Tài liệu Luận văn ma trận và hệ truy hồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————o0o——————– NGÔ THỊ HƯỜNG MA TRẬN VÀ HỆ TRUY HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ HÀ NỘI - 2014 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Một số kiến thức về ma trận 1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Phép cộng hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Phép nhân các phần tử trường K với ma trận . . . 1.2.3 Phép nhân hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Vành ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Phương trình đặc trưng của ma trận . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến 1.5.2 Đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Giá trị riêng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ma 2.1 2.2 2.3 2 4 5 . . 5 . . 6 . . 6 . . 6 . . 6 . . 7 . . 9 . . 10 tính 10 . . 11 . . 15 . . 16 trận và hệ truy hồi Xét dãy số qua phép nhân ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . Ứng dụng định lí Cayley - Hamilton vào dãy số . . . . . . . . . Xét dãy số qua chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 27 31 3 Xây dựng bài toán mới cho dãy số 3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Xây dựng bài toán mới về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 46 47 4 Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi 4.1 Hệ truy hồi qua cấp số nhân . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Phương pháp cấp số nhân để xét dãy số . 4.1.2 Chuyển dãy truy hồi phức tạp về dãy đơn 4.2 Xét dãy số qua đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 53 62 69 74 75 1 . . . . . . giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ma trận và hệ truy hồi LỜI NÓI ĐẦU Các vấn đề liên quan đến dãy số là một bộ phận quan trọng của giải tích và đại số, đặc biệt là một phần quan trọng không thể thiếu trong toán học phổ thông. Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về dãy số...Các học sinh và sinh viên cũng thường xuyên phải đối mặt với nhiều bài toán khó liên quan đến dãy số. Các bài toán liên quan đến dãy số rất phong phú và đa dạng, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế và các kì Olympic. Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả chỉ đề cập đến một phần nhỏ của lý thuyết dãy số là các dãy và hệ các dãy dạng truy hồi tuyến tính. Một hệ truy hồi dù tuyến tính, nhưng để giải được nó bằng các bước biến đổi sơ cấp là rất phức tạp, thậm chí đưa bài toán về việc giải một phương trình bậc cao không đơn giản. Bằng việc biểu diễn một hệ truy hồi tuyến tính dưới dạng phương trình ma trận, ta đã làm đơn giản hóa đáng kể bài toán, đưa đến việc tính toán trên các ma trận. Luận văn này tác giả cũng nhằm đáp ứng nhu cầu tự bồi dưỡng, học cách lý luận, cách mở rộng tự nhiên của một vấn đề từ đơn giản đến phức tạp, để từ đó hiểu và ứng dụng được một vấn đề sâu sắc, mạch lạc và có trình tự hơn. Bố cục của luận văn gồm bốn chương: - Chương 1: Một số kiến thức về ma trận. Nội dung của chương này là nhắc lại một số kiến thức về ma trận: Khái niệm, các phép toán ma trận, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận; hàm