Tài liệu Luận văn cách xác định tích các hàm suy rộng của mikusinski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NHỊ CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM SUY RỘNG CỦA MIKUSINSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NHỊ CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM SUY RỘNG CỦA MIKUSINSKI Chuyên ngành : Toán giải tích Mã so : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí . Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Tạ Ngọc Trí. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Nguyễn Thị Nhị LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Nguyễn Thị Nhị Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản ......................................................................... 4 1.2 Không gian Banach .......................................................................................................... 5 1.3 Không gian Frechet......................................................................................................... 6 1.4 Không gian các hàm thử............................................................................................... 6 1.5 Không gian L p .................................................................................................................. 9 Không gian hàm 2.1 Không suy rộng Schwartz 12 .......................................................................... 12 2.1.1 Định nghĩa ............................................................................................................... 12 2.1.2 Đạo hàm suy rộng ........................................................................................... 14 2.1.3 Cấp của hàm suy rộng ...................................................................................... 16 2.1.4 gian hàm suy rộng Sự hội tụ trong không gian hàm rộng D'(fi) .......................... 17 và tính chất ............................ 18 2.2.1 Tích hai hàm suy rộng ......................................................................................... 18 2.2.2 Tính chất ................................................................................................................. 21 2.2.3 Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tống quát theo 2.2 Phương pháp tính tích hai hàm suy rộng suy nghĩa thông thường.............................................................................................. Cách xác định tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski 1 22 24 1 3.1 Mở đầu .................................................................................................................................................. 24 3.2 Ví dụ về tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski ......................................... 3.3 Tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách của Mikusinski ... 25 28 3.3.1 Hàm suy rộng Colombeau .................................................................................. 3.3.2 Số Colombeau ........................................................................................................ 37 3.3.3 Ví dụ về tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách xác định của Mikusinski ........................................................................................... 29 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong Toán học, bài toán tìm đạo hàm các hàm số là một bài toán phổ biến. Tuy nhiên ta có thể gặp những hàm như f ( x ) = |rc| là hàm số liên tục trên toàn bộ R nhưng nó chỉ có đạo hàm tại những điểm X ỹỂ 0, còn tại X = 0 thì ta không thể lấy đạo hàm của hàm số này. Như vậy không phải lúc nào bài toán tìm đạo hàm quyết. Trong Vật vật lý mà lý có của một hàm số cũng được giải những hiện tượng takhông thể toán học hóa một cách chính xác bằng một hàm thông thường đã biết. Chẳng hạn như việc đo mật độ điện tích p của một nguồn đặt tại một điểm. Chính từ hiện tượng này vào năm 1926, nhà vật lý người Anh là Paul Dirac đã đề xuất khái niệm một hàm được gọi là hàm Delta Dirac, hay đơn giản hơn là hàm Dirac. Chúng ta có thể hiểu khái niệm hàm Dirac như sau: ỈM = ị ^ỵ 0 oo <* * °) ( x = 0) + 00 ỏ ( x ) d x = 1. -00 Với cách định nghĩa như trên thì vấn đề trong Toán học và Vật lý đã được giải quyết. Về sau có rất nhiều cách định nghĩa hàm Dirac theo các cách tương đương khác nhau, nhưng rõ ràng hàm Dirac không phải là những hàm thông thường mà ta đã biết. Điều này làm nảy sinh vấn đề là phải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy được đạo hàm bao gồm cả những hàm đã biết và những hàm mới như hàm Dirac. Từ đó trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là "Hàm suy rộng”. Đầu tiên phải kể 2 đến “Lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz”. Lý thuyết Hàm suy rộng phát triển bởi L.Schwartz đã mở cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã nhận được giải thưởng Fields vào năm 1950. Tuy nhiên, chẳng bao lâu sau khi giới thiệu về lý thuyết hàm suy rộng, L.Schwartz đã đưa ra kết luận về một “kết quả không thể” trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát. Trong kết luận đó, L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thoả mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích. Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng. Rất nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu tìm kiếm một con đường xung quanh “kết quả không thể” của L.Schwartz để có thể giải quyết vấn đề này. Họ đã cố gắng để tìm phương pháp xác định tích của hai hàm suy rộng bất kỳ. Mikusinski đã đưa ra một cách xác định tích hai hàm suy rộng và cách này đã giải quyết được một phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng. Khi tham gia nghiên cứu, tác giả đã lựa chọn vấn đề xem xét lấy tích hai hàm suy rộng và tập trung vào tìm hiểu phương pháp xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các vấn đề liên quan. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của Toán học hiện đại, dưới sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài “Cách xác định tích các hàm suy rộng của Mikusinski” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Trong luận văn này, tôi sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz cùng với kết quả không thể của ông. Tiếp theo, luận văn sẽ trình bày một cách xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các tính chất, ví dụ tương ứng. Từ đó cho thấy sự phát triển của vấn đề và ý nghĩa của việc xây dựng đại số hàm suy rộng Colombeau. 3 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz, cách xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski. Từ đó cho thấy ý nghĩa hàm suy rộng Colombeau và xem xét ví dụ cụ thể về xác định củaviệc xây dựng đại số tích hai hàm suy rộng theo cách của Mikusinski. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng L.Schwartz. • Tìm hiểu cách xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các vấn đề liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: lý thuyết hàm suy rộng và việc lấy tích hai hàm suy rộng. • Phạm vi: các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến hàm suy rộng và tích hai hàm suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng các kiến thức, phương pháp và công cụ của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. • Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề tích hai hàm suy rộng. 6. Đóng góp mới Luận văn là tài liệu liên quan đến vấn đề tích hai hàm suy rộng trong không gian các hàm suy rộng Schwartz và vấn đề xác định tích của hai hàm suy rộng theo Mikusinski. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bi Chương này hệ thống lại một số thuật ngữ, khái niệm và kết quả về những không gian để làm cơ sở cho việc tiếp cận các kiến thức ở chương tiếp theo. Các kiến thức sau đây được tham khảo trong [ 1 ]. 1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản Ta gọi mỗi phần tử a = ( a 1, Ũ ! 2, ...,an) e là một n- chỉ số (hay đa chỉ số) VƠI bẹLC |q| = O í ị “1” C H 2 “1" “I" c u n . Với mỗi đa chỉ số a , toán tử vi phân ký hiệu d a = d a i d a 2 . . . d ữ n , ở đây d j = và toán tử D a = D ^ 1 D % 2 ■ ■ ■ D % n , trong đó D j = - r ệ — = — i d j , j = 1,2, n . Với mỗi a = (ai,« 2 , ...,a n ) e N n , /3 = (/ 9 i,yỠ 2 j e N n thì /3 < a nghĩa là P j < 0i j , j = 1 , 2 , n . Nếu /3 < a ta viết: trong đó a jQ 1 (Q \ I > 3 ^jK«j - P j V - 1; n - Ta ký hiệu c k ( í ì ) là tập hợp các hàm khả vi liên tục đến cấp k . Với /, g e C k ( J l ) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz (1.1) 5 P “W=E f , ) ỵ > D ° - i ‘ ° ’ Ị3■ R được gọi là một c h u ẩ n trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: p ( x ) >0 Va: e X , (i) p ( x ) = 0 X = 6 ( 6 là kí hiệu phần tử không trong X ); (ii) (iii) p ( X x ) = |A|p(a:) với mọi số A e K và mọi X £ X ] p(x + y) < p(x) + p(y) với mọi X, y € X. Số p ( x ) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p ( x ) , thông thường ta kí hiệu ||z;|| thay cho p ( x ) . Không gian vectơ X cùng với chuẩn II . II trong nó được gọi là một k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n , kí hiệu (X, II. II). Định lý 1.1. G i ả s ử X l à m ộ t k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n . V ớ i m ọ i x , y e X , đ ặ t p ( x , y ) = IK* - y ) II . Khi đó, p là một metric trên X. Định nghĩa 1.2. Dãy (x n ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến X o € X nếu lim ||x„ — Xoll = 0 . 71—»00 Khi đó, ta kí hiệu lim x n = X Q hoặc x„ —> X Q , khi n — > oo. 71—»00 Định lý 1.2. D ã y (x n ) t r o n g k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n X đ ư ợ c g ọ i l à m ộ t d ã y c ơ b ả n (hay dãy Cauchy) nếu lim ||x m — x n \ \ = 0 . 771,71— y 00 Định nghĩa 1.3. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Định nghĩa 1.4. Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ ( với khoảng cách p ( x , y ) = II (x — y)||). Khi đó X được gọi là một k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n đ ầ y đ ủ , hay còn gọi là k h ô n g g i a n B a n a c h . 1.3 Không gian Eréchet Định nghĩa 1.5. Một không gian Frechet là một không gian vectơ lồi địa phương, khả metric và đầy đủ. 1.4 Không gian các hàm thử Cho í ì là một tập khác rỗng và Q c R". Ta ký hiệu c ° ° (íl) là tập hợp những hàm / giá trị phức xác định trên 0 sao cho d a f tồn tại với mọi đa chỉ số a . Giá của hàm liên tục / : íì -> c là tập hợp ký hiệu supp/ , được xác định bởi supp/ = c l { x € Q : f ( x ) Ỷ 0}- Nếu K là một tập compact trong R", ta ký hiệu V K là tập hợp {/ e C 00 ^”) : supp/ c K } . Ta thừa nhận các bổ đề sau Bổ đề 1.1. Cho Q c R", 0 ^ 0 . Khi đó tồn tại các tập compact { K j } , j = 00 1,2,3, ... thỏa mãn K j c intXj+i, u K j = Q . j =1 Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact của Q . và K j là một trong các tập compact trong họ K j nói trong bổ đề trên. Bổ đề 1.2. c 0 0 (íl) là một không gian Frechet và V K là không gian con đóng của mọi K c Í2 . c°° (íí) với 7 Chọn các tập compact K j , j = 1, 2,... , sao cho K j nằm trong phần trong của K j + 1 (ký hiệu i n t K j + 1 ) và fĩ = u K j . Họ các nửa chuẩn P N với N = 1 , 2 , x á c j=i định bởi P N ( Ỉ ) = max {|ô“/(:r)| : X e K N , |a| < N } c ó tính chất: các điểm tách thuộc c ° ° (fi) và tạo một tôpô với một cơ sở địa phương đếm được. Từ đó ta có định nghĩa 1.6 và định lý 1.3 Như vậy, với mọi tập compact K c íì thì £>/r(íí) là một không gian Frechet. Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử. Định nghĩa 1.6. Ta ký hiệu v { ũ ) là tập hợp V ( J l ) = { ậ e c ° ° ( í ì ) : suppự) là tập compact trong } Khi đó ta gọi T > ( Q ) là không gian các hàm thử ( t e s t f u n c t i o n ). Ta thấy X>(Q) = u T > K (Q), nên V ( p , ) là không gian vectơ, đó j =1 gian vectơ lồi địa phương. Điều này được thể hiện qua định lý sau còn là không Định lý 1.3. K h ô n g g i a n c á c h à m t h ử x>(fĩ) l à m ộ t k h ô n g g i a n v e c t ơ t ô p ô l ồ i đ ị a phương. C h ứ n g m i n h . Theo nhận xét trên ta có T > K (íí) là không gian Frechet. Ta ký hiệu T K là tôpô trên không gian V K (ÍÌ) , /3 là họ tất cả các hợp w tập cân, lồi X>(f2) sao cho T > K n w € T K với mọi tập compact K c . ũ . Gọi T là họ tất cả các cơ sở lân cận của T của tập hợp có dạng ậ + w với ậ e Ĩ>(Í2) và w e /3 . a) Ta chứng minh T là một tôpô trên £>(Í2) và /3 là một Thật vậy, với V ị , V 2 £ T và ( f ) £ Vi n V 2 tâ chỉ cần chứng minh tồn tại w £ Ị 3 sao cho ệ + w € V \ n 1 ^ 2 - Ta có, do ự) € V ị , ( i — 1 , 2 ) nên tồn tại ộ i £ V ( Q ) và W ị £ Ị 3 sao cho ộ £ ộ i + W ị , i = 1,2 Chọn tập compact K c Í2 sao nên tồn tại ỗ ị > 0 , i = 1 , 2 sao choệ , ậ i e T > K , ỉ = 1,2. Do T > K n W ị mở trong T > K cho ậ - ệ i € (1 - ỏ i ) W i . Do W ị là tập lồi nên Ф - Ф г + SiWi С (1 - 5i)Wi + SiWi = Wi. Suy ra ф + S ị W i С ộ i + W ị , г = 1,2. Từ đó ta chọn w — (ổiH^i) n { & 2W 2) thì ф + w e V \ П V 2 . Vậy T là một tôpô trong D(Í2) . Hiển nhiên ß là một cơ sở của r . Giả sử ậ i i ậ i là hai phần tử tùy ý của x>(fĩ) . Với mỗi Ф € X>(f2) ta đặt M o = sup | 0 (^)| và 1Г = {феТ>{й):\\ф\\0<\\ф1-ф2\\0} thì w e ß và Ф 1 Ợ l Ф 2 + w . Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong x>(fĩ) theo tôpô r. b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên v(ũ) liên tục với tôpô T. Với mọi Ộ 1, Ộ 2 e Ĩ>(Í2) và ộ i + Ф 2 + w e T với w e ß . Khi đó, do w là cân nên - W e ß , 1 ,_.1 ,_.1,_1 s u y Г с 1 Ф 1 - b —w G T v à Ф 2 ” b — ê T v à Ф 1 - b —w E ĩ + Ф2 " b ф\" Ь Ф2 — ^ " b Vậy phép cộng hai phần tử trong V ( J l ) là liên tục theo r. Với «о € С và Ф о Ễ X>(Q) ta có аф — аофо = а(ф — фа) + (а — aa)(f)Q. Với moi w G ß tồn tai 5 > 0 sao cho 5 ф п G - W . Đăt с = — 77 — \ --------------------, do w là 2 2 (|«о| + ố) tập lồi và cân nên ta có а ф — а о ф о ẽ w với mọi \ a — ctol < ỗ và ф e Ф о + c W. Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong V ( J l ) theo tôpô T. Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử v ( ũ ) là không gian vectơ tôpô và hơn nữa còn là không gian lồi địa phương. □ 9 Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong đại. Nólà công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như giải tích hiện mở rộng các khái niệm đã có. Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của v ( í ì ) . Định lý 1.4. C h o k h ô n g g i a n D(Í2) v ớ i t ô p ô T. Ta c ó 1 . D ẫ y c á c h à m t h ử {0/}^! h ộ i t ụ t h e o t ô p ô T t ớ i Ф а t r o n g x>(Q) k h i v à c h ỉ k h i t ồ n t ạ i j e N* s a o c h o s n p - p ộ i с K j v ớ i m ọ i l e N* v à Ф Ị -> Ф о t r o n g V K . ( J l ) , nghĩa là sup \ d a ậ ị ( x ) — д а ф о ( х ) \ —» 0 k h i l — > oo xGKj (1-3) với mọi đa chỉ số a. 2 . T ậ p E с x>(Г2) k h i v à c h ỉ k h i t ồ n t ạ i j e N* s a o c h o E l à t ậ p c o n b ị c h ặ n t r o n g V K . ( Q ) . Đ ặ c b i ệ t , n ế u { ậ i } ^ ! ỉ à d ã y C a u c h y t r o n g T > ( Q ) t h ì t ồ n t ạ i j G N* s a o c h o ậ ị h ộ i t ụ t r o n g T > K (íì) v à d o đ ó h ộ i t ụ t r o n g x>(íĩ). 3 . M ộ t p h i ế m h à m t u y ế n t í n h A : D(Í2) -» с liên tục khi và chỉ khi với mọi j G N tồn tại Nj e N và hằng số Cj > 0 sao cho sup |Л((^>)| < C j sup { \ д а ф ( х ) \ : |a| < N j } . (1-4) Định lý 1.5. T r o n g k h ô n g g i a n c á c h à m t h ử 1 . P h é p l ấ y v i p h â n д а : ф I-» д а ф ỉ à t u y ế n t í n h v à ỉ i ê n t ụ c t r ê n D(Í2) v ớ i m ọ i đ a chỉ số a. 2 . V ớ i m ọ i f e c°°(fì) t h ì á n h x ạ M Ị : Ф !->■ f ậ c ũ n g ỉ à t u y ế n t í n h l i ê n t ụ c t r ê n V(ũ). 1.5 Không gian ư Định nghĩa 1.7. Cho ( x , ( 0 , ß ) là một không gian đo được, nghĩa là X là một tập và (i) 0 là một ơ — đại số trong X, nghĩa là 0 là một họ những tập con của X sao cho: 10 a. 0 e 0 , A e & => A c e & , A c là phần 00 bù của A , c. A„ e & , V n => A n e 0. b. n=l (ii) /X là một độ đo chính xác trên (3, nghĩa là /X : (5 ->• [0, oo) thỏa mãn: a. /i( 0 ) = 0 , b. Nếu ( A n ) là họ đếm được các phần tử rời nhau của <3 thì Phần tử của 0 gọi là tập đo được. Đôi khi ta viết m thay cho f ỉ ( A ) . Tập ẨE(B với tính chất f i ( A ) = 0 gọi là t ậ p c ó đ ộ đ o k h ô n g . Ta nói rằng, một tính chất nào đó đ ú n g h ầ u k h ắ p n ơ i trên X nếu tính chất đó đúng khắp nơi trên X ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X . Hàm / : X R gọi là đo được trên A nếu Va € R : { x € A : f ( x ) < a } € C5. Trong trường hợp X = R n và 0 là những tập hợp đo được theo nghĩa Lebesgue thì ta nói tắt f ( x ) là hàm đo được. Khi đó tích phân Lebesgue của hàm f ( x ) trên tập đo được A được kí hiệu là J ỉ ( x ) d f l ( x ) hoặc J ỉ ( x ) d ( x ) hoặc / f ( x ) d n ( x ) A A A Nếu f f ( x ) d ( x ) < oo thì ta nói f ( x ) khả tích trên A . Ta luôn quy ước hai hàm A f , g đo được trên X là b ằ n g n h a u nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên X , nghĩa là n { x € X : f ( x ) Ỷ ỡ(z)} = 0. Định nghĩa 1.8. Cho ( x , & , n ) là một không gian đo được. Kí hiệu L 1 (x,/i), (hoặc L 1 ) là không gian các hàm khả tích trên X với 11 Cho J)E R với 1 < p < 00 , kí hiệu L p là không gian các hàm f ( x ) cólũy thừa bậc p khả tích trên X , nghĩa là If ( x ) \ p € L 1 với II/IIl, = 11 / 11 *,= Kí hiệu i°° là không (/ \ỉ\d»Ỵ. gian các hàm đo được trên X sao chotồn tại hằng số c để |/(x)| < c hầu khắp nơi trên X với ll/lli» = 11/11 p = int {c : l/(^)I < c hầu khắp nơi trên X} . Định nghĩa 1.9. (Không gian L p ). Cho (X, ©,/i) là một không gian đo được. Họ tất cả các hàm số f ( x ) có lũy thừa bậc p (1 < p < oo) của modun khả tích trên X , tức là 11/ 11 p = (y l/l đ f i ( x ) j p < oo gọi là không gian L p ( x , ụ , ) . Khi đó L p ( x , ị i ) là tập hợp các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi). Khi X là một tập đo được Lebesgue trong R f c , n là độ đo Lebesgue thì ta viết L P ( X ) . Nếu X = [ a , 6 ] c R 1 , ụ , là độ đo Lebesgue thì ta viết L p ( a , b ) hoặc LỊ 6 j và nếu X = [0,1] thì ta viết đơn giản L p . Định lý 1.6. C á c k h ô n g g i a n L p v ớ i c h u ẩ n c h o bởi nghĩa trên là những không gian Banach. ||/|| L P n h ư t r o n g định 12 Chương 2 Không gian hàm suy rộng Schwartz Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết hàm suy rộng Schwartz. Các kiến thức sau đây được tham khảo trong [2], [5] và [ 8 ]. 2.1 Không gian hàm suy rộng U'{£í) 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1. Mỗi phiếm hàm и : V ( J l ) -» с tuyến tính liên tục với tôpô trên D(fi) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz. Không gian các hàm suy rộng trên ũ được kí hiệu Với mỗi hàm suy rộng и € v ' ( ũ ) tác động lên mỗi Ф £ x>(0) được viết là ( и , ф ) . Hai hàm suy rộng и , V e được gọi là bằng nhau nếu { и , ф > = { v , ệ ), У ф G V ( n ) . Chú ý 2.1.1. x>'(f2) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng trên С như sau: . Phép công: Với mọi и , V € T > ' ( í ì ) ta định nghĩa u + v như sau:{ и + V, Ф ) = ( и , Ф ) + { V, ф ) , У ф G T > ( ỉ ì ) . Khi đó и + V e T > ' ( Q , ) . . Phép nhân với phần tử vô hướng: Với mọi и e v ' ( ũ ) và mọi số Л ta định nghĩa X u như sau: { X u , ф ) = X ( и , ф ) , У ф e V ( Q ) . Khi đó X u e Định nghĩa 2.2. Cho и € V ' ( Q . ) 13 1. Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K c Q , kí hiệu u \ K = 0 nếu ( u , ệ ) = 0, V ậ c V ( K ) . 2. Giá của hàm suy rộng u được kí hiệu là suppit và được xác định bởi: suppu = í ì \ (u {k IK mở } c íí và lí |jf = o) . Nếu u có suppu là tập compact trong D thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact. Ví dụ 2 . 1 . Mỗi hàm / e L ị o c ( Q , ) là một hàm suy rộng được xác định như sau: / : ệ i-> (/, ộ ) = J f ( x ) ậ ( x ) d x . Thật vậy, với mỗi tập compact K c và mọi hàm n ậ e x>(íí) sao cho suppự) c K ta có (2.1) Tương tự, mọi hàm / £ L P ( £ L ) cũng là một hàm suy rộng. Ví dụ 2.2. (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là 5 được xác định như sau ố : V(Rn) c và{ố,ự>) = ệ(0) là một hàm suy rộng. Thật vậy, ta có ệ € X>(R") nên ệ là hàm khả vi liên tục mọi cấp và ( ( õ , ộ ) ) = 10 ( 0)1 < l.sup \ ộ { x ) \ , vự> e £>(R n ). Mà supp^ c K - compact c R n . Do đó ố là một hàm suy rộng (gọi là hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac). Ví dụ 2.3. Hàm x\ : V(R) c ậ {\x\, ộ) = I \x\ệ(x)dx 14 là một hàm suy rộng. Thật vậy, với supp с К , К là tập compact trong R ta có: |(|x| , ф )I = / M ậ(x)dx < / |x| |^>(x)| d x < / |x| sup |^>(x)| d x = sup ф ( х ) ( / |x| d x ] = sup ф ( х ) ( / \ x \ d x \ . J R R R J К \J к ' Vậy |ж| là một hàm suy rộng. Ví dụ 2.4. Với mỗi hàm / e L \ (íì) ánh xạ U f a và vớia : Ф I-» f n f ( x ) ( d a ậ ) ( x ) d x là mộthàm e N", suy rộng. Định lý 2.1. M ộ t p h i ế m h à m t u y ế n t í n h и x á c đ ị n h t r ê n D(Í2) ỉ à m ộ t h à m s u y r ộ n g khi và chỉ khi lim { u , ậ j ) = 0, j-¥0О v ớ i m ọ i d ã y { ệ j } h ộ i t ụ t ớ i 0 k h i j -» 2.1.2 oo. Đạo hàm suy rộng Trong không gian X>'(Q) ta có: Bổ đề 2.1. Cho и а € N n toán tử tuyến e V ' ( Q ) là một hàm suy rộng. Khi đó, với mỗi đa chỉ số tính được ký hiệu d a u xác định bởi (dau,ậ) = (-l)W(u,daậ),ậ€V(n) (2.2) là một hàm suy rộng. C h ứ n g m i n h . Vì и e v ' ( í ì ) nên |(ií, ^)| < C. II011 , У ф e D(Í2). Do đó \{даи,ф) I < c\\daậ\\N < c\\ậ\\N+ịaị. Vậy d a u € V ' ( Q ) . □