan thông dụng.  Sử dụng chƣơng trình phân tích ổn định tự xây dựng trong nghiên cứu tối ƣu hóa quỹ đạo giếng và dự báo khả năng xuất hiện cát trong khai thác dầu khí. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Mô hình ứng suất quanh lỗ khoan. Trình bày một số khái niệm cơ bản về trạng thái ứng suất và phƣơng pháp mô hình hóa trạng thái ứng suất quanh lỗ khoan. Chương 2: Các tiêu chuẩn phá hủy. Mô tả một số tiêu chuẩn phá hủy đất đá, qua đó lựa chọn các tiêu chuẩn có tính đại diện cho chƣơng trình phân tích ổn định. Chương 3: Một số kết quả tính toán nghiên cứu và áp dụng. Trình bày một số kết quả kiểm định và sử dụng chƣơng trình trong phân tích ổn định thành hệ giếng phục vụ công tác khoan, khai thác dầu khí. Phần cuối cùng của luận văn trình bày kết luận và hƣớng phát triển tiếp theo của đề tài. 5 Chƣơng 1: MÔ HÌNH PHÂN BỐ ỨNG SUẤT QUANH LỖ GIẾNG KHOAN 1.1. Ứng suất tại một điểm Nếu một vật rắn chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều, thì ứng suất đơn giản là lực chia cho diện tích tác dụng. Ví dụ đối với vật rắn hình trụ đồng nhất có mặt cắt ngang A chịu nén theo chiều dọc một lực phân bố đều F nhƣ hình 1.1 (a), ứng suất theo phƣơng đứng trong hình trụ đƣợc định nghĩa là σ F A (1.1) Hình 1.1: Định nghĩa ứng suất Trong cơ học đơn vị của ứng suất là N m2 hay Pa . Các đơn vị khác là: psi = 6.895 kPa , kg cm 2 = 98.1 kPa , bar = 100 kPa . Thêm vào đó, ứng suất đƣợc quy ƣớc là dƣơng khi nén và âm khi kéo (lƣu ý điều này ngƣợc với quy ƣớc trong một số ngành nghiên cứu liên quan đến đàn hồi). Ứng suất luôn liên quan đến mặt phẳng cắt. Để minh họa điều này hãy xem xét mặt cắt A' trong hình 1.1 (b). Ở đây, diện tích A' là lớn hơn và lực tác dụng không vuông góc với mặt cắt. Lực tác dụng này có thể phân tích thành 2 thành phần (xem hình 1.2): Fn vuông góc với mặt cắt và Fs song song với mặt cắt. Thành phần: n  Fn A' (1.2) 6 gọi là ứng suất pháp tuyến của mặt cắt còn thành phần : Fs A'  (1.3) là ứng suất tiếp tuyến của mặt cắt. Nhƣ vậy, diện tích mặt cắt và hƣớng của lực là các yếu tố quan trọng để xác định trạng thái ứng suất. Hai thành phần ứng suất sẽ tác dụng lên mặt cắt và độ lớn của mỗi phần phụ thuộc vào hƣớng của mặt cắt. Hình 1.2: Phân tích lực Để xác định ứng suất tại một điểm, chia mặt cắt A' thành các phân tố mặt cắt A' chịu tác dụng của tải trọng F nhƣ thấy trên hình 1.3. Phân tố lực F đƣợc phân tích thành hai thành phần Fn và Fs . Các thành phần lực này sẽ thay đổi theo hƣớng của phân tố mặt cắt A' . Hình 1.3: Ứng suất tại một điểm Tại mỗi điểm trong miền A' , mỗi thành phần ứng suất đƣợc định nghĩa là giá trị tới hạn của tải trọng trung bình trên một đơn vị diện tích khi A' tiến đến 0:  n  lim A 0 '   lim A' 0 Fn A' Fs A' (1.4) (1.5) 7 Công thức trên xác định ứng suất tại một điểm. Để miêu tả đầy đủ trƣờng ứng suất tại một điểm, cần thiết xác định những ứng suất theo 3 hƣớng trực giao, theo 3 mặt của hình lập phƣơng vô cùng bé. Trên mỗi mặt của hình lập phƣơng có ứng suất pháp tuyến và ứng suất tiếp tuyến. Xem xét mặt phẳng vuông góc với phƣơng x (gọi là mặt phẳng x ), ứng suất pháp đƣợc ký hiệu là  x , trong đó chỉ số dƣới x để chỉ thành phần trực giao tác động lên mặt phẳng x . Ứng suất tiếp tuyến tác dụng theo phƣơng bất kỳ nằm trong mặt phẳng này và vì vậy đƣợc phân tách thành hai thành phần  xy và  xz trong đó chỉ số dƣới thứ nhất chỉ mặt phẳng tác động và chỉ số dƣới thứ hai chỉ phƣơng tác dụng của nó (Hình 1.4). Hình 1.4: Các thành phần ứng suất Tƣơng tự nhƣ vậy, thành phần ứng suất liên quan đến mặt vuông góc với trục y đƣợc ký hiệu là  y ,  yx và  yz ; thành phần ứng suất liên quan đến mặt vuông góc với trục z đƣợc ký hiệu là  z ,  zx và  zy . Do vậy tại một điểm bất kỳ có 9 thành phần ứng suất và có thể biểu diễn dạng ten sơ nhƣ sau:   x  xy  xz        yx y yz     zx  zy  z  (1.6) Do vật thể đƣợc giả sử là đứng yên nên các lực và mô men tác động lên vật thể sẽ ở trạng thái cân bằng. Xem xét một hình vuông nhỏ trên mặt phẳng x  y với các ứng suất tác động lên nó nhƣ thấy trên Hình 1.6. Với lực ứng với các thành phần ứng suất trực giao ở trạng thái cân bằng, điều kiện mô men quay bằng không cần có,  xy   yx Tƣơng tự, cũng có thể thấy rằng: (1.7) 8  yz   zy và  xz   zx (1.8) Hình 1.5: Các thành phần ứng suất trong không gian ba chiều Hình 1.6: Các thành phần ứng suất trong không gian hai chiều Do sự bằng nhau của từng cặp ứng suất tiếp nên số thành phần độc lập của tensơ ứng suất (1.6) sẽ giảm từ 9 xuống 6, bao gồm 3 thành phần ứng suất pháp và 3 thành phần ứng suất tiếp:   x  xy  xz     yx  y  yz     zx  zy  z  1.2. Phân tích ứng suất trong không gian hai chiều Xét thành phần ứng suất tiếp và ứng suất pháp của một phân tố hình vuông rất nhỏ nhƣ hình 1.6. Pháp tuyến của mặt phẳng phân tố nghiêng một góc  so với trục x đƣợc biểu diễn nhƣ hình 1.7. Tam giác trong hình vẽ ở trạng thái cân bằng, vì vậy không có lực nào nữa tác dụng lên chúng. Do hệ lực cân bằng nên có biểu thức sau: 9    x cos2    y sin 2   2 xy sin  cos 1 2   ( y   x ) sin 2   xy cos 2 (1.9) (1.10) Hình 1.7: Các thành phần ứng suất trong mặt phẳng xiên Các phƣơng trình trên chứng tỏ rằng nếu biết 3 thành phần ứng suất nằm trong mặt phẳng trực giao thì thành phần ứng suất tiếp và ứng suất pháp trên mặt phẳng nghiêng bất kỳ đều xác định đƣợc. Để thu đƣợc thành phần ứng suất pháp tuyến khi không có ứng suất tiếp tuyến, cho  =0 trong phƣơng trình (1.10), ta đƣợc kết quả là: tan 2  2τ xy σx  σy (1.11) Trong đó  là góc nghiêng của mặt phẳng. Phƣơng trình (1.11) giải ra đƣợc hai giá trị của  ( 1 và  2 tƣơng ứng với hai phƣơng trong trƣờng hợp không có ứng suất tiếp). Hai phƣơng đó gọi là phƣơng ứng suất chính và mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng chính. Ứng suất pháp tuyến theo các phƣơng chính,  1 và  2 gọi là ứng suất chính theo các phƣơng 1 và  2 : 1 1 σ1  (σ x  σ y )  τ 2xy  (σ x  σ y ) 2 2 4 (1.12) 1 1 σ 2  (σ x  σ y )  τ 2xy  (σ x  σ y ) 2 2 4 (1.13) 10 Chỉ số dƣới sử dụng với quy ƣớc rằng  1   2 . Vì vậy trong phân tích ứng suất phẳng, ứng suất pháp lớn nhất theo phƣơng 1 và ứng suất pháp nhỏ nhất theo phƣơng  2 , ứng với ứng suất tiếp bằng không. Các trục chính luôn trực giao với nhau. Nếu hệ thống trục đƣợc định hƣớng là trục x song song với ứng suất lớn nhất và trục y - song song với ứng suất chính khác thì ứng suất pháp tuyến , ứng suất tiếp tuyến  theo phƣơng nghiêng một góc  đối với trục x trở thành: 1 2 1 2   ( 1   2 )  ( 1   2 ) cos 2 1 2   ( 1   2 ) sin 2 (1.14) (1.15) Biểu diễn mối quan hệ giữa  và  trên đồ thị sẽ thu đƣợc vòng tròn với bán kính ( 1   2 ) / 2 và tâm tại điểm có ( 1   2 ) / 2 . Vòng tròn này đƣợc gọi là vòng tròn Mohr ( hình 1.8a). Một điểm trên vòng tròn Mohr cho biết độ lớn của ứng suất tiếp, ứng suất pháp của mặt phẳng nghiêng một góc  với chiều của ứng suất chính lớn nhất  1 ( hình 1.8b). Hình 1.8: Vòng tròn Mohr và các thành phần ứng suất trong mặt phẳng. Nhìn vào hình vẽ thấy ứng suất tiếp lớn nhất tại vị trí ( 1   2 ) / 2 khi    / 4  45o and   3 / 4  135o . Một trƣờng hợp đặc biệt phát sinh khi  1   2 thì tâm vòng tròn Mohr sẽ nằm tại gốc tọa độ. Trong trƣờng hợp này, không có ứng suất tại các mặt phẳng có ứng suất tiếp lớn nhất và trạng thái ứng suất đƣợc gọi là ở điều kiện cắt thuần túy. Điều kiện này là cơ sở cho một số tiêu 11 chuẩn phá hủy trong nghiên cứu đàn hồi kim loại. Vòng tròn Mohr là công cụ hữu ích cho việc phân tích các điều kiện cho sự phá hủy đất đá nhƣ đƣợc trình bày trong chƣơng tiếp sau. 1.3. Phân tích ứng suất trong không gian ba chiều Phân tích trạng thái ứng suất phẳng chỉ xét cân bằng trong mặt phẳng theo phƣơng x , y và 3 thành phần ứng suất độc lập biểu diễn trạng thái ứng suất tại một điểm bất kỳ. Phân tích ứng suất không gian sử dụng 6 thành phần ứng suất (3 thành phần ứng suất pháp, 3 thành phần ứng suất tiếp) để miêu tả trạng thái ứng suất của một điểm. Những thành phần ứng suất này phụ thuộc vào hƣớng của khối lập phƣơng, Vì vậy hƣớng mà các thành phần ứng suất pháp có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất cần phải đƣợc xem xét. Điều này xảy ra khi các thành phần ứng suất tiếp tuyến bằng không. Các phƣơng đó là các phƣơng ứng suất chính và tenso ứng suất tại một điểm có dạng đơn giản là : 1 0 0       0 2 0  0 0   3  (1.16) Trong đó,  1 là ứng suất pháp lớn nhất,  2 là ứng suất