ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
Vilaisavanh LEUANGLITH
ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
Vilaisavanh LEUANGLITH
ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC
THÁI NGUYÊN - 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là sự nghiên cứu độc lập của tôi dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS Phạm Việt Đức, các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực.
Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào.
Tác giả
Vilaisavanh LEUANGLITH
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Trong quá trình làm luận văn, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình
của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã
luôn chỉ bảo tận tình, hướng dẫn và giúp đỡ em để em có thể hoàn thành luận
văn. Đồng thời em cũng xin phép gửi tới các thầy cô giáo trong khoa Sau đại
học và khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên lời cảm
ơn chân thành vì đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành
tốt luận văn của mình.
Xin cảm ơn các bạn học viên lớp cao học toán K21 đã luôn động viên,
chia sẻ khó khăn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tới những người thân trong gia đình đã luôn
động viên, quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô để luận văn
được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015
Tác giả
Vilaisavanh LEUANGLITH
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................iii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 2
1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức ................................ 2
1.2. Giả khoảng cách tương đối Kobayashi .................................................. 3
1.3. Hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài ................................... 5
1.4. Metric vi phân Kobayashi ...................................................................... 6
1.5. Không gian phức hyperbolic .................................................................. 8
1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic ....................................................... 9
1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình ....... 10
CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH
XẠ CHUẨN TẮC ............................................................................................... 16
2.1. Ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất ................................................... 16
2.2. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chuẩn tắc ........ 20
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 34
1
MỞ ĐẦU
Một trong những kết quả quan trọng của giải tích phức hyperbolic là
định lý thác triển hội tụ Noguchi phát biểu như sau: ‘‘Cho X là không gian con
phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y . M là
đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trên M . Giả sử
fn : M \ A
X
là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của M
A tới
ánh xạ chỉnh hình
f :M \ A
X.
Giả sử fn , f tương ứng là các thác triển chỉnh hình của fn , f từ M vào Y .
Khi đó fn
f trong H( M, Y ) ’’. Đã có nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên
cứu mở rộng định lý thác triển hội tụ định lý Noguchi lên các trường hợp khác
nhau. Mục đích của đề tài này là trình bày chi tiết kết quả của J. E. Joseph và
M. H. Kwach năm 1997 về mở rộng định lí thác triển hội tụ Noguchi đối với họ
các ánh xạ chuẩn tắc.
Bố cục của luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích phức hyperbolic. Đồng thời, trình bày một số kết quả về định lí thác triển
hội tụ của Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình.
Chương 2: Định lí thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc.
Đây là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày về ánh
xạ chuẩn tắc và một số tính chất của nó. Phần tiếp theo là một số định lí thác
triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc.
2
CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.1.1. Khoảng cách Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị
Giả sử D
Xét ánh xạ
D
z
1 là đĩa đơn vị mở trong
,z
xác định bởi:
: D D
1
D
(a, b)
ln
1
Ta có
D
.
a b
1 ba
; a, b
a b
1 ba
D.
là một khoảng cách trên D và gọi đó là khoảng cách Bergman
– Poincaré trên đĩa đơn vị.
1.1.2. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.1.2.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X .
H( D, X ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian
phức X được trang bị tôpô compact mở.
Xét dãy các điểm
p0
x, p1 ,..., pk
y của X , dãy các điểm
a1 , a2 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1 , f2 ,..., fk trong H( D, X ) thỏa mãn
fi (0)
pi 1 , fi (ai )
Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình
pi , i
1,2,..., k .
nối x với y là tập hợp :
p0 ,..., pk , a1 ,..., ak , f1 ,..., fk thỏa mãn các điều kiện trên.
n
Ta đặt L
D
(0, ai ) và định nghĩa dX ( x, y)
inf L
i 1
infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình
nối x với y .
trong đó
3
Dễ thấy d X thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là:
i) dX ( x, y)
0, x, y
X.
ii) dX ( x, y)
dX ( y, x ), x, y
iii) dX ( x, z)
d X ( x, y)
X.
dX ( y, z), x, y, z
X.
Nói cách khác d X là một giả khoảng cách trên X . Giả khoảng cách d X
được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X .
1.1.2.2. Tính chất
Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của d X :
i) dD
D
và dDn (( zi ),(w j ))
ii) Nếu f : X
Y thì dX ( p, q)
max ( zi , w j ) với mọi ( zi ),(w j )
j 1,n
Dn .
Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và
dY ( f ( p), f (q)), p, q
Từ đó suy ra rằng nếu f : X
dX ( p, q)
X.
