Tài liệu Lý thuyết hàm p-adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH XUÂN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH XUÂN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên-2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Đinh Xuân Bằng Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của ngƣời hƣớng dẫn khoa học Hà Huy Khoái Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy hướng dẫn GS.TSKH. Hà Huy Khoái. Thầy đã giành nhiều thời gian, công sức chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện đề tài và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cùng gia đình. Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau Đại Học của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Toán khóa 19. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn bè, những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để tôi học tập tốt. Thái Nguyên, Tháng 6 Năm 2013 Học viên Đinh Xuân Bằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời cam đoan........................................................................................................i Lời cảm ơn...........................................................................................................ii Mục lục...............................................................................................................iii Mở đầu.................................................................................................................1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................. 2 1.1. Trường không archimed .................................................................2 1.2. Các hàm giải tích và hàm phân hình ..............................................5 1.3. Tích phân Schnirelman và công thức tích phân Cauchy ................8 1.4. Hệ quả của công thức tích phân Cauchy.......................................14 Chƣơng 2: ĐA GIÁC ĐỊNH GIÁ VÀ CÔNG THỨC POISSON – JENSEN ........19 2.1. Trường lớp thặng dư .....................................................................19 2.2. Giá trị tuyệt đối không Archimed trên vành hàm giải tích............19 2.3. Đa giác định giá.............................................................................26 2.4. Thuật toán chia Euclid...................................................................33 2.5. Công thức Poisson – Jensen .........................................................41 KẾT LUẬN......................................................................................................45 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, nhiều vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm phức một biến được xem xét đối với các lớp hàm trên trường không Archimed. Bên cạnh nhiều tính chất tương tự, có nhiều tính chất là đặc thù của không gian hàm trên trường không Archimed. Bản luận văn nhằm mục đích giới thiệu một số tính chất cơ bản của trường không Archimed và không gian các hàm chỉnh hình và phân hình trên đó. Những tính chất tương tự với hàm chỉnh hình và phân hình phức thường được chứng minh dựa vào tích phân Schnirelman, trong khi những tính chất đặc thù lại được thiết lập chủ yếu nhờ vào đa giác định giá của hàm chỉnh hình trên trường không Archimed. Nội dung luận văn được trình bày dựa theo bài giảng “p-adic Function Theory” của W. Cherry, với một đôi chỗ chứng minh được chi tiết hóa (mà trong bài giảng được cho dưới dạng bài tập). Luận văn gồm hai chương và phần tài liệu tham khảo. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Trƣờng không Archimed Định nghĩa: Giả sử  là vành giao hoán. Giá trị tuyệt đối không Archimed trên  là hàm từ  đến các số thực không âm  0 thỏa mãn ba tính chất sau: AV 1. a  0 khi và chỉ khi a  0 . AV 2. ab  a b với mọi a, b   . AV 3. a  b  max  a , b  với mọi a, b   . Nhận xét 1.1.1. Nếu a  b , thì a  b  max  a , b  Chứng minh: Theo định nghĩa trên ta có: a  b  max  a , b  . Ta chứng minh a  b  max  a , b  Thật vậy: Xét a  b . Ta có a  a  b  b  max  a  b , b  nên a  a  b . Xét a  b . Ta có b  a  b  b  max  a  b , a  nên b  a  b . Như vậy ta có a  b  max  a , b  . Vậy a  b  max  a , b  Ý nghĩa hình học: Nhận xét 1.1.1 có ý nghĩa là : - Mỗi tam giác trong không gian không Archimed là cân. - Mỗi điểm nằm trong hình cầu đều là tâm của nó. Điều này có nghĩa là cứ hai đĩa tròn thì hoặc là chúng rời nhau hoặc đĩa này nằm trọn trong đĩa kia. Nhận xét 1.1.2. Nếu  thì là giá trị tuyệt đối không Archimed trên miền nguyên mở rộng duy nhất tới trường hữu tỉ của  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kí hiệu: Cặp ( F , Archimed ) bao gồm có trường F cùng với giá trị tuyệt đối không trên F hoặc ta kí hiệu ngắn gọn bởi F . Định nghĩa (Tính liên tục của dãy). Dãy an trong trường không Archimed F được gọi là hội tụ tới phần tử a trong F , nếu với mỗi   0 , có tồn tại số tự nhiên N sao cho với mỗi số tự nhiên n  N , ta có a  an   . Định nghĩa (Dãy Cauchy của trƣờng không Archimed). Dãy an trong F được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi   0 , có tồn tại số tự nhiên  sao cho với mọi số tự nhiên m và n ; m, n   , thì an  am   . Nhận xét 1.1.3. Giả sử F là trường không Archimed. Giả sử F là tập của các dãy Cauchy trong F mà các dãy modulo hội tụ tới 0. Nói cách khác , định nghĩa quan hệ tương đương trên tập hợp của dãy Cauchy trong F bằng cách xác định hai dãy Cauchy là tương đương nếu hiệu của chúng là dãy hội tụ tới 0, và giả sử F là tập hợp các lớp tương đương dưới quan hệ tương đương . Khi đó, F là trường, và là mở rộng một cách tự nhiên tới F , và rằng F là trường không Archimed đầy đủ mà ta gọi bổ sung đầy đủ của F. Cho trường F, F  kí hiệu cho F \ 0 . Cho trường không Archimed (F, ), tập hợp F× =  x : x  F   0 là nhóm con với phép nhân của  gọi là nhóm giá trị của F. Nếu F là rời rạc trong  0 0 , thì F được gọi là trường không Archimed với giá trị tuyệt đối rời rạc . Dưới đây chúng tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ về trường không Archimed đầy đủ: (i) Giá trị tuyệt đối tầm thƣờng: Giả sử F là trường. Giá trị tuyệt đối , được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường trên F nếu 0  0 và x  1 với mọi x  F× . Khi đó, mọi dãy là Cauchy khi và chỉ khi từ lúc nào đó nó là hằng số, và do đó hội tụ. Như vậy một trường Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn F tùy ý có thể trở thành trường không Archimed đầy đủ bằng cách trang bị trên F một giá trị tuyệt đối tầm thường. (ii) Các trƣờng số p –Adic. Xét các số hữu tỉ Q và giả sử p là số nguyên tố. Khi đó, một số x khác không trong Q có thể được viết duy nhất dưới dạng sau : x  pn a b ở đây p không chia hết a hoặc b .  pn : x  0 Với x Q ta có: x p   0 : x  0 Ví dụ: (1) Cho p  5 , x  45 . Ta có x  5.9 nên x p  51  1 / 25 . (2) Cho p  5 , x  22 / 2015 .  22  1 Ta có x  51·  nên x p  5  5 .  403  (3) Cho p  5 , x  2013 . Ta có x p  2013 5  1 . Mệnh đề 1.1.4. Hàm p là giá trị tuyệt đối không Archimed trên Q. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử p là số nguyên tố, n0 là số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên n  n0 , ta có 0  an  p  1. Khi đó, dãy tổng riêng k  Sk   an p n là dãy Cauchy trong Q, n  n0 p  . Hơn nữa, S k hội tụ trong Q nếu và chỉ nếu an từ một lúc nào đó là tuần hoàn , nói cách khác tồn tại số nguyên n1 và t  1 sao cho ant  an với mọi n  n1 . Chứng minh: Xem [24, § I .5.3]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa (Trƣờng Q p ): Với số nguyên tố p , bổ sung đủ của Q theo tôpô sinh bởi giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối p p là một trường, kí hiệu là Q p . trên Q p , được mở rộng từ giá trị tuyệt đối p trên Q , thỏa mãn: (1) Q trù mật trong Q p . (2) Q p là đầy đủ. Trường Q p được gọi là trường các số p -adic. Định nghĩa ( Trƣờng  p ): Bao đóng đại số của Q p kí hiệu là Q p , giá trị tuyệt đối trên Q p được mở rộng từ giá trị tuyệt đối p trên Q p và cũng kí hiệu là p . Chú ý Q p không đầy đủ. Trường bổ sung đủ của Q p theo tôpô cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối p , kí hiệu là  p . Như vậy (1) Tồn tại một phép nhúng Q p   p và giá trị tuyệt đối nhận được bằng cách mở rộng giá trị tuyệt đối p p trên  p trên Q p . (2) Q p trù mật trong  p . (3)  Trường   p p p là đầy đủ. thỏa mãn ba điều kiện trên được gọi là trường các số phức p -adic. đầy đủ, đóng đại số, có đặc số không. 1.2. Các hàm giải tích và hàm phân hình. Giả sử ( F , ) là trường không Archimed, đầy đủ, đóng đại số. Mệnh đề 1.2.1. Chuỗi a n các phần tử của F hội tụ nếu và chỉ nếu lim an  0 . n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh: Xét chuỗi  a n 0 Ta biết rằng chuỗi n n , an F . Đặt S n =  ak . k 0  a n 0 n hội tụ khi và chỉ khi Sn  hội tụ, tức là khi và chỉ khi an Sn là dãy Cauchy. Điều này xảy ra khi và chỉ khi lim n  0. Thật vậy: Khi lim an  0 ta chứng minh Sn  là dãy Cauchy. n Ta có với mỗi k  n  l  n . S n l  S n  n l n k 0 k 0  ak   ak = an1    anl  max  an1 ,..., anl   0 . Khi Sn  là dãy Cauchy ta chứng minh lim an  0 . n Ta có Sn  là dãy Cauchy nên lim Sn1  Sn  0 . Do đó n lim an  0 . n Vành F [[ z ]] các chuỗi lũy thừa hình thức theo biến z với hệ số trong F tạo thành một miền nguyên với phép cộng và phép nhân được xác định tự nhiên. Do mệnh đề 1.2.1, chuỗi lũy thừa hình thức:  f  z    an z n  F [[ z ]] n 0 hội tụ tại z trong F nếu : lim an z  0 . n n  Nếu chuỗi hình thức f hội tụ tại z thì hiển nhiên f hội tụ tại mỗi w với w  z . Tương tự, nếu f phân kì tại z thì f phân kì tại mỗi w với w  z . Cho nên ta định nghĩa bán kính hội tụ rf bằng : rf  sup{ z : f hội tụ tại z }. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta có công thức Hadamard xác định bán kính hội tụ của chuỗi hình thức. Kết quả này giống với kết quả của giải tích thực và phức . Mệnh đề 1.2.2 (Công thức Hadamard). rf  1 limsup an 1/ n  n  Nhận xét 1.2.3. rf  g  min{r f , rg } và rfg  min{rf , rg }. Ta có thể định nghĩa hình cầu mở, hay còn gọi hình cầu không biên, bán kính R bởi : B  R ={ z  F : z  R }. Kí hiệu B  = F để bao gồm trường hợp toàn bộ F . Hình cầu đóng, hoặc hình cầu có biên, bán kính R   được xác định bởi B  R ={ z F : z  R }. Nếu R  0 thì B  R là mở và B  R là đóng trong tôpô trên F . Vành các hàm giải tích trên B  R , kí hiệu A [ R ], được định nghĩa bởi :  A  R ={  an z n  F [[ z ]] : lim an R n =0}. n n 0 Tương tự, vành các hàm giải tích trên B  R , kí hiệu A  R  , được định nghĩa như sau:  A  R   {  an z n  F [[ z ]] : lim an r n  0 với mọi r  R }. n 0 n Các phần tử A    , tức là chuỗi lũy thừa với bán kính hội tụ vô hạn được gọi là các hàm nguyên. Để nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Laurent, ta xét trên các miền với biên khác nhau, không biên hoặc nửa biên. A r1, r2   { z  F : r1  z  r2 } , A ( r1, r2 ]={ z  F : r1  z  r2 }, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A [ r1, r2 )={ z  F : r1  z  r2 } , A ( r1, r2 )={ z  F : r1  z  r2 }, và các vành hàm giải tích trên các không gian.  A [ r1, r2 ]={ a z n  n n n   A ( r1, r2 ]={ a z n  n n a z n  n n a z n  n : lim an r n  0 với mọi r1  r  r2 } n   A ( r1, r2 )={ : lim an r n  0 với mọi r1  r  r2 } n   A [ r1, r2 )={ : lim an r n  0 với mọi r1  r  r2 } n : lim an r n  0 với mọi r1  r  r2 } n  Nhận xét: Tất cả các vành hàm giải tích trên đây là các miền nguyên. Các phần tử của các trường phân số được gọi là các hàm phân hình. Như vậy M ( r1, r2 ] dùng để kí hiệu trường phân số trên A ( r1, r2 ] , là trường các hàm phân hình trên A ( r1, r2 ]. Chú ý 1.2.4. Nếu giá trị tuyệt đối trên F là tầm thường thì A (1) đơn giản là chuỗi lũy thừa hình thức trên vành F [[ z ]] và A [1] là đa thức trên vành F [ z ]. Vành các hàm giải tích trên hình vành khuyên A[1,1] đơn giản là các phần tử của F [ z, z 1 ]. 1.3. Tích phân Schnirelman và công thức tích phân Cauchy. Trong lý thuyết hàm phức, không có gì quan trọng như định lý tích phân Cauchy và công thức tích phân Cauchy. Trong trường hợp p-adic, có thể xem tích phân Schnirelman [25] là tương tự tích phân đường trong trường hợp phức. Định nghĩa tích phân này sẽ được sử dụng trong chương sau. Trước tiên ta mô tả một số tính chất của trường không Acsimét. Nhận xét 1.3.1. Tập hợp của n trong  sao cho n  1 tạo thành một iđêan nguyên tố của  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh: Đặt M  n   : n  1 . Ta có M   . Với 0   , 0  1 nên 0  M . Vậy M   . Với m, n  M m   , m  1 và  n   , n  1 m  n  max  m , n  ,kéo theo m  n  1 nên m  nM Với m  , n  M ta có mn  m n  1 do m  1 , n  1 . Do đó mn  M . Tương tự ta có nm  M Vậy M là iđêan của  . Với m, n  ta có mn  M nên mn  1 mà mn  m n  1 . (Bởi vì m, n  ta có m  1 và n  1 ). Khi đó, m  1 hoặc n  1. Vậy m  M hoặc n  M . Tóm lại M là iđêan nguyên tố của  . Bây giờ chúng tôi sẽ vào phần chính là định nghĩa tích phân Schnirelman. Định nghĩa. Với số nguyên n  1 sao cho n  1, kí hiệu  n(1) ,...,  n n là n căn bậc n của phần tử đơn vị trong F. Với a và r trong F và hàm f xác định tại n mọi điểm z có dạng a  r k  với mọi n  1 , n  1 ta xây dựng tích phân Schnirelman như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  z a  r   r n n n f  z dz  lim  f a  r k   k  , với 1  k  n n n k 1 n 1 Với giả thiết giới hạn vế phải tồn tại. Tích phân được định nghĩa ở trên được gọi là tích phân Schnirelman