Tài liệu Luận văn nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu và bài toán cân bằng véc tơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM NGỌC SƠN NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM NGỌC SƠN NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ Chyên nghành: Toán Giải tích Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Đỗ Văn Lƣu THÁI NGUYÊN - 2015 Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015. Tác giả Phạm Ngọc Sơn Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu. Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn của mình, PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Văn hóa Thể thao và Du lịch, Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Hòa Bình, trường Phổ thông Năng khiếu Thể dục Thể thao tỉnh Hòa Bình, gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K21b đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015. Tác giả Phạm Ngọc Sơn Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN................................................................................................ i LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... ii MỤC LỤC .........................................................................................................iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 1 4. Bố cục luận văn ............................................................................................... 2 Chƣơng 1 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐÓNG .................................................................... 3 1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz ......................................................... 3 1.1.1. Định nghĩa ................................................................................................. 3 1.1.2 Định lí ......................................................................................................... 3 1.1.3. Định nghĩa ................................................................................................. 6 1.1.4. Định lí ........................................................................................................ 6 1.1.5. Ví dụ .......................................................................................................... 7 1.1.6. Định nghĩa ................................................................................................... 8 1.1.7. Định nghĩa ................................................................................................... 8 1.1.8. Định lí.......................................................................................................... 8 1.1.9. Định lí.......................................................................................................... 8 1.1.10. Định lí ........................................................................................................ 9 1.1.11. Định nghĩa ................................................................................................. 9 1.1.12 Định nghĩa .................................................................................................. 9 1.2 Điểm siêu hữu hiệu của một đóng ................................................................. 9 1.2.1.Định nghĩa .................................................................................................. 9 1.2.2. Định nghĩa ............................................................................................... 10 1.2.3. Định nghĩa ............................................................................................... 10 1.2.4. Định nghĩa ............................................................................................... 11 1.2.5. Định nghĩa ............................................................................................... 14 Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv 1.2.6. Định nghĩa ............................................................................................... 14 1.2.7. Định nghĩa ............................................................................................... 14 1.2.8. Định nghĩa ............................................................................................... 14 1.3 Các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng ............. 15 1.3.1 Định lý ...................................................................................................... 15 1.3.2. Nhận xét ................................................................................................... 19 1.3.3. Ví dụ ........................................................................................................ 19 1.3.4. Định lý ..................................................................................................... 21 1.3.5. Nhận xét ................................................................................................... 22 1.3.6. Định lý ..................................................................................................... 22 Chƣơng 2 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ............................. 24 2.1 Kiến thức chuẩn bị ..................................................................................... 24 2.1.1. Định nghĩa ............................................................................................... 25 2.1.2. Định nghĩa ............................................................................................... 25 2.2 Các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ .................................................................................................. 26 2.2.1. Bổ đề ........................................................................................................ 26 2.2.2. Định lý ..................................................................................................... 26 2.2.3. Hệ quả ...................................................................................................... 28 2.2.4. Nhận xét ................................................................................................... 28 2.2.5. Mệnh đề ................................................................................................... 28 2.2.6. Định lý ..................................................................................................... 30 2.2.7. Hệ quả ...................................................................................................... 31 2.2.8. Định lý ..................................................................................................... 32 2.2.9. Định lý ..................................................................................................... 32 2.2.10. Hệ quả .................................................................................................... 32 2.2.11. Hệ quả .................................................................................................... 32 KẾT LUẬN....................................................................................................... 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 34 Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán cân bằng vectơ (VEP) được đưa vào nghiên cứu bởi Ansari, Oettli và Schlager 3 và Bianchi, Hadjisavvas và Schaible  4 vào năm 1997. Gần đây bài toán cân bằng vectơ được nghiên cứu rộng rãi, bởi vì nó bao gồm nhiều bài toán khác, như các trường hợp đặc biệt như: bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ trong đó bao gồm tối ưu hóa một tập, bài toán cân bằng Nash vectơ,... Trong lý thuyết của bài toán cân bằng vectơ cũng như trong lý thuyết tối ưu vectơ người ta thường xét các nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Pareto, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu. Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú và được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Zheng – Yang – Teo (2007) đã thiết lập các tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu trong tối ưu vectơ. Gong (2011) đã chứng minh điều kiện đủ và các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ. Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế mà tôi chọn đề tài: “ Nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu và bài toán cân bằng vectơ ”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày các kết quả về các tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng của Zheng – Yang – Teo (2007) và các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ của Gong (2001). Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí thuyết tối ưu. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2 4. Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chƣơng 1. Tính chất đặc trƣng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng Trình bày các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng trong không gian Banach của Zheng – Yang – Teo ([10], 2007) dưới ngôn ngữ nón pháp tuyến Clarke, trong đó nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn. Chú ý rằng bài toán tối ưu hóa một tập là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng vectơ. Chƣơng 2. Tính chất đặc trƣng của nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ Trình bày điều kiện đủ và tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ trong không gian Banach của Gong ([7], 2001) bằng cách sử dụng định lí phạm trù Baire. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 3 Chƣơng 1 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐÓNG Trình bày các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng trong không gian Banach dưới ngôn ngữ nón pháp tuyến Clarke, trong đó nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn. Các kết quả trình bày trong chương này là của Zheng – Yang – Teo ([10], 2007). 1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu của X và f là hàm Lipschitz địa phương tại x  X . 1.1.1. Định nghĩa Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương v  X  tại x , kí   hiệu là f0 x, v được xác định như sau:   f 0 x, v  limsup x x t  0 f ( y  tv)  ( x) t (1.1) trong đó x  X , t  0 . 1.1.2 Định lí Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x . Khi đó, (i) Hàm v  f 0 ( x, v) hữu hạn , thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và f 0 ( x; v)  K v . (ii) f 0 ( x, v) nửa liên tục trên theo  x, v  , f 0  x,. Lipschitz với hằng số K trên X. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 4 (iii) f 0 ( x; v)  ( f )0 (u, v) . Chứng minh: (i) Do f là Lipschitz địa phương tại với hằng số Lipschitz K, cho nên tồn tại lân cận U của x sao cho với mọi y, z U , f ( y)  f  z   K y  z . Do đó, từ (1.1) ta có f 0 ( x, v)  limsup x x t  0 K tv K v t bởi vì với t đủ nhỏ, y U thì y  tv U . Từ đó suy ra tính chất hữu hạn của hàm f 0  x,. . Với   0 , ta có f 0  x, v   limsup yx t  0 =  limsup yx t  0 f ( y  t v)  f ( y ) t f ( y  t  v)  f ( y )   f 0 ( x, v) . t  hàm f 0  x,. thuần nhất dương. Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính: f 0  x, v     limsup yx t  0  limsup yx t  0 f ( y  tv  t )  f ( y) t f ( y  tv  t )  f ( y  tv) f ( y  tv)  f ( y )  limsup yx t  0 t t  f 0 ( x,  )  f 0 ( x, v). Bởi vì y  tv  x khi y  x và t  0 . (ii) Lấy các dãy xi  và vi  hội tụ đến x và v tương ứng, với i, yi , ti  0 sao cho 1 yi  xi  ti  , i Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 5 1 f ( yi  ti vi )  f ( yi ) f 0 ( xi , vi )   i ti  f ( yi  ti v)  f ( yi ) f ( yi  tivi )  f ( yi  tiv)  ti ti Để ý rằng (1.2) f ( yi  ti vi )  f ( yi  tiv)  K vi  v với i đủ lớn. Khi đó, từ ti (1.2) ta có limsup f 0 ( xi , vi )  f 0 ( x, v) i  Do đó f 0 (.,.) nửa liên tục trên Ta chứng minh trên X. Với u,   X , ta có f ( y  tv)  f ( y)  f ( y  t)  f ( y)  K v   t  f ( y  tv)  f ( y ) f ( y  t )  f ( y )   K v  t t  f 0 ( x, v)  f 0 ( x, )  K v   (1.3) Đổi vai trò của v và  ta nhận được  f 0 ( x, )  f 0 ( x, v)  K v   . (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra f 0 ( x, v)  f 0 ( x,  )  K v   . Như vậy f 0 ( x,.) Lipschitz với hằng số K trên X . (iii) Chứng minh f 0 ( x, v)    f  ( x, v). 0 f ( x '  tv)  f ( x ' ) ( f )(u  tv)  ( f ) f (u ) f ( x, v)  limsup  limsup ' ux t  0 x x t  0 t t 0 (đặt u  x '  tv ) Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 6  ( f )0 ( x, v) . Định lý được chứng minh. 1.1.3. Định nghĩa Gradien suy rộng của hàm f tại x , kí hiệu là f ( x) là tập hợp sau đây trong X *   f ( x) :   X * : f 0 ( x, u   , u , u  X ) . Đây là khái niệm gradien suy rộng của F.H. Clarke 1.1.4. Định lí Giả sử f là Lipschitz địa phương tại với hằng số Lipschitz K tại x . Khi đó, (i) f ( x)   lồi compact yếu* trong X * và  *  K ( f ( x)) .   (ii) Với mọi v V ta có f 0 ( x, v)  max  , v :  f ( x) . Chứng minh: Theo định lí 1.1.2 f 0 ( x,.) là hàm cộng tính, thuần nhất dương trên X . Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính  : X  R sao cho f 0 ( x, v )   , v  v  X    f ( x)  f ( x)   Ta sẽ chứng minh f ( x) lồi, lấy 1,2 f ( x),0    1. Khi đó, f 0 ( x, u )  i , u u  X , i  1,2  f 0 ( x, u)   f 0 ( x, u )  (1   ) f 0 ( x, u)   1, u  (1   ) 2 , u  1  (1   ) 2 ,u  1  (1   )2 f ( x)  f ( x) lồi. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 7 Bây giờ ta chứng minh f ( x) compact yếu* , với  f ( x),  *  K  f ( x)  B* (0, K ) trong đó B* (0, K ) là hình cầu đóng tâm 0 bán kính K , hình cầu B* (0, K ) là compact yếu * (định lí Alaoglu),  f ( x) là đóng yếu*. (ii) Theo định nghĩa 1.1.3   max  , v :  f ( x)  f 0 ( x, v) . Giả sử tồn tại v0 sao cho   max  , v0 :  f ( x)  f 0 ( x, v0 ) . Theo định lí Hanh-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính  thỏa mãn  , v  f 0 ( x, v)  v  X   , v0  f 0 ( x, v0 ).   f ( x)  f 0 ( x, v0 )  , v0  f 0 ( x, v0 ) vô lí. Định lí được chứng minh. 1.1.5. Ví dụ Xét trường hợp X  R , f  x   x . Khi đó, f là hàm Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz K  1 Bây giờ, ta lấy x  0 . Khi đó, f 0  x, v   limsup yx t  0 y  tv  y  v  f ( x)    R : v   , v  R  1 . t Tương tự, với v  0 , ta có   1. Do đó,   1. Một cách tương tự, nếu x  0, f  x   1 . Xét trường hợp x  0 Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 8 f 0  0, v   v f  0     R : v   , v  R  f  0  1,1 . 1.1.6. Định nghĩa Ánh xạ đa trị  được gọi là đóng, nếu Gr đóng trong X  Y. 1.1.7. Định nghĩa Ánh xạ đa trị  được gọi là nửa liên tục trên tại x , nếu với   0,   0 sao cho (x  x   BX ) ( X )  ( X )   BY trong đó BX và BY là các hình cầu đơn vị mở trong X và Y. 1.1.8. Định lí Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x . Ta có các khẳng định sau đây: (i)  f ( x)  f 0 ( x; v)   , v  (v  X ) . (ii) Giả sử các dãy xi   X ,  i   X * thỏa mãn  i  f ( xi ) , xi  hội tụ đến x ,  là điểm giới hạn của  i  theo tôpô yếu * . Khi đó,  f ( x) (tức là ánh xạ đa trị f ( x) đóng yếu *). (iii) f ( x)   0  yx  B f ( y ) . (iv) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại x . Nhắc lại: Cho hàm lồi f trên tập lồi mở U, ( f : U   ) , dưới vi phân của hàm lồi f tại x U được định nghĩa như sau:   c f ( X )    X * : f(X)  f( X )   , X  X , X U . 1.1.9. Định lí Giả sử f là lồi trên U , Lipschitz địa phương tại x U . Khi đó, Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 9 f ( x)   c f ( x) , f 0 ( x, v)  f '( x, v)  u  X  trong đó f là gradient suy rộng của f , f '( x,.) là đạo hàm theo phương f tại x . 1.1.10. Định lí Giả sử f Lipschitz địa phương tại x , S là tập tùy ý trong R n có độ đo Lebesgue bằng 0. Khi đó,   f x  co lim f  xi  : xi  x, xi  S , xi  f  (1.5) trong đó co kí hiệu là bao lồi. 1.1.11. Định nghĩa Vectơ v  X được gọi là tiếp xúc với tập C nếu x  C nếu , x  x  0  x  C  . Định nghĩa 1.1.11 cho ta vectơ pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi. 1.1.12 Định nghĩa Nón tiếp liên của tập hợp C tại x là    Kc x : v  X :   0, t   0,   ,   v  tB saocho x  t  C . 1.2 Điểm siêu hữu hiệu của một đóng Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu của X. Giả sử C là nón nhọn lồi đóng trong X xác định thứ tự bộ phận C trong X: x1 C x2  x2  x1  C . 1.2.1. Định nghĩa Giả sử  là một tập con đóng của X và a , a là một điểm hữu hiệu Pareto của  , kí hiệu a  E  , C  , nếu Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 x và x  a C 0  x  a  0 . Theo Borwein và Zhuang 5 , ta có 1.2.2. Định nghĩa Điểm a là điểm siêu hữu hiệu (superefficient point) của  nếu tồn tại một số thực M > 0 sao cho cl cone(  a) ( BX  C )  MBX , trong đó BX là hình cầu đơn vị của X. Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú và được nghiên cứu rộng rãi. Ký hiệu SE(  ,C) là tập tất cả các điểm siêu hữu hiệu của  . Ta biết rằng a  SE  , C  nếu và chỉ nếu tồn tại M > 0 sao cho x , y  X và x  a C y  x  a  M y . (1.6) Ta suy ra SE  , C   E  , C  . 1.2.3. Định nghĩa a là một điểm siêu hữu hiệu địa phương của  , ký hiệu a  SEL  , C  , nếu tồn tại   0 sao cho a  SE    B  a,  ,C  , trong đó B  a,  là hình cầu mở tâm a, bán kính  . Như vậy, a  SEL  , C  nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số M,   0 sao cho x   B  a,  , y  X và x  a C y  x  a  M y . (1.7) Rõ ràng là SE  , C   SEL  , C  . Khi  lồi ta có SE  , C   SEL  , C  . Trong trường hợp  không lồi có lẽ thích hợp hơn là ta xét nghiệm siêu hữu hiệu địa phương. Nhiều kết quả đã biết về nghiệm siêu hữu hiệu đòi hỏi giả thiết lồi. Chẳng hạn, với giả Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 11 thiết  là lồi và C có một cơ sở bị chặn, Borwein và Zhuang 5 chứng minh rằng   a  SE  , C   c*  int  C   sao cho c* , a  min c* , x : x  , trong đó   C  : x*  X *: x* , c  0, c  C . Nón tiếp tuyến Clarke của tập   X tại điểm x   được xác định như sau (xem [2]):    TC , x  v  X : xn ,x n  x, tn  0, vn  v sao cho x n +t nvv , n  Nón pháp tuyến Clarke của  tại x được xác định bởi      NC , x  x*  X * : x* , x  0, v  TC , x . Như vậy,     . Chú ý rằng T  , x  là nón khác rỗng, lồi, đóng; Nón  NC , x   TC , x  C   NC , x là nón khác rỗng, lồi, đóng yếu *. Chú ý rằng khi  là lồi   c* , a  min c* , x : x   c*  Nc  , a  (trong đó N c ( .,. ) ký hiệu nón pháp tuyến Clarke), kết quả Borwein và Zhuang có thể viết lại như sau: a  SE  , C   x*  N c  , a  sao cho 0  int  C   x*  . (1.8) 1.2.4. Định nghĩa Nón thứ tự C được gọi là có một cơ sở bị chặn nếu tồn tại một tập con lồi bị chặn C = t : t  0,  và 0  cl (Θ). Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 12 Ta biết rằng C là cơ sở bị chặn nếu và chỉ nếu int  C    Ø. Khi bỏ giả thiết nón thứ tự có một cơ sở bị chặn, ta mở rộng được kết quả của Borwein và Zhuang cho trường hợp  bán dưới trơn (semi-subsmooth) tại a (khái niệm này được định nghĩa ở dưới). Giả sử  là bán dưới trơn tại a. Chúng ta sẽ chứng minh rằng các mệnh đề sau tương đương: (i) a  SEL  , C  . (ii) Tồn tại M,   (0, ) sao cho x  a  M  y  d  x,    với bất kỳ  x, y   B  a,   X với x  a C y trong đó d  x,    inf  x  u : u . (iii) 0  int  C   N c  , a   . Trong trường hợp  lồi ta chứng minh các phát biểu sau là tương đương: (i) a  SEL  , C  . (ii) a  SE  , C  . (iii) Tồn tại hằng số M > 0 sao cho x  a  M  y  d  x,    với bất kỳ  x, y   X  X với x  a C y . (iv) 0  int  C   N c  , a   . Giả sử X là không gian Banach được trang bị thứ tự bộ phận bởi một nón lồi đóng C. Với một tập con đóng A của X và a  A, giả sử T  A, a  và là nón tiếp liên của A tại a: T  A, a  : {h  X : tn  0, hn  h với a  tn hn  A ta biết rằng Tc  A, a  là một nón lồi đóng trong X còn T  A, a  là một nón đóng có thể không lồi. Giả sử Nc  A, a  là nón pháp tuyến Clarke của A tại a. Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 13 Như vậy,   Tc  A, a  = h  X : x* , h  0, x*  Nc  A,a  . Hàm f (1.9) được gọi là hàm chính thường nếu dom f  Ø và f  x     x  D  . Giả sử f : X  R   là hàm nửa liên tục dưới, chính thường và  c f  x  là dưới vi phân Clarke của f tại x (với f  x    ), tức là,    c f  x  := x*  X * :  x* , 1  Nc  epi( f  ,  x, f  x  , trong đó epi  f  :  u, t   X  R : f  u   t (xem 1 ). Nếu f là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X ( f : X  R ), dưới vi phân Clarke của f tại x được xác định bởi      c f  x   x*  X * : x* , u  f 0 x, u , u  X , trong đó f 0  x; u  là đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x theo phương u: f 0  x; u   lim yx t 0 f ( y  tu )  ( y) . t Nếu f là hàm giá trị thực mở rộng, nửa liên tục dưới thì  c f  x  là tập con đóng yếu * trong X * ,  c f  x  có thể rỗng và có thể không compact. Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số L thì  c f  x  khác rỗng, lồi, compact yếu * và   L (  c f  x  ). Hơn nữa, với mọi v  X , f 0  x, v   max   , v :   c f  x  (xem [2]). Nếu A và f là lồi, thì ta biết rằng   Nc  A, a  := x*  X * : x* ,a  x  0, x  A (1.10) Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 14 và    c f  x  := x*  X * : x* ,u  x  f  u   f  x  , u  X . (1.11) 1.2.5. Định nghĩa Tập A là chính quy gần kề tại a nếu tồn tại  ,   0 sao cho x1, x2  A  B  a,  và xi*  Nc  A, xi   BX * , i 1,2 , ta có 2 x2*  x1* , x2  x1   x2  x1 . Mới đây, Aussel, Daniilidis và Thibault đã đưa vào nghiên cứu khái niệm dưới trơn (subsmoothness), bán dưới trơn (semi - subsmoothness). 1.2.6. Định nghĩa Tập A là dưới trơn tại a  A nếu với bất kỳ   0,   0 sao cho x1, x2  A  B  a,  và xi*  Nc  A, xi   BX * , i 1,2 , ta có x2*  x1* , x2  x1   x2  x1 . 1.2.7. Định nghĩa Tập A là bán dưới trơn tại a  A nếu với bất kỳ   0,   0 sao cho x  A  B  a,  , a*  N c  A, a   BX * và x*  Nc  A, a   BX * , ta có x*  a* , x  a   x  a . Rõ ràng là: Tính lồi  tính chính quy gần kề  tính dưới trơn  tính bán dưới trơn. 1.2.8. Định nghĩa Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn