I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
L VN MINH
KHÆNG GIAN MTRIC NÂN
V MËT SÈ ÀNH LÞ IM BT ËNG
Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng
M¢ sè: 60.46.01.12
LUN VN THC S TON HÅC
THI NGUYN - 2017
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
L VN MINH
KHÆNG GIAN MTRIC NÂN
V MËT SÈ ÀNH LÞ IM BT ËNG
Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng
M¢ sè: 60.46.01.12
LUN VN THC S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:
PGS.TS. H TRN PH×ÌNG
THI NGUYN - 2017
Möc löc
MÐ U
1 Khæng gian m¶tric nân
1.1 Mð ¦u v· khæng gian m¶tric nân . . . . . . .
1.1.1 Nân trong khæng gian Banach . . . . .
1.1.2 Khæng gian m¶tric nân . . . . . . . . .
1.2 Mët sè t½nh ch§t v· khæng m¶tric nân . . . .
1.2.1 Sü hëi tö trong khæng gian m¶tric nân
1.2.2 Nguy¶n l½ ¡nh x¤ co Banach . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 ành lþ iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric nân
2.1 Mët sè mð rëng cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co . . . . .
2.1.1 Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co c£i ti¸n . . . . . . . .
2.1.2 Mët sè d¤ng mð rëng kh¡c . . . . . . . . .
2.2 iºm b§t ëng c°p cõa ¡nh x¤ . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mð ¦u v· iºm b§t ëng c°p . . . . . . .
2.2.2 Tr÷íng hñp khæng gian m¶tric nân ¦y õ
K¸t luªn
T i li»u tham kh£o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
3
3
3
7
9
9
14
19
19
19
22
31
31
32
40
41
1
MÐ U
C¡c ành lþ iºm b§t ëng l mët v§n · nghi¶n cùu kh¡ cì b£n
trong chuy¶n ng nh to¡n gi£i t½ch v to¡n ùng döng. ÷ñc bt ¦u vîi
c¡c cæng tr¼nh cõa Brower, Banach, nhúng v§n · nghi¶n cùu v· iºm
b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ ìn trà, a trà trong c¡c khæng gian kh¡c nhau
ng y c ng thu hót ÷ñc nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc quan
t¥m nghi¶n cùu v câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau cõa
to¡n håc: to¡n tèi ÷u, c¡c b i to¡n kinh t¸.
Ta nhc l¤i r¬ng, vîi X l mët khæng gian m¶tric ¦y õ, f l mët
¡nh x¤ co, Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach cê iºn ¢ ch¿ ra r¬ng f câ duy
nh§t mët iºm b§t ëng. V· sau câ r§t nhi·u nh to¡n håc ¢ quan
t¥m nghi¶n cùu, xem x²t l¤i ành lþ n y cho c¡c lîp khæng gian kh¡c
nhau.
N«m 2007, Guang v Zhang ([3]) ¢ giîi thi»u mët lîp khæng gian
mîi, c¡c t¡c gi£ gåi l khæng gian m¶tric nân, trong â c¡c t¡c gi£ ¢
thay tªp sè thüc trong ành ngh¾a m¶tric bði mët khæng gian Banach
m tr¶n â ¢ ành ngh¾a mët quan h» thù tü bë phªn düa tr¶n mët
nân ành h÷îng. Trong cæng tr¼nh n y c¡c t¡c gi£ ¢ chùng minh ÷ñc
mët sè t½nh ch§t t÷ìng tü v· m¶tric tr¶n m¶tric nân, °c bi»t l chùng
minh l¤i nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong lîp khæng gian m¶tric nân
¦y õ. V· sau, câ nhi·u t¡c gi£ kh¡c ti¸p töc ph¡t triºn c¡c t½nh ch§t
cõa khæng gian m¶tric nân v c¡c ành lþ v· iºm b§t ëng giúa c¡c
khæng gian n y.
Möc ½ch cõa · t i l giîi thi»u l¤i mët sè k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa
c¡c t¡c gi£ trong thíi gian g¦n ¥y v· khæng gian m¶tric nân v mët sè
ành lþ v· iºm b§t ëng, b§t ëng c°p cõa c¡c ¡nh x¤ giúa c¡c khæng
gian n y. C¡c kh¡i ni»m v k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn v«n ÷ñc vi¸t
düa tr¶n c¡c b i b¡o [3], [5], [1], [4], [2] v [6].
Ngo i ph¦n mð ¦u, ph¦n k¸t luªn, luªn v«n gçm 2 ch÷ìng. Ch÷ìng 1
Mð ¦u v· khæng gian metric nân chóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · cì
b£n v· nân, khæng gian m¶tric nân v t½nh ch§t cõa lîp khæng gian n y.
Ngo i ra chóng tæi giîi thi»u nguy¶n lþ ¡nh x¤ Banach cho ¡nh x¤ giúa
c¡c khæng gian metric nân ÷ñc chùng minh bði Guang v Zhang n«m
2007. Trong ch÷ìng 2 ành lþ iºm b§t ëng trong khæng gian metric
2
nân, chóng tæi giîi thi»u mët sè k¸t qu£ v· ành lþ iºm b§t ëng v
iºm b§t ëng c°p giúa c¡c khæng gian m¶tric nân ÷ñc c¡c t¡c gi£
Guang, Zhang, Rezapour, Hamlbarani, F. Sabetghadam, H. P. Masiha
v A. H. Sanatpour chùng minh trong thíi gian g¦n ¥y.
Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i
håc Th¡i Nguy¶n. D÷îi sü h÷îng d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o
PGS. TS. H Tr¦n Ph÷ìng. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi
th¦y.
T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Khoa To¡n-Tin
Tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ quan t¥m v gióp
ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i Tr÷íng.
Nh¥n dàp n y em công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia
¼nh, b¤n b± ¢ luæn b¶n em, cê vô, ëng vi¶n, gióp ï em trong suèt
qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p.
B£n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§t mong
nhªn ÷ñc sü ch¿ b£o tªn t¼nh cõa c¡c th¦y cæ v b¤n b± çng nghi»p.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 n«m 2017
T¡c gi£ luªn v«n
L¶ V«n Minh
3
Ch֓ng 1
Khæng gian m¶tric nân
1.1 Mð ¦u v· khæng gian m¶tric nân
1.1.1 Nân trong khæng gian Banach
Trong luªn v«n n y ta luæn gi£ thi¸t r¬ng E l khæng gian Banach
thüc.
ành ngh¾a 1.1. Mët tªp con lçi P ⊂ E ÷ñc gåi l mët nân trong E
n¸u nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
1. P âng, P 6= {∅}, P 6= {0} ;
2. Vîi måi a, b ∈ R, a, b > 0, x, y ∈ P th¼ ax + by ∈ P ;
3. N¸u x ∈ P v −x ∈ P th¼ x = 0.
B¥y gií ta xem x²t kh¡i ni»m quan h» thù tü tr¶n khæng gian Banach
E li¶n quan ¸n nân. Cho P ⊂ E l mët nân. Ta ành ngh¾a quan h»
thù tü bë phªn 6 tr¶n E nh÷ sau:
1. x 6 y n¸u v ch¿ n¸u y − x ∈ P ;
2. x < y n¸u x 6 y v x 6= y;
3. x y n¸u y − x ∈ intP, trong â intP l k½ hi»u ph¦n trong cõa
nân P.
Trong luªn v«n n y ta luæn gi£ thi¸t nân P câ ph¦n trong intP 6= ∅.
4
M»nh · 1.1. Tø kh¡i ni»m ta d¹ d ng suy ra:
1. N¸u x y th¼ x < y.
2. N¸u x 6 y , a > 0 th¼ ax 6 ay.
ành ngh¾a 1.2. Nân P ÷ñc gåi l :
1. Nân chu©n tc n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè K > 0 thäa m¢n: i·u ki»n
0 6 x 6 y k²o theo kxk 6 K kyk, vîi måi x, y ∈ E. H¬ng sè K > 0
nhä nh§t thäa m¢n i·u ki»n n y ÷ñc gåi l h¬ng sè chu©n tc.
2. Nân minihedral n¸u sup(x, y) tçn t¤i vîi måi x, y ∈ E.
3. Nân minihedral m¤nh n¸u måi tªp con bà ch°n tr¶n cõa E ·u câ
cªn tr¶n óng.
4. Nân °c n¸u intP 6= ∅.
5. Nân sinh n¸u E = P − P.
6. Nân ch½nh quy n¸u måi d¢y t«ng bà ch°n tr¶n ·u hëi tö. Ngh¾a l
n¸u {xn, n > 1} l d¢y thäa m¢n
x1 6 x2 6 · · · 6 y
vîi y ∈ E th¼ tçn t¤i x ∈ E thäa m¢n
lim kxn − xk = 0.
n−→∞
M»nh · 1.2. Måi nân ch½nh quy ·u l nân chu©n tc.
Chùng minh. Gi£ sû P l nân ch½nh quy trong E nh÷ng khæng ph£i l
nân chu©n tc. Vîi méi n > 1 ta chån tn, sn ∈ P sao cho tn − sn ∈ P
v n2ktnk < ksnk. Khi â, vîi méi n > 1, °t yn = kttnk v xn = ktsnk .
n
n
2
Khi â xn, yn v y∞n − xn ·u thuëc P , kynk = 1 v n < kxnk vîi måi
P 1
n > 1. Do chuéi
kyn k l hëi tö v P âng n¶n tçn t¤i y ∈ P sao
n2
cho
n=1
∞ 1
P
y=
kyn k.
2
n=1 n
B¥y gií chó þ r¬ng
0 6 x1 6 x1 +
1
1
1
x
6
x
+
x
+
x3 6 · · · 6 y,
2
1
2
22
22
32
5
do â chuéi
∞ 1
P
x
2 n
n=1 n
hëi tö v¼ P l nân ch½nh quy. Do â
1
kxn k = 0,
n−→∞ n2
lim
m¥u thu¨n. Vªy P l nân chu©n tc.
M»nh · 1.3. Khæng tçn t¤i nân chu©n tc vîi h¬ng sè chu©n tc
K < 1.
Chùng minh. Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric nân v P l nân chu©n
tc vîi h¬ng sè chu©n tc K < 1. Chån mët ph¦n tû kh¡c khæng x ∈ P
tòy þ v 0 < ε < 1 sao cho K < 1 − ε. Khi â
(1 − ε)x 6 x
nh÷ng
(1 − ε)kxk > Kkxk.
¥y ch½nh l m¥u thu¨n.
M»nh · 1.4. vîi méi M > 1 luæn tçn t¤i nân chu©n tc vîi h¬ng sè
chu©n tc K > M.
Chùng minh. Gi£ sû M > 1 l mët sè thüc tòy þ, °t
E = ax + b : a, b ∈ R, x ∈ [1 − 1/k, 1] ,
khi â E l mët khæng gian Banach thüc vîi chu©n sup. K½ hi»u
P = {ax + b : a, b ∈ R, a 6 0, b > 0}.
Khi â P l mët nân tr¶n E . Tr÷îc h¸t ta chùng minh P l nân ch½nh
quy. Gåi {anx + bn, n > 1} l mët d¢y t«ng, bà ch°n tr¶n, tùc l tçn t¤i
mët ph¦n tû cx + d ∈ E sao cho
a1 x + b1 6 a2 x + b2 6 · · · 6 cx + d
6
vîi måi x ∈ [1 − 1/k, 1]. Khi â {an, n > 1}, {bn, n > 1} l hai d¢y sè
thüc thäa m¢n
b1 6 b2 6 · · · 6 d
v
a1 > a2 > · · · > c,
do â c¡c d¢y {an, n > 1}, {bn, n > 1} hëi tö. Gi£ sû n−→∞
lim an = a,
lim bn = b, khi â lim an x + bn = ax + b. Tø â suy ra P l nân
n−→∞
n−→∞
ch½nh quy. Theo M»nh · 1.2 ta suy ra P l nân chu©n tc. Theo M»nh
· 1.3, tçn t¤i K > 1 sao cho i·u ki»n 0 6 g 6 f k²o theo kgk 6 Kkf k
vîi måi g, f ∈ E.
B¥y gií ta chùng minh K > M. Ta th§y f (x) = −M x + M ∈
P, g(x) = M ∈ P v f − g ∈ P . Do â 0 6 g 6 f , k²o theo
M = kgk 6 Kkf k = K.
M°t kh¡c, ta x²t c¡c h m sè
f (x) = −(M + 1/M )x + M,
g(x) = M
th¼ f ∈ P, g ∈ P v f − g ∈ P . Do â 0 6 g 6 f , k²o theo
M = kgk 6 Kkf k.
Hìn núa
kgk = M
Nh÷ vªy
v kf k = 1 − 1/M + 1/M 2.
M = kgk > M kf k = M + 1/M − 1.
Nh÷ vªy
M kf k < kgk 6 Kkf k,
k²o theo K > M.
M»nh · 1.5. Trong khæng gian Banach E ta luæn câ
i) Vîi méi λ ∈ R, λ > 1, luæn tçn t¤i nân chu©n tc vîi h» sè K > λ.
7
ii) Nân P ch½nh quy khi v ch¿ khi måi d¢y gi£m bà ch°n d÷îi hëi tö.
V½ dö 1.1. Cho E = Rn, ta °t
P = {(x1 , . . . , xn ) : xi > 0, ∀i = 1, . . . , n}.
Khi â P l nân chu©n tc, nân sinh, minihedral, minihedral m¤nh v
°c.
V½ dö 1.2. Cho D ⊆ Rn l mët tªp compact E = C (D) l khæng gian
c¡c h m sè x¡c ành v li¶n töc tr¶n D. K½ hi»u
P = {f ∈ E |f (t) > 0, ∀x ∈ D } .
Khi â P l nân chu©n tc, nân sinh, °c v minihedral nh÷ng khæng
l nân minihedral m¤nh, P công khæng l nân ch½nh quy.
1
V½ dö 1.3. K½ hi»u E = C[0;1]
l khæng gian c¡c h m sè thüc kh£ vi
c§p 1 tr¶n o¤n [0; 1] vîi chu©n
kf k = kf k∞ + kf 0 k∞ ,
f ∈ E,
trong â k.k∞ l chu©n max . K½ hi»u
P = {f ∈ E : f (t) > 0}.
D¹ d ng chùng minh ÷ñc P l mët nân. Vîi méi k > 1 °t f (x) =
x, g(x) = x2k , khi â
0 6 g(t) 6 f (t)
vîi måi t ∈ [0; 1], k²o theo 0 6 g 6 f . Ta th§y
kf k = 2, kgk = 2k + 1.
K²o theo kf k < kgk. Nh÷ vªy k khæng ph£i l h¬ng sè chu©n tc cõa
P v P l nân khæng chu©n tc.
1.1.2 Khæng gian m¶tric nân
ành ngh¾a 1.3. Cho X l tªp kh¡c réng v E l mët khæng gian
Banach vîi quan h» thù tü bë phªn 6 èi vîi nân P . Cho h m d :
8
X × X −→ E
thäa m¢n:
1. 0 6 d(x, y) vîi måi x, y ∈ X , d(x, y) = 0 n¸u v ch¿ n¸u x = y.
2. d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X .
3. d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) vîi måi x, y, z ∈ X .
Khi â d ÷ñc gåi l m¶tric nân tr¶n X v (X, d) ÷ñc gåi l khæng
gian m¶tric nân.
V½ dö 1.4. Cho E = R2, P = {(x, y) : x, y > 0}, X = R v d : X ×
X −→ E x¡c ành bði
d(x, y) = (|x − y| , α |x − y|),
trong â α > 0 l mët h¬ng sè. Khi â d m¶tric nân v (X, d) l mët
khæng gian m¶tric nân.
Mð rëng hìn, chån E = Rn, P = {(x1, . . . , xn) : xi > 0}, X = R v
d : X × X −→ E x¡c ành bði
d(x, y) = (|x − y| , α1 |x − y| , . . . , αn−1 |x − y|),
trong â α1, α2, . . . , αn−1 > 0 l c¡c h¬ng sè. Khi â (X, d) công l mët
khæng gian m¶tric nân.
V½ dö 1.5. Cho E = (CR [0; ∞) , k.k∞), P = {f ∈ E |f (t) > 0}, (X, ρ)
l mët khæng gian m¶tric v X × X −→ E ÷ñc x¡c ành bði:
d(x, y) = ρ(x, y).ϕ,
trong â ϕ : [0, 1] −→ R+ li¶n töc. Khi â P l nân chu©n tc vîi h»
sè chu©n tc k = 1 v (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân chu©n tc.
Ti¸p theo ta giîi thi»u v· c¡c iºm tæpæ trong khæng gian m¶tric
nân. Cho E l khæng gian Banach thüc ¢ ÷ñc trang bà quan h» thù
tü bë phªn theo nân chu©n tc P v (X, d) l mët khæng gian m¶tric
9
nân. Vîi xo ∈ X v r ∈ E, 0 r. Tªp
B(xo , r) = {x ∈ X : d(xo , x) r}
gåi l h¼nh c¦u mð t¥m xo b¡n k½nh r.
Cho A ⊂ X , iºm xo ∈ A ÷ñc gåi l iºm trong cõa A n¸u tçn t¤i
r ∈ E, 0 r sao cho B(xo , r) ⊂ A. Hiºn nhi¶n, theo ành ngh¾a, iºm
trong cõa A ph£i thuëc tªp hñp A.
iºm xo ∈ X ÷ñc gåi l iºm bi¶n cõa tªp A n¸u vîi måi r ∈
E, 0 r, B(xo , r) ∩ A 6= ∅ v B(xo , r) ∩ X\A 6= ∅. Tªp hñp t§t c£
c¡c iºm bi¶n cõa A k½ hi»u l δA. Chó þ r¬ng, iºm bi¶n cõa A câ thº
thuëc A ho°c khæng thuëc A. Ngo i ra, ta công câ δA = δ(X\A).
iºm xo ∈ X ÷ñc gåi l iºm tö cõa tªp A n¸u vîi måi r ∈ E, 0 r,
h¼nh c¦u B(xo, r) luæn chùa væ sè iºm cõa A. iºm tö cõa A câ thº
thuëc A ho°c khæng thuëc A. Tªp c¡c iºm tö cõa A k½ hi»u l Ad. Câ
thº th§y x ∈ Ad khi v ch¿ khi vîi måi r ∈ E, 0 r, h¼nh c¦u B(xo, r)
chùa ½t nh§t mët iºm cõa A.
Cho khæng gian m¶tric nân (X, d), tªp A ⊂ X ÷ñc gåi l tªp mð
n¸u méi iºm cõa A ·u l iºm trong cõa A. Tªp F ÷ñc gåi l tªp
âng n¸u X\F l tªp mð.
D¹ th§y X v tªp réng l nhúng tªp mð. H¼nh c¦u mð B(xo, r) l
mët tªp mð, v¼ vîi måi x ∈ B(xo, r) luæn tçn t¤i 0 r1 = r − d(xo, x)
sao cho B(x, r1) ⊂ B(xo, r), tùc l måi iºm cõa B(xo, r) ·u l iºm
trong.
1.2 Mët sè t½nh ch§t v· khæng m¶tric nân
1.2.1 Sü hëi tö trong khæng gian m¶tric nân
ành ngh¾a 1.4. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân. {xn}n 1 l mët
>
d¢y c¡c ph¦n tû cõa X v x ∈ X . Ta nâi d¢y {xn} hëi tö tîi x n¸u vîi
10
måi c ∈ E,
K½ hi»u
0 c, tçn t¤i N ∈ N∗
sao cho vîi måi n > N, d(xn, x) c.
lim xn = x
ho°c xn −→ x khi n −→ ∞.
n−→∞
M»nh · 1.6. Cho (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân, P
l nân
chu©n tc trong E vîi h» sè chu©n tc K . Khi â d¢y {xn } trong X hëi
tö tîi x ∈ X n¸u v ch¿ n¸u d(xn , x) −→ 0 khi n −→ ∞.
Chùng minh. Gi£ sû {xn} hëi tö tîi x. Khi â vîi méi ε > 0, ta chån
c ∈ E vîi 0 6= c v K kck < ε. Khi â tçn t¤i N > 0 sao cho vîi måi
n > N , ta câ kd(xn , x)k < c. Bði vªy, vîi n > N ta câ |d(xn , x)| 6
K |c| < ε. i·u n y k²o theo d(xn , x) −→ 0.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d(xn, x) −→ 0 khi n −→ ∞. Tø gi£ thi¸t ta câ
ta suy ra: vîi c ∈ E vîi 0 c, tçn t¤i δ > 0 sao cho khi kxk < δ
th¼ c − x ∈ intP. Vîi sè δ â, tø gi£ thi¸t d(xn, x) −→ 0 n¶n tçn t¤i
N ∈ N∗ sao cho vîi måi n > N , kd(xn , x)k < δ , i·u n y k²o theo
c − d(xn , x) ∈ intP , ngh¾a l d(xn , x) c. Suy ra {xn } hëi tö tîi x.
M»nh · 1.7. Cho (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân, P
l nân
chu©n tc trong E vîi h» sè chu©n tc K v {xn } l mët d¢y trong X .
Khi â n¸u {xn } hëi tö tîi x ∈ X v {xn } hëi tö tîi y ∈ X th¼ x = y.
Nâi c¡ch kh¡c, giîi h¤n cõa mët d¢y trong khæng gian m¶tric n¸u câ l
duy nh§t.
Chùng minh. Vîi mët ph¦n tø c ∈ E tòy þ, 0 c, tø gi£ thi¸t suy ra
tçn t¤i N ∈ N∗ sao cho vîi måi n > N ta câ
d(xn , x) c,
d(xn , y) c.
i·u n y suy ra
d(x, y) 6 d(xn , x) + d(xn , y) 6 2c.
11
Do P l nân chu©n tc n¶n
kd(x, y)k 6 2Kkck.
Do c chån tòy þ n¶n i·u n y ch¿ x£y ra khi d(x, y) = 0, tùc l x = y.
M»nh · 1.8. Cho (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân, P
l nân
chu©n tc trong E vîi h» sè chu©n tc K . Cho {xn } v {yn } l hai d¢y
trong X . Khi â n¸u {xn } hëi tö tîi x ∈ X v {yn } hëi tö tîi y ∈ X
th¼ d(xn , yn ) s³ hëi tö tîi d(x, y) khi n −→ ∞.
Chùng minh. Vîi måi ε > 0, chån c ∈ E sao cho 0 c v
kck <
ε
.
4K + 2
Tø gi£ thi¸t xn −→ x v yn −→ y suy ra tçn t¤i N
måi n > N ta câ
d(xn , x) c,
∈ N∗
sao cho vîi
d(yn , y) c.
i·u n y suy ra
d(x, y) 6 d(xn , x) + d(xn , yn ) + d(yn , y) 6 d(xn , yn ) + 2c
v
d(xn , yn ) 6 d(xn , x) + d(x, y) + d(y, yn ) 6 2c + d(x, y).
i·u n y k²o theo
0 6 d(x, y) + 2c − d(xn , yn ) 6 4c.
Suy ra
kd(xn , yn ) − d(x, y)k 6 kd(x, y) + 2c − d(xn , yn )k + k2ck
6 (4K + 2)kck < ε.
i·u n y k²o theo d(xn, yn) −→ d(x, y).
12
M»nh · 1.9. Cho {xn, n ∈ N∗} v {yn, n ∈ N∗} l hai d¢y trong
khæng gian m¶tric nân (X, d). N¸u xn 6 yn vîi måi n ∈ N∗ v
lim xn = x, lim yn = y
n−→∞
n−→∞
th¼ x 6 y. Nâi c¡ch kh¡c, quan h» thù tü ÷ñc b£o to n qua giîi h¤n
trong khæng gian m¶tric nân.
ành lþ 1.1. Mët iºm x l iºm tö cõa tªp hñp A khi v ch¿ khi câ
mët d¢y iºm ph¥n bi»t {xn } cõa A hëi tö tîi x.
Chùng minh. Gi£ sû x l iºm tö cõa A. Vîi méi n ∈ N∗, chån rn ∈ E
sao cho
1
0 rn v Kkrn k < .
n
Do B(x, rn) ∩ A 6= ∅ n¶n ta chån ÷ñc xn ∈ B(x, cn) ∩ A. Do B(x, rn)
chùa væ sè iºm cõa A n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£
thi¸t c¡c xn l ph¥n bi»t. Khi â {xn} ⊂ A
0 6 d(xn , x) 6 rn ,
k²o theo
kd(xn , x)k 6 Kkrn k <
1
,
n
i·u n y k²o theo n−→∞
lim xn = x.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû x ∈ X v tçn t¤i mët d¢y ph¥n bi»t {xn} ⊂ A sao
cho n−→∞
lim xn = x. Khi â vîi méi r ∈ E, 0 r, tçn t¤i N ∈ N∗ sao cho
vîi måi n > N ta câ
d(xn , x) r,
k²o theo d(x, xn) < r tùc l xn ∈ B(x, r) ∩ A vîi måi n > N , do â x
l mët iºm tö cõa A.
Ti¸p theo ta giîi thi»u kh¡i ni»m khæng gian m¶tric nân ¦y õ,
compact. Tr÷îc h¸t l kh¡i ni»m v· d¢y Cauchy.
13
ành ngh¾a 1.5. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân, {xn}n 1 l d¢y
>
trong X . D¢y {xn} ÷ñc gåi l mët d¢y Cauchy n¸u vîi méi c ∈ E vîi
0 c tçn t¤i N ∈ N∗ sao cho vîi måi m, n > N ta câ
d(xm , xn ) c.
M»nh · 1.10. Trong khæng gian m¶tric nân, måi d¢y hëi tö ·u l
d¢y Cauchy.
Chùng minh. Gi£ sû (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân vîi d : X ×
X −→ E, trong â E l khæng gian Banach thüc s«p thù tü mët ph¦n
theo nân P. Gi£ sû {xn, n ∈ N∗} l mët d¢y c¡c ph¦n tû cõa X hëi tö
v· x ∈ X. Khi â, vîi méi c ∈ E, 0 c, tçn t¤i N ∈ N∗ sao cho vîi
måi n > N ta câ
d(xn , x) c/2.
Khi â vîi måi m, n > N ta câ
d(xn , xm ) 6 d(xn , x) + d(x, xm ) c.
i·u n y k²o theo {xn, n ∈ N∗} l d¢y Cauchy. M»nh · ÷ñc chùng
minh.
M»nh · 1.11. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân, P l nân chu©n
tc vîi h¬ng sè chu©n tc K. Cho {xn , n ∈ N∗ } l mët d¢y c¡c ph¦n
tû cõa X . Khi â d¢y {xn , n ∈ N∗ } l d¢y Cauchy khi v ch¿ khi
d(xn , xm ) −→ 0 khi m, n −→ ∞.
Chùng minh. Gi£ sû {xn, n ∈ N∗} l d¢y Cauchy, khi â vîi méi ε > 0,
ta chån c ∈ E sao cho 0 c v Kkck < ε. Khi â tçn t¤i N ∈ N∗ sao
cho vîi måi m, n > N ta câ d(xm, xn) c. i·u n y k²o theo vîi måi
m, n > N , ta câ
kd(xn , xm )k 6 Kkck < ε.
Suy ra d(xn, xm) −→ 0 khi m, n −→ ∞.
14
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d(xn, xm) −→ 0 khi m, n −→ ∞. Khi â vîi méi
c ∈ E, 0 c, tçn t¤i δ > 0 sao cho kxk < δ th¼ c − x ∈ intP. Vîi sè δ
n y s³ tçn t¤i N ∈ N∗ sao cho vîi måi m, n > N ta câ
kd(xn , xm )k < δ.
Khi â c − d(xn, xm) ∈ intP, k²o theo d(xn, x − n) c. Nh÷ vªy {xn}
l d¢y Cauchy.
ành ngh¾a 1.6. Cho (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân, n¸u måi
d¢y Cauchy trong X ·u hëi tö th¼ X ÷ñc gåi l khæng gian m¶tric
nân ¦y õ.
ành ngh¾a 1.7. Cho (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân, n¸u måi
d¢y væ h¤n c¡c ph¦n tû cõa X ·u tr½ch ra ÷ñc mët d¢y con hëi tö
trong X th¼ X ÷ñc gåi l khæng gian m¶tric nân compact d¢y.
1.2.2 Nguy¶n l½ ¡nh x¤ co Banach
Nh÷ ¢ nâi trong ph¦n mð ¦u, n«m 2007, L-G Huang v X. Zhang
([3]) ¢ chùng minh mët sè k¸t qu£ v· nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach èi
vîi lîp khæng gian m¶tric nân ¦y õ. Trong ph¦n n y chóng tæi s³
ph¡t biºu v chùng minh chi ti¸t nguy¶n lþ n y. Tr÷îc h¸t ta giîi thi»u
mët v i kh¡i ni»m.
ành ngh¾a 1.8. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân. nh x¤ T :
X −→ X ÷ñc gåi l ¡nh x¤ co n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè k ∈ [0, 1) sao
cho
d(T x, T y) 6 kd(x, y)
vîi måi x, y ∈ X . nh x¤ T ÷ñc gåi l gi£ co n¸u
d(T x, T y) < kd(x, y)
vîi måi x 6= y ∈ X .
15
ành ngh¾a 1.9. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân v T : X −→ X
l mët ¡nh x¤. Mët iºm x0 ∈ X ÷ñc gåi iºm b§t ëng cõa T
T (x0 ) = x0 .
ành lþ 1.2. (Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach) Cho (X, d) l khæng
gian m¶tric nân ¦y õ, P l nân chu©n tc trong khæng gian Banach
thüc E vîi h¬ng sè K v T : X −→ X l mët ¡nh x¤ co. Khi â T câ
iºm b§t ëng duy nh§t. Hìn núa vîi méi x ∈ X, d¢y {T n x} ·u hëi
tö v· iºm b§t ëng â.
Chùng minh. L§y x0 ∈ X tòy þ, ta x¡c ành d¢y {xn} ⊆ X bði
xn = T n x,
vîi måi n ≥ 1.
Khi â vîi måi n ≥ 1,
d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) 6 kd(xn , xn−1 )
6 k 2 d(xn−1 , xn−2 ) 6 . . .
6 k n d(x1 , x0 ).
Tø â suy ra vîi n > m,
d(xn , xm ) 6 d(xn , xn−1 ) + d(xn−1 , xn−2 ) + ... + d(xm+1 , xm )
6 (k n−1 + k n−2 + ... + k m )d(x1 , x0 )
km
6
d(x1 , x0 ).
