ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------*-------
NGÔ THỊ THÚY HẰNG
CĂN NGUYÊN THỦY, TRƯỜNG CHIA
ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2015
Môc lôc
Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1 §a thøc chia ®-êng trßn
5
1.1
C¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
§a thøc chia ®-êng trßn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
TÝnh bÊt kh¶ quy cña ®a thøc chia ®-¬ng trßn . . . . . . .
19
2 Tr-êng chia ®-êng trßn
23
2.1
Tr-êng ph©n r· cña ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2
Tr-êng chia ®-êng trßn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3 Mét sè øng dông trong to¸n s¬ cÊp
33
3.1
Sö dông c¨n vµ c¨n nguyªn thñy cña ®¬n vÞ . . . . . . . .
33
3.2
Sö dông ®a thøc chia ®-êng trßn . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3
Sö dông tr-êng chia ®-êng trßn . . . . . . . . . . . . . . .
39
KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1
2
Lêi c¶m ¬n
Tr-íc hÕt, t«i xin göi lêi biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c tíi PGS.TS Lª
ThÞ Thanh Nhµn. C« ®· dµnh nhiÒu thêi gian vµ t©m huyÕt trong viÖc h-íng
dÉn. Sau qu¸ tr×nh nhËn ®Ò tµi vµ nghiªn cøu d-íi sù h-íng dÉn khoa häc
cña C«, luËn v¨n "C¨n nguyªn thñy, tr-êng chia ®-êng trßn vµ øng dông"
cña t«i ®· ®-îc hoµn thµnh. Cã ®-îc kÕt qu¶ nµy, ®ã lµ nhê sù d¹y b¶o tËn
t×nh vµ nghiªm kh¾c cña C«.
T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn Ban Gi¸m hiÖu, Phßng §µo
t¹o vµ Khoa To¸n-Tin cña Tr-êng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn
®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i tr-êng còng
nh- thêi gian t«i hoµn thµnh ®Ò tµi nµy. Sù gióp ®ì nhiÖt t×nh vµ th¸i ®é
th©n thiÖn cña c¸c c¸n bé thuéc Phßng §µo t¹o vµ Khoa To¸n-Tin ®· ®Ó l¹i
trong lßng mçi chóng t«i nh÷ng Ên t-îng hÕt søc tèt ®Ñp.
T«i xin c¶m ¬n Së Gi¸o dôc - §µo t¹o Qu¶ng Ninh vµ tr-êng trung häc
phæ th«ng V¨n Lang - n¬i t«i ®ang c«ng t¸c ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i hoµn
thµnh khãa häc nµy.
T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ ®ång nghiÖp vµ c¸c thµnh viªn trong
líp cao häc To¸n K7Q (Khãa 2013-2015) ®· quan t©m, t¹o ®iÒu kiÖn, ®éng
viªn cæ vò ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh.
3
Lêi nãi ®Çu
Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. Khi ®ã cã ®óng n c¨n bËc n cña ®¬n vÞ,
®ã lµ c¸c sè phøc εk = cos 2kπ
+ i sin 2kπ
, k = 0, 1, . . . , n − 1. Ta biÕt r»ng
n
n
εk lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu vµ chØ nÕu gcd(k, n) = 1. V×
thÕ cã ®óng ϕ(n) c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ, trong ®ã ϕ lµ hµm
Euler. Gäi εk1 , . . . , εkϕ(n) lµ c¸c c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Khi ®ã
®a thøc chia ®-êng trßn thø n, kÝ hiÖu lµ Φn (x), lµ ®a thøc bËc ϕ(n) ®-îc
cho bëi c«ng thøc Φn (x) = (x − εk1 ) . . . (x − εkϕ(n) ). Tr-êng ph©n r· cña ®a
thøc f (x) = xn − 1 trªn tr-êng Q gäi lµ tr-êng chia ®-êng trßn thø n vµ
®-îc ký hiÖu lµ Qn . NÕu ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ th×
tr-êng chia ®-êng trßn Qn chÝnh lµ tr-êng Q(ε). Chó ý r»ng ®a thøc chia
®-êng trßn Φn (x) lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy cña ε, do ®ã tr-êng chia ®-êng
trßn thø n trªn Q cã bËc lµ ϕ(n). Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy
mét sè kÕt qu¶ vÒ c¨n nguyªn thñy, ®a thøc chia ®-êng trßn, tr-êng chia
®-êng trßn vµ nh÷ng øng dông trong mét sè bµi to¸n s¬ cÊp.
LuËn v¨n gåm 3 ch-¬ng. Ch-¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc vÒ ®a thøc
chia ®-êng trßn, gåm c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ, ®a thøc chia ®-êng
trßn vµ tÝnh bÊt kh¶ quy cña ®a thøc chia ®-êng trßn. Mét sè kÕt qu¶ quan
träng cña ®a thøc chia ®-êng trßn ®-îc chøng minh chi tiÕt nh- c«ng thøc
Y
n
x −1 =
Φd (x) (xem §Þnh lÝ 1.2.4), Φn (x) cã c¸c hÖ sè ®Òu nguyªn
d|n
(xem §Þnh lý 1.2.6), c«ng thøc tÝnh Φn (x) dùa vµo nghÞch chuyÓn Mobius
(xem MÖnh ®Ò 1.2.10) vµ tÝnh bÊt kh¶ quy cña Φn (x) (xem §Þnh lý 1.3.4).
Ch-¬ng 2 nghiªn cøu vÒ tr-êng chia ®-êng trßn gåm tr-êng ph©n r· cña
®a thøc vµ tr-êng chia ®-êng trßn. Chóng t«i chøng minh r»ng víi mçi ®a
thøc f (x) víi hÖ sè trªn mét tr-êng K cã bËc n ≥ 1, tån t¹i mét tr-êng
4
ph©n r· cña f (x) trªn K (xem §Þnh lý 2.1.9). Tr-êng chia ®-êng trßn thø
n, kÝ hiÖu lµ Qn , ®-îc hiÓu lµ tr-êng ph©n r· cña ®a thøc chia ®-êng trßn
thø n trªn Q. Chóng t«i chøng minh r»ng bËc cña më réng tr-êng chia
®-êng trßn thø n lµ ϕ(n) (xem §Þnh lý 2.2.3). Mét sè mèi quan hÖ gi÷a
c¸c tr-êng chia ®-êng trßn còng ®-îc tr×nh bµy trong ch-¬ng nµy (xem
§Þnh lý 2.2.5 vµ §Þnh lý 2.2.6).
Trong Ch-¬ng 3, chóng t«i sö dông c¸c kÕt qu¶ vÒ c¨n nguyªn thñy, ®a
thøc chia ®-êng trßn, tr-êng chia ®-êng trßn ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n s¬
cÊp. Chóng t«i chøng minh mét sè kÕt qu¶ ®· biÕt trong sè häc (xem Bµi
to¸n 3.1.1), trong h×nh häc (xem Bµi to¸n 3.1.3); tÝnh gi¸ trÞ cos 2π
vµ sin 2π
n
n
(xem Bµi to¸n 3.2.1); ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö bÊt kh¶ quy trªn Q
(xem Bµi to¸n 3.2.2 vµ Bµi to¸n 3.2.3); gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
(xem Bµi to¸n 3.2.4). §Æc biÖt, sö dông tr-êng chia ®-êng trßn, chóng t«i
2π
®-a ra lêi gi¶i hai bµi to¸n s¬ cÊp liªn quan ®Õn gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i e n
(xem Bµi to¸n 3.3.1 vµ Bµi to¸n 3.3.2).
Ch-¬ng 1
§a thøc chia ®-êng trßn
Trong suèt ch-¬ng nµy, lu«n kÝ hiÖu N = {0, 1, 2, . . .} lµ tËp c¸c sè nguyªn
kh«ng ©m vµ N∗ = N \ {0} lµ tËp c¸c sè tù nhiªn. KÝ hiÖu Q, R, C lÇn l-ît
lµ tr-êng sè h÷u tû, tr-êng sè thùc vµ tr-êng sè phøc.
