Tài liệu Lý thuyết số mũ lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. HOÀNG THẾ TUẤN THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Lý thuyết số mũ Lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính" không có sự sao chép của người khác. Khi viết luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Thế Tuấn . Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn này. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020 Tác giả luận văn Tống Thu Trang i Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Hoàng Thế Tuấn - Viện Toán học đã tận tình chỉ dẫn và nhiệt tình đóng góp những ý kiến quý báu giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa Sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo những điều kiện tốt nhất giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại khoa. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô và các bạn ở trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện và nhiệt tình đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi. Những người luôn yêu thương và ủng hộ tôi vô điều kiện. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020 Người thực hiện Tống Thu Trang ii Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Hàm Mittag-Leffler và bất đẳng thức Gronwall suy rộng . 5 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi phân . . 7 1.2.1 Số mũ Lyapunov của một hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Phổ Lyapunov của các hệ phương trình vi phân tuyến tính 10 1.1.4 1.2 1.3 1 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ 2.1 13 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . 13 2.1.1 Số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ của các nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị trong không gian Euclide Rd . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Số mũ Lyapunov phân thứ của các nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hằng hai chiều . . . . . . . . . . . 27 Tài liệu tham khảo 32 iii Lời nói đầu Phép tính vi-tích phân là một công cụ lý tưởng để mô tả các quá trình tiến hóa. Thông thường, mỗi quá trình tiến hóa được biểu diễn bởi các phương trình vi phân thường. Bằng việc nghiên cứu (định tính hoặc định lượng) nghiệm của phương trình, người ta có thể biết trạng thái hiện thời cũng như dự đoán được dáng điệu ở quá khứ hay tương lai của quá trình đó. Tuy nhiên, các hiện tượng hay gặp trong cuộc sống có tính chất phụ thuộc vào lịch sử. Đối với các hiện tượng này, việc ngoại suy dáng điệu của nó tại một thời điểm tương lai từ quá khứ phụ thuộc cả vào quan sát địa phương lẫn toàn bộ quá khứ. Hơn nữa, sự phụ thuộc nói chung cũng không giống nhau ở tất cả các thời điểm. Phương trình vi phân phân thứ là một trong các lý thuyết ra đời để đáp ứng những yêu cầu đó. Bài toán quan trọng trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm. Đối với trường hợp phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, dáng điệu các nghiệm được mô tả đầy đủ thông qua phần thực các giá trị riêng của ma trận hệ số và bội của chúng. Với phương trình tuyến tính thuần nhất có hệ số tuần hoàn, lý thuyết Floquet được sử dụng để mô tả cặn kẽ dáng điệu của tất cả các nghiệm, xem [1]. Đối với các hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số biến thiên, phương pháp số mũ đặc trưng được đề xuất bởi Lyapunov, xem [1,6], là một công cụ rất hữu hiệu. Ý tưởng chính của phương pháp này là so sánh độ tăng trưởng hay suy giảm của nghiệm với hàm mũ. Độ tăng trưởng (suy giảm) được xác định thông qua số mũ đặc trưng (ngày nay gọi là số mũ Lyapunov cổ điển). Người ta biết rằng một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Euclide Rd có nhiều nhất d số mũ Lyapunov phân biệt. Tập tất cả các số mũ này cùng với bội của chúng được gọi là phổ Lyapunov. Nhiều tính chất quan trọng của phương iv trình như tính ổn định, tính hyperbolic, tính rẽ nhánh,...v.v, có thể được đặc trưng bởi phổ Lyapunov của nó. Tuy nhiên, đối với phương trình vi phân phân thứ tuyến tính, người ta đã chứng minh được rằng số mũ Lyapunov của các nghiệm không tầm thường luôn không âm. Do đó, số mũ này không thể được dùng để đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng hay suy giảm nghiệm của các loại phương trình này. Nó dẫn đến đòi hỏi là phải xây dựng một lý thuyết số mũ mới phù hợp cho các phương trình phân thứ. Trong năm 2014, các tác giả Nguyễn Đình Công, Đoàn Thái Sơn, Hoàng Thế Tuấn và Stefan Siegmund đã giải quyết được vấn đề nói trên và công bố các kết quả mới của họ trong bài báo [3,4]. Mục đích của luận văn này là trình bày lại kết quả trong [3,4]. Chúng tôi chia luận văn ra làm hai chương. Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị. Cụ thể như sau: Phần 1.1 giới thiệu những nét cơ sở về phương trình vi phân phân thứ tuyến tính; Phần 1.2 đề cập về cơ sở của lý thuyết số mũ Lyapunov cho các phương trình vi phân cổ điển; Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Chương 2: Trình bày về lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ cho các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Chương này gồm ba phân chính. Thứ nhất, trong Phần 2.1, chúng tôi nói về số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov phân thứ, phổ Lyapunov phân thứ cho các phương trình phân thứ tuyến tính và mối liên hệ giữa phổ Lyapunov với tính ổn định của các hệ này. Tiếp đến, trong Phần 2.2, chúng tôi thảo luận về cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị của hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Cuối cùng, chúng tôi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm của một số phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3. Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có thể còn thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô cũng như của các bạn đồng nghiệp. v Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức cơ sở của luận văn. Nội dung của chương gồm ba phần chính. Phần 1.1 giới thiệu những nét cơ sở về phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Phần 1.2 đề cập về cơ sở của lý thuyết số mũ Lyapunov cho các phương trình vi phân cổ điển. Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. 1.1 Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Phần này được dành để giới thiệu sơ lược về phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Nội dung chính của nó gồm bốn mục chính. Mục 1.1.1 nhắc lại khái niệm tích phân phân thứ Riemann–Liouville và một số tính chất của nó. Mục 1.1.2 nói về đạo hàm Riemann–Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo và các tính chất cơ bản. Mục 1.1.3 thảo luận về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Cuối cùng, Mục 1.1.4 liên quan tới các hàm Mittag-Leffler và dáng điệu tiệm cận của chúng. 1.1.1 Tích phân phân thứ Hiểu theo một nghĩa nào đó, tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Cụ thể, cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, chúng ta định nghĩa tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] → R là α Ia+ x(t) 1 := Γ(α) Z t (t − τ )α−1 x(τ ) dτ a 1 với t ∈ (a, b], ở đây hàm Gamma Γ : (0, ∞) → R>0 có biểu diễn Z ∞ tα−1 exp(−t) dt, Γ(α) := 0 0 := I với I là toán xem [5, Definition 2.1, p. 13]. Khi α = 0, chúng ta quy ước Ia+ tử đồng nhất. Dễ thấy trong định nghĩa ở trên, với α ∈ (0, 1), nếu x khả tích trên Rb đoạn [a, b], tức là a |x(t)| dt < ∞, thì tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α của x tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, chính bản thân tích phân này cũng là một hàm khả tích. Bổ đề 1.1.1. ([5, Theorem 2.1]) Giả sử x : [a, b] → R là một hàm khả tích trên α x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, I α x cũng [a, b]. Khi đó, tích phân Ia+ a+ là một hàm khả tích trên [a, b]. Dưới đây là tích phân của một số hàm đơn giản. Ví dụ 1.1.2. (i) Cho x(t) = t2 , ở đây t > 0. Chúng ta có 0.5 I0+ x(t) = Γ(3) 2.5 t Γ(3.5) với mọi t > 0. (ii) Cho x(t) = exp(t). Chúng ta có 0.5 I0+ x(t) = ∞ X j=0 t0.5+j Γ(j + 1.5) với mọi t > 0. 1.1.2 Đạo hàm phân thứ Cùng với tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ là một trong hai khái niệm quan trọng của phép tính vi–tích phân phân thứ. Có nhiều khái niệm đạo hàm phân thứ đã được xây dựng. Tuy nhiên, đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo được dùng rộng rãi hơn cả. Sau đây chúng ta nhắc lại định nghĩa của hai loại đạo hàm này. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Người ta định nghĩa đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] → R là m−α α Da+ x(t) := Dm Ia+ x(t), 2 t ∈ (a, b], ở đây m := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dm = dm dtm là đạo hàm thông thường cấp m. Trong khi đó, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x(t) được định nghĩa là C m−α m α Da+ x(t) := Ia+ D x(t), t ∈ (a, b], xem [5, Chapter 3, p. 49]. Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), . . . , xd (t))T , đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α α α x(t) := (C Da+ x1 (t), . . . ,C Da+ xd (t))T . Da+ Nhận xét 1.1.3. (i) Nếu α là một số nguyên, đạo hàm phân thứ cấp α (theo nghĩa Riemann–Liouville hoặc Caputo) chính là đạo hàm thông thường cấp 0 (hoặc C D 0 ) là toán tử α. Trong trường hợp α = 0, chúng ta quy ước Da+ a+ đồng nhất. (ii) Nếu x là một hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b], tức x ∈ AC 1 ([a, b]; R), thì các đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và Caputo của hàm này tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b], xem [5, Lemma 2.12, p. 27] . (iii) Khác với đạo hàm thông thường, đạo hàm phân thứ không có tính chất nửa nhóm. Cụ thể, cho α1 , α2 là các hằng số dương bất kì và x là một hàm liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b]. Khi đó, nói chung chúng ta có α1 α2 α2 α1 α1 +α2 Da+ Da+ x(t) 6= Da+ Da+ x(t) 6= Da+ x(t), t ∈ (a, b], xem [5, p. 30] và [5, Remark 3.3, p. 56]. Với hàm x đủ chính quy, đạo hàm phân thứ là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Bổ đề 1.1.4. ([5, Theorem 2.14]) Cho α ≥ 0. Khi đó, với mọi x ∈ L1 [a, b], chúng ta có α α Da+ Ia+ x(t) = x(t) với hầu hết t ∈ [a, b]. Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. 3 1−α Bổ đề 1.1.5. ([5, Lemma 2.23]) Cho α ∈ (0, 1), và I0+ x ∈ AC 1 [a, b]. Khi đó, α α Ia+ Da+ x(t) (t − a)α−1 1−α lim Ia+ x(τ ). = x(t) − τ →a+ Γ(α) Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và Caputo có quan hệ sau. Bổ đề 1.1.6. ([5, Theorem 3.1]) Cho α ∈ (0, 1). Với bất kì x ∈ AC 1 ([a, b]; R), chúng ta có C α α Da+ x(t) = Da+ (x(t) − x(a)) với hầu hết t ∈ [a, b]. Tương tự như đối với đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng ta cũng có những tính chất sau đối với đạo hàm phân thứ Caputo. Bổ đề 1.1.7. ([5, Theorem 3.7, 3.8]) (i) Cho α ∈ (0, 1). Khi đó, với mọi x ∈ C([a, b]; R), chúng ta có C α α Da+ Ia+ x(t) = x(t) với mọi t ∈ [a, b]. (ii) Cho α ∈ (0, 1) và giả sử rằng x ∈ AC 1 ([a, b]; R). Khi đó, α C α Ia+ Da+ x(t) = x(t) − x(a) với mọi t ∈ [a, b]. 1.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cho T > 0, α ∈ (0, 1), d ≥ 1 và A : [0, T ] → Rd×d là một hàm liên tục nhận giá trị ma trận. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1) C α D0+ x(t) = A(t)x(t), ∀t ∈ (0, T ], x(0) = x0 ∈ Rd . (1.1) (1.2) Định nghĩa 1.1.1. Một hàm liên tục φ(·, x0 ) : [0, T ] → Rd được gọi là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1)–(1.2) nếu φ(0, x0 ) = x0 và C α D0+ φ(t, x0 ) = A(t)φ(t, x0 )), 4 ∀t ∈ (0, T ]. Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1)– (1.2), người ta thường chuyển nó thành một phương trình tích phân tương đương. Điều này thực hiện được nhờ kết quả sau đây. Định lý 1.1.8. Hàm liên tục φ(·, x0 ) : [0, T ] → Rd là nghiệm của (1.1), x(0) = x0 khi và chỉ khi nó thoả mãn phương trình tích phân sau Z t φ(t, x0 ) = x0 + 1 Γ(α) (t − τ )α−1 A(τ )φ(τ, x0 ) dτ, ∀t ∈ [0, T ]. (1.3) 0 Chứng minh. Xem [5, Lemma 6.2, p. 86]. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.1)–(1.2) trên đoạn [0, T ] được suy ra từ định lý sau. Định lý 1.1.9. Xét phương trình vi phân phân thứ (1.1). Ở đây A(·) là hàm liên tục trên [0, T ] × Rd×d . Khi đó, với mọi x0 ∈ Rd , bài toán giá trị ban đầu (1.1)–(1.2) có duy nhất nghiệm trên đoạn [0, T ]. Người ta có thể chứng minh Định lý 1.1.9 bằng cách sử dụng một chuẩn có trọng mũ và Định lý điểm bất động Banach. Người đọc quan tâm có thể xem trong [2]. Ngoài ra, ánh xạ φ(t, ·) với mỗi t ∈ [0, T ] là tuyến tính, tức là, φ(t, ax1 + bx2 ) = aφ(t, x1 ) + bφ(t, x2 ) 1.1.4 với a, b ∈ R, x1 , x2 ∈ Rd . Hàm Mittag-Leffler và bất đẳng thức Gronwall suy rộng Trường hợp đơn giản nhất của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.1) là C α D0+ x(t) = Ax(t), ∀t ∈ (0, T ], (1.4) (1.5) x(0) = x0 , ở đây A là một ma trân thực cỡ d × d. Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace, hệ (1.4)–(1.5) có nghiệm duy nhất là x(t) = Eα,1 (tα A), t ∈ [0, T ]. Ở đây, với mọi α, β ∈ R, hàm Mittag-Leffler hai tham số Eα,β (·) : Cd×d → Cd×d được định nghĩa bởi Eα,β (A) = ∞ X k=0 5 Ak Γ(αk + β) với mọi A ∈ Cd×d . Trong trường hợp β = 1, để đơn giản chúng ta viết Eα (·) thay vì Eα,β (·). Hàm Mittag-Leffler đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân phân thứ giống như hàm mũ trong phương trình vi phân cổ điển. Sau đây chúng ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của hàm này. Bổ đề 1.1.10. Cho số nguyên p ≥ 1 bất kỳ, các khẳng định sau đúng: (i) Cho z ∈ C với |arg(z)| ≤ απ/2, ta có p X z −k 1 + O(|z|−1−p ), Eα (z) = exp(z 1/α ) − α Γ(1 − αk) k=1 khi |z| → ∞. (ii) Cho z ∈ C với απ/2 < |arg(z)| ≤ π , ta có Eα (z) = − p X k=1 z −k + O(|z|−1−p ), Γ(1 − αk) khi |z| → ∞. Chứng minh. Xem [7, Theorems 1.3, 1.4, pp. 33–34]. Xét hàm Mittag-Leffler một tham số thực Eα : R → R. Hàm này là đơn điệu tăng. Hơn nữa, sử dụng Bổ đề 1.1.10, chúng ta có lim Eα (z) = ∞ z→∞ và lim Eα (z) = 0. z→−∞ Vì vậy Eα (R) = R>0 và do đó Eα có nghịch đảo liên tục. Kí hiệu hàm này là logM α : R>0 → R. Để kết thúc phần này chúng ta giới thiệu một bổ đề hay được dùng trong ước lượng nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ (xem [5, Lemma 6.19, p. 111]). Bổ đề 1.1.11 (Bất đẳng thức Gronwall suy rộng). Cho α ∈ (0, 1) và T, K, L > 0 là các hằng số dương tùy ý. Hơn nữa, giả sử rằng δ : [0, T ] → R là một hàm liên tục, thỏa mãn bất đẳng thức L |δ(t)| ≤ K + Γ(α) t Z (t − τ )α−1 |δ(τ )| dτ 0 với mọi t ∈ [0, T ]. Khi đó, với mọi t ∈ [0, T ] |δ(t)| ≤ KEα (Ltα ). 6 1.2 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi phân Phần này được dành để nhắc lại những kiến thức cơ bản của lý thuyết số mũ Lyapunov cho các phương trình vi phân. Nội dung của nó gồm hai phần chính: số mũ Lyapunov của một hàm và phổ Lyapunov của một hệ phương trình vi phân tuyến tính. 1.2.1 Số mũ Lyapunov của một hàm Định nghĩa sau đây là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ. Định nghĩa 1.2.1. Cho t0 ∈ R và f : [t0 , R) → R. Số mũ Lyapunov của hàm f là đại lượng được định nghĩa bởi χ(f ) := lim sup t→∞ 1 log |f (t)|. t Số mũ Lyapunov của một hàm cho chúng ta biết về tốc độ tăng trưởng của nó trong sự so sánh với hàm mũ. Dưới đây là số mũ của một số hàm đơn giản. Ví dụ 1.2.1. • χ(tm ) = 0 với m ∈ N; • χ(0) = −∞; • χ(exp(t cos 1t )) = 1; • χ(exp(−t cos 1t )) = −1; • χ(exp(± ± t sin t)) = 1; • χ(exp(−t exp(sin t))) = − exp(−1); • χ(exp(t exp(sin t))) = e; • χ(tt ) = ∞; • χ(t−1 ) = −∞. Từ định nghĩa của số mũ Lyapunov, chúng ta dễ dàng thu được các tính chất sau. 7 1. χ(f ) = χ(|f |). 2. χ(cf ) = cχ(f ), c 6= 0. 3. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a, thì χ(f ) ≤ χ(F ). Để tính số mũ Lyapunov của một hàm, bổ đề sau đóng một vai trò quan trọng. Bổ đề 1.2.2. Cho t0 ∈ R và f : [t0 , ∞) → R. Khi đó, χ(f ) = α 6= ±∞ nếu và chỉ nếu với bất kỳ ε > 0 những điều kiện sau được thỏa mãn: |f (t)| = 0; 1. limt→∞ exp((α+ε)t) |f (t)| = ∞. 2. lim supt→∞ exp((α−ε)t) Kết quả trên có trong [1, Lemma 2.1.1]. Tuy nhiên, để người đọc dễ dàng hình dung được đặc trưng của các số mũ Lyapunov, chúng tôi trình bày ở dưới đây chứng minh của nó. Chứng minh Bổ đề 1.2.2. Điều kiện cần: Cho χ(f ) = α. Tồn tại ε > 0 và T > 0 sao cho 1 ε log |f (t)| < α + t 2 đúng với mọi t ≥ T . Nói cách khác, ε |f (t)| < exp((α + )t). 2 Vì vậy, chúng ta có |f (t)| ≤ lim exp(−(ε/2)t) = 0. t→∞ exp((α + ε/2)t) exp((ε/2)t) t→∞ lim Như vậy điều kiện 1 ở trên được chứng minh. Xét dãy tk → ∞ khi k → ∞ mà 1 log |f (tk )| = α. k→∞ tk lim Chúng ta tìm được N > 0 sao cho log |f (tk )| > (α − ε/2)tk 8 với mọi k > N . Vì vậy, |f (tk )| |f (tk )| = lim ( exp((ε/2)tk )) k→∞ exp((α − ε)tk ) k→∞ exp((α − ε/2)tk ) lim ≥ lim exp((ε/2)tk ) = ∞, k→∞ điều kiện 2 ở trên được thỏa mãn. Điều kiện đủ: Từ điều kiện 1 ở trên, với t đủ lớn, |f (t)| < exp((ε + ε)t), và bởi vì ε > 0 tùy ý, chúng ta có χ(f ) ≤ α. Cho dãy tk , tk → ∞ khi k → ∞ mà lim sup k→∞ |f (tk )| = ∞. exp((α − ε)tk ) Vì vậy, với k đủ lớn, |f (tk )| > exp((α − ε)tk ), hoặc 1 log |f (tk )| ≥ α − ε. k→∞ tk χ(f ) ≥ lim Vì vậy χ(f ) ≥ α. Điều kiện đủ được chứng minh xong. Sau đây là những tính chất sâu hơn của các số mũ Lyapunov. Định lý 1.2.3. Cho t0 ∈ R và m hàm fi : [t0 , ∞) → R, 1 ≤ i ≤ m. Khi đó χ(f1 + · · · + fm ) ≤ max χ(fi ). 1≤i≤m Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra nếu tồn tại i0 ∈ {1, . . . , m} sao cho χ(fi0 ) > χ(fi ) với i 6= i0 . Chứng minh. Xem [1, Theorem 2.1.1]. Định lý 1.2.4. Cho t0 ∈ R và m hàm fi : [t0 ∞) → R, 1 ≤ i ≤ m. Khi đó X χ(um k=1 fk (·)) ≤ χ(fk (·)). 1≤i≤m Chứng minh. Xem [1, Theorem 2.1.2]. Để kết thúc mục này, chúng ta giới thiệu định nghĩa số mũ Lyapunov cho hàm nhận giá trị véc-tơ. Cho t0 ∈ R và f : [t0 , R) → Rd . Số mũ Lyapunov của f được định nghĩa bởi χ(f ) = max χ(fi (·)). 1≤i≤d 9 Bổ đề sau dẫn đến một định nghĩa khác của số mũ Lyapunov cho hàm nhận giá trị véc-tơ. Bổ đề 1.2.5. χ(f (·)) = χ(kf (·)k). Chứng minh. Xem [1, Corollary 2.2.1]. 1.2.2 Phổ Lyapunov của các hệ phương trình vi phân tuyến tính Cho t0 ∈ R và A : [t0 , ∞) → Rd×d là một hàm nhận giá trị ma trận liên tục. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính d x(t) = A(t)x(t), t ≥ t0 . dt (1.6) Định lý 1.2.6. ([1, Theorem 2.3.1]) Giả sử supt≥t0 kA(t)k ≤ M . Khi đó mọi nghiệm không tầm thường x(·) của hệ (1.6) đều có số mũ Lyapunov hữu hạn. Cụ thể, −M ≤ χ(x(·)) ≤ M. Chứng minh. Giả sử x(·) là một nghiệm không tầm thường của hệ (1.6). Chúng ta có     dx(t)  |dkx(t)k /dt| = 2  x(t),  dt 2 ≤ 2M kx(t)k2 . Vì vậy, −2M ≤ dkx(t)k2 /dt ≤ 2M. kx(t)k2 Điều này dẫn tới −2M (t − t0 ) ≤ 2 log kx(t)k − 2 log kx(t0 )k ≤ 2M (t − t0 ). Chia các đại lượng trên cho t và cho t → ∞, chúng ta được −M ≤ χ(kx(·)k) ≤ M. Định lý được hoàn thành. Nói chung, mỗi hệ phương trình vi phân tuyến tính d-chiều có không quá d số mũ Lyapunov phân biệt. 10 Định lý 1.2.7. ([1, Corollary 2.3.1]) Các nghiệm không tầm thường của một hệ tuyến tính d-chiều có không quá d số mũ Lyapunov phân biệt. Từ đây, chúng ta có định nghĩa sau về phổ Lyapunov của hệ (1.6). Định nghĩa 1.2.2. Tập tất cả các số mũ Lyapunov khác nhau của các nghiệm của (1.6) được gọi là phổ Lyapunov của nó. Phổ Lyapunov có vai trò quan trọng trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân qua định lý đơn giản dưới đây. Định lý 1.2.8. Xét hệ (1.6). Nếu phổ Lyapunov của hệ này chỉ chứa các số mũ âm thì hệ này ổn định tiệm cận. 1.3 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về số mũ Lyapunov cho các nghiệm không tầm thường của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Cho d ≥ 1 và A : [0, ∞) → Rd×d là một hàm liên tục nhận giá trị ma trận. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1) C α D0+ x(t) = A(t)x(t), ∀t ∈ (0, ∞), x(0) = x0 ∈ Rd . (1.7) (1.8) Như đã chỉ ra ở trên, hệ (1.7)–(1.8) có nghiệm duy nhất trên [0, ∞). Một điều đáng ngạc nhiên được chỉ ra trong bài báo [3] rằng mọi nghiệm không tầm thường của bài toán giá trị đầu (1.7)–(1.8) luôn không âm. Bổ đề 1.3.1. [3, Lemma 3.1] Xét hệ (1.7)–(1.8). Giả sử M := supt∈R≥0 kA(t)k < ∞. Khi đó, mọi nghiệm không tầm thường đều có số mũ Lyapunov không âm, tức là, χ(Φ(·, x0 )) ≥ 0 với x0 ∈ Rd \ {0}. Chứng minh. Giả sử phản chứng, tồn tại x0 ∈ Rd \ {0} sao cho λ := χ(Φ(·, x0 )) = lim sup t→∞ 11 1 log kΦ(t, x0 )k < 0. t (1.9) Khi đó, tồn tại K > 0 và T > 0 mà λ kΦ(t, x0 )k < Ke 2 t với t ≥ T. (1.10) Tuy nhiên chúng ta sẽ chỉ ra lim supt→∞ kΦ(t, x0 )k = kx0 k, một điều mâu thuẫn với (1.9). Thật vậy, từ (1.10) và supt∈R≥0 kA(t)k ≤ M , ta có  Z t Z t   λ  (t − s)α−1 A(s)Φ(s, x0 ) ds ≤ KM (t − s)α−1 e 2 s ds.   T T Mặt khác, bằng tính toán trực tiếp ta có Z t t→∞ λ (t − s)α−1 e 2 s ds = 0. lim sup 0 Vì vậy Z lim sup t→∞ t (t − s)α−1 A(s)Φ(s, x0 ) ds = 0. T Chú ý, T Z (t − s)α−1 A(s)φ(s, x0 )ds = 0. lim t→∞ 0 Kết hợp các nhận xét trên với biểu diễn (1.3) dẫn tới lim supt→∞ kΦ(t, x0 )k = kx0 k. Ta có điều phải chứng minh. 12 Chương 2 Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ Chương này trình bày nội dung chính của luận văn. Nó gồm ba phần chính. Thứ nhất, trong Phần 2.1, chúng tôi nói về số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov phân thứ, phổ Lyapunov phân thứ cho các phương trình phân thứ tuyến tính và mối liên hệ giữa phổ Lyapunov với tính ổn định của các hệ này. Tiếp đến, trong Phần 2.2, chúng tôi thảo luận về cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị của hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Cuối cùng, chúng tôi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm của một số phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3. 2.1 2.1.1 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ Số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm Như đã biết trong Phần 1.3, số mũ Lyapunov cổ điển của các nghiệm không tầm thường của một hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính luôn không âm. Điều này dẫn đến nhu cầu phải xây dựng một khái niệm số mũ mới phù hợp cho các hệ phân thứ. Mặt khác, chú ý rằng khi định nghĩa số mũ Lyapunov cổ điển, người ta đã sử dụng hàm log (là hàm ngược của hàm mũ) để thu được tốc độ tăng trưởng hay suy giảm so với hàm mũ của một hàm số cho trước. Trong khi đó, trong phương trình vi phân phân thứ, hàm Mittag-Leffler một tham số 13