ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ LUẬN
TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
QUA ĐỊA PHƯƠNG HÓA VÀ ĐẦY ĐỦ HÓA
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ LUẬN
TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
QUA ĐỊA PHƯƠNG HÓA VÀ ĐẦY ĐỦ HÓA
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 604. 601. 04
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. LÊ THỊ THANH NHÀN
THÁI NGUYÊN - 2016
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016
Học viên
NGUYỄN THỊ LUẬN
i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình
của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn
và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô.
Tôi xin gửi tới các thầy cô ở Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán, Khoa
Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên lời cảm ơn
sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã quan tâm, tạo điều
kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016
Học viên
NGUYỄN THỊ LUẬN
ii
Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1
3
Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa và đầy
đủ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Tiêu chuẩn Artin cho các môđun . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Biểu diễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn kết của
môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
8
Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều
địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa.
16
2.1
Hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2
Các lớp vành đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3
Các bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4
Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa
phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa . . . . . . . . . 28
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
iii
Mở đầu
Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là R-môđun hữu
hạn sinh với dim M = d và A là R-môđun Artin. Với mọi p ∈ Spec R ta
biết rằng
AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR M, q ⊆ p}.
Với A là R-môđun Artin, tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A, kí hiệu là
AttR A, được định nghĩa bởi I. G. Macdonald [Mac] có vai trò quan trọng
tương tự như vai trò của tập các iđêan nguyên tố liên kết của M . Ta đã
biết rằng môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) là Artin với mọi i ≥ 0.
Do đó một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu mối quan hệ tương tự giữa tập
i−dim(R/p)
AttRp HpRp
(Mp ) và AttR Hmi (M ) có đúng không, tức là công thức
i−dim(R/p)
AttRp HpRp
(Mp ) = {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p}
(1)
có đúng với mọi p ∈ Spec(R) không? Trong [S], R.Y. Sharp đã chứng
minh được rằng nếu R là vành thương của vành Gorenstein địa phương thì
nguyên lý chuyển dịch qua địa phương hóa (1) là đúng. Tuy nhiên nguyên
lý này không đúng trong trường hợp tổng quát (xem [BS, Ví dụ 11.3.14]).
b và M
c lần lượt là vành và R
b-môđun đầy đủ của R và M theo
Kí hiệu R
c:
tôpô m-adic, ta có mối quan hệ sau đây giữa tập AssR M và AssRb M
[
c
c
b pR).
b
AssR M = {P ∩ R | P ∈ AssRb M } và AssRb M =
AssRb (R/
p∈AssR M
Vậy câu hỏi tiếp theo là với R-môđun Artin A thì mối quan hệ tương tự
giữa tập AttR A và AttRb A có đúng không? Với R-môđun Artin A ta đã
1
biết rằng AttR A = {P ∩R | P ∈ AttRb A} (xem [BS]). Tuy nhiên mối quan
hệ tương tự như công thức thứ hai là không đúng ngay cả khi A = Hmi (M ).
Tức là quan hệ
AttRb Hmi (M )
[
=
b pR)
b
AttRb (R/
(2)
i (M )
p∈AttR Hm
nhìn chung không xảy ra. Chú ý rằng nếu R là vành thương của vành
Gorenstein địa phương thì công thức (2) đúng với bất kì môđun đối đồng
điều địa phương Hmi (M ) (xem [CN]). Cuối năm 2014, trong bài báo "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion" đăng trong tạp chí Đại số, L. T. Nhàn và P. H. Quý đã chứng minh
được sự chuyển dịch qua địa phương hóa (1) và chuyển dịch qua đầy đủ
hóa (2) là hai điều kiện tương đương với tính chất R là vành catenary phổ
dụng và tất cả các thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay. Mục tiêu của
luận văn là chứng minh lại kết quả trên của L. T. Nhàn và P. H. Quý:
Định lý chính. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay;
i−dim(R/p)
(ii) AttRp HpRp
(Mp ) = {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p} với mọi
R-môđun M hữu hạn sinh, số nguyên i ≥ 0 và p ∈ Spec R;
S
b pR)
b với mọi R-môđun M hữu
(iii) AttRb Hmi (M ) =
AttRb (R/
i (M )
p∈AttR Hm
hạn sinh và số nguyên i ≥ 0.