và nếu nó tồn tại, hàm f được gọi khả tích Schnirelman trên đường tròn rời rạc z  a  r . Tích phân Schnirelman sẽ thỏa mãn tính chất tuyến tính như tích phân thông thường khác. Mệnh đề 1.3.2. Nếu f  z dz tồn tại, thì  z a  r  f  z  dz  r max f  z  , z a  r z a  r Chứng minh: Chú ý rằng  k n  1 , nên hiển nhiên ta có điều phải chứng minh. Trong lý thuyết chuỗi thực, nếu chuỗi hội tụ đều thì tích phân của tổng chuỗi bằng tổng tích phân các số hạng . Kết quả này vẫn đúng cho chuỗi hàm khả tích Schnirelman. Mệnh đề 1.3.3. Nếu f hội tụ đều trên z  a  r tới f và nếu mỗi f j là j khả tích Schnirelman trên z  a  r thì f là khả tích Schnirelman trên z  a  r và  z a  r f  z dz   j  f j  z dz . z a  r Chứng minh: Giả sử   0 . Do giả thiết về sự hội tụ đều của tổng , ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với mọi j đủ lớn và với mọi z sao cho z  a  r . Do đó, với n sao cho n J r n  n n n n r n  1,  f a  r k  k   f j a  r k   k   , n k 1 n k 1 j 0 3     với mọi j đủ lớn. Do f j tiến đều tới không trên z  a  r , nên theo mệnh đề 1.3.2, ta có  J   j 0 z  a  r f j  z  dz    j 0 z  a  r f j  z  dz   3 , cũng với mọi j đủ lớn. Cố định j đủ lớn để các bất đẳng thức trên là đúng. Theo tính khả tích của f j , tồn tại số N sao cho nếu n  N và n  1, thì J r n J  n n f j a  r k  k    f j  z  dz  .  n k 1 j 0 3 j 0 z  a  r   Do đó, nếu n  N và n  1 thì ta có    r n n n f a  r    f j  z  dz   .    k k  n k 1 j 0 z  a  r Định lý tích phân Cauchy và công thức tích phân Cauchy. Bổ đề 1.3.4. Giả sử 1  j  n là số nguyên (ở đây j kí hiệu giá trị tuyệt đối Archimed thông thường của chỉ số j ). Khi đó   n k 1 n k  j  0. Chứng minh: Do    ,...,        n 1 n n n 1 1   ,...,  n n 1 , chỉ cần xét trường hợp j dương. Giả sử x1,..., xn là các biến số. Khi đó, x1j  ...  xnj là đa thức của các hàm đối xứng sơ cấp 1  x1,..., xn  ,...,  j  x1 ,..., xn  không có hệ số hằng. Do    i 1 n ,...,  n n  0 với 1  i  n , bổ đề được chứng minh.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Như ta đã biết trong giải tích phức cổ điển, nếu f  z  là hàm giải tích thì tích phân của f  z  trên đường cong kín nằm trong một miền đơn liên là bằng không (xem [3]). Tương tự như vậy, ta thấy định lý tích phân Cauchy vẫn đúng đối với tích phân Schnirelman. Định lý 1.3.5 (Định lý tích phân Cauchy). Kí hiệu B  R  a  ={ z  F : z  a  R } là hình cầu đóng bán kính R tâm a . Giả sử f là giải tích trên BR  a  , với r  F với r  R . Khi đó, f là khả tích Schnirelman trên z  a  r và  f  z dz  0 . z a  r Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta giả sử a  0 . Theo tính chất tuyến tính và mệnh đề 1.3.3, chỉ cần chứng tỏ rằng định lý đúng với f  z   z j , j  0 . Theo bổ đề 1.3.4, biểu thức giới hạn trong định nghĩa tích phân Schnirelman triệt tiêu khi n  j  2 . Định lý được chứng minh.  Định nghĩa (Đạo hàm Hasse). Cho chuỗi hình thức lũy thừa f  z  =  a j z j , ta định nghĩa đạo hàm Hasse bậc k của f bởi :  j D f  z    a j  z j k . j k k   k Dưới đây ta sẽ chứng minh được công thức tích phân Cauchy tương tự như công thức tích phân Cauchy trong giải tích phức cổ điển. Định lý 1.3.6 ( Công thức tích phân Cauchy ). Giả sử f giải tích trên B  R  a  , r  F với r  R , w  F với w  a  R và n  0 . Khi đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dn f  w  nêú w  a  R dz     n1 nêú w  a  R 0 z a  r  z  w  f  z Chứng minh: Từ định nghĩa và bổ đề 1.3.4, ta thấy rằng nếu k là một số nguyên thì 1 nêú k  1 k z dz  .  z  r 0 nêú k  1 1.1 Không mất tính tổng quát, ta xét a  0 và viết f  z  dưới dạng chuỗi lũy thừa,  f  z  ajz j . j 0 Nếu w  0 thì định lý đúng do 1.1 và mệnh đề 1.3.3.  k  w  Nếu 0  w  R thì      k n  n   z   k n hội tụ đều tới 1/ 1  w / z  n1 trên z  R . Do đó, f  z  z  w zr n 1   dz   w k  n j 0 k n   k  j k 1 k n  k  n a z dz = a w  k  n   D f w z  r j  n  k n   ở đây đẳng thức thứ hai được suy ra từ 1.1 . Nếu w  R , chứng minh tương tự với 1 z  w n 1  1  n 1  w n1  k  z       ta kết k n  n   w  k luận tích phân là không.  Định lý 1.3.7 ( Định lý thặng dƣ). Giả sử a và r là các phần tử của F . Giả sử f  z  là giải tích trên z  a  r , giả sử P  z  là đa thức không có không điểm trên z  a  r , và giả sử R  z   f  z  / P  z  . Khi đó,  z a  r R  z dz   R es  R, b  . ba r Chứng minh: Xét khai triển phân số riêng của R , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R z  g  z  A n,mn A1,m1 A1,1 A ,     n,1    m1 mn z  b1 z  b z  b z  b  1  n n ở đây g giải tích trên z  a  r . Áp dụng định lý 1.3.6 ta chứng minh được định lý.  Tương tự như trong giải tích phức, ta cũng có các hệ quả của công thức tích phân Cauchy, như nguyên lý môđun cực đại, định lý Liouville... 1.4. Hệ quả của công thức tích phân Cauchy . Nguyên lý mô đun cực đại. Định lý 1.4.1 (Nguyên lý mô đun cực đại). Giả sử r và a thuộc F, và giả sử f là giải tích trên z  a  r . Khi đó, max f  z   max f  z  z a  r z a  r Chứng minh: Giả sử w là phần tử của F sao cho w  a  r . Khi đó , theo định lý 1.3.6 và mệnh đề 1.3.2, ta có f w   z a  r f  z f  z dz  r max . z a  r z  w zw Bây giờ, z  w   z  a    w  a   z  a  r theo nhận xét 1.1.1 và do đó định lý được chứng minh.  Chú ý : Trong giải tích phức , ta có mệnh đề mạnh hơn của nguyên lý mô đun cực đại. Ấy là, nếu f là giải tích trên z  a  r và nếu f đạt giá trị lớn nhất trong phần trong hình cầu thì f sẽ là hằng số. Tuy nhiên điều này dễ dàng nhìn thấy sai trong lý thuyết hàm không Archimed. Thực vậy, xét c  1 và giả sử f  z   z  c . Khi đó , f  z   c với mọi z  1, nhưng f không là hằng số. Tuy nhiên f là hằng số trên z  1. Nguyên lý môđun cực đại có thể diễn đạt dưới dạng sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.4.2. Giả sử r và a thuộc F và f là giải tích trên z  a  r . Khi đó, max f  z  D f w  z a  r n r n , w  F sao cho w  a  r và n  , n  0 . Chứng minh: Cố định w trong F sao cho w  a  r . Khi đó, theo định lý 1.3.6 và mệnh đề 1.3.2, tương tự như trong chứng minh của nguyên lý môđun cực đại, ta có f  z Dn f  w    z  w dz  r max n 1 z a  r z a  r f  z zw n 1 · Ngoài ra, theo nhận xét 1.1.1 có z  w   z  a    w  a   z  a  r , do đó mệnh đề được chứng minh.  Định lý sau cho phép chuyển đạo hàm Hasse vào trong dấu tổng của chuỗi đối với hàm giải tích.  Mệnh đề 1.4.3. Giả sử a  F và f  z    c j  z  a  là hàm giải tích với bán j j 0 kính hội tụ 0  R   . Giả sử b là phần tử của F sao cho b  a  R . Khi đó,  f  z    Dn f  b  z  b  n n 0 cũng có bán kính hội tụ R . Chứng minh: Trong trường hợp giá trị tuyệt đối tầm thường, và trường hợp cả hai chuỗi là các đa thức hoặc chuỗi lũy thừa, điều nói trên là hiển nhiên. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn