Tài liệu Lưới tọa độ và số bài toán liên quan

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ THANH MAI LƯỚI TỌA ĐỘ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ THANH MAI LƯỚI TỌA ĐỘ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2017 i Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 Lưới tọa độ nguyên . . . . . . . . Lưới tọa độ trên mặt phẳng . . . . lưới tọa độ nguyên với hbh cơ sở . Hình vẽ a. Hình vẽ b . . . . . . . Ngũ giác và lục giác . . . . . . . . Hình vuông và hình bát giác . . . Đa giác đều-cạnh . . . . . . . . . Đa giác đều-góc . . . . . . . . . . Tam giác đều hầu nội tiếp lưới . . Đa giác đơn và đa giác không đơn Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Cộng và nhân các điểm nguyên . . . . . . . . . . . . . a.Các điểm nguyên..(2 + 3i); b. Các điểm nguyên liên F(R) và N(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r(4)=4;r(25)=12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n=8, n=6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n=12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 6 10 12 14 15 17 19 23 . . kết . . . . . . . . 34 36 39 41 43 43 Hình chữ nhật 20 × 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ii Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Lưới tọa độ và đa giác 1.1 Lưới tọa độ nguyên trên mặt phẳng và các tính chất 1.1.1 Lưới tọa độ trên mặt phẳng . . . . . . . . . . 1.1.2 Lưới tọa độ nguyên và đa giác đều . . . . . . 1.1.3 Đa giác nửa đều nội tiếp lưới nguyên . . . . . 1.2 Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên . . . . . . . . . . . 1.3 Công thức Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Tam giác đơn nguyên thủy . . . . . . . . . . 1.3.2 Công thức Picard . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Một số bài toán áp dụng công thức Picard . . 1.4 Một số ứng dụng của lưới tọa độ nguyên . . . . . . . 1.4.1 Giá trị vô tỷ của hàm lượng giác . . . . . . . 1.4.2 Các bài toán trên ô vuông . . . . . . . . . . 2 Lưới tọa độ nguyên và đường tròn 2.1 Điểm nguyên nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Sự chia hết của các điểm nguyên . . . . . . 2.1.2 Định lý cơ bản của các điểm nguyên . . . . 2.2 Đường tròn trên lưới tọa độ nguyên . . . . . . . . 2.2.1 Số các biểu diễn của một số tự nhiên thành hai bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tổng . . . 3 3 3 7 12 16 19 19 20 22 25 25 27 33 33 35 36 38 41 i . . . . 42 46 46 47 3 Các bài toán khác 3.1 Điểm nguyên trên đường cong phẳng . . . . . . . . . . . 3.2 Một số toán thi học sinh giỏi và thi Olympic . . . . . . 49 49 51 Tài liệu tham khảo 59 2.3 2.2.2 Đường tròn Sinhsel . . . . . . . . Một số ứng dụng vào số học . . . . . . . 2.3.1 Bộ ba Pythagoras . . . . . . . . . 2.3.2 Các dạng của điểm nguyên nguyên . . . . . . tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B2 (2015 - 2017) Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 9 năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Thanh Mai 1 Mở đầu 1. Mục đích của đề tài luận văn - Nghiên cứu các bài toán trên lưới tọa độ nguyên: Đa giác đều trên lưới, đường tròn trên lưới, các bài toán số học, hình học tổ hợp, lượng giác... trên lưới và các vấn đề liên quan. - Trình bày cơ sở khoa học và vận dụng các kiến thức của số học, đại số, hình học,...các nguyên tắc như nguyên tắc Dirichlet, nguyên tắc cực hạn, nguyên tắc bất biến vào việc giải các bài toán với lưới nguyên. - Các phương pháp tư duy đặc trưng và một số kết quả mới được trình bày một cách hệ thống và nâng cao qua các bài toán hay và khó trong các kỳ thi Olympic Quốc gia và Quốc tế. - Người nghiên cứu có thêm kiến thức và năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi về các vấn đề khó, hay gặp của Toán học. 2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Trình bày hệ thống một số bài toán trên lưới tọa độ nguyên dựa trên các bài báo [3], [5] và [2]. Phát biểu và chứng minh các kết quả liên quan đến số học và hình học. Đề tài gồm 3 chương: Chương 1. Lưới tọa độ và đa giác Bài toán đặt ra là: Dựng được và không dựng được đa giác đều nào trên lưới tọa độ nguyên mà các đỉnh trùng với nút lưới? Lưới tọa độ nguyên trên mặt phẳng và các tính chất, Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên, Công thức Picard và các ứng dụng của lưới nguyên vào các bài 2 toán hình học, số học, tổ hợp, lượng giác,... là những vấn đề được nghiên cứu trong chương này. Chương 1 có các mục sau: 1.1. Lưới tọa độ nguyên trên mặt phẳng và các tính chất 1.2. Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên 1.3. Công thức Picard 1.4. Một số ứng dụng của lưới tọa độ nguyên Chương 2. Lưới tọa độ nguyên và đường tròn Lưới tọa độ nguyên chính là vành Gauss nên nội dung chương này khai thác những vấn đề về số học các số nguyên: Điểm nguyên nguyên tố, Đường tròn trên lưới tọa độ nguyên, một số ứng dụng vào số học và bài toán liên quan đến bộ ba Pythagoras,... Chương 2 bao gồm các mục sau: 2.1. Điểm nguyên nguyên tố 2.2. Đường tròn trên lưới tọa độ nguyên 2.3. Một số ứng dụng vào số học Chương 3. Các bài toán khác Liên quan đến lưới tọa độ nguyên còn có các bài toán về điểm nguyên trên đường cong phẳng, Các bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic. 3.1. Điểm nguyên trên đường cong phẳng 3.1. Các bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic Tác giả 3 Chương 1 Lưới tọa độ và đa giác 1.1 1.1.1 Lưới tọa độ nguyên trên mặt phẳng và các tính chất Lưới tọa độ trên mặt phẳng Trên mặt phẳng ta xét một lưới tạo bởi hai họ các đường thẳng song song chia mặt phẳng thành các hình bình hành bằng nhau. Hình 1.1: Lưới tọa độ nguyên Tập hợp tất cả các đỉnh các hình bình hành gọi là lưới tọa độ, bản thân các đỉnh gọi là các nút của lưới. Mọi hình bình hành tạo bởi 2 họ đường thẳng song song gọi là hình bình hành cơ sở của phân hoạch hay hình bình hành sinh ra lưới. Chú ý rằng một lưới có thể nhận được từ các họ đường thẳng khác nhau: Trên Hình 1.1 biểu diễn một lưới tọa độ nguyên, tức là tập hợp 4 các điểm có tọa độ Descartes là các số nguyên. Lưới tọa độ nguyên chính là lưới tạo bởi tất cả các đường thẳng song song với hai trục tọa độ, có thể coi là tờ giấy kẻ ô vuông vô hạn (hình bình hành cơ sở là hình vuông cạnh 1). Lưới tọa độ nguyên có thể nhận được từ các "đường xiên" (khi đó hình bình hành cơ sở là hình bình hành ABCD trên Hình 1.2). Hình 1.2: Lưới tọa độ trên mặt phẳng Như vậy, khái niệm hình bình hành cơ sở không chỉ gắn với bản thân lưới mà còn gắn với các họ đường thẳng sinh ra lưới. Ta có các tính chất đơn giản của lưới như sau: Hình 1.3: lưới tọa độ nguyên với hbh cơ sở i. Mọi phép tịnh tiến song song biến điểm nút này thành một điểm nút khác sẽ bảo toàn lưới (biến lưới thành chính nó). ii. (Bổ đề về đỉnh thứ tư của hình bình hành) Nếu 3 đỉnh của hình 5 bình hành là các điểm nút của lưới thì đỉnh thứ tư cũng là điểm nút của lưới. iii. Nếu qua 2 điểm Q, R của lưới kẻ một đường thẳng thì đường thẳng này sẽ đi qua vô hạn các điểm nút của lưới. Khi đó tất cả các khoảng cách giữa các nút gần nhau đều bằng nhau. iv. Nếu một hình bình hành với đỉnh là các điểm nút không chứa trong nó một điểm nút nào của lưới thì nó là hình bình hành sinh ra lưới. v. (Bổ đề về thợ săn và thỏ) Giả sử tia ` đi qua điểm nút A của lưới nào đó. Khi đó tìm được một nút sao cho khoảng cách từ đó đến ` nhỏ hơn số  nhỏ tùy ý cho trước. Chứng minh. Các tính chất i., ii., iii., iv. đều hiển nhiên, ta đi chứng minh bổ đề v. về thợ săn và thỏ: Ký hiệu giao điểm của tia ` và đường thẳng nghiêng của lưới là A0 = A, A1 , A2 , ..., An , .... Nhấc tất cả các hình bình hành mà có các điểm này nằm trên đường thẳng chứa cạnh về hình bình hành ABCD, khi đó mỗi điểm An chuyển thành điểm An trên cạnh AB. Với mọi  > 0 cho trước tìm được các điểm Am và Am+k như thế sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn . Bây giờ hãy chứng minh khoảng cách từ điểm Ak đến một trong các nút của lưới nhỏ hơn  (đặc biệt nếu A0m trùng với A0m+k thì Ak sẽ là nút của lưới). Kết quả sau là hiển nhiên: Giả sử a, b là hai số thực bất kỳ. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các điểm với tọa độ (ka, lb) với k, l ∈ Z là một lưới. Mệnh đề 1.1. Với mọi số vô tỷ α > 0 và mọi số dương  đều tìm được các số tự nhiên m, n sao cho |mα − n| < . Chứng minh. Lấy hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng và kẻ đường thẳng y = αx. Vì α là số vô tỷ nên trên đường thẳng này có duy nhất một điểm mang tọa độ nguyên là điểm gốc tọa độ. Đường thẳng y = αx cắt đường x = m tại các điểm (m, mα). Theo tính chất v, tìm được nút (m, n) của lưới nguyên sao cho khoảng cách (theo chiều thẳng đứng) từ đó đến điểm (m, mα) nhỏ hơn . Đó là điều cần chứng minh. 6 Dễ thấy rằng trong tất cả các khả năng thì khoảng các đôi một giữa các nút của lưới bất kỳ sẽ là số nhỏ nhất. Tính chất này cùng với tính chất ii. của lưới có thể thay cho định nghĩa về lưới. Mệnh đề 1.2. Giả sử tập hợp M trên mặt phẳng có các tính chất sau: (1) Khoảng cách của hai điểm bất kỳ không nhỏ hơn số dương d nào đó; (2) Nếu 3 điểm A,B,C của M là các đỉnh của hình bình hành ABCD thì đỉnh thứ tư D của hình bình hành này cũng thuộc tập hợp M. Khi đó M là một lưới. Chứng minh. Hình 1.4: Hình vẽ a. Hình vẽ b Lấy điểm B tùy ý thuộc M. Giả sử A là điểm trong M, gần B nhất (Hình vẽ a), điểm này tồn tại vì tất cả các khoảng cách đôi một giữa các điểm của M đều lớn hơn d). Qua A và B kẻ một đường thẳng. Trong các điểm của M không nằm trên đường thẳng này chọn được điểm gần B nhất, gọi điểm đó là C. Ta dựng hình bình hành ABCD. Theo điều kiện (2) điểm D cũng thuộc tập hợp M. Ta dựng lưới sinh bởi hình bình hành ABCD, ta đi chứng minh tập hợp M trùng với lưới vừa dựng. 7 Từ điều kiện (2) suy ra rằng tất cả các nút của lưới này đều thuộc M. Bởi vậy chỉ cần kiểm tra rằng ở biên cũng như ở trong hình bình hành ABCD không có điểm nào của M khác với đỉnh của nó. Điều này gần như hiển nhiên: Nếu điểm S nằm ở trong hình bình hành (Hình vẽ [ BSC, [ CSD, [ ASD [ là góc tù hoặc b.)thì ít nhất một trong các góc ASB, góc vuông và bởi vậy khoảng cách từ S tới một trong các đỉnh của nó nhỏ hơn cạnh nào đó của nó(nếu S nằm trên biên thì cũng vậy). Chẳng hạn giả sử đó là khoảng cách SC. Ta dựng hình bình hành BCSS0 , (S0 ∈ M). Khi đó BS0 nhỏ hơn BC hoặc BA nhưng điều đó mâu thuẫn với cách chọn hoặc của điểm C hoặc của điểm A. Các trường hợp còn lại tương tự. Bài toán 1.1. Giả sử α là số vô tỷ tùy ý. Chứng minh rằng: với mọi  > 0 và mọi số thực β luôn tìm được các số m, n sao cho: |mα + n − β| < . Bài toán 1.2. Chứng minh rằng ký hiệu thập phân của số 2n có thể bắt đầu bằng chữ số bất kỳ của tổ hợp các chữ số cho trước. 1.1.2 Lưới tọa độ nguyên và đa giác đều Lấy một tờ giấy kẻ ô vuông. Hiển nhiên hình vuông với các đỉnh là các nút của lưới luôn dựng được và bằng vô số cách. Cách làm như thế có thực hiện được đối với tam giác đều hay lục giác đều hay không? Trong phần này ta sẽ tìm câu trả lời thích đáng. Giả sử ta có một lưới nguyên hay còn gọi là lưới Z2 . Trên lưới nguyên này hãy xét bài toán về sự tồn tại đa giác đều nội tiếp được trong lưới. Định nghĩa 1.1. Ta nói đa giác nội tiếp được trong lưới π nếu tồn tại một đa giác đồng dạng với nó mà các đỉnh là nút của lưới. Bài toán nội tiếp một tam giác đều trên lưới nguyên là bài toán đơn giản nhất trong các bài toán nội tiếp một đa giác đều trên lưới nguyên. Vậy mà kết quả "không dựng được tam giác đều nội tiếp trên lưới Z2 " được đưa ra vào năm 1878 do nhà toán học E. Lukacy công bố. Ở đây chúng tôi đưa ra 5 cách chứng minh kết quả này: cách thứ nhất (của Lukacy) sử dụng lý thuyết chia hết các số nguyên; cách thứ hai dựa trên 8 2π , cách thứ ba dùng lượng giác, cách thứ tư dùng n phương pháp diện tích, cách thứ năm dùng phương pháp cực hạn. Bài toán này cũng đã là một trong những bài toán hay trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế trong những năm gần đây. tính vô tỷ của số tan Mệnh đề 1.3. Tam giác đều ABC không thể nội tiếp được trong lưới nguyên. Chứng minh. Cách 1. (Phương pháp chia hết, cực hạn) Giả sử dựng được tam giác đều trên lưới Z2 và ta chọn 1 tam giác cạnh nhỏ nhất, một đỉnh là gốc tọa độ, hai đỉnh kia có tọa độ (a, b); (c, d). Khi đó bốn số nguyên a, b, c, d không có ước chung khác ±1 (tức chúng nguyên tố cùng nhau). Trong  trườnghợp  ngược  lại sẽ dẫn tới tam giác với tọa độ các đỉnh là a b c d (0, 0), , , , với k là ước chung của bốn số a, b, c, d. Ta viết k k k k đẳng thức các cạnh tam giác vuông ở dạng tọa độ: a2 + b2 = c2 + d2 = (a − c)2 + (b − d)2 . Suy ra: a2 +b2 = c2 +d2 = 2(ac+bd). Do đó, a2 +b2 +c2 +d2 = 4(ac+bd). Nghĩa là tổng bình phương bốn số nguyên chia hết cho 4. Mặt khác bình phương của số nguyên khi chia cho 4 chỉ cho dư là 0 hoặc 1. Bởi vậy, hoặc tất cả 4 số a, b, c, d là chẵn hoặc tất cả đều lẻ. Khả năng thứ nhất không xảy ra vì các số này theo cách chọn ở trên là nguyên tố cùng nhau. Khả năng thứ hai cũng không xảy ra vì lúc đó không thể có a2 + b2 = (a − c)2 + (b − d)2 . Mâu thuẫn này suy ra điều phải chứng minh. Cách 2. (Phương pháp lượng giác) Chú ý rằng nếu 2 tia gốc O kẻ qua các nút (a, b) và (c, d) của lưới thì tang của góc θ giữa hai tia này là số hữu tỷ hoặc không xác định vì d b − tan α − tan β c a = ad − bc . tan θ = tan(α − β) = = db 1 + tan α. tan β ac + bd 1+ ca 9 Như vậy, nếu dựng được tam giác đều trên lưới Z2 thì hai tia với gốc √ là ◦ ◦ một trong các đỉnh tam giác sẽ tạo thành góc 60 mà tan 60 = 3 là số vô tỷ, trái với vế phải là số hữu tỷ. Cách 3. (Phương pháp diện tích) Ta tính diện tích tam giác ABC theo √ AB.AC AB2 3 2 cách: Một mặt, S∆ABC = · sin A = sin 60◦ = AB2 . 2 2 4 Nhưng AB2 = số nguyên (AB2 = AC2 + CB2 ), nghĩa là S∆ABC là số vô tỷ. Mặt khác, “ngoại tiếp” xung quanh tam giác ABC là hình chữ nhật CB’C’A’ ta nhận được: S∆ABC = SCB0 CA0 − S∆AB0 C − S∆AC0 B − S∆A0 BC0 là số hữu tỷ vì tất cả các diện tích ở vế phải đều là các số hữu tỷ. Ta nhận được S∆ABC vừa là số hữu tỷ vừa là số vô tỷ. Vô lý. Cách 4. (Phương pháp tọa độ) Giả sử A(a1 , a2 ), B (b1 , b2 ), C(c1 , c2 ) là 1 1 1 các điểm nguyên. Khi đó diện tích 2S = a1 b1 c1 là một số nguyên. a2 b2 c2 √ AB2 3 là số vô tỷ. Mâu Mặt khác do ABC là tam giác đều nên 2S = 2 thuẫn đó chứng minh bài toán. Từ đây ta sẽ viết k−giác thay cho đa giác k cạnh, các cách nói sau đây được sử dụng thường xuyên: 5-giác hay ngũ giác; 8-giác hay bát giác; 10-giác hay thập giác; 12-giác hay thập nhị giác,. . . Mệnh đề 1.4. Đa giác đều duy nhất nội tiếp được trong lưới nguyên là hình vuông. Chứng minh. Dễ thấy tồn tại hình vuông nội tiếp lưới, chẳng hạn đó là hình vuông cơ sở, có tọa độ các đỉnh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Tiếp theo ta chứng minh bằng phản chứng rằng ngoài hình vuông không còn đa giác đều nào khác nội tiếp được trong lưới nguyên. Giả sử D là đa giác nội tiếp được của lưới nguyên (tức các đỉnh đều là nút). Xảy ra các khả năng sau: a. D là tam giác đều ABC. b. D là ngũ giác đều ABCDE. 10 c. D là lục giác đều ABCDEF. d. D là n-giác đều với n ≥ 7. Ta xét từng khả năng: a. Xem Mệnh đề 1.3 b. Giả sử ngũ giác đều ABCDE có cạnh bằng a. Gọi A0 = AC ∩ BE thì A0 là nút của lưới. Thật vậy, vì AA0 DE là hình bình hành nên −−→0 −→ AA = ED. Từ đây do E, D, A là các điểm nguyên nên A0 cũng là điểm nguyên. Ký hiệu B0 , C0 , D0 , E0 tương tự như A0 thì B0 , C0 , D0 , E0 cũng là các điểm nguyên. Vậy ngũ giác A0 B0 C0 D0 E0 là ngũ giác nội tiếp được. Ta có A’B’=C’D’=D’E’=E’A’. Mặt khác, ∆ABE0 = ∆BA0 C suy 0 E0 D0 = B 0 A0 E0 . Tương tự, ta có: A 0 E0 D0 = B 0 A0 E0 = C 0 B0 A0 = \ \ \ \ ra A\ 0 C0 B0 = C 0 D0 E0 . Từ đó suy ra A0 B0 C0 D0 E0 là ngũ giác đều (nội tiếp \ D\ được trên lưới) có cạnh b < a, (Hình 1.5). Hình 1.5: Ngũ giác và lục giác Tiếp tục quá trình trên ta sẽ thu được vô số điểm nguyên bên trong ngũ giác ABCDE. Điều này vô lý vì trong một miền giới hạn chỉ tồn tại một số hữu hạn điểm nguyên. Vậy không tồn tại ngũ giác đều nội tiếp được lưới nguyên. c. Nếu D là lục giác đều A1 B1 C1 D1 E1 F1 . Trong lục giác đều tồn tại tam giác đều có đỉnh nguyên. Vô lý d. Nếu D là n-giác đều với n ≥ 7. Giả sử A1 A2 . . . An là đa giác đều 11 nguyên (đa giác đều có đỉnh là các điểm nguyên hay các nút lưới) có −−→ −−−→ −−→ cạnh nhỏ nhất là a. Gọi O là gốc tọa độ. Đặt OB1 = A1 A2 , OB2 = −−−→ −−→ −−−→ A2 A3 , . . . , OBn = An A1 . Ta suy ra: B1 B2 . . . Bn là đa giác đều theo cách dựng và là đa giác nguyên. Khi đó B1 B2 = B2 B3 = . . . = Bn B1 = b. α b Trong tam giác OB1 B2 , gọi B\ = . Mặt khác, 1 OB2 = α thì sin 2 2a α 1 b 1 2π , n ≥ 7 nên α < 60◦ =⇒ sin < =⇒ < =⇒ b < a. α= n 2 2 2a 2 Mâu thuẫn với giả thiết A1 A2 . . . An là đa giác nguyên có cạnh nhỏ nhất. Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn. Nhận xét 1.1.1. Cách chứng minh như trên được gọi là áp dụng nguyên tắc cực hạn. Giống như nguyên tắc Dirichle, cả hai đều là phương pháp chứng minh phản chứng. Nội dung của phương pháp này là áp dụng nguyên tắc sau: "Trong một tập hợp hữu hạn (khác rỗng) các số thực tồn tại số nhỏ nhất và tồn tại số lớn nhất". Nhờ nguyên lý cực hạn này ta có thể xét các phần tử mà một đại lượng nào đó có giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất. Chẳng hạn: • Xét đoạn thẳng có độ dài lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn các đoạn thẳng. • Xét góc có số đo lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn các góc. • Xét đa giác có diện tích hoặc chu vi lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn các đa giác. • Xét khoảng cách lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn các khoảng cách. Như vậy số các đa giác đều nội tiếp được trên lưới nguyên rất hiếm hoi. Có hai cách mở rộng tính nội tiếp trên lưới nguyên của đa giác như thế: Một là ta xét các đa giác nửa đều (đều cạnh hoặc đều góc), hai là ta giữ nguyên các đa giác đều nhưng tìm cách "nội tiếp xấp xỉ", hay còn gọi là "hầu nội tiếp". Phần tiếp theo sẽ đi theo hai hướng như vậy. 12 1.1.3 Đa giác nửa đều nội tiếp lưới nguyên Khái niệm đa giác nửa đều được chia làm hai loại: đều theo cạnh và đều theo góc (xem [4]). Định nghĩa 1.2. Một đa giác gọi là nửa đều nếu nó có các góc bằng nhau hoặc các cạnh bằng nhau. Đa giác có các góc bằng nhau, các cạnh có thể không bằng nhau, được gọi là đa giác nửa đều-góc, ký hiệu tập hợp đó là G; Đa giác có các cạnh bằng nhau, các góc có thể không bằng nhau, được gọi là đa giác nửa đều-cạnh, ký hiệu tập hợp đó là C. Dễ thấy giao G∩C là tập hợp các đa giác đều. Chú ý rằng trong định nghĩa trên ta không nói gì đến đa giác lồi hay không. Các đa giác nửa đều-góc nội tiếp trên lưới là hình vuông và hình bát giác. Hình 1.6: Hình vuông và hình bát giác Đa giác giới hạn bởi đường gấp khúc khép kín với độ dài các cạnh bằng 1 và góc giữa hai đoạn bằng 