Luận văn gồm 2 chương. Phần đầu Chương 1 nhắc lại các công thức
chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa và qua đầy
đủ hóa. Phần tiếp theo trình bày một số vấn đề về tiêu chuẩn Artin của
Melkersson [Mel], tập iđêan nguyên tố gắn kết và môđun đối đồng điều địa
phương. Chương 2 là chương chính của luận văn, trình bày về hệ tham số,
các lớp vành đặc biệt, một số bổ đề liên quan và chứng minh Định lý chính.
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán địa
phương Noether. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Cho A
là R-môđun Artin và L là một R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh
b và M
c lần lượt là đầy đủ của R và M theo tôpô
hay Artin). Kí hiệu R
m-adic. Ta cũng kí hiệu I là iđêan tùy ý của R và Var(I) là tập các iđêan
nguyên tố của R chứa I .
1.1
Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương
hóa và đầy đủ hóa
Trong tiết này ta nhắc lại công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tố
liên kết của R-môđun hữu hạn sinh M qua địa phương hóa và qua đầy đủ
hóa. Các kết quả ở tiết này được tham khảo từ [Mat] và [S].
Định nghĩa 1.1.1. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên
tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho AnnR (x) = p.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M ).
Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết.
Tính chất 1.1.2. (i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR (M ) khi và chỉ
khi M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p.
3
(ii) Cho p là phần tử tối đại của tập các iđêan có dạng AnnR (x) trong
đó 0 6= x ∈ M . Khi đó p ∈ AssR (M ). Vì thế, M 6= 0 khi và chỉ khi
AssR (M ) 6= ∅.
(iii) Đặt ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại m 6= 0, m ∈ M sao cho am = 0}.
Khi đó tập ZD(M ) các ước của không trong M chính là hợp của các iđêan
nguyên tố liên kết của M .
(iv) Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các R-môđun. Khi đó
AssR M 0 ⊆ AssR M ⊆ AssR M 0 ∪ AssR M 00 .
(v) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) và mỗi phần tử tối tiểu của SuppR (M ) đều
thuộc AssR (M ).
(vi) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì AssR (M ) là tập hữu hạn. Hơn
nữa AssR (M ) ⊆ Var(AnnR M ). Vì thế Rad(AnnR M ) là giao các iđêan
nguyên tố liên kết của M .
(vii) Với S là tập đóng nhân trong R thì
AssS −1 R (S −1 M ) = {S −1 q | q ∈ AssR M, q ∩ S = ∅}.
Cho p ∈ Spec(R), suy ra S = R\p là một tập đóng nhân. Ta kí hiệu
Rp := S −1 R và Mp := S −1 M . Khi đó ta có tính chất chuyển dịch của tập
iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa như sau.
Mệnh đề 1.1.3. AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR M, q ⊆ p}.
Kết quả tiếp theo là tính chất chuyển dịch của tập iđêan nguyên tố liên
kết qua đầy đủ hóa. Nhắc lại rằng, một dãy (xn ) ⊂ R được gọi là một dãy
Côsi theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn − xm ∈ mk , với mọi m, n ≥ n0 . Dãy (xn ) ⊂ R được gọi là dãy không nếu
4
với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ mk ,với mọi n ≥ n0 .
Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Côsi như sau : Hai dãy
Côsi (xn ), (yn ) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn ) là dãy không. Kí
b là tập các lớp tương đương của các dãy Côsi. Chú ý rằng tổng và
hiệu R
tích của hai dãy Côsi là một dãy Côsi, quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn )
và quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại
b và cùng
diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên R
b làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tối
với phép toán này R
b. Vành R
b vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo
đại duy nhất là mR
tôpô m-adic của R. Bằng cách tương tự ta có khái niệm môđun đầy đủ theo
b . Nhưng chú ý rằng
tôpô m-adic cho R-môđun L tùy ý và được kí hiệu là L
b ∈ Spec(R).
với p ∈ Spec(R) thì chưa chắc đã có pR
Mệnh đề 1.1.4. Các phát biểu sau là đúng
c=
(i) AssRb M
S
p∈AssR M
b pR)
b .
AssRb (R/
c}.
(ii) AssR M = {P ∩ R | P ∈ AssRb M
b là đồng cấu tự nhiên và R
b là phẳng trên
Chứng minh. (i). Vì f : R → R
R nên theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có
b =
AssRb (M ⊗ R)
[
b pR).
b
AssRb (R/
p∈AssR M
b∼
c nên khẳng định (i) đã được chứng minh.
Hơn nữa M ⊗ R
=M
b → Spec(R) là ánh xạ cảm sinh của f , tức là
(ii). Gọi f a : Spec(R)
b . Vì f là ánh xạ phẳng
f a (P) = f −1 (P) := P ∩ R với mọi P ∈ Spec(R)
hoàn toàn nên theo [Mat, Định lý 7.3(i)], f a là toàn ánh. Áp dụng [Mat,
Định lý 23.2](ii) ta có
5
c} = f a (Ass b M
c) = f a (
{P ∩ R | P ∈ AssRb M
R
[
b pR))
b
AssRb (R/
p∈AssR M
=
[
b pR)).
b
f a (AssRb (R/
p∈AssR M
b pR))
b = {p} với mỗi p ∈ Spec(R).
Theo [Mat, Định lý 23.2](ii), f a (AssRb (R/
c} = AssR M .
Vì thế {P ∩ R | P ∈ AssRb M
1.2
Tiêu chuẩn Artin cho các môđun
Tiết này trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun Artin,
đặc biệt là tiêu chuẩn Artin của L. Melkersson [Mel].
Định nghĩa 1.2.1. Một R-môđun L được gọi là môđun Artin nếu mỗi dãy
giảm các môđun con của L đều dừng, nghĩa là nếu L ⊇ L1 ⊇ L2 ⊇ . . . ⊇
Ln ⊇ . . . là một dãy giảm dần các môđun con của L thì tồn tại k ∈ N sao
cho Lk = Ln với mọi n ≥ k . Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một
R-môđun Artin, tức là mọi dãy giảm các iđêan của R đều dừng.
Mệnh đề sau cho ta điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin.
Mệnh đề 1.2.2. R-môđun L là môđun Artin nếu và chỉ nếu mỗi tập khác
rỗng các môđun con của L đều có phần tử tối tiểu.
Tiếp theo là một tính chất hay dùng của môđun Artin.
Mệnh đề 1.2.3. Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp các R-môđun.
Khi đó L là Artin nếu và chỉ nếu L0 , L00 là Artin.
Phần cuối của tiết này đưa ra tiêu chuẩn Artin theo tính chất I -xoắn.
Định nghĩa 1.2.4. Cho R-môđun L. Với mỗi số tự nhiên n, đặt
(0 :L I n ) = {x ∈ L | I n x = 0}.
6
Khi đó (0 :L I n ) là một môđun con của L. Kí hiệu ΓI (L) =
S
n≥0 (0 :L
I n ).
Ta nói rằng L là I -xoắn nếu L = ΓI (L).
Bổ đề 1.2.5. Cho a ∈ R và L là Ra-xoắn. Giả sử L0 , L00 là các môđun con
của L sao cho L00 ⊆ L0 và ai (0 :L0 ai+1 ) = ai (0 :L00 ai+1 ) với mọi i. Khi đó
L0 = L00 .
