Tài liệu Lý thuyết hệ nhiều hạt

  • Số trang: 24 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 327 |
  • Lượt tải: 0
thanhdoannguyen

Đã đăng 13666 tài liệu

Mô tả:

Tài liệu vật lý Lý thuyết hệ nhiều hạt Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169 LÝ THUYẾT HỆ NHIỀU HẠT Chương 1: Tính chất chung của hệ nhiều hạt 0- Khái niệm về hệ nhiều hạt 0.1- Nhiều : N  2 : Vấn đề kỹ thuật : số biến ; tương tác ; thay đổi về chất 0.2- Nhiều (N >>1) : không làm thay đổi chất 0.3- Nhiều (N >> 1) : làm thay đổi chất 0.4- Hệ nhiều hạt ở T=0K. 0.5- Hệ kín. 0.6- Hệ ở T 0K. Quan hệ giữa Cơ học và Vật lý thống kê (bao gồm cả cổ điển và lượng tử) 1- Hệ hạt đồng nhất: 1.1- Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử 1.2- Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất 1.2.1- Tính đối xứng của hàm sóng P̂ij  (q1,.., qi , .., qj , .., qN) =  (q1, .., qj , .., qi , .., qN) (1.1) + (q1,.., qi , .., qj , .., qN) = + (q1, .., qj , .., qi , .., qN) - (q1,.., qi , .., qj , .., qN) = - - (q1, .., qj , .., qi , .., qN) 1.2.2- §Æc ®iÓm cña tÝnh ®èi xøng cña hµm sãng 1.2.2.1- TÝnh ®èi xøng lµ nh­ nhau ®èi víi tÊt c¶ c¸c cÆp biÕn : 1.2.2.2- TÝnh ®èi xøng cña hµm sãng phô thuéc vµo spin : Spin nguyªn (0 ; 1 ; 2 ; .....) Spin b¸n nguyªn (1/2 ; 3/2 ; 5/2 ; .....) 1.2.2.3- TÝnh ®èi xøng cña hµm sãng lµ vÜnh cöu : 1.2.3- D¹ng cña hµm sãng cña hÖ h¹t ®ång nhÊt kh«ng t­¬ng t¸c    pi (qi ) ni (ri ) (si ) ; qi  ( ri , si ) ; pi  (ni, ) *  p (qi ) p (qi ).dqi  i k (1.2) (1.3) (1.4)   *  * d r  ( r )  ( s )  ( r  i ni i  i nk i )   ( si )   ni ,nk    pi pk  Si (1.5)  dri  dxi dy i dz i .   ( q1 , q 2 ,....., q N )  c  p ( q1 ) p ( q 2 )....... p ( q N ) 1 2 N (1.6a) (q)  p (q1 )  p (q2 ) .......  p (qN ) 1   (q1, q2 ,.....,qN )  1 1 1  p2 (q1 )  p2 (q2 ) .......  p2 (qN ) N! .......................................................  pN (q1 )  pN (q2 ) .......  pN (qN ) (1.7a) §Þnh thøc Slater chøa ®ùng Nguyªn lý lo¹i trõ Pauli . 2- C¸c ®¹i l­îng b¶o toµn cña hÖ nhiÒu h¹t. 2.1-Hamiltonian cña hÖ nhiÒu h¹t. N    H   ( 2 / 2)  ( i / mi )  V (r1 , r2 ,...., rN ) (2.1a) i 1     1   2   1 1 2      r sin    V (r ,  ,  ) i 2  i r  r 2 sin    i  ri 2 sin 2 i  2 i 1 ri ri  i  i  i i ( r  (r1 , r2 ,....., rN ) ;   (1 , 2 ,....., N ) ;   (1 , 2 ,....., N ) ) N H   (  2 / 2)  (2.1b) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.2- B¶o toµn ®éng l­îng cña hÖ nhiÒu h¹t. N  ˆ P  i   k (2.2) k 1 N  N     N  ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ  P  (PH  HP)  (PV VP)  (kV V k )     k V   Fk  Fint  Fext  Fext i i k 1 k 1 k 1 Do ®ã:     Fint   Fi   Fij  0 . Nõu: Fext = 0 i i j 2.3- B¶o toµn m« men ®éng l­îng cña hÖ nhiÒu h¹t. N ˆ N ˆ L    k ; Lˆ z   i  ˆ kz ; thay ˆ kz   i /  k , k 1 k 1 N  Lˆ z   i  k 1 k N N 1 V Lˆ z  ( Lˆ z H  HLˆ z )    Mkz i k 1  k k 1 (2.4) (2.5a) N M kz (2.5b)  M z , int  M z , ext  M z k 1 CM : M z , int  0 Víi ......... Lz vµ L2 b¶o toµn. 3- BiÓu diÔn t­¬ng t¸c  S (t )  H S (t ) t  S (t )  [exp( iHt /  )]  H Fˆ (t )  e iH t /  Fˆ e  iH t /  i BiÓu diÔn Shrodinger : BiÓu diÔn Heisenberg : H (3.1) (3.2) S  H  [exp(iHt /  )]  S (t ) H  H  Vˆ BiÓu diÔn t­¬ng t¸c : 0 Fˆi (t )  e iH 0 t /  FˆS e  iH 0 t /  (3.5) (3.6) (3.7)  i (t )  [exp(iH 0 t /  )]  S (t )   i (t ) i  Vˆi (t ) i (t ) t Vˆ (t )  e iH 0 t / Vˆ e  iH 0 t /  i (3.3) (3.4) (3.8) (3.9) S t  i (t )   i (t 0 )  (i /  )  Vˆi (t ' )  i (t ' )dt ' (3.10)  i (t )   i( 0) (t )   i(1) (t )   i( 2) (t )  .......  i (t )  Sˆ (t , t 0 ) i (t 0 ) (3.11) (3.16) t0 t t1 t Sˆ (t , t 0 ) 1  (i /  )  Vˆi (t1 ) dt1  (1 / ) 2  Vˆi (t1 ) dt1  Vˆi (t 2 ) dt 2  ......  t0 t0 t t0 t1 t n 1  (i /  )  Vˆi (t1 ) dt1  Vˆi (t 2 ) dt 2 ....  Vˆi (t n ) dt n  ......... n t0 Coi : t0 (3.17) t0 t   ˆ ˆ S (t , t 0 )  T exp (i /  )  Vˆi (t ' ) dt '   t0 Sˆ (t 2 , t1 ) Sˆ (t1 , t 0 )  Sˆ (t 2 , t 0 ) ; t 2  t1  t 0 Sˆ (t )  Sˆ (t , tV ) Ký hiÖu : (3.20) V (tV )  0 (3.18) (3.19) (2.3) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.  Sˆ (t2 , t1 )  Sˆ (t2 ) Sˆ (t1 ) 1 (3.21) Trong đó :  i (t )  Sˆ (t )  i (tV ) (3.22) ; thay t  tV ==>  i (tV )   H Tõ (3.2) :  S (t )  [exp( iHt /  )]  H .  i (t )  [exp(iH 0 t /  )]. [exp( iHt /  )] H   (t )  Sˆ (t )  i (3.23) H Fˆi (t )  Sˆ (t ) FˆH (t ) Sˆ 1 (t ) M   0H* Tˆ [ Aˆ H (t ) Bˆ H (t ' ) Cˆ H (t ' ' )....] 0H Gi¶ thiÕt (3.24) (3.25) t > t’ > t’’ > .......... M   Sˆ () Tˆ [ Aˆ i (t ) Bˆ i (t ' ) Cˆ i (t ' ' )....Sˆ ()] 0H 0* H 1 (3.26) Sˆ ()  0H  e i  0H  0* Tˆ [ Aˆ (t ) Bˆ (t ' ) Cˆ (t ' ' )....Sˆ ()] 0 Cuèi cïng : M Chương 2 : H i i i (3.27) H (3.28)  0H* Sˆ () 0H Một số phương pháp giải bài toán hệ nhiều hạt 4- Ph­¬ng ph¸p t¸ch chuyÓn ®éng khèi t©m cña hÖ : 4.1- §Æc ®iÓm cña thÕ t­¬ng t¸c: N    H   ( 2 / 2)  ( i / mi )  V (r1 , r2 ,...., rN ) (4.1a) i 1          V (r1 , r2 ,...., rN )  V (r1  r2 , r1  r3 ,......, rN 1  rN ) (4.1b) Sù phô thuéc nµy dÉn ®Õn kÕt qu¶ lµ …..   DÐcartes r ( x, y, z )  Jacobi  ( , ,  ) : 1  (m1 x1 : m1 )  x2 ;  2  ( m1 x1  m 2 x 2 ) : ( m1  m2 )  x 3 ; ...................      k    m j x j  :   m j    xk 1 , víi k = 1 , 2 , ....... , N –1 k  j 1 N k   N  N    m i x i  :   m i   i 1 (4.2a)  j 1 (4.2b)    i 1 T­¬ng tù cho c¸c to¹ ®é i vµ  i . Cã thÓ chøng minh ®­îc : trong ®ã : vµ :  r , i  2  x i2  N N i 1 i 1 (4.3a)  (  r , i / mi )   (  , i / i ) 2  y i2  2  z i2 2 2 2 ;   , i       2 2 2  i k (  k )  1  (  m j ) 1  ( m k 1 ) 1  i (4.3b)  i khi k = 1 , 2 , ........, N –1 (4.3c) j 1 N  N   mi (4.3d) i 1 N Khi ®ã       H (r1 , r2 ,...., rN )   ( 2 / 2)  ( r , i / mi )  V ( r1 , r2 ,...., rN ) i 1 N        H ' ( 1 ,  2 ,....,  N )   ( 2 / 2)  (  , i /  i )  V ' ( 1 ,  2 ,....,  N )    r  r  a ; (4.4) i 1       H (r )  H (r  a ) , ==> V ( r )  V ( r  a ) :    V (r1 , r2 ,.., rN ) V (x1  ax , y1  ay , z1  az , x2  ax , y2  ay , z2  az ,.., xN  ax , yN  ay , zN  az )  V ' (1,1 , 1 ,2 ,2 , 2 , .., N  a x , N  a y , N  a z ) V '(1,1,1 ,2,2,2 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. ,..,N  ax,N  ay , N  az )  V ' (http://www.foxitsoftware.com 1 , 1 ,  1 ,  2 , 2 ,  2 , .., N , N ,  N ) , N       H ' ( 1 ,  2 ,....,  N )   (  2 / 2)  (   , i /  i )  V ' ( 1 ,  2 ,....,  N 1 ) KÕt qu¶ lµ (4.5) i 1 4.2- Ph­¬ng tr×nh Shrodinger cho hÖ ®· t¸ch chuyÓn ®éng khèi t©m:        (4.6)  ( 1 ,  2 , ...,  N )   ( 1 ,  2 ,...,  N 1 ) G (  N ) N            [(2 / 2) ( , i / i )  V '( 1, 2 ,....,N 1)] (1 , 2 ,.....,N )G( N )  E (1 , 2 ,.....,N )G( N ) i 1 N 1 2    [( 2 / 2) ( ,i / i )  V ' (1, 2 ,...., N1)]  [ , N /  N ] G  E 2G  i 1 1 N1          [(2 / 2) ( , i / i )  V ' (1 , 2 ,...., N1 )] (1 , 2 ,...., N1 )  E1 (1, 2 ,...., N1 ) (4.7) (4.8a) i1 2     [  , N /  N ] G ( N )  E2 G ( N ) 2 (4.8b) Víi E1 + E 2 = E VÝ dô : XÐt hÖ gåm 2 h¹t (N =2):  Bài tập 5- Ph­¬ng ph¸p tr­êng trung b×nh 5.1- ý t­ëng cña ph­¬ng ph¸p tr­êng trung b×nh H  E (5.1)  2  H i (ri )    i  ui ( ri ) 2mi    H   H i ( ri )  (1 / 2 )  V i j ( ri , r j ) N i 1 (4.8c) i, j (5.2)  2   H 'i (ri )   i  ui (ri )  Vef (ri ) 2mi i 1 N       ( r1 , r2 , .... , rN )    pi ( ri ) N   H   H 'i (ri ) víi (5.3) (5.4) i 1 N 2     [  i  u i ( ri )  V ef ( ri )] p i ( ri )   i pi ( ri ) 2mi  N dq   dqi , cßn qi  ( ri , si ) ; i 1  ......dq  (5.5) i 1 Q[ ]   * [ H  E ] dq  N i  E   dr  ........ (5.7) i i 1 (5.6) Si Q[ ]    *[ H  E ] dq  0 (5.8) 5.2- ThÕ hiÖu dông Vef ®èi víi hÖ c¸c h¹t boson  * pi N    ( qi ) *p k ( q k ) [  H i ( ri )  (1 / 2 )  Vi j ( ri , rj )  E ] dq ik i 1 i, j       * [  H i ( ri )  (1 / 2)  Vi j ( ri , r j )  E ]   p i ( qi ) p k ( q k ) dq  0 , N i, j i 1 N    * * dq  ( q )  ( q ) [ H i ( ri )  (1 / 2)  V i j ( ri , r j )  E ]   k p k p i   k i ik i 1 (5.9) ik i, j  dq i ik      dqk pk (qk )   pi (qi )[ Hi* (ri )  (1/ 2)Vij* (ri , rj )  E ] *  dqi  0 N i k i 1 i, j N       p*i (qi )[ Hi (ri )  (1/ 2)Vi j (ri , rj )  E ]  dqi  0 ik i 1 i, j (5.10) ik i k (5.11) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. http://www.foxitsoftware.com ' '    'Vi j (ri , rj )  2 V ik   Vij i i, j (5.12) ik jk  c1    *pi (qi ) [ H i (ri )] pi (qi )  dqi ik ik  c2  ik * pi ik (5.13a) ik   ( q i ) [(1 / 2 )  ' V ij ( ri , r j ) ]  pi ( q i )  dq i ik jk ik (5.13b) ik    Vef ( rk )     *pi ( q i ) [  ' Vik (ri , rk )]  pi ( qi )  dq i i i k     * pi * pi   * pi ik (5.15a)   (qi ) [(1 / 2) ' Vij (ri )]  dqi  [c2  Vef (rk )] pk (qk ) (5.15b) i k i, j i k (5.14) ik   (qi ) [ Hi (ri )]  dqi  [c1  Hk (rk )] pk (qk ) i i k ik i k (qi ) E   dqi  E  pk (qk ) (5.15c) ik   [ H k (rk )  V ef ( rk )]  pk ( q k )   k  pk ( q k ) (5.17a)  k = E – c1 – c 2 5.3- ThÕ hiÖu dông ®èi víi hÖ c¸c h¹t fermion (5.17b) 1  (q1 , q2 )  [ (q1 ) 2 (q2 )   1 (q2 ) 2 (q1 )] (1.7b) 2 1 * * * *  [1 (q1 ) 2 (q2 ) 1 (q2 ) 2 (q1 )](H1  H 2 V12  E) [ 1 (q1 ) 2 (q2 ) 1 (q2 ) 2 (q1 )]dq1dq2  [*1 (q1)*2 (q2) 1*(q2)*2 (q1)](H1  H2 V12  E)[1 (q1)2 (q2 ) 1 (q2)2 (q1)]dq1dq2  0 * (5.18) *   (q ) (q ) (H  H V  E)  (q ) (q ) dq dq     (q ) (q ) (H  H V  E)  (q ) (q ) dq dq * *  (q2 ) (q1 ) (H1  H2 V12  E) (q2 ) (q1 ) dq1dq2   (q ) (q )(H  H V * *   (q1 ) (q2 )V12 (q2 ) (q1 ) dq1dq2    (q ) (q )V  (q ) (q ) dq dq   (q ) (q )V  (q ) (q ) dq dq    (q ) (q ) V  (q ) (q ) dq dq 2 1 1 2 * 1 2 12 2 1 1 2 1 2 * 1 1 2 2 1 2 12 1 1 2 2 1 2 * 1 2 1 2 * 1 2 * 1 2 1 2 * 2 2 12 *   1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 12  E)1 (q1 )2 (q2 ) dq1dq2 * 2 1 * 1 1 * 1 1 12 1 1 2 2 1 2 * 2 1 2 1 12 1 1 2 2 1 2 * ( q 1 ) 2 ( q 2 ) ( H 1  H 2  E )  1 ( q 2 ) 2 ( q 1 ) dq 1 dq 2  0 * *    ( q ) ( q ) ( H  H  E )  ( q ) ( q ) dq dq  0 * *   ( q1 ) ( q 2 ) ( H 1  H 2  E )   ( q 2 ) ( q 1 ) dq 1 dq 2  0 1 2 1  * 1 2 1 1 2 * 1 1 2 1 2 2 1 2 2 ( q 2 ) *2 ( q 1 ) ( H 1  H 2  E )   1 ( q1 ) 2 ( q 2 ) dq 1 dq 2  0 * * * 1 2   (q ) (q ) (H  H V  E) (q ) (q ) dq dq    (q1) (q2 )V12 (q2 ) (q1) dq1dq2     * (q1 ) * (q2 ) (H1  H 2 V12  E)  (q1 ) (q2 ) dq1dq2    (q ) (q ) V  (q ) (q )]dq dq  0 vµ  dq1 * ( q1 ){[   * ( q 2 ) ( H 1  H 2  V12  E )  ( q 2 ) dq 2 ] ( q1 )    (q ) V  ( q ) ( q ) dq }    dq1 (q1 ){[ (q2 ) (H1*  H2* V12*  E)* (q2 ) dq2 ] * (q1 )    (q2 )V12* * (q2 ) * (q1 ) dq2 } 0  1 1 2 2 1 2 12 1 1 2 2 1 2 * 1 2 1 2 1 1 2 * 2 2 1 12 1 1 2 2 1 2 * 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 12 1 2 2 1 2 2  [ H 1  V ef 1 ( r1 )] 1 ( q1 )   1 1 ( q1 ) (5.19a) trong ®ã  1  E   02 , H 2 ( q 2 )   02  ( q 2 ) 2 2  (q1 ) *      Vef 1 (r1 )    *2 (q2 )V12 (r1 , r2 ) 2 (q2 ) dq2  2  2 (q2 )V12 (r1 , r2 ) 1 (q2 ) dq2   1 (q1 ) (5.20a) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software  For evaluation only. [ H 2  Vef ( r2 )] 2 ( q2 )  http://www.foxitsoftware.com  2 2 (q 2 ) (5.19b) H 1 1 ( q1 )   01 1 ( q1 ) ;  2  E   01  (q2 ) *      1 (q1 )V12 (r1 , r2 ) 2 (q1 ) dq1 Vef (r2 )    *1 (q1 )V12 (r1 , r2 )1 (q1 ) dq1  1   2 (q2 )  j (qi ) *      ' * Vefi (ri )     p (q j )Vij (ri , rj ) p (q j ) dq j   '  ( q ) V ( r p j ij i , rj ) p (q j ) dq j i (qi )  j j i j j i 6- Ph­¬ng ph¸p l­îng tö ho¸ lÇn thø hai. 6.1- ý t­ëng cña ph­¬ng ph¸p  (q1 , q 2 ,....., q N )  c   p ( q1 ) p (q 2 )....... p (q N ) 1 (5.20c) (6.1) N 2 (5.20b) (q) 6.2- To¸n tö sinh h¹t, to¸n tö huû h¹t vµ to¸n tö sè h¹t cho hÖ h¹t boson: aˆ i  ....., N ......  N i  ....., N 1...... i aˆ i ....., N aˆ i aˆi  ..., N i ....  N i aˆi ..., N i i 1.... N i  1 ....., N  ......  N i N i  ..., N Nˆ i  aˆ i aˆ i Nˆ i  ..., N ....  N i ..., N Ký hiÖu chóng ta ®­îc : (6.2) i i i (6.3) 1...... i  N i ..., N .... i (6.4) .... (6.5) i (6.6) .... aˆ i aˆ k  aˆ k aˆ i   ik Do ®ã : (6.7) aˆ i aˆ k  aˆ k aˆ i  0 vµ aˆ i aˆ k  aˆ k aˆi  0 6.3- To¸n tö sinh h¹t, to¸n tö huû h¹t vµ to¸n tö sè h¹t cho hÖ h¹t fermion: Ni = 0 hoÆc 1 : aˆ i  ...., N  0,...  0 ; aˆ i  ...., N 1,...   ...., N  0,... i i aˆ i  ...., N i 1,... i aˆ i  ...., N i  0,... 0 ; (6.8)   ...., N i 1,... aˆi ....,Ni ,...  Ni ....,Ni 1,... ; aˆi ....,Ni 1,...  1 Ni ....,Ni ,... (6.9) aˆi  ....,Ni ,...  1 Ni ....,Ni 1,... ; aˆi  ...., Ni 1,...  N i  ...., N i ,... (6.10) Nˆ i ..., N i ,...  aˆ i aˆi ..., N i ,...  N i aˆ i ..., N i 1,...  N i ..., N Nˆ i  aˆ i aˆ i aˆ k aˆ i  aˆ i aˆ k   ik a,b 2 ,... (6.11a) (6.11b) (6.12) aˆ i aˆ k  aˆ k aˆ i  0 vµ aˆ i aˆ k  aˆ k aˆ i  0 6.4- Hamilton trong ph­¬ng ph¸p l­îng tö ho¸ lÇn thø hai H   H a  Va , b  Va ,b, c  ........ a i (6.13) (6.14) a, b, c    a  u ( ra ) 2ma   H a   i Ni Ha  i *  i   i H a i    i (q a ) H a i ( qa )dq a H a   i Nˆ i   i aˆ i aˆ i a i i (6.15) (6.16) a     Vik    i* (q a ) V (q a , qb )  k (q b )dq a dqb (6.17) (6.18) (6.19) Vik => VikNk => VikNkNi =>  Va , b   a, b 1 Vik N i N k 2 i, k H    aˆ i  i aˆ i  i H  ) aˆ i aˆ k   (H a i,k i ,k Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 1 2 V ik Ni Nk i,k  Va ,b  a ,b 1 1 Vik Nˆ i Nˆ k  Vik aˆi aˆi aˆk aˆk  2 i ,k 2 i,k 1 Vik aˆ i aˆ i aˆ k aˆ k  ..... 2 i,k 1 (Va ,b ) ik ,m aˆ i aˆ  aˆ k aˆ m  2 i ,k , ,m (6.22) (6.23a) ( H a ) i , k   i , k    i* (q a ) H a k (q a )dq a Trong ®ã: Vik ,m    i* ( q a )  k* (q b ) V (q a , q b )  ( q a ) m ( qb )dq a dq b ˆ (q a )    i (q a )aˆ i (6.21) (6.23b) (6.23c) (6.24a) i ˆ  (q a )    i* (q a )aˆ i (6.24b) i ˆ (q a )ˆ  (qb ' ) ˆ  (q a ' )ˆ (q b )   (q a  qb ' ) ab ˆ (q a )ˆ (q a ' ) ˆ (q a ' )ˆ (q a )  0 ˆ  (q a )ˆ  (q a ' ) ˆ  (q a ' )ˆ  (q a )  0 Fˆ (1)   fˆ (q ) a (6.25a) (6.25b) (6.25c) (6.26) a  Fˆ (1)  ˆ  (qa ) fˆ (qa )ˆ (qa )dqa H  ˆ  (q a ) H aˆ (q a )dq a  1 ˆ  (q a )ˆ  (q b )V (q a , q b )ˆ (qb )ˆ (q a )dq a dqb  2 (6.27) (6.28) Chương 3: Hamiltonian và phương trình Shrodinger cho một số hệ nhiều hạt 7- Phương trình Shrodinger cho hệ các electron và các ion trong tinh thể 7.1- Phương trình Shrodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion    H  (r , R)  E  (r , R)      ri    RJ  V ( r , R ) 2m J 2M J 2 H  i (7.1) 2      V (r , R )  V1 (r , R)  V2 ( R)      V1 (r , R) Ve e (r )  Ve  I (r , R)   V2 ( R)  VI  I ( R) (7.4) (7.5) (7.6) 7.2- Gần đúng đoạn nhiệt và các phương trình Shrodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion       ( r , R )   1 ( r , R ) 2 ( R ) (7.7)     2         2   R  V2 ( R)]1 (r , R) 2 ( R)  E1 ( r , R ) 2 ( R ) [  ri  V1 (r , R)] 1 (r , R) 2 ( R) [ J J 2M J i 2m          1 1 2 2  [   ri  V1 (r , R )]  1 ( r , R)   R J  V2 ( R )] 2 ( R )  E  1 (r , R)  0 ,   [  1 (r , R)  2 ( R) J 2 M J X J i 2m   2        ri  V1 (r )]  1 (r )    1 (r ) V ( r )  V ( r , R) 1 1 i 2m     2 [   R J  V2 ( R)  Vef ( R)]  2 ( R)  W  2 ( R) J 2M J W  E  Ee (7.13) [  Với : 8- Trạng thái và năng lượng của electron trong mạng tinh thể Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.  2     i  2m  ri  V1ef (ri )  1 (r )    1 (r )   2    [  ri  V1ef (ri )] ni (ri )   i  ni (ri ) 2m      (    i ) ; V1ef (ri )  Vef e (ri )  Vi  I (ri , RI )  Vi  J (ri , R J ) (8.1a) (8.1b) (8.2) i   Vi  I (ri , RI )     Vi  J (ri , R)    zI e2   4 0 ri  R I J I zJ e2   4 0 ri  RJ 8.1- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết mạnh Nguyên tử cô lập Tinh thể f ℓ=3 d ℓ=2 ℓ=1 7N 5N 3p p 3N s ℓ=0 4s 1N a) b) Hình 8.1 : Các mức năng lượng của electron a) trong nguyên tử cô lập Hình 8.2 : Hiện tượng chồng miền b) trong tinh thể 8.2- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết yếu   ( r           nj i) *  Vef e (ri )   '  nj* (rj )Vij (ri , rj )nj (rj ) drj   ' (8.5)  nj (rj )Vij (ri , rj )ni (rj ) drj j j ni (ri )       k (r )   k (r ) exp (ik r )  k (r  a )   k (r ) (8.6) ; (8.7) 2     (8.1b) [  r  Vef e ( ri )] ni ( ri )   i  ni ( ri ) 2m i Vi Mô hình Kronig-Penney : (8.8) Vef e ( X J  a)  Vi ( X J ) V0 Vef e ( X J )     ( X J  na ) b n c x   lim (cV0 )  const c 0 V0   O a Hình 8.3 Sơ đồ thế năng của mô hình Kronig-Penney Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 9- Dao động mạng tinh thể 9.1- Phương trình Shrodinger cho cácdao động mạng tinh thể trong biểu diễn toạ độ  VJ ( R)  V2 ( R)  Vef ( R) (9.1)  u n  (u n, x , u n, y , u n, z ) = độ lệch của nguyên tử khỏi vị trí cân bằng ở nút mạng thứ n   VJ ( R) VJ (u )  VJ (0)   (VJ / u n, ) 0 u n,  n , 2  (1 / 2)  ( V J / u n, u n', ) 0 u n, u n',  3  (1 / 6) n, n ', ,  ( V J / u n, u n', u n'', ) 0 u n, u n', u n'',  ..... n ,n ', n '', , , (V J / u n, ) 0  0 9.2- Phương trình Shrodinger cho các phonon trong biểu diễn lượng tử hoá lần thứ hai  VJ ( R)   An, n ' xn xn ' (9.4) (9.5) n ,n '  VJ ( R)   An x n2 n   H ph   pˆ /(2 M n )  M n n2 xˆ n2 / 2   H n n H n  pˆ n2 /( 2 M n )  M n n2 xˆ n2 / 2n Aˆ   M / 2 xˆ  i(1 / 2 M ) pˆ trong đó 2 n (9.6) (9.7) (9.8a) (9.8b) (9.9) (9.10) (9.11) (9.13) (9.16) Aˆ  M / 2 xˆ  i (1 / 2M ) pˆ Aˆ Aˆ   Aˆ     H  H n  ( / 2 )   Aˆ  Aˆ H  E  E E ; HAˆ  E  ( E   )  E => HAˆ  E  ( E   )Â E ==> Aˆ  0  0 Từ (9.13) ==> 1 E n  (  n )  ; 2 C n n  ( Aˆ  ) n 0 ==> Cn E 0   / 2 2 n = 0 , 1, 2 , 3 ,....... (9.22)   ( Aˆ  ) n 0 ( Aˆ  ) n  0     0 Aˆ n ( Aˆ  ) n 0  Aˆ n ( Aˆ  ) n  Aˆ n1n  ( Aˆ  ) n 1  Aˆ n 1 ( Aˆ  ) n Aˆ 2 2 C  n   Aˆ n1 ( Aˆ  ) n 1    n C  n! n C 0 n (9.21) 0 2 C0 = 1 ; do đó C n  n! n và n 1 (9.23) 2 0 C n  n! n n Cuối cùng : Aˆ  0  0 => 1  Aˆ   n  0 n!    [ M / 2 x   (1 / 2 M )( / x ) ] 0 ( x )  0  0 ( x )  C . exp[  m x / 2 ] 2  1/ 4 (9.24) (9.25) (9.26)  m   m  1 / 4 2   , do đó 0 ( x)   . exp[  m x 2 / 2 ] (9.27) ==> C   ( x ) dx  1 0    10- Hamiltonian cho hệ các spin 10.1- Trường hợp hệ các electron linh động N  N M   g B  (10.1) V N  N  N (10.2) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation (10.3a) only. H  H1  H 2 2 H1     ri 2 m i 1 N H2  V 1ef  (ri ) (10.3b) (10.3c) i  1 N nj (ri ) *       nj (rj )Vij (ri , rj )ni (rj ) drj  2 i, j 1 ni (ri ) H2   (10.3d) i j (10.4) E   H    p (q1 )  p (q2 ) .......  p (q N ) 1 1 1 1  p2 (q1 )  p2 (q 2 ) .......  p2 (q N ) N! .......................................................  pN (q1 )  pN (q2 ) .......  pN (q N )   1  p j (q j ) kj (rj ). (s j )  exp(ik j rj ). (s j ) V 2 N  Ed   H1     * (q1 , q2 ,...,q N ) (  r ) (q1 , q2 ,...,q N ) dq1 , dq2 ,...,dqN 2m i 1    (q1 , q2 ,....., q N )  (10.5) (10.6) (10.7) i  ......dq   dr  ......  i (10.8a) i Si  dri  dxi dy i dz i N Ed    H1     j 1  2 k 2j 2m  V dk ....... 3  8  V 2 V 2 2 Ed  k d k  8m 3 ki k F 2m 2  2k 2 k  k F 2m 2 N  2 1  k kF (10.9)  dk  dk x dk y dk z  ....... k (10.8b) kF 4  k dk  0 V 2 k F5 10m 2 (10.10) kF  V Vk F3 V 2 4  d k k dk   0 4 3  4 3 3 2 (10.11) V 2 k F5 3 2 N k F2 3  2 k F2   N    ( Trong đó: ) F F 10m 5 2m 10m 2 k F  V V k 3F V N    1  3  dk  3 4  k 2 dk  8 8 6 2 k  k F 0 Ed  N   1 k  k F V k 3F (10.14b) 6 2 N  N  N  Vk 3F 6 2  Vk 3F 6 2  Vk F3 3 2 Et    H 2   H2   (10.14a)        1 N exp [  i ( k  j  ki )(r j  ri )]Vij (ri , rj ) drj  2V i, j 1 k 3F 2  k 3F 2  k F3 (10.16) (10.17) i j   Vi , j (ri , r j )  e2   4 0 ri  r j (10.18) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.       http://www.foxitsoftware.com 1 1 N H2     exp[i(k j  ki )r ]Vij (r ) dr    V (k j  ki ) 2V i, j 1 2V i, j 1 N i j i j   V (k j  k i )  Et  H2   2 Et   e  V    V 0  8 3  2   k kF k 'kF (10.19) 2 e    0 k j  ki (10.20) 2 e2 1  2  V 0 k,k 'kF k  k ' (10.21)   dk ' dk e2  V  k    k F ( ) dk    2 F 2 3  k    4 8   F 0 kkF k  k' F ( x)  1  1 x2 1 x ln 2x 1 x Et   N (10.22) (10.23) 3 k F a0 R y 2 (10.24) 4 0  2 me 4 a0  (10.25) ; R  y me 2 2 2 (4 0 ) 2 3 3 Et   N  k  F a0 R y  N  k a0 R y 2 2  F 3 3 E d  N  (k  F a 0 ) 2 R y  N  (k  F a 0 ) 2 R y 5 5 3 3 3 3 (k a0 )]RY (k  F a 0 )]RY  N  [ (k  F a 0 ) 2  E  E d  Et  N  [ (k  F a 0 ) 2  5 2 5 2  F 3 3 (k F a0 )]RY N   N   N / 2 , k  F  k  F  k F : E N  E dN  EtN  N [ (k F a 0 ) 2  5 2 1/ 3 N   N và N   0 , k  F  2 k F ; k F  0 . 3 3 1/ 3 E M  E dM  EtM  N [ .2 2 / 3 (k F a 0 ) 2  . 2 (k F a 0 )]RY 5 2 5 1  0,352125 (10.32) <==> Et  Ed E M  E N <==> k F a 0  1/ 3 2 2  1 (10.26) (10.27) (10.28) (10.29) (10.30) (10.31) (10.33) Ý nghĩa của điều kiện (10.32) H   ,k  k F  k 2   e2 a k , a k ,  2m 2V 0 10.2- Mô hìmh Heisenberg Hi     ,k , k ' k F 1     2 a k , a k , a k ', a k ', k  k'     H  (r1 , r2 )  E  (r1 , r2 )   H  H 1  H 2  V (r1 , r2 ) 2 2 e2 1 e2 1 i     ,   2m 4 0 ri  R1 4 0 ri  R2 (10.34) (10.35) (10.36a) i 1, 2   e2 1 V (r1 , r2 )    4 0 r1  r2          (r1 , r2 , s1 , s 2 )   (r1 , r2 )  ( s1 , s2 ) a  s1 ,   s2 ,  ; b  s1 ,   s2 ,  ; c  s1 ,   s2 ,  ; d  s1 ,   s2 ,     S  s1  s 2 , s1  s 2  (1 / 2) (10.36b) (10.36c) (10.37) (10.38) (10.39) C  (S , S z )  s1 s2 S s1 z s 2 z S z Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. (10.40a) s1 , s1z  s 2 , s 2 z s1 z  s2 z  S z s1 s2 S ( Với C s1 z s2 z S là các hệ số Clebsch-Gordan, và s1z , s 2 z  (1 / 2) ).  (0,0)  (1 / 2)[ (1 / 2),   (1 / 2),   (1 / 2),   (1 / 2),  ] (10.40b)  (1,0)  (1 / 2)[ (1 / 2),   (1 / 2),   (1 / 2),   (1 / 2),  ] (10.40c)  (1,1)  (1 / 2),   (1 / 2),  (10.40d)  (1,1)  (1 / 2),   (1 / 2),  (10.40e)     E s   s (r1 , r2 ) H  s (r1 , r2 )     Et   a (r1 , r2 ) H  a (r1 , r2 )       S 2  ( s1  s 2 ) 2  s12  s22  2 s1 s 2  H e spin  [( E s  3Et ) / 4 ]  J 12 s1 s 2 (10.41a) (10.41b) (10.42) (10.43) (10.44) (10.45) J 12  E s  Et  H e spin   J 12 s1 s 2  H spin    J ij s i s j (10.46) i j 10.3- Mô hình Hubbard H  Hh  H p Hh  (10.47) '  t xy aˆ y, aˆ x,  (10.48) x, y, H p  U x Nˆ x ,  Nˆ x ,  (10.49) x Nˆ x ,   aˆ x,  aˆ x ,  cˆ i ,     i ,  ( x) aˆ x ,  aˆ x  cˆi aˆ x ,     *i ,  ( x) cˆi ,  x Hh  '  x, y, t x y   i ,  ( y ) cˆ  i ,  * j , ( x ) cˆ j ,    ij cˆ i  i , cˆ j , i , j , i, j  i j   ' t x y i ,  ( y )  *j ,  ( x )  i ,  ( x)   k ,  ( x) ~ exp (ikx) x, y  i j   ' t x yi , ( y)  *j , ( x) ~  exp[i k ( x  1)].exp ( i k ' x) ~  exp[i (k  k ') x ~  (k  k ' )   i j x, y x x H h    i cˆi,  cˆi ,  i   i i (10.52) cˆi cˆ cˆm cˆ j  (10.53) i,  Hp   i  ,m j i , j , , m  i  , m j   U x  *j  ( x)  m*  ( x)   ( x )  i ( x ) (10.54) x H    i cˆi, cˆi ,  i,   i , m j i , j , ,m 11- Phương trình Shrodinger cho cặp Cooper 11.1- Trạng thái liên kết hai electron trong lý thuyết BCS   Cặp Cooper S S 0 H  E H  H 0 V cˆi cˆ cˆm cˆ j  1 2   p1;  p2  0 (10.47b) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.   p  k H 0 k   k k   a    k k ( H 0  V  E )  ak ' k '  0 k ' k F k ( k  E ) ak   ak 'Vkk '  0   Vk k '    k*V k ' dr  V 0  0 khi  F   k ;  k '   F   D   Vkk '   V0 tre^ n   ,   ngoa`i khoa ? ng k a  k' 0 a k  ( k  E )0ak khi  V0  a k'  ( k  E ) k 'kF k ' k ' k F 1 1    V0 k k F ( E   k ) k ' kF 1 1  V0 k kF ( E   k )  (11.11) F C 0 F + D E   F , E > 0 Trạng thái liên kết  k  lk   F   C E  C   F  1 / V0 (11.12) 1 1  V0 k kF ( k  EC ) g ( )  g ( F ) 1 g ( F )V0  ln  F   D   EC   D 1 d  g ( F )   g ( F ) ln F (  EC )  F  EC V0 F 1  F  D g ( ) d   V0 (  EC ) F  lk   D kTC   lk   g ( F )V0  lk  lk   F   C  lk   D exp( 1 /  ) TC  ( D / k ) exp(1 /  ) 11.2- Toán tử hai hạt và trạng thái chân không của hệ siêu dẫn cˆ k  aˆ k aˆ k ; cˆk  aˆ k aˆ k H  ( k / 2) (aˆ k aˆ k  aˆ k aˆ k )  (1 / 2) V   aˆ  aˆ   aˆ  aˆ     k k ' k k k ' k ' k k ,k ' nˆk nk  0  0 ; nˆk nk 1   nk 1 nˆ k   nˆk   nˆk nˆ k  cˆk cˆk  aˆ k aˆ k aˆ k aˆ k  aˆ k aˆ k aˆ k aˆ k  nˆ k nˆk  nˆ k  nˆ k H   k cˆk cˆk  (1 / 2) V   cˆ  cˆ     kk ' k k ' k k ,k '  (0)  u  (0)  v cˆ  (0)  (u k  vk cˆk )  k (0)  k  k    k k 2 k  k  k 2 k u v 1  (0)   (u k  vk cˆk ) k (0)  k và : cˆk  (0)  0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software cˆk  (0)  cˆk  [u k '  vk 'cˆk ' ] nk 0  aˆ k  aˆk  [uk ' http://www.foxitsoftware.com vk ' aˆk ' aˆk ' ] nk  0  For evaluation only.     [u   k ' k  k '  k k'  k' k'  vk ' aˆk ' aˆ k ' ] nk 0 . .aˆ k aˆk  [u k  vk aˆ k aˆk  ] n  0 [u k  v k aˆ k  aˆ k ] n  0 k aˆ aˆ u     k  k  k      nk  0  k  k  k  v aˆ aˆ  nk 0  u v aˆ k     k  k  aˆ  nk  0 [aˆ aˆ     k k k  k  n  0 k ]  uk vk aˆ k  aˆ k  [aˆ k aˆk nk 0 ] nk 0  u k v k aˆ  k  aˆk aˆk  aˆ k  nk 0 nk  0 u k vk aˆ k  aˆ k aˆk  aˆ k  nk 0 nk 0 aˆ k aˆk vk aˆk aˆk k (0)v k aˆk aˆk   k (0) ~ vk aˆk aˆ k  k (0)aˆ k v k aˆ k aˆ k aˆk  k (0)  0 Ph­¬ng ph¸p hµm Green l­îng tö Chương 4: ý t­ëng cña ph­¬ng ph¸p 12- Ph­¬ng ph¸p hµm Green l­îng tö ë nhiÖt ®é T=0K 12.1- §Þnh nghÜa hàm Green l­îng tö ë nhiÖt ®é T= 0K G (x, x' )  i Tˆ[ˆ H (x)ˆ H (x' )] (12.1a)  Tˆ[ˆ i (x)ˆ i ( x' )Sˆ()]  G (x, x' )   i  Sˆ()  (12.1b)  i  lim G ( x, x ')dr    aˆ i aˆ i   N t 't  0   r 'r V× : i   N   n(r )dr => n( x)   i lim G ( x, x ' ) (12.2) t't 0 r ' r  FH(1) (t )   i   [ lim f  ( x )G ( x, x ' )]dr (12.3) t't 0 r ' r  , 12.2- Hàm Green cho hÖ h¹t fermion iG ( x, x ' )  T [e i H t / ˆ S (q )e  i H t /  e i H t '/ ˆ S (q ' )e i H t '/  ]     T [e i E0 (t t ') /    i (r )   k* (r ' ) aˆ i e i H ( t t ') /  aˆ k ] i k   iG ( x, x ' )  T [e i E0 (t t ') /    i (r )  i* (r ' )aˆ i e i H ( t t ') /  aˆ i ] i 4 G( x  x' )      d p  i [ p ( r  r ')  t ] G ( p ,  ) e (2 ) 4  ˆ H ( r , t )  i aˆ p e i aˆ p e 1 V e  i pr /  p '' e   0 ( p '') aˆ p '' aˆ p '' t /    p ''  1 V ˆ H (r , t )  e i H 0 t /  aˆ p e i H 0 t /   p  0 ( p '') aˆ p ''aˆ p '' t /    e  i      i      ; d 4 p  dpd        0 ( p '') aˆ p ''aˆ p ''   0 ( p )  t /      p ''        0 ( p '') aˆ p '' aˆ p ''    0 ( p )  t /       p '' aˆ p aˆ p   e i[ p r  0 ( p ) t ] /  aˆ p  p  ˆ H ( x )ˆ H ( x' ) , t  t '  G ( x, x ' )   i Tˆ[ˆ H ( x )ˆ ( x' )]   i    ˆ H ( x' )ˆ H ( x) , t '  t ( 0)  H (12.4) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.      1  N p , t  t ' i i[ p ( r  r ')  0 ( p ) ( t t ' )] /   e   V p  N p , t '  t  1 , p  p 0  N p  aˆ p aˆ p    0 , p  p 0   i 1  N p , t  0 G ( 0 ) ( x )   e i [ p r  0 ( p ) t ] /   V p  N p , t  0    1  N p , t  0  i [  0 ( p )/  ]t  (0)  (0)  i [( pr /  )  t ]  G ( p ,  )    G ( x )e dr dt  i  dt e    N p , t  0   G ( 0) ( x, x' )     i ( p  p0 )  dt e  i [  0 ( p ) /  ] t    i ( p0  p ) dt e i [  0 ( p ) /  ]t ( Với:  ( z )  1 , z  0 ) 0   0 , z  0 0  1 ds F ( s)   F ( s)  ds  i F (0)   0    0 s  i s  i s 0 0  ( p  p0 )  ( p 0  p) 1    G ( 0 ) ( p,  )        0 ( p )  i sign ( p  p0 )    0 ( p )  i    0 ( p )  i 12.3- Hàm Green phonon D ( x, x' )   i  Tˆ[ˆH ( x )ˆH ( x ' )]  e ist dt  lim  e ist  t dt  i lim      k   ˆ   ˆ k (r , t )e i[ k r 0 ( k )t ]  uˆ k (r , t )e i[ k r 0 ( k )t ] u (r , t )   u  k k      [uˆ i (r , t ), uˆ j (r ' , t )]  i (r  r ' ) ij  bˆk  2  0 (k ) /  uˆ k  bˆk  2  0 (k ) /  uˆ k    ˆ  2  Kˆ   [u (r , t )] dr 2 1 E   H  2  Kˆ    2            kk ' ˆ  bˆ  e i[ kr 0 ( k )t ] e i[ k 'r 0 ( k ')t ]  bˆ  bˆ  e i[kr 0 (k )t ] e i[ k 'r 0 ( k ')t ]  ( k )  ( k ' ) b   0 0 k k' k k'   k ,k ' kk'    ˆ  bˆ   bˆ  bˆ  ]   (k ) [ N   (1 / 2)] E  ( / 2)  ( k ) [  b  0 0 k k ' k k ' k   k k  H   ( k ) [ Nˆ k  (1 / 2)]  0  k ˆH ( x )  1 V    k i D ( x)  2V ( 0)      0 (k ) / 2 bˆk e i[ k r 0 ( k ) t ]  bˆk e i[ k r 0 ( k ) t ]       i[ k r 0 ( k ) t ] i [ k r  0 ( k ) t ]   ( t )e  0 (k )  (t )e  k     i [ 0 ( k )]t     e , t0 i0 (k )   dt  D (0) (k ,  )    D (0) ( x ) e i[ k r  t ] dr dt    ei [ 0 ( k )]t , t  0 2           i  0 (k )  i [ 0 ( k ) ] t i [ 0 ( k ) ] t    dt e  dt e  2 0  0  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software   http://www.foxitsoftware.com For2 evaluation only.    0 (k )  1 1 0 ( k ) (0)     D (k ,  )    2    0 (k )  i    0 (k )  i   2  02 (k )  i 12.4- §Þnh lý Wick  (H0 )* Tˆ [ Aˆ (q1 , t1 ) Bˆ (q2 , t 2 ) Cˆ (q3 , t3 ).... Xˆ (qm1 , t m1 )Yˆ (qm , t m )]  (H0 ) ˆ (q n , t  )ˆ  (q n , t n ) ==>  Tˆ[ˆ (q n , t  )ˆ  (q n , t n )]   Tˆ [ Aˆ (q1 , t1 ) Bˆ (q 2 , t 2 ) Cˆ (q3 , t 3 ) Dˆ (q 4 , t 4 )....Xˆ (q m 1 , t m 1 )Yˆ (q m , t m )]     Tˆ[ Aˆ ( q1 , t1 ) Bˆ ( q2 , t 2 )]  Tˆ[Cˆ (q3 , t3 ) Dˆ ( q4 , t4 )]  ......  T [ Xˆ ( qm 1 , tm 1 )Yˆ ( qm , tm )]     Tˆ[ Aˆ ( q , t )Cˆ ( q , t )]  Tˆ[ Bˆ ( q , t ) Dˆ ( q , t )]  ......  T [ Xˆ (q , t )Yˆ (q , t )]   ..... 1 1 3 3 2 2 4 m 1 4 m 1 m m  Tˆ[ˆ ( x )ˆ ( x' ) Sˆ ()]   Sˆ ()   G ( x, x ' )   i  t1  Sˆ ()  1  (i /  )  Vˆ (t1 ) dt1  (1 / ) 2  Vˆ (t1 ) dt1  Vˆ (t 2 ) dt 2  ......     t1  t n 1  (i /  ) n  Vˆ (t1 ) dt1  Vˆ (t 2 ) dt 2 ....  Vˆ (t n ) dt n  .........     Vˆ (t )  g ˆ  ( x )ˆ ( x )ˆ( x ) dr g2  G (1) ( x, x' )  2 2 p0 m  ( g / ) dx1  Tˆ[ˆ ( x)ˆ  ( x' )ˆ  ( x1 )ˆ ( x1 )ˆ( x1 )]   ˆ  S ( )   Tˆ[ˆ ( x)ˆ  ( x' )]  Tˆ[ˆ  ( x1 )ˆ ( x1 )]  [ ( x1 )]   ......  [ ( x1 )]   0 G (1) ( x, x ' ) = 0. DÔ dµng chøng tá r»ng tÊt c¶ c¸c bËc lÎ cña gia sè hµm Green G ( 2 n1) ( x, x' ) còng b»ng kh«ng.  [ ( x1 )]   0 G ( 2) ( x, x ' )  i( g / ) 2 dx1dx 2  Tˆ[ˆ ( x)ˆ  ( x' )ˆ  ( x1 )ˆ ( x1 )ˆ ( x1 )ˆ  ( x 2 )ˆ ( x 2 )ˆ ( x 2 )]    ˆ  S ( )   Tˆ[ˆ ( x)ˆ  ( x' )Sˆ ()]    Tˆ[ˆ ( x )ˆ  ( x ' ) Sˆ ()]   k  Sˆ ()  G ( x, x ' )   i  Tˆ[ˆ ( x )ˆ  ( x ' ) Sˆ ()]   k (12.1c) => Hµm Green G ( x, x ' ) cã thÓ biÓu thÞ qua c¸c hµm Green cña hÖ c¸c h¹t kh«ng t­¬ng t¸c G ( 0) ( x, x ' ) . 13- Ph­¬ng ph¸p hµm Green l­îng tö ë nhiÖt ®é T  0K. Không học vì trong môn Phương pháp hàm Green có một chương vê hàm Green nhiệt độ T  0K 14- Giản đồ Feynman. 14.1- Giản đồ Feynman trong trường hợp T=0K 14.1.1- Những quy tắc chủ yếu của kỹ thuật giản đồ  Tˆ[ˆ ( x )ˆ  ( x' ) Sˆ ()]  G ( x, x ' )   i  Sˆ ()   1 Sˆ ()  Sˆ (,)  1  (i / )  Vˆ (t1 ) dt1  2 2     Vˆ (t1 ) dt1  Vˆ (t 2 ) dt 2  ......    n   ( i ) n ! n   G ( x, x ')     Vˆ (t1 ) dt1  Vˆ (t 2 ) dt 2 ....  Vˆ (t n ) dt n  .....  n  i ( i )  n  Sˆ ()  n 0 n !    ....  dt ....dt 1   t  n  T [ˆ ( x)ˆ  ( x ') Vˆ (t1 ).....Vˆ (tn )]  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. http://www.foxitsoftware.com        1 VˆS  ˆ  (r1 )ˆ  (r2 ) U S (r1  r2 )ˆ  (r2 )ˆ  ( r1 ) dr1 dr2 2   Ký hiệu: ( x1  x 2 ) U (r1  r2 )  (t1  t 2 ) 1   4 4  Vˆ (t1 ) dt1  2 ˆ  ( x1 )ˆ  ( x2 ) ( x1  x2 )ˆ  ( x2 )ˆ  ( x1 ) d x1 d x 2 Khi : n=1. 1 G (1)  d 4 x1 d 4 x 2  T [ˆ  ( x)ˆ  ( x ' )ˆ  ( x1 )ˆ  ( x 2 )ˆ  ( x2 )ˆ  ( x1 )]  ( x1  x 2 )  ˆ 2  S ( )   Tˆ[ˆ  ( x )ˆ  ( x ' )ˆ  ( x1 )ˆ  ( x 2 )ˆ  ( x 2 )ˆ  ( x1 )]    Tˆ[ˆ ( x)ˆ  ( x1 )]   T [ˆ  ( x2 )ˆ ( x2 )]   T [ˆ  ( x1 )ˆ  ( x ')]     Tˆ[ˆ ( x)ˆ  ( x )]   T [ˆ  ( x )ˆ ( x )]   T [ˆ ( x )ˆ  ( x' )]      1  2  1  2   Tˆ[ˆ  ( x)ˆ  ( x 2 )]   T [ˆ  ( x1 )ˆ  ( x1 )]   T [ˆ  ( x 2 )ˆ  ( x ' )]     Tˆ[ˆ  ( x)ˆ  ( x 2 )]   T [ˆ  ( x1 )ˆ  ( x 2 )]   T [ˆ  ( x1 )ˆ  ( x' )]     Tˆ[ˆ ( x )ˆ  ( x ' )]   T [ˆ  ( x )ˆ ( x )]   T [ˆ  ( x )ˆ ( x )]       1  1  2 2   Tˆ[ˆ  ( x )ˆ  ( x ' )]   T [ˆ  ( x1 )ˆ  ( x 2 )]   T [ˆ  ( x 2 )ˆ  ( x1 )]  Thay G ( 0) : (0) i G(0) ( x, x1 ) G(0) ( x2 , x2 ) G(0) ( x1 , x ')  i G( 0) ( x, x1 ) G(0) ( x1 , x 2 ) G(0) ( x 2 , x' )  i G ( x, x 2 ) G(0) ( x1 , x1 ) G( 0) ( x 2 , x ' )  ( 0) (0)  i G ( x, x 2 ) G( 0) ( x 2 , x1 ) G( 0) ( x1 , x' )  i G ( x, x' ) G(0) ( x1 , x1 ) G( 0) ( x 2 , x 2 )  ( 0)  i G ( x, x' ) G(0 ) ( x 2 , x1 ) G(0 ) ( x1 , x 2 ) Giản đồ Feynman: G (1) phù hợp với 6 giản đồ trên hình 14.1 x2 x1 a) x a’) b) x’ x1 x x2 x1 x’ b’) x x’ x2 x1 x2 c) x x1 x2 d) x x x’ x1 x2 x’ Hình 14.1 Giản đồ liên kết: x x’ x a) x’ b) Hình 14.2  n  ( i)  T [ˆ ( x)ˆ  ( x ') Sˆ ()]    n n 0 n !  