1v là trường hợp đặc biệt của đa giác nửa đều cạnh. Ta xét một số dạng. a. Tam giác đều. Bài toán nội tiếp một tam giác đều trên lưới nguyên là bài toán đơn giản nhất trong các bài toán nội tiếp đa giác đều. Vậy mà kết quả là không dựng được tam giác đều nội tiếp trên lưới Z2 , được công bố ngay từ năm 1878 bởi nhà toán học E. Lukacy. b. Đa giác đều-cạnh. Mệnh đề 1.5. (Định lý Boll 1, [4]) 13 i. Trên lưới nguyên Z2 không thể dựng được đa giác đều-cạnh với số cạnh là số lẻ. ii. Trên lưới nguyên Z2 có thể dựng được đa giác đều-cạnh với số cạnh là số chẵn. Chứng minh. i. Phản chứng. Giả sử có dựng được đa giác đều-cạnh với số cạnh lẻ. Ta sẽ coi đa giác này có độ dài cạnh lớn nhất. Giả sử → − vk = xk~i + yk~j, (k = 1, 2, . . . , n) là các véc tơ có hướng dọc theo các cạnh đa giác. Tổng các véc tơ này bằng ~0 và có độ dài của chúng khác nhau. Nghĩa là x1 + x2 + · · · + xn = 0 y1 + y 2 + · · · + y n = 0 x21 + y12 = x22 + y22 = · · · = x2n + yn2 = a2 . trong đó, a là độ dài cạnh đa giác đã cho. Bình phương hai vế 2 đẳng thức đầu, cộng lại ta thu được X n.a2 = −2 (xi xj + yi yj ). i6=j Từ đây, vì a2 là số tự nhiên và n lẻ nên a2 là số chẵn. . Nếu a2 .. 4 thì khi đó tất cả các xi , yi là các số chẵn vì tổng đôi một các bình phương chia hết cho 4. Điều đó là không thể vì trong các véc 1 tơ v~i , tọa độ nguyên, có thể tạo thành đa giác đều-cạnh gồm n cạnh. 2 Đa giác này có độ dài cạnh bằng một nửa độ dài cạnh đa giác đã chọn. Điều này vô lý theo nguyên tắc cực hạn. . Bây giờ giả sử a2 .. 2 và a2 không chia hết cho 4. Lúc này các xi , yi là các số lẻ vì chúng thỏa mãn phương trình x2i + yi2 = a2 . Như vậy tổng P . (xi xj + yi yj ) là số chẵn và bởi vậy a2 .. 4. Vô lý. i6=l ii. Hình 1.7 chỉ ra hình vuông ghép với lục giác, ta nhận được một thập giác (số cạnh là 10) có các cạnh bằng nhau, không lồi. Tuy nhiên có thể chứng minh được rằng trên lưới nguyên dựng được một đa giác đều-cạnh lồi với số cạnh là số chẵn. 14 Hình 1.7: Đa giác đều-cạnh c. Đa giác đều góc. Để nhận được kết quả về đa giác đều-góc ta có nhận xét sau: Các số 2π tan với n ∈ N là số vô tỷ trừ các số ứng với n = 1, 2, 4, 8. n Để có kết quả đó ta áp dụng công thức n−1 C 1 tan α − Cn3 tan3 α + Cn5 tan5 α + · · · + (−1) 2 tann α tan α = n n−1 1 − Cn2 tan2 α + Cn4 tan4 α − · · · + (−1) 2 tann α (1.1) trong đó, Cnk là hệ số trong khai triển nhị thức Newton: n (a + b)n = Cn0 an b0 + Cn1 an−1 b1 + · · · + Cnn a0 bn . Phép chứng minh công thức (1.1) nhận được nhờ quy nạp toán học. Ta sẽ coi n ≥ 5 và n = 8 vì các trường hợp n = 1, 2, 3, 4 là hiển nhiên. 2π 2π Giả sử α = . Khi đó tan nα = 0 và theo (1.1) số x = tan là n n nghiệm của phương trình với hệ số nguyên n − Cn3 x2 + Cn5 x4 − · · · + (−1) n−1 2 xn−1 = 0 (1.2) Trong phương trình này hệ số cao nhất là ±1, do đó, nghiệm hữu tỷ của nó phải là số nguyên. Bởi vậy nếu x là nghiệm hữu tỷ thì x phải là số nguyên. Xét 2 trường hợp: Trường hợp 1. Nếu n = mp với p là số nguyên tố lẻ. Có hai khả năng: 2π Nếu m = 1 tức n = p thì từ (1.2) rút ra x2 |p và do đó, x = tan = ±1. n Khả năng này không xảy ra với n là nguyên tố lẻ. Nếu n = mp với m > 1.