Y là song chỉnh hình thì:
dY ( f ( p), f (q)), p, q
X.
iii) Đối với một không gian phức X tùy ý , hàm khoảng cách d X là lien
tục trên X
X.
iv) Nếu X và Y là các không gian phức thì với mọi x1, x2
y1, y2
X và
Y thì ta có:
max dX ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 )
dX Y (( x1, y1 ),( x2 , y2 )) .
1.2. Giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử Y là không gian phức và X là không gian con phức compact
tương đối trong Y .
Đặt
FX ,Y
f
H D, Y f 1 (Y \ X ) gồm có nhiều nhất 1 điểm
Ta định nghĩa giả khoảng cách tương đối d X ,Y trên X tương tự như giả
4
khoảng cách Kobayashi dY trên Y , nhưng chỉ dùng các dây chuyền chỉnh hình
thuộc FX ,Y . Cụ thể, xét dãy các điểm p0
p, p1,..., pk
q của X , dãy các điểm
a1, a2 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1,..., fk trong FX ,Y thỏa mãn
fi (0)
Tập hợp
pi 1, fi (ai )
pi ,
i
1,..., k
p0 ,..., pk , a1,..., ak , f1,..., fk thỏa mãn các điều kiện trên được gọi
là một dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X .
Ta định nghĩa
k
dX ,Y ( p, q)
inf
D
(0, ai ),
p ,q
,
i 1
trong đó
p ,q
là tập hợp tất cả các đây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X .
Khi đó dX ,Y : X
X
R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách tương đối Kobayashi.
Nếu p hoặc q nằm trên biên của X , dây chuyền chỉnh hình nối giữa hai
điểm có thể không tồn tại. Trong trường hợp này ta định nghĩa
dX ,Y ( p, q)
.
1.2.2. Một số tính chất của giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi
1.2.2.1. Giả khoảng cách tương đối Kobayashi d X ,Y là mở rộng của giả khoảng
cách Kobayashi d X theo nghĩa dX
1.2.2.2. Vì H( D, X )
FX ,Y
dX , X .
H( D, Y ) , ta có
dY
1.2.2.3. dD , D
dX ,Y
dX .
dD .
Thật vậy, bất đẳng thức dD , D
trên. Dùng ánh xạ đồng nhất IdD
dD là trường hợp đặc biệt của tính chất
FD ,D như là dây chuyền chỉnh hình nối hai
điểm của D ta nhận được bất đẳng thức ngược lại.
5
1.2.2.4. Tính chất giảm khoảng cách
Giả sử X , X ' tương ứng là các không gian con phức compact tương đối
của các không gian phức Y , Y ' . Nếu f : Y
mãn f ( X )
Y ' là ánh xạ chỉnh hình thỏa
X ' , thì
dX ',Y ' ( f ( p), f (q))
dX ,Y ( p, q)
X.
p, q
Hơn nữa, d X ,Y là khoảng cách lớn nhất trên X trong các giả khoảng
cách có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình f
FX ,Y . Tức là, nếu
X
là
giả khoảng cách trên X thỏa mãn
X
( f (a), f (b))
dD (a, b) với a, b
D và f
FX ,Y ,
thì
X
( p, q)
dX ,Y ( p, q) với p, q
X.
1.2.2.5. Định lí
Giả sử X
dX
Y và X '
X ',Y Y '
Y ' . Khi đó với p, q
X và p ', q ' Y ' ta có
max dX ,Y ( p, q), dX ',Y ' ( p ', q ') .
(( p, p '),(q, q '))
1.2.2.6. Hệ quả
dD k
Dn
k
, Dn
dDn .
1.2.2.7. Mệnh đề
Giả sử X
Y . Khi đó
(i) d X ,Y liên tục trên X
X và nửa liên tục dưới trên X
X.
(ii) Nếu X là phần bù của tập con giải tích đóng A của Y thì d X ,Y liên
tục trên Y Y .
1.3. Hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài
Giả sử X là đa tạp phức, một hàm độ dài E trên nón tiếp tuyến T ( X ) là
hàm thực, không âm, liên tục và thỏa mãn:
i. E(v)
ii. E(av)
0 nếu v
0.
a E(v) với a
, v T( X ) .
6
Nếu X là đa tạp phức và E là hàm độ dài trên X ta gọi d E là hàm
khoảng cách trên X sinh bởi hàm độ dài E được định nghĩa như sau:
Nếu
X là đường cong lớp C1 trên X , ta định nghĩa
: a, b
b
LE
b
E( '(t ))dt
a
a
Và gọi LE là độ dài đường cong
Với x, y
'(t ) E dt
ứng với hàm đội dài E .
X , ta gọi đường nối giữa x và y là hợp của hữu hạn các
đường cong lớp C1 sao cho điểm cuối của đường này là đểm đầu của
đường tiếp theo. Đội dài của đường nối giữa x và y ứng với hàm độ dài
cho trước được định nghĩa của là tổng của các độ dài của các đường cong
lớp C1 thành phần.
Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài E là khoảng cách được xác định bởi
dE ( x, y)
inf LE ( ),
trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường
nới x với y .
Nếu X là đa tạp hyperbolic và Y là đa tạp phức với hàm độ dài E thì ta
định nghĩa chuẩn df
E
của ánh xạ tiếp xúc của f H X ,Y ứng với hàm độ
dài E , xác định bởi:
df
E
sup df p E : p X ,
trong đó df p E sup E ((df ) p (v)) : K X p, v 1, v Tp X .
1.4. Metric vi phân Kobayashi
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử X là đa tạp phức. Khi đó ta định nghĩa K X là vi phân Kobayashi
trên M được xác định bởi :
K X ( p, v)
p
inf r
X , v Tp X ; d
0 : (0)
p, d (0, re)
là ánh xạ tiếp xúc của
v;
H( D, X ) trong đó
và e là véc tơ đơn vị tại 0 D .
7
1.4.2. Một số tính chất của K X
i. Nếu X , Y là hai không gian phức thì
KY ( f* (v))
K X (v) với f
H( X , Y ), v TX .
Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song chỉnh hình.
ii. + Trong đĩa đơn vị D , K D đồng nhất với metric Bergman-Poicaré, tức
là K D2
ds .
+ K
m
0.
iii. Trong không gian phức X ta có
K X ( f*u)
u, f
H( D, X ), u TD .
Hơn nữa nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên TX thỏa mãn
u với f
E( f*u)
H( D, X ), u TD ,
thì
E(v)
K X (v), u TX .
iv. Giả sử X , Y là các không gian phức, ta có
K X Y (u, v)
max K X (u), KY (v) với u TX , v TY .
v. Giả sử X là không gian phức và
hình của X . Khi đó K X
*
:X
X là không gian phủ chỉnh
KX .
1.4.3. Định lí
Giả sử X là đa tạp phức, x, y
X . Khi đó
1
d X ( x, y)
K X ( (t ))dt ,
inf
0
trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc
: 0,1
(t )
X nối x với y và
*
(( / t )t ) .
8
1.4.4. Định nghĩa
Giả sử M là đa tạp con phức của đa tạp phức N . Ta định nghĩa metric vi
phân K M ,N như sau :
K M ,N (v)
trong đó FM,N
inf
1
, f
r
H( D, N ); f 1 (N
f
v với v TM ,
FM ,N sao cho f '(e)
M) cã nhiÒu nhÊt mét ®iÓm .
1.5. Không gian phức hyperbolic
1.5.1. Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng
cách Kobayashi d X là khoảng cách trên X , tức là:
dX ( p, q)
p
0
X.
q, p, q
1.5.2. Ví dụ
(1). D là không gian phức hyperbolic vì dD
mà
D
D
là khoảng cách
trên D nên d D cũng là khoảng cách trên D .
n
(2).
không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử d
n
Kobayashi trên
cách trên
n
, ta chỉ ra rằng d
n
. Với x, y
, p
n
dD (0, p)
Cho p
không phải là khoảng
n
n
x
y
x
p
Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, f ( x )
cách đối với d D và d
là giả khoảng cách
0) ta xét ánh xạ:
D( p
f: D
z
0 và do đó d
n
n
z.
0, f ( p)
y . Do f làm giảm khoảng
nên ta có:
d n ( f (0), f ( p))
0 ta có d n ( x, y)
0 . Vậy
n
d n ( x, y)
D
(0, p) .
không là hyperbolic.
1.5.3. Tính chất
i) Nếu X , Y là các không gian phức thì X
Y là không gian hyperbolic
9
khi và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic.
ii) Không gian con phức của một không gian hyperbolic là không gian
hyperbolic.
iii) Giả sử X là không gian phức, Y là không gian hyperbolic và
Y là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì X cũng là hyperbolic.
f :X
1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó ta nói
X là nhúng hyperbolic trong Y nếu
x, y
y luôn tồn tại các lân cận
X; x
mở U của x và V của y trong Y sao cho dX ( X
U, X
V)
0 . Trong đó d X
là giả khoảng cách Kobayashi trên X .
1.6.2. Nhận xét
i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng
hyperbolic trong chính nó.
ii) Nếu X 1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X 2 là nhúng hyperbolic trong
Y2 thì X 1
X 2 là nhúng hyperbolic trong Y1 Y2 .
iii) Nếu có hàm khoảng cách
mọi x, y
trên X thỏa mãn dX ( x, y)
( x, y) với
X thì X là nhúng hyperbolic trong Y .
1.6.3. Định lí
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó các
điều kiện sau là tương đương
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y .
HI2. X là hyperbolic và xn , yn là các dãy trong X thỏa mãn
xn
x
X , yn
y
X , dX ( xn , yn )
0 thì x
y.
HI3. Giả sử xn , yn là các dãy trong X thỏa mãn
xn
x
X , yn
y
X.
10
Khi đó nếu dX ( xn , yn )
0 khi n
thì x
y.
HI4. Cho hàm độ dài H trên Y , tồn tại hàm liên tục, dương
sao cho với mọi f
trên Y
H( D, X ) ta có
f * ( H)
HD ,
trong đó HD là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D .
HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f
f *H
H( D, X ) ta có
HD .
1.6.4. Định lí
Giả sử X là một không gian phức, compact tương đối trong không gian
phức Y . Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu :
dX ,Y ( p, q)
0, p, q
X,p
q.
1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình
1.7.1. Định nghĩa
Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor. Ta nói A có
giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1,..., zm trong M
sao cho về mặt địa phương
Dr
M\A
Ds với r
s
m
1.7.2. Định lí Noguchi trên D
Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic
trong không gian phức Y . Cho f
fn
f thì fn
H( D* , X ) và
fn
H( D* , X ) . Khi đó nếu
f . Trong đó fn , f lần lượt là các thác triển của fn , f .
1.7.3. Định lí Noguchi
Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic
trong không gian phức Y . M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn
tắc trên M . Giả sử
fn : M \ A
X
11
là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của M \ A tới
ánh xạ chỉnh hình
X.
fn : M \ A
Giả sử fn , f tương ứng là các thác triển chỉnh hình của fn , f từ M vào Y .
Khi đó fn
f trong H( M, Y ) .
1.7.4. Định lí Ascoli
1.7.4.1. Định nghĩa
Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không
gian tô pô Y . Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ x
X tới y Y nếu với
mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của x và lân cận W
của điểm y sao cho
nếu f ( x ) W thì f (V) U với mọi f
Nếu F là liên tục đồng đều với mọi x
F.
X và mọi y Y thì F được gọi
là liên tục đồng đều từ X đến Y .
1.7.4.2. Định lí Ascoli
Giả sử X là một không gian chính quy compact địa phương và Y là một
không gian chính quy. Khi đó, họ F C X ,Y là compact tương đối trong
C X ,Y khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) F là liên tục đồng đều,
(2) F x f x f F là compact tương đối trong Y với mỗi
x X.
1.7.5. Hàm đa điều hòa dƣới
+ Giả sử D là miền trong
. Một C 2 -hàm h xác định trên D được gọi
là điều hòa nếu
2
h
: 4
h
z z
0 trên D .
12
+ Hàm u : D
,
) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u
thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) u là nửa liên tục trên trong D , tức là tập z
s là tập mở
D;u(z)
với mỗi số thực s ;
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm
R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u
h:G
thì u
h trên
G
h trên G .
Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z . Giả sử
M là một không gian con phức của không gian phức X .
1.7.6. Định nghĩa
Một không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và tồn tại
một
hàm
Xc
x
đa
điều
hòa
dưới
liên
c là compact với mỗi c
X , ( x)
tục
:X
(
,0)
sao
cho
0.
1.7.7. Định lý
Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z . Giả sử
M là một miền hyperbolic compact tương đối trong không gian phức X . Giả
sử có một lân cận U của M trong X sao cho U
ánh xạ chỉnh hình f : Z \ H
M là siêu lồi. Khi đó bất kỳ
M đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình
từ Z vào trong M .
Hơn nữa, nếu
fj : Z \ H
M
j 1
là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội
tụ đều trên các tập con compact của Z \ H tới ánh xạ chỉnh hình
f :Z \ H
M , thì f j
f , ở đó f j : Z
j 1
cũng hội tụ đều trên các tập con compact của Z tới
M và f : Z
M là các thác triển chỉnh hình của f j và f
trên Z .
Chứng minh.
(i) Trước hết là xét trường hợp khi Z
D và H
0 .
13
Theo định lý của Kobayashi, ta chỉ cần chứng minh có một dãy zn
D hội
tụ đến một điểm của M .
Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó ta có thể giả thiết với mỗi dãy
zn
D với zn
có thể tìm được
0 , dãy
f ( zn ) hội tụ đến một điểm trong
0 đủ nhỏ sao cho f D
U . Gọi
M . Do đó, ta
là hàm đa điều hòa
dưới vét cạn của U . Đặt h
f trên D khi đó h là hàm điều hòa dưới, và
với mỗi dãy zn
0 , h( zn )
D với zn
0 . Điều này kéo theo h thác triển
liên tục được đến hàm h trên D . Theo định lý về khử kỳ dị của các hàm điều
hòa, ta có h là hàm điều hòa dưới trên D . Ta có h( z)
h(0)
0 nếu z
và
0 , vì vậy h đạt cực đại tại gốc O . Điều này là vô lý.
(ii) Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi ánh xạ chỉnh hình
f :Z \ H
M
đều thác triển chỉnh hình được trên Z .
Ta có thể giả thiết H không có kỳ dị, tức là ta thác triển f lên Z \ S( H )
sau đó lên Z \ S( S( H)) và cứ tiếp tục như vậy, trong đó S (Y ) là tập các kỳ dị
của không gian phức Y .
Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta có thể giả thiết rằng
Z
Dm
Dm
1
Với mỗi z
fz ( z )
D và H
Dm
1
0 .
Dm 1 , xét ánh xạ chỉnh hình fz : D
f ( z , z) với mỗi z
D.
Theo (i), tồi tại thác triển chỉnh hình fz : D
Định nghĩa ánh xạ f : Dm
(z , z) Dm
1
M được cho bởi
1
D
M của fz với mỗi z
M bởi f (z , z)
f z (z) với mọi
D . Ta chỉ cần chứng minh rằng f là liên tục tại
z0 ,0
Dm
1
D.
Dm 1 .
14
Thật vậy, giả sử
zk , zk
Dm
1
D sao cho
z0 ,0 .
zk , zk
Lấy dãy zk
D sao cho lim dD ( zk , zk )
k
0 . Ta có
dM ( f (zk , zk ), f (z0 ,0))
dM ( f (zk , zk ), f zk , zk
dM ( fzk (zk ), fzk (zk ))
dD (zk , zk )
dM ( f zk , zk , f z0 , zk
dM ( f z0 , zk , f z0 ,0
dM ( f (zk , zk ), f (z0 , zk ))
dDm 1 (zk , z0 )
dM ( fz0 (zk ), fz0 (0))
dD (zk ,0) với mọi k
1.
Từ đó
0,
lim dM ( f ( zk , zk ), f (z0 ,0))
k
tức là
f (zk , zk )
f ( z0 ,0) khi k
,
Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh.
(iii) Giả sử f j
fj
H( Z \ H, M) thỏa mãn
H( Z \ H, M) trong H( Z \ H, M) .
f
Ta sẽ chứng tỏ rằng f j
f trong H( Z, M) .
Trước hết ta có thể giả thiết H không có kỳ dị vì khẳng định của ta đúng
trên Z \ S( H ) sau đó trên Z \ S( S( H)) và cứ tiếp tục như vậy.
Giả sử
H
Dm
1
0
là điểm tùy ý của H . Ta có thể giả thiết Z
0 và
0
(0,0) . Đặt a0
f(
0
) . Với điểm y
dương r , ta đặt
BM ( y, r )
Tương tự, với điểm
Z và r
BZ ( , r )
y
M : dM ( y, y )
r .
0 , ta đặt
Z : dZ ( , )
r .
Dm và
M và số thực
15
Trước hết ta chứng tỏ rằng với số
trong Z sao cho f (V0 )
0 bất kỳ, tồn tại lân cận V0 của
BM (a0 , ) và f j (V0 )
BM (a0 , ) với mọi j
0
j0 . Thật
vậy, lấy điểm
BZ ( 0 , ) \ H .
3
1
Ta có f ( 1 )
BM (a0 , ) . Có số nguyên j0 sao cho
3
fj ( 1)
BM (a0 ,
2
) với mọi j
3
j0 .
Vì vậy ta có
f j ( BZ ( 1, )
3
BM (a0 , ) .
Đặt
V0
BZ ( 0 , )
3
BZ ( 1, ) .
3
Khi đó
0
Lấy
V0 , f (V0 )
BM (a0 , ) và f j (V0 )
fj
D
Dm
m
hội tụ đều đến f
với giới hạn f
j 1
j0 .
0 đủ nhỏ sao cho BM (a0 , ) được chứa trong một lân cận tọa độ
địa phương của a0 trong M . Chọn
fj
BM (a0 , ) với mọi j
( D )m
Dm
0 đủ bé sao cho Dm
V0 . Vì
, từ nguyên lý cực đại suy ra sự hội tụ đều của
. Định lý được chứng minh.
- Xem thêm -