Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Luận văn một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp ...

Tài liệu Luận văn một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

.PDF
55
124
78

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Vũ Vinh Quang Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu 1 Danh sách bảng 2 Danh sách hình vẽ 3 Mở đầu 4 1 Một số kiến thức cơ bản 1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm . . 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . 1.2 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm . . . 1.3 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo . . . . . . . 1.4 Phương pháp lưới giải bài toán biên cho phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 10 12 2 Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu 16 2.1 Cơ sở lý thuyết về phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Phương pháp Euler 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Phương pháp Euler 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Thuật toán RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Phương pháp Runge-Kutta đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Phương pháp Runge-Kutta đối với phương trình vi phân cấp cao 21 2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ii 3 Phương pháp lặp giải mô hình các bài cấp 4 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Nghiên cứu các tính chất của nghiệm . . 3.3 Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp . . . . 3.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . 3.3.2 Sơ đồ lặp tìm nghiệm số . . . . . 3.3.3 Một số kết quả thực nghiệm . . . toán biên phi tuyến 26 . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo chính 45 iii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS. Vũ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề... nhờ đó tôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình. Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin và đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ. Những người luôn động viên, chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Ngô Thị Thu Hương 1 Bảng ký hiệu R R+ R ∪ {±∞} Rn Ωh C 1 [0; L] A∪B A∩B hx, yi [x, y] l2 f (n) ∆a Trường số thực. tập số thực không âm tập số thực mở rộng Không gian Euclide n-chiều. Không gian lưới. Không gian của hàm có đạo hàm liên tục. hợp của hai tập A và B giao của hai tập A và B tích vô hướng của hai véc-tơ x, y ∈ H đoạn thẳng nối x và y không gian các dãy số vô hạn đạo hàm cấp n sai số tuyệt đối của a 2 Danh sách bảng 2.1 2.2 Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m . . . . . . . . . . 24 Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m . . . . . . . . . . 25 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Trường Trường Trường Trường Trường hợp hợp hợp hợp hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) . . . . . . biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) . . . . . . không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi_xx.m) biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tq.m) . . . . . . . không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tp_xx.m) 37 38 39 40 42 3 Danh sách hình vẽ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ thị thị thị thị thị sai sai sai sai sai số số số số số giữa giữa giữa giữa giữa nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm đúng đúng đúng đúng đúng và và và và và nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm gần gần gần gần gần đúng đúng đúng đúng đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 39 41 43 4 Mở đầu Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phương trình cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng đối với các bài toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định. Về mặt lý thuyết tổng quát của lớp phương trình này đã được các nhà toán học nghiên cứu từ rất lâu, tuy nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích của các phương trình này chỉ thực hiện được đối với các phương trình dạng đặc biệt còn chủ yếu là phải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp gần đúng. Đối với phương trình vi phân cấp 2, với các bài toán điều kiện đầu, người ta đã xây dựng các phương pháp giải số dựa trên công thức Runge-Kutta với độ chính xác bậc 4, đối với bài toán biên với hệ điều kiện biên hỗn hợp, sử dụng phương pháp sai phân, chúng ta có thể đưa về hệ phương trình đại số dạng 3 đường chéo và hệ giải được bằng thuật toán truy đuổi. Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc 4, bằng phương pháp phân rã, chúng ta có thể đưa về 2 bài toán cấp hai để xác định nghiệm thông qua các thuật toán đã biết. Tuy nhiên khi phương trình là dạng phi tuyến hoặc điều kiện biên là phi tuyến thì để tìm nghiệm xấp xỉ, chúng ta cần phải xây dựng các sơ đồ lặp tùy từng dạng bài toán để xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán. Nội dung của luận văn là tìm hiểu một số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháp lặp đối với một số dạng bài toán cho phương trình cấp 4 với hệ điều kiện biên dạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp và kiểm tra tính đúng đắn của các sơ đồ lặp trên máy tính điện tử. Nội dung luận văn chia làm 3 chương Chương 1: Một số kiến thức cơ bản. 5 Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu. Chương 3: Phương pháp lặp giải mô hình các bài toán biên phi tuyến cấp 4. 6 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả lý thuyết về các sơ đồ lặp, phương pháp sai phân đối với phương trình vi phân cấp 2 và thuật toán truy đuổi 3 đường chéo. Những kết quả này là những kiến thức bổ trợ cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2 và chương 3. Các kết quả lý thuyết được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3]. 1.1 1.1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Tập X của các phần tử x, y, z . . . được gọi là không gian metric nếu như với mọi phần x, y bất kì đều tương ứng với với 1 số không âm d(x,y) thỏa mãn các điều kiện sau: + d(x,y)>0, d(x,y)=0 khi và chỉ khi x=y + d(x,y)=d(y,x) + d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y). Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa 2 phần tử x và y hay thường gọi là metric. Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn }được gọi là 1 dãy cơ bản nếu ∀ε > 0, đều tồn tại số N > 0 sao cho với mọi m,n>N ta đều có d(xn , xm ) ≤ ε. Nếu bất kì một dãy cơ bản nào trong không gian X đều hội tụ đến phần tử thuộc X thì X được gọi là không gian đủ. 1.1.2 Ánh xạ co Định nghĩa 1.1.3 Một ánh xạ A từ không gian metric (X,d) vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số q ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X, 7 d(A(x), A(y)) < qd(x, y). Khi đó hằng số q được gọi là hệ số co của ánh xạ A. 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co Cho A là ánh xạ co trong không gian metric đủ (X, d). Khi đó: • Tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho A(x∗ ) = x∗ . Phần tử x∗ ∈ X gọi là điểm bất động của ánh xạ A. • Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn ), (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ. Ngoài ra ta có ước lượng sau d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 ) d(xn , x∗ ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn ) 1.2 1.2.1 (n ≥ 1), (n ≥ 1). Phương pháp sai phân Lưới sai phân Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài b−a h= bởi các điểm xi = a + ih, i = 0, 1, ..., N . Khi đó tập các điểm xi gọi N là một lưới sai phân trên [a, b] ký hiệu là Ωh , mỗi điểm xi gọi là một nút của lưới, h gọi là bước đi của lưới. 1.2.2 Hàm lưới Xét hàm số u(x) xác định trên đoạn [a,b], khi đó tập giá trị của hàm trên các điểm lưới được gọi là hàm lưới ui = u (xi ). 1.2.3 Công thức Taylor Giả sử u(x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trong một khoảng (α, β) chứa x và x + ∆x, ∆x có thể âm hay dương. Khi đó ta có công thức khai triển: (∆x)2 00 u(x + ∆x) = u(x) + ∆xu (x) + u (x) + ... 2! (∆x)m (m) (∆x)m+1 (m+1) ... + u (x) + u (c). m! (m + 1)! 0 trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x+∆x. Có thể viết c = x+θ∆x với 0 < θ < 1. Ta giả thiết thêm: (m+1) (x) ≤ M = const, x ∈ [α, β] . u 8 (∆x)(m+1) (m+1) Khi đó u (c) là một vô cùng bé khi ∆x → 0. Tức là tồn tại (m + 1)! hằng số K > 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho: (∆x)(m+1) (m+1) u (c) ≤ K(∆x)(m+1) (m + 1)! . Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:   (∆x)2 00 (∆x)m m (m+1) . u(x+∆x) = u(x)+∆xu (x)+ u (x)+...+ u (x)+O (∆x) 2! m! 0 1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm Xét không gian lưới Ωh với bước lưới h = b−a , chúng ta xét công thức N khai triển Taylo tổng quát đối với hàm u(x): h2 00 h3 (3) h(4) (4) u(x ± h) = u(x) ± hu + u ± u + u + .. + O(hn ). 2 6 24 0 Xuất phát từ công thức Taylo dừng với 3 số hạng khai triển, chúng ta nhận được các công thức xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác cấp 1 và cấp 2 như sau: u0 (xi ) = u00 (xi ) = ui+1 − ui + O(h). h ui+1 − ui−1 + O(h2 ). 2h Nếu sử dụng công thức khai triển Taylo với 6 số hạng khai triển, chúng ta thu được các công thức ui+1 h2 00 h3 (3) h4 (4) h5 (5) h6 (6) u + u + O(h6 ). = ui + hui + ui + ui + ui + 2 6 24 120 i 720 i 0 0 ui−1 = ui − hui + h2 00 h3 (3) h4 (4) h5 (5) h6 (4) ui − ui + ui − ui + ui + O(h6 ). 2 6 24 120 720 Từ đây suy ra ui+1 + ui−1 h4 (4) h6 (6) = 2ui + h ui + ui + ui + O(h6 ). 12 360 2 00 9 hay 00 ui = ui−1 − 2ui + ui+1 h2 (4) h4 (6) − u − ui + O(h4 ). i 2 h 12 360 Vậy ta có lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 6 h2 (4) h4 (6) ui−1 − 2ui + ui+1 (2) = ui + ui + u ; i = 1, 2, ..., n − 1. h2 12 360 i Với hàm f (x) tùy ý, ta cần xác định các đạo hàm các cấp thông qua giá trị hàm tại các mốc nội suy. Sử dụng kết quả của đa thức nội suy Lagrange, ta có f (m) (xi ) = n X (m) f (xk )Lk (xi ) + R(xi ); i = 0, 1, ..., n. k=0 Trong đó độ chính xác của khai triển càng cao khi số mốc nội suy càng lớn. Như vậy các đạo hàm của hàm tại điểm xi được tính qua các giá trị hàm tại các điểm xk với độ chính xác bậc cao. Bằng tính toán cụ thể, ta có các công thức sau đây Đạo hàm cấp 1 1 (−25f0 + 48f1 − 36f2 + 16f3 − 3f4 ) + O(h4 ), 12h 1 f 0 (xn ) = (25fn − 48fn−1 + 36fn−2 − 16fn−3 + 3fn−4 ) + O(h4 ). 12h f 0 (x0 ) = Đạo hàm cấp 2 f 00 (x0 ) = 1 (35f0 − 104f1 + 114f2 − 56f3 + 11f4 ) + O(h2 ), 2 12h f 00 (x1 ) = 1 (11f0 − 20f1 + 6f2 + 4f3 − f4 ) + O(h2 ), 12h2 f 00 (xk ) = 1 (−fk−2 + 16fk−1 − 30fk + 16fk+1 − fk+2 ) + O(h2 ), 12h2 f 00 (xn−1 ) = 1 (11fn − 20fn−1 + 6fn−2 + 4fn−3 − fn−4 ) + O(h2 ), 12h2 10 f 00 (xn ) = 1 (35fn − 104fn−1 + 114fn−2 − 56fn−3 + 11fn−4 ) + O(h2 ), 2 12h Đạo hàm cấp 4 f (4) (x0 ) = 1 (f0 − 4f1 + 6f2 − 4f3 + f4 ) + O(h), h4 f (4) (x1 ) = 1 (f0 − 4f1 + 6f2 − 4f3 + f4 ) + O(h), h4 f (4) (xk ) = 1 (fk−2 − 4fk−1 + 6fk − 4fk+1 + fk+2 ) + O(h), h4 f (4) (xn−1 ) = f (4) (xn ) = 1 (fn − 4fn−1 + 6fn−2 − 4fn−3 + fn−4 ) + O(h), h4 1 (fn − 4fn−1 + 6fn−2 − 4fn−3 + fn−4 ) + O(h). h4 Các công thức tính xấp xỉ đạo hàm trên sẽ được sử dụng để xây dựng các lược đồ sai phân giải các phương trình vi phân. 1.3 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo Xét hệ phương trình:    C1 x1 + B1 x2 = f1 . Ai xi−1 + Ci xi + Bi xi+1 = fi ; (i = 1, 2, ..., n − 1).  A x = fn . n n−1 + Cn xn Có hệ ma trận:  C1 B1 0 ... 0 0   A2 A2 B2 ... 0 0  A=   ............................................................ 0 0 0 ... Cn−1 Bn−1  0 0 0 ... An Cn dạng 3 đường chéo. 0 X = (x0 , x1 , ..., xn ) : ẩn phải tìm; 0 D = (f0 , f1 , ..., fn ) : cột vế phải.         (1.1) 11 Các hệ số của ma trận 3 đường chéo cần thỏa mãn các điều kiện sau đây: |Ci | ≥ |Ai | + |Bi | , i = 1, 2, ..., n. trong đó tồn tại ít nhất một bất đẳng thức chặt. Hệ phương trình trên được gọi là hệ 3 đường chéo. Đối với hệ dạng đặc biệt này, chúng ta có thể tìm nghiệm của hệ bằng thuật toán sau đây. Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo Ta đi tìm nghiệm của hệ (1.1) trong dạng: xi = αi+1 xi+1 + βi+1 ; i = 0, 1, 2, ..., n − 1, (1.2) trong đó αi+1 , βi+1 được tìm từ điều kiện ràng buộc (1.2), là nghiệm của hệ (1.1). Thay (1.2) vào (1.1) và sử dụng đẳng thức: xi−1 = αi xi + βi = αi (αi+1 xi+1 + βi+1 ) + βi . ta được: [αi+1 (αi Ai − Ci ) + Bi ] xi+1 + [(αi Ai − Ci ) Bi+1 + βi Ai + di ] = 0. Đẳng thức này đúng ∀i = 1, 2, ..., n − 1 nên: αi+1 (αi Ai − Ci ) + βi = 0, (αi Ai − Ci ) Bi+1 + βi Ai + di = 0. Từ đó ta có công thức truy hồi: αi+1 = Bi+1 = βi , (Ci − αi Ai ) βi Ai + di ; i = 1, 2, ..., n − 1. (Ci − αi Ai ) Để có các hệ số đó, ta cần xác định α1 , β1 ; Do phương trình đầu tiên: −C0 x0 + B0 x1 = −d0 . B0 d0 hay: x0 = x1 + = α1 x1 + β1 có dạng (1.2). C0 C0 B0 d0 Nghĩa là: α1 = , β1 = . C0 C0 Nhưng để tính theo công thức (1.2), ta cần có xn . Ẩn xn sẽ được tìm nhờ 12 phương trình cuối cùng của hệ (1.1) An xn+1 − Cn xn = −dn . Lại theo (1.2) ta có: xn−1 = αn xn + βn . βn An + dn . C n − An αn Như vậy nghiệm của hệ (1.1) được tìm theo công thức  Bi Ai βi + di   αi+1 = ; βi+1 = ; i = 1, 2, ..., n − 1,   C − α A C − α A i i i i i i     α = B0 ; β = d0 , 1 1 Co Co   xi = αi+1 xi+1 + βi+1 ; i = 1, 2, .., n − 1,     β A + dn   xn = n n . Cn − An αn Loại trừ xn−1 từ hệ này, ta suy ra được: xn = (1.3) Xuất phát từ các công thức trên, thuật toán truy đuổi 3 đường chéo được thực hiện bằng thuật toán sau đây: Thuật toán B1 f1 Bước 1: Xuất phát từ α1 = − , β1 = , xác định tất cả các giá trị C1 C1 αi , βi , ∀i = 2, 3, ..., n theo công thức: αi+1 = Bi Ai βi + di ; βi+1 = ; i = 1, 2, ..., n − 1. Ci − αi Ai C i − αi Ai Bước 2: Xuất phát từ xn = βn An + dn , xác định tất cả các xi , i = Cn − An αn n − 1, n − 2, ..., 1, theo công thức: xi = αi+1 xi+1 + βi+1 ; i = 1, 2, .., n − 1, Chúng ta có thể thấy rằng độ phức tạp của thuật toán là O(n). 1.4 Phương pháp lưới giải bài toán biên cho phương trình cấp 2 Xét bài toán biên u00 = f (x), x ∈ [a, b], α0 u(a) − α1 u0 (a) = A, β0 u(b) + β1 u0 (b) = B. α0 , α1 , β0 , β1 ≥ 0, α02 + α12 > 0, A, B là các hằng số tùy ý. (1.4) 13 Thuật toán thông thường Sử dụng các công thức sai phân với độ chính xác cấp 2, ta có ui+1 − 2ui + ui−1 + O(h2 ), h2 u1 − u0 un−1 − un 0 0 u0 = + O(h), un = + O(h). 2h −h u00 = Khi đó (1.4) được đưa về hệ phương trình sai phân sau đây   = 2hA,  (2hα0 + α1 )u0 − α1 u1 ui+1 − 2ui + ui−1 = h2 fi ,   −β u 1 n−1 + (2hβ0 + β1 )un = 2hB. (1.5) Hệ phương trình (1.5) có dạng hệ truy đuổi 3 đường chéo có tính chất chéo trội, do đó giải được bằng thuật toán truy đuổi với độ phức tạp O(n). Do phương pháp sai phân của các đạo hàm nên độ chính xác chỉ là O(h). Thuật toán với độ chính xác bậc cao Sử dụng các công thức xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao, ta thu được ui+1 h2 00 h3 (3) h4 00 h6 (4) h5 (5) = ui + hui + ui + ui + fi + u + f + O(h6 ), 2 6 24 120 i 720 i ui−1 h2 00 h3 (3) h4 00 h5 (5) h6 (4) = ui − hui + ui − ui + fi − ui + fi + O(h6 ). 2 6 24 120 720 0 0 Hay 00 ui = h4 (4) ui−1 − 2ui + ui+1 h2 00 − f − fi + O(h4 ). i 2 h 12 360 Vậy ta có lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 6 ui−1 − 2ui + ui+1 h2 00 h4 (4) = fi + fi + f ; i = 1, 2, ..., n − 1 h2 12 360 i Sử dụng các công thức đạo hàm cấp 1 để sai phân hệ điều kiện biên của bài toán, ta thu được hệ phương trình sai phân với độ chính xác cấp 4 như 14 sau: α1 (−25u0 + 48u1 − 36u2 + 16u3 − 3u4 ) = A, 12h h6 (4) h4 00 f ; i = 1, 2, ..., n − 1, ui−1 − 2ui + ui+1 = h2 fi + fi + 12 360 i β1 β0 un + (25un − 48un−1 + 36un−2 − 16un−3 + 3un−4 ) = B. 12h α0 u0 − Ta thu được hệ đại số tuyến tính AU = F           A=         a00 a01 a10 a11 0 a21 0 0 0 0 ... a02 a03 a04 a12 0 0 a22 a23 0 a31 a32 a33 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... (1.6)  an−3n−4 an−3n−3 an−4n−3 0 0 0 an−2n−3 an−2n−2 an−2n−1 0 0 0 an−1n−2 an−1n−1 an−1n ann−4 ann−3 ann−2 ann−1 ann                   U = (u0 , u1 , ..., un )T ; F = (F0 , F1 , ..., Fn )T Hệ phương trình sai phân (1.3) chính là hệ phương trình sai phân tương ứng với bài toán biên cho phương trình vi phân (1.1) với độ chính xác cấp 4. Trong trường hợp khi điều kiện biên có dạng Dirichlet u(a) = A; u(b) = B thì ta thu được lược đồ sai phân với đội chính xác cấp 6 (do không phải sai phân điều kiện biên). Bởi vì ma trận A của hệ không phải dạng 3 đường chéo, do đó hệ không giải được bằng thuật toán truy đuổi. Nhận xét: Có thể thấy rằng qua một số hữu hạn phép biến đổi thì ta có thể chuyên hệ ban đầu về dạng 3 đường chéo với các hệ số được xác định bởi các công thức: α1 α1 a00 = α0 + ; a01 = − ; h h ai−1i = 1; aii = −2; aii+1 = 1; i = 1, 2, ..., n − 1, β1 β1 an−1n = ; ann = β0 + . h h 15 Do điều kiện α0 , α1 > 0, β0 , β1 ≥ 0 do đó các hệ số của hệ thỏa mãn tính chất |a00 | > |a01 | , |ann | > |an−1n | , |aii | = |aii−1 | + |aii+1 | , ∀i = 1, 2, ..., n − 1. Tức là hệ thu được là hệ 3 đường chéo có tính chất chéo trội và hệ sẽ giải được bằng thuật toán 3 đường chéo với độ phức tạp tính toán O(n). Kết luận Nội dung chính của chương 1 trình bày các lý thuyết cơ bản về không gian metric, nguyên lý ánh xạ co và cơ sở của các phương pháp sai phân, xấp xỉ đạo hàm dựa trên khai triển Taylo tổng quát. Các kết quả này chính là cơ sở để nghiên cứu các nội dung trong các chương tiếp theo của luận văn.
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan