Tài liệu Luận văn sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THẾ NGHĨA SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THẾ NGHĨA SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Mã số : Phương pháp Toán sơ cấp : 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN DANH NAM THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Trang LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................................2 1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa ..........................................................2 1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần .............................................................5 1.3. Đường tròn trực giao ............................................................................................9 1.4. Cực và đường đối cực ..........................................................................................9 1.5. Cách xác định cực và đường đối cực .................................................................16 Chương 2: SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ..........................................................................................................19 2.1. Chứng minh hàng điểm điều hòa .......................................................................19 2.2. Chứng minh vuông góc ......................................................................................25 2.3. Chứng minh song song.......................................................................................31 2.4. Chứng minh thẳng hàng .....................................................................................33 2.5. Chứng minh đồng quy ........................................................................................40 2.6. Chứng minh điểm cố định ..................................................................................46 2.7. Chứng minh đẳng thức .......................................................................................55 2.8. Một số bài toán khác ..........................................................................................64 KẾT LUẬN ..............................................................................................................71 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................72 1 LỜI MỞ ĐẦU Hình học phẳng là một chủ đề hấp dẫn trong các kì thi học sinh giỏi. Một bài toán hình học phẳng luôn có thể được giải bằng nhiều cách khác nhau, trong đó áp dụng các khái niệm “hàng điểm điều hòa”, “cực và đường đối cực” được vận dụng để giải các bài toán sẽ cho lời giải một cách ngắn gọn và đẹp mắt. Đây là những công cụ mạnh và thú vị của hình học. Kiến thức về chùm đường thẳng, phép chiếu xuyên tâm, đặc biệt là chùm đường thẳng điều hòa, tứ giác toàn phần cũng được sử dụng để tìm kiếm các hàng điểm điều hòa. Khi xuất hiện các hàng điểm điều hòa, chúng ta dễ dàng sử dụng các kết quả liên quan như hệ thức Đề-các, hệ thức Niutơn và hệ thức Mácloranh trong giải bài toán hình học phẳng. Với hướng khai thác các hàng điểm điều hòa đơn giản và các hàng điểm điều hòa xuất hiện từ quan hệ giữa cực và đường đối cực của một điểm đối với một cặp đường thẳng cắt nhau hoặc đối với một đường tròn nào đó để giải các dạng toán hình học như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh vuông góc, chứng minh điểm cố định, chứng minh đẳng thức, bài toán quỹ tích và bài toán dựng hình. Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến các bài toán có liên quan đến hàng điểm điều hòa xuất hiện trong các cuộc thi học sinh giỏi toán quốc gia và toán quốc tế. Các bài toán về hàng điểm điều hòa trong luận văn đã được lựa chọn với lời giải của có tính độc đáo và thú vị hơn so với các phương pháp thường gặp. Do vậy, có thể nói kết quả của luận văn cung cấp một công cụ mới cho học sinh trong việc tiếp cận và giải các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Danh Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS và các thầy cô giảng viên của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa 1.1.1. Độ dài đại số Trên đường thẳng d chọn véctơ đơn vị e thì ta có trục d và hướng của e là hướng của trục d. Định nghĩa 1.1. [1] Trên trục d, cho hai điểm A, B. Độ dài đại số của AB là một số có giá trị tuyệt đối bằng AB và số đó dương nếu AB cùng hướng với e và số đó âm nếu AB ngược hướng với e . Kí hiệu: AB . Các tính chất. 1) AB   BA . 2) AB  BC  AC (A, B, C thẳng hàng). 3) A1 A2  A2 A3  ...  An1 An  A1 An (với mọi Ai , i  1, n thẳng hàng). 1.1.2. Tỉ số đơn Định nghĩa 1.2. [1] Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, tỉ số đơn của chúng lấy theo thứ tự đó là tỉ số CA . Kí hiệu: (ABC). CB Định lý 1.1. [1] Cho hai điểm A, B và một số thực k  1 thì tồn tại duy nhất điểm C sao cho (ABC) = k. Chứng minh. Ta có (ABC) = k    CA  k  CA  kCB  CA  k CA  AB CB   CA  k AB  AC  CA  k AC  k AB  AC  Suy ra, tồn tại duy nhất điểm C sao cho (ABC) = k.  k AB (k  1) k 1 3 1.1.3. Tỉ số kép Định nghĩa 1.3. [1] Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, tỉ số kép của chúng lấy theo thứ tự đó là tỉ số Vậy  ABCD   CA DA . Kí hiệu: (ABCD). : CB DB CA DA  ABC  . :  CB DB  ABD  Các tính chất. 1) Tỉ số kép của bốn điểm là không thay đổi trong các trường hợp sau: + Nếu hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối: (ABCD) = (CDAB). + Nếu đồng thời hoán vị hai điểm đầu và hai điểm cuối: (ABCD) = (BADC) + Nếu viết chúng theo thứ tự ngược lại: (ABCD) = (DCBA). 2) Tỉ số kép của bốn điểm thay đổi trong các trường hợp: + Nếu hoán vị hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành số đảo ngược của nó: (BACD) = (ABDC)  1  ABCD  + Nếu hoán vị hai điểm ở giữa hoặc hai điểm ở đầu và cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành phần bù của 1:  ABCD   1   ACBD   1   DBCA . 1.1.4. Hàng điểm điều hoà Định nghĩa 1.4. [1] Nếu (ABCD) = -1 thì ta nói bốn điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hoà hay A, B chia điều hoà C, D hay A, B liên hợp điều hoà đối với C, D. Các tính chất. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, ta có: 1) Hệ thức Đề-các:  ABCD   1  2 1 1   . AB AC AD 2) Hệ thức Niu-tơn:  ABCD   1  IA2  IC.ID (trong đó I là trung điểm của đoạn thẳng AB). 4 3) Hệ thức Mácloranh: AC. AD  AB.AJ (trong đó J là trung điểm của đoạn thẳng CD). Chứng minh. Trên đường thẳng AB, chọn O làm gốc toạ độ. Đặt OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, ta có: CA  OA  OC = a – c ; CB  OB  OC = b - c DA  OD  OA = d – a ; DB  OD  OB = d - b Ta có  ABCD   1  CA DA a-c a-d :   b-c b-d CB DB  (a - c)(b - d)  - (a - d)(b - c)  2(ab + cd)  (a + b)(c + d) (1) + Chọn OA thì: OA = a = 0, AC = OC = c, AB = OB = b, AD = OD = d. Từ (1) ta có 2cd = bc + bd  2 1 1 2 1 1      . b d c AB AC AD + Chọn O  I thì ta có OA  OB hay a = - b. Từ (1) ta có 2(- a2 + cd) = 0  a2 = cd  IA2  IC.ID . Chứng minh tương tự đối với hệ thức Mácloranh. Định lý 1.2. [1] Nếu AD, AE lần lượt là phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác ABC (D, E thuộc đường thẳng BC) thì (BCDE) = - 1. A B D C E Hình 1.1 Định lý 1.3. [1] Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác. Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P và BC cắt NP tại Q. Khi đó ta có (BCMQ) = - 1. 5 A P N O B M C Q Hình 1.2 Định lý 1.4. [1] Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến SA, SB tới (O) (A, B là các tiếp điểm ). Một đường thẳng đi qua S và cắt (O) lần lượt tại M, N, và AB cắt MN tại I. Khi đó (SIMN) = - 1. Hình 1.3 1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần 1.2.1. Chùm đường thẳng Định nghĩa 1.5. [1] Trong mặt phẳng, cho tập hợp các đường thẳng đồng quy tại điểm S thì chúng lập nên một chùm đường thẳng và S được gọi là tâm của chùm. Tập hợp các đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với nhau lập nên một chùm đường thẳng và có tâm tại vô tận. Định lý 1.5. [1] Một chùm bốn đường thẳng cắt một đường thẳng theo hàng điểm có tỉ số kép không thay đổi. Chứng minh. * Trường hợp chùm đồng quy tại điểm S: Gọi l là đường thẳng cắt các đường thẳng a, b, c, d lần lượt tại A, B, C, D và l’ là đường thẳng cắt các đường thẳng a, b, 6 c, d lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Ta cần chứng minh đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’) (Hình 1.4). S N’ M’ B’ l’ N M D’ C’ A’ A B C c b a D l d Hình 1.4 Qua điểm B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng a và cắt đường thẳng c tại N, cắt đường thẳng d tại M. Ta có: CA SA và DA SA   DB NB CB MB Từ đó suy ra:  ABCD   CA DA SA SA NB :  :  CB AB MB NB MB (1) Tương tự, từ điểm B’ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng a và cắt đường thẳng c, d lần lượt tại M’, N’. Ta có  A ' B ' C ' D '  N 'B' M 'B' Mặt khác, ta có: NB  N ' B ' MB M ' B ' (2) (3) Từ (1), (2) và (3) ta có (ABCD) = (A’B’C’D’). * Trường hợp chùm song song: Nếu a // b // c // d thì ta luôn có đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’). 7 Định nghĩa 1.6. [1] Trong mặt phẳng cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d. Một đường thẳng l bất kì cắt chùm đó tại A, B, C, D thì (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng a, b, c, d. Kí hiệu: (abcd) = (ABCD). Nếu chùm đồng quy tại S thì ta kí hiệu: S S(abcd) = (ABCD). l N Nếu (abcd) = - 1 thì ta có một chùm điều hoà, hay a, b liên hợp điều hoà với c, d hay a, b B chia điều hoà c, d. Định lý 1.6. [1] Trong mặt phẳng cho chùm bốn đường thẳng đồng quy. Điều kiện cần và đủ để chùm đó lập thành một chùm điều hoà là: Một đường thẳng bất kì song song với một M a c b Hình 1.5 trong bốn đường thẳng đó bị ba đường thẳng còn lại chia thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Chứng minh. Kẻ đường thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lượt tại M, B, N. Theo định lý trên, ta có: (abcd) =   ABCD  NB và (abcd) = -1 MB NB  1  NB  MB MB  B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.5). Hệ quả 1. Trong một chùm điều hoà nếu có hai đường liên hợp vuông góc với nhau thì hai đường đó là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường còn lại (Hình 1.6a). Hệ quả 2. Hai đường phân giác của hai góc kề bù chia điều hoà hai cạnh của góc đó (Hình 1.6b). Chùm đường thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai đường phân giác của góc đó được gọi là chùm phân giác. d 8 S S b A D c C B d a a) b) Hình 1.6 Trong mặt phẳng, tập hợp các đường thẳng đồng quy tại một điểm S, được gọi là một chùm đường thẳng tâm S. Cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d. Một đường thẳng  bất kỳ cắt a, b, c, d thứ tự tại A, B, C, D. Khi đó (ABCD) không phụ thuộc vào vị trí của  .Giá trị không đổi của tỉ số kép (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng a, b, c, d, ký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến tâm của chùm. 1.2.2. Tứ giác toàn phần Định nghĩa 1.7. [1] Trong mặt phẳng, cho bốn đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không có ba đường nào đồng quy thì chúng lập thành một tứ giác toàn phần. - Các đường thẳng là các cạnh (có bốn cạnh). - Giao của hai cạnh là đỉnh (có sáu đỉnh). - Hai đỉnh không thuộc một cạnh là hai đỉnh đối diện (có ba cặp đỉnh đối diện). - Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện là đường chéo (có ba đường chéo). Cho tứ giác toàn phần ABCA’B’C’. Khi đó, ta có cặp đỉnh đối diện là (A, A’), (B, B’), (C, C’); ba đường chéo là AA’, BB’, CC’. Định lý 1.7. [1] Trong một tứ giác toàn phần, cặp đỉnh đối diện chia điều hoà hai giao điểm của đường chéo nối cặp đỉnh đối diện đó với hai đường chéo còn lại. Chứng minh. Gọi P = AA’BB’, Q = AA’CC’, R = BB’CC’. Ta chứng minh (AA’PQ) = (BB’PR) = (CC’QR) = - 1. Ta có: B(AA’PQ) = B’(AA’PQ) = B’(CC’RQ) = B(CC’RQ) = B(A’APQ).  (AA’PQ) = (A’APQ)   AA ' PQ   1 2   AA ' PQ   1.  AA ' PQ  Nếu (AA’PQ) = 1 thì ta có (AA’P) = (AA’Q) hay PQ (vô lý). 9 Vậy (AA’PQ) = - 1. Các tỉ số kép khác được chứng minh một cách tương tự. A B P A’ B’ C Q C’ R Hình 1.7 1.3. Đường tròn trực giao Định nghĩa 1.8. [3] Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung của chúng nếu tại điểm đó hai tiếp tuyến của hai đường tròn vuông góc với nhau. Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy ra được các kết quả sau: Định lý 1.8. [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là bình phương khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bình phương các bán kính của chúng. Định lý 1.9. [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là phương tích của tâm của một trong hai đường tròn đó đối với đường tròn thứ hai bằng bình phương bán kính của đường tròn thứ nhất. Định lý 1.10. [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là có một đường kính nào đó của một trong hai đường tròn bị đường tròn kia chia điều hoà. Định nghĩa 1.9. [3] Người ta gọi chùm đường tròn là một tập hợp các đường tròn kể từng đôi một, nhận một đường thẳng duy nhất làm trục đẳng phương. Đường thẳng đó gọi là trục đẳng phương của chùm. Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, tâm các đường tròn của một chùm phải nằm trên một đường thẳng gọi là đường chứa tâm của chùm và đường thẳng này vuông góc với trục đẳng phương của chùm. 10 Từ định nghĩa của chùm đường tròn, ta suy ra hai định lý sau đây: Định lý 1.11. [3] Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn lập thành một chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phương tích đối với tất cả các đường tròn của tập hợp đó. Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng nối hai điểm nói trên. Định lý 1.12. [3] Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn có tâm thẳng hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phương tích đối với tất cả các đường tròn của tập hợp đó. Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng đi qua điểm nói trên và vuông góc với đường chứa tâm. 1.4. Cực và đường đối cực 1.4.1. Đường đối cực của một điểm đối với hai đường thẳng cắt nhau Định nghĩa 1.10. [3] Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy nếu đường thẳng MN cắt hai đường thẳng đó tại hai điểm A, B sao cho (MNAB) = -1. Nếu (MNAB) = -1 thì ta cũng suy ra (ABMN) = -1 và khi đó hai điểm A và B cũng liên hợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy OM, ON. Bài toán. Cho một điểm M không thuộc hai đường thẳng Ox, Oy. Hãy tìm tập hợp các điểm N liên hợp với M đối với hai đường thẳng đã cho. Lời giải. Qua M ta kẻ một đường thẳng lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B. Ta lấy trên đường thẳng đó một điểm N sao cho (MNAB) = -1 (Hình 1.8). P O A’ M B’ N’ N1 B A N x y Q z Hình 1.8 11 Nếu kẻ đường thẳng Oz đi qua O và N thì ta có chùm (OM, Oz, Ox, Oy) là một chùm điều hoà. Do đó, mọi điểm của đường thẳng Oz (trừ hai điểm P và Q) đều liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy (do hai điểm P và Q thuộc Oz mà MP // Ox và MQ // Oy ta phải loại ra vì lúc đó các đường thẳng MP và MQ đều không cắt cả hai đường thẳng Ox và Oy). Ngược lại, nếu N1 là một điểm không thuộc đường thẳng Oz nói trên thì không liên hợp với M vì khi đó nếu đường thẳng MN1 cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A’, B’, N’ thì ta có: (MN’A’B’) = -1 còn (MN1A’B’)  (MN’A’B’) nên (MN1A’B’)  -1. Do đó, điểm N1 không liên hợp với M đối với hai đường thẳng Ox và Oy. Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy là đường thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên. Định nghĩa 1.11. [3] Đường thẳng Oz trong bài toán trên gọi là đường đối cực của điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy. Điểm M gọi là cực của đường thẳng Oz đối với hai đường thẳng đó. Nhận xét. Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy cho trước, dựa vào tính chất của hình tứ giác toàn phần ta tìm hai điểm P và Q phân biệt đều cùng liên hợp với M đối với Ox, Oy nói trên. Ta có PQ là đường đối cực của điểm M đối với Ox, Oy và PQ luôn đi qua điểm O (Hình 1.9a). O M P M x A Q N O B y a) b) Hình 1.9 12 1.4.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn Định nghĩa 1.12. [3] Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với đường tròn (O), nếu đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O) (Hình 1.9b). Nếu đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B thì điều kiện cần và đủ để M và N liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) cho trước là tỉ số kép (MNAB) = -1. Hai điểm M, N có thể liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) mà đường thẳng MN không cắt đường tròn này. Bài toán. Cho đường tròn (O) và một điểm M không trùng với tâm O của đường tròn đó. Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đường tròn (O) đã cho. Lời giải. Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đường tròn (O) thì theo định nghĩa, đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O). Khi đó, đường kính AB đi qua M của đường tròn (O) bị đường tròn đường kính MN chia điều hoà. Gọi H là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính MN với đường thẳng AB. Ta có (ABMH) = -1 (Hình 1.10). Trong hàng điểm điều hoà A, B, M và H, điểm H hoàn toàn được xác định vì ba điểm A, B, M đã được xác định. Mặt khác, do MN là đường kính nên MH  HN. Nói cách khác, điểm N nằm trên đường thẳng m vuông góc với đường thẳng MO tại H. N Ngược lại, nếu N’ là điểm bất kì của đường thẳng m thì đường tròn đường kính MN’ đi qua H và do (ABMH) = -1 nên đường M A H O B tròn đường kính MN’ trực giao với đường tròn (O). Vậy điểm N’ liên hợp với M đối với đường tròn (O). Hình 1.10 Vậy tập hợp điểm N liên hợp với điểm M đối với một đường tròn (O) cho trước là một đường thẳng m vuông góc với đường thẳng MO tại H với (MHAB) = -1, trong đó A, B là giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn tâm O. 13 Định nghĩa 1.13. [3] Đường thẳng m trong bài toán trên gọi là đường đối cực của điểm M đối với đường tròn (O). Điểm M gọi là cực của đường thẳng m đối với đường tròn (O) nói trên. Như vậy, mỗi điểm M không trùng với điểm O của đường tròn tâm O có một đường đối cực xác định và ngược lại, mỗi đường thẳng không đi qua O có một điểm cực xác định đối với một đường tròn tâm O cho trước. Vì (ABMH) = -1 nên đường đối cực m của điểm M đối với đường tròn (O) sẽ cắt, không cắt hay tiếp xúc với đường tròn tâm O (Hình 1.11a,b,c). Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với một đường tròn tâm O cho trước, ta vẽ qua M hai cát tuyến MAB, MCD (Hình 1.12). Gọi P và Q lần lượt là các điểm liên hợp với M nghĩa là (ABMP) = -1 và (CDMQ) = -1. m m m I A M H O R B H A M O B HM A O B S K a) b) c) Hình 1.11 Ta suy ra PQ là đường đối cực của điểm M. Ta có thể dựa vào tính chất của hình tứ giác toàn phần để tìm các điểm P và Q liên hợp với M đối với A, B và C, D. H Đặc biệt, khi các cát tuyến đó trở thành tiếp tuyến thì ba điểm P, A, B trùng nhau và ba điểm C, Q, D cũng B trùng nhau. A Do đó, muốn dựng đường đối cực của một điểm M ta thường làm như sau: P O M C Q Hình 1.12 D 14 - Nếu điểm M nằm ngoài đường tròn (O) thì từ M ta vẽ hai đường tiếp tuyến MI, MK với đường tròn, trong đó I và K là hai tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng IK là đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.11a). - Nếu điểm M nằm trong đường tròn thì ta vẽ đường thẳng vuông góc với MO tại M. Đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm R và S (Hình 1.11b). Các tiếp tuyến của đường tròn tại R và S cắt nhau tại H. Đường thẳng m vuông góc với đường thẳng MO tại H là đường đối cực của điểm M cho trước. - Nếu điểm M nằm trên đường tròn thì tiếp tuyến tại M của đường tròn chính là đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.11c). 1.4.3. Các tính chất của cực và đường đối cực đối với một đường tròn 1) Đối với một đường tròn cho trước, nếu đường đối cực của điểm A đi qua điểm B thì đường đối cực của điểm B đi qua điểm A. Chứng minh. Nếu điểm B nằm trên đường đối cực a của điểm A thì A và B là hai điểm liên hợp đối với đường tròn cho trước. Mặt khác ta biết rằng, tập hợp các điểm liên hợp của điểm B là đường đối cực b của điểm B đó (Hình 1.13). Vậy điểm A B phải nằm trên đường đối cực b của điểm B (vai trò của A và B là bình đẳng). Ta có: B  a  A  b. Định nghĩa 1.14. [3] Hai đường thẳng a, b được gọi là liên hợp với nhau b A đối với một đường tròn cho trước nếu đường này đi qua cực của đường kia. 2) Đối với một đường tròn cho trước, các đường đối cực của các điểm thẳng hàng a Hình 1.13 thì đồng quy và các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng. Chứng minh. Theo tính chất 1, giả sử các điểm A1, A2…, An nằm trên đường thẳng b nghĩa là các điểm Ai  b với i = 1, 2…, n thì điểm B thuộc các đường thẳng b và ai là các đường đối cực của các điểm Ai. Vậy các đường đối cực của các điểm Ai đều đồng quy tại B. Phần còn lại chứng minh tương tự. 15 1.4.4. Phép đối cực Trên mặt phẳng cho một đường tròn cơ sở (C). Giả sử có một hình H gồm các điểm và các đường thẳng. Với mỗi điểm của hình H đều có các đường đối cực của nó đối với đường tròn (C), với mỗi đường thẳng của hình H có các điểm là cực của nó. Hình H' là tập hợp các đường thẳng (gồm các đường đối cực của các điểm thuộc hình H) và các điểm (gồm các cực của các đường thẳng thuộc hình H). Khi đó, ta nói có một phép đối cực với đường tròn cơ sở (C) biến hình H thành hình H'. Rõ ràng muốn chứng minh tính thẳng hàng của các điểm trên hình H ta chỉ việc chứng minh tính đồng quy của các đường thẳng tương ứng trên hình H'. Ví dụ 1.1. [3] (Định lý Bri-ăng-xông) Ba đường thẳng nối các cặp đỉnh đối diện của một lục giác ngoại tiếp một đường tròn đồng quy tại một điểm. Lời giải. Giả sử ABCDEF là lục giác ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q, K, I lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA với đường tròn (C). Khi đó, theo định lý Pát-xcan: B MNKQ =  QP IM =  M , ,  thẳng hàng. N C A PNIK =  Hiển nhiên,  là cực của BE,  là cực của AD,  là cực của CF. Vì , ,  thẳng hàng nên BE, P I F D K Q AD, CF đồng quy tại một điểm. Ta có phép đối cực E biến ba điểm , ,  thành ba đường thẳng BE, AD, Hình 1.14 CF (Hình 1.14). Định lý 1.13. [3] Phép đối cực bảo tồn tỉ số kép, nghĩa là qua phép đối cực, một chùm bốn đường thẳng (đồng quy) biến thành bốn điểm và tỉ số kép của bốn điểm này bằng tỉ số kép của bốn đường thẳng đó. Hệ quả. Phép đối cực biến một chùm đường thẳng điều hoà thành một hàng điểm điều hoà và ngược lại. 16 Như vậy, phép đối cực là một công cụ tương đối hiệu quả trong việc chuyển đổi hai dạng bài toán chứng minh đồng quy và chứng minh thẳng hàng, chuyển từ chùm đường thẳng điều hòa sang hàng điểm điều hòa và ngược lại. 1.5. Cách xác định cực và đường đối cực * Trường hợp 1: Khi cực S ở ngoài đường tròn (O). Ta có 2 cách dựng sau: - Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là tiếp điểm). Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là AB. A S . O B Hình 1.15 - Cách 2: Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD. Giả sử AD cắt BC ở F, AC cắt BD ở E. Khi đó đường đối cực của điểm S đối với (O) là đường thẳng EF. F B A E S D C Hình 1.16 * Trường hợp 2: Khi điểm S nằm trong đường tròn (O). Ta có 2 cách dựng sau đây: 17 - Cách 1: Qua điểm S dựng đường vuông góc với OS, đường này cắt (O) tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau ở điểm P. Khi đó đường đối cực của điểm S đối với đường tròn (O) là đường thẳng qua P vuông góc với OS. A S P O B Hình 1.17 - Cách 2: Qua điểm S dựng hai dây cung AB và CD. Giả sử AD cắt BC ở E, AC cắt BD ở F. Khi đó đường đối cực của điểm S đối với (O) là EF. E C A S .O F D B Hình 1.18 * Trường hợp 3: Điểm S nằm trên đường tròn (O). Khi đó, tiếp tuyến của (O) tại S chính là đường đối cực của S đối với (O).