1−k
i·u n y k²o theo
km
d(xn , xm ) 6
K kd(x1 , x0 )k
1−k
vîi måi n > m. Tø â ta câ
lim
n,m−→∞
d(xn , xm ) = 0.
16
Suy ra {xn} l d¢y Cauchy trong X . V¼ X l khæng gian nân ¦y õ
n¶n tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho n−→∞
lim xn = x∗ . Hìn núa, tø b§t ¯ng thùc
tr¶n ta câ
d(T x∗ , x∗ ) 6 d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ )
6 kd(xn , x∗ ) + d(xn+1 , x∗ ),
suy ra
kd(T x∗ , x∗ )k 6 K(kkd(xn , x∗ )k + kd(xn+1 , x∗ )k) −→ 0.
i·u n y k²o theo kd(T x∗, x∗)k = 0. Do â T x∗ = x∗ n¶n x∗ l iºm
b§t ëng cõa T .
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ X sao cho T y∗ = y∗, khi â ta câ
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ )
6 kd(x∗ , y ∗ ).
Suy ra kd(x∗, y∗)k = 0. i·u n y k²o theo x∗ = y∗. Vªy x0 l iºm b§t
ëng duy nh§t cõa T. ành lþ ÷ñc chùng minh.
H» qu£ 1.1. Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ, P l nân
chu©n tc vîi h¬ng sè K. Vîi c ∈ E, 0 c v x0 ∈ X , °t
B(x0 , c) = {x ∈ X : d(x0 , x) 6 c} .
Gi£ sû ¡nh x¤ T : X −→ X thäa m¢n i·u ki»n sau
d(T x, T y) 6 kd(x, y)
vîi måi x, y ∈ B(x0 , c), trong â k ∈ [0, 1) l mët h¬ng sè v d(T x0 , x0 ) 6
(1 − k)c. Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t trong B(x0 , c).
Chùng minh. Ta s³ chùng minh B(x0, c) l ¦y õ v
T : B(x0 , c) −→ B(x0 , c).
17
Thªt vªy gi£ sû {xn} l mët d¢y Cauchy trong B(x0, c). Khi â {xn}
công l d¢y Cauchy trong X. Do X ¦y õ, tçn t¤i x ∈ X sao cho
lim xn = x. M°t kh¡c ta câ
n−→∞
d(x0 , x) 6 d(xn , x0 ) + d(xn , x) 6 d(xn , x) + c
vîi måi n ≥ 1. Tø n−→∞
lim xn = x ta suy ra lim d(xn , x) = 0. Do vªy
n−→∞
d(x0 , x) 6 c n¶n x ∈ B(x0 , c), i·u n y k²o theo B(x0 , c) l ¦y õ.
M°t kh¡c vîi méi x ∈ B(x0, c), ta câ
d(x0 , T x) 6 d(T x0 , x0 ) + d(T x0 , T x)
6 (1 − k)c + kd(x0 , x)
6 (1 − k)c + kc = c.
Vªy T x ∈ B(x0, c), tùc l T : B(x0, c) −→ B(x0, c). p döng c¡ch
chùng minh cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co ta suy ra T câ iºm b§t ëng duy
nh§t trong B(x0, c).
H» qu£ 1.2. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ v P l nân
chu©n tc vîi h¬ng sè K . Gi£ sû ¡nh x¤ T : X −→ X thäa m¢n
d(T n x, T n y) 6 kd(x, y) vîi måi x, y ∈ X,
trong â n l mët sè nguy¶n d÷ìng v k ∈ [0, 1) l mët h¬ng sè. Khi
â T câ iºm b§t ëng duy nh§t.
Chùng minh. Tø ành lþ 1.2, T n câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗. V¼
T n (T x∗ ) = T (T n x∗ ) = T x∗ n¶n T x∗ công l iºm b§t ëng cõa T n .
Vªy T x∗ = x∗ do T n câ iºm b§t ëng duy nh§t. i·u n y suy ra x∗ l
mët iºm b§t ëng cõa T . V¼ iºm b§t ëng cõa T công l iºm b§t
ëng cõa T n n¶n iºm b§t ëng cõa T duy nh§t.
Chó þ. ành lþ 1.2 l c¡c mð rëng thüc sü cõa ành lþ iºm b§t ëng
cõa ¡nh x¤ co trong khæng gian m¶tric cho tr÷íng hñp khæng gian
- Xem thêm -
.PDF 
44 
136 
140 