pháp trung gian,  3 là ứng suất pháp nhỏ nhất (  1 ≥  2 ≥  3 ). Kết quả là có 3 ứng suất chính và các hƣớng chính cần chỉ rõ để trạng thái ứng suất tại một điểm đƣợc xác định. Trong phân tích trạng thái ứng suất không gian, các hƣớng trong không gian đƣợc xác định bởi các cosin chỉ phƣơng. x  cos x ; y  cos y ; z  cos z (1.17) Trong đó:  x ,  y và  z là các góc giữa các hƣớng chọn tƣơng ứng với các trục x, y, z. Véc tơ   (x , y , z ) là các véc tơ đơn vị theo các phƣơng đã chọn. 2x  2y  2z  1 (1.18) Các ứng suất chính có thể đƣợc tìm bằng cách giải phƣơng trình sau đây : 12 σx  σ p τ xy τ xz τ xy σy σp τ yz τ xz τ yz σz  σ p 0 (1.19) mà từ đó nhận đƣợc phƣơng trình bậc ba σ 3p  I1σ 2p  I 2 σ p  I 3  0 (1.20) Trong đó: I1  σ x  σ y  σ z I 2  σ x σ y  σ y σ z  σ z σ x  τ xy2  τ yz2  τ zx2 (1.21) I 3  σ x σ y σ z  2τ xy τ yz τ zx  σ τ  σ τ  σ τ 2 x yz 2 x zx 2 z xy Hình 1.9: Các cosin chỉ phƣơng I 1 , I 2 và I 3 là các bất biến của trạng thái ứng suất tại một điểm. Giải phƣơng trình (1.20) nhận đƣợc ba giá trị ứng suất chính là các giá trị thực và theo quy ƣớc  1 >  2 >  3 . Các vectơ đơn vị 1x , 1 y và 1z xác định trục chính tƣơng ứng với ứng suất chính  1 thu nhận từ phƣơng trình: 1x ( x   1 )  1 y xy  1z xz 0, 1x xy  1 y ( y   1 )  1z yz  0, 1x xz  1 y yz  1z ( z   1 )  0. (1.22) 13 Tƣơng tự nhƣ trên thì các trục chính tƣơng ứng với ứng suất chính  2 và  3 cũng đƣợc xác định từ phƣơng trình: 2x ( x   2 )  2 y xy  2 z xz 0, 2 x xy  2 y ( y   2 )  2 z yz  0, (1.23) 2 x xz  2 y yz  2 z ( z   2 )  0. 3x ( x   3 )  3 y xy  3 z xz 0, 3 x xy  3 y ( y   3 )  3 z yz  0, (1.24) 3 x xz  3 y yz  3 z ( z   3 )  0. Từ phƣơng trình (1.20) đến (1.24), xác định đƣợc ứng suất chính và phƣơng chính của trạng thái ứng suất ba chiều. Nếu sử dụng hệ trục tọa độ sao cho trục x song song với trục chính thứ nhất, trục y song song với trục chính thứ hai và trục z song song với trục chính thứ 3 thì tensơ ứng suất có dạng phƣơng trình (1.16). Trong hệ trục này, ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại một điểm đƣợc xác định từ phƣơng trình: 12 12  22 22  32 32  0, 12 12  22 22  32 32   2   2 . (1.25) Vòng tròn Mohr cho trạng thái ứng suất không gian có thể đƣợc thiết lập từ phƣơng trình (1.25). Xem xét mặt phẳng trong phân tố lập phƣơng nhƣ hình 1.10. Đối với mặt phẳng này 3  0 , vì vậy các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt phẳng không phụ thuộc vào  3 mà chỉ phụ thuộc vào thành phần  1 và  2 . Khi đó, mối quan hệ giữa  và  đƣợc biểu diễn bởi vòng tròn từ  1 đến  2 nhƣ hình vẽ. Nếu mặt phẳng vuông góc với phƣơng của ứng suất  1 thì 1  0 và mối quan hệ giữa  và  đƣợc biểu diễn bởi vòng tròn  2 -  3 . Tƣơng tự nhƣ vậy nếu mặt phẳng vuông góc với phƣơng của ứng suất  2 thì 2  0 và mối quan hệ giữa  và  đƣợc biểu diễn bởi vòng tròn  1 -  3 . Đối với các phƣơng khác thì điều kiện ứng suất nằm trong vùng gạch đậm. 14 Hình 1.10: Vòng tròn Mohr ứng suất biểu diễn trạng thái ứng suất không gian * Ứng suất bát diện (octahedral stress) Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nghiêng đều với 3 trục chính có cosin chỉ phƣơng: 1  2  3  1 3 (1.26) gọi là mặt phẳng bát diện, do nó song song với một mặt của một bát diện có các đỉnh nằm trên các trục chính. Thành phần ứng suất pháp tuyến và tiếp tuyến của mặt phẳng này gọi là ứng suất pháp bát diện  oct và ứng suất tiếp bát diện  oct . Hình 1.11: Mặt phẳng bát diện và ứng suất bát diện 15 1 I σ oct  ( 1   2   3 )  1 3 3 1  oct  ( 2   3 ) 2  ( 3   1 ) 2  ( 1   2 ) 2 3 (1.27) hay  oct  2 ( 12   22   32   1 2   2 3   3 1 ) 3 (1.28) và có thể biểu diễn thông qua các bất biến :  oct 1 2 2  ( I1  3I 2 ) 2 3 (1.29) * Ứng suất lệch (deviatoric stress) Công thức (1.27) cho thấy ứng suất pháp bát diện hiển nhiên là ứng suất trực giao trung bình (  m ) mà nó không phụ thuộc vào hệ tọa độ, hay nói cách khác là một bất biến có giá trị bằng I1/3. Ứng suất trực giao trung bình còn đƣợc gọi là ứng suất thủy tĩnh. Ứng suất này chủ yếu gây ra nén ép hoặc giãn nở đồng đều. Tƣơng phản với nén ép hay giãn nở đồng đều là sự biến dạng bóp méo đƣợc xác định bởi ứng suất xiên đƣợc gọi là ứng suất lệch. Các ứng suất lệch đƣợc xác định bởi công thức:  sx  s   s xy  s xz  s xy sy s yz s xz   x   m  xy  xz     s yz     xy  y  m  yz  s z    xz  yz  z   m  (1.30) Phƣơng chính của ứng suất lệch trùng với phƣơng chính của ứng suất. Các ứng suất lệch chính s1 , s2 , s3  có thể đƣợc tính từ các ứng suất chính và ứng suất thủy tĩnh theo công thức sau: s1   1   m  (2 1   2   3 ) / 3, s2   2   m  (2 2   1   3 ) / 3, (1.31) s3   3   m  (2 3   1   2 ) / 3 Trong đó s1  s2  s3 . Nhiều tiêu chuẩn phá hủy quan tâm đến sự biến dạng bóp méo. Do các tiêu chuẩn phá hủy bắt buộc phải không phụ thuộc vào hệ tọa độ, các bất biến 16 của ứng suất lệch cần phải có mặt trong các tiêu chuẩn này. Các bất biến này thƣờng đƣợc ký hiệu là J 1 , J 2 , J 3 và đã đƣợc xác định bằng: J1   x   y   z  0, 2 2 J 2  ( s x s y  s y s z  s z s x )  s xy  s yz  s zx2 , (1.32) 2 2 J 3  s x s y s z  2s xy s yz s zx  s x s yz  s y s zx2  s z s xy . Sử dụng phƣơng trình trên, có thể thu nhận đƣợc biểu diễn sau cho ứng suất tiếp bát diện: 1 2  oct  (2 J 2 / 3) . (1.33) 1.4 Ứng suất trong hệ tọa độ trụ Một hệ tọa độ trụ là phù hợp nhất để phân tích ứng suất quanh giếng khoan. Hệ tọa độ Đề các ( x, y, z ) và hệ tọa độ trụ ( r ,  , z ) đƣợc minh họa trên hình 1.12. Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ đƣợc thực hiện theo phƣơng trình: r  ( x 2  y 2 )1/ 2 arctan y / x  (1.34) x  r cos , y  r sin  (1.35) Hình 1.12: Chuyển đổi giữa hệ tọa độ trụ và tọa độ Đề Các : (a) Góc quay quanh trục z' ; (b) Ứng suất trong hệ tọa độ trụ. Trong hệ tọa độ trụ tensơ ứng suất tại mỗi điểm là: 17  σr   τ rθ τ  rz τ rθ σθ τ θz τ rz   τ θz  σ z  (1.36) Trong đó:  r là ứng suất hƣớng tâm,   là ứng suất tiếp tuyến và  z là ứng suất dọc trục. Lƣu ý rằng ký hiệu  sẽ đƣợc sử dụng cho tất cả các thành phần ứng suất từ đây trở về sau. Các ứng suất này có liên hệ với các ứng suất trong hệ trục tọa độ Đề Các qua phƣơng trình chuyển ứng suất sau [3] :  σx   σ yx σ  zx σ xy σy σ xy σ xz   λxx'   σ yz  =  λ yx'  σ z   λzx' λxy' λ yy' λxy' λxz'   σ x'  λ yz'   σ yx'  λzz'   σ zx' σ xz'   λ   xx' σ yz'   λ yx' σ z'   λzx' σ xy' σ y' σ xy' λxy' λ yy' λxy' T λxz'   λ yz'  (1.37) λzz'  Trong đó các thành phần ứng suất ở bên phải trong biểu thức này giả thiết đã biết, đó là các ứng suất trong hệ tọa độ ( x, , y , , z , ) lệch so với hệ tọa độ ( x, y, z ) . Việc chuyển đổi đƣợc thực hiện bởi các cosin chỉ phƣơng (xx' , yy' , z z ' ) . Ví dụ số hạng xx' chỉ cosin góc giữa trục x và trục x' . Ma trận đầu tiên ở phía bên phải là ma trận quay và ma trận cuối là ma trận chuyển vị của nó. Việc chuyển từ hệ tọa độ ( x, , y , , z , ) sang tọa độ trụ r, , z  có thể thu đƣợc bằng một góc quay  quanh trục z ' nhƣ thấy trên hình 1.12. Ma trận quay tƣơng ứng là:  cos θ sin θ 0      sin θ cos θ 0   0 0 1   (1.38) Tiếp tục với phép nhân ma trận bên vế phải của phƣơng trình chuyển ứng suất, sử dụng ma trận quay ở trên và thay thế ma trận ở vế trái bởi phƣơng trình (1.36), ta có công thức sau đây cho các thành phần ứng suất trong hệ tọa độ trụ: 18  r   x ' cos    y ' sin 2   2 x ' y ' sin  cos  2     x ' cos 2    y ' sin 2   2 x ' y ' sin  cos   z   z'  r  ( y '   x ' ) sin  cos    x ' y ' (cos 2   sin 2  ) (1.39)  rz   x 'z ' cos    y 'z ' sin   z   y 'z ' cos    x 'z ' sin  1.5. Ứng suất quanh lỗ khoan nghiêng Phần này mô tả ứng suất quanh giếng khoan lệch với trƣờng ứng suất ngang dị hƣớng. Giả thiết rằng ứng suất chính tại chỗ theo phƣơng đứng là  v , ứng suất lớn theo phƣơng ngang là  H và ứng suất phụ theo phƣơng ngang là  h . Các ứng suất đƣợc gắn với hệ tọa độ x' , y' , z ' nhƣ minh họa trên hình 1.13(a). Trục z , song song với  v , trục x , - song song với  H và trục y , - song song với  h . Các ứng suất này cần đƣợc chuyển về mô hệ tọa độ x, y, z  khác nhằm mô tả phân bố ứng suất quanh lỗ khoan thuận tiện hơn. Hình 1.13b cho thấy hệ tọa độ ( x, y, z ) mà trong đó trục z là song song với trục lỗ khoan, trục x song song với chiều bán kính thấp nhất của lỗ khoan và trục y là nằm ngang. Chuyển đổi này có thể thu đƣợc bằng cách quay một góc  quanh trục z , , và sau đó một góc i quanh các trục y , (hình 1.14). Hình 1.13: Hệ tọa độ ứng suất tại chỗ