n      ....  dt1....dt n  T [ˆ ( x)ˆ ( x' )Vˆ (t1 ).....Vˆ (t n )]      ( i)    A( n, m)  ....  dt1 ....dt m  T [ˆ ( x)ˆ  ( x' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )]  k . n n 0 m  0  n !    n x’  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.   .  ....  dt m 1 ....dt n  T [ Vˆ (t m 1 ).....Vˆ (t n )]     n! A(n, m)  . m ! (n  m) !  n  (i) m ˆ  T [ˆ ( x)ˆ ( x' ) S ()]      m n 0 m  0  m !     ....  dt ....dt 1  m  T [ˆ ( x)ˆ  ( x ' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )]  k .     (i ) n m . .... dt m1 ....dt n  T [ Vˆ (t m1 ).....Vˆ (t n )]  n m   ( n  m) !    (i ) m m m 0 m !        ....  dt1....dt m  T [ˆ ( x)ˆ ( x' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )]  k .   ( i ) k . k k  0 k !      ......  dt  m 1 ....dt m k  T [ Vˆ (t m 1 ).....Vˆ (t m k )]     ......  dt m1 ....dt m k  T [ Vˆ (t m1 ).....Vˆ (t mk )]   Vì    (i) k  k    ......  dt1 ....dt k  T [ Vˆ (t1 ).....Vˆ (t k )]      k !  ......  dt k 0  m 1 ....dt m  k  T [ Vˆ (t m 1 ).....Vˆ (t m k )]   Sˆ ()  (14.8a)   (i) m ....  dt1....dtm  T[ˆ ( x)ˆ  ( x' )Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] k   T[ˆ ( x)ˆ  ( x' )Sˆ ()] k  m  m0 m!    T [ˆ ( x)ˆ  ( x' ) Sˆ ()]    T [ˆ ( x)ˆ  ( x' ) Sˆ ()]   Sˆ ()   (14.7)  k G ( x, x' )   i  T [ˆ ( x)ˆ  ( x' ) Sˆ ()]  k 14.1.2- Kỹ thuật giản đồ trong không gian tọa độ. Xét Tương tác hai hạt: b) a) (14.9) (14.10) d) c) i) h) e) (14.8b) ) k) g) Hình14.3 a) (0) (0) (0) (0) (0) d4x1d4x2d4x3d4x4G ( x  x ) G ( x  x ) G ( x  x ' ) G ( 0 ) G (0)V(x1  x3)V(x2  x4 ) 1   1 2   2    1 1 2 2 3 3 44 b) (0) d4x1d4x2d4 x3d4x4G (x  x1)G(10)2 (x1  x2 )G(30)3 (x2  x3 )G(04)4 (x2  x4 )G(40) (x4  x')V(x1  x2 )V(x3  x4 ) 1 c) d x d x d x d x G (x  x )G  (x  x )G  (x 4 4 1 4 2 4 3 (0) 4 1 (0) 1 1 2 (0) 1 2 3 3 2  x3 )G(03) (x3  x' )G(04)4 (0)V(x1  x4 )V(x2  x3 ) 4 4 4 4 ( 0) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software (0) http://www.foxitsoftware.com (0) ( 0)For evaluation only. (0)  d x d x d x d x G (x  x )G  (x  x )G  (x  x )G  (x  x' )G  (0)V(x  x )V(x  x ) đ)  d x d x d x d x G (x  x )G  (x  x' )G  (x  x )G  (x  x )G  (x  x )V (x  x )V (x  x ) e)   d x d x d x d x G (x  x )G  (x  x' )G  (x  x )G  (x  x )G  (0)V (x  x )V (x  x ) g)  d x d x d x d x G ( x  x )G  ( x  x )G  (x  x )G  (x  x' )G  (0)V (x  x )V ( x  x ) d) 1 4 2 4 1 3 4 2 4 4 4 4 4 4 1 4 4 4 3 3 3 2 3 (0) (0) 1 2 2 (0) 1 1 4 1 1 1 (0) 3 2 1 2 (0) 1 1 4 2 1 1 (0) 3 4 1 4 1 1 2 3 3 4 2 3 2 3 3 4 3 3 3 3 2 3 4 3 4 (0) 4 2 3 2 4 2 1 2 (0) 3 2 (0) 2 1 4 4 (0) 2 (0) 1 3 (0) 2 (0) 1 (0) 1 3 3 4 4 1 2 3 1 3 2 4 (0) 3 4 4 4 4 4 4 4 (0) ( 0) (0) (0) (0) h)   d x1d x2 d x3 d x4G1 (x  x1 )G1 2 (x1  x2 )G 3 3 (x2  x3 )G 4 4 (x3  x4 )G 4 (x4  x' )V (x1  x4 )V (x2  x3 ) i) (0)   d4 x1d4 x2d4 x3d4 x4G (x  x1)G(10)2 (x1  x2 )G(30)3 (x2  x3 )G(04)4 (x3  x4 )G(04) (x4  x' )V(x1  x3 )V(x2  x4 ) 1 4 4 4 4 (0) (0) (0) (0) (0) k) d x1d x2d x3d x4G1 (x  x1)G1 2 (x1  x2 )G 2 (x2  x')G3 4 (x3  x4 )G 43 (x4  x3 )V(x1  x3 )V(x2  x4 )  ˆ (t ) dt  1 ˆ  ( x )ˆ  ( x ) ( x  x )ˆ ( x )ˆ ( x ) dx dx  V  1 1 2   1  2 1 2  2  1 1 2 1 ....ˆ 1 ( x1 )ˆ 2 ( x2 ) ( x1  x2 )  ( x1  x3 ) ( x2  x4 ) 1 3   2 4ˆ  4 ( x4 )ˆ  3 ( x3 ) dx1dx2 dx3 dx4   2 1   ....ˆ 1 (x1 )ˆ 2 (x2 ) (x1  x2 ) (x1  x4 ) (x2  x3 )1 4  2 3 ˆ  4 (x4 )ˆ  3 (x3 )dx1dx2dx3dx4  2 1   ....ˆ 1 ( x1 )ˆ 2 ( x 2 ) (10)2  3 4 ( x1 x 2 , x 3 x 4 )ˆ  4 ( x 4 )ˆ  3 ( x 3 ) dx1 dx 2 dx 3 dx 4 4  (10)3  2 4 G(1)   (x1 x2 , x3 x4 )  (x1  x2 )[ (x1  x3 ) (x2  x4 )13  2 4  (x1  x4 ) (x2  x3 )1 4  2 3 ] 1 ... d 4 x1....d 4 x4(10)2 34 (x1 x2 , x3 x4 ) T[ˆ (x)ˆ  (x' )ˆ1 (x1)ˆ2 (x2 ) ˆ 4 (x4 )ˆ3 (x3 )]   4  i... d 4 x1....d 4 x4 (10)2 3 4 (x1 x2 , x3 x4 )G(0) (x  x1 )G(0) (x3  x2 )G(0) (x4  x' ) (10)3  2 4 ( x1 x2 , x3 x4 ) = một hình vuông Hình 14.4 a) (14.13) = giản đồ 14.4. các giản đồ 14.3 a , b , c , d ==> 14.5 a ; các giản đồ 14.3 đ , e , g , h ==> 14.5 b ; các giản đồ 14.3 i , k ==> 14.5 c. c) b) Hình14.5 a)  ... d 4 x1....d 4 x8 (10)2  3 4 (x1 x2 , x3 x4 )(50)6 78 (x5 x6 , x7 x8 ). .G(0) (x  x1 )G(0) (x3  x5 )G(0) (x7  x' )G(0) (x4  x2 )G(0) (x8  x6 ) b)   ... d 4 x1 ....d 4 x8 (10)2  3 4 ( x1 x 2 , x3 x 4 )(50)6  7 8 ( x5 x6 , x 7 x8 ). .G(0) ( x  x1 )G(0) ( x3  x' )G(0) ( x4  x5 )G(0) ( x7  x2 )G(0) ( x8  x6 )
- Xem thêm -