1.1 C¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ
1.1.1 §Þnh nghÜa. Cho ε ∈ C vµ n ∈ N∗ . Khi ®ã ε ®-îc gäi lµ mét c¨n
bËc n cña ®¬n vÞ nÕu εn = 1.
Chó ý r»ng cã ®óng n c¨n bËc n cña ®¬n vÞ, ®ã lµ
εk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
n
n
1.1.2 §Þnh nghÜa. Cho n lµ mét sè nguyªn d-¬ng vµ ε lµ mét c¨n bËc n
cña ®¬n vÞ. Khi ®ã ε ®-îc gäi lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu ε
kh«ng lµ c¨n bËc nhá h¬n n cña ®¬n vÞ.
Chó ý r»ng sè phøc ε lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu vµ chØ
nÕu n lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt tháa m·n εn = 1.
1.1.3 VÝ dô. a) C¸c c¨n bËc 3 cña ®¬n vÞ lµ
√
√
1 i 3
1 i 3
, ε2 = − −
.
ε0 = 1, ε1 = − +
2
2
2
2
5
6
Ta cã ε10 = 1, do ®ã ε0 kh«ng lµ c¨n nguyªn thñy bËc 3 cña ®¬n vÞ. Ta cã
ε1 6= 1, ε21 = ε2 6= 1 vµ ε31 = 1. V× thÕ ε1 lµ c¨n nguyªn thñy bËc 3 cña ®¬n
vÞ. Ta còng kiÓm tra ®-îc ε2 lµ c¨n nguyªn thñy bËc 3 cña ®¬n vÞ.
b) C¸c c¨n bËc 4 cña ®¬n vÞ lµ 1, i, −1, −i. Sè i lµ c¨n nguyªn thñy bËc
4 cña ®¬n vÞ v× i4 = 1 vµ in 6= 1 víi n = 1, 2, 3. T-¬ng tù, −i lµ c¨n nguyªn
thñy bËc 4 cña ®¬n vÞ.
1.1.4 MÖnh ®Ò. (Tiªu chuÈn cña c¨n nguyªn thñy). Cho n lµ sè nguyªn
d-¬ng. KÝ hiÖu
εk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
n
n
Khi ®ã εk lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu vµ chØ nÕu
gcd(k, n) = 1.
Chøng minh. Gi¶ sö εk lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Khi ®ã n
lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt tháa m·n εnk = 1. Gi¶ sö gcd(k, n) = d > 1.
Khi ®ã n/d < n. Ta cã
n
2kπ nd
2kπ
2kπ
2kπ
d
εk = cos
+ i sin
+ i sin
= 1.
= cos
n
n
d
d
§iÒu nµy v« lÝ. VËy d = 1, hay gcd(k, n) = 1.
Ng-îc l¹i, cho gcd(k, n) = 1. Chó ý r»ng εk lµ mét c¨n bËc n cña ®¬n
vÞ, nghÜa lµ εnk = 1. Gäi t lµ sè nguyªn d-¬ng bÐ nhÊt tháa m·n εtk = 1. Ta
cã
εtk = cos
2ktπ
2ktπ
+ i sin
= 1.
n
n
2ktπ
= m2π víi m lµ mét sè nguyªn. Do ®ã kt lµ béi cña n. Theo
n
gi¶ thiÕt, gcd(k, n) = 1. Do ®ã t lµ béi cña n. Suy ra t = n, tøc lµ n lµ sè
Suy ra
nguyªn d-¬ng nhá nhÊt tháa m·n εnk = 1. VËy εk lµ c¨n nguyªn thñy bËc
n cña ®¬n vÞ.
7
Tõ ®©y ®Õn hÕt luËn v¨n, lu«n kÝ hiÖu
εk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
n
n
KÝ hiÖu ϕ : N∗ → N lµ hµm Euler, tøc lµ ϕ(1) = 1 vµ ϕ(n) lµ sè c¸c sè tù
nhiªn nhá h¬n n vµ nguyªn tè cïng nhau víi n.
1.1.5 NhËn xÐt. i) V× gcd(1, n) = 1 nªn theo MÖnh ®Ò 1.1.4, ε1 lu«n lµ c¨n
nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ.
ii) Tõ ®Þnh nghÜa hµm Euler, nÕu n lµ sè nguyªn d-¬ng th× cã ®óng ϕ(n)
c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ.
1.1.6 MÖnh ®Ò. NÕu ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ th× εa = εb
nÕu vµ chØ nÕu a ≡ b (mod n).
Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ.
Khi ®ã εn = 1 vµ εm 6= 1, ∀m < n. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö a > b.
(⇒) Gi¶ sö εa = εb . Khi ®ã εa−b = 1. Chia a−b cho n ta ®-îc a−b = n.q+r
víi 0 ≤ r < n suy ra 1 = εa−b = εn.q+r = εr . V× ε lµ c¨n nguyªn thñy bËc
n cña ®¬n vÞ nªn ta ph¶i cã r = 0 hay a ≡ b (mod n).
.
(⇐) Gi¶ sö a ≡ b (mod n). Khi ®ã a − b .. n suy ra a − b = tn víi t ∈ Z
Do ®ã εa−b = εtn = (εn )t = 1t = 1 hay εa = εb
Chó ý r»ng nÕu ε lµ c¨n bËc n cña ®¬n vÞ th× a ≡ b (mod n) kÐo theo
εa = εb , nh-ng ®iÒu ng-îc l¹i kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n víi n = 4 vµ
ε = −1. Ta cã 2 6≡ 0(mod 4) nh-ng ε2 = 1 = ε0 .
1.1.7 Bæ ®Ò. NÕu ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ th× tËp c¸c
c¨n bËc n cña ®¬n vÞ lµ {1, ε1 , ε2 , . . . , εn−1 }.
Chøng minh. Víi mäi sè d-¬ng k ta cã (εk )n = 1. V× thÕ εk lµ mét c¨n
bËc n cña ®¬n vÞ. Ta kh¼ng ®Þnh nÕu 0 6 i < j 6 n lµ hai sè nguyªn d-¬ng
8
th× εi 6= εj . ThËt vËy, gi¶ sö εi = εj . Khi ®ã εj−i = 1. V× j − i lµ sè nguyªn
d-¬ng vµ ε lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nªn ta cã j − i ≥ n,
®iÒu nµy lµ v« lÝ. Do ®ã kh¼ng ®Þnh ®-îc chøng minh. Nh- vËy, c¸c sè
1, ε1 , ε2 , . . . , εn−1 lµ c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ vµ ®«i mét kh¸c nhau. Chó ý
r»ng cã ®óng n c¨n bËc n cña ®¬n vÞ. V× thÕ bæ ®Ò ®-îc chøng minh.
Nh¾c l¹i r»ng mét tËp G cïng víi phÐp nh©n lµm thµnh mét nhãm nÕu
phÐp nh©n cã tÝnh kÕt hîp, trong G cã phÇn tö ®¬n vÞ vµ mäi phÇn tö cña
G ®Òu kh¶ nghÞch. Mét nhãm G ®-îc gäi lµ nhãm xyclic nÕu tån t¹i mét
phÇn tö u ∈ G sao cho G = {uk | k ∈ Z}. Trong tr-êng hîp nµy ta còng
nãi G lµ nhãm xyclic sinh bëi u.
1.1.8 HÖ qu¶. Víi mçi sè tù nhiªn n, tËp Gn c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ lµm
thµnh mét nhãm xyclic víi phÐp nh©n th«ng th-êng.
Chøng minh. Cho u, v ∈ Gn . Khi ®ã un = v n = 1. Suy ra (uv)n = 1. V×
thÕ uv ∈ Gn . Do ®ã phÐp nh©n lµ ®ãng trong Gn . Râ rµng phÐp nh©n trong
Gn cã tÝnh kÕt hîp. PhÇn tö 1 ∈ Gn ®ãng vai trß lµ ®¬n vÞ cña Gn . Víi
u ∈ Gn ta cã (1/u)n = 1/un = 1, do ®ã 1/u ∈ Gn . V× thÕ Gn lµ mét nhãm
víi phÐp nh©n. LÊy ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Tõ Bæ ®Ò
1.1.7 ta cã
Gn = {εk | k ∈ Z} = {εk | k = 0, 1, . . . , n − 1}.
Do ®ã Gn lµ nhãm xyclic sinh bëi ε.
1.2 §a thøc chia ®-êng trßn
Môc tiªu cña tiÕt nµy lµ tr×nh bµy kh¸i niÖm ®a thøc chia ®-êng trßn
thø n, kÝ hiÖu lµ Φn (x), vµ chøng minh mét sè kÕt qu¶ quan träng vÒ ®a
thøc chia ®-êng trßn. Cô thÓ, chóng t«i sÏ chøng minh:
9
(a)
Q
Φd (x) = xn − 1 (xem §Þnh lÝ 1.2.4).
d|n
(b) C¸c hÖ sè cña Φn (x) ®Òu lµ sè nguyªn (xem §Þnh lÝ 1.2.6).
µ(d)
Q n
(c) Φn (x) =
xd − 1
, trong ®ã µ lµ hµm Mobius (xem §Þnh lÝ
d|n
1.2.10).
Trong suèt tiÕt nµy, ta kÝ hiÖu εk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
víi k =
n
n
0, 1, . . . , n − 1 lµ c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ.
1.2.1 §Þnh nghÜa. Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. §a thøc chia ®-êng trßn
thø n, kÝ hiÖu lµ Φn (x), ®-îc ®Þnh nghÜa lµ tÝch cña c¸c ®a thøc tuyÕn tÝnh
x − ε, trong ®ã ε ch¹y trªn c¸c c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ.
Tõ MÖnh ®Ò 1.1.4, sè phøc εk lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu
vµ chØ nÕu gcd(k, n) = 1. Do ®ã ta cã
Y
Φn (x) =
(x − εk ).
(k,n)=1
k=1,...,n−1
Râ rµng ®a thøc chia ®-êng trßn thø n lµ ®a thøc d¹ng chuÈn (cã hÖ sè cao
nhÊt b»ng 1) vµ cã bËc lµ ϕ(n).
√
1
3
1.2.2 VÝ dô. (i) C¸c c¨n nguyªn thuû bËc 3 cña ®¬n vÞ lµ ε1 = − + i
2
2
√
1
3
vµ ε2 = − − i . Do ®ã ®a thøc chia ®-êng trßn thø 3 lµ
2
2
√
√
1
1
3
3
Φ3 (x) = x +
−i
x+
+i
= x2 + x + 1.
2
2
2
2
(ii) C¸c c¨n nguyªn thuû bËc 4 cña ®¬n vÞ lµ ε1 = i vµ ε3 = −i. §a thøc
chia ®-êng trßn thø 4 lµ
Φ4 (x) = (x − i)(x + i) = x2 + 1.
10
Sau ®©y lµ mét sè ®a thøc chia ®-êng trßn Φn (x) víi n 6 15.
Φ1 (x) = x − 1;
Φ2 (x) = x + 1;
Φ3 (x) = x2 + x + 1;
Φ4 (x) = x2 + 1;
Φ5 (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1;
Φ6 (x) = x2 − x + 1;
Φ7 (x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;
Φ8 (x) = x4 + 1;
Φ9 (x) = x6 + x3 + 1;
Φ10 (x) = x4 − x3 + x2 − x + 1;
Φ11 (x) = x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;
Φ12 (x) = x4 − x2 + 1;
Φ13 (x) = x12 + x11 + x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;
Φ14 (x) = x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1;
Φ15 (x) = x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1.
Khi n lµ sè nguyªn tè, chóng ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®-îc ®a thøc chia ®-êng
trßn thø n vµ 2n.
1.2.3 MÖnh ®Ò. Cho n lµ sè nguyªn tè. Khi ®ã
n−1
P k
2
n−1
(i) Φn (x) = 1 + x + x + . . . + x
=
x .
k=0
(ii) NÕu n lµ sè nguyªn tè lÎ th×
2
Φ2n (x) = 1 − x + x − . . . + x
n−1
n−1
X
=
(−1)k xk .
k=0
11
Chøng minh. i) Khi n lµ sè nguyªn tè ta cã (k, n) = 1 víi mäi k =
1, 2, . . . , n − 1. Do ®ã
Φn (x) =
n−1
Y
n−1
k=1
k=0
X
xn − 1
= 1 + x + . . . + xn−1 =
(x − εk ) =
xk .
x−1
ii) Gäi ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Ta ®i chøng minh
−ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc 2n cña ®¬n vÞ. Ta cã εn = 1, suy ra
(−ε)2n = ε2n = (εn )2 = 1
Ta cã kÕt qu¶ víi 0 < k < n th× εk 6= −1. ThËt vËy, gi¶ sö εk = −1 khi ®ã
ε2k = 1 vµ ε2n−2k = 1. §iÒu nµy chøng tá 2k < n vµ 2n − 2k < n (m©u
thuÉn) suy ra εk 6= −1 víi 0 < k < n.
Khi ®ã (−ε)k 6= 1 vµ (−ε)n+k = −(−ε)k 6= 1. VËy −ε lµ mét c¨n nguyªn
thñy bËc 2n cña ®¬n vÞ.
MÆt kh¸c, víi n lÎ ta ®· biÕt ϕ(2n) = ϕ(n). Do ®ã tËp c¸c c¨n nguyªn
thñy bËc 2n cña ®¬n vÞ lµ −ε1 , . . . , −εϕ(n) Khi ®ã ta cã
Φ2n (x) = (x + ε1 ) . . . (x + εϕ(n) );
Φn (−x) = (−x − ε1 ) . . . (−x − εϕ(n) ).
Mµ víi n lÎ, n 6= 1 th× ϕ(n) ch½n. VËy Φ2n (x) = Φn (−x).
Khi n lµ mét sè nguyªn tè, theo i) ta cã
Φ2n (x) = Φn (−x) =
n−1
P
(−1)k xk .
k=0
§Þnh lÝ sau ®©y cho phÐp chóng ta ph©n tÝch ®a thøc xn − 1 thµnh tÝch
cña c¸c ®a thøc chia ®-êng trßn.
1.2.4 §Þnh lý. Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. Khi ®ã
Y
Φd (x) = xn − 1.
d|n
12
Chøng minh. V× xn − 1 vµ
Q
Φd (x) ®Òu cã d¹ng chuÈn (cã hÖ sè cao nhÊt
d|n
b»ng 1) nªn ®Ó chøng minh hai ®a thøc nµy b»ng nhau ta chØ cÇn chøng
minh chóng kh«ng cã nghiÖm béi vµ cã cïng tËp nghiÖm.
Ta ®· biÕt mét ®a thøc cã nghiÖm béi nÕu vµ chØ nÕu ®a thøc ®ã vµ ®¹o
hµm cña nã ph¶i cã nghiÖm chung. §a thøc xn − 1 cã c¸c nghiÖm ®Òu kh¸c
0, trong khi ®ã ®¹o hµm cña nã lµ nxn−1 chØ cã duy nhÊt nghiÖm b»ng 0.
V× vËy ®a thøc xn − 1 kh«ng cã nghiÖm béi. Chó ý r»ng c¸c nghiÖm cña
xd − 1 lµ c¸c c¨n bËc d cña ®¬n vÞ. Trong khi ®ã, c¸c nghiÖm cña Φd (x)
lµ c¸c c¨n nguyªn thñy bËc d cña ®¬n vÞ. V× thÕ mçi nghiÖm cña Φd (x)
lµ mét nghiÖm cña xd − 1. Do xd − 1 kh«ng cã nghiÖm béi nªn Φd (x)
kh«ng cã nghiÖm béi. Gi¶ sö d vµ d0 lµ hai -íc kh¸c nhau cña n. NÕu ε lµ
nghiÖm cña Φd (x) th× d lµ sè nguyªn d-¬ng bÐ nhÊt tháa m·n εd = 1. Suy
ra ε kh«ng lµ c¨n nguyªn thñy bËc d0 cña 1, tøc lµ ε kh«ng lµ nghiÖm cña
Q
Φd0 (x) V× thÕ, c¸c nghiÖm cña ®a thøc Φd (x) ®Òu lµ nghiÖm ®¬n.
d|n
n
Gi¶ sö ε lµ nghiÖm cña x − 1. Gäi d lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt
sao cho εd = 1. Khi ®ã ε lµ c¨n nguyªn thuû bËc d cña ®¬n vÞ. Suy ra ε
lµ nghiÖm cña ®a thøc cña Φd (x). Chia n cho d ta ®-îc n = dq + r víi
q, r ∈ N vµ r < d. Suy ra
1 = εn = (εd )q εr = εr .
Do r < d nªn theo ch¸ch chän d ta cã r = 0, do ®ã d lµ mét -íc cña n.
Q
V× thÕ ε lµ mét nghiÖm cña ®a thøc Φd (x). Ng-îc l¹i, cho d lµ -íc cña
d|n
d
n vµ ε lµ nghiÖm cña Φd (x). Khi ®ã ε = 1. Suy ra εn = 1 tøc ε lµ nghiÖm
cña ®a thøc xn − 1.
KÕt qu¶ tiÕp theo chØ ra r»ng c¸c hÖ sè cña ®a thøc chia ®-êng trßn ®Òu
lµ sè nguyªn. Tr-íc khi chøng minh kÕt qu¶ nµy, chóng ta cÇn bæ ®Ò sau.
13
1.2.5 Bæ ®Ò. Cho hai ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû
f (x) = xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0;
g(x) = xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0.
NÕu c¸c hÖ sè cña ®a thøc f g ®Òu lµ sè nguyªn th× c¸c hÖ sè cña f vµ cña
g còng ®Òu lµ sè nguyªn.
Chøng minh. B»ng c¸ch quy ®ång mÉu sè, ta cã thÓ chän ®-îc m vµ n lµ
hai sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt ®Ó tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña hai ®a thøc mf (x) vµ
ng(x) lµ c¸c sè nguyªn. §Æt Ai = mai víi i = 0, . . . , m − 1 vµ Bi = nbi
víi i = 0, . . . , n − 1. §Æt Am = m vµ Bn = n. Khi ®ã
mnf (x)g(x) = Am Bn xm+n + . . . + A0B0 .
Do f (x)g(x) ∈ Z[x] nªn tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña mnf (x)g(x) ®Òu chia hÕt cho
mn. Gi¶ sö r»ng mn > 1. Gäi p lµ mét -íc nguyªn tè cña mn. Khi ®ã
tån t¹i mét sè nguyªn i ∈ {0, . . . , m} sao cho p kh«ng lµ -íc cña hÖ sè Ai
cña mf . ThËt vËy, nÕu p kh«ng lµ -íc cña m th× p kh«ng lµ -íc cña hÖ
sè cao nhÊt Am cña mf ; cßn nÕu p lµ -íc cña m th× p lµ -íc cña Ai víi
m
Ai
= ai ∈ Z, ®iÒu nµy lµ m©u thuÉn víi
mäi i ∈ {0, . . . , m} vµ do ®ã
p
p
gi¶ thiÕt m lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt c¸c hÖ sè cña mf
®Òu lµ sè nguyªn. T-¬ng tù, tån t¹i mét sè nguyªn j ∈ {0, . . . , n} sao cho
p kh«ng lµ -íc cña hÖ sè Bj cña ®a thøc ng. Gäi i0 vµ j0 t-¬ng øng lµ
sè nguyªn lín nhÊt trong c¸c sè i vµ j tháa m·n tÝnh chÊt p kh«ng lµ -íc
cña Ai vµ p kh«ng lµ -íc cña Bj . Khi ®ã hÖ sè cña xi0 +j0 trong ®a thøc
mnf (x)g(x) lµ Ai0 Bj0 + pt trong ®ã t lµ sè nguyªn. Râ rµng hÖ sè nµy nã
kh«ng lµ béi cña p. V× c¸c hÖ sè cña f g ®Òu nguyªn nªn c¸c hÖ sè cña
mnfg ®Òu chia hÕt cho mn vµ do ®ã ®Òu chia hÕt cho p, ®iÒu nµy lµ v« lÝ.
VËy mn = 1. Suy ra f, g cã c¸c hÖ sè ®Òu nguyªn.
14
1.2.6 §Þnh lý. Víi mçi sè nguyªn d-¬ng n, c¸c hÖ sè cña ®a thøc chia
®-êng trßn Φn (x) ®Òu lµ sè nguyªn, tøc lµ Φn (x) ∈ Z[x].
Chøng minh. Ta chøng minh hÖ qu¶ nµy b»ng ph-¬ng ph¸p quy n¹p theo
n. Kh¼ng ®Þnh nµy ®óng víi n = 1 v× Φ1 (x) = x − 1. Gi¶ sö kh¼ng ®Þnh
trªn ®óng víi mäi k < n. Khi ®ã tõ §Þnh lý 1.2.4 ta suy ra
xn − 1
Q
.
Φd (x)
Φn (x) =
d|n vµ d 0 vµ f (x) kh«ng ph©n tÝch ®-îc thµnh tÝch cña hai
®a thøc víi hÖ sè h÷u tû cã bËc bÐ h¬n. NÕu deg f (x) > 0 vµ f (x) lµ tÝch
cña hai ®a thøc cã bËc bÐ h¬n th× ta nãi f (x) lµ kh¶ quy trªn Q.
(ii) Mét sè phøc a ∈ C ®-îc gäi lµ sè ®¹i sè nÕu tån t¹i mét ®a thøc
f (x) ∈ Q[x] kh¸c 0 vµ nhËn a lµm nghiÖm. NÕu a kh«ng lµ sè ®¹i sè th×
ta nãi a lµ sè siªu viÖt.
Ch¼ng h¹n, nÕu deg f (x) = 1 th× f (x) lu«n bÊt kh¶ quy. NÕu deg f (x)
lµ 2 hoÆc 3 th× f (x) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q nÕu vµ chØ nÕu nã kh«ng cã
nghiÖm trong Q. H¬n n÷a, nÕu a ∈ Q th× f (x) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q nÕu
√
√
vµ chØ nÕu f (x + a) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q. Sè 2 lµ sè ®¹i sè v× 2 lµ
nghiÖm cña ®a thøc x2 − 2 ∈ Q[x]. Sè phøc i lµ sè ®¹i sè v× i lµ nghiÖm
cña ®a thøc x2 + 1 ∈ Q[x]. Ng-êi ta ®· chøng minh r»ng sè π (tû sè gi÷a
chu vi vµ ®-êng kÝnh cña mét ®-êng trßn) lµ mét sè siªu viÖt.
1.3.2 Bæ ®Ò. Cho a ∈ C lµ sè ®¹i sè. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt mét ®a thøc
p(x) ∈ Q[x] bÊt kh¶ quy nhËn a lµm nghiÖm vµ cã hÖ sè cao nhÊt b»ng 1.
H¬n n÷a, nÕu g(x) ∈ Q[x] nhËn a lµm nghiÖm th× g(x) lµ béi cña p(x).
Chøng minh. V× a lµ sè ®¹i sè nªn a lµ nghiÖm cña mét ®a thøc kh¸c 0 víi
hÖ sè trong Q. Chän f (x) ∈ Q[x] lµ ®a thøc kh¸c 0 cã bËc bÐ nhÊt nhËn
a lµm nghiÖm. §Æt p(x) = f (x)/c, trong ®ã c lµ hÖ sè cao nhÊt cña f (x).
Khi ®ã p(x) ∈ Q[x] lµ ®a thøc kh¸c 0 cã bËc bÐ nhÊt nhËn a lµm nghiÖm
- Xem thêm -