ma trận và giá trị riêng của hàm ma trận. - Chương 2: Ma trận và hệ truy hồi. Trong chương này, luận văn đề cập đến việc biểu diễn một hệ truy hồi tuyến tính dưới dạng ma trận, và sử dụng các phép biến đổi ma trận để giải toán. Luận văn cũng đề cập thêm đến các hệ thức truy hồi phi tuyến ma không thể dùng ma trận để giải. - Chương 3: Xây dựng bài toán mới cho dãy số. Chương này, luận văn đề cập đến việc xây dựng bài toán mới về dãy số từ các bài toán đã 2 Ma trận và hệ truy hồi biết nhờ các kiến thức của hàm ma trận. - Chương 4: Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi. Phần này, luận văn đề cập đến hai phương pháp: giải hệ truy hồi qua cấp số nhân và xét dãy số qua đồng cấu. 3 Ma trận và hệ truy hồi LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đàm Văn Nhỉ. Thầy đã giành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, cùng các bạn học viên đã nhận xét và đóng góp ý kiến cho bản luận văn. Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, đông viên và cổ vũ tạo diều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 4 Chương 1 Một số kiến thức về ma trận 1.1 Khái niệm Giả sử X là một tập, m và n là các số nguyên dương. Ma trận A cỡ m × n với các phần tử thuộc tập X là một họ m × n phần tử aij ∈ X, trong đó i = 1, 2, ..., m gọi là chỉ số hàng; j = 1, 2, ..., n gọi là chỉ số cột. Ma trận A thường được ký hiệu   a11  a21 a12 a22 ... ... am1 am2 ... ... A =  .. . .. . a1n a2n  ..  . amn hay được viết gọn dưới dạng A = (aij )m×n . Ma trận cỡ 1 × n gọi là ma trận hàng, ma trận cỡ m × 1 gọi là ma trận cột. Ma trận cỡ n × n gọi là ma trận vuông cấp n hay ma trận cấp n. Trong ma trận vuông A = (aij )n×n dãy các phần tử a11 , a22 , ..., ann gọi là đường chéo chính của ma trận A. Ma trận đơn vị là ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận đơn vị thường được ký hiệu là E.  1 0 E= ... 0 0 ... 1 ... ... ... 0 ...  0 0 . . . 1 0 Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij )m×n là ma trận A = (a0ij )m×n trong 0 đó aij = aij với mọi i = 1,2,..,m và j=1,2,...,n. 5 Ma trận và hệ truy hồi Ma trận chuyển vị At nhận được từ ma trận A bằng cách chuyển cột thành hàng và chuyển hàng thành cột. Ma trận vuông A = (aij )n×n gọi là ma trận đối xứng nếu At = A, tức là aij = aji với mọi i = 1,2,..,m và j=1,2,...,n. 1.2 Các phép toán ma trận Cho K là một trường, Ký hiệu tập Mm×n [K] là tập các ma trận cỡ m × n với các phần tử thuộc trường K. Trong tập Mm×n [K] ta định nghĩa các phép toán sau 1.2.1 Phép cộng hai ma trận Giả sử hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )m×n , ta định nghĩa A + B = (aij + bij )m×n 1.2.2 Phép nhân các phần tử trường K với ma trận Giả sử λ ∈ K, A = (aij )m×n , ta định nghĩa λA = (λaij )m×n 1.2.3 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )n×l , ta định nghĩa tích hai ma trận A và B là ma trận C = AB = (cij )m×l P trong đó cij = nk=1 aik bkj . Như vậy tich hai ma trận AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Đối với các ma trận có cỡ thích hợp, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau • A + B = B + A. • λ(A + B) = λA + λB . • A + O = A (O là ma trận không). 6 Ma trận và hệ truy hồi • OA=O, AO = O. • A(B+C) = AB + AC, (B+C)A = BA + CA. • (AB)C = A(BC). • (At )t = A, kí hiệu At là ma trận chuyển vị của A. • (A + B)t = At + B t . • (AB)t = B t At . • AE = EA = A; Ar E = EAr = Ar . • Ar As = As Ar = Ar+s . • Ar (αAs + βAp ) = αAr+s + βAr+p với α, β ∈ K Ký hiệu Mn [K] là tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc trường K. Từ các tính chất trên ta thấy Mn [K] với phép cộng và phép nhân ma trận là một vành có đơn vị E, được gọi là vành các ma trận vuông cấp n trên trường K. Với n ≥ 2 thì vành Mn [K] không giao hoán. 1.3 Vành ma trận Xét vành đa thức một biến K[x] trên trường K . Giả sử đa thức f (x) thuộc vành K[x] có dạng f (x) = as xs + as−1 xs−1 + ... + a1 x + a0 , và cho A là ma trận vuông cấp n. Ta định nghĩa f (A) = as As + as−1 As−1 + ... + a1 A + a0 E trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận vuông A. Từ các phép toán về ma trận ở trên ta suy ra được các kết quả sau Định lý 1.3.1. Với hai đa thức f và g thuộc vành đa thức K[x] và ma trận vuông A ta luôn có 1. Nếu f = g thì f(A) = g(A). 2. (f+g)(A) = f(A)+g(A). 3. (fg)(A) = f(A)g(A) = g(A)f(A) = (gf)(A). 4. (αf )(A) = αf (A) với α bất kì thuộc trường K. 7 Ma trận và hệ truy hồi Ký hiệu K[A] = f (A)|f ∈ K[x], A ∈ Mn [K]. Từ định lí (1.3.1) ta suy ra kết quả sau Định lý 1.3.2. Tập các ma trận K[A] tương ứng với hàm f ∈ K[x] cùng với phép cộng, nhân các ma trận và nhân ma trận với một sô lập thành một vành giao hoán có đơn vị E. Mệnh đề 1.3.1. Tương ứng φ : K[x] → K[A], f (x) 7→ f (A) là một toàn cấu với Ker(φ) 6= 0 Chứng minh. Theo định lí (1.3.1), ta có φ(f + g) = (f + g)(A) = f (A) + g(A) = φ(f ) + φ(g) φ(f g) = (f g)(A) = f (A)g(A) = φ(f )φ(g). Do đó φ là một đồng cấu. Và với ma trận vuông A ∈ Mn [K] bất kì thì ma trận f (A) = as As + as−1 As−1 + ...+a1 A+a0 E sẽ có tương ứng đa thức f (x) = as xs +as−1 xs−1 +...+a1 x+a0 ∈ K[x] để φ(f ) = f (A). Do vậy φ là một toàn cấu. Vì tập tất cả các ma trận vuông cấp n Mn [K] trên trường K là một không gian vectơ n2 chiều nên tất cả các tập có nhiều hơn n2 các ma trận vuông cấp n đều phụ thuộc tuyến tính. Như vậy môt hệ gồm s + 1 các ma trận As , As−1 , ..., A, E với s ≥ n2 + 1 là một hệ phụ thuộc tuyến tính. Tức là tồn tại các số as , as−1 , ..., s1 , s0 không đồng thời bằng 0 để as As + as−1 As−1 + ... + a1 A + a0 E = 0. Vậy tồn tại đa thức khác không f (x) = as xs + as−1 xs−1 + ... + a1 x + a0 với s ≥ n2 + 1 mà f (A) = 0. Từ đó suy ra Ker(φ) 6= 0. Hệ quả 1.3.1. Ta có K[A] ∼ = K[x]/(F ) Chứng minh. Vì φ : K[x] → K[A], f (x) 7→ f (A) là một toàn cấu với Ker(φ) = (F ) 6= 0 nên ta có K[A] ∼ = K[x]/Ker(φ) = K[x]/(F ) Vì K[x] là vành các iđêan chính nên có duy nhất một đa thức bậc thấp nhất m(x) = xd + a1 xd−1 + ... + ad ∈ K[x] để Ker(φ) = (m(x)). m(x) gọi là đa thức tối thiểu của ma trận A. 8 Ma trận và hệ truy hồi 1.4 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.4.1. Ma trận vuông B cấp n được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n nếu AB = BA = E . Ma trận nghịch đảo B thường được ký hiệu là A−1 . Khi đó A gọi là ma trận khả nghịch. Giả sử ma trận vuông A = (aij )n×n , gọi Mij là định thức con cấp n - 1 của ma trận A sau khi đã bỏ đi hàng i và cột j. khi đó Aij = (−1)i+j .Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A. Xét ma trận  A11 A21  A12 A22 ∗ A = ... ... A1n A2n  ... An1 ... An2  ... ...  ... Ann Ma trận A∗ gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Dễ thấy n X cij = Aki akj = δ|A|. k=1 Do đó A∗ A = AA∗ = |A|E. Vậy nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo A−1 được tính theo công thức A−1 = 1 ∗ A . |A| Bổ đề 1.4.1. Ma trận vuông A có nghịch đảo A−1 khi và chỉ khi |A| = 6 0 Chứng minh. Giả sử A có ma trận nghịch đảo A−1 thì AA−1 = E . Khi đó 1 = |E| = |AA−1 | = |A||A−1 | Vậy |A| = 6 0 Ngược lại nếu |A| = 6 0 thì A khả nghịch và A−1 = Chẳng hạn, ta xét ma trận thực ! A= 1 2 0 0 3 1 0 1 2 9 1 ∗ A . |A| Ma trận và hệ truy hồi Ta có    1 2 0   3 1  = 5 6= 0. |A| = 0 3 1 =  1 2 0 1 2 Vậy ma trận A khả nghịch. ta tính các phần bù đại số của các phần tử của ma trận A. A11 = 5, A12 = 0, A13 = 0 A21 = −4, A22 = 2, A23 = −1 A31 = 2, A32 = −1, A33 = 3 Ta có  1 −1 A 1 = 5 ! 5 −4 2 0 2 −1 0 −1 3 −4 5 1.5.1       −1 2  0  = 5 5      −1 3   0 5 1.5 2 5  5 Phương trình đặc trưng của ma trận Giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính Phần tử λ của trường K được gọi là giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính ϕ trong K - không gian vectơ V, nếu trong không gian V tồn tại vectơ u 6= 0 sao cho hệ thức sau đây thỏa mãn ϕ(u) = λu Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính ϕ ứng với giá trị riêng λ. Định lý 1.5.1. Các véc tơ riêng của cùng một phép biến đổi tuyến tính ứng với các giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính Chứng minh. Giả sử u1 , u2 , ..., uk là các vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f trong K - không gian vectơ V ứng với các giá trị riêng khác nhau λ1 , λ2 , ..., λk . Ta chứng minh hệ u1 , u2 , ..., uk theo phương pháp qui nạp . Với k = 1, vì u1 6= 0 nên hệ u1 độc lập tuyến tính. Với k>1, giả sử định lý đúng với k - 1, ta chứng minh định lý đúng với k. Giả sử, ta có tổ hợp tuyến tính tầm thường a1 u1 + ... + ak uk = 0. 10 Ma trận và hệ truy hồi Từ đây nhân hai vế với λk và tác động ϕ vào hai vế ta thu được hai đẳng thức sau λk a1 u1 + ... + λk ak uk = 0 λ1 a1 u1 + ... + λk ak uk = 0. Từ đó suy ra a1 (λk − λ1 )u1 + ... + ak−1 (λk − λk−1 )uk−1 = 0. Theo giả thiết qui nạp, hệ vectơ u1 , u2 , ..., uk−1 độc lập tuyến tính nên a1 (λk − λ1 ) = ... = ak−1 (λk − λk−1 ). Vì λk 6= λi , i = 1, 2, ..., k − 1 nên a1 = ... = ak−1 = 0. Theo a ta có ak uk = 0, vì uk 6= 0 nên ak = 0. Vậy hệ vectơ riêng u1 , u2 , ..., uk đọc lập tuyến tính. 1.5.2 Đa thức đặc trưng Giả sử ϕ là một phép biến đổi tuyến tính trong K - không gian vectơ n chiều V, và A = (a)n×n là ma trận của ϕ đối với cơ sở u1 , ..., un . P Ta giả thiết vectơ u = ni=1 xi ui là một vectơ riêng của phép biến đổi ϕ ứng với giá trị riêng λ. Ta có ϕ(u) = λu λu − ϕ(u) = 0 (λiv − ϕ)(u) = 0, trong đó iv là phép biến đổi đồng nhất của không gian V. Dễ thấy rằng phép biến đổi (λiv − ϕ) đối với cơ sở u1 , ..., un có ma trận là λE − A, như vậy ta có     x1 (λE − A)  ... xn 0  =  ...  . (1.1) 0 Vì u 6= 0 nên để hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1.1) có nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận của hệ đó bằng không. Do đó ta có   λ − a11  a ... a 12 1n    a21 λ − a22 ... a2n  |λE − A| =  =0 (1.2) ... ... ...   ...  an1 an2 ... λ − ann  11 Ma trận và hệ truy hồi Ta xét đa thức biến λ xác định bởi P (λ) = |λE − A| (1.3) Ta thấy rằng đa thức P (λ) chỉ phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính ϕ, không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của không gian V.Đa thức P (λ) = |λE − A| được gọi là đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính ϕ. Đa thức P (λ) = |λE − A| cũng được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A, các nghiệm thuộc trường K của đa thức đó cũng gọi là giá trị riêng của ma trận A. Các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1.1) được gọi là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ. Kết luận: • Phần tử λ ∈ K là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi λ là một nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận A xác định bởi (1.3). • Vectơ u ∈ V là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ khi và chỉ khi các tọa độ của vectơ u là một nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1.1). • Hai ma trận vuông cùng cấp A và B là hai ma trận đồng dạng nếu tồn tại ma trận cùng cấp T sao cho A = T −1 BT . Hai ma trận đồng dạng có cùng một đa thức đặc trưng, do đó có cùng giá trị riêng. Định lý 1.5.2. [Định lí Cayley-Hamilton]. Mỗi ma trận vuông A đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó. Tức là nếu ma trận A có đa thức đặc trưng P (λ) thì P (A) = 0. Chứng minh. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n với đa thức đặc trưng P (x) = |xE − A|. Kí hiệu ma trận phụ hợp của ma trận (xE − A) là (xE − A)adj . Vì các phần tử hàng i cột j của (xE − A)adj là các định thức con cấp n − 1 có đươc do xóa bỏ từ định thức|xE − A| hàng i và cột j nên có thể viết (xE − a)adj dưới dạng (xE − A)adj = Bn−1 xn−1 + Bn−2 xn−2 + ... + B1 x + B0 trong đó Bj , j = 0, .., n−! là các ma trận vuông cấp n. Do (xE − A)adj (xE − A) = (xE − A)(xE − A)adj = p(x)E 12 Ma trận và hệ truy hồi nên (xE − A)(Bn−1 xn−1 + Bn−2 xn−2 + ... + B1 x + B0 ) = p(x)E. Từ đó, ta có hệ  Bn−1 = E     Bn−2 − ABn−1 = δ1 E    Bn−3 − ABn−2 = δ2 E ...     B0 − AB1 = δn−1 E    A B0 = δn E Suy ra  An Bn−1 = An     An−1 Bn−2 − An Bn−1 = δ1 An−1    n−2 n−1 n−2 A Bn−3 − A Bn−2 = δ2 A ...     AB0 − A2 B1 = δn−1 A    A B0 = δn E . Cộng vế với vế tất cả các phương trình trên ta được p(A) = 0. Định lý 1.5.3. Với ma trận vuông cấp n, đa thức m(x)n chia hết cho đa thức đặc trưng p(x) của A. Trong đó m(x) = xr + b1 xr−1 + ... + br là đa thức tối thiểu của ma trận A. Chứng minh. Giả sử đa thức đặc trưng của ma trận A có dạng p(x) = |xE − A| và đặt  B0 = E      B1 = A + b1 E B2 = A2 + b1 A + b2 E   ......    Br−1 = Ar−1 + b1 Ar−2 + ... + br−1 E Từ đó, ta có  E = B0      b1 E = B1 − A b2 E = B2 − A2 − b1 A = B2 − A(A + b1 E) = B2 − AB1   ......    br−1 E = Br−1 − Ar−1 − b1 Ar−2 − ... − br−2 E Hay  E = B0      b1 E = B1 − AB0 b2 E = B2 − AB1   ......    br−1 E = Br−1 − ABr−2 13 . Ma trận và hệ truy hồi Từ Br−1 = Ar−1 + b1 Ar−2 + ... + br−1 E , ta có ABr−1 = Ar + b1 Ar−1 + ... + br−1 A + br E − br E = m(A) − br E Hay br E = −ABr−1 . Mặt khác, từ m(x) = xr + b1 xr−1 + ... + br , ta có m(x)E = Exr + b1 Exr−1 + ... + br−1 Ex + br E = Exr + (B1 − AB0 )xr−1 + ... + (Br−1 − ABr−2 )x − ABr−1 = Ex(xr−1 + B1 xr−2 + ... + Br−1 ) − A(xr−1 + B1 xr−2 + ... + Br−1 ). Đặt B(x) = xr−1 + B1 xr−2 + ... + Br−1 , ta được m(x)E = (xE − A)B(x). Lấy định thức hai vế, ta được m(x)n = p(x)|B(x)|. Từ đó suy ra m(x)n : p(x). Định lý 1.5.4. Mỗi đa thức f (x) ∈ K[x] thỏa mãn f (A) = 0 thì f (x) chia hết cho m(x). Đặc biệt p(x) cũng chia hết cho m(x). Chứng minh. Giả sử f (x) = q(x)m(x) + r(x) với đa thức r(x) có degr(x) < degm(x), ta chứng minh r(x) = 0. Ta có f (A) = q(A)m(A) + r(A) Vì f (A) = m(A) = 0 nên r(A) = 0. Do m(x) là đa thức tối thiểu của ma trận A nên r(x) = 0 Ví dụ 1.5.1. Xác định đa thức đặc trưng và đa thức tối thiểu của ma trận ! A= 1 2 3 0 2 0 0 0 1 Bài giải   x − 1 2 3    x−2 0  = (x − 1)2 (x − 2) vậy đa thức đặc trưng Ta có |xE − A| =  0  0 0 x − 1 của ma trận A là p(x) = (x − 1)2 (x − 2). Vì A − E 6= 0, A − 2E 6= 0 và (A − E)(A − 2E) = 0 nên đa thức tối thiểu của ma trận A là m(x) = (x − 1)(x − 2). 14 Ma trận và hệ truy hồi 1.6 Chéo hóa ma trận Mỗi ma trận cấp n trên trường K đồng dạng với ma trận đường chéo gọi là ma trận chéo hóa được. Tức là, ma trận A là ma trận chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghịch T sao cho ma trận B = T −1 AT là ma trận đường chéo. Cho A là ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc trường K. Giả sử ma trận A có n giá trị riêng λ1 , ..., λn và u1 , ..., un là n vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các giá trị riêng λ1 , ..., λn . Ta có Aui = λi ui , i = 1, ..., n Gọi T là ma trận vuông cấp n mà hệ n vectơ cột của T là n vectơ riêng u1 , ..., un . Giả sử tọa độ của vectơ ui là ui = (ui1 , ..., uin ), i = 1, ..., n. Khi đó   λ1 u11 λ2 u21 ... λn un1 λ u λ2 u22 ... λn un2  T −1 AT = T −1  1 12 ... ... ... ...  λ1 u1n λ2 u2n ... λn unn Hay  λ1 0  0 λ2 T −1 AT =  ... ... 0 0  ... 0 ... 0  ... ...  ... λn Như vậy ma trận vuông A cấp n là ma trận chéo hóa được nếu nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với n giá trị riêng. Kết luận: Ma trận vuông A cấp n các phần tử thuộc trường K là ma trận chéo hóa được khi và chỉ khi đa thức đặc trưng của nó có dạng P (λ) = (λ − λ1 )n1 ...(λ − λr )nr , Trong đó ứng với mỗi giá trị riêng λi , i = 1, ..., r có đúng ni vectơ riêng độc lập tuyến tính. ! Ví dụ 1.6.1. Cho ma trận A = 1 −3 3 3 −5 3 . Hãy 6 −6 4 1. Chéo hóa ma trận A ! 2. Đặt A = a11 (n) a12 (n) a13 (n) a21 (n) a22 (n) a23 (n) , xác định a31 (n) a32 (n) a33 (n) 15 a22 (n) . n→+∞ a32 (n) lim Ma trận và hệ truy hồi Bài giải   x − 1 −3 3    x+5 3  = (x + 2)2 (x − 4) nên ma trận A có hai (1) Vì |xE − A| =  3  6 −6 x − 4 giá trị riêng là λ1 = −2, λ2 = 4. Ứng với λ1 = −2 ma trận A có hai vectơ riêng là u1 = (1; 1; 0), u2 = (1; 0; −1). Ứng với λ2 = 4 ma trận A có một vectơ  riêng là u3 = (1; 1; 2). −1 3 −1 ! 1 1 1  2 2 2   1 −1 0 Đặt P = 1 0 1 , suy ra P −1 =   1 −1 1 . Từ đó suy ra 0 −1 2 2 A=P −2 0 0 0 −2 0 0 0 4 2 2 ! P −1 . (2) Ta có An = [P −2 0 0 0 −2 0 0 0 4 ! P −1 ]n = P −2 0 0 0 −2 0 0 0 4 !n P −1 Hay −1  2  1  1 2  n A =P Vậy (−2)n 0 0 n 0 (−2) 0 0 0 4n ! P −1 = (−2)n (−2)n 4n n (−2) 0 4n 0 2(−1)n+1 2.4n ! 3 2 −1 −1 2 −1 2  0  1  2  a22 1 3.(−2n ) − 4n = lim = . n n n→+∞ a32 n→+∞ 2((−2) − 4 ) 2 lim 1.7 Giá trị riêng của hàm ma trận Xét đa thức f (x) ∈ K[x], khi đó tương ứng với nó là ma trận g(A) ∈ K[A]. Ta sẽ đi xác định định thức, đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của ma trận g[A] thông qua đa thức đặc trưng p(x) và các giá trị riêng của ma trận A. Giả sử g(x) có các nghiệm α1 , α2 , ..., αm ∈ K , và ma trận A có các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn ∈ K. Ta có sự phân tích trong K[x] như sau g(x) = (−1)m b0 (α1 − x)(α2 − x)...(αm − x) và p(x) = |xE − A| = (x − λ1 )(x − λ2 )...(x − λn ). 16 Ma trận và hệ truy hồi Ta có g(A) = (−1)m b0 (α1 E − A)(α2 E − A)...(αm E − A). Suy ra |g(A)| = (−1)mn bn0 |α1 E − A||α2 E − A|...|αm E − A| = = (−1)mn bn0 n Y " m Y n Y (αk − λi ) k=1 i=1 m Y m (−1) b0 (αk i=1 # − λi ) . k=1 Từ đây, ta suy ra một số kết quả sau Mệnh đề 1.7.1. Nếu ma trận A có các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn ∈ K thì với n Q mỗi đa thức g(x) ta luôn có |g(A)| = g(λi ). i=1 Chứng minh. Ta có g(x) = (−1)m b0 (α1 − x)(α2 − x)...(αm − x) nên |g(A)| = (−1)mn bn0 m Y n Y n Y k=1 i=1 i=1 (αk − λi ) = g(λi ). Định lý 1.7.1. Nếu ma trận A có các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn ∈ K , và với mỗi đa thức g(x) thì ma trận g(A) có đa thức đặc trưng h(x) = (x − g(λ1 )) (x − g(λ2 )) ... (x − g(λn )) và có các giá trị riêng là g(λ1 ), g(λ2 ), ..., g(λn ). Chứng minh. Đa thức đặc trưng của ma trận g(A) là h(x) = |xE − g(A)|. Xét ma trận f (A) = xE − g(A) ∈ K[A] tương ứng với hàm f (t) = x − g(t) ∈ K[t]. Theo mệnh đề (1.7.1), ta có h(x) = |f (A)| = f (λ1 )f (λ2 )...f (λn ) = (x − g(λ1 )) (x − g(λ2 )) ... (x − g(λn )) Vậy ma trận g(A) có đa thức đặc trưng là hàm h(x) = (x − g(λ1 )) (x − g(λ2 )) ... (x − g(λn )) và các giá trị riêng là g(λ1 ), g(λ2 ), ..., g(λn ). 17 Ma trận và hệ truy hồi Hệ quả 1.7.1. Nếu ma trận A có các giá trị riêng khác không λ1 , λ2 , ..., λn 1 1 1 thì A có nghịch đảo là ma trận A−1 với các giá trị riêng là , , ..., λ1 λ2 λn Chứng minh. Với hàm g(x) = x, tương ứng ma trận A = g(A) có các giá trị riêng là λ1 , λ2 , ..., λn và |A| = |g(A)| = λ1 λ2 ...λn 6= 0. Từ đó suy ra ma trận A có ma trận nghịch đảo A−1 với các giá trị riêng là 1 1 1 , , ..., . λ1 λ2 λn Hệ quả 1.7.2. Nếu ma trận A = (aij ) có các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn thì ma n n P n P P trận A2 có các giá trị riêng là λ21 , λ22 , ..., λ2n và λ2k ≤ a2ij . i=1 j=1 k=1 Chứng minh. Bằng việc xét hàm g(x) = x2 , theo định lí (1.7.1) ta suy ra ngay các giá trị riêng của ma trận A2 là λ21 , λ22 , ..., λ2n . Vết của ma trận A2 là T = v(A2 ) = λ21 + λ22 + ... + λ2n . Mặt khác ta cũng có n X n X T = aij aji i=1 j=1 và c 2 v(AA ) − v(A ) = Vì v(AAc ) = n n P P i=1 j=1 n X n X X i=1 j=1 i - Xem thêm -