Định lý 1.2.6. (Tiêu chuẩn Artin của Melkersson) L là Artin nếu và chỉ
nếu tồn tại một iđêan I của R sao cho (0 :L I) là Artin và L là I -xoắn.
Chứng minh. Giả sử L là Artin. Với I là iđêan tùy ý, vì (0 :L I) là môđun
con của L nên nó là Artin. Lấy x ∈ L. Rõ ràng Rx là R-môđun hữu hạn
sinh. Vì Rx là môđun con của L nên nó là Artin. Do đó `(Rx) < ∞. Vì
thế tồn tại n sao cho mn x = 0, tức là x ∈ (0 :L mn ). Do đó L là m-xoắn.
Ngược lại, giả sử tồn tại iđêan I của R sinh bởi t phần tử sao cho
S
(0 :L I) là Artin và L = n≥0 (0 :L I n ). Ta sẽ chứng minh L là Artin bằng
phương pháp quy nạp theo t. Nếu t = 0 thì I = 0 và do đó L = (0 :L I)
là Artin. Với t = 1, đặt I = Ra. Gọi L1 ⊇ L2 ⊇ . . . ⊇ Ln . . . là dãy giảm
các môđun con của L. Ta chứng minh dãy đó phải dừng. Với mỗi i và với
mỗi môđun con N của L, nếu x ∈ ai (0 :N ai+1 ) thì tồn tại y ∈ (0 :N ai+1 )
sao cho x = ai y . Ta có ax = a(ai y) = ai+1 y = 0. Suy ra ax = 0 hay
x ∈ (0 :L a). Vậy ai (0 :N ai+1 ) ⊆ (0 :L a). Tiếp theo ta chứng minh
ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ) với mọi i. Thật vậy, lấy x ∈ ai+1 (0 :Ln ai+2 )
tùy ý. Khi đó tồn tại y ∈ (0 :Ln ai+2 ) sao cho x = ai+1 y . Vì y ∈ (0 :Ln ai+2 )
nên ai+2 y = 0. Suy ra ai+1 (ay) = 0 hay ay ∈ (0 :Ln ai+1 ). Do đó tồn
tại z ∈ (0 :Ln ai+1 ) sao cho ay = z . Ta có x = ai+1 y = ai z . Suy ra
x ∈ ai (0 :Ln ai+1 ). Vậy ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ).
Với mỗi n ≥ 1 ta có dãy giảm các môđun con của (0 :L a)
(0 :Ln a) ⊇ . . . ⊇ ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ) ⊇ . . .
7
Vì (0 :L a) là Artin nên tồn tại kn ∈ N sao cho
En = akn (0 :Ln akn +1 ) = ai (0 :Ln ai+1 ), ∀i ≥ kn .
Ta có En = akn +kn+1 (0 :Ln akn +kn+1 +1 ) ⊇ akn +kn+1 (0 :Ln+1 akn +kn+1 +1 ) =
En+1 . Vì thế E1 ⊇ . . . ⊇ En . . . là một dãy giảm các môđun con của
(0 :L a). Do đó nó phải dừng, tức là tồn tại n0 để En = En0 với mọi
n ≥ n0 . Với mọi i ≥ kn0 và n ≥ n0 ta có En0 = akn0 (0 :Ln0 akn0 +1 ) ⊇
ai (0 :Ln0 ai+1 ) ⊇ ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ En = En0 . Vậy En0 = ai (0 :Ln ai+1 ) với
mọi i ≥ kn0 , n ≥ n0 . Với mỗi số nguyên i = 0, 1, . . . , kn0 − 1 ta có dãy giảm
sau
ai (0 :L1 ai+1 ) ⊇ . . . ⊇ ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai (0 :Ln+1 ai+1 ) ⊇ . . .
các môđun con của (0 :L a), nên tồn tại u ≥ n0 để ai (0 :Ln ai+1 ) = ai (0 :Lu
ai+1 ) với mọi n ≥ u, 0 ≤ i ≤ kn0 − 1. Theo Bổ đề 1.2.5, Ln = Ln+1
với mọi n ≥ u. Vậy L là Artin. Với t > 1. Giả sử I = (a1 , . . . , at ). Đặt
J = (a1 , . . . , at−1 ) và N = (0 :L J). Khi đó N là Rat -xoắn và (0 :N at ) =
(0 :L I). Do đó (0 :L I) là Artin nên (0 :N at ) cũng là Artin. Vì N là
Rat -xoắn nên theo như trường hợp t = 1 ở trên thì N là Artin. Vì L là
I -xoắn nên L là J -xoắn. Vì N = (0 :L J) là Artin với mọi J được sinh ra
bởi t − 1 phần tử nên theo giả thiết quy nạp ta được L là Artin.
1.3
Biểu diễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn
kết của môđun Artin
Các kiến thức ở mục này được tham khảo trong [Mac].
Định nghĩa 1.3.1. (i) Một R-môđun L được gọi là thứ cấp nếu L 6= 0 và
với mọi x ∈ R ta có xL = L hoặc tồn tại n ∈ N để xn L = 0. Trong trường
hợp này tập p = {x ∈ R | xn L = 0, với n ∈ N} là iđêan nguyên tố và ta
gọi L là p-thứ cấp.
8
(ii) Cho L là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của L là một phân tích
L = L1 + · · · + Lt thành tổng hữu hạn các môđun con, trong đó Li là
pi -thứ cấp. Nếu L = 0 hoặc L có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói L là
biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối tiểu nếu các iđêan
nguyên tố pi đôi một khác nhau và không có hạng tử Li nào là thừa, với
mọi i = 1, . . . , t.
Chú ý rằng nếu Li , Lj là hai môđun con p-thứ cấp của L thì Li + Lj
cũng là môđun con p-thứ cấp của L. Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của L
đều có thể đưa được về dạng tối tiểu. Khi đó tập {p1 , . . . , pt } là độc lập
với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L và được gọi là tập các iđêan
nguyên tố gắn kết của L, kí hiệu là AttR L. Các hạng tử Li , với i = 1, . . . , t,
được gọi là các thành phần thứ cấp của L. Nếu pi là tối tiểu trong AttR L
thì Li được gọi là thành phần thứ cấp cô lập.
Nếu A là R-môđun Artin thì A là biểu diễn được. Từ giờ đến hết tiết
này ta luôn giả thiết A là R-môđun Artin.
Mệnh đề 1.3.2. Các phát biểu sau đây là đúng.
(i) AttR A 6= ∅ khi và chỉ khi A 6= 0.
(ii) min AttR A = min Var (AnnR A). Đặc biệt
dim (R/AnnR A) = max {dim (R/p) | p ∈ AttR A}.
(iii) Nếu 0 → A0 → A → A00 → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì
AttR A00 ⊆ AttR A ⊆ AttR A0 ∪ AttR A00 .
b. Gọi (rn )n∈N là dãy Côsi trong R
Chú ý 1.3.3. Cho u ∈ A và cho rb ∈ R
đại diện cho lớp rb. Khi đó Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A,
do đó nó là môđun Artin. Chú ý rằng Ru là hữu hạn sinh. Vì thế Ru vừa
9
là môđun Artin, vừa là môđun Noether. Do đó Ru là môđun có độ dài hữu
b, tồn tại số tự
hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho mk u = 0. Vì rb ∈ R
nhiên n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi m, n ≥ n0 . Suy ra (rn − rm )u = 0
với mọi m, n ≥ n0 . Hay rn u = rn0 u với mọi n ≥ n0 . Do đó ta có thể định
nghĩa tích vô hướng rbu = rn0 u. Dễ kiểm tra được đây là một tích vô hướng
b-môđun. Với cấu trúc này, một
trên A. Do đó A có cấu trúc tự nhiên như R
môđun con của A xét như R-môđun nếu và chỉ nếu nó là môđun con của
b-môđun. Vì thế A là một R
b-môđun Artin. Nếu xem R
b-môđun
A xét như R
b thì ta được
A này như là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → R
cấu trúc R-môđun ban đầu trên A. Như vậy tập iđêan nguyên tố gắn kết
b luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tập
của A trên R và trên R
iđêan nguyên tố gắn kết này như sau.
Bổ đề 1.3.4. AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A}.
Chứng minh. Giả sử A = (A11 + . . . + A1t1 ) + . . . + (An1 + . . . + Antn ) là
b-môđun, trong đó Aij là
một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A xét như R
b
pij -thứ cấp và b
pi1 ∩ R = . . . = b
piti ∩ R = pi với mọi i = 1, . . . , n và các pi
là đôi một phân biệt. Khi đó
AttRb A = {b
pij | i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , ti }.
Đặt Ai = Ai1 + . . . + Aiti với i = 1, . . . , n. Khi đó A = A1 + . . . + An .
Với mỗi i ∈ {1, . . . , n} và x ∈ pi ta có x ∈ b
pij với mọi j = 1, . . . , ti . Do đó
phép nhân bởi x trên Ai là toàn cấu. Suy ra Ai là pi -thứ cấp. Vì mỗi Aij
đều không thừa nên Ai là không thừa mới mọi i. Vậy
AttR A = {p1 , . . . , pn } = {b
p∩R|b
p ∈ AttRb A}.
10
1.4
Môđun đối đồng điều địa phương
Trong tiết này ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất của môđun
đối đồng điều địa phương. Các thuật ngữ được tham khảo trong cuốn [BS].
Định nghĩa 1.4.1. Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun. Đặt
S
ΓI (L) = n≥0 (0 :L I n ). Cho f : L → N là đồng cấu các R-môđun thì ta
có đồng cấu cảm sinh f ∗ : ΓI (L) → ΓI (N ) cho bởi f ∗ (x) = f (x) với mọi
x ∈ ΓI (L). Khi đó ΓI (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái
từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun. ΓI (−) được gọi là
hàm tử I -xoắn.
Định nghĩa 1.4.2. Một R-môđun L được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi
đơn cấu f : N → N 0 và mỗi đồng cấu g : N → L, luôn tồn tại đồng cấu
h : N 0 → L sao cho g = hf .
Một giải nội xạ của R-môđun L là một dãy khớp các R-môđun
f0
α
f1
f2
0→L→
− E0 −
→ E1 −
→ E2 −
→ ···
trong đó mỗi Ei là một môđun nội xạ. Chú ý rằng mọi môđun đều có giải
nội xạ.
Định nghĩa 1.4.3. Cho L là R-môđun và I là iđêan của R. Môđun dẫn
suất phải thứ i của hàm tử I -xoắn ΓI (−) ứng với M được gọi là môđun
đối đồng điều thứ i của L với giá I . Kí hiệu là HIi (L). Cụ thể, nếu cho
f0
α
f1
f2
0→L→
− E0 −
→ E1 −
→ E2 −
→ ···
là giải nội xạ của L, tác động hàm tử I -xoắn vào ta được đối phức
f∗
f∗
f∗
0
1
2
0 → ΓI (E0 ) −
→
ΓI (E1 ) −
→
ΓI (E2 ) −
→
···
∗
Khi đó HIi (L) = Ker fi∗ / Im fi−1
, với i ≥ 0. Môđun này không phụ thuộc
vào việc chọn giải nội xạ của L.
11
Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.
Mệnh đề 1.4.4. Cho L là R-môđun. Các khẳng định sau là đúng.
(i) Nếu L là nội xạ thì HIi (L) = 0 với mọi i ≥ 1.
(ii) ΓI (L) ∼
= HI0 (L).
(iii) Nếu 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn
tại các đồng cấu nối HIi (L00 ) → HIi+1 (L0 ) với mọi i ≥ 0 sao cho ta có dãy
khớp dài
0 → ΓI (L0 ) →ΓI (L) → ΓI (L00 ) → HI1 (L0 )
→ HI1 (L) → HI1 (L00 ) → HI2 (L0 ) → . . .
Một tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là tính
triệt tiêu trong mối quan hệ với tính I -xoắn, độ sâu và chiều của môđun.
Đầu tiên là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương trong mối
quan hệ với tính I -xoắn.
Mệnh đề 1.4.5. Cho L là R-môđun. Các phát biểu sau là đúng.
(i) HIi (L) là môđun I -xoắn với mọi i ≥ 0.
(ii) Nếu L là I -xoắn thì HIi (L) = 0 với mọi i > 0. Đặc biệt với mỗi
R-môđun L, ta có HIj (HIi (L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j ≥ 0.
Mệnh đề trên cho ta ngay kết quả sau đây.
Hệ quả 1.4.6. Với mỗi R-môđun L, đặt L = L/ΓI (L). Khi đó ta có
HIi (L) ∼
= HIi (L) với mọi số tự nhiên i ≥ 1.
Tiếp theo là tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương
liên quan đến khái niệm dãy chính quy và độ sâu của môđun.
12
Định nghĩa 1.4.7. Cho L là R-môđun. Phần tử 0 6= a ∈ R được gọi
là phần tử L-chính quy nếu (0 :L a) = 0 và L 6= aL. Một dãy các
phần tử a1 , . . . , an của R được gọi là L-dãy chính quy nếu ai là phần tử
L/(a1 , . . . , ai−1 )L-chính quy với mọi i = 1, . . . , n và L/(a1 , . . . , an )L 6= 0.
Chú ý nếu (R, m) là vành địa phương, a1 , . . . , an ∈ m thì điều kiện thứ
hai trong định nghĩa L-dãy chính quy là không cần, tức L/(a1 , . . . , an )L 6= 0
là luôn đúng.
Từ nay đến hết tiết này, ta giả thiết (R, m) là vành địa phương và M
là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có các kết quả sau.
Định nghĩa 1.4.8. Mỗi dãy chính quy của M trong I đều có thể mở rộng
thành một dãy chính quy tối đại và độ dài của của các dãy chính quy tối
đại trong một iđêan I là bằng nhau. Độ dài này được gọi là độ sâu của
môđun M trong I , kí hiệu là depthI (M ). Đặc biệt khi I = m thì ta viết
là depth(M ).
Độ sâu của môđun hữu hạn sinh có thể được đặc trưng qua tính không
triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.
Mệnh đề 1.4.9. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và M 6= 0 thì
depthI (M ) = min{i | HIi (M ) 6= 0}.
Sau cùng là khái niệm chiều của môđun và tính triệt tiêu của môđun
đối đồng điều địa phương liên quan đến khái niệm chiều của môđun.
Định nghĩa 1.4.10. Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn các iđêan nguyên tố
của R được gọi là một dãy iđêan nguyên tố của R có độ dài n. Cận trên
các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố của R được gọi là chiều (chiều
Krull) của vành R, kí hiệu là dim R. Khi đó chiều (chiều Krull) của M là
13
chiều của vành R/ AnnR M , kí hiệu là dim M . Nếu M = 0 thì ta quy ước
dim M = −1.
Định lý 1.4.11. (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Với dim M = d, các
khẳng định sau là đúng:
(i) HIi (M ) = 0 với mọi số nguyên i > d và mọi iđêan I của R.
(ii) Nếu M 6= 0 thì dim M = max{i | Hmi (M ) 6= 0}.
Cuối tiết này ta trình bày tính chất Artin của môđun đối đồng điều
địa phương. Để xét tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương trước
hết ta cần mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.4.12. Cho x ∈ I là một phần tử M -chính quy. Khi đó với mọi
i ∈ N ta có dãy khớp
0 → HIi (M )/xHIi (M ) → HIi (M/xM ) → (0 :HIi (M ) x).
Định lý sau khẳng định môđun đối đồng điều đại phương cấp cao nhất
với giá tùy ý và môđun đối đồng điều đại phương cấp tùy ý với giá cực đại
luôn là Artin.
Định lý 1.4.13. Cho (R, m) là vành địa phương , M là R-môđun hữu hạn
sinh với dim M = d. Khi đó
(i) HId (M ) là Artin với mọi iđêan I .
(ii) Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0.
Chứng minh. (i). Ta sẽ chứng minh quy nạp theo d. Với d = 0 thì M có độ
dài hữu hạn và do HI0 (M ) ∼
= ΓI (M ) vì thế HI0 (M ) là Artin. Cho d ≥ 1 và
giả thiết rằng kết quả đúng với trường hợp chiều nhỏ hơn d. Do d > 0 nên
theo Hệ quả 1.4.6 ta có HIi (M ) ∼
= HIi (M/ΓI (M )). Chú ý rằng dim(M ) ≥
14
dim(M/ΓI (M )). Nếu dim(M/ΓI (M )) < d thì HId (M/ΓI (M )) = 0. Do đó
HId (M ) = 0 và vì thế nó là môđun Artin. Giả sử dim(M/ΓI (M )) = d. Khi
đó H i (M ) ∼
= H i (M/ΓI (M )). Do M/ΓI (M ) có phần tử chính quy trong
I
I
I nên ta có thể giả thiết I chứa phần tử x là M -chính quy. Từ dãy khớp
x.
p
0 → M → M → M/xM → 0, theo Mệnh đề 1.4.12 ta có dãy khớp cảm
sinh
f
x.
HId−1 (M/xM ) → HId (M ) → HId (M ).
Vì x là phần tử M -chính quy nên dim(M/xM ) = d − 1. Theo giả thiết
quy nạp thì HId−1 (M/xM ) là Artin. Từ dãy khớp trên suy ra
HId−1 (M/xM )/ Ker f ∼
= Im f = Ker(x.) = (0 :HId (M ) x).
Vì HId−1 (M/xM )/ Ker f là Artin nên (0 :HId (M ) x) là Artin. Vì HId (M ) là
môđun I -xoắn và x ∈ I nên HId (M ) là môđun Rx-xoắn. Do đó theo Định
lý 1.2.6 ta suy ra HId (M ) là môđun Artin.
(ii). Ta cũng chứng minh bằng quy nạp theo i. Với i = 0 ta có Hm0 (M ) ∼
=
Γm (M ). Vì M là môđun Noether nên dãy (0 :M m) ⊆ (0 :M m2 ) ⊆ . . . phải
dừng, tức tồn tại số tự nhiên r sao cho (0 :M mk ) = (0 :M mr ) với mọi
k ≥ r. Do vậy Hm0 (M ) = (0 :M mr ). Suy ra mr ⊆ AnnR (Hm0 (M )). Vì
thế dim(Hm0 (M )) ≤ dim R/mr = 0. Suy ra Hm0 (M ) có độ dài hữu hạn,
do đó nó là Artin. Cho i > 0. Giả thiết kết quả đúng cho i − 1. Chú ý
rằng Hmi (M ) ∼
= Hmi (M) với M = M/Γm (M ). Do đó tồn tại x ∈ m là
x.
p
M -chính quy. Từ dãy khớp 0 → M → M → M/xM → 0 ta có dãy khớp
δi−1
x.
Hmi−1 (M/xM ) → Hmi (M ) → Hmi (M ). Suy ra
Hmi−1 (M/xM )/ Ker δi−1 ∼
= Im δi−1 = Ker(x.) = (0 :Hmi (M ) x).
Vì Hmi (M ) là môđun m-xoắn và x ∈ m nên Hmi (M ) cũng là môđun Rxxoắn. Theo Định lý 1.2.6 ta suy ra Hmi (M ) là môđun Artin.
15
- Xem thêm -