Tài liệu Mô hình black scholes trong định giá chứng khoán phái sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN QUỐC KHÁNH ——————————————- TRẦN QUỐC KHÁNH MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES TRONG ĐỊNH GIÁ CHỨNG KHOÁN PHÁI SINH TOÁN TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN 2016B Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————————- TRẦN QUỐC KHÁNH MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES TRONG ĐỊNH GIÁ CHỨNG KHOÁN PHÁI SINH Chuyên ngành: TOÁN TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TỐNG ĐÌNH QUỲ Hà Nội - 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Tống Đình Quỳ. Các nội dung nghiên cứu và kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Những số liệu phục vụ cho việc thực nghiệm, phân tích và đánh giá đã được tác giả chỉ rõ nguồn. Ngoài ra, trong luận văn có sử dụng một khái niệm, định lý và kết quả từ những tác giả khác đều được tác giả chú thích và trích dẫn rõ ràng trong phần tài liệu tham khảo. Nếu có bất kỳ phát hiện gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 9 năm 2018 Học viên Trần Quốc Khánh 3 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn và lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Tống Đình Quỳ, người thầy đã tận tâm hướng dẫn và chỉ bảo để tác giả có thể hoàn thành luận văn này. Bên cạnh đó, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô tại Viện Toán ứng dụng và Tin học đã tận tình giúp đỡ và truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TS. Nguyễn Văn Hữu và TS. Nguyễn Hữu Tiến đã cho tác giả những lời nhận xét và đóng góp quý báu để tác giả hoàn thiện luận văn này hơn. Ngoài ra, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới ban lãnh đạo cũng như các anh chị tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau đại học đã nhiệt tình hỗ trợ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong việc tổ chức học tập và giảng dạy. Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới những người bạn đã đồng hành và khích lệ tác giả trong suốt thời gian qua. Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự thông cảm và góp ý từ các thầy cô và tất cả mọi người. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 9 năm 2018 Học viên Trần Quốc Khánh 4 Mục lục Danh mục các ký hiệu 7 Danh mục các hình vẽ 8 Mở đầu 9 1. Những khái niệm cơ bản trong tài chính 11 1.1. Hàng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Giá trị thời gian của tiền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Lãi đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Lãi gộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Nguyên lý phi cơ lợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Chứng khoán phái sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.1. Hợp đồng kỳ hạn và hợp đồng tương lai . . . . . . . . . . . 19 1.7.2. Hợp đồng hoán đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.3. Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Giải tích ngẫu nhiên 30 2.1. Cơ sở lý thuyết và những khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . 30 5 MỤC LỤC 2.2. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.3. Chuyển động Brown (Quá trình Wiener) . . . . . . . . . . 41 2.3. Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . 43 2.3.1. Tích phân và vi phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2. Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . 49 2.3.3. Tích phân Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.4. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. Mô hình Black-Scholes trong định giá chứng khoán phái sinh 56 3.1. Giới thiệu mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2. Phương trình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3. Công thức Black-Scholes định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . 59 3.3.1. Công thức Black-Scholes định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2. Công thức Black-Scholes định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4. Thực nghiệm và đánh giá mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.1. Ước lượng tham số mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.2. Tiêu chuẩn kiểm định phân bố chuẩn độc lập . . . . . . . . 65 3.4.3. Tiến hành thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.4. Đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 78 6 Danh mục các ký hiệu N Tập các số tự nhiên R Tập các số thực R+ Tập các số thực không âm Rn Không gian các số thực n-chiều ∅ Tập rỗng B Tập Borel B(E) σ -trường Borel của không gian metric E BR σ -trường Borel trên đường thẳng R AC Phần bù của tập A ⊗ σ -trường tích R Lr (Ω, µ)  Tập các hàm đo được f sao cho Ω |f |r dµ < ∞ 1 nếu ω ∈ A, 1A (ω) = Hàm chỉ tiêu của biến cố A 0 nếu ω ∈ / A. FtX l.i.m [X] [X, Y ] Rt 0 Lịch sử của quá trình X Giới hạn theo trung bình Biến phân bậc hai của quá trình X Biến phân bậc hai của hai quá trình X và Y f (s, ω) ◦ dWs Tích phân Stratonovich 7 Danh mục các hình vẽ 3.1. Phân vị Q-Q của giá chứng khoán VIX. . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Tương quan chuỗi của giá chứng khoán VIX. . . . . . . . . . . . . 68 3.3. Giá quyền chọn mua trên chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018. 69 3.4. Giá quyền chọn bán trên chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018. 69 3.5. Phân vị Q-Q của giá chứng khoán SPY. . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6. Tương quan chuỗi của giá chứng khoán SPY. . . . . . . . . . . . . 71 3.7. Giá quyền chọn mua trên chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018. 72 3.8. Giá quyền chọn bán trên chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018. 72 3.9. Giá quyền chọn mua trên chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 khi tham số σ được thay bằng hệ số biến động kéo theo. . . . . . 74 3.10. Giá quyền chọn mua trên chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 khi tham số σ được thay bằng hệ số biến động kéo theo. . . . . . 74 3.11. Giá quyền chọn bán trên chứng khoán VIX đáo hạn ngày 3/10/2018 khi đã điều chỉnh tham số σ của mô hình giảm đi 0.3. . . . . . . . 75 3.12. Giá quyền chọn bán trên chứng khoán SPY đáo hạn ngày 3/10/2018 khi đã điều chỉnh tham số σ của mô hình tăng thêm 0.05. . . . . . 75 8 Mở đầu Trong thời đại công nghệ thông tin bùng nổ, đặc biệt, cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 đang là mối quan tâm hàng đầu của mỗi quốc gia. Toán học ngày càng đóng vai trò quan trọng trong cơ sở lý thuyết tạo nên các mô hình, thuật toán được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Cùng với đó, ngành tài chính cũng đang ứng dụng và khai thác mạnh mẽ các lợi ích mà công nghệ mang lại. Ngày càng nhiều các thuật toán và mô hình được đề xuất mới hoặc cải thiện. Mô hình Black-Scholes là một trong những mô hình nổi tiếng trong việc định giá quyền chọn đã được đưa ra từ năm 1973 và đánh đấu bước ngoặt quan trọng của ngành Toán tài chính. Mô hình này mặc dù đã được ra đời từ khá lâu nhưng nó vẫn giữ vai trò quan trọng và là nền tảng cho nhiều thuật toán cải tiến sau này. Tìm hiểu và nghiên cứu mô hình này giúp tác giả có những hiểu biết ban đầu về Toán tài chính và thấy được ứng dụng của nó trong ngành tài chính nói chung và chứng khoán nói riêng. Hơn nữa, quyền chọn là một sản phẩm chứng khoán phái sinh chưa được đưa vào thị trường Việt Nam. Tác giả mong muốn rằng một ngày gần nhất được ứng dụng mô hình Black-Scholes đối với thị trường Việt Nam. Trên đây chính là những lý do tác giả chọn đề tài “Mô hình Black-Scholes trong định giá chứng khoán phái sinh” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Nội dung của luận văn gồm 3 chương, cụ thể như sau: Chương 1: Tác giả giới thiệu một số khái niệm cơ bản trong ngành tài chính, đặc biệt là các khái niệm trong thị trường chứng khoán. Bên cạnh đó, tác giả cũng phát biểu nguyên lý đóng vai trò vô cùng quan trọng trong ngành Toán 9 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ tài chính, đó là nguyên lý Phi cơ lợi. Chương 2: Chương này, tác giả trình bày những nền tảng Toán học quan trọng tạo nên mô hình Black-Scholes, là giải tích ngẫu nhiên. Cụ thể, tác giả trình bày những khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu nhiên. Sau đó, tác giả trình bày khái niệm quá trình ngẫu nhiên và một số quá trình ngẫu nhiên phổ biến. Cuối cùng, tác giả trình bày về tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên với hai tích phân điển hình là tích phân Ito và tích phân Stratonovich. Chương 3: Tác giả trình bày mô hình và phương trình Black-Scholes, qua đó đưa ra công thức Black-Scholes trong định giá quyền chọn kiểu châu Âu. Cuối cùng tác giả cài đặt và chạy thực nghiệm mô hình Black-Scholes, từ đó đưa ra những đánh giá và kết luận về mô hình. Trong suốt quá trình nghiên cứu, tác giả đã tham khảo một số tài liệu về xác suất, thống kê và giải tích toán học; các tài liệu chuyên khảo về toán tài chính từ cả những nguồn trong và ngoài nước. Để phục vụ cho thực nghiệm, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình python - một ngôn ngữ lập trình rất phổ biến trong giới nghiên cứu hiện nay. Các số liệu sử dụng trong thực nghiệm cũng được tác giả lấy từ nguồn tin cậy là địa chỉ "https://finance.yahoo.com". Sau đây là nội dung chi tiết luận văn. 10 Chương 1 Những khái niệm cơ bản trong tài chính 1.1 Hàng hóa Hàng hóa (Commodity) là những sản phẩm như kim loại quý, dầu mỏ, thực phẩm,... Những sản phẩm này được trao đổi để phục vụ nhu cầu của đời sống hàng ngày từ đó tạo ra giá trị cho hàng hóa. Giá của chúng khó dự đoán trước được nhưng thường xuyên thay đổi theo mùa vụ và theo nhu cầu sử dụng. Khi những sản phẩm khan hiếm sẽ đẩy giá của hàng hóa tăng cao. Hàng hóa có thể được buôn bán bởi những người không thực sự có nhu cầu sử dụng nó mà chỉ dự trữ và phân phối nó. Đa số các giao dịch được thực hiện trên thị trường tương lai, mua hoặc bán tại một số thời điểm trong tương lai. Các giao dịch này sau đó được đóng lại trước khi hàng hoá được giao. Ở những phần sau chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về việc thực hiện những giao dịch trong tương lai như thế nào qua hợp đồng kỳ hạn, hợp đồng tương lai, quyền chọn,... 11 1.2. TIỀN TỆ 1.2 Tiền tệ Đã từ rất lâu, khi mà trình độ sản xuất ngày càng phát triển và nhu cầu trao đổi hàng hóa của con người ngày càng tăng cao đòi hỏi một vật trao đổi ngang giá thuận tiện hơn ngoài kim loại, đá quý. Từ đó tiền ra đời và là vật ngang giá được sử dụng phổ biến nhất trong các hoạt động thương mại cho đến nay. Tiền thường được nhà nước phát hành và bảo đảm giá trị bởi các tài sản khác như vàng, bạc, đá quý, trái phiếu, ngoại tệ. Tiền thường được làm bằng giấy, kim loại và gần đây nhất là tiền điện tử được một thuật toán mã hóa trên một mạng máy tính phát hành như Bitcoin, Ethereum. Tiền tệ (Currency) chỉ là tiền đơn thuần khi được sử dụng để trao đổi và thanh toán, là một hệ thống tiền lưu thông khi phục vụ việc trao đổi hàng hóa và dịch vụ trong một quốc gia hay một nền kinh tế, được ban hành và điều tiết bởi nhà nước của quốc gia đó. Mỗi quốc gia hay vùng lãnh thổ sẽ quy định một đơn vị tiền tệ (thường có tên gắn với tên quốc gia đó) và đảm bảo giá trị cho nó như VNĐ, USD, Yen. Sự khác nhau của giá trị tiền tệ giữa các quốc gia tạo ra các giao dịch tiền tệ và hình thành lên thị trường trao đổi ngoại tệ. Một vài đơn vị tiền tệ được coi là đơn vị giao dịch chung như USD, EURO, Pound còn một vài đơn vị tiền tệ khác được thả nổi tự do nhưng phải đảm bảo sự nhất quán về tỷ lệ trao đổi. Thị trường giao dịch tiền tệ cũng là thị trường giao dịch cơ sở để tạo những thị trường giao dịch khác như thị trường vàng, thị trường chứng khoán, ... 1.3 Giá trị thời gian của tiền Trong thực tế, giá trị của tiền luôn thay đổi, 1 đồng của ngày hôm nay có thể có giá trị nhiều hơn hoặc ít hơn sau một năm tới. Điều này phụ thuộc vào những gì ta làm với 1 đồng đó. Chúng ta có thể cất giữ tiền vào một nơi bí mật nào đó, qua một năm, nền kinh tế xảy ra lạm phát, khi đó, giá trị của 1 đồng đã bị 12 1.3. GIÁ TRỊ THỜI GIAN CỦA TIỀN giảm so với giá trị ban đầu của nó. Ngược lại, nếu nền kinh tế tăng trưởng, giá trị của đồng tiền tăng cao, khi ấy giá trị của 1 đồng tăng lên so với giá trị ban đầu của nó. Bên cạnh việc cất giữ tiền chúng ta cũng có thể mang tiền đi đầu tư như cho vay hoặc gửi ngân hàng,... lúc này giá trị của đồng tiền phụ thuộc vào lãi suất hay lợi nhuận thu được từ số tiền ban đầu. Từ đó, đòi hỏi chúng ta phải có các mô hình và cách thức tính lãi suất để tránh rủi ro và thu được lợi nhuận cao nhất. Dưới đây là một số cách tính lãi suất phổ biến. 1.3.1 Lãi đơn Giả sử một người gửi vào ngân hàng một số tiền P , với lãi suất r > 0 (ở đây, ta coi r là một hằng số) và thời hạn là n năm. Lãi đơn (simple interest) là số tiền lãi người đó nhận được chỉ dựa trên số tiền gửi P ban đầu. Tức là số tiền lãi sau mỗi kỳ tính lãi sẽ không sinh lời trong kỳ tiếp theo mà được trả cho người gửi bằng tiền mặt hoặc một hình thức thanh toán nào đó. Ví dụ, nếu ta coi đơn vị thời gian tính lãi là theo năm, sau một năm số tiền lãi thu được là rP . Khi đó giá trị của khoản đầu tư sẽ là V (1) = P + rP = (1 + r)P. Sau 2 năm giá trị của khoản đầu tư sẽ là V (2) = V (1) + rP = P + rP + rP = (1 + 2r)P. Và như vậy, sau n năm giá trị của khoản đầu tư sẽ là V (n) = (1 + nr)P. Thông thường, người ta thường tính lãi theo đơn vị thời gian ngày thay vì đơn vị thời gian năm. Khi đó, số tiền lãi thu được sau một ngày sẽ là 1 365 rP (ở đây, ta quy ước số ngày trong 1 năm là 365 ngày, quy ước này tùy theo quy ước của thị trường). Như vậy, số tiền lãi sau n ngày là 13 n 365 rP và tổng giá trị của khoản 1.3. GIÁ TRỊ THỜI GIAN CỦA TIỀN đầu tư sau n ngày sẽ là V 1.3.2  n  365  = 1+ n r P. 365  Lãi gộp Tương tự như lãi đơn, chúng ta cũng giả sử rằng, một người gửi vào ngân hàng một số tiền P với lãi suất không đổi r > 0 được trả hàng năm, thời hạn là n năm. Tuy nhiên, khác với trường hợp lãi đơn, trong trường hợp này, số tiền lãi sau mỗi kỳ được trả sẽ được gửi tiếp cùng với số tiền vốn ban đầu vào kỳ tiếp để sinh lời. Như vậy, không chỉ có số tiền gốc sinh ra lãi mà cả số tiền lãi cũng tiếp tục sinh ra lãi và được gọi là lãi gộp (compound interest). khi đó, sau một năm số tiền cả gốc lẫn lãi sẽ là V (1) = P + rP = (1 + r)P. Nhưng lần này, sau 2 năm số tiền sẽ là V (2) = V (1) + V (1)r = (P + rP ) + (P + rP )r = (1 + r)2 P. Tiếp tục như vậy, sau n năm giá trị của khoản đầu tư sẽ là V (n) = (1 + r)n P. Bây giờ, ta giả sử số tiền lãi được trả m lần mỗi năm, khi đó, lãi suất mỗi lần sẽ là r m và số cả gốc lẫn lãi sau lần 1 sẽ là 1  V r = 1+ P. m m  Số tiền lần 2 sẽ là V 2 m =V 1 m +V 1 r m r = 1+ m m  Số tiền sau m lần (sau 1 năm) sẽ là r V (1) = 1 + m  14 m P. 2 P. 1.4. TRÁI PHIẾU Và như vậy, sau n năm giá trị của khoản đầu tư sẽ là r V (n) = 1 + m  nm P. (1.1) Lãi gộp có hai loại là lãi gộp rời rạc (discretely compounded) và lãi gộp liên tục (continuously compounded). Lãi gộp rời rạc chính là những gì vừa được trình bày ở trên. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về lãi gộp liên tục. Giả sử, các kỳ trả lãi ngày càng thường xuyên hơn, tức là khoảng thời gian giữa những lần trả lãi ngày càng nhỏ (m càng lớn) và như vậy lãi suất cũng ngày càng nhỏ (r càng nhỏ). Khi m → ∞, (1.1) sẽ trở thành   m nr r r 1+ V (n) = P = enr P. m (1.2) Bởi vì, áp dụng công thức tính giới hạn cơ bản lim 1 1+ x  x→∞ x = e. Khi đó, lim m→∞  r 1+ m  mr = e. Công thức (1.2) được gọi là công thức tính lãi gộp liên tục. 1.4 Trái phiếu Trái phiếu (Bond) là một công cụ đầu tư phi rủi ro, tức là khoản đầu tư mà được đảm bảo sẽ gần như không bị mất hoặc giảm giá trị so với giá trị ban đầu. Trái phiếu là một chứng nhận ghi nợ của người phát hành trái phiếu đối với người giữ hoặc mua trái phiếu trong một thời hạn với một khoản lợi suất (yield) đã thống nhất. Khi hết thời hạn ghi nợ, người phát hành trái phiếu phải có nghĩa vụ trả cả vốn lẫn lợi suất cho người mua hoặc sở hữu trái phiếu. Ở một số thị trường, trái phiếu được phát hành vô thời hạn và lợi suất được trả đều theo kỳ hạn đã cam kết. 15 1.5. CỔ PHIẾU Lợi suất của trái phiếu được tính theo 2 cách thông dụng sau: Lợi suất cố định là lợi suất được trả lãi định kỳ đã được thống nhất trước, thường là 6 tháng hoặc 1 năm và không được thay đổi cho đến ngày đáo hạn. Lợi suất thả nổi là lợi suất cũng được trả theo định kỳ cho đến khi đáo hạn nhưng giá trị lại thay đổi dựa trên sự biến động của thị trường do trái phiếu cũng có thể mua đi bán lại trên thị trường nên giá trị cũng biến động theo thị trường. Trái phiếu được phát hành bởi nhiều đối tượng khác nhau. Trái phiếu có thể được phát hành bởi chính phủ được gọi là trái phiếu chính phủ. Bên cạnh đó, trái phiếu cũng có thể được phát hành bởi chính quyền địa phương gọi là trái phiếu địa phương. Ngoài ra trái phiếu còn được phát hành bởi các công ty, tổ chức kinh doanh và được gọi chung là trái phiếu doanh nghiệp. 1.5 Cổ phiếu Một công ty cổ phần là một dạng pháp nhân có trách nhiệm hữu hạn, tức là được thành lập và tồn tại độc lập đối với những chủ thể sở hữu nó. Vốn của công ty được huy động từ các nhà đầu tư thuộc mọi thành phần kinh tế và được chia nhỏ thành những phần bằng nhau gọi là cổ phần (share). Người nắm giữ cổ phần trong công ty gọi là cổ đông (shareholder). Cổ phiếu (Stock) là chứng chỉ xác nhận quyền sở hữu một hoặc một số cổ phần của công ty đó. Khi một công ty cổ phần muốn phát triển lớn hơn, công ty đó có thể phát hành thêm cổ phiếu để gọi vốn. Khi đó người mua cũng là cổ đông của công ty. Khi làm như vậy, tỷ lệ sở hữu công ty của mỗi cổ phiếu sẽ giảm đi, nhưng ngược lại tổng giá trị công ty lại tăng lên. Lợi nhuận của công ty sẽ được giữ lại một phần để phát triển công ty, phần còn lại sẽ được trả cho cổ đông theo một cách tỷ lệ thuận với số cổ phần mà cổ đông đang nắm giữ và được gọi là cổ tức (dividend). Cổ tức thường được trả cho cổ đông theo quý hoặc 6 tháng 16 1.6. NGUYÊN LÝ PHI CƠ LỢI một lần. Số lượng cổ tức dựa vào số lãi mà công ty thu được và được chia theo quyết định của hội đồng quản trị điều hành công ty. Ví dụ, một công ty trả cổ tức cho các cổ đông quý I là 2.000 đồng/cổ phiếu. Như vậy, nếu ai sở hữu 1.000 cổ phiếu thì sẽ được trả một khoản cổ tức là 2.000 × 1000 = 2.000.000 (đồng). Sự phát triển của các công ty cũng luôn biến động nên cổ phiếu cũng được các nhà đầu tư mua đi bán lại tự do tạo nên thị trường cổ phiếu. Trong thị trường cổ phiếu, giá cổ phiếu cũng luôn biến động không ngừng và không biết trước được giá trị tương lai của mỗi cổ phiếu. Vì vậy, người ta đã xây dựng các mô hình định giá cổ phiếu giúp tối ưu hóa lợi nhuận của các nhà đầu tư. Đơn giản nhất là mô hình nhị phân, tức là giá cổ phiếu sẽ chỉ có hai biểu hiện tăng hoặc giảm với một xác suất nào đó. Giả sử một cổ phiếu có giá trị ban đầu là 1.000 đồng, gọi S(t) là giá của cổ phiếu đó tại thời điểm t, K(t) là lãi suất mà người nắm giữ cổ phiếu nhận được tại thời điểm t. Ta có, S(0) = 1.000, tại thời điểm t = 1, giá trị của cổ phiếu đó là   1.100 với xác suất p, S(1) =  900 với xác suất 1 − p, trong đó 0 < p < 1. Khi đó, cổ tức thu được từ cổ phiếu trên là   10% với xác suất p, K(1) =  −10% với xác suất 1 − p. 1.6 Nguyên lý phi cơ lợi Sau đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một hình thức mua bán cơ bản trong thị trường và từ đó chúng ta sẽ phát biểu một nguyên lý mà được sử dụng thường xuyên trong những phần sau, đặc biệt trong toán tài chính. Ta xét ví dụ sau: 17 1.6. NGUYÊN LÝ PHI CƠ LỢI Giả sử, một nhà đầu tư A muốn mua một cổ phiếu S với giá 10.000 đồng/cổ phiếu. Cùng lúc đó, một nhà đầu tư B muốn bán cổ phiếu S với giá 9.000 đồng/cổ phiếu. Khi đó, một người môi giới chứng khoán C có thể mua chứng khoán từ nhà đầu tư B, sau đó bán lại cho nhà đầu tư A cổ phiếu S và hưởng một khoản lợi nhuận là 10.000 − 9.000 = 1.000 đồng/cổ phiếu. Hình thức kinh doanh của C được gọi là kinh doanh dựa trên sự chênh lệch giá và gần như không có mạo hiểm vì luôn hưởng một khoản lợi nhuận mà không cần phải đầu tư một khoản vốn nào. Một mô hình thị trường được gọi là lý tưởng hay hiệu quả, đồng nghĩa với thị trường đó không có cơ hội kinh doanh chênh lệch giá. Đó là lý do nguyên lý phi cơ lợi (no arbitrage) ra đời. Nguyên lý này là cơ sở cho hầu hết các công thức định giá trong toán tài chính, đặc biệt là cho các chứng khoán phái sinh. Khi thị trường không thỏa mãn nguyên lý phi cơ lợi, tức là xuất hiện cơ hội kinh doanh chênh lệch giá, thị trường đó được coi là mất thăng bằng. Nguyên lý phi cơ lợi được phát biểu như sau: Giả sử V (0) là giá trị của một khoản đầu tư tại thời điểm ban đầu; V (T ) là giá trị của khoản đầu tư đó tại thời điểm T trong tương lai. Ta nói rằng, không có bất kỳ một khoản đầu tư nào với V (0) = 0 mà V (T ) > 0 với xác suất khác 0. Nói cách khác, nếu giá trị ban đầu của một khoản đầu tư là 0, tức là V (0) = 0 thì V (1) = 0 với xác suất 1. Điều này có nghĩa là không một nhà đầu tư nào có thể thu được lợi nhuận mà không có rủi ro và không có vốn đầu tư ban đầu. Nếu điều này bị phá vỡ thì ta nói đang có một cơ hội kinh doanh chênh lệch giá ở đây. Trong thực tế, kinh doanh chênh lệch giá có thể xuất hiện nhiều nhưng không tồn tại được lâu do thị trường luôn biến động, các hoạt động mua bán diễn ra liên tục nên thị trường sẽ dần trở lại cân bằng và mất đi cơ hội kinh doanh chênh lệch giá. Việc loại trừ chênh lệch trong mô hình toán học là đủ gần với thực tế và trở thành giả định quan trọng và hiệu quả nhất. 18 1.7. CHỨNG KHOÁN PHÁI SINH 1.7 Chứng khoán phái sinh Chứng khoán (Securities) là bằng chứng ghi nhận quyền và lợi ích hợp pháp của chủ sở hữu đối với tài sản hoặc cổ phần của công ty phát hành. Chứng khoán thường được thể hiện thông qua các hợp đồng, giấy tờ chứng nhận, bút toán ghi sổ hoặc các dữ liệu điện tử. Chứng khoán là một hàng hóa đặc biệt có thể giao dịch trên thị trường như một công cụ tài chính. Chứng khoán gồm các phân loại phổ biến sau: • Chứng khoán nợ bao gồm trái phiếu, tiền gửi, giấy ghi nợ,... Người nắm giữ chứng khoán nợ sẽ nhận được cả vốn lẫn lãi hoặc các lợi ích đã được thống nhất trong hợp đồng sau một kỳ hạn nhất định từ người phát hành chứng khoán đó. • Chứng khoán vốn như là cổ phiếu là chứng nhận quyền sở hữu số vốn của người nắm giữ trong trong một công ty cổ phần. • Chứng khoán phái sinh (Derivatives) là các công cụ tài chính mà giá trị của chúng phụ thuộc vào giá của một thực thể cơ sở, bản thân nó không có giá trị nội tại. Thực thể cơ sở có thể là tài sản, chỉ số hoặc các công cụ tài chính như cổ phiếu, trái phiếu, lãi suất,... Chứng khoán phái sinh gồm một số loại phổ biến như hợp đồng kỳ hạn, hợp đồng tương lai, hợp đồng hoán đổi, quyền chọn,... Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu rõ hơn về một số chứng khoán phái sinh phổ biến. 1.7.1 Hợp đồng kỳ hạn và hợp đồng tương lai Hợp đồng kỳ hạn (Forward contract) Một hợp đồng kỳ hạn là một thỏa thuận mua bán một tài sản gọi là tài sản cơ sở trong đó hai bên sẽ thống nhất một mệnh giá xác định gọi là giá kỳ hạn 19 1.7. CHỨNG KHOÁN PHÁI SINH cho tài sản đó tại thời điểm giao tài sản cũng là khi kết thúc hợp đồng. Không có bất kỳ tài sản hay số tiền nào được chuyển giao giữa hai bên cho đến tận khi hết hạn hợp đồng. Xét một hợp đồng kỳ hạn được thỏa thuận khi mua bán một tài sản, trong đó, bên mua sẽ chuyển cho bên bán số tiền F đồng khi bên bán giao tài sản tại thời điểm T sau đó. Giả sử, tại thời điểm hai bên chuyển giao tài sản và tiền, giá trị thị trường của tài sản là S(T ). Khi đó, bên mua sẽ thu được lợi nhuận nếu F < S(T ). Sau khi nhận tài sản, người đó có thể bán nó với giá thị trường S(T ) và thu được khoản lợi nhuận S(T ) − F . Trong khi đó, bên bán cũng sẽ bị mất một khoản tiền là S(T ) − F vì họ phải bán tài sản với giá thấp hơn giá thị trường. Ngược lại, nếu F > S(T ) thì bên mua sẽ lỗ còn bên bán sẽ lãi với số tiền F − S(T ). Ví dụ: Một hợp đồng kỳ hạn về việc mua bán 100 cổ phiếu với giá trị hiện tại 9.000 đồng/cổ phiếu. Trong đó, hai bên thống nhất, 5 ngày sau kể từ ngày hiện tại, bên bán sẽ giao cổ phiếu cho bên mua và bên mua sẽ trả cho bên bán số tiền 10.000 đồng/cổ phiếu. Khi đó, nếu đến ngày hết hạn hợp đồng giá trị thị trường của một cổ phiếu là 11.000 đồng thì bên bán sẽ mất một khoản tiền 11.000 10.000 = 1.000/cổ phiếu. Còn lại, bên mua sẽ lãi một số tiền bằng số tiền mà bên bán đã mất. Hợp đồng kỳ hạn được sử dụng để hạn chế rủi ro về biến động giá cho cả hai bên bán và mua, giúp kiểm soát tốt hơn tình hình tài chính. Nhưng nó cũng tồn tại một số hạn chế khi một trong hai bên đơn phương hủy hợp đồng, tính thanh khoản của hợp đồng kỳ hạn cũng không được linh hoạt vì rất khó để có thể sửa đổi hoặc chuyển nhượng hợp đồng. Hợp đồng tương lai (Future contract) Để khắc phục những hạn chế của hợp đồng kỳ hạn, nhất là rủi ro khi bị mất tiền cho cả hai bên mua và bán, hợp đồng tương lai đã được ra đời từ đó. Một 20