Tài liệu Luận văn tiếp cận phân cụm chuỗi thời gian mờ trong dự báo tín dụng cho ngân hàng abbank

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG LƯU ĐỨC DŨNG TIẾP CẬN PHÂN CỤM CHUỖI THỜI GIAN MỜ TRONG DỰ BÁO TÍN DỤNG CHO NGÂN HÀNG ABBANK LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUYÊN, 2017 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ` LƯU ĐỨC DŨNG TIẾP CẬN PHÂN CỤM CHUỖI THỜI GIAN MỜ TRONG DỰ BÁO TÍN DỤNG CHO NGÂN HÀNG ABBANK Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60 48 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học : PGS. TS. Lê Bá Dũng Thái Nguyên, 2017 3 MỤC LỤC MỤC LỤC ......................................................................................................... 3 DANH MỤC HÌNH ẢNH ................................................................................ 5 DANH MỤC BẢNG BIỂU .............................................................................. 6 MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 8 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TẬP MỜ ......................................... 11 1.1 Tập mờ .................................................................................................. 11 1.1.1 Định nghĩa tập mờ .......................................................................... 11 1.1.2 Một số khái niệm cơ bản của tập mờ ............................................. 13 1.1.3 Biểu diễn tập mờ ............................................................................ 14 1.2 Các phép toán trên tập mờ và hệ luật mờ.............................................. 15 1.2.1 Phần bù của một tập mờ ................................................................. 15 1.2.2 Phép hợp của các tập mờ ................................................................ 16 1.2.3 Phép giao của các tập mờ ............................................................... 16 1.2.4 Tích Descartes các tập mờ ............................................................. 17 1.2.5 Tính chất của các phép toán trên tập mờ ....................................... 18 1.2.6 Hệ luật mờ ...................................................................................... 19 1.3 Lập luận xấp xỉ trong tập mờ ................................................................ 19 1.3.1 Logic mờ ........................................................................................ 19 1.3.2 Quan hệ mờ .................................................................................... 20 1.3.2.1 Khái niệm về quan hệ rõ ............................................................. 20 1.3.2.2 Các quan hệ mờ ........................................................................... 20 1.3.2.3 Các phép toán của quan hệ mờ ................................................... 21 1.3.3 Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ ..................................................... 22 1.4 Số học mờ.............................................................................................. 23 1.4.1 Số mờ ............................................................................................. 23 1.4.1.1 Khái niệm số mờ ......................................................................... 23 1.4.1.2 Dạng số mờ thường dùng ............................................................ 25 1.4.2 Biến ngôn ngữ và giá trị ngôn ngữ ................................................ 25 4 1.5 Giải mờ .................................................................................................. 26 1.5.1 Phương pháp điểm cực đại ............................................................. 27 1.5.2 Phương pháp điểm trọng tâm ......................................................... 28 CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM VỀ CHUỖI THỜI GIAN MỜ VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP ............................................................................................. 30 2.1 Khái niệm về chuỗi thời gian mờ .......................................................... 30 2.1.1 Định nghĩa chuỗi thời gian mờ ...................................................... 30 2.1.2 Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ .................... 31 2.2 Một số thuật toán dự báo trong mô hình chuỗi thời gian mờ ............... 32 2.2.1 Thuật toán của Song & Chissom.................................................... 32 2.2.2 Thuật toán của Chen....................................................................... 33 2.3 Một số phương pháp chia khoảng ......................................................... 34 2.3.1 Phương pháp độ dài dựa trên sự phân bố giá trị ............................ 35 2.3.2 Phương pháp độ dài dựa trên giá trị trung bình ............................. 35 2.4 Thuật toán mô hình dự báo dựa trên chuỗi thời gian mờ của Jens Rúni Poulsen (hay Jens Poulsen) ......................................................................... 36 2.5 Thuật toán phân cụm mờ - Thuật toán K-means .................................. 40 CHƯƠNG 3: DỰ BÁO TÍN DỤNG ỨNG DỤNG CHUỖI THỜI GIAN MỜ SỬ DỤNG KỸ THUẬT PHÂN CỤM ........................................................... 46 3.1 Ứng dụng phương pháp chuỗi thời gian mờ cải tiến cho dự báo tín dụng ..................................................................................................................... 47 3.2 Tiếp cận một phương pháp mới cho dự báo thời gian mờ .................... 47 3.3 Đánh giá phương pháp tiếp cận ............................................................ 54 3.4 Kết luận ................................................................................................. 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 61 5 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1. Hàm thuộc 𝝁𝑨𝒙 có mức chuyển đổi tuyến tính .............................. 12 Hình 1.2. Hàm thuộc của tập B ....................................................................... 12 Hình 1.3. Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ A ................................. 13 Hình 1.4. Biểu diễn tập mờ chiều cao ............................................................. 15 Hình 1.5. Tập bù 𝑨 của tập mờ A ................................................................... 15 Hình 1.6. Hợp hai tập mờ có cùng tập nền ..................................................... 16 Hình 1.7. Giao hai tập mờ có cùng tập vũ trụ ................................................. 17 Hình 1.8. Các loại hàm thành viên số mờ ....................................................... 24 Hình 1.9. Phân loại hàm thành viên số mờ ..................................................... 24 Hình 1.10. Số mờ hình thang .......................................................................... 25 Hình 1.11. Số mờ hình tam giác ..................................................................... 25 Hình 1.12. Những tập mờ thuộc biến ngôn ngữ nhiệt độ ............................... 26 Hình 1.13. Giải mờ bằng phương pháp điểm cực đại ..................................... 28 Hình 1.14. Giải mờ bằng phương pháp điểm trọng tâm ................................. 29 Hình 2.1. Các thiết lập để xác định các ranh giới các cụm ban đầu ............... 40 Hình 2.2. Tính toán trọng tâm của các cụm mới ............................................. 41 Hình 2.3. Các bước thực hiện thuật toán K- means ........................................ 42 Hình 2.4. Thuật toán K-means chi tiết ............................................................ 43 Hình 2.5. Ví dụ về một số hình dạng cụm dữ liệu được khám phá bởi Kmeans ............................................................................................................... 45 Hình 3.1. Tín dụng tập mờ về các giá trị dự báo qua các năm ....................... 53 Hình 3.2. Giá trị dự báo của mô hình dự báo đề xuất so với giá trị dư nợ tín dụng thực tế ..................................................................................................... 59 6 DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1.1. Bảng biểu diễn tập mờ A ................................................................ 13 Bảng 2.1. Cơ sở ánh xạ ................................................................................... 35 Bảng 3.1. Số liệu dư nợ tín dụng của Ngân hàng ABBANK ......................... 48 Bảng 3.4. Số liệu tín dụng tập mờ về các giá trị dự báo qua các năm ............ 53 Bảng 3.5. Kết quả dự báo ................................................................................ 56 Bảng 3.6 Phân tích kết quả dự báo qua các sai số tiêu chuẩn ......................... 57 Bảng 3.7. Bảng so sánh kết quả dự báo giữa các mô hình ............................. 58 Bảng 3.8. Bảng các sai số dự báo của các mô hình ........................................ 59 Bảng 3.9. Bảng so sánh các thước đo sai số của các mô hình ........................ 60 7 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do tôi nghiên cứu và thực hiện. Các thông số, bảng biểu và kết quả sử dụng trong luận văn là hoàn toàn có thật và chưa từng được công bố ở bất kỳ luận văn nào khác. Thái Nguyên, ngày 14 tháng 04 năm 2017 Tác giả luận văn Lưu Đức Dũng 8 MỞ ĐẦU Nghiên cứu chuỗi thời gian nói chung, chuỗi thời gian mờ nói riêng đã và đang được nghiên cứu, ứng dụng mạnh mẽ và thành công ở nhiều lĩnh cực trong những năm gần đây [4, 5, 6, 7]. Các lớp bài toán của các lĩnh vực như dự báo tín dụng, thị trường chứng khoán, dự báo mô phỏng các hệ thống điều khiển… cũng có thể sử dụng và giải quyết theo các phương pháp truyền thống như phương pháp thống kê, quy hoạch tuyến tính, … Phương pháp nghiên cứu chuỗi thời gian mờ được hình thành có nhiều khả năng vượt trội trong việc tuyến tính hóa, dự báo, phân tích, đánh giá dữ liệu, và áp dụng thành công cho một số lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế… Nhiều mô hình chuỗi thời gian mờ (FTS) [6,7] đã được đề xuất trong tài liệu khoa học trong những thập kỷ qua. Trong số các mô hình chuỗi thời gian mờ chính xác nhất được tìm thấy trong tài liệu là những mô hình bậc cao. Tuy nhiên, ba vấn đề cơ bản cần phải được giải quyết liên quan đến các mô hình bậc cao. Đầu tiên, phương pháp dự báo hiện tại đã không thể để cung cấp tỷ lệ chính xác đạt yêu cầu cho đầu ra giải mờ (dự báo). Thứ hai, dữ liệu trở nên ít sử dụng khi tăng thứ bậc. Thứ ba, dự báo chính xác là nhạy cảm với các phân vùng khoảng được lựa chọn. Nhằm giải quyết những vấn đề trên đề và với gợi ý của thầy hướng dẫn đề tài cho luận văn tốt nghiệp với tiêu đề là: “Tiếp cận phân cụm chuỗi thời gian mờ trong dự báo tín dụng cho ngân hàng ABBANK”. Nội dung chính của luận văn là ứng dụng phương pháp chuỗi thời gian mờ cho dự báo tín dụng được trình bày trong 3 chương như sau: 9 Chương 1: Cơ sở lý thuyết về tập mờ Chương 2: Khái niệm về chuỗi thời gian mờ và các phương pháp Chương 3: Dự báo tín dụng ứng dụng chuỗi thời gian mờ sử dụng kỹ thuật phân cụm TÀI LIỆU THAM KHẢO Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS Lê Bá Dũng, em xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Em cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong các thầy cô giáo và các bạn đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn. 10 1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1.1. Đối tượng - Tập trung tìm hiểu, tiếp cận chuỗi thời gian mờ về lý thuyết, cấu trúc, phương pháp học và các hạn chế của nó. - Sau đó áp dụng phương pháp để đánh giá để đạt được kết quả tối ưu cho dự báo về tín dụng. 1.2. Phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu tổng quan về chuỗi thời gian mờ - Tìm hiểu, so sánh các phương pháp về ứng dụng chuỗi thời gian mờ. - Trình bày một phương pháp mới để dự báo tín dụng dựa trên kỹ thuật phân cụm K-means. 2. Hướng nghiên cứu của đề tài - Nắm bắt các kiến thức cơ bản về phương pháp phân tích, đánh giá. - Tiếp tục tìm hiểu sâu về các phương pháp khai phá dữ liệu. - Một số mô hình mờ, trong đó ứng dụng cho việc dự báo tín dụng. - Cài đặt thực nghiệm, ứng dụng vào một bài toán cụ thể trong thực tiễn. 11 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TẬP MỜ 1.1 Tập mờ 1.1.1 Định nghĩa tập mờ Tập mờ A xác định trên tập vũ trụ (tập nền) X là một tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp các giá trị (x, 𝜇𝐴 (𝑥) trong đó x∊ X và 𝜇𝐴 là ánh xạ: 𝜇𝐴 : X  [0,1] Ánh xạ μA được gọi là hàm thuộc hoặc hàm liên thuộc (hoặc hàm thành viên - membership function) của tập mờ A. Tập X được gọi là cơ sở của tập mờ A. 𝝁𝑨 (𝒙) là độ phụ thuộc, sử dụng hàm thuộc để tính độ phụ thuộc của một phần tử x nào đó, có hai cách: - Tính trực tiếp nếu 𝜇𝐴 (𝑥) ở dạng công thức tường minh. - Tra bảng nếu 𝜇𝐴 (𝑥) ở dạng bảng. Kí hiệu:A= {(𝜇𝐴 (𝑥)/𝑥)∶ 𝑥 ∊ 𝑋} Các hàm thuộc 𝜇𝐴 (𝑥) có dạng “trơn” được gọi là hàm thuộc kiểu S. Đối với hàm thuộc kiểu S, do các công thức biểu diễn 𝜇𝐴 (𝑥) có độ phức tạp lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lớn. Trong kỹ thuật điều khiển mờ thông thường, các hàm thuộc kiểu S thường được thay gần đúng bằng một hàm tuyến tính từng đoạn. Một hàm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính. 12 Hình 1.1. Hàm thuộc 𝝁𝑨 (𝒙) có mức chuyển đổi tuyến tính Hàm thuộc như trên với m1 = m2 và m3 = m4 chính là hàm thuộc của một tập vũ trụ. Ví dụ 1: Một tập mờ B của các số tự nhiên nhỏ hơn 5 với hàm thuộc 𝜇𝐵 (𝑥) có dạng như hình 1.2 định nghĩa trên tập vũ trụ X sẽ chứa các phần tử sau: B = {(1,1), (2,1), (3,0.95), (4,0.7) } Hình 1.2. Hàm thuộc của tập B Ví dụ 2: Xét X là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh về môn Toán, X = {1, 2, …, 10}. Khi đó khái niệm mờ về năng lực học môn toán giỏi có thể được hiển thị bằng tập mờ A sau: 13 A = 0.1/4 + 0.3/5 + 0.5/6 + 0.7/7 + 0.9/8 + 1.0/9 +1.0/10 Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ ở dạng bảng. Chẳng hạn, đối với tập mờ A ở trên ta có bảng như sau: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 0 0 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.0 Bảng 1.1. Bảng biểu diễn tập mờ A 1.1.2 Một số khái niệm cơ bản của tập mờ  Miền xác định: Biên giới tập mờ A, ký hiệu là supp(A), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A lớn hơn 0. supp(A) = { x | μA(x) > 0 }  Miền tin cậy: Lõi tập mờ A, ký hiệu là core(A), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A bằng 1. core(A) = { x | μA(x) = 1} Hình 1.3. Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ A 14  Độ cao tập mờ: Độ cao tập mờ A, ký hiệu: h(A), là mức độ phụ thuộc cao nhất của x vào tập mờ A. ℎ(𝐴) = Sup 𝜇𝐴 (𝑥) 𝑥∊𝑋 Một tập mờ có ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính tắc, tức là h(A) = 1, ngược lại một tập mờ A với h(A) < 1 được gọi là tập mờ không chính tắc. 1.1.3 Biểu diễn tập mờ Tập mờ A trên tập vũ trụ X là tập mà các phần tử x∊ X với mức độ phụ thuộc của x vào tập mờ A tương ứng. Có ba phương pháp biểu diễn tập mờ: phương pháp ký hiệu, phương pháp tích phân và phương pháp đồ thị: - Phương pháp ký hiệu: Liệt kê các phần tử và các thành viên tương ứng theo ký hiệu. Cho X = {x1, x2, …,xn} là tập hữu hạn: 𝑛 𝐴=∑ 𝑖=1 𝜇𝐴 (𝑥) 𝑥𝑖 - Phương pháp tích phân: với X là tập vô hạn ta thường dùng ký hiệu sau: 𝜇𝐴 (𝑥) 𝑥 𝑥 𝐴=∫ Lưu ý rằng các biểu thức trên chỉ có tính hình thức, các phép cộng +, phép tổng ∑ và phép lấy tích phân ∫ đều không có nghĩa theo quy ước thông thường. 15 Tuy nhiên cách biểu diễn như vậy sẽ rất tiện dụng khi định nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập mờ sau này. Phương pháp đồ thị: Hình 1.4. Biểu diễn tập mờ chiều cao 1.2 Các phép toán trên tập mờ và hệ luật mờ 1.2.1 Phần bù của một tập mờ Cho tập mờ A trên tập vũ trụ X, tập mờ bù của A là tập mờ 𝐴̅, hàm thuộc 𝜇𝐴̅ (𝑥) được tính từ hàm thuộc μA(x): 𝜇𝐴̅ (𝑥) = 1 - μA ̅ của tập mờ A Hình 1.5. Tập bù 𝑨 a) Hàm thuộc của tập mờ A. b) Hàm thuộc của tập mờ 𝐴̅ 16 Một cách tổng quát để tìm 𝜇𝐴̅ (𝑥) từ μA(x), ta dùng hàm bù c, c: [0,1]  [0,1] như sau: 𝜇𝐴̅ (𝑥) = c(μA(x)) 1.2.2 Phép hợp của các tập mờ Cho tập mờ A, B trên tập vũ trụ X, tập mờ hợp của A và B là một tập mờ, ký hiệu là C = A ∪ B. Theo phép hợp chuẩn ta có μC(x) từ các hàm thành viên μA(x), μB(x) như sau: μC(x) = μA∪B(x) = max[μA(x), μB(x)], x ∊ X Hình 1.6. Hợp hai tập mờ có cùng tập nền Một cách tổng quát ta dùng hàm hợp u : [0,1] × [0,1]  [0,1]. Hàm thành viên μC(x) có thể được suy từ hàm thành viên μA(x) , μB(x) như sau: μC(x) = u(μA(x),μB(x)) 1.2.3 Phép giao của các tập mờ Cho A, B là hai tập mờ trên tập vũ trụ X, tập mờ giao của A và B cũng là một tập mờ, ký hiệu: I =A ∩ B . Theo phép giao chuẩn ta có μI(x) từ các hàm thành viên μA(x), μB(x) như sau: μI(x) = μA∩B(x) = min[μA(x),μB(x)], x ∊ X 17 Hình 1.7. Giao hai tập mờ có cùng tập vũ trụ Một cách tổng quát ta dùng hàm giao i : [0,1] × [0,1]  [0,1]. Hàm thành viên μI(x) có thể được suy từ hàm thành viên μA(x), μB(x)như sau: μI(x) = i(μA(x), μB(x)) 1.2.4 Tích Descartes các tập mờ Cho Ai là các tập mờ trên tập vũ trụ Xi, i = 1, 2, …, n. Tích Descartes của các tập mờ Ai, ký hiệu là A1×A2 ×…× An hay ∏𝑛𝑖−1 Ai, là một tập mờ trên tập vũ trụ X1 ×X2×…× Xn được định nghĩa như sau: A1×A2 ×…× An = ∫𝑥 1 × 𝑥2 × 𝑥𝑛 𝜇𝐴1 (𝑥1 ) ∩ …∩𝜇𝐴𝑛 (𝑥𝑛 )/ (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) Ví dụ 3: Cho X1= X2= {1, 2, 3} và 2 tập mờ A = 0,5/1 + 1,0/2 + 0,6/3 và B = 1,0/1 + 0,6/2 Khi đó: A × B = 0,5/(1,1) + 1,0/(2,1) + 0,6/(3,1) + 0,5/(1,2) + 0,6/(2,2) + 0,6/(2,3) Một ví dụ ứng dụng của tích Descartes là kết nhập (aggregation) các thông tin mờ về các thuộc tính khác nhau của một đối tượng. Ví dụ trong các hệ luật của các hệ trợ giúp quyết định hay hệ chuyên gia, hệ luật trong điều khiển thường có các luật dạng sau đây: 18 Nếu x1 là A1 và x2 là A2 và… và xn là An thì y là B Trong đó, các xi là các biến ngôn ngữ (vì giá trị của nó là các ngôn ngữ được xem như là nhãn của các tập mờ) và Ai là các tập mờ trên tập vũ trụ Xi của biến xi. Hầu hết các phương pháp giải liên quan đến các luật “nếu - thì” trên đều đòi hỏi việc tích hợp các dữ liệu trong phần tiền tố “nếu” nhờ toán tử kết nhập, một trong những toán tử như vậy là lấy tích Descartes A1 × A2 ×…×An. 1.2.5 Tính chất của các phép toán trên tập mờ Như các phép toán trên tập rõ, các phép toán trên tập mờ cũng có một số tính chất sau đối với các tập mờ A, B, C trên tập vũ trụ X:  Giao hoán: A ∩ B= B ∩ A A ∪ B= B ∪ A  Kết hợp: A ∩ ( B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C  Phân bố: A ∩ ( B ∪ C) =( A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) =(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)  Đẳng trị: A∩A=A A∪A=A  Đồng nhất: A∩X=A A∪∅=A 19 A∪ ∅=∅ A∪ 𝑋=𝑋  Bắc cầu: A  B, B  C  A  C 1.2.6 Hệ luật mờ Gồm nhiều mệnh đề dạng: IF< tập các điều kiện được thoả mãn>THEN ̅̅̅̅̅̅ Giả sử hệ luật gồm M luật Rj(j=1, 𝑀) dạng Rj: IF x1 is A1 and x2 is A2 and… xn is Anj THEN y is Bj Trong đó xi (i = ̅̅̅̅̅ 1, n) là các biến đầu vào hệ mờ, y là biến đầu ra của hệ mờ - các biến ngôn ngữ, Ai j là các tập mờ trong các tập đầu vào X và Bj là các tập mờ trong các tập đầu ra Y – các giá trị của biến ngôn ngữ (ví dụ: “Rất Nhỏ”, “Nhỏ”, “Trung bình”, “Lớn”, “Rất lớn”) đặc trưng bởi các hàm thuộc 𝜇𝐴𝑖 và 𝑗 𝜇𝐵𝑗 . Khi đó Rj là một quan hệ mờ từ các tập mờ đầu vào X = X1 × X2 ×….. × Xn tới các tập mờ đầu ra Y. 1.3 Lập luận xấp xỉ trong tập mờ 1.3.1 Logic mờ Logic mờ dùng một công cụ chính là lý thuyết tập mờ. Logic mờ tập trung trên biến ngôn ngữ trong ngôn ngữ tự nhiên nhằm cung cấp nền tảng cho lập luận xấp xỉ với những vấn đề không chính xác, nó phản ánh cả tính đúng đắn lẫn sự mơ hồ của ngôn ngữ tự nhiên trong lập luận theo cảm tính. 20 1.3.2 Quan hệ mờ 1.3.2.1 Khái niệm về quan hệ rõ  Định nghĩa 1: Cho X ≠ ∅, Y≠ ∅, R  X × Y là một quan hệ (quan hệ nhị nguyên rõ), khi đó: 𝑅(𝑥, 𝑦) = { 1 0 𝑖𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦) ∊ 𝑅 (⟺ 𝑥𝑅𝑦) 𝑖𝑓(𝑥, 𝑦) ∉ 𝑅𝑦)(⟺  𝑥𝑅) Khi X= Y thì R ⊂ X × Y là quan hệ trên X Quan hệ R trên X được gọi là: - Phản xạ nếu: R(x,x) = 1 với  ∀x∊ X - Đối xứng nếu: R(x,y) = R(y,x) với ∀x, y∊ X - Bắc cầu nếu: (xRy)˄(yRz) ⟹(xRz) với ∀x,y,z ∊X  Định nghĩa 2: R là quan hệ tương đương nếu R là quan hệ nhị nguyên trên X có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 1.3.2.2 Các quan hệ mờ Các quan hệ mờ là cơ sở dùng để tính toán và suy diễn (suy luận xấp xỉ) mờ. Đây là một trong những vấn đề quan trọng trong các ứng dụng mờ đem lại hiệu quả lớn trong thực tế, mô phỏng được một phần suy nghĩ của con người. Chính vì vậy, mà các phương pháp mờ được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ. Một trong số đó là logic mờ mở. Tuy nhiên logic mờ mở rộng từ logic đa trị, do đó nảy sinh ra rất nhiều các quan hệ mờ, nhiều cách định nghĩa các toán tử T-chuẩn, T-đối chuẩn, cũng như các phương pháp mờ hoá, khử mờ khác nhau,… Sự đa dạng này đòi hỏi người ứng dụng phải tìm hiểu để lựa chọn phương pháp thích hợp nhất cho ứng dụng của mình.